¾¼¼

Ù Ù ÙÖ Å Ø Ñ Ø Å Ø Ó Ò ÙÒ Ô Ð ËÓÑÑ Ö Ñ Ø Ö ¾¼¼ ÂÓ Ä Ý ÓÐ Ô ÖØÑ ÒØ Ö ËØ Ø Ø ÙÒ Å Ø Ñ Ø Ö Ï ÖØ Ø ÙÒ Ú Ö ØØ Ï Ò ½ º ÂÙÒ ¾¼¼ ¾¼¼ Josef.Leydold@wu-wien.ac.at

ÙÒ Ø ÓÒ Ò Ò Ñ Ö Ö Ò Î Ö Ð Ò ½º Ò Ø ÆÙØÞ Ò ÙÒ Ø ÓÒ U Ò À Ù ÐØ Þ Ð ÞÛ Ö ÓÑÔÐ Ñ Ò¹ ØÖ Ö Ø Ö ÙØ ½ ÙÒ ÙØ ¾ Þº º Ð Ò Ö Ë Ù ÙÒ Ö Ø Ö Ë Ù Ò È Ö µº Ë ÞÞ Ö Ò Ë ÙÒ Ø ÓÒ Ò¹ ÆÙØÞ Ò¹µ Ö ÙÒ Þ Ò Ò Ë À ÒÐ Ò Ò Á ÓÒÙØÞ ÒÐ Ò Òµ Ö U = U = 1 ÙÒ U = U 1 = 2 Òº U(x 1, x 2 ) = Ñ Ò(x 1, x 2 ), x 1, x 2. À ÒÛ Ñ Ò(x 1, x 2 ) Ø Ò ÖØ Ð Ö Ð Ò Ö Ö Ò Ï ÖØ ÚÓÒ x 1 ÙÒ x 2 º º º Ñ Ò(1, 2) = 1º ÈÖÓ Ö Ò Ë Þº º È Ö (, ) (, 1) (1, ) (, 2)... (1, 1) (1, 2) (2, 1) (1, 3)... (2, 2) (2, 3) (3, 2) (2, 4)... ¾º Ö Ò Ò Ë Ö Ø Ò ÙÒ ÞÛ Ø Ò Ô ÖØ ÐÐ Ò Ð ØÙÒ Ò Ö ÓÐ Ò Ò ÙÒ ¹ Ø ÓÒ Ò Ò Ö ËØ ÐÐ (1, 1) µ f(x, y) = x + y µ f(x, y) = x y µ f(x, y) = x 2 + y 2 µ f(x, y) = x 2 y 2 µ f(x, y) = x α y β, α, β > Ï Ð ÙØ Ò Ö ÒØ ÙÒ À ¹Å ØÖ Ü Ò Ö ËØ ÐÐ (1, 1) º Ö Ò Ò Ë Ø Ø ÓÒÖ Ò ÈÙÒ Ø ÓÐ Ò Ö ÙÒ Ø ÓÒ Ò ÙÒ Ø ÐÐ Ò Ë Ñ Ø À Ð Ö À ¹Å ØÖ Ü Ø Ó ÙÑ ÐÓ Ð µ Å Ü Ñ Å Ò Ñ Ó Ö Ë ØØ ÐÔÙÒ Ø Ò Ðغ µ f(x, y) = x 2 + xy + y 2 µ f(x, y) = 1 x ÐÒ(x) y2 + 1 µ f(x, y) = 1(y x 2 ) 2 + (1 x) 2 º Ò Ø ÙÒ Ø ÓÒ f(x 1, x 2 ) = 3x 1 + 4x 2 e x 1 e x 2 Ö Ò Ò Ë ÐÓ Ð Ò ÙÒ ÐÓ Ð Ò ÜØÖ Ñ Ö ÙÒ Ø ÓÒº º Ö Ò Ò Ë ÐÐ Ø Ø ÓÒÖ Ò ÈÙÒ Ø Ö ÙÒ Ø ÓÒ f(x 1, x 2, x 3 ) = (x 3 1 x 1)x 2 + x 2 3 ËØ ÐÐ Ò Ë Ø Ó ÙÑ ÐÓ Ð Å Ü Ñ Å Ò Ñ Ó Ö Ë ØØ ÐÔÙÒ Ø Ò Ðغ º ÈÖ Ñ Ò ÖÙÒ µ Ò ÒÓÑÑ Ò Ò ÑÓÒÓÔÓÐ Ø ÖÑ ÔÖÓ ÙÞ ÖØ Ò ÙØ ÙÒ Ð ÖØ Ö ÅÖ Ø º Æ Ö ÙÒ Ø ÓÒ Ò Ò Ò ÅÖ Ø Ò Ò p 1 = 63 4q 1, p 2 = 15 5q 2 ÙÒ p 3 = 75 6q 3. Ø p i Ö ÈÖ ÙÒ q i ØÞØ Å Ò Ñ Å Ö Ø iº Ö ÑØÙѹ ØÞ R Ö ÖÑ Ö Ø Ù Ò Ö ÒÞ ÐÙÑ ØÞ Ò R = R 1 + R 2 + R 3 = p 1 q 1 + p 2 q 2 + p 3 q 3. ÈÖÓ Ù Ø ÓÒ Ó Ø Ò C Ò ÙÒ Ò ÚÓÑ Û Ð Ò Å Ö Ø C = 2 + 15q = 2 + 15(q 1 + q 2 + q 3 ). ÖÑ Ñ Ø Ö Ò Û ÒÒ R C Ñ Ü Ñ Ö Òº Ö Ò Ò Ë ÓÔØ Ñ Ð ÑØÔÖÓ Ù Ø ÓÒ ÙÒ Ò ÍÑ ØÞ Ò Ò ÒÞ ÐÒ Ò ÅÖ Ø Òº

¾ º Ù Ø Ò ÐÓ Ð Òµ ÜØÖ Ñ ÚÓÒ f(x, y) = x 2 y ÙÒØ Ö Ö Æ Ò Ò ÙÒ x + y = 3º µ Ä Ò Ë ÇÔØ Ñ ÖÙÒ ÔÖÓ Ð Ñ Ö Ô º µ Ö Ò Ò Ë Ø Ø ÓÒÖ Ò ÈÙÒ Ø º µ ËØ ÐÐ Ò Ë Ñ Ø À Ð Ö ÖÒ ÖØ Ò À ¹Å ØÖ Ü Ø Ó ÙÑ Å Ü Ñ Ó Ö Å Ò Ñ Ò Ðغ º Ò À Ù ÐØ Ñ Ø Ö Ò Ø ÑÑØ ÆÙØÞ ÒÒ Ú Ù U = U Ò Ù Ò E Ñ Ò Ñ Ö Òº U = U = 1 = x 1 2 1 x 1 2 2 ÙÒ E = 4x 1 + x 2 º Ö Ò Ò Ë ÓÔØ Ñ Ð ÃÓÒ ÙÑ ÓÑ Ò Ø ÓÒ Ö Ø ÖÑ Ò Ò x 1 ÙÒ x 2 º Ï Ò ÖÒ Ù Ò Þ Ð ÆÙØÞ ÒÒ Ú Ù

ÃÓÚ Ö ÒÞ ÙÒ ÃÓÖÖ Ð Ø ÓÒ º Ò Ò Ù ÐÐ Ú Ö Ð Ò X ÙÒ Y Ñ Ø ÖÛ ÖØÙÒ Û ÖØ Ò ÞÛº Î Ö ¹ ÒÞ Ò (X) = 1 Î(X) = 2 (Y) = 3 ÙÒ Î(Y) = 2º X ÙÒ Y Ò ÙÒ ÓÖÖ Ð Öغ Ö Ò Ò Ë (Z) ÙÒ Î(Z) Ö µ Z = 3 + 2X + Y µ Z = X + Y µ Z = X Yº ½¼º Ò Ò ÙÒ ÓÖÖ Ð ÖØ Ò Ù ÐÐ Ú Ö Ð Ò Z t t = 1,..., T Ñ Ø ÖÛ Ö¹ ØÙÒ Û ÖØ (Z t ) = ÙÒ Î Ö ÒÞ Î(Z t ) = σ 2 º Ö Ò Ò Ë ( T t=1 Z t) ÙÒ Î( T t=1 Z t)º ½½º Ò Ò ÙÒ ÓÖÖ Ð ÖØ Ò Ù ÐÐ Ú Ö Ð Ò Y t t = 1,..., T Ñ Ø ÖÛ Ö¹ ØÙÒ Û ÖØ (Y t ) =.5 ÙÒ Î Ö ÒÞ Î(Z t ) = σ 2 º Ö Ò Ò Ë ( T t=1 Y t) ÙÒ Î( T t=1 Y t)º ½¾º Ò Ò Ù ÐÐ Ú Ö Ð Ò X ÙÒ Y Ñ Ø ÖÛ ÖØÙÒ Û ÖØ Ò ÞÛº Î Ö ¹ ÒÞ Ò (X) = 1 Î(X) = 2 (Y) = 3 Î(Y) = 2 ÙÒ ÓÚ(X, Y) = 1º µ Ö Ò Ò Ë Ò ÃÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ó Þ ÒØ Ò ÓÖÖ(X, Y)º µ Ö Ò Ò Ë (Z) ÙÒ Î(Z) Ö µ Z = 3 + 2X + Y µ Z = X + Y µ Z = X Yº ½ º Ò Ò Ù ÐÐ Ú Ö Ð Ò X ÙÒ Y Ñ Ø ÖÛ ÖØÙÒ Û ÖØ Ò ÞÛº Î Ö ¹ ÒÞ Ò (X) = 1 Î(X) = 2 (Y) = 3 Î(Y) = 2 ÓÛ ½µ ÓÖÖ(X, Y) = 1 ¾µ ÓÖÖ(X, Y) = ÙÒ µ ÓÖÖ(X, Y) = 1º Ö Ò Ò Ë Ö ½µ µ µ ÃÓÚ Ö ÒÞ ÓÚ(X, Y)º µ Î Ö ÒÞ Ò Ö µ Z = 3 + 2X + Y µ Z = X + Y µ Z = X Yº ½ º Ï Ù ½ Ö Ñ Ø Î(Y) = 4º ½ º Ò Ò Ê Ò Ø Ò R i Ö Ö Ï ÖØÔ Ô Ö Ñ Ø ÓÐ Ò Ò ÖÛ ÖØÙÒ Û Ö¹ Ø Ò ÙÒ ÃÓ¹µ Î Ö ÒÞ Ò (R 1 ) =.1 (R 2 ) = 12 (R 3 ) =.8 Î(R 1 ) =.9 Î(R 2 ) =.16 Î(R 3 ) =.25 ÓÚ(R 1, R 2 ) =.1 ÓÚ(R 1, R 3 ) =.2 ÙÒ ÓÚ(R 2, R 3 ) =.3º ËØ ÐÐ Ò Ë Ò ÑØ Ú Ö ÃÓÑ Ò Ø ÓÒ Ò Ö ÓÖÑ P = αr i + (1 α)r j ÞÛº P = α 1 R 1 + α 2 R 2 + (1 α 1 α 2 )R 3 ÞÙ ÑÑ Ò Ò Ñ Ë Ò Ø Ï ÖØ Ö α ÞÛº α 1 ÙÒ α 2 Û Ð Òº µ Ö Ò Ò Ë Ö P Á Ö Ö Ï Ð ÖÛ ÖØÙÒ Û ÖØ (P) ÙÒ Î Ö ÒÞ Î(P)º µ Æ Û Ð Ò ÃÖ Ø Ö Ò ÙÖØ Ð Ò Ë ÃÓÑ Ò Ø ÓÒ Òº µ Ï Ð Ö ÃÓÑ Ò Ø ÓÒ Û Ö Ò Ë Ò ÎÓÖÞÙ Òº ½ º Ï Ö Þ Ò ÙÒ Ù Ò Ò Ù ½ µ Ö Ò Ò Ë ÒÞ ÐÒ Ò ÃÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ó Þ ÒØ Òº Ï ÖÓ Ø ÓÖÖ(R 1, R 1 ) µ Ò Ë ÃÓÚ Ö ÒÞÑ ØÖ Ü Σ Òº µ Ö Ò Ò Ë ÃÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ñ ØÖ Ü ÙÖ Å ØÖ ÜÓÔ Ö Ø ÓÒ Òº µ Ö Ò Ò Ë Î Ö ÒÞ Ò Ö ÃÓÑ Ò Ø ÓÒ Ò Ø Ò Ù R 1 R 2 ÙÒ R 3 Ö Σ Ñ Ø = (α 1, α 2, (1 α 1 α 2 )) º ½ º Ö Ò Ò Ë ÓÔØ Ñ Ð ÃÓÑ Ò Ø ÓÒ ÚÓÒ R 1 ÙÒ R 2 Ò Ù ½ º

ÈÓÖØ ÓÐ Ó Å Ò Ñ ÒØ ½ º Ò Ò Ê Ò Ø Ò Ö Ö Ï ÖØÔ Ô Ö º (R 1 ) =.1 (R 2 ) =.12 (R 3 ) =.8 Î(R 1 ) =.9 Î(R 2 ) =.16 Î(R 3 ) =.25 ÓÚ(R 1, R 2 ) =.1 ÓÚ(R 1, R 3 ) =.2 ÙÒ ÓÚ(R 2, R 3 ) =.3º Ï Ö Ø ÐÐ Ò Ò ÈÓÖØ ÓÐ Ó Ö ÓÖÑ P = α 1 R 1 +α 2 R 2 +(1 α 1 α 2 )R 3 ÞÙ ÑÑ Òº ËÙ Ò Ë Å Ò ÑÙÑ¹Î Ö ÒÞ¹ ÈÓÖØ ÓÐ Ó ÙÒØ Ö ÐÐ Ò ÈÓÖØ ÓÐ Ó Ñ Ø (P) =.11º Á Ö ÇÔØ Ñ ÖÙÒ ÔÖÓ Ð Ñ Ð ÙØ Ø Æ Ñ Ò α 1,α 2,α 3 Î(P) 3 α i = 1, (P) =.11 i=1 Ö Ø Æ Ò Ò ÙÒ ÛÙÖ ÙÖ α 3 = (1 α 1 α 2 ) ÓÒ ÖÙ Ø Øº ½ º Ò Ò Ê Ò Ø Ò R 1 ÙÒ R 2 Ñ Ø (R 1 ) =.1 (R 2 ) =.12 Î(R 1 ) =.9 Î(R 2 ) =.16º Ö Ò Ò Ë ÓÔØ Ñ Ð ÈÓÖØ ÓÐ Ó ÙÒØ Ö µ ÓÖÖ(R 1, R 2 ) = 1 µ ÓÖÖ(R 1, R 2 ) = µ ÓÖÖ(R 1, R 2 ) = 1º ¾¼º Ò Ò Ê Ò Ø Ò R 1 ÙÒ R 2 Ñ Ø (R 1 ) =.8 (R 2 ) =.12 Î(R 1 ) =.9 Î(R 2 ) =.16 ÙÒ ÓÚ(R 1, R 2 ) =.1º Ò Ò Ë ÒØ ÖÓÒØ Ö Ñ µ¹σ¹ Ö ÑѺ Ï ÖØ Ò Ë (P) ÙÒ Î(P) Ö Ú Ö Ò α¹ï ÖØ Ù ÙÒ ØÖ Ò Ë È Ö ( Î(P), (P)) Ò ÃÓÓÖ Ò Ø Ò Ý Ø Ñ Òºµ ¾½º Ò Ò Ë Ò Ù ¾¼ Ã Ô Ø ÐÑ Ö ØÐ Ò Òº Ö Ö ÓÐÓ Ò ØÞ r =.6º ¾¾º Ï Ð Ò Ë Ò Ñ ÃÖ Ø Ö ÙÑ Ñ Ü Ñ Ð Ò Ë ÖÔ Ö Ø Ó Ø ÈÓÖØ ÓÐ Ó Ù Ö ÒØ ÖÓÒØ Ö Ò Ù ¾¼º ¾ º Ò Ø Þ ÙÒ R i = α i + β i R M + ǫ i Ù Ñ Èź ÁÒØ ÖÔÖ Ø Ö Ò Ë Ú Ö Ò Ï ÖØ Ö β i º µ β i =.5 µ β i = µ β i =.5 µ β i = 1 µ β i = 1.2º ¾ º Ò Ø Þ ÙÒ R i = α i + β i R M + ǫ i Ù Ñ Èź ÁÒØ ÖÔÖ Ø Ö Ò Ë Ú Ö Ò Ï ÖØ Ö α i º µ α i =.5 µ α i = µ α i =.5 µ α i = r + β i r Ñ Ø Ñ Ö Ó Ö Ò Ò ØÞ rº

Ø Ò ¾ º ÍÒØ Ö Ø Ò Ö Ä ÖÚ Ö Ò Ø ÐØÙÒ http://statistik.wu-wien.ac. at/lv/ams/µ Ò Ò Ò Æ Ð ÓÒ»ÈÐÓ Ö Ø Ò ØÞ Æ ÄÈÄÇËË Ê Ö ÍË º Æ Ð ÓÒ Ò ÈÐÓ Ö ½ ¾µ ÂÓÙÖÒ Ð Ó ÅÓÒ Ø ÖÝ ÓÒÓÑ ½¼ ½ ¹½ ¾µ Ä Ð Þ ÒÙÒ ÌÖ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ ÐÖ ÒÔ Ö Ð ÖÙØØÓÒ Ø ÓÒ ÐÔÖÓ Ù Ø ÐÓ Ö Ø Ñ ÖØ ÐÒÓÑ ÒÔ ÒÓÑ Ò Ð ÖÙØØÓÒ Ø ÓÒ ÐÔÖÓ Ù Ø ÐÓ Ö Ø Ñ ÖØ ÐÑÓÒ Ý Ð Ñ Ò ÐÓ Ö Ø Ñ ÖØ ÐÛ Ä Ò ÐÓ Ö Ø Ñ ÖØ ÐÚ ÐÓ Ø ÍÑÐ Ù Û Ò Ø Ð ÐÓ Ö Ø Ñ ÖØ ÐÙÒÑÔÐÓÝ Ö Ø ÐÓ ÒÖ Ø ÐÓ Ö Ø Ñ ÖØ Ð Ô ¼¼ Ë²È ¼¼ ÐÓ Ö Ø Ñ ÖØ ÐÖ Û Ê ÐÐÓ Ò ÐÓ Ö Ø Ñ ÖØ Ð Ò ÔÖÓ ÁÒ Ù ØÖ ÔÖÓ Ù Ø ÓÒ ÐÓ Ö Ø Ñ ÖØ Ð ÒÔ ØÓÖ ÆÈ ÐÓ Ö Ø Ñ ÖØ Ð ÒÔ Ô Ô ÆÈ Ô Ö Ô Ø ÔÖÓ ÃÓÔ µ ÐÓ Ö Ø Ñ ÖØ Ð ÑÔÐÓÝ ÙÒ Ð ØÒ Ø Ø ÐÓ Ö Ø Ñ ÖØ ÐÔ Î Ö Ö Ù ÖÔÖ Ò Ü ÐÓ Ö Ø Ñ ÖØ ÒØ Ö Ò ØÞ Ö ØÚ ÖÞ Ò Ð ËØ Ø Ô Ô Ö µ ÙØ Ö Ò ÓÛ¹ ÙÒ ØÓ ¹ Ò Ø Ò Ö Î Ö Ð Òº µ ÖÔÖ Ò Ê ÐÐÓ Ò ÆÓÑ Ò ÐÐÓ Ò» Î Ö Ö Ù ÖÔÖ Ò Üº µ Ö Ò Ò Ò ØÓÖ Ù ÒÓÑ Ò ÐÐ Ñ ÙÒ Ö Ð Ñ ÆȺ Ñ Ö ÙÒ Ö Ö Ô ÖØ ØÓÖ ÆÈ ÛÙÖ Ô Ö Ø Ö¹ Ó Ò ÙÒ Ô Ø Ö Ò Ø ÞÙÑ Ö Ð Ò ÙÒ ÒÓÑ Ò ÐÐ Ò Ï ÖØ ÆȺ ¾ º ÁÑ PKWat¹ Ø Ò ØÞ Ò Ø Î Ö Ð ÈÃϹ Ø Ò Ø Ò µ Ò Ø Ö¹ Ö º ÁÒØ ÖÔÖ Ø Ö Ò ÖÐ Î ÖÒ ÖÙÒ Ø Ò ÈÃÏ t ÈÃÏ t 1 º ¾ º Ò Ò ÈÖ ÙÒ Å Ò Ò Ö ÞÛ Ø Ö Ù Ò Â Ö Ò ¾¼¼½ ¾¼¼ º Â Ö ÙØ ½ ÙØ ¾ ÈÖ Å Ò ÈÖ Å Ò ¾¼¼½ ¾ ¾¼¼¾ ½ ½¼ ¾¼¼ ½ ½¼ µ Ö Ò Ò Ë ÈÖ Ò Ò Ä Ô ÝÖ ÙÒ Ò È Ö Â Ö ¾¼¼½ ¾¼¼ º Ð Ô Ö Ó Ú ÖÛ Ò Ò Ë µ ¾¼¼½ ÙÒ µ ¾¼¼¾º µ Ö Ò Ò Ë Å Ò Ò Ò Ò Ä Ô ÝÖ ÙÒ Ò Ò Ò È Ö Â Ö ¾¼¼½ ¾¼¼ º Ï Ð Ò Ë ÞÙ Ò Öº µ Î Ö ØØ Ò Ë Ò Ò ÈÖ Ò Ü Ù µ Ñ Ø Ö ¾¼¼½ Ñ Ø Ñ ÁÒ Ü Ð Ö ÃÓÒ ØÖÙ Ø ÓÒ Ö Ñ Ø Ñ Ö ¾¼¼¾º Î Ö Ð Ò Ë ÒØÛ ÐÙÒ Ö ÒÞ ÐÒ Ò ÁÒ Þ Ñ Ø Ñ Ú Ö Ø ØØ Òº

ØÖ Ò Ò ÐÝ ÈÖÓ ÒÓ ¾ º ËØ ÖØ Ò Ë Ê Ð Ò Ë Ø Ò Ù elec.dat Ö Ø Ò Ë Ø Ò Ú Ù ÐÐ Ù º ÁÒØ ÖÔÖ Ø Ö Ò Ë ØÖ ÒÔÐÓØ º ʹ Ð read.table ts print plotº Ø Ò Ò Ë Ù Ö ÀÓÑ Ô Ö Ä ÖÚ Ö Ò Ø ÐØÙÒ http://statmath.wu-wien.ac.at/courses/mmwi-finmath/aufbaukurs/º À ÒÛ Ë Ù Ò Ë Ò ÁÒ ÐØ Ö Ø elec.dat ÞÙ Ö Ø Ò ÚÓÖ Ë Ø ÒÐ Òº ¾ º Ï Ù ¾ Ñ Ø Ò Ø Ò Ù bricksq.dat prodc.dat ÙÒ ustreas.datº

Ö ÙÒ ÚÓÒ ØÖ Ò ¼º ØÖ Ø Ò Ë Ò Ö ÐÑ Ë ÒÙ ¹Ë Û Ò ÙÒ Ñ Ø Ò Ö Ý ÐÙ ÐÒ ÚÓÒ ½ ÅÓÒ Ø Ò ÙÒ ØÖ Ò Ù Ö Ø ÅÓÒ Ø Ù º ÆÙÒ Ø Ø Ò Ë Ë Û Ò ÙÒ Ñ Ø Ò Ö È Ö Ó ÒÐÒ ÚÓÒ Ò Ñ Â Ö ½¾ ÅÓÒ Ø µ º Ö¹ Ò Ø Ò Ò Ö Ö Ý ÐÙ Ò Ö Â Ö Ö Ñ Ø Ò Ö ÄÒ ÚÓÒ Â Ö Òº Ò Ë Ò Ë Ú Ö ÐØ Ò Ò Ò Ö Ö Ô º ½º Ò Ë Ò Ø Ö ÖÖ ÙÐÖ ÃÓÑÔÓÒ ÒØ Ò Ò Ð Ò Ö Ò ÌÖ Ò ÙÒ Ø¹ Ö Ñ Ò ÒÒº Ö Ø ÐÐ Ò Ë ÞÙ Ò Ê Ò Ò ØÐ ØÖ Ñ ØØ Ð z <- ts((1:5)*.1 + 1*rnorm(5))º rnorm ÖÞ Ù Ø Ø Ò Ö ¹ÒÓÖÑ ÐÚ ÖØ ÐØ Ù ÐÐ Ú Ö Ð º Ï Ô ÖØ ËØ Ò Ö Û ÙÒ Ò Ö ÖÖ ÙÐÖ Ò ÃÓÑÔÓÒ ÒØ ÚÓÒ ¼º¼½ ¼º½ ¼º ½ ¾ Ó Ö ½¼ ¾º ÍÒØ Ö Ù Ò Ë À ØÓ Ö ÑÑ ÚÓÒ Ö Ö Ö Ú ÖÛ Ò Ø Ò Ê Òº Î ÖÛ Ò Ò Ë Ê¹ ÙÒ Ø ÓÒ histºµ º ÖÞ Ù Ò Ë Ö Ø Ò Ù beer2.dat ËØÖ Ù Ö ÑÑ ØØ Ö ÔÐÓص y t 1 y t ÙÒ y t 12 y t º ÃÓÑÑ ÒØ Ö Ò Ë Ö Ò º Î ÖÛ Ò Ò Ë Ê¹ ÙÒ Ø Ó lag.plot Ñ Ø Ñ ÓÔØ ÓÒ Ð Ò Ö ÙÑ ÒØ set.lags=1 ÞÛº set.lags=12ºµ º Ö Ò Ò Ë ÙØÓ ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ó Þ ÒØ Ò Ö Ø Ö Ú ÖØ Ö ÙÒ Ò Ø Ö ÇÖ ¹ ÒÙÒ Ö t 1 2 3 4 5 y t 1 1 1 1 º ÖÞ Ù Ò Ë ÃÓÖÖ ÐÓ Ö ÑÑ Ö Ø Ò Ù beer2.dat elec.dat ÙÒ ÓÛ Ò ÄÓ Ö Ø ÑÙ ÙÒ Ö ÒÞ Ò Ö ÙÑ ÞÛ Ð ÅÓÒ Ø Ú Ö Ó Ò Ò ÐÓ Ö Ø Ñ ÖØ Ò Ø Ò Ù elec.datº Ò ÐÓ Ö Ø Ò fscom Ù Ö Ø sp5.datº ÃÓÑÑ ÒØ Ö Ò Ë Ö Ò Ù Ò À Ò Ð Ù ËØ Ø ÓÒ Ö ØØ ÞÛº Æ Ø Ø Ø ÓÒ Ö ØØ Ö Ê Ò ÞÛº ØÖ Ò ÓÖÑ ÖØ Ò Ê Òº ÃÓÑÑ ÒØ Ö Ò Ë Ö Ô Ò ÙÒ ÃÓÖÖ ÐÓ Ö ÑѺ Î ÖÛ Ò Ò Ë R¹ ÙÒ Ø ÓÒ acf Ö ÙØÓ ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ ÙÒ Ø ÓÒ ÙÒ lag Ö Ú Ö Ò Ö ØÖ º Ö ÒÞ Ö ÙÑ ½¾ ÅÓÒ Ø Ú Ö Ó Ò Ò ÐÓ Ö Ø Ñ ÖØ Ò Ø Ò Ö ÐØ Ò Ë Ñ Ø log(elec)-log(lag(elec,12))ºµ º ÖÞ Ù Ò Ë Ñ Ö Ö Ê Ð Ø ÓÒ Ò Ò Ï Ø ÆÓ ÈÖÓÞ Ñ ØØ Ð wn <- rnorm(1)µ ÙÒ Ö Ò Ò Ë ÃÓÖÖ ÐÓ Ö ÑÑ º Ö Ò Ë Ö¹ Ò Ù Ò À Ò Ð Ù ËØ Ø ÓÒ Ö ØØ ÞÛº Æ Ø Ø Ø ÓÒ Ö ØØ Ö Ê Òº ÃÓÑÑ ÒØ Ö Ò Ë Ö Ô Ò ÙÒ ÃÓÖÖ ÐÓ Ö ÑѺ º Ï Ð Ò Ë Ö elec.dat ÙÒ Ò Ö Ê Ö Ö Ï Ð Ò Ò Ø Ú Ö ÒÞ¹ Ø Ð Ö Ò ÌÖ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒº À ÒÛ Ö elec.dat Ø Ö ÄÓ Ö Ø ÑÙ Ò Ø ÌÖ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ log(elec) - log(lag(elec,12)) Ò ÓÒ Ø ÒØ Î Ö ÒÞ ÙÑ ÞÛ Ö Ø Ò µ Å ØØ Ð Ù Û Øº

Ë ÓÒ Ö Ò ÙÒ ÙÒ ÐØØÙÒ º Ò Ë Ö Ø ÐÐÙÒ ÙÒ Û Ø Ò Ü Å Òº º Ò Ò ÓÐ Ò Ò À Ð Ö Ø Ò ¾ ½½ ½½½ ½ ½¾ ½ ½ ¼ ½ ½ ¾¼ ½ ¾ ¾½ º µ ÐØØ Ò Ë Ê Ñ ØØ Ð 2 2 Å º µ ÐØØ Ò Ë Ê Ò Ñ Û Ø Ø Ò Å Ñ Ø Ò Û Ø Ò 1/4 1/2 1/4º Î Ö Ð Ò Ë Ö Ò Ñ Ø µº µ Ð Ñ Ò Ö Ò Ë Ò ÌÖ Ò º µ Ö Ò Ò Ë ÓÒ Ð Ò ÁÒ Þ º µ Ö Ò Ò Ë ÖÖ ÙÐÖ ÃÓÑÔÓÒ ÒØ Î ÖÛ Ò Ò Ë Ø Ú ÖÐ ÙÒ ºµ ¼º Ö Ò Ò Ë Ò Å ¾Ü ÙÒ Ò Å ¾Ü½¾ Ö ËÈ ¼¼ Ê Ù nelplosser.datµº Î Ö Ð Ò Ë Ò ÌÖ Ò ¹ Ý ÐÙ Ê Ò Ñ Ø Ö ÙÖ ÔÖ Ò Ð Òº ½º Ö Ò Ò Ë Ù ØÖ Ð Ò Ö ÓÒ ÙÑÖ beer2 ÙÑ Ë ÓÒº Ï Ð ÅÓ ÐÐ Ú ÖÛ Ò Ò Ë Ø Ú Ó Ö ÑÙÐØ ÔÐ Ø Ú Ò ÌÖ Ò ¹ Ý ÐÙ ÃÓÑÔÓÒ ÒØ Òº ËØ ÐÐ Ò Ë ÓÒ Ö Ò Ø Ê Ö Ô Ö ÙÒ Ú Ö Ð Ò Ë Ñ Ø Ñ ÌÖ Ò ¹ Ý ÐÙ Î ÖÐ Ù º Î ÖÛ Ò Ò Ë Ê¹ ÙÒ Ø ÓÒ decomposeºµ ¾º Ï Ù ½ Ö Ð ØÖ Þ ØØ ÔÖÓ Ù Ø ÓÒ Ò Ù ØÖ Ð Ò elec.datµº º ÐØØ Ò Ë Ò Ò ÒÞÖ Ö Ö Ï Ð Ñ Ø Ë Ëº Î ÖÛ Ò Ò Ë µ Ð Ø Û ÐØ α ÒÑ Ð Ð Ò ÙÒ ÒÑ Ð ÖÓµ ÙÒ µ ÓÔØ Ñ Ð α ÚÓÒ Ê Ò Ø Øº Î Ö Ð Ò Ë Ö Ô Ò Î ÖÛ Ò Ò Ë Ê¹ ÙÒ Ø ÓÒ HoltWinters Ñ Ø beta= ÙÒ gamma=ºµ º Î ÖÛ Ò Ò Ë Ø Ú Î Ö Ö Ò ÚÓÒ ÀÓÐØ Ö µ Ù ØÖ Ð Ö ÓÒ ÙÑÖ µ ËÈ ¼¼ µ Ð ØÖ Þ ØØ ÔÖÓ Ù Ø ÓÒ Ò Ù ØÖ Ð Òº Î Ö Ð Ò Ë ØÞØ Ò È Ö Ñ Ø ÖÛ ÖØ º Î Ö Ð Ò Ë Ú Ù ÐÐ ÒÔ ÙÒ Ò Ö Ë ØÞÔ Ö Ó º Á Ø ÈÖÓ ÒÓ Î Ö Ö Ò ÔÐ Ù Ð Î ÖÛ Ò Ò Ë Ê¹ ÙÒ Ø ÓÒ HoltWinters Ñ Ø gamma=ºµ º Î ÖÛ Ò Ò Ë Ø Ú Î Ö Ö Ò ÚÓÒ ÀÓÐØ¹Ï ÒØ Ö Ö µ Ù ØÖ Ð Ö ÓÒ ÙÑÖ µ ËÈ ¼¼ µ Ð ØÖ Þ ØØ ÔÖÓ Ù Ø ÓÒ Ò Ù ØÖ Ð Òº

Ï Ù º Î ÖÛ Ò Ò Ë Ê¹ ÙÒ Ø ÓÒ HoltWintersºµ º Î ÖÛ Ò Ò Ë ÑÙÐØ ÔÐ Ø Ú Î Ö Ö Ò ÚÓÒ ÀÓÐØ¹Ï ÒØ Ö Ö µ Ù ØÖ Ð Ö ÓÒ ÙÑÖ µ ËÈ ¼¼ µ Ð ØÖ Þ ØØ ÔÖÓ Ù Ø ÓÒ Ò Ù ØÖ Ð Òº Ï Ù º Î ÖÛ Ò Ò Ë Ê¹ ÙÒ Ø ÓÒ HoltWintersºµ º Ï Ð Î Ö Ö Ò Ø Ö Û Ð Ê Ù Ò Ù Ò ÙÒ Ñ Ø Ò Ò Ø º Î ÖÛ Ò Ò Ë ÑÙÐØ ÔÐ Ø Ú Î Ö Ö Ò ÚÓÒ ÀÓÐØ¹Ï ÒØ Ö Ö ÈÖÓ ÒÓ Ö Ò Ø Â Ö Ö µ Ù ØÖ Ð Ö ÓÒ ÙÑÖ µ ËÈ ¼¼ µ Ð ØÖ Þ ØØ ÔÖÓ Ù Ø ÓÒ Ò Ù ØÖ Ð Òº Ø Ò Ë Ù ÒÞ Ð Ö È Ö Ó Ò ÔÖÓ Â Öº Î ÖÛ Ò Ò Ë Ê¹ ÙÒ Ø ÓÒ HoltWinters Ò Î Ö Ò ÙÒ Ñ Ø predictºµ

½¼ ËØÓ Ø ÅÓ ÐÐ º µ Ò Ø Ò Ø Ò Ö ÒÓÖÑ ÐÚ ÖØ ÐØ Ù ÐÐ Ú Ö Ð Z Z N(, 1)º Ö Ò Ò Ë ÖÛ ÖØÙÒ Û ÖØ ÙÒ Î Ö ÒÞ ÚÓÒ X =.1 +.2Zº µ ËØ Ò Ö Ö Ò Ë Ù ÐÐ Ú Ö Ð Y Ñ Ø ÖÛ ÖØÙÒ Û ÖØ (Y) =.1 ÙÒ Î Ö ÒÞ Î(Y) =.4º Ò Ë ÖÛ ÖØÙÒ Û ÖØ ÙÒ Î Ö ÒÞ Ö Ø Ò Ö ÖØ Ò Ù ÐÐ Ú Ö Ð Òº ¼º Ê Ò Ø R Ò Ö Ø ØÞ Ö Ø µ =.1 ÙÒ ÎÓÐ Ø Ð ØØ σ =.2º Ò Ë µ ØÓ Ø Ö ÒØ Ð Ð ÙÒ Ö Ò ÃÙÖ S Ö Ø Ò µ Ò ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ö ÖÛ ÖØ Ø À Ð Ö Ö Ò Ø ÙÒ ÞÙ Ö ËØ Ò Ö Û ÙÒ Ò µ Ò ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ö ÖÛ ÖØ Ø Û Ö Ö Ò Ø ÙÒ ÞÙ Ö ËØ Ò Ö Û ÙÒ Òº ½º Ò Ò ÒØ Ú ÖØ ÐØ ÙÒ ÙÒ ÓÖÖ Ð ÖØ Ù ÐÐ Ú Ö Ð ǫ i N(, σ 2 ) i = 1,..., nº Ò ÓÐ ÚÓÒ Ù ÐÐ Ú Ö Ð Ò X k Ò ÖØ Ð X k = X + ÛÓ X Ò Ø Ð Ø Ò Ù ÐÐ Ú Ö Ð µº Ö Ò Ò Ë ÖÛ ÖØÙÒ Û ÖØ Î Ö ÒÞ ÙÒ ËØ Ò Ö Û ÙÒ ÚÓÒ µ X µ X 1 µ X 2 µ X 3 µ X k º ¾º Ö ÈÖÓÞ Ò Ù ½ Ø Ê Ò ÓÑ Ï Ð Ò Ö Ø Ö Øµ ÙÒ ØÞØ Ê ÙÖ ÓÒ Ö Ø ÐÐÙÒ X t = X t 1 + ǫ t. Ò Ë ÖÛ ÖØÙÒ Û ÖØ Î Ö ÒÞ ÙÒ Î ÖØ ÐÙÒ Ö Ö ÒÞ Òº k i=1 ǫ i X t X t 1 = ǫ t º ËØ ÖØ Ò Ë Ñ Ø S ÙÒ Ö Ò Ë Ñ Ø Ö ÓÐ Ò Ò Ê Ð ÞÛ Ø Ú Ò Ö ¹ ÖÙÒ Ö ØØ Ö Ò ÃÙÖ Ô S ÙÖ º º S S 1 ÙÒ S 1 S 2 º Î ÖÛ Ò Ò Ë S i+1 = S i (1 + µδt + σ δtz i ), S = 1 µ =.1 σ =.5 ÙÒ δt = 1 5 Z N(, 1)µº Ö Ò Ò Ë ÖÛ Ö¹ ØÙÒ Û ÖØ Î Ö ÒÞ ÙÒ ËØ Ò Ö Û ÙÒ ÚÓÒ S 1 ÙÒ S 2 º º Ò Ë Î ÖØ ÐÙÒ ÚÓÒ ds S Ò µ ds =.2Sdt µ ds =.1Sdt +.2SdW µ ds = SdWº º Î Ö Ð Ò Ë Ä ÙÒ Ò Ö S µ ds =.1Sdt µ ds =.1Sdt +.1SdWº Ò Ë Î ÖØ ÐÙÒ ÚÓÒ ÐÓ (S) Òº

½½ ËØÓ Ø ÁÒØ Ö Ð º Ë W(t) Ò Ï Ò Ö ÈÖÓÞ Ñ ÁÒØ ÖÚ ÐÐ [, T] Ñ Ø ÒÒØ Ñ Ò Ò Û Öغ µ Ï Ò W() W(T/4) ÙÒ W(T) Ú ÖØ ÐØ µ Ï Ò ÖØ Î ÖØ ÐÙÒ ÚÓÒ W(T) Û ÒÒ Ö Ø W(T/2) = ÒÒØ Ø Ï Ð ÙØ Ò Ò Ø Ò Î ÖØ ÐÙÒ Ò ÚÓÒ W(T) {W(T/2) = } ÙÒ W(T) {W(T/2) = 1}º µ Ï Ò ÖØ Î ÖØ ÐÙÒ ÚÓÒ W(T) Û ÒÒ Ö Ø W(T/2) = w 1/2 ¹ ÒÒØ Ø Ï Ð ÙØ Ø Ò Ø Î ÖØ ÐÙÒ ÚÓÒ W(T) {W(T/2) = w 1/2 } µ Ï Ò ÖØ Î ÖØ ÐÙÒ ÚÓÒ W(T) Û ÒÒ Ù Ö W(T/2) = w 1/2 Ù ÒÓ W(T/8) = w 1/8 W(T/4) = w 1/4 ÙÒ W(3T/8) = w 3/8 ÒÒØ Ò Ï Ð ÙØ Ø Ò Ø Î ÖØ ÐÙÒ ÚÓÒ W(T) {W(T/8) = w 1/8, W(T/4) = w 1/4, W(3T/8) = w 3/8, W(T/2) = w 1/2 } µ Ï Ø Ò µ Ó Ø Ø Ò Ø º Ï Ù Ö Ñ Ø Ò Ö ÖÓÛÒ Ò Û ÙÒ X(t) = µt + σw(t) Ñ ÁÒØ ÖÚ ÐÐ [, T] Ñ Ø ÒÒØ Ñ Ò Ò Û Öغ º Ë W(t) Ò Ï Ò Ö ÈÖÓÞ Ñ ÁÒØ ÖÚ ÐÐ [, T]º Ö Ò Ò Ë Î ÖØ ÐÙÒ¹ Ò Ö ÓÐ Ò Ò Ù ÐÐ Ú Ö Ð Ò Ñ ØØ Ð Ö ÒÞÛ ÖØ Ö Ê Ñ ÒÒ¹ËÙÑÑ Ò Ö ØÓ Ø Ò ÁÒØ Ö Ð º T T T T µ dw(t) µ t dw(t) µ t 2 dw(t) µ t dw(t) Ï Ð ÙØ Ø Ö Ò ÐÐ Ñ Ò Ø Ø ÙÒ Ø ÓÒ f [, T] R Î ÖØ ÐÙÒ ÚÓÒ µ T f(t)dw(t) ÅÙ ÞÙÖ Ö ÒÙÒ Ö Î ÖØ ÐÙÒ Ò Ö Ò Ò Û ÖØ W() Ï Ò Ö ÈÖÓÞ W(t) ÒÒØ Ò Ï ÒÒ Û Ð Ò Ë Ò Ò Ò Ø Ò Ï Öغ À ÒÛ ÔÔÖÓÜ Ñ Ö Ò Ë ØÓ Ø ÁÒØ Ö Ð ÙÖ ÒØ ÔÖ Ò Ê Ñ ÒÒ¹ËÙÑÑ º Î ÖÛ Ò Ò Ë Ò Ø Ò Ï Ò Ö ÈÖÓÞ ÙÒ Ê ÒÖ ÐÒ Ö ÖÛ ÖØÙÒ Û ÖØ ÙÒ Î Ö ÒÞ ÙÒ Ú Ö Ò Ë Ò Ø Ù ÅÓ ÐÐ ÒÒ Ñ Ï Ò Ö ÈÖÓÞ Ò Ò ÖÙÒ Ò ØÓ Ø ÙÒ Ò Ò µº Ò Þ ÒØÖ Ð ÊÓÐ Ô ÐØ Ù Ê ÔÖÓ Ù Ø ÓÒ Ò Ø Ö ÆÓÖÑ ÐÚ ÖØ ÐÙÒ ËÙÑÑ ÚÓÒ ÒÓÖÑ ÐÚ ÖØ ÐØ Ö Ù ÐÐ Ú Ö Ð Ò Ø Û Ö ÒÓÖÑ ÐÚ ÖØ Ðصº º Ï Ù Ö Ñ Ø Ò Ö ÖÓÛÒ Ò Û ÙÒ X(t) = µt + σw(t)º ¼º Ë W(t) Ò Ï Ò Ö ÈÖÓÞ º Ò Ë µ 5W 3t µ W 2 + 2W + 1 µ.1t +.3tW µ ÜÔ(W) µ ÜÔ(3tW) µ Ò(W) Ñ Ø À Ð ÚÓÒ Áس Ä ÑÑ Ð ØÓ Ø ÁÒØ Ö Ð Òº ½º Ï Ù ¼ Ö Ñ Ø Ò Ö ÖÓÛÒ Ò Û ÙÒ X(t) = µt + σw(t)º ¾º Ë dx(t) = 2Xdt + 4XdW Ò ØÓ Ø Ö ÈÖÓÞ º Ö Ò Ò Ë ÐÓ (X)º Ï Ð ÙØ Ø Î ÖØ ÐÙÒ Ö Ù ÐÐ Ú Ö Ð

½¾ Ð ¹Ë ÓÐ ÓÖÑ Ð º Ö Ò Ò Ë Ï ÖØ Ò Ö ÙÖÓÔ Ò ÐйÇÔØ ÓÒ Ñ Ø Ù ÙÒ ÔÖ Ò ÚÓÒ e ½¼¼eÙÒ ½¼ eùò ÐÐ Ø Þ ØÔÙÒ Ø ½º Å Ò Ñ Ð ¹ Ë ÓÐ ºÅÓ Ðк Ö Ö Ó Ö Ò ØÞ ØÖ Ø r = 1 ± ÎÓÐ Ø Ð ØØ ÞÙ ÖÙÒ Ð Ò Ò È Ô Ö ØÖ Ø σ = 15 ±º À ÙØ Ö ½º ÔÖ Ð ÙÒ Ö ÈÖ È Ô Ö ØÖ Ø eº Ö Ò Ë Ö ÒÙÒ Ù Ö σ = 2± ÙÒ Ö Ò ÇÔØ ÓÒ Ñ Ø ÐÐ ¹ Ø Þ ØÔÙÒ Ø ½º ÂÙÒ ÙÖ º Ï Ó Ø Ò Ë

Ä ÙÒ Ò ½º 6 5 1 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 6 4 3 2 1 U = 1 U = 2 1 2 3 4 5 6 ¾º Ð ØÙÒ Ò µ µ µ µ µ f x 1 y 2x 2xy 2 α x α 1 y β f y 1 x 2y 2x 2 y β x α y β 1 f xx 2 2y 2 α(α 1)x α 2 y β f xy = f yx 1 4xy α β x α 1 y β 1 f yy 2 2x 2 β(β 1)x α y β 2 Ð ØÙÒ Ò Ò Ö ËØ ÐÐ (1, 1) µ µ µ µ µ f x 1 1 2 2 α f y 1 1 2 2 β f xx 2 2 α(α 1) f xy = f yx 1 4 α β f yy 2 2 β(β 1) º µ Ø Ø ÓÒÖ Ö ÈÙÒ Ø Ü = (, ) À f = ( 2 1 1 2 M 2 = 5 < Ü Ø Ë ØØ ÐÔÙÒ Øº ( ) e 3 µ Ø Ø ÓÒÖ Ö ÈÙÒ Ø Ü = (e, ) À f (Ü ) = 2 M 1 = e 3 < M 2 = 2e 3 > Ü Ø ÐÓ Ð ( Å Ü ÑÙѺ ) 82 4 µ Ø Ø ÓÒÖ Ö ÈÙÒ Ø Ü = (1, 1) À f (Ü ) = 4 2 ½ )

Ä ÙÒ Ò ½ M 1 = 82 > M 2 = 4 > Ü Ø ÐÓ Ð Å Ò ÑÙѺ ( ) e x 1 º Ø Ø ÓÒÖ Ö ÈÙÒ Ø Ü = (ÐÒ(3), ÐÒ(4)) À f = e x 2 À ÙÔØÑ ÒÓÖ Ò M 1 = e x 1 < M 2 = e x1 e x 2 > Ö ÐÐ (x 1, x 2 ) ÐÓ Ð ÙÒ ÐÓ Ð Å Ü ÑÙÑ Ò Ü = (ÐÒ(3), ÐÒ(4))º º Ø Ø ÓÒÖ ÈÙÒ Ø Ü 1 = (,, ) Ü 2 = (1,, ) Ü 3 = ( 1,, ) À f = 6x 1x 2 3x 2 1 1 3x 2 1 1 2 À ÙÔØÑ ÒÓÖ Ò Ö Ø Ø ÓÒÖ ÈÙÒ Ø M 1 = 6x 1 x 2 = M 2 = (3x 2 1 1)2 < x 1 {, 1, 1}µ M 3 = 2(3x 2 1 1)2 < ÐÐ Ö Ø Ø ÓÒÖ Ò ÈÙÒ Ø Ò Ë ØØ ÐÔÙÒ Ø º º ÞÙ ÓÔØ Ñ Ö Ò Û ÒÒ ÙÒ Ø ÓÒ Ð ÙØ Ø G(q 1, q 2, q 3 ) = R C = q 1 (63 4q 1 ) + q 2 (15 5q 2 ) + q 3 (75 6q 3 ) (2 + 15(q 1 + q 2 + q 3 )) = 48q 1 4q 2 1 + 9q 2 5q 2 2 + 6q 3 6q 2 3 2 Ø Ø ÓÒÖ Ö ÈÙÒ Ø Õ = (q 1, q 2, q 3 ) = (6, 9, 5) À G = 8 1 M 1 = 8 < 12 M 2 = 8 > M 3 = 96 < G Ø ÓÒ Ú Õ Ø ÐÓ Ð Å Ü ÑÙѺ ÓÔØ Ñ Ð ÑØÔÖÓ Ù Ø ÓÒ q opt = q 1 + q 2 + q 3 = 6 + 9 + 5 = 2 ÍÑ ØÞ R 1 = p 1 q 1 = (63 4q 1 )q 1 = 36 6 = 234 R 2 = 54 R 3 = 225º º o 4 3 2 ÐÓ Ð Å Ü ÑÙÑ Ò (2, 1) ÐÓ Ð Å Ò ÑÙÑ Ò (3, )º o 1-1 1 2 3 4-1 µ Ä Ö Ò ÙÒ Ø ÓÒ L(x, y; λ) = x 2 y λ(x + y 3) Ø Ø ÓÒÖ ÈÙÒ Ø Ü 1 = (2, 1; 4) ÙÒ Ü 2 = (, 3; ) µ ÖÒ ÖØ À ¹Å ØÖ Ü À 1 1 = 1 2y 2x 1 2x 1 1 À(Ü 1 ) = 1 2 4 Ø( À(Ü 1 )) = 6 >, Ü 1 Ø Ò ÐÓ Ð Å Ü ÑÙÑ 1 4 1 1 À(Ü 2 ) = 1 6 Ø( À(Ü 2 )) = 6 Ü 2 Ø Ò ÐÓ Ð Å Ò ÑÙѺ 1 º Ø Ø ÓÒÖ ÈÙÒ Ø x 1 = 1 2 x 2 = 2 λ = 4º º µ (Z) = 8 Î(Z) = 1 µ (Z) = 4 Î(Z) = 4 µ (Z) = 2 Î(Z) = 4º ½¼º ( T t=1 Z t) = Î( T t=1 Z t) = Tσ 2 º ½½º ( T t=1 Z t) =.5T Î( T t=1 Z t) = Tσ 2 º ½¾º µ ÓÖÖ(X, Y) =.5 µ µ (Z) = 8 Î(Z) = 14 µ (Z) = 4 Î(Z) = 6 µ (Z) = 2 Î(Z) = 2 º

Ä ÙÒ Ò ½ ½ º µ ½µ 2 ¾µ µ 2 µ µ ½µ 2 ¾µ 1 µ 18 µ ½µ ¾µ 4 µ 8 µ ½µ 8 ¾µ 4 µ º ½ º µ ½µ 8 ¾µ µ 8 µ µ ½µ 12 4 8 ¾µ 12 µ 12 + 4 8 µ ½µ 6 2 8 ¾µ 6 µ 6 + 2 8 µ ½µ 6 + 2 8 ¾µ 6 µ 6 2 8º ½ º µ ÓÖÖ(R 1, R 2 ) =.833333 ÓÖÖ(R 1, R 3 ) =.133333 ÓÖÖ(R 2, R 3 ) =.15 ÓÖÖ(R 1, R 1 ) = 1.9.1.2 µ Σ =.1.16.3.2.3.25 1.833333.133333 µ.833333 1.15 =.133333.15 1 1.9 1.16 1.25 µ Î(α 1 R 1 + α 2 R 2 + (1 α 1 α 2 )R 3 ) = (α 1, α 2, (1 α 1 α 2 )) ½ º α 1 =.652174 α 2 =.347826º ½ º α 1 =.43223 α 2 =.533898º ¾ º ¾ º ¼º.9.1.2.1.16.3.2.3.25.9.1.2.1.16.3.2.3.25 1.9 α 1 α 2 1 α 1 α 2 1.16 1.25 º Ò 3 5 Å Ø Ò Å ÚÓÒ Å 1/3(1/5(Y t 3 +Y t 2 +Y t 1 +Y t +Y t+1 )+ 1/5(Y t 2 + Y t 1 + Y t + Y t+1 + Y t+2 ) + 1/5(Y t 1 + Y t + Y t+1 + Y t+2 + Y t+3 )) Û Ø (1, 2, 3, 3, 3, 2, 1)/15 º µ Æ ½¼ º ½½ º ¼ ½¾ º¾ ½ º ½ º ¼ ½ º¾ ½ º ½ º¼¼ ½ ¼º ½ º ¼ Æ µ ÒØ ÞÙ µ µ Æ º¾ ¹ º ¼ º ¹ º º ¼ ¹ º¾ º¾ ¹½¾º¼¼ ½ º¾ ¹½ º ¼ Æ µ ¹½¼º ½¼º µ Æ ¹½º½ ¾º ¹½º ¼º ¹¼º ¾º½ ¹¾º½ ¹½º º ¹ º½ Æ º º µ (X) =.1 Î(X) =.4 µ Z = (Y.1)/.2 (Z) = (X) = 1º ¼º µ ds =.1Sdt+.2SdW µ ÖÛ ÖØÙÒ Û ÖØ.1.5 = 5 ± ËØ Ò Ö Û ¹ ÙÒ.2.5 = 14.14 ± µ ÖÛ ÖØÙÒ Û ÖØ.1 2 = 2 ± ËØ Ò Ö Û ¹ ÙÒ.2 2 = 28.28 ± ½º µ (X ) = X Î(X ) = σ X = µ (X 1 ) = X Î(X 1 ) = σ 2 σ X1 = σ µ (X 2 ) = X Î(X 2 ) = 2σ 2 σ X2 = 2σ µ (X 3 ) = X Î(X 3 ) = 3σ 2 σ X3 = 3σ µ (X k ) = X Î(X k ) = kσ 2 σ Xk = kσº ¾º ǫ t N(, σ 2 )º º S 1 (S 1 ) = 1.2 Î(S 1 ) =.5 σ S1 =.5 S 2 (S 2 ) = 1.4 Î(S 2 ) Å=1 σ S2 Å=1 Ò Ö Ø Ö Æ ÖÙÒ µº º µ.2dt µ N(.1dt,.4dt) µ N(, dt)º º µ ÐÓ (S) = log(s ) +.1T µ ÐÓ (S) N(log(S ) +.95T,.1T)º

Ä ÙÒ Ò ½ º µ W(T) N(, T) º µ X(T) N(µT, σ 2 T) º Ñ Ø Ì ÐÐ Ö S = 1 E = 95 r =.1 σ =.15 ÙÒ T t = 1/12 V = 13.34