f : N R a 1 = = 2 a 2 = = 1 a 3 = = 6 a 4 = = 13 a 5 = = 22

Transkript

1 Å Ø Ñ Ø º Ë Ñ Ø Ö

2 ÁÆÀ ÄÌËÎ Ê Á ÀÆÁË ½ ÁÒ ÐØ Ú ÖÞ Ò ½ ÓÐ Ò Ä ½º½ Ö Ö Ö ÓÐ ½Ä º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º¾ ÜÔÐ Þ Ø ÙÒ Ö ÙÖ Ú Ö ÙÒ ÚÓÒ ÓÐ Ò Ä º º º º º º º º º ½º ËÙÑÑ Ò¹ ÙÒ ÈÖÓ Ù ØÞ Ò ¾Ä º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾ Ö Ø Ñ Ø ÓÐ Ò ÙÒ Ê Ò Ä ½ ¾º½ Ê ÙÖ Ú Ö ÙÒ Ö Ö Ø Ñ Ø Ò ÓÐ ¼Ä º º º º º º º º º ½ ¾º¾ ÜÔÐ Þ Ø Ö ÙÒ Ö Ö Ø Ñ Ø Ò ÓÐ ¾Ä º º º º º º º º º º ½ ¾º Ö Ø Ñ Ø Ê Ò ¾Ä º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ÓÑ ØÖ ÓÐ Ò ÙÒ Ê Ò Ä ¾ º½ Ê ÙÖ Ú Ö ÙÒ Ö ÓÑ ØÖ Ò ÓÐ ¼Ä º º º º º º º º º ¾ º¾ ÜÔÐ Þ Ø Ö ÙÒ Ö ÓÑ ØÖ Ò ÓÐ ¾Ä º º º º º º º º º º ¾ º ÓÑ ØÖ Ê Ò ¾Ä º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ï Ö ÒÐ Ø Ö ÒÙÒ Ì Ð ½ ½¾Äµ º½ Ï Ö ÒÐ Ø ÖÙÑ ¾Ä º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º½º½ Ð Ñ ÒØ Ö Ö Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º½º¾ Ò Ø ÓÒ Ï Ö ÒÐ Ø Ö ÙÑ º º º º º º º º º º º º º¾ Å Ö ØÙ Ù ÐÐ ÜÔ Ö Ñ ÒØ ¾Ä º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º¾º½ Ô Ð Ò ÞÛ ØÙ ÜÔ Ö Ñ ÒØ º º º º º º º º º º º º º ¾ º¾º¾ ÙÑ Ö ÑÑ Ö Û ÐÐ µ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ò Ö Ò ¾Ä º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÒÓÑ Ð Ó Þ ÒØ Ò Ä º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º ÖÒÓÙÐÐ ¹Ã ØØ Ò ¾Ä º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼ Ö ÒÞÛ ÖØ ÚÓÒ ÓÐ Ò ÙÒ Ê Ò ½½Ä º½ Ò Ø ÓÒ Ö ÒÞÛ ÖØ ¾Ä º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾ ÃÓÒÚ Ö ÒÞ ÙÒ Ú Ö ÒÞ Ä º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ö ÒÞÛ ÖØ ØÞ ½Ä º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÃÓÒ ØÖÙ Ø ÓÒ ÚÓÒ ÓÐ Ò ½Ä º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÓÑ ØÖ Ê Ò ¾Ä º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º ÓÑ ØÖ Ê Ò Ò Ö ÓÑ ØÖ ¾Ä º º º º º º º º º º º º º º º Ö ÒÞÛ ÖØ ÙÒ Ø ÓÒ Ò Ä º½ Ö ÒÞÛ ÖØ Ö x ± ¾Ä º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾ Ö ÒÞÛ ÖØ Ö x x 0 R ¾Ä º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ËØ Ø Ø ¾Ä º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ò ÖÙÒ Ò Ö ÒØ ÐÖ ÒÙÒ ½ Ä ½¼ º½ Ò Ø ÓÒ Ö Ð ØÙÒ Ä º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ º¾ Ð ØÙÒ Ð Ñ ÒØ Ö Ö ÙÒ Ø ÓÒ Ò ¾Ä º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ º ËÙÑÑ Ò¹ ÙÒ ØÓÖÖ Ð ½Ä º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½½ º ÒÛ Ò ÙÒ Ò Ä º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½ º ÓÑ ØÖ ÙØÙÒ Ö Ö ÒÞ Ö Ö Ø ¾Ä º º º º º º º º º º ½½ º À Ö Ð ØÙÒ Ò ¾Ä º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¾ º Ô Ð Ò Ö È Ý Ã Ò Ñ Ø µ ½Ä º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¾ º ÈÖÓ Ù Ø¹ ÙÒ ÉÙÓØ ÒØ ÒÖ Ð ¾Ä º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½

3 ÁÆÀ ÄÌËÎ Ê Á ÀÆÁË ¾ Ï Ö ÒÐ Ø Ö ÒÙÒ Ì Ð ¾ ½ º½ Ù ÐÐ Ö Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º½º½ Ò Ø ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º½º¾ Î ÖØ ÐÙÒ Ò Ö Ù ÐÐ Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º¾ ÖÛ ÖØÙÒ Û ÖØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¼ º Î Ö ÒÞ ÙÒ ËØ Ò Ö Û ÙÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½

4 ½ ÇÄ Æ Ä ½ ½º½ ÓÐ Ò Ä Ö Ö Ö ÓÐ ½Ä Ò ÓÐ Ø Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ñ Ø Ñ Ò Ø ÓÒ Ö N Ò ÓÐ Ø Ò ÙÒ Ø ÓÒ f : N R Ë Ö Û Ò a n := f(n) (a n ) := fº Ö Ò ÁÒ Ü n Ò Ù Ù Ø Ò i,j,k,l,m ÖÙ Ð º Ô Ð ½ Ò Ø ÓÐ a n := n 3. Ö Ò Ò Ë Ö Ø Ò ÓÐ Ò Ð Ö a,...,a 5 º a = 3 = a = 3 = a 3 = 3 3 = 6 a 4 = 4 3 = 3 a 5 = 5 3 = Ô Ð ¾ Ò Ø ÓÐ a i := i+. Ö Ò Ò Ë Ö Ø Ò ÓÐ Ò Ð Ö a,...,a 5 º a = + = 3 a = + = 5 a 3 = 3+ = 7 a 4 = 4+ = 9 a 5 = 5+ =

5 ½ ÇÄ Æ Ä Ù Ò Ö ÙÒ ÚÓÒ ÓÐ Ò Ö Ì ÒÖ Ò Ø Ò Ø ÖÐ Ù Ø Ù ½ Ö Ò Ò Ë Ö Ø Ò ÓÐ Ò Ð Öº µ a n := 4n µ a n := n+3 µ a n := n 3 + µ a n := (n+) Ù ¾ Ö Ò Ò Ë Ö Ø Ò ÓÐ Ò Ð Öº µ a k := k µ a k := k µ a k := k k µ a k := k+ : k Ù Ö Ò Ò Ë Ö Ø Ò ÓÐ Ò Ð Öº µ a n := n! n! ÔÖ n ÙÐØØ µ Ø Ò ÖØ ÙÖ n! :=... nµ ½ µ a n := n : n! µ a n := (n+)! n! µ a n := (n+)! : n! Ù Ö Ò Ò Ë Ö Ø Ò ÓÐ Ò Ð Öº µ a i := i i+ µ a i := i(i+) µ a i := i3 + i+ µ a i := i i 6 i+ µ a i := sin(i π 6 ) ½ Ð Ó! =! = = 3! = 3 = 6 4! = 3 4 = 4 ººº

6 ½ ÇÄ Æ Ä Ù ½ Ä ÙÒ Ò Ö ÙÒ ÚÓÒ ÓÐ Ò µ a n := 4n a = 4 = 3,a = 4 = 7,a 3 = 4 3 =,a 4 = 4 4 = 5,a 5 = 4 5 = 9 µ a n := n + 3 a = + 3 =,a = + 3 =,a 3 = = 3,a 4 = 4+3 = 5,a 5 = 5+3 = 7 µ a n := n 3 + a = 3 + = 3,a = 3 + = 0,a 3 = = 9,a 4 = = 66,a 5 = = 7 µ a n := (n+) a = + =,a = + = 3,a3 = +3 = 4,a4 = +4 = 5,a5 = +5 = 6 Ù ¾ µ a k := k a = 0 =,a = =,a 3 = = 4,a 4 = 3 = 8,a 5 = 4 = 6 µ a k := k a = =,a = = 3,a 3 = 3 = 7,a 4 = 4 = 5,a 5 = 5 = 3 µ a k := k k a = =,a = = 0,a 3 = 3 3 =,a 4 = 4 4 = 0,a 5 = 5 5 = 7 µ a k := k+ : k ÓÐ ÒØ ÖÑ Ú Ö Ò Ò ÙÖ Ã ÖÞ Òµ a k = = 4 k Nº ÁÒ ÓÒ Ö a = a = a 3 = a 3 = a 4 = a 5 = 4µ Ù µ a n := n! a =! =,a =! =,a 3 = 3! = 6,a 4 = 4! = 4,a 5 = 5! = 0 µ a n := n : n! a = :! = : =,a = :! = 4 : =,a 3 = 3 : 3! = 8 : 6 = 4 3,a4 = 4 : 4! = 6 : 4 = 3,a5 = 5 : 5! = 3 : 0 = 4 5 µ a n := (n+)! n! a =!! = =,a = 3!! = 6 = 4,a 3 = 4! 3! = 4 6 = 8,a 4 = 5! 4! = 0 4 = 96,a 5 = 6! 5! = 70 0 = 600 µ a n := (n + )! : n! ÓÐ ÒØ ÖÑ Ú Ö Ò Ò ÙÖ Ã ÖÞ Òµ a n = n + a =,a = 3,a 3 = 4,a 4 = 5,a 5 = 6 Ù µ a i := i i+ a = =,a = 3 = 6,a3 = 3 4 =,a4 = 4 5 = 0,a5 = 5 6 = 30 µ a i := i(i+) a = = (+),a = = (+) 6,a3 = = 3(3+),a4 = = 4(4+) 0,a5 = = 5(5+) 30 µ a i := i3 + i+ a = 3 + = = +,a = 3 + = 9 = + 3 3,a3 = 33 + = 8 = ,a4 = = 65 = ,a5 = 53 + = 6 = º 5+ 6 Å Ø Ö ÒÓÑ ÓÖÑ Ð a 3 +b 3 = (a+b)(a ab+b ) Ó Ö Ö ÈÓÐÝÒÓÑ Ú ÓÒ ÒÒØ Ñ Ò Ò ÓÐ ÒØ ÖÑ Ú Ö Ò Ò ÞÙ a i = i3 + = i+ i i+º Ö Ö Ø Ò ÓÐ Ò Ð Ö ÐÓ ÒØ Ö Ù Û Ò Ö ÙÑºµ µ a i := i i 6 i+ ÓÐ ÒØ ÖÑ Ú Ö Ò Ò ÙÖ Ã ÖÞ Òµ a i = i i 6 i+ = (i+)(i 3) i+ = i 3º a = 3 =,a = 3 =,a 3 = 3 3 = 0,a 4 = 4 3 =,a 5 = 5 3 = µ a i := sin(i π 6 ) Ò Ø Ö Þ Ò Òµ a = sin(π 6 ) =,a = sin π 3 = 3,a3 = sin π =,a4 = sin 4π = sin( π ) = 3 π,a5 = sin(5 ) = 6 3 6

7 ½ ÇÄ Æ Ä ½º¾ ÜÔÐ Þ Ø ÙÒ Ö ÙÖ Ú Ö ÙÒ ÚÓÒ ÓÐ Ò Ä Ï Ö Ò Ð Ö a n Ò Ö ÓÐ ÐÐ Ò Ö Ò ÁÒ Ü n Ò ÖØ ÔÖ Ø Ñ Ò ÚÓÒ ¹ Ò Ö ÜÔÐ Þ Ø Ò Ò Ø ÓÒº Ô Ð ÐÐ Ö ÔÖÓ Ò Ò ÓÐ Ò Ò Ò Ô Ð Ò ÙÒ Ù Ò Ð Ó Þº º a n := n º Ï Ö Ò Ð Ö a n Ò Ö ÓÐ Ñ Ø Ð¹ ÚÓÖ Ö Ò Ö Ð Ö Ò ÖØ ÔÖ Ø Ñ Ò ÚÓÒ Ò Ö Ö ÙÖ Ú Ò Ò Ø ÓÒº Ô Ð Ê ÙÖ Ú Ò Ø ÓÒµ Ò ÓÐ Ø Ò ÙÖ a := 6 a n := a n +5º Ö Ò Ò Ë a 5 º a = a +5 = 6+5 = a 3 = a +5 = +5 = 6 a 4 = a 3 +5 = 6+5 = a 5 = a 4 +5 = +5 = 6 Ñ Ö ÙÒ Ö ÎÓÖØ Ð Ö ÜÔÐ Þ Ø Ò Ò Ø ÓÒ Ð Ø Ù Ö À Ò Å Ò ÒÒ Ò ÓÐ Ò Ð a n Ö Ø Ù Ö Ò Ò Ó Ò ÐÐ ÎÓÖ Ò Ö Ð Ö Ù Ö Ò Ò ÞÙ Ñ Òº ÍÑ Ñ Ó Ò Ö ÙÖ Ú Ò Ô Ð a 00 Ù ÞÙÖ Ò Ò Ñ Ø Ñ Ò ÞÙ Ö Ø ÐÐ ÎÓÖ Ò Ö Ð Ö a a 3 a 4 ººº a 99 Ù Ö Ò Ò µ

8 ½ ÇÄ Æ Ä Ù Ò Ê ÙÖ Ú Ò Ø ÓÒ ÚÓÒ ÓÐ Ò Ù Ö ÒÙÒ Ù Ò Ñ ÎÓÖ Ò Ö Ð µ Ö Ò Ò Ë a 5 º µ a := a n+ := a n +8 µ a := 4 a n := a n +3 µ a := a n := 3a n µ a := 3 a n := 3a n + µ a := 4 a n := a n +n µ a := a n+ := 3a n n µ a := 0 a n := a n + n µ a := 5 a n := a n +n+ Ù Ö ÒÙÒ Ù Ñ Ö Ö Ò ÎÓÖ Ò Ö Ð ÖÒµ Ö Ò Ò Ë a 6 º µ a := a := 3 a n+ := a n +a n µ a := 0 a := 6 a n := (a n +a n ) µ a := a := 5 a 3 := 3 a n := a n 3 a n +a n µ a := a := a n := a n +a n ÓÒ ¹ ÓÐ ¾ µ ¾ ÜÔÐ Þ Ø Ö Ø ÐÐÙÒ a n := 5 [( + 5 ) n ( 5 ) n ] ÛÙÖ Ö Ø ½ ¼ ÚÓÑ Ö ÒÞ Ò Å Ø Ñ Ø Ö Ö Ñ ÅÓ ÚÖ ÙÒ Òº

9 ½ ÇÄ Æ Ä Ù Ä ÙÒ Ò Ê ÙÖ Ú Ò Ø ÓÒ ÚÓÒ ÓÐ Ò µ a := a n+ := a n +8 a = a +8 = +8 = 0,a 3 = a +8 = 0+8 = 8,a 4 = a 3 +8 = 8+8 = 6,a 5 = a 4 +8 = 6+8 = 34 µ a := 4 a n := a n +3 a = a +3 = 4+3 = 7,a 3 = a +3 = 7+3 = 0,a 4 = a 3 +3 = 0+3 = 3,a 5 = a 4 +3 = 3+3 = 6 µ a := a n := 3a n a = 3a = 3 = 3,a 3 = 3a = 3 3 = 9,a 4 = 3a 3 = 3 9 = 7,a 5 = 3a 4 = 3 7 = 8 µ a := 3 a n := 3a n + a = 3a + = 3 3+= 8,a 3 = 3a + = 3 ( 8) + = 5,a 4 = 3a 3 + = = 74,a 5 = 3a 4 + = 3 ( 74)+ = 3 µ a := 4 a n := a n + n a = a + = 4 + = 0,a 3 = a + 3 = 0+3 = 3,a 4 = a 3 +4 = 3+4 = 50,a 5 = a 4 +5 = 50+5 = 05 µ a := a n+ := 3a n n a = 3a = 3 = 5,a 3 = 3a = 3 5 = 3,a 4 = 3a 3 3 = = 36,a 5 = 3a 4 4 = = 04 µ a := 0 a n := a n + n a = a + = 0+4 = 4,a 3 = a + 3 = 4+8 =,a 4 = a = +6 = 8,a 5 = a = 8+3 = 60º µ a := 5 a n := a n +n+ a = a + += 5+5 = 0,a 3 = a + 3+= 0+7=7,a 4 = a = 7+9= 6,a 5 = a = 6+= 37 Ù µ a := a := 3 a n+ := a n +a n a 3 = a +a = +3 = 4,a 4 = a +a 3 = 3+4 = 7,a 5 = a 3 +a 4 = 4+7 =,a 6 = a 4 +a 5 = 7+ = 8 µ a := 0 a := 6 a n := (a n +a n ) a 3 = (a + a ) = (0 +6) = 8,a 4 = (a +a 3 ) = (6+8) =,a 5 = (a 3 +a 4 ) = (8+) = 0,a 6 = (a 4 +a 5 ) = (+0) = µ a := a := 5 a 3 := 3 a n := a n 3 a n +a n a 4 = a a +a 3 = 5+ 3 = 3,a 5 = a a 3 +a 4 = = 8,a 6 = a 3 a 4 +a 5 = = 6 µ a := a := a n := a n +a n a 3 = a +a = + =,a 4 = a +a 3 = + = 3,a 5 = a 3 +a 4 = +3 = 5,a 6 = a 4 +a 5 = 3+5 = 8

10 ½ ÇÄ Æ Ä Ô Ð Ò Ö Ò Ë ÓÐ,4,7,0,3,... ÓÛÓ Ð ÜÔÐ Þ Ø Ð Ù Ö ÙÖ¹ Úº Ê ÙÖ Ú a := a n := a n +3 ÜÔÐ Þ Ø a n := 3n Ö ÒÞ ÞÛ Ö Æ Ö Ð Ö Ø º ÖØ ÞÙÑ Ò ØÞ a n := 3nº Å Ò ØØ Ó 3,6,9,,5,...º ÁÒ Ö ÓÐ Ø Ð ÙÑ ¾ Ö Ö Ð Ò Ö Ú ÖÐ Ò Ø Òº Ð Ó Ò Ö a n := 3n µ

11 ½ ÇÄ Æ Ä ½¼ Ù Ò ÓÐ Ò ÓÛÓ Ð Ö ÙÖ Ú Ð Ù ÜÔÐ Þ Ø Ö Ø ÐÐ Ò Ù Ù Þ Ð Ò ÓÖÑ ¹ Ö ÙÖ Ú ÙÒ ÜÔÐ Þ Ø Ö Ø ÐÐÙÒ Òµ Ò Ë ÓÐ ÓÛÓ Ð ÜÔÐ Þ Ø Ð Ù Ö ÙÖ Ú Òº µ 6,3,0,7,34,... µ 4,, 6,, 6,,... µ 6,,4,48,96,... µ, 3, 4, 5,... µ 3,33,333,3333,... Ì ÔÔ Ö ÜÔÐ Þ Ø Ö Ø ÐÐÙÒ ÅÙÐØ ÔÐ Þ Ö Ò Ë ÓÐ Ò Ð Ñ Ø 3 ÙÒ ØÙ Ö Ò Ë ÞÙ Ö Ø ÓÐ ºµ µ 6,4,0,70,5040,... µ 0.,0.0,0.00,0.000,... µ 7,7,7,7,... Ù Ù Þ Ð Ò ÓÖÑ ¹ Ö ÙÖ Ú Ö Ø ÐÐÙÒ µ Ò Ö Ò Ë ÓÐ Ö ÙÖ Úº µ,0,00,000,... µ 5,,3,47,95,... µ 7,0,59,76,57,... µ,4,6,56,... Ù ÜÔÐ Þ Ø Ö Ø ÐÐÙÒ ¹ Ö ÙÖ Ú Ö Ø ÐÐÙÒ µ Ò Ö Ò Ë ÓÐ Ö ÙÖ Úº Ì ÔÔ Ö Ò Ò Ë Ö Ø Ò Ô Ö ÓÐ Ò Ð ¹ Ö Ö Ò Ë Ù ÙÒ Ó Ø Ò Ë ºµ µ a n := 3n µ a n := 3 n µ a n := n µ a n := n n

12 ½ ÇÄ Æ Ä ½½ Ù Ä ÙÒ Ò ÓÐ Ò ÓÛÓ Ð Ö ÙÖ Ú Ð Ù ÜÔÐ Þ Ø Ö Ø ÐÐ Ò µ 6,3,0,7,34,... Ê ÙÖ Ú a := 6,a n = a n +7 ÜÔÐ Þ Ø a n = 7n µ 4,, 6,, 6,,... Ê ÙÖ Ú a := 4,a n = a n 5 ÜÔÐ Þ Ø a n = 5n+9 µ 6,,4,48,96,... Ê ÙÖ Ú a := 6,a n := a n ÜÔÐ Þ Ø a n := 6 n µ, 3, 4, 5,... Ê ÙÖ Ú a := 4,a n := a n ÜÔÐ Þ Ø a n := n+ µ 3,33,333,3333,... Ê ÙÖ Ú a := 3,a n := 0a n +3 ÜÔÐ Þ Ø a n := 0n 3 µ 6,4,0,70,5040,... Ê ÙÖ Ú a := 6,a n := a n (n+) ÜÔÐ Þ Ø a n := (n+)! µ 0.,0.0,0.00,0.000,... Ê ÙÖ Ú a := 0.,a n := a n 0. ÜÔÐ Þ Ø a n := 0 n µ 7,7,7,7,... Ê ÙÖ Ú a := 7,a n := a n ÜÔÐ Þ Ø a n := 7 Ù µ,0,00,000,... a :=,a n := a n 00+ µ 5,,3,47,95,... a := 5,a n := a n + µ 7,0,59,76,57,... a := 7,a n := 3a n µ,4,6,56,... a :=,a n := a n Ù µ a n := 3n a =,a = 5,a 3 = 8,... a =,a n := a n +3 µ a n := 3 n a = 6,a = 8,a 3 = 54,... a = 6,a n := 3a n µ a n := n a =,a = 4,a 3 = 9,a 4 = 6... a =,a = a + 3,a 3 = a +5,a 4 = a 3 +7,... a =,a n := a n +(n ) µ a n := n nº a = =,a = = 0,a 3 = 3 3 = 3,a 4 = 4 4 = 8,a 5 = 5 5 = 5,... a =,a = a +,a 3 = a +3,a 4 = a 3 +5,a 5 = a 4 +7,... a =,a n := a n +(n 3)

13 ½ ÇÄ Æ Ä ½¾ Ô Ð Ö ÒÙÒ Ð Ò Ø Ò ÓÐ Ò Ð µ Ï Ð Ø Ð Ò Ø ÓÐ Ò Ð Ö ÓÐ a n := 6 n 3n+9 ÓÐ ÒØ ÔÖ Ø Ö ÕÙ Ö Ø Ò ÙÒ ¹ Ø ÓÒ f(x) = 6 x 3x+9º Ë Ø ÐÔÙÒ Ø u = b a = 3 6 = 9 v = f(9) = TR = 4.5 y 9 a 9 = 4.5 Ø Ð Ò Ø ÓÐ Ò Ð 8 7 a = a = a 3 =.5 0 a 4 = 0.33 a 5 =.83 a 6 = a 9 = x

14 ½ ÇÄ Æ Ä ½ Ù Ò Ï Ø Ö Ù Ò Ù ½¼ Ö Ø ÙÒ Ð Ò Ø ÓÐ Ò Ð Öµ µ Ï Ð Ø Ð Ò Ø Ð Ö ÓÐ a n := 0.5n n+3 µ Ï Ð Ø Ö Ø Ð Ö ÓÐ a n := 3n +4n 7 µ Ï Ð Ø Ö Ø Ð Ö ÓÐ a n := 3n +3n µ Ï Ð Ø Ð Ò Ø Ð Ö ÓÐ a n := 3n +4n 7 Ù ½½ ÃÐ Ò Ø Ö ÁÒ Ü Ñ Ø Ò ÙÒ Òµ Ù Ø Ø Ö Ð Ò Ø ÁÒ Ü n Ö Ò a n Ö Ö Ð ½¼¼¼ Øº µ a n :=.5 n µ a n :=. n Ù ½¾ ÃÐ Ò Ø Ö ÁÒ Ü Ñ Ø Ò ÙÒ Òµ Ù Ø Ø Ö Ð Ò Ø ÁÒ Ü n Ö Ò a n Ð Ò Ö Ð ¼º½ Øº µ a n := 0.9 n µ a n := n Ù ½ ÒÞ Ð Ð Ö Ñ Ø Ø ÑÑØ Ö Ò Øµ Ò Ø Ö ÙÖ Ú Ò ÖØ ÓÐ a := 04 a n := a n º Ï Ú Ð Ð Ö Ö ÓÐ Ò Ö Ö Ð 0.

15 ½ ÇÄ Æ Ä ½ Ù ½¼ Ä ÙÒ Ò Ï Ø Ö Ù Ò µ ÓÐ a n := 0.5n n+3 ÒØ ÔÖ Ø Ö ÙÒ Ø ÓÒ y = 0.5x x+3º Ë Ø ÐÔÙÒ Ø u = b a = 0.5 = ºv = f() = = 69º a = 69 µ ÓÐ a n := 3n +4n 7 ÒØ ÔÖ Ø Ö ÙÒ Ø ÓÒ f(x) = 3x +4x 7º Ë Ø ÐÔÙÒ Ø u = b a = 4 ( 3) = 7º v = f(7) = = 40º a 7 = 40 µ ÓÐ a n := 3n +3n ÒØ ÔÖ Ø Ö ÙÒ Ø ÓÒ y = 3x +3xº Ë ¹ Ø ÐÔÙÒ Ø u = b a = 3 ( 3) = 6 3 = 5.3º 5.3 Ð Ø Ò Ö Ð Ö Ø Ð Ø a 5 º f(5) = = 85º a 5 = 85 µ ÓÐ a n := 3n +4n 7 ÒØ ÔÖ Ø Ö ÙÒ Ø ÓÒ f(x) = 3x +4x 7º ÙÒ Ø ÓÒ Ò ÑÑØ Ð Ð Ò Ï ÖØ Ò Ð Ò Ö Ð Þº º µ ÞÙ Ö È Ö Ð Ò ÙÒØ Ò Ò Ø Øº ÍÒ Ð Ò ÑÑØ Ù ÓÐ Ð Ð Ò Ï ÖØ Òº Ü Ø ÖØ Ò Ð Ò Ø ÓÐ Ò Ð º Ù ½½ µ a n :=.5 n º a n = n = 000 nln.5 = ln000 n = ln000 ln.5 = 7.04 n = 8 µ a n :=. n a n = 000. n = 000 nln. = ln000 n = ln000 ln. = 7.48 n = 73 Ù ½¾ µ a n := 0.9 n a n = n = 0. nln0.9 = ln0. n = ln0. ln0.9 =.85 n = µ a n := n a n = n = 0. nln0.999 = ln0. n = ln0. ln0.999 = n = 30 Ù ½ Ö ÓÐ ÞÙ Ö Ø ÜÔÐ Þ Ø a = 04,a = 04,a 3 = 04 ( ),a 4 = 04 ( )3 ººº a n = 04 ( )n º ÆÙÒ ÞÙÖ Ò ÙÒ a n = ( )n = 0. ( )n = 0. (n )ln( 0. ) = ln( 04 ) n = ln( ) ln( ) n = 04 ln( ) ln( ) + = 4.3 n = 4 º

16 ½ ÇÄ Æ Ä ½ ½º ËÙÑÑ Ò¹ ÙÒ ÈÖÓ Ù ØÞ Ò ¾Ä a i Ò ÓÐ ÙÒ k < n Nº n i=k a i := a k +a k+ +a k a n Ø ËÙÑÑ Ö ÓÐ Ò Ð Ö a k a n º i Ø ÁÒ ÜÚ Ö Ð Ó Ö Ä Ù Ú Ö Ð º ÁÒ ÜÚ Ö Ð i ÙÖ ÐÙ Ø ÐÐ Ò Ø ÖÐ Ò Ð Ò ÚÓÒ k nº Ô Ð Ö Ò Ò Ë 6 (i 5) i=3 6 (i 5) = ( 3 5)+( 4 5)+( 5 5) i=3 +( 6 5) = = 6 Ô Ð Ö Ò Ò Ë 5 i= i 5 i = i= = = 54

17 ½ ÇÄ Æ Ä ½ n i=k a i := a k a k+ a k+... a n Ø ÈÖÓ Ù Ø Ö ÓÐ Ò Ð Ö a k a n º i Ø ÁÒ ÜÚ Ö Ð Ó Ö Ä Ù Ú Ö Ð º ÁÒ ÜÚ Ö Ð i ÙÖ ÐÙ Ø Û Ö ÐÐ Ò Ø ÖÐ Ò Ð Ò ÚÓÒ k nº Ô Ð Ö Ò Ò Ë 7 (i 7) i=4 7 (i 7) = ( 4 7)( 5 7)( 6 7)( 7 7) i=4 = = 05 Ô Ð Ö Ò Ò Ë 4 i= i 4 i= i = 3 4 = = 576

18 ½ ÇÄ Æ Ä ½ Ù ½ ËÙÑÑ Òµ Ö Ò Ò Ë µ 5 i= (+i) µ 0 i=5 (i ) µ 6 i= (i 3) µ 5 i=3 i Ù ½ ÈÖÓ Ù Ø µ Ö Ò Ò Ë µ 5 i= i µ 6 i= (i+) µ 5 i=3 3i Ù Ò ËÙÑÑ Ò¹ ÙÒ ÈÖÓ Ù ØÞ Ò µ 4 i= i Ù ½ ËÙÑÑ Òµ Ë Ö Ò Ë Ñ Ø Ñ ËÙÑÑ ÒÞ Ò Ë Ñ Ò Ò Ø Ù Ö Ò Òµ µ ËÙÑÑ Ö Ò Ø ÖÐ Ò Ð Ò ÚÓÒ ½¼¼ ½¼¼¼ µ ËÙÑÑ Ö Ö Ò Ð Ò ÚÓÒ ¾ ½¼¼ µ!+3!+4! ! µ ËÙÑÑ Ö ÙÒ Ö Ò ÉÙ Ö ØÞ Ð Ò ÚÓÒ 49 Ð Ò,,3,4,... =,4,9,6,... Ò ÉÙ Ö ØÞ Ð Òµ Ç Ò Ö Ø Ò ÉÙ Ö ØÞ Ð Ò Ù ÒÒ ÙÒ Ö Û ÒÒ ÞÙ Ö ÙÒ ¹ Ö Øº Ô 9 = 3 ÓÛÓ Ð Ð Ù Ò ÙÒ Ö ºµ µ ËÙÑÑ Ö ÙÖ Ø Ð Ö Ò Ð Ò ÚÓÒ ¾ ¼ Ù ½ ÈÖÓ Ù Ø µ Ë Ö Ò Ë Ñ Ø Ñ ÈÖÓ Ù ØÞ Ò Ë Ñ Ò Ò Ø Ù Ö Ò Òµ µ ÈÖÓ Ù Ø Ö Ö Ò Ð Ò ÚÓÒ ½¼ ½¼¼ µ ÈÖÓ Ù Ø Ö ÙÒ Ö Ò Ð Ò ÚÓÒ µ ÈÖÓ Ù Ø Ö ÙÖ Ø Ð Ö Ò Ð Ò ÚÓÒ ¼¼ ¼¼ Ù ½ ÓÐ Ò Ñ Ø ËÙÑÑ Òµ Ö Ò Ò Ë ½º ¾º ÙÒ º Ð Ö ÓÐ º µ a n := n i= i µ a n := n i= 0i µ a n := n i= (i+) Ù ½ ÓÐ Ò Ñ Ø ÈÖÓ Ù Ø Òµ Ö Ò Ò Ë ½º ¾º ÙÒ º Ð Ö ÓÐ º µ a n := n i= 0i µ a n := n i= i i+ µ a n := n i= (i )

19 ½ ÇÄ Æ Ä ½ Ù ½ Ä ÙÒ Ò ËÙÑÑ Ò¹ ÙÒ ÈÖÓ Ù ØÞ Ò µ 5 i= (+i) = = 0 µ 0 i=5 (i ) = (5 ) + (6 ) + (7 ) + (8 ) + (9 ) + (0 ) = = 349 µ 6 i= (i 3) = = 5 µ 5 i=3 i = = = 56 Ù ½ µ 5 i= i = = = µ 6 i= (i+) = = 50 µ 5 i=3 3i = (3 3) (3 4) (3 5) = = 60 µ 4 i= i = 3 4 = 0 = 04 Ù ½ µ ËÙÑÑ Ö Ò Ø ÖÐ Ò Ð Ò ÚÓÒ ½¼¼ ½¼¼¼ 000 i=00 i µ ËÙÑÑ Ö Ö Ò Ð Ò ÚÓÒ ¾ ½¼¼ 50 i= i µ!+3!+4! ! 50 i= i! µ ËÙÑÑ Ö ÙÒ Ö Ò ÉÙ Ö ØÞ Ð Ò ÚÓÒ = 4 i=5 (i+) µ ËÙÑÑ Ö ÙÖ Ø Ð Ö Ò Ð Ò ÚÓÒ ¾ ¼ 65 i=6 4i Ù ½ µ ÈÖÓ Ù Ø Ö Ö Ò Ð Ò ÚÓÒ ½¼ ½¼¼ Π 50 i=5i µ ÈÖÓ Ù Ø Ö ÙÒ Ö Ò Ð Ò ÚÓÒ Π 49 i=4(i+) Ù Þº º Π 50 i=5(i )µ µ ÈÖÓ Ù Ø Ö ÙÖ Ø Ð Ö Ò Ð Ò ÚÓÒ ¼¼ ¼¼ Π 300 i=003i Ù ½ µ a n := n i= i a = i= i = = a = i= i = + = 5 a 5 = 5 i= i = = 55 µ a n := n i= 0i a = i= 0i = 0 0 = a = i= 0i = = +0 = a 5 = 5 i= 0i = = = µ a n := n i= (i + ) a = i= (i + ) = + = 3 a = i= (i + ) = ( +)+( +) = 8 a 5 = i= (i+) = = 35 Ù ½ µ a n := n i= 0i a = i= 0i = 0 = 0,a = i= 0i = 0 0 = 000,a 5 = 5 i= 0i = = 0 5 µ a n := n 5 i= i= i i+ a := i= i = = i i = i+ + = 3,a := i= i = =,a5 := i µ a n := n i= (i ) Û Ð Ö Ö Ø ØÓÖ ÑÑ Ö ¼ Øµ ai = 0 i N a = a = a 5 = 0

20 ¾ ÊÁÌÀÅ ÌÁË À ÇÄ Æ ÍÆ Ê ÁÀ Æ Ä ½ ¾ ¾º½ Ö Ø Ñ Ø ÓÐ Ò ÙÒ Ê Ò Ä Ê ÙÖ Ú Ö ÙÒ Ö Ö Ø Ñ Ø Ò ÓÐ ¼Ä Ò ÓÐ (a n ) Ø Ö Ø Ñ Ø ÓÐ µ Û ÒÒ Ò d R Ø Ñ Ø a n = a n +d. d Ø Ö ÒÞ Ö ÓÐ º Ñ Ö ÙÒ ÞÙÑ Æ Ñ Ò ÁÒ Ò Ö Ø ÓÐ Ò Ð Ö Ø Ñ Ø Å ØØ Ð Ò Ö Ò Æ Ö Ð Ö a n = an +an+ Ô Ð ¾ ½½ ½ ººº Ø Ò Ñ Ø d = 3º ¾º¾ ÜÔÐ Þ Ø Ö ÙÒ Ö Ö Ø Ñ Ø Ò ÓÐ ¾Ä Ö Ò (a n ) Ñ Ø Ö Ö ÒÞ d ÐØ Û a n = a +(n )d a a +d a 3 a +d = (a +d)+d = a +d a 4 a 3 +d = (a +d)+d = a +3d a 5 a 4 +d = (a +3d)+d = a +4d a n a +(n )d Ô Ð ½¼ Ò Ø Ò ÙÖ a := a = 9º Ö Ò Ò Ë a 000 º d = a a = 9 = 7 a 000 = = 7005 Û a n +a n+ = (an d)+(an+d) = a n

21 ¾ ÊÁÌÀÅ ÌÁË À ÇÄ Æ ÍÆ Ê ÁÀ Æ Ä ¾¼ Ç ÓÖÑ Ð ÒÒ Ñ Ò Ú Ö ÐÐ Ñ Ò ÖÒ Ñ Ò Ö ÓÖØ Ð ÙÖ Ò ¹ Ð Ð k N Ö ØÞ Òµ Ö Ò (a n ) Ñ Ø Ö Ö ÒÞ d ÐØ a n = a k +(n k)d Ñ Ö ÙÒ ÓÖÑ Ð ÐØ k,m N Ò ÓÒ Ö Ö k Ð Ó Ù Ö Ö Ò Ð n Û µº Û a k+ = a k +d a k+ = a k+ +d = (a k +d)+d = a k +d a k+3 = a k+ +d = (a k +d)+d = a k +3d a k+4 = a k+3 +d = (a k +3d)+d = a k +4d = = a n = a k+(n k) = a k +(n k)d Ù Ò Ö ÓÖÑ Ð Ò a k Ð ÖØ a k = a n + (k n)d Û Þ Ø k Ù Ö Ö Ò Ö Ð nº Ô Ð ½½ ÁÒ Ò Ö Ø a 9 = 4 ÙÒ a = 50º Ö Ò Ò Ë a 89 º d = a 89 = a = a 9 +( 9)d 50 = 4+d 36 = d d = 3 a 89 = a +(89 )d = = = 54

22 ¾ ÊÁÌÀÅ ÌÁË À ÇÄ Æ ÍÆ Ê ÁÀ Æ Ä ¾½ Ù Ò Ö Ø Ñ Ø ÓÐ Ò µ Ù ¾¼ Ä Ø Ò ÚÓÖ µ Ð Ò Ð Ò Ò Ò Ò Ò Ö µ 3, 4, 6 µ 4, 5, 0 µ, 3, 6 µ 4, 9, 36 Ù ¾½ Ö ÒÞ d Ö Ò Òµ Ö Ò Ò Ë Ö ÒÞ d Ö º µ a 5 = 3 a 8 = 5 µ a 0 = a 38 = 6 µ a 7 = 44 a 5 = 3 µ a 9 = 8 a = 8 Ù ¾¾ ÓÐ Ò Ð Ö Ò Òµ Ö Ò Ò Ë Ù Ø Ð Ö º µ a 6 = 3 a 4 = 45 a 50 =? µ a 5 = 00 a 75 = 5 a 50 = µ a = 7 a = 3 a 0 = µ a 5 = 8 a 3 = 50 a =? Ù ¾ ÜÔÐ Þ Ø Ò Ø ÓÒ Ò Òµ Ú Ðº Ó Ù µ Ò Ë Ò ÜÔÐ Þ Ø Ò Ø ÓÒ Ò ÙÒ Ö Ò Ò Ë Ñ Ø Ù Ø Ð Ö º µ a 6 = 3 a 4 = 45 a 50 =? µ a 5 = 00 a 75 = 5 a 50 = Ù ¾ Ò ÙÒ Ò Ò Ð Öµ ÁÒ Ò Ö Ø a = 7 a 3 = º Ï Ú Ð Ð Ö Ò Ö Ö Ð ¼ Ù ¾ Ò ÙÒ Ò Ò Ð Öµ ÁÒ Ò Ö Ø a = 0 a = 8º Ï Ú Ð Ð Ö Ò Ð Ò Ö Ð ½¼¼¼ Ù ¾ ÓÐ ÚÓÒ Ï Ö ÐÒµ Ò Ò ÓÐ ÚÓÒ Ï Ö ÐÒ Ö Ò Ã ÒØ ÒÐÒ Ò a n ÓÐ a n := n Ð Òº µ (f n ) ÓÐ Ö Ö Ç Ö Òº Á Ø (f n ) Ò µ (v n ) ÓÐ Ö Ö ÎÓÐÙÑ Òº Á Ø (v n ) Ò

23 ¾ ÊÁÌÀÅ ÌÁË À ÇÄ Æ ÍÆ Ê ÁÀ Æ Ä ¾¾ Ù ¾¼ Ä ÙÒ Ò Ö Ø Ñ Ø ÓÐ Ò µ µ 3, 4, = 6 4 = µ 4, 5, = = 0 Ò Ò µ, 3, 6 3 = = 6 µ,, = 5 = Ù ¾½ µ a 5 = 3 a 8 = 5 a 8 = a 5 +3d d = a 8 a 5 d = 5 3 = µ a 0 = a 38 = 6 d = a 38 a 0 8 d = 6 ( ) 8 = 4 µ a 7 = 44 a 5 = 3 d = a 5 a 7 8 d = = 3 µ a 9 = 8 a = 8 d = a a 9 3 d = = 0 Ù ¾¾ µ a 6 = 3 a 4 = 45 a 50 =? d = a 4 a 6 = 45 3 = 4º a = a d = = 89 µ a 5 = 00 a 75 = 5 a 50 = d = a 75 a 5 = 5 00 = 3º a50 = a5 +5 d = 00+5 ( 3) = 6.5 µ a = 7 a = 3 a 0 = d = 3 7 = 4º a 0 = a +9d = 7+9( 4) = 9 µ a 5 = 8 a 3 = 50 a? d = a 3 a 5 = Ù ¾ = º a = a3 +( 0)d = 50+( 0) = µ Ç Ù d = 4º a = a 6 + ( 6)d = 3 + ( 5) 4 = 7 a n = a +(n )d = 7+(n ) 4 = 7+4n 4 = 4n º a 50 = 4 50 = 89 µ Ç Ù d = 3º a = a5+( 5)d = 00+( 4) ( 3 ) = 36 an = a +(n )d = 36+(n )( 3 ) = 36 (n ) 3 = 36 3 n+3 =.5n+37.5º a 50 = = 6.5 Ù ¾ ÜÔÐ Þ Ø Ö Ø ÐÐÙÒ d = a 3 a = 7 = 77 a n = a +(n )d = +(n )( ) = (n ) Ä Ð ÙÒ a n = 0 7 (n ) 77 = 0 77 (n ) = 0 = (n ) = n n = 6.5 n = 6 Ù ¾ ÜÔÐ Þ Ø Ö Ø ÐÐÙÒ d = a a = 8 0 = 8 a n = a +(n )d = 0+(n ) 8 Ä Ð ÙÒ a n = (n ) 8 = 000 (n ) 8 = 990 n = = 4.75 n = 4 Ù ¾ µ f n = 6(n ) = 6nº f n f n = 6n 6(n ) = 6 = konstant (f n) Ø µ v n = (n ) 3 = n 3 º v v = 3 3 = 8 =.83º v3 v = = 7 8 =.37 (vn) Ø Ò

24 ¾ ÊÁÌÀÅ ÌÁË À ÇÄ Æ ÍÆ Ê ÁÀ Æ Ä ¾ ¾º Ö Ø Ñ Ø Ê Ò ¾Ä (a n ) Ò º ÙÖ n s n := i= Ò ÖØ ÓÐ (s n ) Ø Ö Ø Ñ Ø Ê º a i Ô Ð (a n ) Ø Ò ÙÖ a n := 3n+º Ö Ò Ò Ë Ö Ø Ò Ð Ö Ö Ö Ø Ñ Ø Ò Ê (s n )º a = 4 a = 7 a 3 = 0 a 4 = 3 a 5 = 6 s = s = s 3 = s 4 = s 5 = a i = a = 4 i= a i = a +a = 4+7 = i= 3 a i = a +a +a 3 = = i= 4 a i = a +a +a 3 +a 4 = = 34 i= 5 a i = a +a +a 3 +a 4 +a 5 i= = = 50

25 ¾ ÊÁÌÀÅ ÌÁË À ÇÄ Æ ÍÆ Ê ÁÀ Æ Ä ¾ ÍÑ s n Ò Ö ÙÒ Ò ÐÐ Ö Ö Ò Ò ÞÙ ÒÒ Ò Ø Ò ÓÖÑ Ð Ö Ò (a n ) ÙÒ Ö Ê (s n ) ÐØ s n = n (a +a n ) Ô Ð ½¾ ÙÑ Ó Ò Ô Ðµ Ò Ø a n := 3n + Ù Ó Ñ Ô Ðº Ö Ò Ò Ë ËÙÑÑ Ö Ö Ø Ò Ò Ð Öº s 5 = 5 (a +a 5 ) = 5 (4+6) = 50 Ô Ð ½ Ö Ò Ò Ë ËÙÑÑ Ö ÙÒ Ö Ò Ð Ò ÚÓÒ ½ º =? Ò Ö a n := n º ÒÒ Ø a = a = 3 a 3 = 5 a 50 = 99 s 50 = 50 (a +a 50 ) = 5(+99) = 500

26 ¾ ÊÁÌÀÅ ÌÁË À ÇÄ Æ ÍÆ Ê ÁÀ Æ Ä ¾ Ù Ò Ö Ø Ñ Ø Ê Ò Êµ Ù ¾ Ö Ò Ò Ë ËÙÑÑ ÐÐ Ö µ Ö Ò Ð Ò ÚÓÒ ¾ ½¼³¼¼¼ µ Ö Ò Ð Ò ÚÓÒ ½¼¼ ½¼³¼¼¼ µ ÙÒ Ö Ò Ð Ò ÚÓÒ µ ÙÖ Ø Ð Ö Ò Ð Ò ÚÓÒ Ù ¾ Ö Ò Ò Ë ËÙÑÑ Ö Ö Ø Ò ½¾ Ð Ö Ö º µ a = 5 d = 3 µ a = 5 a 6 = 45 µ a 7 = 0 a 5 = 44 Ò µ Ù ¾ Ï Ú Ð Ð Ö Ö,,3,... ÑÙ Ñ Ò a ÒÒ Ò Ñ Ò¹ Ø Ò Ö Ò Û ÒÒ Ñ Ò Ñ Ö Ð ½¼¼¼¼ Ö ÐØ Ò Û ÐÐ Ù ¼ Ò Ø a n := 0 nº Ö Û Ð n N ÐØ s n 000 Ù ½ ÁÒ Ò Ö Ø s 7 = 33 ÙÒ s = 378º Ö Ò Ò Ë a ÙÒ dº Ì ÔÔ Ä Ò Ö Ð ÙÒ Ý Ø Ñ Ò a ÙÒ d Ù Ø ÐÐ Òµ Ò Ù µ Ù ¾ Ò Ö Ø a = d = ÙÒ s n = 8º Ö Ò Ò Ë n ÙÒ a n º Ù Ò Ö Ø d = 3 ÙÒ a 7 = 50º Ö Ò Ò Ë s 7 º Ù Ð Ò Ò Ö ÒÙÒ ÒØ ÔÖ Ò Ð ÖØº ÁÒ Ö ÙÒØ Ö Ø Ò Ë Ø Ð Ò ¼ Ð Òº Ï Ú Ð Ð Ò Ò Ò ÑØ Ù Ò Ò Ö È ÖØÝ Ø Ø Ö Ñ Ø Ñ Òº Ö Ð Ò Ò Ð Ö ½¾¼ Å Ðº Ï Ú Ð È Ö ÓÒ Ò Ò Ò Ö È ÖØÝ Ù ËÙÑÑ Ö Ö Ø Ò n Ò Ø ÖÐ Ò Ð Ò Ø ½ Å Ð Ó ÖÓ Û Ö Ø Ö Ð Òº Ö Ò Ò Ë nº

27 ¾ ÊÁÌÀÅ ÌÁË À ÇÄ Æ ÍÆ Ê ÁÀ Æ Ä ¾ Ù ¾ µ =? Ä ÙÒ Ò Ö Ø Ñ Ø Ê Ò Êµ Ò Ö a n := nº a =,a = 4,a 3 = 6,...,a = s = (a +a 5 000) = (+0 000) = º µ =? Ò Ö a n := n+98º a = 00,a = 0,a 3 = 04,...,a 495 = 0 000º Ö ÒÙÒ ÁÒ Ü 495 n+98 = Ù Ò Ò nº n = 495µ s 495 = 495 (a +a 495 ) = 495 ( ) = º µ =? Ò Ö a n := n+997º a = 999,a = 00,a 3 = 003,...,a 450 = 9999 s 450 = 450 (a +a 450 ) = 450 ( ) = µ =? Ò Ö a n := 7n+70º a = 77,a = 84,a 3 = 9,...,a 0 = 7777 s 0 = 0 (a +a 0 ) = 0 ( ) = Ù ¾ µ a = a +( )d = 5+( 3) = 9 s = (a +a ) = 6(5+9) = 46 µ a 6 = a +5d 45 = 5+5d d = º a = a +d = 5+ = 7. s = (a +a ) = 6( 5+7) = 6 µ a 5 = a 7 +(5 7)d 44 = 0+8d d = 3º a = a 7 +( 6)d = 0 6 3= º a = a +( )d = + 3=35 s = (a +a ) = 6(+35) = Ù ¾ s n = n (a +a n ) = 0 000º a = a n = n Ò ØÞ Ò n (+n) = n + n = n + n = 0 TR n = 4.9,n = 40.9º ÁÒ Þ Ø Ø ÔÓ Ø Ú Ò ÓÑÑØ n Ò Ø Ò Ö º n = 4 Ù ¼ Ö Î Ö ØÒ Ò ÐØ a n > 0 Ö n 50 ÙÒ a n < 0 Ö n > 50º Ð Ø ÓÐ (s n ) Û Ò Ö n 50 ÙÒ ÐÐ Ò Ö n > 50º

28 ¾ ÊÁÌÀÅ ÌÁË À ÇÄ Æ ÍÆ Ê ÁÀ Æ Ä ¾ s n = 000 n (a +a n ) = 000ºa = 99,a n = 0 n Ò ØÞ Ò n (99+0 n)= 000 n (00 n) = 000 n(00 n) = = n 00n+000 TR n = 7.6,n = 7.4 n = 8,n = 7 8 n 7 Ù ½ s 7 = 7 (a +a 7 )º a 7 = a +6d Ò ØÞ Ò s 7 = 7 (a +6d) = 7a +dº Ò Ù Ó s = (a +a )º a = a +d Ò ØÞ Ò s = 6(a +d) = s = a +66dº s 7 = 33 ÙÒ s = 378 Ò ØÞ Ò Ð ÖØ Ð Ò Ö Ð ÙÒ ØÝ Ø Ñ 33 = 7a +d 378 = a +66d TR a = 4,d = 5 Ù ¾ s n = n (a +a n ) a n = a +(n )d = +(n ) = n º a n ÙÒ s n = 8 ÙÒ a = Ò Ó Ð ÙÒ Ò ØÞ Ò 8 = n ( +n ) 8 = n n = 6 n = ±4º 4 ÓÑÑØ Ð ÁÒ Ü Ò Ø Ò Ö n = 4 º Ç Ò Ò ØÞ Ò a 4 = 4 = 7 Ù a 7 = a +(7 )dº Ð Ò Ò ØÞ Ò 50 = a +6 3 a = º s 7 = 7 (a +a 7 ) = 7 (+50) = 44 Ù = 70 (+70) = 485 Ù Þ Ò n ÒÞ Ð È Ö ÓÒ Ò Ò Ö È ÖØÝº Ñ Ø Ò Ø ÐÐØ Ñ Ò Ò ÈÖÓÞ Ó ÚÓÖ Ò È Ö ÓÒ Ø Ø Ù Ø Ø Ñ Ø ÐÐ Ò Ò Ð Ó n Å Ð ÙÒ ØÞØ Ò Ð Ò Û Ö Òº ÒÒ Ø Ø Ò Ø È Ö ÓÒ Ù ÙÒ Ø Ø Ñ Ø ÐÐ Ò Ö Ò È Ö ÓÒ Ò Ò Ð Ó n Å Ð ÙÒ ØÞØ ÒÒ Û Ö Òº Ò Ø È Ö ÓÒ Ø Ø Ñ Ø n 3 È Ö ÓÒ Ò Ò Ù Ûº Ð ØÞØ È Ö ÓÒ Ù Ø Ø Ø Ø ÒÓ Å Ð Òº ÁÒ ÑØ Ð Ò ÐØ Ð Ó (n ) Å Ðº Ø Ò Ê Ñ Ød = a = ÙÒ a n = n º Ð Ó Ø ËÙÑÑ s n = n (a +a n ) = n (+n )= n nº Ð Ò ÐØ ½¾¼ Å Ð Ð Ó Ø n n = 0º (n )n = 40 n n 40 = 0 n = 5,n = 6º n ÒÒ Ò Ø Ò Ð Ó Ò n = 6 È Ö ÓÒ Òº Ù n = 5n n ( + n) = 5nº Ù Ò Ò n n 9n = 0 n(n 9) = 0 n = 0,n = 9º Æ ÙÒ Ö Ö Ò Ø ÓÒ ÚÓÒN Ø0 / Nº n = 9

29 ÇÅ ÌÊÁË À ÇÄ Æ ÍÆ Ê ÁÀ Æ Ä ¾ ÓÑ ØÖ ÓÐ Ò ÙÒ Ê Ò Ä º½ Ê ÙÖ Ú Ö ÙÒ Ö ÓÑ ØÖ Ò ÓÐ ¼Ä Ò ÓÐ (a n ) Ø ÓÑ ØÖ ÓÐ µ Û ÒÒ Ò q R Ø Ñ Ø a n = a n q. q Ø Ö ÉÙÓØ ÒØ Ö ÓÐ º Ñ Ö ÙÒ ÞÙÑ Æ Ñ Ò ÁÒ Ò Ö Ø Ö ØÖ ÓÐ Ò Ð Ó¹ Ñ ØÖ Å ØØ Ð Ò Ö Ò Æ Ö Ð Ö a n = a n a n+ Ò ÙÒ Ò Ò (a n ) Ï Ö Û Ö Ò ÒÙÖ ØÖ Ø Ò Ö Ò a n = 0 Ø ÏÖ Ò ÒÞ a n = 0 Ó ÛÖ Ò Û Ò a n = a n q Ù ÐÐ Ò ÖÒ a n = 0º (a n ) Ø ÒÒ Ò Ñ Ø d = 0µº Ò Ù Ó Û Ö Ò Û Ö q ÚÓÖ Ù ØÞ Ò ÒÒ Ö q = Ð Ø Ò ÓÒ Ø ÒØ ÓÐ ÚÓÖ º º Û ÖÙÑ Ò Ñ Ø d = 0µº Ô Ð ¾ ½ ¾ ººº Ø Ò Ñ Ø q = º º¾ ÜÔÐ Þ Ø Ö ÙÒ Ö ÓÑ ØÖ Ò ÓÐ ¾Ä Ö Ò (a n ) Ñ Ø Ñ ÉÙÓØ ÒØ Ò q ÐØ Û a n = a q n a a q a 3 a q = (a q) q = a q a 4 a 3 q = (a q ) q = a q 3 a 5 a 4 q = (a q 3 ) q = a q 4 a n a q n Ô Ð ½ Ò Ø Ò ÙÖ a := a = 8º Ö Ò Ò Ë a 0 º a = a q 8 = q q = 3 a 0 = a q 9 = ( 3 )9 = Û a n a n+ = q an qan = a n = an

30 ÇÅ ÌÊÁË À ÇÄ Æ ÍÆ Ê ÁÀ Æ Ä ¾ Ç ÓÖÑ Ð ÒÒ Ñ Ò Ú Ö ÐÐ Ñ Ò ÖÒ Ñ Ò Ö ÓÖØ Ð ÙÖ Ò ¹ Ð Ð k N Ö ØÞ Òµ Ö Ò (a n ) Ñ Ø Ñ ÉÙÓØ ÒØ Ò q ÐØ a n = a k q n k Ñ Ö ÙÒ ÓÖÑ Ð ÐØ k,m N Ò ÓÒ Ö Ö k Ð Ó Ù Ö Ö Ò Ð n Û µº Û a k+ = a k q a k+ = a k+ q = (a k q)q = a k q a k+3 = a k+ q = (a k q )q = a k q 3 a k+4 = a k+3 q = (a k q 3 )q = a k q 4 = = a n = a k+(n k) = a k q n k Ù Ò Ö ÓÖÑ Ð Ò a k Ð ÖØ a k = a n q k n Û Þ Ø k Ù Ö Ö Ò Ö Ð nº Ô Ð ½ ÁÒ Ò Ö Ø a 9 = 4 ÙÒ a = 50º Ö Ò Ò Ë a 89 º q = a 89 = a = a 9 q 9 50 = 4q 50 4 = q q = ±. a 89 = a q 89 = =

31 ÇÅ ÌÊÁË À ÇÄ Æ ÍÆ Ê ÁÀ Æ Ä ¼ Ù Ò ÓÑ ØÖ ÓÐ Ò µ Ù Ä Ø Ò ÚÓÖ µ Ð Ò Ò Ò Ò Ð Ò Ò Ò Ò Ò Ö µ,.,.,.33 µ 0., 0.,0.4, 0.8 µ 4,8, µ,, 4, 8 Ù a 000 Ö Ò Òµ Ö Ò Ò Ë ½¼¼¼º Ð Ö º µ 8,8.5,... µ 6,,... Ù ÓÐ Ò Ð Ö Ò Òµ Ö Ò Ò Ë Ù Ø Ð º µ a 4 = 0 a = 40 a 8 =? µ a 4 =. a 8 = a 5 =? Ò Ø Ñ Ù Ù Ö ÜÔÐ Þ Ø Ò Ø ÓÒµ µ a 7 = 00 a 0 =.5 a 8 =? Ù ¼ ÜÔÐ Þ Ø Ò Ø ÓÒ Ò Òµ Ò Ë Ò ÜÔÐ Þ Ø Ò Ø ÓÒ Ò Ö ÙÒ Ö Ò Ò Ë Ù Ø Ð º µ a 4 = 7 q = 0.3 a 7 =? µ a 5 =.7 q =.3 a 0 =? Ò Ø Ñ Ù µ µ a 6 = 00 a = 50 a 5? Ò Ø Ñ Ù µ Ù ½ Ï Ú Ð Ð Ö Ö 8,9,... Ò Ð Ò Ö Ð 0 Ù ¾ Ï Ú Ð Ð Ö Ö 000,999,... Ò Ö Ö Ð Ù Ï Ú Ð Ð Ö Ö,.,... Ð Ò ÞÛ Ò 000 ÙÒ Ù Û Ò 5 ÙÒ 5 Ò ¾ Ð Ö Ó ÒÞÙ Ò Ò ÒØ Ø Øº Ù ÁÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓÒ ÚÓÒ µ µ (a n ) Ò º Ò Ë Ø Ò ÜÔÓÒ ÒØ ÐÐ Ï ØÙÑ ÙÒ Ø ÓÒ f(t) = ab t Û Ð ÓÐ ÒØ ÖÔÓÐ ÖØ º º Ö f(n) = a n n N ÐØº µ Ð Ò Ô Ð ÞÙ µ Ò Ë ÙÒ Ø ÓÒ f Ò Û Ð,3,... ÒØ ÖÔÓÐ ÖØº Ù ¾¼³¼¼¼ Öº Û Ö Ò Û Ö Ò ½ Â Ö Ò ÞÙ 6% Ò Ð Øº Ù Û Ð Ò ØÖ Û Ø Ã Ô Ø Ð Ò Ö Ø Òº Ù ËØÖÓÑÔÖÓ Ù Ø ÓÒ ØÖÙ Ò Ö Ë Û Þ Ñ Â Ö ½ ¼ kwh Ñ Â Ö ½ kwhº µ Ö Ò Ò Ë Ñ ØØÐ Ö ÖÐ ÙÒ Ñ Ò ÈÖÓÞ ÒØ Ò µ Ö Ò Ò Ë ËØÖÓÑÔÖÓ Ù Ø ÓÒ Ñ Â Ö ¾¼½¼ ÙÒØ Ö Ö ÒÒ Ñ Ñ ØØÐ Ö ÖÐ ÙÒ Ñ Ò µ ÞÙØÖ Øº

32 ÇÅ ÌÊÁË À ÇÄ Æ ÍÆ Ê ÁÀ Æ Ä ½ Ù µ. =.. =.33. ja µ = = ja µ nein Ä ÙÒ Ò ÓÑ ØÖ ÓÐ Ò µ µ 4 nein Ù µ q = =.065 a 000 = a q 999 = = µ q = 6 = 0.75 a 000 = a q 999 = 6 ( 0.75) 999 = Ù µ a = a 4 q 8 40 = 0q 8 q = ±4 8 = ± 4 a 8 = a 4 q 4 = 0 (± 4) 4 = 0 = 0 µ a 8 = a 4 q 4 =.q 4 q = ±(. ) 4 = ± º a 5 = a 8 q 7 a 5 = (±0.9554) 7 = ±0.73 µ a 0 = a 7 q 3.5 = 00q 3 q = (.5 00 ) 3 = 0,5 º a 8 = a 7 q = 00 ( 0.5) = 50 Ù ¼ µ Æ Ö ÓÖÑ Ð a n = a k q n k Ø a = a 4 q 3 = = 000 º Ò Ö ÓÖÑ Ð a n = a q n µ a n = n º a 7 = = µ a = a 5 q 4 =.7 (.3) 4 = a n = (.3) n º a 0 = (.3) 9 = 6.3 µ a = a 6 q 5 50 = 00q 5 q = ( ) 5 = a = a 6 q 5 = = 00 a n = n º a 5 = = Ù ½ q = 9 8,a = 8 ÜÔÐ Þ Ø Ö Ø ÐÐÙÒ a n = 8 ( 9 8 )n º a n = 0 8 ( 9 8 )n = 0 º Ù Ò Ò n ( 9 8 )n = 0 8 (n )ln( 9 8 ) = ln(0) ln( ) n = ln( 9 8 ) n = ln(0 8 ) ln( 9 8 ) + n = 7.9 n = 7 Ù ¾ ÜÔÐ Þ Ø Ö Ø ÐÐÙÒ a n = 000 ( )n º a n = 000 ( )n = ( )n = (n ) ln( 000 ) = ln( 000 ) n = ln( 000 ) n = ln( ) ln( 000 ) ln( ) + = n = 6905

33 ÇÅ ÌÊÁË À ÇÄ Æ ÍÆ Ê ÁÀ Æ Ä ¾ Ù ÜÔÐ Þ Ø Ö Ø ÐÐÙÒ a n =. n º µ Ò ÙÒ a n 000 a n = 000. n = 000 (n )ln. = ln000 n = ln000 ln. n = ln000 ln. + = 73.5º n = 74 Ø Ö Ð Ò Ø ÁÒ Ü Ñ Ø a n 000 µ Ò ÙÒ a n 0000 a n = Ò ÐÓ ÞÙ µµ n = ln0 000 ln. + = 97.6º n = 97 Ø Ö Ö Ø ÁÒ Ü Ñ Ø a n µ Ò ÙÒ Ò µ ÙÒ µ ÞÙ ÑÑ Ò a 74,...,a 97 Ò Ò Ù Ð Ö ÞÛ Ò ½¼¼¼ ÙÒ ½¼³¼¼¼º 4 ËØ Ù 5 = 5q 3 q = ( 5 5 ) 3 = 8 5 º a k = 5 ( 8 5 ) = 00 a k+ = 5 ( 8 5 ) = 30 Ù µ ÜÔÐ Þ Ø Ö Ø ÐÐÙÒ Ö a n = a q n º f(t) = a q t ÒØ ÖÔÓÐ ÖØ (a n )º Ö Ø ÐÐÙÒ Ò Ö ÓÖÑ f(t) = ab t f(t) = a q qt º µ a =,q = 3 =.5 Ð Ò Ò µ Ò ØÞ Òµ f(t) = 4 3.5t Ù Ã Ô Ø Ð Ñ Ò ½º Â Ö a = Ã Ô Ø Ð Ñ Ò ¾º Â Ö a = Ã Ô Ø Ð Ñ Ò ½ º Â Ö a 5 = = Fr Ù µ Ñ Ø a = a 9 = º Ò ØÞ Ò Ò a 9 = a q = q 8 q = ( ) 9 8 =.056º ÖÐ ÙÒ Ñ Ø.56% µ ¾¼½¼ ÒØ ÔÖ Ø Ñ ÓÐ Ò Ð a 3 º a 3 = a q 30 = (.056) 30 = kwh

34 ÇÅ ÌÊÁË À ÇÄ Æ ÍÆ Ê ÁÀ Æ Ä º ÓÑ ØÖ Ê Ò ¾Ä (a n ) Ò º ÙÖ n s n := i= Ò ÖØ ÓÐ (s n ) Ø ÓÑ ØÖ Ê Êµº a i Ô Ð (a n ) Ø Ò ÙÖ a n := 3 n º Ö Ò Ò Ë Ö Ø Ò Ð Ö Ö ÓÑ ØÖ Ò Ê (s n )º s = s = s 3 = s 4 = s 5 = a i = a = 3 = 6 i= a i = a +a = 6+3 = 8 i= 3 a i = a +a +a 3 = = 4 i= 4 a i = a +a +a 3 +a 4 = = 90 i= 5 a i = a +a +a 3 +a 4 +a 5 = = 86 i=

35 ÇÅ ÌÊÁË À ÇÄ Æ ÍÆ Ê ÁÀ Æ Ä ÍÑ s n Ò Ö ÙÒ Ò ÐÐ Ö Ö Ò Ò ÞÙ ÒÒ Ò Ø Ò ÓÖÑ Ð Ö Ò (a n ) ÙÒ Ö Ê (s n ) ÐØ s n = a q n q (q ) Û ÙÖ ÒÛ Ò Ò Ú ÓÒ Ð ÓÖ Ø ÑÙ Ö ÈÓÐÝÒÓÑ Ö ÐØ Ñ Ò Ð ÙÒ (q n ) : (q ) = q n +q n +q n Ö Ù ÓÐ Ø s n = a +a +a a n = a +a q +a q +...+a q n = a (+q +q +...+q n ) = a qn q Ô Ð ½ ÙÑ Ó Ò Ô Ðµ (a n ) Ø Ò ÙÖ a n := 3 n º Ö Ò Ò Ë ËÙÑÑ Ö Ö Ø Ò Ð Öº q = a a = 6 = º s 5 = a q 5 q = 6 5 = 6 ( 5 ) = 86

36 ÇÅ ÌÊÁË À ÇÄ Æ ÍÆ Ê ÁÀ Æ Ä Ù Ò ÓÑ ØÖ Ê Ò Êµ Ù Ò Ø,.5,...º Ö Ò Ò Ë ËÙÑÑ Ö Ö Ø Ò ½¼¼ Ð Öº Ò Ù µ Ù Ï Ú Ð Ð Ö Ö 5,6,... ÑÙ Ñ Ò Ñ Ò Ø Ò Ö Ò Û ÒÒ Ö ËÙÑÑ Ö Ö Ð Ò Å ÐÐ Ö = 0 9 µ Û Ö Ò ÓÐÐ Ù ¼ ÁÒ Ò Ö Ø a = ÙÒ a 0 = º Ö Ò Ò Ë s 3 Ù Ò ÖØµ Ù ½ ÁÒ Ò Ö Ø s = 00 ÙÒ s = 0º Ö Ò Ò Ë s 6 Ù ¾ Ö Ò Ò Ë i= i +3 i Ù ÁÒ Ò Ö Ø a = q = 3 ÙÒ s n = 364º Ö Ò Ò Ë n ÙÒ a n º Ù ÁÒ Ò Ö Ø q = 0.5 ÙÒ s 8 = 85 3 º Ö Ò Ò Ë a ÙÒ a 8 º Ù ÁÒ Ò Ö Ø a 3 =.5 ÙÒ s =.5º Ö Ò Ò Ë a ÙÒ qº Ì ÔÔ Ð ÙÒ Ý Ø Ñ Ñ Ø ¾ Î Ö Ð Ò Ù Ø ÐÐ Òµ Ù Ë Ö ØØµ Ë Ò Ò Ë Ö ØØ ÚÓÖ Ð Òº Ë Ð Ò Ò Ê ÓÖÒ Ù Ö Ø Ð ÞÛ Ù ÞÛ Ø Ú Ö Ù Ö ØØ Ø Ù Ú ÖØ Ù Ûº Î Ö ÓÔÔ ÐÙÒ µ ÞÙÑ Ð ØÞØ Ò Ð ÆÖº º Ï Ð Ò Ò Ë Ø Ø Û ÒÒ Ë Ë ÙÒ Ò Ê ÓÖÒ Ð Ò Ù È Ö Ó ÐÙÒ Òµ ÙÖ Ò ÒÞ ÖÙÒ Ò Ò Ò À Ù Þ ÐØ Ò Ñ Ð Û Ö Ò ½¼ Â Ö Ò Û Ð Ñ Â Ö Ò Ò ¼¼¼ Öº Ù Ò ËÔ Ö Ø Ò Ñ Ø Ñ Ø Ò Ò Ù 5%º Ï Ð ÙØ Ò ØÞØ Ñ Ð Ñ Ò Ö ½¼ Â Ö Ù ÎÓÒ Ò Ö ÒÒØ Ñ Ò s = 0 ÙÒ s = 9º Ö Û Ð n ÐØ s n > 99

37 ÇÅ ÌÊÁË À ÇÄ Æ ÍÆ Ê ÁÀ Æ Ä Ä ÙÒ Ò ÓÑ ØÖ Ê Ò Êµ Ù s n = a q n q º s 00 = = = Ù s n = 0 9 q a n q = 09 5 (6 5 )n 6 5 = ( (6 5 )n = n ln 5 = ln(09 5 ) n = ln(09 Ù ¼ Ù Ö Ø q Ö Ò Ò a 0 = a q 9 = q 9 q = 9 º Ñ Ø Ö Ò s 3 s 3 = q3 q = ( 9) 3 Ù ½ Ù Ö Ø q Ö Ò Ò 9 = 0 9 ( 6 5 )n = n = 37.º n = 38 5 )n 5 5 ) ln 6 5 = = s = a q q º a = s = 00 ÙÒ s = 0 Ò ØÞ Ò 0 = 00 q q 0 = 00(q+) q = 4 5 º Ñ Ø Ö Ò s 6 q s 6 = a 6 q = 00 ( 4 5 )6 = Ù ¾ i= i +3 i = i= i + i= 3i = = Ö Ø Ð ÙÒ ÐØ Û Ò ÃÓÑÑÙØ Ø Ú ØÞ Ö Ø ÓÒº Ù q s n = a n q º Ð Ò Ò ØÞ Ò 364 = 3n 3 3n = 78 nln3 = ln78 n = ln79 ln3 n = 6 º a 6 = a q 5 = 3 5 = 43 Ù q s 8 = a 8 85 q º Ð Ò Ò ØÞ Ò 3 = a ( 0.5) = a 85 8 a = 4 º a 8 = a q 7 = 4 ( )7 = 3 Ù a 3 = a q q s = a q.5 = a q q.5 = a q.5 = a q.5 = a (q +) I:II.5.5 = q q+.5(q +) = q.5 0 =.5q.5q.5 q = 0.6,q =.5º q Ò ØÞ Ò Ò Á.5 = a ( 0.6) a = 6.5º q Ò ØÞ Ò Ò Á.5 = a.5 a = º Ð Ó ÒØÛ Ö a = 6.5 ÙÒ q = 0.6 Ó Ö a = ÙÒ q =.5 Ù Ù Ñ Ö Ø Ò Ð Ø a = ÃÓÖÒ Ù Ñ ÞÛ Ø Ò a = Ã ÖÒ Ö Ù Ñ Ö ØØ Ò a 3 = 4 Ù Ñ Ú ÖØ Ò a 4 = 8 Ù Ûº Ø Ò Ñ Ø q = º s 64 = a q 64 q = 64 = 64 Ë ÙÒ Òº Ò = Â Ö Ù Ñ Ò Ò Ö Ø Ò Â Ö Ò Þ ÐØ Ò ¼¼¼ Öº Ð ÖÒ Ò ½¼ Â Ö Ò

38 ÇÅ ÌÊÁË À ÇÄ Æ ÍÆ Ê ÁÀ Æ Ä Ã Ô Ø Ð º Ñ Ò Ò ÞÛ Ø Ò Â Ö Ò Þ ÐØ Ò ¼¼¼ Öº Ð ÖÒ Ò Â Ö Ò Ã Ô Ø Ð º Ñ Ò Ò Ö ØØ Ò Â Ö Ò Þ ÐØ Ò ¼¼¼ Öº Ð ÖÒ Ò Â Ö Ò Ã Ô Ø Ð º º º Ñ Ò Ò Þ ÒØ Ò Â Ö Ò Þ ÐØ Ò ¼¼¼ Öº Ð ÖÒ Ò ½ Â Ö Ã Ô Ø Ð º ½¼ ØÖ Ð Ò Ò Ò Ò Ò Ö Ñ Ø q =.05º ÁÒ ÑØ Ø Ñ Ò Ò ½¼ Â Ö Ò Ð Ó Ã Ô Ø Ð K = = = Ù q s = a q s = a (q+)ºa = s = 0 ÙÒ s = 9 Ò ØÞ Ò 9 = 0(q+) q = 9 0 º q s n = 99 a n q = ( 0 )n 9 0 = 99 0 ( 9 0 )n = 99 00[( 9 0 )n ] = 0 99 ( 9 0 )n = ( 9 0 )n = 00 nln( 9 0 ) = ln 00 n = ln 00 n = ln n = 44

39 Ï ÀÊË À ÁÆÄÁ ÀÃ ÁÌËÊ ÀÆÍÆ Ì ÁÄ ½ ½¾Äµ º½ º½º½ Ï Ö ÒÐ Ø Ö ÒÙÒ Ì Ð ½ ½¾Äµ Ï Ö ÒÐ Ø ÖÙÑ ¾Ä Ð Ñ ÒØ Ö Ö Ò Ï Ö ÒÐ Ø Ö ÒÙÒ ÙÒØ Ö Ù Ø Ù ÐÐ ÜÔ Ö Ñ ÒØ º Ô Ð ÚÓÒ Ù ÐÐ ÜÔ Ö Ñ ÒØ Ò Ï Ö Ò Ò Ï Ö Ð Ó Ö Ò Ö Å ÒÞ Þ Ò Ò Ö Ã ÖØ Ö Ò Ò Ð Ö ¹ º Ñ Ð Ò Ù Ò Ù ÐÐ ÜÔ Ö Ñ ÒØ Ò Ð Ñ ÒØ Ö Ö Ò ÙÒ Û Ö Ò Ó Ø Ñ Ø ω Þ Ò Øº Ô Ð Ñ Ï Ö ÐÒ Þ Ò Ø ω = 4 Ð Ñ ÒØ Ö Ö Ò Ò ¹ Û Ö ÐØ Û Ö º º½º¾ Ò Ø ÓÒ Ï Ö ÒÐ Ø Ö ÙÑ Ö Ö Ò Ö ÙÑ Ω Ò Ù ÐÐ ÜÔ ¹ Ö Ñ ÒØ Ø Å Ò ÐÐ Ö Ð Ñ ÒØ Ö Ö ¹ Ò ωº Ô Ð Ñ Ï Ö ÐÒ ÐØ Ω ={,,3,4,5,6} Â Ñ Ð Ñ ÒØ Ö Ö Ò ω ÓÖ Ò Ø Ñ Ò Ò Ð Ñ ÒØ ÖÛ Ö ÒÐ Ø p(ω) ÞÙº Ô Ð Ñ Ï Ö ÐÒ ÐØ p() = p() =... = p(6) = 6 º Ò Ö Ò Ö ÙÑ Ω Ñ ¹ Ñ Ð Ñ ÒØ ω Ò Ð Ñ ÒØ ÖÛ Ö¹ ÒÐ Ø p(ω) 0 ÞÙ ÓÖ Ò Ø Û Ö Ø Ï Ö ÒÐ Ø Ö ÙÑ ÐÐ ω Ωp(ω) = ËÙÑÑ ÐÐ Ö Ð Ñ ÒØ Ö¹ Û Ö ÒÐ Ø Ò Ø ½µ Ç Ω Ø Ò Ï Ö ÒÐ Ø Ö ÙÑ p(ω) = p()+...+p(6) = = ω Ω

40 Ï ÀÊË À ÁÆÄÁ ÀÃ ÁÌËÊ ÀÆÍÆ Ì ÁÄ ½ ½¾Äµ Ò Ö Ò A Ø Ò Ì ÐÑ Ò ÚÓÒ Ωº Ñ Ö ÙÒ Ö Ò Û Ö Ò Ñ Ø ÖÓ Ù Ø Ò Ð Ñ ÒØ Ö Ö Ò Ñ Ø ÃÐ Ò¹ Ù Ø Ò Þ Ò Øº Ô Ð A Ö Ò Ñ ÒÑ Ð Ò Ï Ö ÐÒ Ð Ó Ö Ö Û Ö ÐØ Û Ö º ÒÒ ÐØA = {3,4,5,6}º Ï Ö ÒÐ ØP(A) Ò Ö¹ Ò A Ω Ø P(A) = ω Ap(ω) ËÙÑÑ Ö Ð Ñ ÒØ ÖÛ Ö ÒÐ ¹ Ø Ò ÚÓÒ µ ÁÒ ÓÒ Ö ÐØ P(Ω) = Ö Ö Ò µ ÙÒ Ñ Ò Ú Ö Ò ÖØP( ) =0 ÙÒ¹ Ñ Ð Ö Ò µº Ô Ð ½ Ï ÖÓ Ø Ï Ö ÒÐ Ø P(A) Ñ Ó Ò Ô Ð Ñ ÒÑ Ð Ò Ï Ö ÐÒ Ð Ó Ö Ö Û Ö ÐØ Û Ö P(A) = p(3)+p(4)+p(5)+p(6) = 4 6 = 4 6 = 3 A Ç Ò ØÐ ÐØ Ö P(A) = ÐÐ p(ω) Ò Ð Ò Ï ÖØ Òº Ω Ë Ò Ò Ò Ñ Ï Ö ÒÐ Ø Ö ÙÑ Ω ÐÐ Ð Ñ ÒØ ÖÛ Ö ÒÐ Ø Ò p(ω) Ð ÖÓ Ó ÐØ Ö Ö Ò A Ω P(A) = A Ω ËÓÐ Ï Ö ÒÐ Ø ÖÙÑ Ñ Ø ÒØ Ò Ð Ñ ÒØ ÖÛ Ö ÒÐ Ø Ò Ò Ä ÔÐ ¹ÊÙÑ º

41 Ï ÀÊË À ÁÆÄÁ ÀÃ ÁÌËÊ ÀÆÍÆ Ì ÁÄ ½ ½¾Äµ ¼ Ù Ò ½ Ï Ö ÒÐ Ø ÖÙÑ Ù Ð Ö µ Ò Ð Ö Ø Ò ½¾ Ð ÃÖ ØÓÖ Ò Ò Ø ÐØ Û Ð ÚÓÒ ½ ½¾ ÙÖ ¹ ÒÙÑÑ Ö ÖØ Ò º Û Ö ÒÑ Ð Ö Øº µ Ë Ö Ò Ò Ï Ö ÒÐ Ø Ö ÙÑ Ω Ò ÙÒ Ö Ð Ñ ÒØ Ö Ö¹ Ò ÞÙ Ö Ð Ñ ÒØ Ö ÒÐ Ø Òº µ Ö Ò Ï Ö ÒÐ Ø Ö Ø Ð µ Ö Ö Ð Ø µ ÙÒ Ð ½¾ Ø µ Ð Ò Ö Ð Øº Ù ¼ ÓÒ ÓÒ ¹ Ó µ ÁÒ Ò Ö ÓÒ ÓÒ ¹ Ó Ò Ò ËÓÖØ Ò ÓÒ ÓÒ ½¾ Ö Ö¹ ÓÒ ÓÒ ½ À Ñ Ö¹ ÓÒ ÓÒ ÙÒ ¾ È ÖÑ ÒÞ¹ ÓÒ ÓÒ º ØÞ Ò ÑÑØ Ó Ò ÒÞÙ Ù Ò Ò ÓÒ ÓÒ Ö Ù º µ Ë Ö Ò Ò Ï Ö ÒÐ Ø Ö ÙÑ Ω Ò ÙÒ Ö Ð Ñ ÒØ Ö Ö¹ Ò Ï Ö ÒÐ Ø Òº µ Ö Ò Ï Ö ÒÐ Ø Ò Ö Ö Ò Ö Ö¹ ÓÒ ÓÒ Ò À Ñ Ö¹ ÓÒ ÓÒ ÞÛº Ò È ÖÑ ÒÞ¹ ÓÒ ÓÒ ÖÛ Ø º Ù ½ Ð Ö µ Ö Ñ Þ Ò Ø Ò Ð Ö Ø Ð Ö Ò Ò ÎÓ Ð ÓÔÔ ÐØ Ó ÖÓ Û Ö Ò Ò ÃÓÒ ÓÒ ÒØ Òº Ê Û Ö ÒÑ Ð Ö Øº Ò µ Ò Ò Ï Ö ÒÐ Ø Ö ÙÑ Ω Ò ÙÒ Ï Ö ÒÐ Ø Ò Ö Ð Ñ ÒØ Ö Ö Ò º µ Ö Ò Ï Ö ÒÐ Ø Ð Ö Ò Ñ ÎÓ Ð Ø Ò Ð Øº µ Ö Ò Ï Ö ÒÐ Ø Ö Ò Ò ÃÓÒ ÓÒ Ø Òº Ù ¾ Û Ö Å ÒÞÛÙÖ µ Û Å ÒÞ Ò Û Ö Ò Ð Þ Ø ÛÓÖ Òº Â Þ Ø ÃÓÔ Ó Ö Ð Òº µ Ë Ö Ò Ò Ï Ö ÒÐ Ø Ö ÙÑ Ω Ò ÙÒ p(ω) Ò ω Ωº µ Ö Ò Ï Ö ÒÐ Ø ÞÛ Ñ Ð ÃÓÔ Ó Ö ÞÛ Ñ Ð Ð ÐÐØº µ Ö Ò Ï Ö ÒÐ Ø Ñ Ò Ø Ò ÒÑ Ð ÃÓÔ ÐÐØº Ù Â ÖØ Òµ ÎÖ Ò Þ Ø Ù Ò Ñ Â ÖØ Ò¹ËÔ Ð Ã ÖØ Ò Ö Òµ Ò Ã ÖØ º Å Ø Û Ð¹ Ö Ï Ö ÒÐ Ø Þ Ø µ Ò Ð µ Ò Ò Ç Ö Ó Ö Ã Ò µ ÊÓ Ò¹ µ Ò Ð Ó Ö Ò Æ ÙÒº Ù ÓÖÑ Ð Ù µ Ò Ö Ò Ò Ï Ö ÒÐ Ø Ö ÙÑ Ω Ñ Ø P(A B) = 4 5 P(A B) = 5 4 P(A B) = 5 º Ö Ò P(A) P(B) P(A B) P(A B)º

42 Ï ÀÊË À ÁÆÄÁ ÀÃ ÁÌËÊ ÀÆÍÆ Ì ÁÄ ½ ½¾Äµ ½ Ä ÙÒ Ò ½ Ù µ Ω := {,,3,4,5,6,7,8,9,0,,} p(ω) = ω Ω µ µ A := {6,7,8,9,0,,} P(A) = A Ω = 7 µ B := {,,3,4,5,6,7,8,9,0,} P(B) = B Ω = µ C := {,,3,4,5,6,7,8} P(C) = C Ω = 8 = 3 Ù ¼ µ Ω := {e,e,e 3,...,e,h,h,h 3,...,h 6,p,p,p 3,...,p 3} p(ω) = 60 ω Ω µ E := {e,e,e 3,...,e } P(E) = E Ω = 60 = 5 H := {h,h,h 3,...,h 6} P(H) = H Ω = 6 60 = 4 5 P := {p,p,p 3,...,p 3} P(P) = P Ω = 3 60 = 8 5 Ù ½ µ Ω := {a,b,s,r,e,n} p(a) = p(e) = 4 p(b) = p(s) = p(r) = p(n) = 8 Ø Ö Ø Ù ÛÓ Ω Ò Ä ÔÐ ¹Ê ÙÑ Øºµ µ V := {a,e} P(V) = p(a)+p(e) = = µ K := {b,s,r,n} P(K) = p(b)+p(s)+p(r)+p(n) = 4 8 = Ù ¾ µ Ω := {kk,kz,zk,zz} p(ω) = 4 ω Ω µ A := {kk,zz} P(A) = A Ω = 4 = µ B := {kk,kz,zk} P(B) = B Ω = 3 4 Ù Ω = 36 µ A := Ö Ò ÎÖ Ò Ò Ð Þ Ø A = 9 P(A) = A Ω = 9 36 = 4 µ B := Ö Ò ÎÖ Ò Ò Ò Ç Ö Ó Ö Ã Ò Þ Ø P(B) = B Ω = = 9 µ C := Ö Ò ÎÖ Ò ÊÓ Ò¹ Þ Ø P(C) = C Ω = 36 µ D := Ö Ò ÎÖ Ò Ò Ð Ó Ö Ò Æ ÙÒ Þ Ø P(D) = D Ω = = 7 9 Ù A B A B A B A B ÒÙÒ µ P(A) = P(A B)+P(A B) = = µ P(B) = P(Ω) P(B) = P(Ω) [P(A B)+P(A B)] = [ 4 + ] = µ P(A B) = P(A B)+P(A B)+P(A B) = = µ P(A B) = P(A B) = P(Ω) P(A B) = c) 4 = 5 5

43 Ï ÀÊË À ÁÆÄÁ ÀÃ ÁÌËÊ ÀÆÍÆ Ì ÁÄ ½ ½¾Äµ ¾ º¾ º¾º½ Å Ö ØÙ Ù ÐÐ ÜÔ Ö Ñ ÒØ ¾Ä Ô Ð Ò ÞÛ ØÙ ÜÔ Ö Ñ ÒØ Ô Ð ½ Ö ØÞ ÙÒ ÎÖ Ò ÐÓ Ò Ù Û Ö Û Ò ÑÙ º ÞÙ Ú ÖÛ Ò Ò ¾ Ì Ô ÞÙ ÑÑ Ò Ð Ù ÙÒ Û ÃÙ ÐÒ ÒØ ÐØ Òº ½ ¾ ÎÖ Ò Û ÐØ Ñ Ø Ú Ö ÙÒ Ò Ò Ù Ò Ò Ò ÌÓÔ Ù ÙÒ Þ Ø Ò Ð Ò Ò ÃÙ Ðº Á Ø Ð Ù Ø ÛÓÒÒ Òº Å Ø Û Ð Ö Ï Ö ÒÐ Ø Û ÒÒØ Ω := {w,b,w,b} º º ÙØ Ø Ð Ñ ÒØ Ö Ö Ò ω = b ÎÖ Ò Ö ¾ ÒØ ¹ Ø ½º ËØÙ µ ÙÒ Ò Ð Ò Ö Ù Ò Ð Ù ÃÙ Ð Þ Ø ¾º ËØÙ µº A := {b,b} = Ö Ò ÎÖ Ò Ò Ð Ù ÃÙ Ð Þ Øº P(A) = p(b)+p(b) = = = = 7 40

44 Ï ÀÊË À ÁÆÄÁ ÀÃ ÁÌËÊ ÀÆÍÆ Ì ÁÄ ½ ½¾Äµ º¾º¾ ÙÑ Ö ÑÑ Ö Û ÐÐ µ ½ 6 0 Å Ö ØÙ ÜÔ Ö Ñ ÒØ Û Ö Ò Ó Ø Ñ Ø Ó Ò ÒÒØ Ò ÙÑ Ö ÑÑ Ò Ö ¹ Ø ÐÐØ ¾ Ð Ù Û Ð Ù Û ÃÙ Ð ÃÙ Ð 3 4 ½º ËØÙ Ï Ð ¾º ËØÙ Ï Ð Ö ÃÙ Ð ÎÖ Ò Þ Ø Ò Ð Ù ÃÙ Ð Ñ Ø Ö Ï Ö ÒÐ Ø p = = = 7 40 ÙÒ Ò Û ÃÙ Ð Ñ Ø Ö Ï Ö ÒÐ Ø p = = = 3 40 Ó ØÙÒ È Ö ÐÒµ È ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ Ö Ð Ï Ö ÒÐ Ø Ò ÐÒ Ò È Û Ö Ò ÑÙÐØ ÔÐ Þ ÖØº È Ø ÓÒ Ö Ð Ï Ö ÒÐ Ø Ò Ú Ö Ò Ö È Û Ö Ò ÖØº

45 Ï ÀÊË À ÁÆÄÁ ÀÃ ÁÌËÊ ÀÆÍÆ Ì ÁÄ ½ ½¾Äµ Ù Ò ¾ Å Ö ØÙ Ù ÐÐ ÜÔ Ö Ñ ÒØ Ù À ÐØ Ö Ò Ò Ð ÑÙ Ò Ò Ñ Ø ÑÑØ Ò Ì Ò Ö Ö Ä Ø ÞÙ Ö Ñ À Ù Ò Ù ØÖ Ò ÔÓÖØ Ö Òº ÞÙ Ò Ø Ø À Ð Ö Ð º Á Ø À ÐØ Ö Ò Ò Ò Ñ Ì ÙØ Ð ÙÒØ ØÖ Ø Ñ Ø ± Ï Ö ÒÐ Ø ÞÙµ ÓÖ Ø Ö Ð Ñ Ø ¼± Ï Ö ÒÐ Øº Á Ø À ÐØ Ö Ò Ò Ò Ø ÙØ Ð ÙÒØ ÓÖ Ø Ö ÒÙÖ Ñ Ø ¾¼± Ï Ö ÒÐ Øº Å Ø Û Ð Ö Ï Ö ÒÐ Ø ØÖ Ø Ö Ð Ä Ø Ñ Ø ÑÑØ Ò Ì Ù Å Ü ÙÒ ÅÓÖ ØÞ Û Ö Ò Û ÐÙÒ Û Ù Ò Ò ÐØ Ò ÐÙÑ Ò¹ ØÓÔ º Â Ö Û Ö Ø ÞÛ Ñ Ðº Å Ü ÒÒØº Å Ü Þ Ö Ø ÖØ Ò ÐÙÑ ÒØÓÔ Ò Ñ ÏÙÖ Ñ Ø ¾¼± Ï Ö ÒÐ Ø ÅÓÖ ØÞ Ñ Ø 30%º Ò Þ Ö Ø ÖØ Ö ÌÓÔ ÙØ Ø Ò Ø ÖÐ Ò ËÔ Ð ºµ µ Ï ÖÓ Ø ÖÐ Ò Ò ÐÙÑ ÒØÓÔ Ñ ËÔ Ð µ Ï ÖÓ Ø Ï Ö ÒÐ Ø ÅÓÖ ØÞ Ò ÐÙÑ ÒØÓÔ Þ Ö Ø ÖØ µ Ï ÖÓ Ø Ï Ö ÒÐ Ø Å Ü Ò ÐÙÑ ÒØÓÔ Þ Ö Ø ÖØ Ù ÒÒ ÙÒ Ö Ö Û Ö ÐÒ ÒÑ Ð Ñ Ø Ò Ñ Ö ÙÐÖ Ò ËÔ ÐÛ Ö Ðº ÒÒ ÒÒØº Ï ÖÓ Ø Ï Ö ÒÐ Ø Ö Ö Ð µ Ð Ö ÚÓÒ ÒÒ Ø µ Ð Ò Ö Ð ÚÓÒ ÒÒ Ø µ Ö Ö Ð ÚÓÒ ÒÒ Ø Ù ÁÒ Ò Ñ Ò Ò ÖÓØ ÙÒ Ð Ù ÃÙ ÐÒº Ö Ò Þ Ø Ò ÃÙ Ð ÒÓØ ÖØ Ö ÙÒ Ð Ø ÞÙÖ Ë Ø º Ò Ð Ò Þ Ø Ö Ò ÞÛ Ø ÃÙ Ðº Ö Ò Ï Ö ÒÐ Ø ÞÛ Ø ÃÙ Ð ÖÓØ Øº Ù ÁÒ Ò Ñ Ò Ò ÖÓØ ÙÒ Ð Ù ÃÙ ÐÒº ÍÖ Þ Ø Ö ÃÙ ÐÒ Ó Ò ÙÖ Ð Òº Ö Ò Ï Ö ÒÐ Ø Ö µ ÖÓØ ÃÙ ÐÒ Þ Øº µ Ð Ù ÃÙ ÐÒ Þ Øº µ ¾ ÖÓØ ÙÒ Ò Ð Ù ÃÙ Ð Þ Øº µ ¾ Ð Ù ÙÒ Ò ÖÓØ ÃÙ Ð Þ Øº Ù ¼ ÁÒ Ò Ö Ë Ø Ð Ð Ò ½¼ Ù ÖÐ Ò Ø ÙÒØ Ö Ö Ð Ö¹ Ò Òº Ò Ù ÞÛ Ö Ð ÖÒ Ò Ò ÐÐ Ö Ò Øº Ò ÒÙÒ ÐÓ È Ö ÓÒ Ò ÑÑØ ÞÛ Ð ÖÒ Ò Ù Ö Ë Ø Ðº Å Ø Û Ð Ö Ï Ö ÒÐ Ø µ Ò Ð ÖÒ Ò ÒÞ µ Ò Ð ÖÒ Ò Ø µ Ø Ò Ù Ò Ð ÖÒ Ø Ù ½ Ã Ö Ò ØÖ Ø Ò ÃÓÖ Ñ Ø ÐÐ Ô Ð ÔÖÓ ÏÙÖ Ñ Ø ¼± Ï Ö¹ ÒÐ Øº Ö Ò Ï Ö ÒÐ Ø Ò Ï Ö Ò µ Ð ÙØ Ö ÌÖ Ö ÖÞ ÐØº µ Ñ Ò Ø Ò ¾ ÌÖ Ö ÖÞ ÐØº Ù ¾ Ì Ñ Û Ö Ø Ö Å ÒÞ Ò Ð Þ Ø ÌÓÑ ÒÙÖ ÞÛ º Ï ÖÓ Ø Ï Ö Ð Ø ÌÓÑ Ñ Ö Å ÒÞ Ò ÃÓÔ Þ Ò Ð Ì Ñ

46 Ï ÀÊË À ÁÆÄÁ ÀÃ ÁÌËÊ ÀÆÍÆ Ì ÁÄ ½ ½¾Äµ Ù Ä ÙÒ Ò ¾ Ω := {gf,gn,sf,sn}º Ô Ð Û ÙØ Ø Ð Ñ ÒØ Ö Ö Ò ω := gn À ÐØ Ö Ò ÙØ Ð ÙØ Ø Ö Ð Ö Ò Ø ÓÐ Ñº A := {gf,sf} Ω Ø Ö Ò Ö Ð ÓÐ Øº Ù P(A) = p(gf)+p(sf) = = 0.5 Ω := {t,nt,nnt,nnnt,nnnn}º Ô Ð Û ÙØ Ø Ð Ñ ÒØ Ö Ö Ò ω := nnt Ö Ø Ò Ò Ï Ö Ò ÌÖ Ö Ò ÙÒ Ö Ö ØØ Ö ÌÖ Öº º º Å Ü ØÖ Ø Ò Ò Ñ ÞÛ Ø Ò ÏÙÖ ºµ µ A := {nnnn} = Ö Ò Ö ÌÓÔ ÖÐ Ø P(A) := p(nnnn) = = µ B := {nt,nnnt} = Ö Ò ÅÓÖ ØÞ Ò ÌÓÔ Þ Ö Ø ÖØ P(B) = p(nt)+p(nnnt) = = µ C := {t,nnt} = Ö Ò Å Ü Ò ÌÓÔ Þ Ö Ø ÖØ P(C) = p(t)+p(nnt) = = 0.3 Ù Ω := {,,3,...,64,65,66} ÒØ ÐØ Ð Ñ ÒØ º Ô Ð Û ÙØ Ø Ð ¹ Ñ ÒØ Ö Ö Ò ω = 5 ÒÒ Û Ö Ø ÙÒ Ò Ð Ò Ö Ö ¾º Ø Ò Ä ÔÐ ¹Ê ÙÑ Ñ Ø p(ω) = 36 ω Ωº µ A := {,,33,44,55,66} P(A) = A Ω = 6 36 = 6 µ B := {,3,3,4,4,43,5,5,53,54,6,6,63,64,65} P(B) = B Ω = 5 36 = 5 µ C := {,3,4,5,6,3,4,5,6,34,35,36,45,46,56} P(C) = C Ω = 5 36 = 5 Ù Ω := {rr,rb,br,bb}º Ô Ð Û ÙØ Ø Ð Ñ ÒØ Ö Ö Ò ω = br Ö Ò ÞÙ Ö Ø Ò Ð Ù ÙÒ Ò Ð Ò Ò ÖÓØ ÃÙ Ð Þ Øº Ã Ò Ä ÔÐ ¹ Ê ÙÑµ A := {rr,br} = Ö Ò ÞÛ Ø ÃÙ Ð ÖÓØ Øº P(A) = p(rr) +p(br) = = = 56 = 3 8 Ù Ω := {rrr,rrb,rbr,brr,rbb,brb,bbr,bbb}º Ô Ð Û ÙØ Ø Ð Ñ ÒØ Ö Ö¹ Ò ω = rbr ÍÖ ÞÙ Ö Ø Ò ÖÓØ ÒÒ Ò Ð Ù ÙÒ Ñ Ë ÐÙ Ò ÖÓØ ÃÙ Ð Þ Øº Ã Ò Ä ÔÐ ¹Ê ÙÑµ

47 Ï ÀÊË À ÁÆÄÁ ÀÃ ÁÌËÊ ÀÆÍÆ Ì ÁÄ ½ ½¾Äµ µ A := {rrr} = Ö Ò ÍÖ ÖÓØ ÃÙ ÐÒ Þ Øº P(A) = = 56 µ B := {bbb} = Ö Ò ÍÖ Ð Ù ÃÙ ÐÒ Þ Øº P(B) = = 5 8 µ C := {rrb,rbr,brr} = Ö Ò ÍÖ ÞÛ ÖÓØ ÙÒ Ò Ð Ù ÃÙ Ð Þ Øº P(C) = p(rrb)+p(rbr)+p(brr) = = 5 56 µ D := {rbb,brb,bbr} = Ö Ò ÍÖ ÞÛ Ð Ù ÙÒ Ò ÖÓØ ÃÙ Ð Þ Øº P(D) = p(rbb)+p(brb)+p(bbr) = = 5 8 Ù ¼ Ω := {dd,dg,gd,gg}º Ô Ð Û ÙØ Ø Ð Ñ ÒØ Ö Ö Ò ω = dg È Ö ÓÒ ÞÙ Ö Ø Ò Ø ÖÒ Þ Ø ÙÒ Ò Ð Ò Ò ÒÞ º µ A := {gg} = Ö Ò Ð ÖÒ Ò ÒÞ Ò P(A) = p(gg) = = 8 45 µ B := {dd} = Ö Ò Ð ÖÒ Ò Ø Ò P(B) = p(dd) = 0 9 = 45 µ C := {dg,gd} = Ö Ò Ò Ù Ò Ð ÖÒ Ø Ø P(C) = p(dg)+p(gd) = = 6 45 Ù ½ Ω := {ttt,ttn,tnt,ntt,nnt,ntn,tnn,nnn}º Ô Ð Û ÙØ Ø Ð Ñ ÒØ ¹ Ö Ö Ò ω = tnt Ã Ö Ò Ñ Ö Ø Ò Ë Ù ØÖ Ø Ñ ÞÛ Ò Ò Ø ÙÒ Ñ Ö ØØ Ò Û Ö ØÖ Øº µ A := {ttt} = Ö Ò Ã Ö Ò ÐÐ Ò Ë Ò ØÖ Ø P(A) = p(ttt) = = 0.5 µ B := {ttt,ttn,tnt,ntt} = Ö Ò Ã Ö Ò Ñ Ò Ø Ò ¾ ÌÖ Ö ÖÞ ÐØ P(B) = p(ttt)+p(ttn)+p(tnt)+p(ntt) = = Ù ¾ Å Ð Ø Ò Ö Ì Ñ kkk,zkk,kzk,kkz,kzz,zkz,zzk,zzz Å Ð Ø Ò Ö ÌÓÑ kk,zk,kz,zz Ï Ö Ø ÐÐ Ò ÙÒ ÚÓÖ ÞÙ Ö Ø Ì Ñ Û Ö Ø ÙÒ ÒÒ ÌÓÑ Ç ÒØ Ö Ò Ò Ö Û Ö Ò Ó Ö Ð Þ Ø Ô ÐØ Ö Ò ÊÓÐÐ ºµ Ω := {(kkk,kk),(kkk,zk),(kkk,kz),...,(zzz,zz)} Ø Ø Ù ÐÐ Ò 8 4 = 3 ÃÓÑ Ò Ø ÓÒ Ñ Ð Ø Ò Ñ Ø Ï Ö Ò ÚÓÒ Ì Ñ ÙÒ ÌÓÑº Ä ÔÐ ¹Ê ÙÑ Ñ Ø p(ω) = 3 ω Ωµ ÌÓÑ Ñ Ö ÃÓÔ Û Ö Ø Ð Ì Ñ Ø ÒÙÖ Ñ Ð Û ÒÒ Ì Ñ Ø Ò Ò Å Ð ÃÓÔ Û Ö Ø A := {(zzz,kk),(zzz,zk),(zzz,kz),(kzz,kk),(zkz,kk),(zzk,kk)} Ö Ò ÌÓÑ Ñ Ö ÃÓÔ Û Ö Ø Ð Ì Ñ P(A) = A Ω = 6 3 = 3 6

48 Ï ÀÊË À ÁÆÄÁ ÀÃ ÁÌËÊ ÀÆÍÆ Ì ÁÄ ½ ½¾Äµ º Ò Ö Ò ¾Ä A Ω Ò Ö Ò º ÒÒ Ø A := Ω\A Ò Ö Ò ÚÓÒ Aº Ω A A P(Ω) = P(A)+P(A) = P(A)+P(A) P(A) = P(A) P(A) = P(A) Ï Ö ÒÐ Ø P(A) Ð Ø Ð Ó Ù Ö Ï Ö ÒÐ Ø P(A) Ö Ò Ö Ò Òº ÒÒ Ñ Ò ÞÙ ÆÙØÞ Ñ Ò Û ÒÒ Ö Ø ¹ Ö ÒÙÒ Ö ÒØ Ö Ö Ò Ò Ï Ö ÒÐ Ø P(A) Ù ÛÒ Ö Ø Ð ÚÓÒ P(A)

49 Ï ÀÊË À ÁÆÄÁ ÀÃ ÁÌËÊ ÀÆÍÆ Ì ÁÄ ½ ½¾Äµ Ô Ð ½ À Ò Û Ö ÐØ Ñ Ð ÒØ Ö Ò Ò Öº Å Ø Û Ð Ö Ï Ö ÒÐ Ø Û Ö ÐØ Ö Ñ Ò Ø Ò Ò Ω := {000,00,00,00,0,0,0,} º º ÙØ Ø ω = 0 À Ò Ñ Ö Ø Ò ÏÙÖ Ò Û Ö Ø Ñ ÞÛ Ø Ò Ò ÙÒ Ñ Ö ØØ Ò Û Ö Ò º Ö ÒÙÒ Ó Ò Ò Ö Ò A := {00,00,00,0,0,0,} = Ö Ò Ñ Ò Ø Ò Ò ÞÙ Û Ö Òº P(A) = p(00)+p(00)+p(00)+p(0) +P(0)+p(0)+p() = 3 ( 5 6 ) 6 +3 ( 6 ) 5 = ( 6 )3 Ö ÒÙÒ Ñ Ø Ò Ö Ò A = {000} = Ö Ò Ò ÞÙ Û Ö Òº P(A) = P(A) = ( 5 6 )3 = 0.4 ÁÑ Ò Ø Ò Ô Ð Ø Ö ÍÒØ Ö Ê Ò Ù Û Ò Ñ Ø ÙÒ Ó Ò ¹ Ò Ö Ò ÒÓ Ú Ð Ö Öº

50 Ï ÀÊË À ÁÆÄÁ ÀÃ ÁÌËÊ ÀÆÍÆ Ì ÁÄ ½ ½¾Äµ Ô Ð ¾¼ Ï Ó Ø ÑÙ À Ò Û Ö ÐÒ Ö Ñ Ø ± Ë Ö Ø Ò ÛÓÖ Ò Ø A := Ö Ò Ñ Ò¹ Ò ÏÙÖ Ò ÞÙ Û Ö Ò A := Ò Ö Ò Ñ Ò¹ Ò ÏÙÖ Ò ÞÙ Û Ö Ò P(A) 0.98 P(A) P(A) 0.0 ( 5 6 )n ln0.0 ln[( 5 6 )n ] ln0.0 nln( 5 6 ) ln 0.0 ln( 5 6 ) n.46 n = n Ñ Ö ÙÒ ÁÑ Ð ØÞØ Ò Ô Ð ¾¼ Ò Û Ö Ò Ï Ö ÒÐ Ø Ö ÙÑ Ò Ø Ò Ö Ò ÙÒ Ù Ö Ò A ÙÒ A Ò Ø ÜÔÐ Þ Øº Ñ Ø Ñ Ò Ó Ø Þº º Û ÒÒ Ö Ë Ö Ù Û Ò ÖÓ Ø Û Öµº Ö Ò Ò¹ Ò ÏÙÖ Ø ÒÑÐ Ω := { }{{}, }{{}, }{{},...,...0 }{{},... }{{} } n n n n n A := Ω\{ } A = { } Ω ÒØ ÐØ n Ð Ñ ÒØ A ÒØ ÐØ n ÙÒ A Ò ÒÞ Ñ Ø Ö Ð Ñ ÒØ ÖÛ Ö¹ ÒÐ Ø p( ) = ( 5 6 )n

51 Ï ÀÊË À ÁÆÄÁ ÀÃ ÁÌËÊ ÀÆÍÆ Ì ÁÄ ½ ½¾Äµ ¼ Ù Ò Ò Ö Ò Ù À Ò Þ Ø Å Ð ÒØ Ö Ò Ò Ö Ò ÃÙ Ð Ù Ò Ö ÍÖÒ Û Ð ½ ÖÓØ ÙÒ Û ÃÙ ÐÒ ÒØ ÐØº Å Ø Û Ð Ö Ï Ö ÒÐ Ø Þ Ø Ö Ñ Ò¹ Ø Ò ½ ÖÓØ ÃÙ Ð µ Û ÒÒ Ö ÞÓ Ò ÃÙ Ð Û Ö ÞÙÖ Ð Ø ÚÓÖ Ö Ò Ø Þ Ø µ Û ÒÒ Ö ÞÓ Ò ÃÙ Ð Ø Ð Ø ÚÓÖ Ö Ò Ø Þ Ø Ù Ï Ö ÒÐ Ø Ò Ö Ó ÖÙÒ Ù Ö Ð ÞÙ ØÓ Ò Ò Ò Ñ Ò Ø Ò Ø ±º Ö Û Ú Ð Ó ÖÙÒ Ò ÑÙ Ð Ö Ø ÐØ Ò Û Ö Ò Û ÒÒ Ñ Ò Ñ Ø µ ± Ë Ö Ø Ð Ò Ò Û ÐÐ µ ± Ë Ö Ø Ð Ò Ò Û ÐÐ Ù Ï Ó Ø ÑÙ Ñ Ò ÞÛ Ö ÙÐÖ ËÔ ÐÛ Ö Ð Û Ö Ò Ñ Ò Ñ Ø ± Ë Ö Ø Ò ÓÔÔ Ð ÛÓÖ Ò Ø Ù Ò ÐØ Ò ÃÖ Ò Ø ØÖ ØØ Ñ Ø ¼º¼½± Ï Ö ÒÐ Ø Ù º Ò Å Þ Ò ØÙ ÒØ Ò Ø Ø Ö Ò ÖØ Ø ÓÒ Ò È Ö ÓÒ Ñ Ø Ö ÃÖ Ò Øº Ï Ú Ð È Ö ÓÒ Ò ÑÙ Ö ÙÒØ Ö Ù Ò ÙÑ Ñ Ø ± Ë Ö Ø Ò È Ö ÓÒ Ñ Ø Ö ÃÖ Ò Ø ÞÙ Ò Ò Ù ÁÒ Ò Ñ Ò Ò Û ÙÒ Ò Û ÖÞ ÃÙ Ðº µ Â Ñ Ò Þ Ø Ñ Ø ÞÙÖ Ð Ò ½¼¼¼ ÃÙ ÐÒº Ö Ò Ï Ö ÒÐ Ø Û ÖÞ ÃÙ Ð Ò ÞÓ Ò Û Ö º µ Ï Ú Ð ÃÙ ÐÒ ÑÙ Ñ Ò Ñ Ø ÙÖ Ð Ò Þ Ò Û ÒÒ Ñ Ò Ñ Ø ± Ë ¹ Ö Ø Û ÖÞ ÃÙ Ð Þ Ò Û ÐÐº

52 Ï ÀÊË À ÁÆÄÁ ÀÃ ÁÌËÊ ÀÆÍÆ Ì ÁÄ ½ ½¾Äµ ½ Ä ÙÒ Ò Ù Ω := {rrr,rrw,rwr,wrr,rww,wrw,wwr,www}º A := {rrr,rrw,rwr,wrr,rww,wrw,wwr} A := {www} µ P(A) = P(A) = ( 7 0 )3 = = µ P(A) = P(A) = = = Ù P(A) := Ï Ö ÒÐ Ø n Ó ÖÙÒ Ò Ù Ö Ð ÞÙ ØÓ Ò P(A) := 0.9 n = Ï Ö ÒÐ Ø n Ó ÖÙÒ Ò Ø Ù Ö Ð ÞÙ ØÓ Ò µ P(A) 0.95 P(A) P(A) n ln() n = 36 µ Ò ÐÓ ÞÙ µ n n = 56 Ù P(A) := Ï Ö ÒÐ Ø Ò Ï Ö Ò Ò ÓÔÔ Ð ÞÙ Û Ö Ò P(A) := ( )n = Ï Ö ÒÐ Ø Ò Ï Ö Ò Ò ÓÔÔ Ð ÞÙ Û Ö Ò P(A) 0.95 P(A) P(A) 0.05 ( 35 n = 07 Ù P(A) := Ï Ö ÒÐ Ø Ñ Ø Ö ÃÖ Ò Ø Ò ÍÒØ Ö Ù ÙÒ Ò Ù ØÖ ØØ P(A) := n = Ï Ö ÒÐ Ø Ñ Ø Ö ÃÖ Ò Ø Ò ÍÒØ Ö Ù ÙÒ¹ Ò Ò Ø Ù ØÖ ØØ P(A) 0.99 P(A) P(A) 36 )n ln() n ln() n = Ù µ p = = µ P(A) := Ï Ö ÒÐ Ø Ñ Ø Ö Û ÖÞ ÃÙ Ð Ò ÙÒ Ò ¹ ÞÓ Ò Û Ö P(A) := n = Ï Ö ÒÐ Ø Ñ Ø Ö Û ÖÞ ÃÙ Ð Ò ¹ ÙÒ Ò Ò Ø ÞÓ Ò Û Ö P(A) 0.99 P(A) P(A) n ln() n = 4603

53 Ï ÀÊË À ÁÆÄÁ ÀÃ ÁÌËÊ ÀÆÍÆ Ì ÁÄ ½ ½¾Äµ ¾ º ÒÓÑ Ð Ó Þ ÒØ Ò Ä Def : n! := 3... n 0! = n! Û Ö Ò ÙÐØØ Ù ÔÖÓ Òº ÙÐØØÞ Ò ÖÞ Ù Ø Ñ Ò Ñ Ø Ñ ÌÁ Ñ Ø Ò Ì Ø Ò ¾Æ ÙÒ Û Ð Ò ÚÓÒ º ÈÖÓ Ð ØÝº Ô Ð 4! = 3 4 = 4 Ë ØÞ Å Ø Ò Ù Ø Ò Æ Ì ÒÒ Ñ Ò ( ) n n! := (k = 0,,,...,n) k k!(n k)! Ï ÖØ Ö Ö ÄÒ n Ð Ò Û Ð Ò Ù Ø Ò Ì k Ñ Ð ÒØ ÐØ Òº ( n k) Ò ÒÓÑ Ð Ó Þ ÒØ Òº Ô Ð ¾½ Ï Ú Ð Ï ÖØ Ö Ö ÄÒ ÒÒ Ñ Ò Ñ Ø Ò Ò Ù Ø Ò Ì ÙÒ Æ Ð Ò Û Ð Ò Ù Ø Ò Ì Ò Ù ÞÛ Å Ð ÒØ ÐØ Ò Ù Þ Ð Ò ÌÌÆ ÌÆÌ ÆÌÌ Ê Ò Ò ( ) 3 = 3!!(3 )! = 3!!! = 6 = 3 Ô Ð ¾¾ ÖÓØ Ð Ù ÙÒ Û ÃÙ ÐÒ ÓÐÐ Ò Ù ½¾ ÈÐØÞ Ð Ø Û Ö Òº Ï Ú Ð ÒÓÖ ÒÙÒ Ñ Ð Ø Ò Ø ( 5) Å Ð Ø Ò ÖÓØ Ò ÃÙ ÐÒ Ù ½¾ ÈÐØÞ ÞÙ Ú ÖØ Ð Ò ( Ö Ö Å Ð Ø Ò Ø 7 ) 4 Å Ð Ø Ò Ð Ù Ò ÃÙ ÐÒ Ù Ö Ò ÈÐØÞ ÞÙ Ú ÖØ Ð Ò N = ( 7 ) 5) ( 4 =! 5!( 5)! 7! 4!(7 4)! = 7 70

54 Ï ÀÊË À ÁÆÄÁ ÀÃ ÁÌËÊ ÀÆÍÆ Ì ÁÄ ½ ½¾Äµ Û Ë ØÞ ½º Ë Ö ØØ Ù Ø Ò Ì Ò ÙÖ ÒÙÑÑ Ö ÖØ Ï Ö Ø ÐÐ Ò ÙÒ Ò Ö ÚÓÖ ÙÒ Ö ØÐ Ò ÃÓÔ Ò Ù Ø Ò Ì T,T,...,T k Û Ð Û Ö ÚÓÒ ½ ÙÖ ÒÙÑÑ Ö ÖØ Ò ÙÒ Ò Ò Ò Ö Ò Ö Ð Òº ÍÑ Ö Ø ÃÓÔ T ÞÙÐ Ò Ò Û Ö n Å Ð Ø Òº º T Ö Ö Ò Å Ð Ø Ò Ð Ò Ö ÞÛ Ø ÃÓÔ n Å Ð Ø Òº ÁÒ ÑØ Ø Ð Ó n (n ) Å Ð Ø Ò T ÙÒ T ÞÙ ÔÐ ØÞ Ö Òº º T T Ö Ö n(n ) Å Ð Ø Ò Ð Ò ÒÙÒ n Å Ð Ø Ò ÃÓÔ T 3 ÞÙ ÔÐ ØÞ Ö Òº ÁÒ ÑØ Ð Ó n(n )(n ) Å Ð Ø Ò T T ÙÒ T 3 ÞÙ ÔÐ ØÞ Ö Òº º T T T 3 ÍÒ Ó Û Ø Ö ÍÑ Ð ØÞØ ÃÓÔ ÞÙÐ Ò Ø n k + Å Ð Ø Òº ÁÒ ÑØ Ð Ó n(n )(n )...(n k +) Å Ð Ø Ò ÐÐ ÃÓÔ Ò T,...,T k Ù Ò Ò ÈÐØÞ Ò ÞÙ ÔÐ ØÞ Ö Òº Ö n = 0 ÙÒ k = 3 ÒÒØ ÒÓÖ ÒÙÒ Þº º Û Ñ Ó Ò Ð Ù Ò Ø Ò ÚÓÒ = 70 Å Ð Ø Òº ¾º Ë Ö ØØ Ù Ø Ò Ì Ò Ò Ø ÙÖ ÒÙÑÑ Ö ÖØ Ð Ó ÙÒÙÒØ Ö Öº Æ ÎÓÖ Ù ØÞÙÒ Ò ÃÓÔ Ò ÚÓÒ Ì Ò Ø ÙÖ ÒÙÑÑ Ö ÖØº º º Û ÒÒ Û Ö Þº º T ÙÒ T Ú ÖØ Ù Ò Ò Ó Ö ÒÓÖ ÒÙÒ Ø Ñ Ò Ö ÒÓÖ ¹ ÒÙÒ Ñ Æ Ò Ò Ò Ø Òº Å Ø Ò Ø ÙÖ ÒÙÑÑ Ö ÖØ Ò Ì Ø Ð Ó Û Ò Ö ÒÓÖ ÒÙÒ Ñ Ð Ø Ò Ð Ò Ë Ö ØØ ½ Ö Ò Ø ÒÞ Ðº Å Ø Ò Ù Ò Ð Ò ÖÐ ÙÒ Ò Û Ò Ë Ö ØØ ½ Ø Ñ Ò k(k )(k )... 3

55 Ï ÀÊË À ÁÆÄÁ ÀÃ ÁÌËÊ ÀÆÍÆ Ì ÁÄ ½ ½¾Äµ Å Ð Ø Ò Ø ÙÖ ÒÙÑÑ Ö ÖØ Ò Ì ÙÒØ Ö Ò Ò Ö ÞÙ Ú ÖØ Ù Ò ÁÒ Ò Ò ÒØ ÖÒØ Ñ Ò ÐÐ T,...,T k ÚÓÒ Ö Ò ÖÒ Ñ Ö Ø Ö Û Ð ÈÐØÞ Ð Ø Û Ö Ò ÙÒ Ú ÖØ ÐØ ØÞØ ÃÓÔ Ò Ò Ù Ù Ð Ò ÈÐØÞ Ö Ò Ð Ö Ê Ò ÓÐ µº Ö T Ø Ñ Ò k Å Ð Ø Ò Ö T k Ö T 3 k Ù Ûº Ö T k Ð Ø ÒÙÖ ÒÓ ½ Å Ð Øº º Ë Ö ØØ Ù Ë Ö ØØ ½ ÙÒ ¾ Ð Ø Ù Ø ÒÞ Ð Ö Ò Òº ÐÐ ÍÑÒÓÖ ÒÙÒ Ò Ò Ë Ö ØØ ¾ Ò Ø ÚÓÒ Ò Ò Ö ÙÒØ Ö Ö Ò Û ÒÒ Ì Ò Ø ÒÙÑÑ Ö ÖØ Ò ÓÐ Ø Ù Ò Ë Ö ØØ Ò ½ ÙÒ ¾ n(n )(n )...(n k +) k(k )(k )... 3 ÒÓÖ ÒÙÒ Ñ Ð Ø Ò Ø Ö ÒØ Ò ÃÓÔ Ò ÚÓÒ Ì Ù Ò Ò ÈÐØÞ Òº º Ë Ö ØØ Ò Ì ÖÑ Ò Ë Ö ØØ Ò Ò Û Ò Ø Ò ÙÑ ÓÖÑ Òº ÞÙ ÖÛ Ø ÖØ Ñ Ò Ò Ì ÖÑ ÚÓÒ Ë Ö ØØ Ñ Ø Ñ ØÓÖ Ð Ó Ñ ØÓÖ (n k)! (n k)(n k )(n k )... 3, n(n )(n )...(n k +) k(k )(k )... 3 = n! k!(n k)! = ( ) n k

56 Ï ÀÊË À ÁÆÄÁ ÀÃ ÁÌËÊ ÀÆÍÆ Ì ÁÄ ½ ½¾Äµ Ù Ò ÒÓÑ Ð Ó Þ ÒØ Ò ÃÓÑ Ò ØÓÖ Ù Ï Ú Ð Ï ÖØ Ö Ö ÄÒ ½½ Ø ÒÙÖ Ù Ø Ò ÒØ ÐØ Ò ÙÒ Ò Ù Ø Ò Ò Ù Å Ð ÒØ ÐØ Ò Ù Å Ò Ø ½¼ Ð Ñ ÒØ º Ï Ú Ð Ì ÐÑ Ò Ò Ñ Ø µ µ µ ½ µ ¼ Ð Ñ ÒØ Ò Ø Ù ¼ Û ÙÒ Û ÖÞ ÃÙ ÐÒ ÓÐÐ Ò Ù ÈÐØÞ Ú ÖØ ÐØ Û Ö Òº Ï Ú Ð ÒÓÖ ÒÙÒ Ñ Ð Ø Ò Ø Ù ½ ÍÖ Û Ö Ø Ò Å ÒÞ ¼ Å Ðº Ö ÐØ Ö ½ Å Ð ÃÓÔ º Ï Ú Ð Ú Ö Ò Ë ÕÙ ÒÞ Ò Ö ÄÒ ¼ ÒØ ÐØ Ò Ò Ù ½ Å Ð ÃÓÔ Ù ¾ Û Û ÖÞ ÙÒ Ð Ù ÃÙ ÐÒ ÓÐÐ Ò Ù ½ ÈÐØÞ Ú ÖØ ÐØ Û Ö Òº Ï Ú Ð ÒÓÖ ÒÙÒ Ñ Ð Ø Ò Ø Ù Ï Ú Ð Ï ÖØ Ö Ö ÄÒ ½ Ø ÒÙÖ Ù Ø Ò ÒØ ÐØ Ò ÙÒ Ò Ù Ø Ò Ò Ù Å Ð ÙÒ Ò Ù Ø Ò Ò Ù Å Ð ÒØ ÐØ Ò Ù Ù Û Ú Ð ÖØ Ò ÒÒ Ñ Ò Ò Ò ÄÓØØÓÞ ØØ Ð Ò Ö ÙÞ Ò ÙÑ Ò Ò ÄÓØØÓ¹ ¹ Ö ÞÙ ÖÞ Ð Ò

57 Ï ÀÊË À ÁÆÄÁ ÀÃ ÁÌËÊ ÀÆÍÆ Ì ÁÄ ½ ½¾Äµ Ù N = ( ) 4 =! 4!( 4)! = 330 Ù µ N = ( ) 0 3 = 0! 3!(0 3)! = 0 µ N = ( ) 0 7 = 0! 7!(0 7)! = 0 µ N = ( ) 0 = 0!!(0 )! = 0 µ N = ( ) 0 0 = 0! 0!(0 0)! = Ù ¼ N = ( ) 8 5 = 8! 5!(8 5)! = 56 Ù ½ N = ( ) 30 8 = 30! 8!(30 8)! = Ä ÙÒ Ò Ù ¾ Ø ( 3 6) Å Ð Ø Ò Û Ò ÃÙ ÐÒ ÞÙ ÔÐ ØÞ Ö Òº Ö Ö Å ¹ Ð Ø Ò Ø ( 7 4) Å Ð Ø Ò Û ÖÞ Ò ÃÙ ÐÒ Ù Ò ÒÓ ÞÙÖ Î Ö¹ ÙÒ Ø Ò Ò ÈÐØÞ ÞÙ ÔÐ ØÞ Ö Òº Ö Ð Ù Ò ÃÙ ÐÒ Ø Ñ Ò Ò Ï Ð Ñ Öºµ Ð Ó ( ) ( ) 3 7 3! N = = 6 4 6!(3 6)! 7! 4!(7 4)! = Ù Ñ Ø Ò Ø ÐÐØ Ñ Ò ½ Ö Ø Ø ÐÐØ ÈÐØÞ Ö Ù Ø Ò ÚÓÖ Ø ( 5 6) Å Ð Ø Ò ÞÙ ÔÐ ØÞ Ö Òº Ö Ö Å Ð Ø Ò Ø ( 9 4) Å Ð Ø Ò Ú Ö Ù Ò ÒÓ Ö Ð Ò Ò ÈÐØÞ ÞÙ ÔÐ ØÞ Ö Òº Ö Ò Ø Ñ Ò Ò Ï Ð Ñ Öºµ Ð Ó ( ) ( ) 5 9 5! N = = 6 4 6!(5 6)! 9! 4!(9 4)! = Ù Ñ ( Ø Ò Ø ÐÐØ Ñ Ò Ò Ö Ø Ö Ø Ò Ö ÙÞØ Ò ÄÓØØÓÞ ØØ Ð ÚÓÖº Ø 6 ) 5 Å Ð Ø Ò Ù Ò Ö Ø Ò Ö ÙÞØ Ò Ð Ò Ù ÞÙÛ Ð Òº Ö Ö Å Ð Ø Ò Ø ( 39 ) Å Ð Ø Ò Ò Ö Ò Ø Ò Ö ÙÞØ Ð Ö Ù ÞÙÛ Ð Òº Ð Ó ( ) 6 N = 5 ( 39 ) = 6! 5!(6 5)! 39! = 6 39 = 34!(39 )!

58 Ï ÀÊË À ÁÆÄÁ ÀÃ ÁÌËÊ ÀÆÍÆ Ì ÁÄ ½ ½¾Äµ Ô Ð ¾ Å Ø Û Ð Ö Ï Ö ÒÐ Ø ÖÞ ÐØ Ñ Ò Ò Ò ÄÓØØÓ¹Ë Ö Ñ ÄÓØØÓ Ö ÙÞØ Ñ Ò Ð Ò Ò Ò Ñ Ð ÚÓÒ Ð Ò Òºµ Ω := Å Ò ÐÐ Ö Å Ð Ø Ò Ð Ò ÚÓÒ ÒÞÙ Ö ÙÞ Ò Ä ÔÐ ¹Ê ÙÑµ A := Ö Ö Ø Ò Ö ÙÞØ ÄÓØØÞ ØØ Ð P(A) = A ( 45 Ω = 45! 6!(45 6)! 6) = = Ô Ð ¾ Å Ø Û Ð Ö Ï Ö ÒÐ Ø ÖÞ ÐØ Ñ Ò Ò Ò ÄÓØØÓ¹ Ò Ö Ω := Û Ò Ô Ð ¾ A := Å Ò Ö Ñ Ð Ò ÄÓØØÓÞ ØØ Ð Ò Ò ¹ Ö ÖÞ Ð Òº A =? Ñ Ø Ò Ø ÐÐØ Ñ Ò Ò Ö Ø Ò ¹ Ö ÙÞØ Ò ( ØØ Ð ÚÓÖ Ð Ò ÚÓÖº Ø 6 ) 5 Å Ð Ø Ò ÚÓÒ Ò ÃÖ ÙÞ Ò Ù ¹ ÞÙÛ Ð Òº Ö Ö Å Ð Ø Ò Ø ( 39 ) Å Ð Ø Ò ÚÓÒ Ò Ò Ø Ò¹ Ö ÙÞØ Ò Ð ÖÒ Ò Ù ÞÙÛ Ð Òº A = ( 6 39 ) 5) ( = 6! 5!(6 5)! 39!!(39 )! = 34 P(A) = A Ω = Ò ÓÖÑ Ð Ö Ï Ö ÒÐ Ø Ö ÙÑ Ø Þº º Ω := {a a...a 45 a i {0,} ÙÒ ÒÞ Ð a i Ñ Ø a i = Ø 6Ð

59 Ï ÀÊË À ÁÆÄÁ ÀÃ ÁÌËÊ ÀÆÍÆ Ì ÁÄ ½ ½¾Äµ Ù Ò ÒÓÑ Ð Ó Þ ÒØ Ò Ï Ö ÒÐ Ø Ò Ù Å Ø Û Ð Ö Ï Ö ÒÐ Ø ÖÞ ÐØ Ñ Ò Ñ ÄÓØØÓ µ Ò Ò Î Ö Ö µ Ò Ò Ö Ö µ Ñ Ò Ø Ò Ò Ò Ö Ö Ù ÍÖÒ Ó Ò ÞÙÖ Ð Òµ Ò ÍÖÒ ÒØ ÐØ ½¼ ÃÙ ÐÒ Ñ Ø Ò Ð Ò ½ ¾ ººº½¼ ÙÖ ÒÙÑÑ Ö ÖØ Ò º Ö ØÞ Þ Ø ÃÙ ÐÒ ÙÒ Ð Ø Ò Ò Ò Ò Ö Òº Å Ø Û Ð Ö Ï Ö ÒÐ Ø Þ Ø Ö ÃÙ ÐÒ µ ÙÒ ÛÓ Ê Ò ÓÐ Ð Øµ µ ÙÒ Ò Ö Ê Ò ÓÐ Ù ÓÒÓ Óµ Ö ÓÒÓ Ó Â Ò ØÞØ ÚÓÖ Ò Ö ÓÑÔÙØ Ö¹Ì Ø ØÙÖ Ö ÐÐ Ì Ø Ò Ø Ò Ù Ö ¼ Ñ Ø Ò Ò Ö Ò ÓÐÐ ¾ Ù Ø Ò ººº ÍÑÐ ÙØ ÙÒ Ä Ö Ð Ø Ø º Â Ò Ø ÔÔØ Å Ð Ñ Ø Ñ Ò Ö Ù Ì Ø ØÙÖº Å Ø Û Ð Ö Ï Ö ÒÐ Ø Ø ÔÔØ µ Ú Ö Ù Ø Ò Ö Æ Ñ Ò Ó Ò Ö Ø ÙÒ Ö Ê Ò ÓÐ Ö Ù Ø Ò Ö Ø Ì Ø Ø Ò Ò Å Ðº ÓÒÓ Ó Ò Ö ÓÐ Ò Ö ØÒ Ð Å Ò Òºµ µ Ö Ò Æ Ñ Ò Ë Ö Ð Ì Ø Ñ ÖÑ Ð Ö Òºµ µ Ö ÔÖ Ø Ò Ñ Å ØØ Ù ¹ Ú Ò Ð ÙÑ Û ÒÒ Ñ Ò Ö Ó Ð Ò Ø Ð Ø Ö Ì ÜØ Ò ÍÑ Ò Ö Ö ÔÖ Ø Ø Ð Ó ØÛ ¼¼¼ Ò ÑØ Ä Ö Ð Ò Å ØØ Ù Ã Ô Ø Ð µ Ù À Ò Ø ÖÓØ Ð Ù ÙÒ Ö Ò Ó ¹ÃÙ ÐÒ Ò Ò Ö ËÔÓÖØ¹ Ø º Ö Ð Ø ÃÙ ÐÒ Ò Ò Ö Ê Ù Ò Ì º Å Ø Û Ð Ö Ï Ö Ò¹ Ð Ø Ð Ø Ö Ë ÕÙ ÒÞ ÖÖ Ö Ö ÖÖ Ò

60 Ï ÀÊË À ÁÆÄÁ ÀÃ ÁÌËÊ ÀÆÍÆ Ì ÁÄ ½ ½¾Äµ Ù Ä ÙÒ Ò µ A := Ö Ò Ò Ò ¹ Ö ÒÞÙ Ö ÙÞ Òº Ñ Ø Ò Ø ÐÐØ Ñ Ò Ò Ö Ø Ò ¹ Ö ÙÞØ Ò ØØ Ð ÚÓÖº Ø ( 6 4) Å Ð Ø Ò ÚÓÒ Ò Ö Ø Ò ÒÞÙ Ö ÙÞ Òº Ö Ö Å Ð Ø Ò Ø Ñ Ò ( 39 ) Å Ð Ø Ò ÞÛ Ö Ò Ø Ò ¹ Ö ÙÞØ Ò Ð Ö ÒÞÙ Ö ÙÞ Òº Ð Ó A = ( 6 39 ) 4) ( = 5º Ω = ( 45 6) = º P(A) = 5 = % µ B := Ö Ò Ò Ò ¹ Ö ÒÞÙ Ö ÙÞ Òº Ø ( 6 3) Å Ð Ø Ò ÚÓÒ Ò Ö Ø Ò ÒÞÙ Ö ÙÞ Òº Ö Ö Å Ð Ø Ò Ø Ñ Ò ( 39 3) Å Ð Ø Ò Ö Ö Ò Ø Ò Ö ÙÞØ Ò Ð Ö ÒÞÙ Ö ÙÞ Òº Ð Ó B = ( ( 6 3) 39 3) = 8 780º Ω = ( ) 45 6 = º P(B) = = % µ P(A) := Ï Ö ÒÐ Ø Ö Ò Ò ¹ Ö = P(B) := Ï Ö ÒÐ Ø Ö Ò Ò ¹ Ö = P(C) := Ï Ö ÒÐ Ø Ö Ò Ò ¹ Ö = P(D) := Ï Ö ÒÐ Ø Ö Ò Ò ¹ Ö = P = P(A)+P(B)+P(C)+P(D) = % Ù µµ µµ Ô Ð ¾ µ Ô Ð ¾ µ µ A := Ö Ò ÙÒ ÞÙ Þ Òº Ω := Å Ò ÐÐ Ö Å Ð Ø Ò ÃÙ ÐÒ ÞÙ Þ Òº P(A) = A = Ω ( 0 3) = = % 0 µ A := Ö Ò ÙÒ Ò Ö Ê Ò ÓÐ ÞÙ Þ Òº ¹ ØÙ ÜÔ Ö Ñ ÒØ P(A) = p(359) = = = % Ï Ö ÒÐ Ø Ø Ñ Ð Ð Ò Ö Ð Ò µº Ð Ø Ö Ò Å Ð Ø Ò Ø ÃÙ ÐÒ ÙÒØ Ö Ò Ò Ö ÞÙ Ú ÖØ Ù Òºµ Ù µ A := Ö Ò Â Ò Ú Ö Ù Ø Ò Â Æ Ø ÔÔØ Ò Ð Ö Ê Ò ÓÐ º Ω := Å Ò ÐÐ Ö Å Ò Ò Ñ Ø Ú Ö Ò Ò Ù Ø Òº P(A) = A = Ω ( 30 4) = = % 7 40 µ A := Ö Ò Â Ò Ú Ö Ù Ø Ò Â Æ Ò Ö Ê Ò ÓÐ Ø ÔÔØº Ω := Å Ò ÐÐ Ö Ï ÖØ Ö Ñ Ø Ú Ö Ò Ò Ù Ø Òº ¹ ØÙ ÜÔ Ö Ñ ÒØ P(A) = p(jane) = ( = %º Ï Ö Ò¹ 30 )4 = Ð Ø Ø ÑÑ Ö ÒÓ ØÛ ½¼ Å Ð Ó ÖÓ Û ÄÓØØÓ¹ ¹ Ö µ µ Ò ÐÓ ÞÙ µ ¼¼¼¹ ØÙ ÜÔ Ö Ñ ÒØ P(A) = ( 30 ) Ù A := {rrbbbgrggrbrr}º Ω := ÐÐ Ï ÖØ Ö Ö ÄÒ ½ Ö Å Ð Å Ð ÙÒ Å Ð ÒØ ÐØ Ò ÙÒ ÓÒ Ø Ò Ù Ø Òº Ω =? Ñ Ø Ò Ø ÐÐØ Ñ Ò ½ Ö Ø Ø ÐÐØ ÈÐØÞ Ö ÃÙ ÐÒ ÚÓÖ Ø ( 3 6) Å Ð Ø Ò ÖÓØ Ò ÃÙ ÐÒ Ù ½ ÈÐØÞ ÞÙ Ú ÖØ Ð Òº Ö Ö Å Ð Ø Ò Ø ( 7 4) Å Ð Ø Ò Ð Ù Ò ÃÙ ÐÒ Ù Ö Ò ÈÐØÞ ÞÙ ØÞ Òº Ö Ö Ò Ò ÃÙ ÐÒ Ø Ñ Ò ÒÒ Ò Ï Ð Ñ Öº Ω = ( 3 7 6) ( 4) = º Ð Ó P(A) = A Ω = =

61 Ï ÀÊË À ÁÆÄÁ ÀÃ ÁÌËÊ ÀÆÍÆ Ì ÁÄ ½ ½¾Äµ ¼ º ÖÒÓÙÐÐ ¹Ã ØØ Ò ¾Ä ÖÒÓÙÐÐ ¹Ã ØØ Ò Ò Ô Þ ÐÐ Ñ Ö ØÙ ÜÔ Ö Ñ ÒØ Ñ Ò Ö ËØÙ Ò ÙÒ Ð ÜÔ Ö Ñ ÒØ Ù Ø Û Ö ÙÒ ÜÔ Ö Ñ ÒØ ÒÙÖ ¾ Ñ Ð Ù Ò Ø ½ ÙÒ ¼ ÌÖ Ö ÙÒ Æ Ø µº Ô Ð ¾ ÎÖ Ò Ð Û Ö ÐØ ½¼ Å Ð ÒØ Ö Ò Ò Öº Å Ø Û Ð Ö Ï Ö ÒÐ Ø Û Ö Ø Ò Ù ¹Ñ Ð Ω := Å Ò ÐÐ Ö Ï ÖØ Ö Ö ÄÒ ½¼ Ù Ò Ò ¼ ÙÒ ½ Ù ÙØ Ò º ¼ Ò ½ Ò A := Å Ò Ö Ï ÖØ Ö Ù Ω Û Ð Ð ½ Ò Ù Å Ð ÒØ ÐØ Òº Ô ω = Aº A ÒØ ÐØ ( ) 0 3 Ð Ñ ÒØ º ÍÒ Ø Ð Ð Ñ Ò¹ Ø ÖÛ Ö ÒÐ Ø p(ω) = ( 6 )3 ( 5 6 )7. Ö Ù ÓÐ Ø P(A) = ( 0 3 ) ( = )3 ( 5 6 )7 Ñ Ö ÙÒ ( 0 3) ÒÒ Ñ Ø Ñ ÌÁ Ö Ø Ö Ò Ø Û Ö Ò ( ) 0 = ncr(0,3) = 0. 3 Ò Ð ncr ÖÞ Ù Ø Ñ Ò Ñ ÌÁ Ò Ñ Ñ Ò Ò Ò Ò Ö Ì Ø Ò ¾Æ ÙÒ Ö Ø ÒÒ ÈÖÓ Ð ØÝ Û ÐØ ÙÒ Ò Ð Ò Ò Ö

62 Ï ÀÊË À ÁÆÄÁ ÀÃ ÁÌËÊ ÀÆÍÆ Ì ÁÄ ½ ½¾Äµ ½ Î Ö ÐÐ Ñ Ò ÖÙÒ Ó Ò Ô Ð Ò Ø Ò Ù ÐÐ ÜÔ Ö Ñ ÒØ Ñ Ø ÒÙÖ ÞÛ Ñ Ð Ò Ù Ò Ò ½ ÌÖ Öµ ÙÒ ¼ Æ Ø µº Ö ÌÖ Ö Ø ÐÐ Ñ Ø Ö Ö ÓÐ Û Ö ÒÐ Ø Ô Òº Æ Ø Ø ÒÒ ÙØÓÑ Ø Ï Ö ÒÐ Ø pºµ Ò ÓÐ ÜÔ ¹ Ö Ñ ÒØ Ø ÖÒÓÙÐÐ ¹ ÜÔ Ö Ñ ÒØ Ñ Ø Ö ÓÐ Û Ö ÒÐ Ø pº Ô Ð Ò Å Ð Û Ö ÐÒ ½ ÌÖ Öµ ¼ Æ Ø µ p Ò Ò Ö Û Ö ÐÒ Ò Ò Ö Û Ö ÐÒ 6 n¹ Ï Ö ÓÐÙÒ Ò ÖÒÓÙÐÐ ¹ ÜÔ Ö Ñ ÒØ Ø ÖÒÓÙÐÐ ¹ Ã ØØ Ö ÄÒ n Ñ Ø Ö ÓÐ Û Ö Ò¹ Ð Ø pº ÁÑ Ô Ð ¾ Ö ÒÒØ Ñ Ò ÐÐ Ñ Ò ÐØ Ï Ö ÒÐ Ø Ö k Ö ÓÐ Ò ¹ Ò Ö ÖÒÓÙÐÐ ¹Ã ØØ Ö ÄÒ Ò Ø ( ) n P(A) = p k ( p) n k k Ô Ð ¾ ÁÑ Ó Ò Ô Ð ¾ Ø n = 0 k = 3 p = 6 Ñ Ö ÙÒ Ö ÁÒØ Ö ÖØ µ ( n k) Ò ÒÓÑ Ð Ó Þ ÒØ Ò Û Ð ÃÓ Þ ÒØ Ò Ò Ö ÒÓÑ Ò ÓÖÑ Ð Ò (a+b) n = Ô Ð ( n 0 ) a n b 0 + ( n ) a n b + ( n ) a n b + ( ) n a n 3 b (a+b) = ( ) 0 a b 0 + ( ) a b + ( ) a 0 b = a +ab+b (a+b) 3 = ( ) 3 0 a 3 b 0 + ( ) 3 a b + ( ) 3 a b + ( ) 3 a 0 b 3 = a 3 +3a b+3ab +b 3 3 ( ) n a 0 b n n ( n k) Ò Ð Ó Ò Ù Ð Ò Ñ È Ð Ò Ö º n¹ø Ð k¹ø ËÔ ÐØ µ

63 Ï ÀÊË À ÁÆÄÁ ÀÃ ÁÌËÊ ÀÆÍÆ Ì ÁÄ ½ ½¾Äµ ¾ Ù Ò ÖÒÓÙÐÐ ¹Ã ØØ Ò Ù Û Å ÒÞ Ò Û Ö Ò ¾¼¹Ñ Ð ÛÓÖ Òº Ö Ò Ï Ö ÒÐ ¹ Ø µ Ò Ù ¹Ñ Ð ÏÙÖ Ð Ð¹ Ðµ ÞÙ Û Ö Òº µ Ò Ù ½¼¹Ñ Ð ÞÛ Ú Ö Ò ÏÙÖ Ð Ö º º Ã Ó Ö Ãµ ÞÙ Û Ö Òº µ Ñ Ò Ø Ò ¹Å Ð ÃÃ ÞÙ ÖÞ Ð Òº Ù ¼ Ò Ñ Ð Ö Ø Ò Ì Ð ÓÒ ÙØÓÑ Ø Ò Ö ÐØ Ñ Ò Ñ Å ØØ Ð Ñ º ÔÖ Ò Ð ÞÙÖ º Ö Ò Ï Ö ÒÐ Ø ÚÓÒ ¾¼ ÔÖ Ò µ Ò Ù µ Ñ Ö Ð µ ¾ ÔÖ Ö Ø Ò º Ù ½ Ç ØÑ Ð Û Ö Ò Ö Ö Ò Ò ÈÐ Ø Ð Ò Ò ÓØ Òº Ï Ö¹ ÒÐ Ø Ò Ö Ö Ò ÙÐ ËØ ÐÐ Ù Û Ø ¼±º Å Ø Û Ð Ö Ï Ö ÒÐ Ø Û Ò Ò Ò Ö Ë Ø Ð ÚÓÒ ¾¼ Ö Ö Ò Ñ Ò Ø Ò Ò ÙÐ ËØ ÐÐ Ù Ù ¾ Ò Ñ ÅÙÐØ ÔÐ ¹ Ó ¹Ì Ø Ñ Ø ¼ Ö Ò Û Ö Ò ÔÖÓ Ö Ú Ö ÒØÛÓÖØ Ò Ò ÓØ Ò ÚÓÒ Ò Ò Ò Ù Ò Ö Ø Øº Ò Ú ÐÐ ÒÙÒ ÐÓ È Ö ÓÒ ÐÐØ Ò Ö Ó Ò Ò Ñ Ù ÐÐ ÔÖ ÒÞ Ô Ù º Å Ø Û Ð Ö Ï Ö Ò¹ Ð Ø Û Ö Ò µ Ò Ù ½¼ Ö Ò Ö Ø ÒØÛÓÖØ Ø µ Ñ Ò Ø Ò ½¼ Ö Ò Ö Ø ÒØÛÓÖØ Ø µ ½¼ Ö Ò Ö Ø ÒØÛÓÖØ Ø À ÒÛ µ ÙÒ µ Ð Ø Ñ Ò Ñ Ø ÎÓÖØ Ð Ñ Ø Ñ ÌÁ Ñ ÒÐ ØÙÒ Ñ Ä ÙÒ Ø Ð Ö Ù ½º

64 Ï ÀÊË À ÁÆÄÁ ÀÃ ÁÌËÊ ÀÆÍÆ Ì ÁÄ ½ ½¾Äµ Ä ÙÒ Ò Ù Ω := {KK,ZK,KZ,ZZ}=Ï Ö ÒÐ Ø Ö ÙÑ Ö ÖÒÓÙÐÐ ¹ ÜÔ Ö Ñ ÒØº µ n = 0 k = 5 p = 4 P(A) = ( 0 5 ) ( 4 )5 ( 4 )0 5 = 5!(0 5)! ( 0! 4 )4 ( 3 4 )5 = = 0.0 º Ñ Ö ÙÒ ( 0 5) ÒÒ Ñ Ø Ñ ÌÁ Ö Ø Ö Ò Ø Û Ö Ò ( ) 0 = ncr(0,5) = Ò Ð ncr ÖÞ Ù Ø Ñ Ò Ñ ÌÁ Ò Ñ Ñ Ò Ò Ò Ò Ö Ì Ø Ò ¾Æ ÙÒ Ö Ø ÙÒ ÒÒ ÈÖÓ Ð ØÝ ÙÒ Ò Ð Ò Ò Ö Û ÐØº µ n = 0 k = 0 p = P(A) = ( ) ( µ A := Ò Ö Ò Û Ò Ö Ð Å Ð ÃÃ ÞÙ ÖÞ Ð Òº 0 ( )0 0 ) TI = ( )0 = Ï Ö ÒÐ Ø ¼ Å Ð ÃÃ ÞÙ ÖÞ Ð Ò ( 0 0 ) ( 4 )0 ( 4 )0 = Ï Ö ÒÐ Ø ½ Å Ð ÃÃ ÞÙ ÖÞ Ð Ò ( 0 ) ( 4 ) ( 4 )9 = 0.0 Ï Ö ÒÐ Ø ¾ Å Ð ÃÃ ÞÙ ÖÞ Ð Ò ( 0 ) ( 4 ) ( 4 )8 = Ï Ö ÒÐ Ø Å Ð ÃÃ ÞÙ ÖÞ Ð Ò ( 0 3 ) ( 4 )3 ( 4 )7 = 0.34 Ï Ö ÒÐ Ø Å Ð ÃÃ ÞÙ ÖÞ Ð Ò ( 0 4 ) ( 4 )4 ( 4 )6 = 0.9 P(A) = ËÙÑÑ Ö Ï³ Ø Ò = 0.45 P(A) = 0.45 = º Ù ¼ µ n = 0 k = 4 p = 5 P(A) = ( 0 4 ) ( 5 )4 ( 5 )0 4 = ( ) 0 4 ( 5 )4 ( 4 5 )6 = 0.8 µ A := Ò Ö Ò Û Ò Ö Ó Ö Ò Ù Ö Ø ÔÖ ÞÙ Òº Ï Ö ÒÐ Ø Ö ¼ Ö Ø ÔÖ ( 0 0 ) ( 5 )0 ( 4 5 )0 = 0.0 ( Ï Ö ÒÐ Ø Ö ½ Ö Ø ÔÖ 0 ) ( 5 ) ( 4 5 )9 = Ï Ö ÒÐ Ø Ö ¾ Ö Ø ÔÖ ( 0 ) ( 5 ) ( 4 5 )8 = 0.4 Ï Ö ÒÐ Ø Ö Ö Ø ÔÖ ( 0 3 ) ( 5 )3 ( 4 5 )7 = 0.05 Ï Ö ÒÐ Ø Ö Ö Ø ÔÖ ( 0 4 ) ( 5 )4 ( 4 5 )6 = 0.8 P(A) = ËÙÑÑ Ö Ï³ Ø Ò = 0.63 P(A) = 0.63 = 0.37 º µ ÒÐ Û µ P(A) = ÏË Ö ¾ ÔÖ ÏË Ö ÔÖ ººº ÏË Ö ÔÖ ¼º Ù ½ Ñ Ø Ò Ø ÐÐØ Ñ Ò ÚÓÖ Ò Ö Ö Ò Ö Ò ÖÒ Ò Ë Ø Ð Ð Ø Û Ö º Þº º Ø Ö Ø ÙÐ ÞÛ Ø Ò Ø Ù Ûº Ø Ò ÖÒÓÙÐÐ ¹ ÜÔ Ö Ñ ÒØ Ñ Ø n = 0 k = 8 p = 0.3º A := Ò Ö Ò Ø Ò Ö Ö Ò ÙÐ Ò º

65 Ï ÀÊË À ÁÆÄÁ ÀÃ ÁÌËÊ ÀÆÍÆ Ì ÁÄ ½ ½¾Äµ ÏË Ò ÙÐ Ø ( 0 0) = ÏË Ò ÙÐ Ø ( 0 ) = ÏË ÞÛ ÙÐ Ò ( 0 ) = ÏË Ö ÙÐ Ò ( 0 3) = ÏË Ú Ö ÙÐ Ò ( 0 4) = ÏË Ò ÙÐ Ò ( 0 5) = ÏË ÙÐ Ò ( 0 6) = ÏË Ò ÙÐ Ò ( 0 7) = P(A) = ËÙÑÑ Ö Ï Ö ÒÐ Ø Ò = 0.777º P(A) = Ñ Ö ÙÒ Å Ø Ñ Ì ÒÖ Ò Ö ÒÒ Ñ Ò ËÙÑÑ 7 k=0 ( ) k k k Ö Ï Ö ÒÐ Ø Ò Ö Ø ÙÒ ÕÙ Ñ Ö Ö Ò Òº ÞÙ Ø ÔÔØ Ñ Ò Ò Ð Þ Ð (ncr(0,k) 0.3 k 0.7 (0 k),k,0,7) Ò ÖÞ Ù Ø Ñ Ò Ñ ÌÁ Ò Ñ Ñ Ò Ò Ò Ò Ö Ì Ø Ò ¾Æ ÙÒ Ö Ø Ò Ð Ò ÐÙÐÙ Ù Û ÐØ ÙÒ ÒÒ ( ÙÑº ÖÞ Ù¹ ÙÒ Ð Ò Ö Ø Ñ Ô Ð ¾ Ö Òº Ù ¾ ÖÒÓÙÐÐ ¹ ÜÔ Ö Ñ ÒØ Ö ÄÒ n = 30 ÙÒ Ö ÓÐ Û Ö ÒÐ Ø p = 4 µ ÒÞ Ð Ö ÓÐ k = 0º P(A) = ( 30 0 ) ( 4 )0 ( 3 4 )0 = ( 0%) µ P(A) = 30 k=0 ( 30 ) k ( 4 )k ( 3 4 )30 k = ( 0%) ÞÙ Ø ÔÔØ Ñ Ò Ñ ÌÁ Ò (ncr(30,k) ( 4 ) k ( 3 4 ) (30 k),k,0,30) µ P(A) = 0 ( 30 ) k=5 k ( 4 )k ( 3 4 )30 k = ( 80%) ÞÙ Ø ÔÔØ Ñ Ò Ñ ÌÁ Ò (ncr(30,k) ( 4 ) k ( 3 4 ) (30 k),k,5,0)

66 Ê Æ Ï ÊÌ ÎÇÆ ÇÄ Æ ÍÆ Ê ÁÀ Æ ½½Ä º½ Ö ÒÞÛ ÖØ ÚÓÒ ÓÐ Ò ÙÒ Ê Ò ½½Ä Ò Ø ÓÒ Ö ÒÞÛ ÖØ ¾Ä a R Ø Ö ÒÞÛ ÖØ Ö ÓÐ (a n ) Û ÒÒ ÓÐ Ò ÐØ ε > 0 n ε N a a n < ε n > n ε. ÁÒ Ñ ÐÐ Ö Ø Ñ Ò lim a n n = a oder a n a n ÓÑ ØÖ ÙØÙÒ Ö ÒÞÛ ÖØ Ù Ñ Ð Ò ØÖ Ð ÓÑÑ Ò ÓÐ Ò Ð Ö a n Ñ Ø Û Ò Ñ n Ñ Ö ÒÞÛ ÖØ a Ð Ò º Ô Ð ¾ Ò Ø ÓÐ a n := 3+ n º µ ÖÖ Ø Ò Ë Ò Ö ÒÞÛ ÖØ aº Ö Ö ÖÓ n Ø3+ n 3 lim n (3+ n ) = = a 00 a 4 = 3.5a = a 3 = 3.3 a = 4 µ ε := 0.00º Ö Ò Ò Ë Ð Ò Ø n ε > 0 Ó a n a < ε n > n ε. n ε = 000 a n a < ε (3+ ) 3 < 0.00 n n < 000 n > 000

67 Ê Æ Ï ÊÌ ÎÇÆ ÇÄ Æ ÍÆ Ê ÁÀ Æ ½½Ä Ô Ð ¾ Ò Ø ÓÐ a n := 8n n º µ ÖÖ Ø Ò Ë Ò Ö ÒÞÛ ÖØ aº Ö Ö ÖÓ n Ø 8n lim n n = 4 8n n 4 µ ε := 0.000º Ö Ò Ò Ë Ð Ò Ø n ε > 0 Ó a n a < ε n > n ε. a n a < ε 8n 4 < n 8n n 4(n ) n < n n 8n 4 n < n (8n 4) < n n < < n < n < n n ε = 0 000

68 Ê Æ Ï ÊÌ ÎÇÆ ÇÄ Æ ÍÆ Ê ÁÀ Æ ½½Ä Ù Ò Ö ÒÞÛ ÖØ ÖÖ Ø Ò ÙÒ Ð Ò Ø n ε Ö ÒÒ Ù Ö ÒÞÛ ÖØ ÖÖ Ø Ò Ð Ò Ø ε Ö Ò Òµ ÖÖ Ø Ò Ë Ö Ö Ò Ò ÓÐ Ò (a n ) Ò Ö ÒÞÛ ÖØ a ÙÒ Ö Ò Ò Ë ÞÙ Ñ Ò Ò ε Ð Ò Ø n ε Ó a a n < ε n > n ε. µ a n = 3 n+ ε = 0. µ a n = n n ε = 0.0 µ a n = n+ 4n ε = µ a n = 3en e n + ε = 0.00 µ a n = 5n3 n 3 +6 ε = 0.00 µ a n = 5+( ) n n ε = 0.00 µ a n = 7 ε = 0.00

69 Ê Æ Ï ÊÌ ÎÇÆ ÇÄ Æ ÍÆ Ê ÁÀ Æ ½½Ä Ù Ä ÙÒ Ò 3 µ a n a < ε n ε = 8 n+ 0 < 0. 3 n+ < 0 30 < n + 8 < nº µ a n a < ε n n < 0.0 n n n n < 00 n < < n 0 < n 0.05 < nº n ε = 0 µ a n a < ε n+ 4n < n < 4n 500 < nº n ε = 500 µ 3en e n + 4n n 4n < n < < en e n + 3(en +) e n + < e n + < e n + < < en < e n ln999 < nlne ln999 < n < nº n ε = ) 5n µ 3 5 n+6 3 < n 5(n < < (n 3 +3) (n 3 +3) (n 3 +3) < (n 3 +3) < (n 3 + 3) 7500 < n < n < n < nº n ε = 383 µ 5+( ) n n 5 < 0.00 ( ) n n < 0.00 n < < n 3.6 < nº n ε = 3º µ Ï Ò a n = 7 n N Ø a n 7 = 0 < 0.00 n Nº n ε =

70 Ê Æ Ï ÊÌ ÎÇÆ ÇÄ Æ ÍÆ Ê ÁÀ Æ ½½Ä º¾ ÃÓÒÚ Ö ÒÞ ÙÒ Ú Ö ÒÞ Ä Ï Ö Ò Ö ÒÙÖ Ó º ÓÒÚ Ö ÒØ ÓÐ Ò ØÖ Ø Ø º º ÓÐ Ò Ò Ò Ö ÒÞÛ ÖØ Òº Ñ Ø Ò ÓÐ Ò Ò Ò Ò Ö ÒÞÛ ÖØº À Ø Ò ÓÐ (a n ) Ò Ò Ö ÒÞÛ ÖØ a Ó Ø Ñ Ò (a n ) ÓÒÚ Ö ÖØ Ò aº ÓÐ Ø ÒÒ ÓÒÚ Ö ÒØº Ô Ð ÐÐ Ö Ò Ò Ù Ò ÙÒ Ô Ð Ò ÖÛ ÒØ Ò ÓÐ Ò Ò ÓÒ¹ Ú Ö ÒØº Â Ò Ø ÓÒÚ Ö ÒØ ÓÐ Ú Ö ÖØ ÙÒ Ø Ú Ö ÒØº Ô Ð ¾ Á Ø ÓÐ a n := ( ) n ÓÒÚ Ö ÒØ Ó Ö Ú Ö ÒØ a = ( ) = a = ( ) = a 3 = ( ) 3 = a 4 = ( ) 4 = ººº ÓÐ Ô Ø Ò¹ ÙÒ Ö Ù ÙÒ º 0...a 5 = a 3 = a a = a 4 = a 6 =... Ø Ò Ð a R Ó ( ) n a Ö Ö ÖÓ nº a 000 Ð Ø ÞÛ Ö Ó Ö Ù ½ Ö Ö Ø a 00 Ð Ø ¾ Ò Ø Ò ÚÓÒ ½ ÒØ ÖÒØºµ (a n ) Ú Ö ÖØ Å Ò ÒØ Ö ÖØ Ö Ò Ø ÑÑØ Ú Ö ÒÞÚ Ö ÐØ Ò ÒÑÐ Ö ÓÐ Ò Ö Ò Ð Ö Ñ Ø Û Ò Ñ ÁÒ Ü Ð ÖÓ Û Ö Ò

71 Ê Æ Ï ÊÌ ÎÇÆ ÇÄ Æ ÍÆ Ê ÁÀ Æ ½½Ä ¼ Ò ÓÐ (a n ) Ú Ö ÖØ Ò ÍÒ Ò Ð Û ÒÒ Ö ÒÓ Ó ÖÓ Ð K > 0 Ò Ò ÁÒ Ü n K N Ø Ñ Ø a n > K n > n K º Å Ò Ö Ø ÒÒ lim a n n = oder a n n Ñ Ö ÙÒ Ç Ø Ø Ñ Ò Ù ÓÐ ÓÒÚ Ö ÖØ Ò ÍÒ Ò Ð º Ô Ð ¼ µ Ø ÑÑ Ò Ë ÃÓÒÚ Ö ÒÞÚ Ö ÐØ Ò Ö ÓÐ a n := nº µ K := 000º Ö Ò Ò Ë Ð Ò Ø n K N Ó º a n > K n > n K µ Ö Ö ÖÓ n Û Ö n Ð ÖÓ º lim n n = µ n K = 0 6 a n > K n > 000 n > 0 6 Ò ÓÐ (a n ) Ú Ö ÖØ Ò Ñ ÒÙ ÍÒ Ò Ð Û ÒÒ Ö ÒÓ Ó Ð Ò Ð K < 0 Ò Ò ÁÒ Ü n K N Ø Ñ Ø a n < K n > n K º Å Ò Ö Ø ÒÒ lim a n n = oder a n n Ñ Ö ÙÒ Ç Ø Ø Ñ Ò Ù ÓÐ ÓÒÚ Ö ÖØ Ò Ñ ÒÙ ÍÒ Ò Ð º

72 Ê Æ Ï ÊÌ ÎÇÆ ÇÄ Æ ÍÆ Ê ÁÀ Æ ½½Ä ½ Ù Ò ÃÓÒÚ Ö ÒÞ ÙÒ Ú Ö ÒÞ Ù ÃÓÒÚ Ö ÒÞÚ Ö ÐØ Ò ÙÒØ Ö Ù Ò Ò ÓÐ Òµ ÍÒØ Ö Ù Ò Ë Ó ÓÐ ÓÒÚ Ö ÖØ Ó Ö Ú Ö ÖØº ÁÑ ÐÐ Ö Ú Ö ÒÞ Ò ÔÐÙ»Ñ ÒÙ ÍÒ Ò Ð Ö Ò Ò Ë ÞÙ K := 000 ÞÛº K := 000 Ò Ð Ò Ø Ò ÁÒ Ü n K Ó a n > K n > n K bzw. a n < K n > n K µ a n := n 7 µ a n := n+5 µ a n := e n µ a n := lnn µ a n := cos((n ) π ) µ a n := n 5 4 µ a n := n 4 5 µ a n := ( )n n µ a n := ( ) n n µ a n := n ( ) n µ a n := sin(n π ) n Ðµ a n := n Ù ÃÓÒÚ Ö ÒÞÚ Ö ÐØ Ò ÙÒØ Ö Ù Ò ÓÑÔÐ Þ ÖØ Ö ÓÐ Òµ ÍÒØ Ö Ù Ò Ë Ó ÓÐ ÓÒÚ Ö ÖØ Ó Ö Ú Ö ÖØº ÁÑ ÐÐ Ö Ú Ö ÒÞ Ò ÔÐÙ»Ñ ÒÙ ÍÒ Ò Ð Ö Ò Ò Ë ÞÙ K := 000 ÞÛº K := 000 Ò Ð Ò Ø Ò ÁÒ Ü n K Ó a n > K n > n K bzw. a n < K n > n K µ en e n + µ n4 n + µ n7 n À ÒÛ ÜÔÓÒ ÒØ Ð ÙÒ Ø ÓÒ Ò Û Ò Ö ÖÓ n Ö Ú Ð Ò ÐÐ Ö Ð ÈÓØ ÒÞ ÙÒ Ø ÓÒ Òºµ µ a n := ln(n +µ µ a n := en n Ë Ö Ò ÐÐ Ð ÙÒ Ò Ñ Ø Ñ Ì ÒÖ Ò Ö Ð Òºµ µ a n := 3+ n n µ a n := 3n+n( )n n µ a n := n3 +n 6n n n Ì ÔÔ ØÓÖ Ö Òµ µ a n := e n

73 Ê Æ Ï ÊÌ ÎÇÆ ÇÄ Æ ÍÆ Ê ÁÀ Æ ½½Ä ¾ Ù µ lim( n 7) = Ä ÙÒ Ò a n > 000 n 7 > 000 n > 007 n > º n K = º µ lim( n+5) = a n < 000 n+5 < < n < n < nº n K = µ lime n = a n > 000 e n > 000 n > ln000 n > 6.9º n K = 6 µ lim( lnn) = º a n < 000 lnn < < lnn e 000 < nº n K = Ö Ø ÒÞ Ð Ð Ò Ö Ð e 000 Ø µ cos((n ) π ) = 0 n Nº ÓÐ ÓÒÚ Ö ÖØº lim n cos((n ) π ) = 0) µ limn 5 4 = a n > 000 n 5 4 > 000 n > n > 5.º n K = 5 µ lim( n 4 5) = a n < 000 n 4 5 < < n < n < nº n K = 563 µ ÓÐ ÓÒÚ Ö ÖØº lim n ( ) n n = 0µ µ a =,a =,a 3 = 3,a 4 = 4,...º ÓÐ Ú Ö ÖØ Û Ö Ò ÒÓ Ò µ µ a =,a =,a 3 = 3,a 4 = 4,...º ÓÐ Ú Ö ÖØ Û Ö Ò ÒÓ Ò µ µ ÓÐ Ñ Ð Ö Ø Ò Ó Ò ÙÒ ÙÒØ Ò ÖÒ Øº ÓÐ Ñ Æ ÒÒ Ö Ú Ö ÖØ Ò º lim sin(n π ) n = 0 º º ÓÐ ÓÒÚ Ö ÖØº Ðµ ÓÐ ÓÒÚ Ö ÖØº lim n = 0µ Ù µ en e n + = (en ) e n + = (en )(e n +) e n + = e n º lim en e n + = lim(en ) = º a n > 000 e n > 000 e n > 00 n > ln00 n > 6.9º n K = 6 µ n4 n + = ( n )(+n ) n + = n º lim n4 n + = lim( n ) = º a n < 000 n < < n 3.6 < nº n K = 3 µ ÜÔÓÒ ÒØ Ð ÙÒ Ø ÓÒ Ò Ð Ð Ö Ú Ð Ò ÐÐ Ö Û Ò Ð ÈÓØ ÒÞ¹ ÙÒ Ø ÓÒ Ò ÐØ lim n7 n = 0 º º ÓÐ ÓÒÚ Ö ÖØº

74 Ê Æ Ï ÊÌ ÎÇÆ ÇÄ Æ ÍÆ Ê ÁÀ Æ ½½Ä µ Ö ÒÒ Ö ÓÐ (n +) ÐØ lim(n +) = º lim(ln(n +)) = º a n > 000 ln(n +) > 000 n + > e 000 n > e 000 n > e 000 º n K = Ö Ø ÒÞ Ð Ð Ò Ö Ð e 000 Øº µ ÜÔÓÒ ÒØ Ð ÙÒ Ø ÓÒ Ò Ð Ð Ö Ú Ð Ò ÐÐ Ö Û Ò Ð ÈÓØ ÒÞ¹ ÙÒ Ø ÓÒ Ò ÐØ lim en n = a n > 000 en n > 000 e n > 000n º TR n = 0.03 n = 0.03 n =.9. n =.9º n K = µ 3+ n n = n(3+ n ) = 3n+º lim 3+ n = lim(3n+) = º n a n > 000 3n+ > 000 3n > 998 n > 33.6º n K = 33 µ 3n+n( )n n = 3+ ( ) n º a =,a = 5,a 3 =,a 4 = 5,... ÓÐ Ú Ö ÖØ Û Ö Ò ÒÓ Ò µ µ n3 +n 6n n n = n(n +n 6) n(n ) = n(n )(n+3) n(n ) a n > 000 n+3 > 000 n > 997º n K = 997 = n+3º lim n3 +n 6n n n = lim(n+3) = µ ÒÒ Ö ÓÐ (n ) Ú Ö ÖØ Ò º lime n = º a n > 000 e n > 000 n > ln000 n > ln(000)+ n > 3.95º n K = 3º

75 Ê Æ Ï ÊÌ ÎÇÆ ÇÄ Æ ÍÆ Ê ÁÀ Æ ½½Ä º Ö ÒÞÛ ÖØ ØÞ ½Ä Ö ÒÞÛ ÖØ ØÞ Ò Ò ÞÙ Ö ÒÞÛ ÖØ ÓÑÔÐ Þ ÖØ Ö Ö ÙÒ Ø ÓÒ Ò ÞÙ ¹ Ø ÑÑ Ò Ò Ñ Ñ Ò Ù Ö ÒÞÛ ÖØ Ò Ö Ö ÙÒ Ø ÓÒ Ò ÞÙÖ ÖØº Ò (a n ) (b n ) ÓÒÚ Ö ÒØ ÓÐ Ò Ñ Ø Ö ÐÐ Ò Ö ÒÞÛ ÖØ Ò lim n a n = a lim n b n = b Rº Ð Ó Ò Ø Þº º lim n a n = µº ÒÒ ÐØ lim(a n +b n ) = lima n +limb n G lim(a n b n ) = lima n limb n G lim(a n b n ) = lima n limb n G3 lim a n bn = lima n limb n Ñ Ö ÙÒ ÁÒ ÑÙ Ò Ø ÖÐ limb n 0 ÐØ Òº G4 Ô Ð ½ Ö Ò Ò Ë Ò Ö ÒÞÛ ÖØ Ö ÓÐ a n := 3n n n +5n+ º 3n n n +5n+ = n (3 n ) n (+ 5 n + ) = 3 n + 5 n n + n lim 3n n n +5n+ = lim 3 n + 5 n + n G4 = lim(3 n ) lim(+ 5 n + n ) G,G = lim3 lim n lim+lim 5 n +lim n = = 3 Û ÚÓÒ ½ ÙÒ ¾ Ö Û ÚÓÒ ÙÒ Þº º ÇØØÓ ÓÖ Ø Ö Ò ÐÝ ½ºµ Å Ò Ó Ø Ø ÞÙ Ö Ø Ö Ö ÐÐ Ð Ò Ó º Ö ÙÒ¹ Ð ÙÒ ÐØ x+y x + y x,y Rº Ø ÒØÙ Ø Ú Ð Öº Û Ò ÒÒØ Ñ Ò ÙÖ ÐÐÙÒØ Ö ÙÒ Ö ÎÓÖÞ Ò ÚÓÒ x ÙÒ yºµ Ñ Ø Û Ò Û Ö Ò Ë ØÞ Ò a := lima n b := limb n ÙÒ ε > 0º n,n N a n a < ε n > n b n b < ε n > n. n ε Ö Ö Ö Ò Ð Ò n,n º ÒÒ ÐØ n > n ε (a n +b n ) (a+b) = (a n a)+(b n b) a n a + b n b < ε + ε = ε. (a n b n ) (a b) = (a n a)+[ (b n b)] a n a + b n b < ε + ε = ε.

76 Ê Æ Ï ÊÌ ÎÇÆ ÇÄ Æ ÍÆ Ê ÁÀ Æ ½½Ä Ù Ò Ö ÒÞÛ ÖØ ØÞ Ö Ò Ò Ë Ö ÒÞÛ ÖØ Ñ Ø Ð Ö Ö ÒÞÛ ÖØ ØÞ º Ù Ö ÒÞÛ ÖØ ØÞ µ µ a n := n n 5n + µ a n := n n 5n 3 + µ a n := ln(3n)+7 lnn µ a n := 3n 3 n +3 n µ a n := (n 3)3 n 3 µ a n := 4 n 5 n+5 µ a n := n(n+) ( n ) 0 n µ a n := 3n+ 4n+( ) n µ a n := 4n n+ +( 0 )n µ a n := 5n+ n ( 4 )n µ a n := (n )(n+) n n 3 Ðµ a n := (4 n ) n+ n Ñµ a n := n+3 (n+) n Òµ a n := n n n n Óµ a n := n +3 n + n3 +3 5n 3 Ôµ a n := n 3 n n Ù Ö ÒÞÛ ÖØ ØÞ Ñ Ù ÑÑ Ò Ò Ñ Ø Ú Ö ÒÞ Ò ± µ µ a n := n n 5n µ a n := n3 +n n +

77 Ê Æ Ï ÊÌ ÎÇÆ ÇÄ Æ ÍÆ Ê ÁÀ Æ ½½Ä Ù Ä ÙÒ Ò µ n Ù Ð ÑÑ ÖÒ n n lim n n 5n + = lim n 5+ µ n 3 Ù Ð ÑÑ ÖÒ n n lim n n 5n 3 + = lim n 5n + = n ( n ) = n (5+ n n ) 5+ n º = lim( n ) = lim n lim(5+ n = 0 n ) 5+lim n 5 0 = 5 5n 3 + = n3 ( n n ) n 3 (5+ = n n º n 3) 5+ n 3 n = lim( n 5+ n ) n 3 lim(5+ = lim n lim n n 3) 5+lim n 3 µ ÄÓ Ö Ø ÑÙ ØÞ ÒÛ Ò Ò ln(3n)+7 lnn lim ln(3n)+7 lnn = lim( ln3 lnn ++ 7 lnn µ 3 n Ù Ð ÑÑ ÖÒ 3n 3 n lim 3n 3 n +3 = lim n 3 µ n 3 Ù Ð ÑÑ ÖÒ (n 3)3 lim (n 3)3 = ln3+lnn+7 lnn = = 0 = ln3 lnn ++ 7 lnn º ) = lim ln3 lnn ++lim 7 lnn = 0++0 = +3 = 3n ( n 3 ) = 3 n ( 3 3 n+) n+º 3 = 3 3 n+ lim( = 3 3 n+) lim( = 3 3 n)+ 0+ = 3 n = [n( 3 3 n )]3 n 3 ( = n 3 ( 3 n )3 n 3 ) n 3 ( = ( 3 n )3 n 3 ) = lim( 3 n )3 = [lim( 3 n 3 lim( n )]3 = 3 n 3 ) lim( n 3) n 3 º n = lim ( 3 3 n )3 0 = 8 Ñ Ö ÙÒ Ñ Ø Ò Û Ö Ò ÞÙ Ö Ø Ò Ð Ö Ù ÑÙÐØ ÔÐ Þ Ö Ò ÙÒ ÒÒ Ö ÒÞÛ ÖØ ØÞ ÒÛ Ò Ò Û Ù ÞÙÑ Ð ÖØºµ µ n Ù Ð ÑÑ ÖÒ 4 n lim 4 n 5 n+5 = lim 4 n 5+ 5 µ n Ù Ð ÑÑ ÖÒ lim n(n+) ( n ) 0 n = lim + n 0 = = ( ) 0 = 0 5 n+5 = n(4 n ) n(5+ n 5 ) = 4 n 5+ 5 n º = lim(4 n ) = 4 lim n = 4 0 n lim(5+ 5 n ) 5+lim 5 n 5+0 = 4 5 n(n+) ( n ) 0 = n +n n ( n )0 = n (+ n n ) = + n ( n n )0n n 0 º n 0 = lim + lim n n 0 = lim(+ n n ) lim( ) 0 = +lim n lim( ) n n n n µ n Ù Ð ÑÑ ÖÒ 3n+ 4n+( ) n = n(3+ n ) n(4+ ( )n lim 3n+ 4n+( ) n = lim 3+ n 4+ ( )n n = lim(3+ n ) lim(4+ ( )n = 3+ n º n ) 4+ ( )n n = 3+lim n n ) 4+lim ( )n n = = 3 4 µ ÁÑ Ö Ø Ò ËÙÑÑ Ò Ò n Ù Ð ÑÑ ÖÒ 4n n+ = 4n n(+ n ) = 4 + n lim[ 4n n+ +( 0 )n ] = lim 4 + n +lim( 0 )n = 4 ln(+ n ) +0 = 4 +lim n µ ÁÑ Ö Ø Ò ØÓÖ n Ù Ð ÑÑ ÖÒ 5n+ = 5+ n º lim[ 5n+ n ( 4 )n ] = lim(5+ n ) lim( 4 )n = 5 0 = 0 µ ÖÞ Ò ÙÒ n Ù Ð ÑÑ ÖÒ (n )(n+) n n 3 n = n(5+ n ) n = (n )(n+) n ( n) = 4 +0 = = (n )(n+) n (n ) = (n+) n = [n(+ n )] n = n (+ n ) n = (+ n ) º lim (n )(n+) n n = lim[ (+ 3 n ) ] = lim(+ n ) = [lim(+ n )] = [] = 4 Ðµ ÁÑ ÞÛ Ø Ò ØÓÖ n Ù Ð ÑÑ ÖÒ n+ n = + n lim[(4 n ) n+ n ] = lim(4 n ) lim(+ n ) = 4 = 4 n = n(+ n )

78 Ê Æ Ï ÊÌ ÎÇÆ ÇÄ Æ ÍÆ Ê ÁÀ Æ ½½Ä Ñµ n Ù Ð ÑÑ ÖÒ n+3 (n+) n = n(+ 3 n ) n(+ n ) n = + 3 n + n lim n+3 (n+) = lim + 3 n n + n 0 = 0 Òµ n Ù Ð ÑÑ ÖÒ lim n n n n = lim Óµ n ÞÛº n 3 Ù Ð ÑÑ ÖÒ n = lim + 3 n + n n n = n ( n n n 3) n n ( = n n 3 n 4) n n 3 = lim n lim n 3 n 4 lim n 4 n º lim n = +lim 3 n +lim n º n 4 = = 0 n +3 n + n3 +3 5n = n (+ 3 3 n ) n (+ n 3 (+ 3 n 3) n ) 5n = n n 3 n lim( n +3 n + n3 +3 5n ) = lim n 5 = 5 + lim + 3 n 3 n Ôµ ÍÑ ÓÖÑ Ò ÒÒ n Ù Ð ÑÑ ÖÒ n 3 n n lim( n 3 n n = n 3 = n n n n n 3 n = n 5 º lim n = = 5 = +lim 3 n +lim 3 +lim n 3 n 5 = = 3 n = n n( 3 n ) = 3 ) = lim 3 n = lim 3 n = 0 = n º Ñ Ö ÙÒ ËØ ØØ ÞÙ Ö Ø ÙÑÞÙ ÓÖÑ Ò ÙÒ ÒÒ Ò Ù ÞÙ Ð ÑÑ ÖÒ Û Ö Ñ Ò Ò ÐÐ Ö ÒÙÖ n Ù Ð ÑÑ ÖÒº Ö Ø Ö Ë Û Ö ÒÐ ÙÒ ¹ ÛÓ ÒØ Öºµ Ù µ n Ù Ð ÑÑ ÖÒ n n 5n = n(n ) lim n n 5n = lim n 5 n µ n Ù Ð ÑÑ ÖÒ n3 +n lim n3 +n n + = = n n(5 n ) 5 n º n + = n (n+) n+ = n (+ n) + = lim n+ + n = n º Ö ÒÒØÒ Ö Ù Ð ÑÑ ÖÒ ÚÓÖ Ñ ÒÛ Ò Ò Ö Ö ÒÞÛ ÖØ ØÞ Ö ¹ Ø Ñ Æ ÒÒ Ö ÚÓÖ ÓÑÑ Ò ÈÓØ ÒÞ Ò Æ ÒÒ Ö ÙÒ Ð Ö Ù Ð ÑÑ ÖÒº

79 Ê Æ Ï ÊÌ ÎÇÆ ÇÄ Æ ÍÆ Ê ÁÀ Æ ½½Ä º ÃÓÒ ØÖÙ Ø ÓÒ ÚÓÒ ÓÐ Ò ½Ä Ô Ð ¾ Ò Ë ÞÛ ÓÐ Ò (a n ) (b n ) Ò Ö ÐØº lima n = limb n = ÙÒ lim(a n +b n ) = 3 a n := n+3 b n := n a n +b n = (n+3)+( n) = 3 lim(a n +b n ) = 3 Ô Ð Ò Ë ÞÛ ÓÐ Ò (a n ) (b n ) Ò Ö ÐØº lima n = 0 limb n = 0 ÙÒ lim an b n = 5 a n := 5 n b n := n a n bn = 5 n n lim a n bn = 5 = 5

80 Ê Æ Ï ÊÌ ÎÇÆ ÇÄ Æ ÍÆ Ê ÁÀ Æ ½½Ä Ù Ò ÃÓÒ ØÖÙ Ø ÓÒ ÚÓÒ ÓÐ Ò ÁÒ Ò Ù Ò ½¼¼ Ø Û Ð Ò Ø ÒÙÖ Ò Ö Ø Ä ÙÒ ÓÒ ÖÒ ÙÒ Ò Ð Ú Ð Å Ð Ø Òº Ù Ò Ë ÓÐ Ò (a n ) (b n ) Ò Ö lima n = limb n = ÐØ ÙÒ µ lim(a n +b n ) = µ lim(a n +b n ) = µ lim(a n +b n ) = µ (a n +b n ) ÓÒÚ Ö ÖØ Ò Ø ÙÒ Ú Ö ÖØ Ù Ò Ø Ò ± º Ù Ò Ë ÓÐ Ò (a n ) (b n ) Ò Ö lima n = 0 limb n = ÐØ ÙÒ µ lim(a n b n ) = π µ lim(a n b n ) = µ lim(a n b n ) = µ (a n b n ) ÓÒÚ Ö ÖØ Ò Ø ÙÒ Ú Ö ÖØ Ù Ò Ø Ò ± º Ù ½¼¼ Ò Ë ÓÐ Ò (a n ) (b n ) Ò Ö lima n = 0 limb n = 0 ÐØ ÙÒ µ lim an b n = 3 µ lim an b n = µ lim an b n = µ lim an b n = 0 µ ( an b n ) ÓÒÚ Ö ÖØ Ò Ø ÙÒ Ú Ö ÖØ Ù Ò Ø Ò ± º Ù ½¼½ Ê Ø Ó Ö Ð µ Ë Ò Ù Ò Û Ö Ó Ö Ð Ö Ò Ò Ë Ö ÒØÛÓÖØº ÁÑ ÐÐ Ò Ö Ð Ò Ù Ö Ò Ò Ë Á Ö ÒØÛÓÖØ Ñ Ø Ò Ñ Ò Ô Ðº µ ËÙÑÑ Ò ÓÐ (a n +b n ) ÞÛ Ö ÓÒÚ Ö ÒØ Ö ÓÐ Ò (a n ) (b n ) Ø Ò ÐÐ ÓÒÚ Ö ÒØº µ ËÙÑÑ Ò ÓÐ (a n +b n ) ÞÛ Ö Ú Ö ÒØ Ö ÓÐ Ò (a n ) (b n ) Ø Ò ÐÐ Ú Ö ÒØº µ ËÙÑÑ Ò ÓÐ (a n +b n ) ÞÛ Ö Ú Ö ÒØ Ö ÓÐ Ò (a n ) (b n ) ÒÒ ÓÒÚ Ö¹ ÒØ Òº µ Ò ÓÒ Ø ÒØ ÓÐ Þº º a n = 7 n Nµ Ø Ø Ø Ò Ò Ö ÒÞÛ ÖØº µ Ð Ö Ò Ö ÓÒÚ Ö ÒØ Ò ÓÐ Ò ÖÒ Ñ Ö ÒÞÛ ÖØ a ÞÛ Ö ¹ Ð Ò ÖÖ Ò Ò Ö Ò Ñ Ð º µ Á Ø ÓÐ (a n ) ÓÒÚ Ö ÒØ Ó Ø Ø Ø Ù ÒÚ Ö ÓÐ ( a n ) ÓÒÚ Ö¹ ÒØº µ Ò ÓÐ Ñ Ø ÔÓ Ø Ú Ò Ð ÖÒ ÚÓÒ Ð ÞÙ Ð Ð Ò Ö Û Ö Ø Ò Ö ÒÞÛ ÖØ ¼º µ Ö Ð c R Ø Ò ÓÐ (a n ) Ò ÓÒÚ Ö ÖØº

81 Ê Æ Ï ÊÌ ÎÇÆ ÇÄ Æ ÍÆ Ê ÁÀ Æ ½½Ä ¼ Ä ÙÒ Ò Ù µ a n := n+ b n := n µ a n := n b n := n µ a n := n b n := n µ a n := n+( ) n b n := n Ù µ a n := n b n := nπ µ a n := n b n := n µ a n := n b n := n µ a n := ( ) n n b n := n Ù ½¼¼ µ a n := n 3 b n := n µ a n := n b n := n µ a n := n b n := n µ a n := n b n := n µ a n := ( )n n b n := n Ù ½¼½ µ Â Û Ò Ö ÒÞÛ ÖØ ØÞ ½º µ Æ Òº Ò Ô Ð a n := ( ) n b n := ( ) n+ º ÓÐ Ò Ú Ö Ö Ò Ö Ø a n +b n = 0 n Ð Ó lim(a n +b n ) = 0º µ Â º Ô Ð Ë µº µ Â º Á Ø a n = c R n N Ó ÐØ lima n = cº µ Æ Òº Þ Ø ÓÒ Ø ÒØ ÓÐ º Ò Ô Ð a n = 7 n lima n = 7º µ Æ Òº Ö ÆÙÐÐ ÓÐ Ø Ð º Ò ÆÙÐÐ ÓÐ Ø Ò ÓÐ Ò ¼ ÓÒÚ Ö ÖØºµ Ò Ô Ð a n := n lima n = lim = limn = º n µ Æ Òº Ò Ô Ð a n := 5+ n º ÓÐ Û Ö ÚÓÒ Ð ÞÙ Ð Ð Ò Ö Ö Ø lima n = 5º µ Â º Ë c R Ò Ð Ðº ÒÒ Ò Ö Þº º a n := c+ n º

82 Ê Æ Ï ÊÌ ÎÇÆ ÇÄ Æ ÍÆ Ê ÁÀ Æ ½½Ä ½ º ÓÑ ØÖ Ê Ò ¾Ä Ö ÒÒ ÖÙÒ Ö Ò (a n ) ÙÒ Ö Ê (s n ) ÐØ s n = a q n q (q 0) Å Ø Ò Ö ÒÞÛ ÖØ ØÞ Ò ÓÐ Ø Ö Ù Ó ÓÖØ Ò Ê (s n ) ÓÒÚ Ö ÖØ Ò Ù ÒÒ Û ÒÒ q < º ÁÒ Ñ ÐÐ Ø ÛÓ s := lim n s n º s = a q, Û Ï Ò q < ÐØ lim n q n = 0 ÙÒ Ð Ø lims n = lima q n q G3,G4 lim( q n ) G limq n = a = a = a q q q Ô Ð =? Ê Ñ Ø a = ÙÒ q = s = a q = = Ô Ð Ò Ë = Øº = Ê Ñ Ø a = 9 0 ÙÒ q = 0 s = a q = =

83 Ê Æ Ï ÊÌ ÎÇÆ ÇÄ Æ ÍÆ Ê ÁÀ Æ ½½Ä ¾ Ù Ò ÓÑ ØÖ Ê Ò Ö ÌÊ Ø ÒÙÖ Ò Ù ½¼ µ ÖÐ Ù Øº Ù ½¼¾ Ö Ò Ò Ë µ µ Ù ½¼ Ò Ò Ö Ø Ò Ò Ð Ö Ò Ö º ÐÐ ÓÒÚ Ö¹ ÖØ Ö Ò Ò Ë Ò Ö ÒÞÛ ÖØ s Ö ÞÙ Ö Ò Ò Ê (s n )º µ,0.75,... µ 0.75, µ 5, 3,... µ, 3,... µ,0.999,... Ù ½¼ Ë Ö Ò Ë Ð Ð ÖÞØ Ò Û ÒÐ Ò ÖÙ Û Þ Ø Ö Ø ÓÒ Ð Øµº µ.89 µ Ù ½¼ ÎÓÒ Ò Ö Ò Ö ÉÙÓØ ÒØ q ÙÒ Ö Ö ÒÞÛ ÖØ s Ö ÞÙ ¹ Ö Ò Ò Ê Òº Ö Ò Ò Ë Ö Ø Ð a Ö º µ q = 0.75 s = 40 µ q = s = 5.5 Ù ½¼ ÎÓÒ Ò Ö Ê Ø s ÙÒ Ö Ö ÒÞÛ ÖØ s Òº Ö Ò Ò Ë Ò ÉÙÓØ ÒØ Ò q Ö ÞÙ Ö Ò Ò º µ s = 5 s = 6 µ s = 0. s = 0 5 Ù ½¼ ËÙÑÑ Ö Ö Ø Ò Ú Ö Ð Ö Ò Ö Ø ½ º ËÙÑÑ ÐÐ Ö Ö Ò Ð Ö Ò ÙÒ Ò Ð Ú Ð µ Ø ½º Ö Ò Ò Ë a ÙÒ a 5 º Ù ½¼ Ò ÒØ Ñ Ø a = 4º Ï Ð Ø Ö Ö Ø Ï ÖØ Ò Ö ÉÙÓØ ÒØ q ÒÒ Ñ Ò ÒÒ Û ÒÒ ËÙÑÑ ÐÐ Ö Ð Ö Ö ÓÐ ½¾ Ò Ø Ö¹ Ø Ò Ö Ù ½¼ Ï Ú Ð Ð Ö Ö 5,4,... ÑÙ Ñ Ò a ÒÒ Ò ¹ Ö Ò Û ÒÒ Ö ËÙÑÑ Ø Ò ÙÑ 0.00 ÚÓÑ Ö ÒÞÛ ÖØ Ö Ê Û Ò ÓÐÐ

84 Ê Æ Ï ÊÌ ÎÇÆ ÇÄ Æ ÍÆ Ê ÁÀ Æ ½½Ä Ù ½¼¾ Ä ÙÒ Ò µ a = 5,q = 4 º s = a q = 5 4 = = 0 3 = 6.6 µ a = 3,q = 3 º s = a q = 3 4 = 3 ( 3 ) 3 Ù ½¼ µ a =,q = 0.75º s = a q = 0.75 = 4 µ q = 0.75 = 4 3 q > º Ê ÓÒÚ Ö ÖØ Ò Øº = 9 4 µ a = 5,q = 3 5 º s = a q = 5 ( 3 5 ) = = 5 8 µ q = 3 q > Ê Ú Ö ÖØº µ a =,q = 0.999º s = a q = = 0.00 = 000 Ù ½¼ µ.89 = = = = = = µ = Ù ½¼ = = TR = µ s = a q 40 = a ( 0.75) 40 = a = a 4 7 a = 45 µ s = a q 5.5 = a Ù ½¼ 5.5 = a 0 a = 55 = 5 µ a = s = 5º Ò ØÞ Ò Ò s = a q º 6 = 5 q º Ù Ò Ò q 6 5 = q 5 6 = q q = 6 µ a = s = 0.º Ò ØÞ Ò Ò s = a q º 05 = 0. q º Ù Ò Ò q q = 0 q = 5 0 q = (= ) Ù ½¼ q ËÙÑÑ Ö Ö Ø Ò Ð Ö ½ Ø Ð ÖØ Ð ÙÒ 75 = a 4 q º ËÙÑÑ ÐÐ Ö Ö Ò Ð Ö ½ Ø Ð ÖØ 75+8 = a q º Å Ò Ø Ð Ó Ò Ø Ð Ò Ö µ Ð ÙÒ Ý Ø Ñ 75 = a q 4 q 56 = a q Ò Ò Î Ö Ð Ò a ÙÒ qº Ù Ò ÚÓÒ ÁÁ Ò a ÙÒ Ò ØÞ Ò Ò Á Ó Ö Ò Á ÁÁµ Ð ÖØ Ð ÙÒ = q4 º ÙÐ Ò Ò q q 4 = 8 56 q = ±3 4 º Ò ØÞ Ò Ò ÁÁ Ð ÖØ a a = 56( q) = 56( 3 4 ) = 64

85 Ê Æ Ï ÊÌ ÎÇÆ ÇÄ Æ ÍÆ Ê ÁÀ Æ ½½Ä Ó Ö a = 56( q) = 56( ( 3 7 )) = = 448 Å Ø Ö ÓÖÑ Ð a n = a q n Ã Ô Ø Ð º¾µ Ö Ò Ø Ñ Ò a 5 Ó Ö a 5 = a q 4 = 64 ( 3 4 )4 = 8 4 a 5 = a q 4 = 448 ( 3 4 )4 = Ù ½¼ s = a q = 4 q q = 3 q = 3 Ù ½¼ s = a q = 5 = 5º ËÙÑÑ s 4 n Ö Ö Ø Ò n Ð Ö ÓÐÐ ÚÓÑ ¹ 5 Ñ Ö ÒÞÛ ÖØ ¾ Ò Ø Û Ø Ö Ð 0,00 ÒØ ÖÒØ Ò Ð Ó Ñ Ò Ø Ò Ò Ï ÖØ q Òº Ã Ô Ø Ð º s n = a n q º = 5 (4 5 )n 4 º Ù Ò Ò n = 5 (4 5 )n = 5[( 4 5 )n ] =( 4 5 )n = 5 ( 4 5 )n n ln 4 5 = ln(4 0 5 ) n = ln(4 0 5 ) = 45.38º n = 46 ËØ ln 4 5

86 Ê Æ Ï ÊÌ ÎÇÆ ÇÄ Æ ÍÆ Ê ÁÀ Æ ½½Ä º ÓÑ ØÖ Ê Ò Ò Ö ÓÑ ØÖ ¾Ä Ô Ð Ù Ò Ò Ö Ð Ø ÉÙ Ö Ø µ h =? ÍÒ Ò Ð Ú Ð ÉÙ Ö Ø Ò Û Ò Ö ÒÙÒ Ö Ø ÐÐØ Ù Ò Ò Ö Ð Øº Ë Ø ÒÐÒ ÙÒØ Ö Ø Ò ÉÙ Ö Ø Ø cmº Ë Ø ÒÐÒ ÉÙ Ö Ø Ñ Ø 60% Ö Ë Ø ÒÐÒ ÖÙÒØ Ö Ð Ò Òº µ Ï Ð À Ø ÙÖ Ù Ò ÙÒ Ò Ð Ú Ð Ò ÉÙ Ö Ø Ò Ø Ø µ Ï Ð Ò Ð Ò Ò ÐØ Ø ÙÖ µh = Ê Ñ Ø a = q = 0.6 h = a q = 0.6 = 5cm µa = +(0.6 ) +(0.6 ) +(0.6 3 ) +... = Ê Ñ Ø a = 4 q = 0.6 = 0.36 A = a q = = 6.5cm

87 Ê Æ Ï ÊÌ ÎÇÆ ÇÄ Æ ÍÆ Ê ÁÀ Æ ½½Ä Ù Ò ÓÑ ØÖ Ê Ò Ò Ö ÓÑ ØÖ Ù ½½¼ ÄÒ ÙÒ Ò Ð Ú Ð Ö À Ð Ö Ó Òµ r r Ö Ë Ð Ò ÒÛ ÚÓÒ Ò ØÞØ Ù ÙÒ Ò Ð Ú Ð Ò À Ð Ö Ó¹ Ò ÞÙ ÑÑ Ò Ö Ò Ê Ò Ò Ñ Ø Ñ ÉÙÓØ ÒØ Ò q = Ð Òº A B µ Ö Ò Ò Ë ÄÒ Ë Ð Ò ÒÛ ÚÓÒ Ò Ù rº µ Á Ø Ö Ë Ð Ò ÒÛ Ó Ö Ö À Ð Ö Û ÚÓÒ Ò ÖÞ Ö µ Ö Ò Ò Ë Ò Ð Ò Ò ÐØ Ö ÚÓÑ ÖÓ Ò À Ð Ö Ó Ò Ö ÙÒ Ò Ö Ò À Ð Ö Ó Ò Ò ÐÓ Ò Û Ö º Ù ½½½ ÓÐ ÚÓÒ Ö Ò Ò Ö Ð Ø Ò ÉÙ Ö Ø Òµ ÁÒ Ò Ö ÓÐ ÚÓÒ ÉÙ Ö Ø Ò Q n Ò Ö Ø Ò ÍÑ Ò 4m Ø Û Ö (n +)¹Ø ÉÙ Ö Ø Ó Ù Ò¹Ø ÉÙ Ö Ø Ð Ø Ò (n+)¹ø Ò ÉÙ Ö Ø Ù Ë Ø ÒÑ ØØ Ò Ò¹Ø Ò ÉÙ Ö Ø ÞÙ Ð Ò ÓÑÑ Òº µ Ö Ò Ò Ë ËÙÑÑ ÐÐ Ö ÍÑ Ò º µ Ï Ð Ø Ð Ò Ø Ò Ó Ö ÍÑ Ò ÚÓÒ Q n Ð Ò Ö Ð ½ ÑÑ Ø Ù ½½¾ ÄÒ Ò ËØÖ ÒÞÙ µ A E C Ò Ò Ø Ò Ê Ø Ø ÄÒ ΩB = ÙÒ Ö Ø AB = º Ï Ð Ò Ø Ö Ù ÙÒ Ò Ð Ú Ð Ò ËØÖ Ò ÞÙ ÑÑ Ò ØÞØ Ï ÚÓÒ A Ö B C D E ººº Ω Ω D B Ù ½½ ÓÐ ÚÓÒ ÃÙ ÐÒµ Ò Ö ÓÐ ÚÓÒ ÃÙ ÐÒ Ð Ò ÄÒ Ò Ö ÙÖ Ñ Ö Ò Ñ Ø 0cm ÒÒØº ËÙÑÑ Ö ÙÖ Ñ Ö ÐÐ Ö ÃÙ ÐÒ Ø mº Ö Ò Ò Ë ÎÓÐÙÑ Ò ÐÐ Ö ÃÙ ÐÒº Ù ½½ Ï Ö ÐØÙÖÑµ Ò Ñ Ï Ö Ð Ñ Ø Ö Ã ÒØ ÒÐÒ ½ Ñ Û Ö Ò ÞÛ Ø Ö Ï Ö Ð Ó Ù ØÞØ Ò Ò Ö ÖÙÒ Ù Ã ÒØ ÒÑ ØØ Ò Ö Ö Ø Ò Ï Ö Ð ÞÙ Ð Ò ÓÑÑ Òº Ù Ð Ï Û Ö Ñ ÞÛ ¹ Ø Ò Ï Ö Ð Ò Ö ØØ Ö Ù ØÞØ Ù Ûº µ Ï Ó Û Ö Ö Ï Ö ÐØÙÖÑ Ö Ù ÙÒ Ò Ð Ú Ð Ò Ï Ö ÐÒ Ø Øµ µ Ö Ò Ò Ë ÌÙÖÑÚÓÐÙÑ Òº

88 Ê Æ Ï ÊÌ ÎÇÆ ÇÄ Æ ÍÆ Ê ÁÀ Æ ½½Ä Ù ½½¼ Ä ÙÒ Ò µ L = π r +π r +π r +... = 4 8 π(r + r + r +...) = π r 4 8 = πr µ Ö À Ð Ö Û Ø Ö Ð ÍÑ Ò ÖÓ Ò ÃÖ L = πrº Ï Ò Ð Ð Ò º µ Þ Ò Ø A À Ð Ö Ö Ø Ò Ó Ò A ÞÛ Ø Ö Ø Ò A 3 Ö ØØ Ö Ø Ò Ù Ûº Ó ÐØ A = A A + A 3 A = r π ( r) π + ( 4 r) π ( 8 r) π +... = π [r ( r) +( 4 r) ( 8 r) +...] = π (r 4 r + 6 r 64 r +...) = π r = ( 4 ) π r 4 = πr 5 5 Ù ½½½ µ U = U +U +U 3+U = 4+ 4+( ) 4+( ) = 4 (= 8+4 ) = 3.657m µ Æ Ö ÓÖÑ Ð a n = a q n Ö Ò¹Ø Ð Ò Ö Ø 000 = 4 ( ) n º Ù Ò Ò n = ( 4000 ) n ln( ) = (n )ln( 4000 ) ln( 4000 ) = n ln( ) 3.93 = n 4.93 = n n = 5 Ù ½½¾ ½º Ë Ö ØØ Ö ACB BCD CDE ººº Ò ÐÐ ÒÐ ÞÙÑ Ö ABΩ Ö ΩBA BAC Ò Ö ØÛ Ò Ð ÙÒ Ò Ò Ï Ò Ð A Ñ Ò¹ Ñº Ð Ò ÒÐ º Ö BCD Ø Ò ÐÐ ÒÐ ÞÙ Ò Ó Ò Ò Ö Ï Ò Ð C Ö Ð Ø Û Ö Ï Ò Ð ÚÓÑ Ö ACB Bº Í Ûº ¾º Ë Ö ØØ ÄÒ Ò Ö ÒÞ ÐÒ Ò ËØÖ Ò ËØÖ ÒÞÙ Ð Ò Ò Ñ Ø a = AB = ÙÒ q = 5 AΩ = BΩ +AB = + = 5º BC AB = BΩ AΩ = 5 CD BC = BΩ AΩ = 5 ººº º Ë Ö ØØ Ñ Ø Ö Ò Ï ÐÒ L = + 5 +( 5 ) +( 5 ) = = 9.47m 5 Ù ½½ ½º Ë Ö ØØ Ö ÒÙÒ ÚÓÒ q Ö Ö ÃÙ ÐÖ Òµº Æ Ö ÓÖÑ Ð s = a Ø = 0. q = q = 4º q q 5 5 ¾º Ë Ö ØØ Ñ Ø Ö Ò ÑØÚÓÐÙÑ Ò V = V +V +V = 4 3 r3 π r3 π r3 3π +... = 4 3 π(r3 +r 3 +r ) = 4 π[( 3 0 )3 + ( )3 +(( 4 5 ) 0 )3 +(( 4 5 )3 0 )3 +...] = 4 π[( 3 0 )3 +( 4 5 )3 ( 0 )3 +( 4 5 )6 ( 0 )3 +( 4 5 )9 ( 0 )3 +...] = 4 π( 3 0 )3 = m 3 = 8.6dm 3 = 8.6l ( 4 5 )3 Ù ½½ ÅÙÐØ ÔÐ Þ ÖØ Ñ Ò Ð Ã ÒØ ÒÐÒ ÙÒØ Ö Ø Ò Ï Ö Ð Ñ Ø Ö ÐØ Ñ Ò Ã ÒØ ÒÐÒ ÞÛ ØÙÒØ Ö Ø Ò Ï Ö Ð Ù Ûº Ð Ó ÐØ Ö ÓÐ (a n) Ö Ï Ö Ð ÒØ Ò a = a = = a 3 = ( ) a 4 = ( ) 3 ººº µ h = a = = 3.44m = (+ )m q µ V = a = q ( ) 3 =.5469m 3

89 Ê Æ Ï ÊÌ Á ÍÆÃÌÁÇÆ Æ Ä º½ Ö ÒÞÛ ÖØ ÙÒ Ø ÓÒ Ò Ä Ö ÒÞÛ ÖØ Ö x ± ¾Ä f : D R Ò ÙÒ Ø ÓÒº a R {± } Ø Ö ÒÞÛ ÖØ ÚÓÒ f Ö x x µ Û ÒÒ Ö ÓÐ (x n ) D Ñ Ø x n x n µ Ö Ð ÓÐ (f(x n )) ÐØ a = lim n f(x n ). ÁÒ Ñ ÐÐ Ö Ø Ñ Ò Ò a = lim x f(x) (a = lim x f(x)) Ô Ð Ç Ò ØÐ Ö Ö ÒÞÛ ÖØµ Ò Ø ÙÒ Ø ÓÒf(x) = x º Ø ÑÑ Ò Ë lim x f(x) ÙÒ lim x f(x)º lim x x = 0 und lim x x = 0 = f(x ) y Ð ÓÐ 4 3 / = f(x ) /3 = f(x 3 ) /4 = f(x 4 ) Ò ÐÓ Þ Ò Ø Ñ Ò ÓÐ ÙÒ Ð ÓÐ Ö Ò Ð Ò Ò Ø 3 4 x x x 3 x 4 ÓÐ x

90 Ê Æ Ï ÊÌ Á ÍÆÃÌÁÇÆ Æ Ä Ô Ð Ö ÒÞÛ ÖØ Ø ÑÑÙÒ ÙÖ Ì ÖÑÙÑ ÓÖÑÙÒ µ Ò Ø ÙÒ Ø ÓÒf(x) = x 3x x +5 º Ö Ò Ò Ë lim x f(x) ÙÒ lim x f(x)º x Ù Ð x 3x = x ( x x 3) 3 = +5 x (+ 5 x ) + 5 x x º lim n ± x 3x x +5 = lim n ± = lim n ± 3 x 5 = 0 +lim n ± +0 = x 3 x + 5 x = lim n ± ( 3 x ) lim n ± (+ 5 x ) Ô Ð Ö ÒÞÛ ÖØ Ü Ø ÖØ Ò Øµ Ò Ø ÙÒ Ø ÓÒ f(x) = cosxº Ö Ò Ò Ë lim n f(x)º Æ º Ö ÒÞÛ ÖØ ÙÒ Ø ÓÒ Ò ÑÙ Ö ÓÐ (x n ) Ñ Ø x n Ö Ð Ö ÒÞÛ ÖØ a = lim n f(x n ) Ö¹ Ù ÓÑÑ Ò Ï Ð x n := nπº cos(nπ) = n lim n cos(nπ) = º Ï Ð x n := (n+)πº cos((n+)πn) = n lim n cos((n+)π) = º lim x cosx Ü Ø ÖØ Ò Øº

91 Ê Æ Ï ÊÌ Á ÍÆÃÌÁÇÆ Æ Ä ¼ Ù Ò Ö ÒÞÛ ÖØ Ö x ± ÁÒ Ò ÓÐ Ò Ò Ù Ò Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ò ÒØ Ñ Ø Ò Ò Ò Ò Ù Ò ÙÒ Û ÒÒ Ñ Ò ÓÖØ Ö ÐÐ n ÙÖ x Ö ØÞØº Ù ½½ Ö ÒÞÛ ÖØ ØÞ µ Ö Ò Ò Ë lim x f(x) ÙÒ lim x f(x)º µ f(x) := x x 5x + µ f(x) := x x 5x 3 + µ f(x) := ln(3x)+7 lnx µ f(x) := 3x 3 x +3 x µ f(x) := (x 3)3 x 3 µ f(x) := 4 x 5 x+5 µ f(x) := x(x+) ( x ) 0 x µ f(x) := 3x+ 4x+( ) x µ f(x) := 4x x+ +( 0 )x µ f(x) := 5x+ x ( 4 )x µ f(x) := (x )(x+) x x 3 Ðµ f(x) := (4 x ) x+ x Ñµ f(x) := x+3 (x+) x Òµ f(x) := x x x x Óµ f(x) := x +3 x + x3 +3 5x 3 Ôµ f(x) := x 3 x x Ù ½½ Ö ÒÞÛ ÖØ ØÞ Ñ Ù ÑÑ Ò Ò Ñ Ø Ú Ö ÒÞ Ò ± µ µ f(x) := x x 5x µ f(x) := x3 +x x +

92 Ê Æ Ï ÊÌ Á ÍÆÃÌÁÇÆ Æ Ä ½ Ä ÙÒ Ò Ö ÒÞÛ ÖØ Ö x ± Ö Ö ÒÙÒ ÚÓÒlim x f(x) Ò ÐÐ Ä ÙÒ Û ÙÒ Ä ÙÒ Ò ÒØ Ñ Ø Ò Ò Ò Ò Ù Ò ÙÒ Û ÒÒ Ñ Ò ÓÖØ n ÙÖ x Ö ØÞØ Ù Ö Ò Ò Ù Ò ÙÒ µº Ö Ö ÒÙÒ ÚÓÒ lim x f(x) ÒÒ Ö Ä ÙÒ Û ÙÒØ Ö Ò ÒÑÐ Ò Ò Ù Ò Ñµ Ù ½½ µ x Ù Ð ÑÑ ÖÒ x x 5x + = x ( x ) lim x ± x x 5x + = lim x ± x 5 x µ x 3 Ù Ð ÑÑ ÖÒ x x lim x ± x x 5x 3 + = lim x ± = 0 º x (5 x ) = x 5 x = limx ± ( x ) lim x ± (5 x ) = limx ± x 5 lim x ± x 5x 3 + = x3 ( x x ) x 3 (5+ = x x x 3) 5+ x x 5+ µ ÄÓ Ö Ø ÑÙ ØÞ ÒÛ Ò Ò ln(3x)+7 lnx lim x ln(3x)+7 lnx 0++0 = x 3 º = = 5 = lim x ± ( x x ) x 3 lim = lim x ± x limx ± x ± (5+ x x 3) 5+lim x ± = x 3 = ln3+lnx+7 lnx = ln3 lnx ++ 7 lnx º = lim x ( lnx lnx ++ 7 lnx ) = lim x ln3 lnx ++lim x 7 lnx = lim x f(x) Ü Ø ÖØ Ò Ø ln(x) Ò Ø Ü Ø ÖØ Ö x < 0º µ 3 x Ù Ð ÑÑ ÖÒ 3x 3 x 3 lim x 3 x x +3 = lim x 3 x +3 = 3x ( x 3 ) 3 x ( = 3 3 x+) x+º 3 3 lim x 3 x x +3 = lim x 3 x 3 lim x (3 x )+ = 0 µ x 3 Ù Ð ÑÑ ÖÒ (x 3)3 = 3 3 x+ lim x ( (x 3) lim 3 ( x ± x = lim 3 3 x )3 x ± = 3 3 x+) lim x ( 3 x + = 3 lim x ( = 3 x+) x = [x( 3 3 x )]3 x 3 ( x 3 ) = x 3 ( 3 x )3 x 3 ( = ( 3 x )3 x 3 ) x 3 º = 3 3 x)+ 0+ = 3 3 lim x ( 3 x )+ = = limx ± ( 3 x )3 x 3 lim = [limx ± ( 3 x ± ( x )]3 x 3 ) lim = x ± ( x 3) 3 0 = 8 Ñ Ö ÙÒ Ñ Ø Ò Û Ö Ò ÞÙ Ö Ø Ò Ð Ö Ù ÑÙÐØ ÔÐ Þ Ö Ò ÙÒ ÒÒ Ö ÒÞÛ ÖØ ØÞ ÒÛ Ò Ò Û Ù ÞÙÑ Ð ÖØºµ µ x Ù Ð ÑÑ ÖÒ 4 x 4 lim x x 5 x+5 = lim 4 x x x+5 = x(4 x ) = 4 x x(5+ x 5 ) 5+ 5 x º = limx (4 x ) x lim x (5+ 5 x ) = 4 limx x 5 5+lim x x = = 4 5 lim x f(x) Ü Ø ÖØ Ò Ø x Ò Ø Ü Ø ÖØ Ö x < 0º µ x Ù Ð ÑÑ ÖÒ x(x+) ( x ) 0 = x + x ( x )0 = x (+ x x ) = + x ( x x )0x x 0 x º x(x+) + lim x ( x ) 0 = lim x x x + x 0 = lim x x x lim x x 0 = n lim x (+ x ) 0 = +lim lim x ( x +0 0 = x ) lim( x) 0 0 = ( ) 0 = 0 x(x+) + lim x ( x ) 0 = lim x x x + x 0 = = lim x x x lim x x = º ÇÔ Ö Ø ÓÒ Ò ÞÛ Ò Ð Ò ÙÒ Ñ Ò Ò Û Ö Ò Ò ÖØº Ø Ö Ò Ð Ò c = Ö c > 0 ÙÒ c = Ö c < 0ºµ 0 x =

93 Ê Æ Ï ÊÌ Á ÍÆÃÌÁÇÆ Æ Ä ¾ µ ÙÒ Ø ÓÒ f(x) = 3x+ 4x+( ) Ø Ö Ò Ø Ò ÖØ Þº º f( x ) Ò Ø ¹ Ò ÖØ Ø Û Ð ( ) = ( ) Ò Ø Ò ÖØ Øº µ ÁÑ Ö Ø Ò ËÙÑÑ Ò Ò x Ù Ð ÑÑ ÖÒ 4x x+ = 4x x(+ x ) = 4 + x lim x [ 4x x+ +( 0 )x ] = lim x 4 4 +lim x x = 4 +0 = + x lim x [ 4x x+ +( 0 )x ] = lim x 4 + x lim x 0 x = 4 +lim x x + lim x ( 0 )x = 4 lim x (+ x ) + 0 = + lim x 0 x = lim x ( 0 )x = 4 lim x (+ x ) + + = + = ÇÔ ¹ Ö Ø ÓÒ Ò ÞÛ Ò Ð Ò ÙÒ Ñ Ò Ò Û Ö Ò Ò ÖØº Ø Ö Ò Ð Ò c+ = Ö c Rºµ µ ÙÒ Ø ÓÒ f(x) := 5x+ x ( 4 )x Ø Ö Ò Ø Ò ÖØ Þº º f( ) Ò Ø Ò ÖØ Ø Û Ð ( 4 ) = 4 Ò Ø Ò ÖØ Øº µ ÖÞ Ò ÙÒ x Ù Ð ÑÑ ÖÒ (x )(x+) x x 3 = (x )(x+) x ( x) = (x )(x+) x (x ) = (x+) x = [x(+ x )] x = x (+ x ) x = (+ x ) º (x )(x+) lim x ± x x = lim 3 x ± [ (+ x ) ] = lim x ± (+ x ) = [lim x ± (+ x )] = [] = 4 Ðµ ÁÑ ÞÛ Ø Ò ØÓÖ x Ù Ð ÑÑ ÖÒ x+ x = + x lim x ± [(4 x ) x+ x ] = lim x ± (4 x ) lim x ± (+ x ) = 4 = 8 x = x(+ x ) Ñµ x Ù Ð ÑÑ ÖÒ x+3 (x+) x = x(+ 3 x ) x(+ x ) x = + 3 x + x lim x x+3 (x+) x = lim x ( + 3 x + x +lim x 3 x +lim x x x º x ) = lim x + 3 x + x lim x = +0 x +0 0 = 0 = 0 lim x x+3 (x+) x = lim x ( + 3 x + x +lim x 3 x +lim x x x ) = lim x + 3 x + x lim x = +0 x +0 = = lim x x = lim x x = ÇÔ Ö Ø ÓÒ Ò ÞÛ Ò Ð Ò ÙÒ Ñ Ò Ò Û Ö Ò Ò ÖØº Ø Ö Ò Ð Ò = Ù µµ Òµ x Ù Ð ÑÑ ÖÒ lim x ± x x x x = lim x ± Óµ x ÞÛº x 3 Ù Ð ÑÑ ÖÒ x x = x ( x x x 3) x x ( = x x 3 x 4) x x 3 x 4 º x limx ± x 3 = lim x ± x 4 lim x ± x 4 x +3 x + x3 +3 5x = x (+ 3 3 x ) x 3 (+ 3 x (+ x 3 ) x ) 5x = x x 3 x lim x ± ( x +3 x + x x ) = lim 3 3 x x ± +lim x ± 3 x +lim x ± + +lim 3 x ± x 3 x 5 = Ôµ ÍÑ ÓÖÑ Ò ÒÒ x Ù Ð ÑÑ ÖÒ x 3 x x = x 3 = x x x x x lim x ± ( x 3 x x 3 x = x 5 º 3 + x lim 3 x ± x 5 = 5 = 5 3 x = x = x( 3 x ) 3 5 = x º = = 0 ) = lim x ± 3 x = lim x ± 3 x = 0 =

94 Ê Æ Ï ÊÌ Á ÍÆÃÌÁÇÆ Æ Ä Ñ Ö ÙÒ ËØ ØØ ÞÙ Ö Ø ÙÑÞÙ ÓÖÑ Ò ÙÒ ÒÒ Ü Ù ÞÙ Ð ÑÑ ÖÒ Û Ö Ñ Ò Ò ÐÐ Ö ÒÙÖ x Ù Ð ÑÑ ÖÒº Ö Ø Ö Ë Û Ö ÒÐ ÙÒ ¹ ÛÓ ÒØ Öºµ Ù ½½ µ x Ù Ð ÑÑ ÖÒ x x 5x = x(x ) x(5 x ) = x 5 x º x lim x x ± 5x = lim x ± x = limx ± (x ) 5 x lim x ± (5 x ) = ± µ x Ù Ð ÑÑ ÖÒ x3 +x x + = x (x+) x+ = x (+ x) + lim x ± x 3 +x x + = lim x ± x+ + x = x º Ö ÒÒØÒ Ö Ù Ð ÑÑ ÖÒ ÚÓÖ Ñ ÒÛ Ò Ò Ö Ö ÒÞÛ ÖØ ØÞ Ö ¹ Ø Ñ Æ ÒÒ Ö ÚÓÖ ÓÑÑ Ò ÈÓØ ÒÞ Ò Æ ÒÒ Ö ÙÒ Ð Ö Ù Ð ÑÑ ÖÒº

95 Ê Æ Ï ÊÌ Á ÍÆÃÌÁÇÆ Æ Ä º¾ Ö ÒÞÛ ÖØ Ö x x 0 R ¾Ä Å Ò Ñ Ð ÒØ Ö ÖØ Ñ Ò Ö Î Ö ÐØ Ò Ò Ö ÙÒ Ø ÓÒ Ò Ö Æ ÚÓÒ Ó º Ò Ø ÓÒ Ð Ò x 0 Rº Ò ÈÙÒ Ø Ö ÙÒ Ø ÓÒ ÞÛ Ö Ò Ò Ö ÍÑ ÙÒ ÚÓÒ x 0 Ò ÖØ Ø Ò Ø Ö Ò x 0 Ð Øº f : D R Ò ÙÒ Ø ÓÒº a R {± } Ø Ö ÒÞÛ ÖØ ÚÓÒ f Ö x x 0 R Û ÒÒ Ö ÓÐ (x n ) D Ñ Ø x n x 0 Ö Ð ÓÐ (f(x n )) ÐØ a = lim n f(x n ). ÁÒ Ñ ÐÐ Ö Ø Ñ Ò Ò a = lim x x0 f(x) Ñ Ö ÙÒ ËØ ÐÐ x 0 Ò Ö Ò Ø ÓÒ ÒÒ Ò Ò Ø ÓÒ Ð Ò ÑÙ Ö Ò Øº ÁÒ Ñ Ã Ô Ø Ð º¾ Û Ö x 0 ÑÑ Ö Ò Ò Ø ÓÒ Ð Ò Ñ Ò Ø Ò Ã Ô Ø Ð º Ò º Ô Ð ¼ Ò Ø ÙÒ Ø ÓÒ f : R\{3} R,x (x 3) º Ö Ò Ò Ë lim x 3 f(x) ÙÒ Þ Ò Ò Ë Ò Ö Ô º y 4 3 lim x 3 (x 3) = x

96 Ê Æ Ï ÊÌ Á ÍÆÃÌÁÇÆ Æ Ä Ô Ð ½ Ò Ø ÙÒ Ø ÓÒ f : R \ {0} R,x x x º Ö Ò Ò Ë lim x 0 f(x) ÙÒ Þ Ò Ò Ë Ò Ö Ô º x > 0 : f(x) = x x = x x = x < 0 : f(x) = x x = x x = Ê Ø Ø Ö Ö ÒÞÛ ÖØ lim f(x) = x 0,x>0 Ä Ò Ø Ö Ö ÒÞÛ ÖØ lim f(x) = x 0,x<0 lim x 0 f(x) Ü Ø ÖØ Ò Øº } y x

97 Ê Æ Ï ÊÌ Á ÍÆÃÌÁÇÆ Æ Ä Ù Ò Ö ÒÞÛ ÖØ Ö x x 0 R Ù ½½ Ö ÓÐ Ò Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ò µ Ø ÑÑ Ò Ë Ò Ø ÓÒ Ð x 0 º µ Ö Ò Ò Ë lim x x0 f(x) ÞÛº lim x x0,x>x 0 f(x) ÞÛº lim x x0,x<x 0 f(x)º µ Þ Ò Ò Ë Ò Ö Ô Ö ÙÒ Ø ÓÒ Ù Ö Ð ØÞØ Ò Òµº ÓÐÐ Ò Ò ÐÐ Ö ØÐ Ò ÏÓ Ö Ö Ô Ò Ò Ø ÛÓ ÝÑÔØÓØ Ò Ò Ò Ò Ü¹ÃÓÓÖ Ò Ø Ö ËÔÖÙÒ Ø ÐÐ ¹ Ò ÃÓÓÖ Ò Ø Ò Ë Ø ÐÔÙÒ Ø º Úµ Ö Ò Ë ÙÒ Ø ÓÒ Ò Ö ÓÖÑ f : D R,x f(x) Òº D Þ Ò Ø Ò Ò Ø ÓÒ Ö ÚÓÒ ºµ µ f(x) = (x ) µ f(x) = x 3 x 3 µ f(x) = (x+) 3 { µ f(x) = x, fallsx< 4 (x 4) +, fallsx> 4 µ f(x) = x µ f(x) = x+ x+ µ f(x) = x +3x x+5 µ f(x) = x+ x 3 8

98 Ê Æ Ï ÊÌ Á ÍÆÃÌÁÇÆ Æ Ä Ù ½½ Ä ÙÒ Ò Ö ÒÞÛ ÖØ Ö x x 0 R µ x 0 = lim x (x ) = f : R\{} R,x (x ) µ x 0 = 3 x > 3 x 3 x 3 = x 3 x 3 = lim x 3,x>3 x 3 x 3 = x < 3 x 3 x 3 = x 3 (x 3) = lim x 3,x<3 x 3 x 3 = f : R\{3} R,x x 3 x 3 µ x 0 = lim x,x> (x+) 3 = lim x,x< (x+) 3 = f : R\{ } R,x (x+) 3 µ x 0 = 4 lim x 4,x<4 f(x) = lim x 4 x = lim x 4,x>4f(x) = lim x 4 [ (x 4) +] = { f : R\{4} R,x x, fallsx < 4 (x 4) +, fallsx > 4 µ x 0 = 0 lim x 0,x>0 x = lim x 0,x<0 x = f : R\{0} R,x x µ x 0 = x > x+ x+ = x+ x+ = lim x,x> x+ x+ = x < x+ x+ = x+ (x+) = lim x,x< x+ x+ = f : R\{ } R,x x+ x+ µ x 0 = 5 lim x 5,x> 5 x +3x x+5 = lim x 5,x< 5 x +3x x+5 = f : R\{ 5} R,x x +3x x+5 x+ µ x 0 = lim x,x> x 3 8 = lim x,x< x+ x+ x 3 8 = f : R\{} R,x x 8 Ù Ò ÖÐ ÙÒ Ò Ò µ Ê Ø Ø Ö Ä Ñ Ë ØÞØ Ñ Ò Ö Ü Ò Ð Ò ÒÙÖ Û Ò Ö Ö Ø Ð Þº º x = Ö ÐØ Ñ Ò Ñ Ð Ö ØÛ ÙÒ Ñ Æ ÒÒ Ö Ò ÔÓ Ø Ú Ð Ø0 Øº Ñ Ôº0.000µº Ö ÉÙÓØ ÒØ Ø Ð Ö º Ð Ó Û Ö Ö ÉÙÓØ ÒØ Ò Ú Ö Ö Ò Û ÒÒ Ü ÚÓÒ Ö Ø Ò ØÖ Øº Ä Ò Ø Ö Ä Ñ Ë ØÞØ Ñ Ò Ö Ü Ò Ð Ò ÒÙÖ Û Ò Ð Ò Ö Ø Ð Þº º x = Ö ÐØ Ñ Ò Ñ Ð Ö Û Ö ØÛ ÙÒ Ñ Æ ÒÒ Ö ¹ Ò Ò Ø Ú Ð Ø 0 Øº Ñ Ôº 0.000µº Ö ØÖ ÉÙÓØ Ò¹ Ø Ò Ø Ð Ö ÐÐ Ö Ò Ø Ö ÉÙÓØ ÒØ Ò Ø Úº Ð Ó Û Ö Ö ÉÙÓØ ÒØ Ò Ú Ö Ö Ò Û ÒÒ Ü ÚÓÒ Ð Ò Ò ØÖ Øº Ù Ò ÖÐ ÙÒ Ò Ò µ Ë Ò Ò ÐÓ ÞÙ µ Ê Ø Ø Ö Ä Ñ Ë ØÞØ Ñ Ò Ö Ü Ò Ð Ò ÒÙÖ Û Ò Ö Ö Ø Ð ¾ Þº º x =.000 Ö ÐØ Ñ Ò Ñ Ð Ö ØÛ ÙÒ Ñ Æ ÒÒ Ö Ò ÔÓ Ø Ú Ð Ø0 Øº Ö ÉÙÓØ ÒØ Ø Ð Ö º Ð Ó Û Ö Ö ÉÙÓØ ÒØ Ò Ú Ö Ö Ò Û ÒÒ Ü ÚÓÒ Ö Ø Ò ØÖ Øº

99 Ê Æ Ï ÊÌ Á ÍÆÃÌÁÇÆ Æ Ä Ä Ò Ø Ö Ä Ñ Ë ØÞØ Ñ Ò Ö Ü Ò Ð Ò ÒÙÖ Û Ò Ð Ò Ö Ø Ð ¾ Þº º x =.9999 Ö ÐØ Ñ Ò Ñ Ð Ö Û Ö ØÛ ÙÒ Ñ Æ ÒÒ Ö Ò Ò Ø ¹ Ú Ð Ø 0 Øº Ö ØÖ ÉÙÓØ ÒØ Ò Ø Ð Ö ÐÐ Ö Ò Ø Ö ÉÙÓØ ÒØ Ò Ø Úº Ð Ó Û Ö Ö ÉÙÓØ ÒØ Ò Ú Ö Ö Ò Û ÒÒ Ü ÚÓÒ Ð Ò Ò ¾ ØÖ Øº µ y = (x ) µ y = x 3 x 3 3 µ y = (x+3) µ 3 9 { y = x, fallsx< 4 (x ) +, fallsx> 4 3 µ y = x µ y = x+ x+ ÁÒ µ ÙÒ µ Ò Ò ÒÙÒ Ò Ú ÖÐ Ò Øº

100 Ê Æ Ï ÊÌ Á ÍÆÃÌÁÇÆ Æ Ä º ËØ Ø Ø ¾Ä Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ø Ø Ø Û ÒÒ Ö Ö Ô Ò ËÔÖ Ò Ñ Ø º º Û ÒÒ Ñ Ò Ò Ö Ô Þ Ò Ò ÒÒ Ó Ò Ò Ð Ø Ø Ò ÞÙ Ñ Òº Å Ø Ñ Ø ÔÖÞ Ò ÖØ Ñ Ò Û ÓÐ Ø f : D R Ò ÙÒ Ø ÓÒº f Ø Ø Ø Ñ ÈÙÒ Ø x 0 D Û ÒÒ ÐØº lim x x 0 f(x) = f(x 0 ) Ñ Ö ÙÒ Æ Ò Ø ÓÒ Ø x 0 D º º x 0 Ø Ò Ò Ø ÓÒ Ð º Ò Ø ÓÒ Ð Ò x 0 Ø ÐÐØ Ð Ó Ö Ò Ö ËØ Ø Ø Ò x 0 Ö Ò Øº Ô Ð ¾ Ò Ø ÙÒ Ø ÓÒ { x, fallsx f(x) = (x ) +, fallsx > µ Ë ÞÞ Ö Ò Ë Ò Ö Ô ÚÓÒ fº µ µ Á Ø f Ø Ø Ò x 0 = y x µ Ê Ø Ø Ö Ö ÒÞÛ ÖØ lim x,x> f(x) = lim x (x ) + = ( ) + = ÙÒ Ø ÓÒ Û ÖØ f() = º Æ Ò

101 Ê Æ Ï ÊÌ Á ÍÆÃÌÁÇÆ Æ Ä ½¼¼ Ô Ð Ò Ø ÙÒ Ø ÓÒ { x, fallsx f(x) = (x ), fallsx > µ Ò Ò Ë Ò Ö Ô ÚÓÒ fº µ µ Á Ø f Ø Ø Ò x 0 = y x µ Ä Ò Ø Ö Ö ÒÞÛ ÖØ lim x,x< f(x) = lim x ( x) = Ê Ø Ø Ö Ö ÒÞÛ ÖØ lim x,x> f(x) = lim x (x ) = ( ) = ÙÒ Ø ÓÒ Û ÖØ f() = ËÓÛÓ Ð Ð Ò ¹ Ð Ù Ö Ø Ø Ö Ä Ñ Ø ÑÑ Ò Ñ Ø Ñ ÙÒ Ø ÓÒ Û ÖØ Ò Ö ËØ Ð¹ Ð ½ Ö Òº Â ÎÓÖ Ò ÐÐ Ð Ò ¹ ÙÒ Ö Ø Ø Ö Ö ÒÞÛ ÖØ Ñ Ø Ñ ØÖ Ò Ò ÙÒ Ø ÓÒ Û ÖØ Ö Ò Ø ÑÑ Ò Ø ÙÒ Ø ÓÒ Ø Ø Ò ÖÒ ÐÐ Ò Øº

102 Ê Æ Ï ÊÌ Á ÍÆÃÌÁÇÆ Æ Ä ½¼½ Ù ½½ ËØ Ø Øµ Ù Ò ËØ Ø Ø µ Ò Ò Ë Ò Ö Ô ÚÓÒ º ÓÐÐ Ò Ò Ò ÐÐ Ö ØÐ Ò Ë Ò ØØÔÙÒ Ø Ö Ô Ò Ñ Ø Ò ÃÓÓÖ Ò Ø Ò Ò Ü¹ÃÓÓÖ Ò Ø Ö ËÔÖÙÒ Ø ÐÐ Ü¹ÃÓÓÖ Ò Ø Ö ÃÒ Ø ÐÐ ÛÓ Ö Ö Ô Ò Ò ÃÒ Øµº µ Á Ø Ø Ø Ò x 0 x 0 Þ Ò Ø Û Ð Ö Ø ËØ ÐÐ ºµ Ë Ö Ò Á Ö ÒØÛÓÖØ ÐÐ Ò Ù ÖÙÒ Ö ÒÙÒ Ò ÙÒ Ñ Ò Ò Ø ÙÒ Ò Ø Ò Ð Ò ¹ ÙÒ Ö Ø Ø Ò Ä Ñ Ö Ò Ò Û ÒÒ Ë Ò Ø ÛÓÐÐ Òº { µ f(x) =, falls x < e (x ), falls x { x+, falls x 3 µ f(x) = (x 3) +, falls x > 3 { cosx, falls x < 0 µ f(x) = e x, falls x 0 Ò Ø Û ÒÒ Ë ¾ ÆÙÐÐ Ø ÐÐ Ò ÚÓÒ Ò ÙÒ Ò Ð Ú Ð Òµ Ö Ò Òº { x+5, falls x µ f(x) = x+, falls x > e x+, falls x < µ f(x) =, falls x = x++, falls x > µ f(x) = x 3 x 3 { ax 3, falls x < µ f(x) = e x, falls x Ö Ò Ò Ë Ò È Ö Ñ Ø Ö a Ó Ø Ø Øº Ë Ñ Ò Ö ÙÒ Ø ÓÒ Ò Ø Þ Ò Òºµ

103 Ê Æ Ï ÊÌ Á ÍÆÃÌÁÇÆ Æ Ä ½¼¾ Ä ÙÒ Ò ËØ Ø Ø Ù ½½ µ Ø Ø µ Ò Ø Ø Ø µ µ Ò Ø Ø Ø Ø Ø.5 π 0.69 µ Ò Ø Ø Ø.4 µ Ò Ø Ø Ø 3 µ Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ø ÖÑ Ñ Ò Ò Ð Ò Ï ÖØ Ò Ò Ö ËØ ÐÐ x 0 = ax 3 = e x Ö x = º a 3 = e a 3 = a =

104 ÁÆ ÀÊÍÆ ÁÆ Á Á Ê ÆÌÁ ÄÊ ÀÆÍÆ ½ Ä ½¼ Ò ÖÙÒ Ò Ö ÒØ ÐÖ ÒÙÒ ½ Ä º½ Ò Ø ÓÒ Ö Ð ØÙÒ Ä f Ò ÙÒ Ø ÓÒº ÐÐ f f(x+h) f(x) (x) := lim R h 0 h Ü Ø ÖØ Øf Ö ÒÞ Ö Ö Ò Ö ËØ ÐÐ Ü ÙÒ f (x) Ø Ð ØÙÒ ÚÓÒ f Ò Ö ËØ ÐÐ Üº Ñ Ö ÙÒ ËØ ØØ Ð ØÙÒ Ø Ñ Ò Ù Ö ÒØ Ð Ó Ö Ö Ö ÒØ ÐÕÙÓØ ÒØº ÍÒ Ø ØØ f Ø Ù Ë Ö Û Ò dx df dy dx Ó Öy º Ö ÉÙÓØ ÒØ f(x+h) f(x) h Ó Ò Ä Ñ ÚÓÖ Ø Ö ÒÞ ÒÕÙÓØ ÒØº Ô Ð f(x) = xº Ö Ò Ò Ë f (x) ÐÐ Ñ Ò ÙÒ Ô Þ ÐÐ Ö x = ÙÒ x = 3º f(x+h) f(x) f(x+h) f(x) h Ì Ò ÒØ Ñ Ø ËØ ÙÒ f () = Ë ÒØ x Ö ÒÞ ÒÕÙÓØ ÒØ x+h f(x+h) f(x) h = x+h x h

105 ÁÆ ÀÊÍÆ ÁÆ Á Á Ê ÆÌÁ ÄÊ ÀÆÍÆ ½ Ä ½¼ = ( x+h x)( x+h+ x) h( x+h+ x) x+h x = h( x+h+ x) = x+h+ x Ö ÒØ ÐÕÙÓØ ÒØ f (x) = lim = h 0 x+h+ x f () = f (3) = 3 = 0.9 = x+ x x ÓÑ ØÖ ÙØÙÒ Ö Ð ØÙÒ ÁÒ Ö ÙÒ Ô Ð Ö ÒÒØ Ñ Ò Å Ø ÖÙÑÔ Ò Ñ h Û Ö Ë ÒØ ÑÑ Ö Ñ Ö ÞÙÖ Ì Ò ÒØ Ò Ò Ö Ô º Ð Ó Ð ØÙÒ f (x) Ø ËØ ÙÒ Ö Ì Ò ÒØ Ò Ò Ö Ô ÚÓÒ f Ò Ö ËØ ÐÐ xº Ì Ò ÒØ Ñ Ø ËØ ÙÒ f (x) x

106 ÁÆ ÀÊÍÆ ÁÆ Á Á Ê ÆÌÁ ÄÊ ÀÆÍÆ ½ Ä ½¼ Ù Ò ½ Ò ÖÙÒ Ò Ö ÒØ ÐÖ ÒÙÒ Ù ½½ Ð ØÙÒ Ö ÒÙÒ Ñ ØØ Ð Ö ÒÞÛ ÖØ Ð ÙÒ µ Ö Ò Ò Ë Ð ØÙÒ f (x) ÐÐ Ñ Ò ÙÒ Ô Þ ÐÐ Ò Ò Ò Ò Ò ËØ ÐÐ Ò Üº µ f(x) = x x = x = x = µ f(x) = mx+q x = x = 7 x = 0 m,q R Øµ µ y = x x = x = x = 3 Ì ÔÔ Ò Ö Ñ Ð Ö Ö ÒÞ ÒÕÙÓØ ÒØ Ò Ð Ò Ñ Ñ Òµ µ f(x) = c x = x = π x = 0 c R Øµ

107 ÁÆ ÀÊÍÆ ÁÆ Á Á Ê ÆÌÁ ÄÊ ÀÆÍÆ ½ Ä ½¼ Ä ÙÒ Ò ½ Ò ÖÙÒ Ò Ö ÒØ ÐÖ ÒÙÒ Ù ½½ Ð ØÙÒ Ö ÒÙÒ Ñ ØØ Ð Ö ÒÞÛ ÖØ Ð ÙÒ µ µ f(x+h) f(x) h = (x+h) x h = x +xh+h x h = h(x+h) h = x + h h 0 x f (x) = x f () = = f ( ) = ( ) = 4 f ( ) = µ f(x+h) f(x) h = m(x+h)+q (mx+q) h f () = f ( 7) = f (0) = m = mx+mh+q mx q h = m h 0 mº f (x) = m µ f(x+h) f(x) h = x+h x h = x (x+h) (x+h)x h = h (x+h)x h = h 0 (x+h)x x f (x) = x f () = f () = 4 f ( 3) = 9 µ Ø Ò ËÔ Þ Ð ÐÐ ÚÓÒ µ Ñ Ø m = 0º Ï Ö Ö Ò Ò ØÖÓØÞ Ñ Ö Ø Ò f(x+h) f(x) h = c c h = 0 h = 0 h 0 0 f (x) = 0 f () = f (π) = f (0) = 0º

108 ÁÆ ÀÊÍÆ ÁÆ Á Á Ê ÆÌÁ ÄÊ ÀÆÍÆ ½ Ä ½¼ º¾ Ð ØÙÒ Ð Ñ ÒØ Ö Ö ÙÒ Ø ÓÒ Ò ¾Ä ØØ Û Ò Ë ÒÒ Û Ö Ö Æ ÙÐ Ò Ò Ö Ö ÒØ ÐÖ ÒÙÒ Ö ÙÒ ¹ Ø ÓÒ Ö Ò Ð ØÙÒ Ò Ù Ö Ò Ò Ó Û Û Ö Ñ Ð ØÞØ Ò Ò ØØ Ñ Ø Òµº Ò Ø Û ÒÒ Ò Å Ð Ñ Ø Û Ö ÙÒ Ð ØÙÒ Ò Ò Ì ÐÐ Ò ÞÙ ÑÑ Ò Ø ÐÐØ Û Ö Òº ÓÐ Ò Ì ÐÐ ÒØ ÐØ Û Ø Ø Ò Ð Ñ ÒØ Ö Ò ÙÒ Ø ÓÒ Òº Ë Ø Ò¹ Ø Ñ Ø Ö Ì ÐÐ ÓÖÑ Ð Ù ÙÒ Ñ ÒØÙÑ Ù Ë Ø ¼ ÛÓ Ö Ø ËÔ ÐØ Ö Ò Ø Ù ÖØ Ø Ö ÙÒ ÞÙ Ñ ØÔÙÒ Ø ÒÓ Ò Ø Ö Ð Ú ÒØ Øº f (x) f(x) 0 c c R c cx r x r x r = x x x = x x = x x = x cosx sinx +tan x = e x c e cx lna a x x lna x x x cos x sinx cosx tanx e x e cx a x ln x log a x arcsinx arccosx arctanx +x Û Ø Ø Ø Ö ØØ Ð Û Ð ÈÓØ ÒÞ ÙÒ Ø ÓÒ Ò Ò Ò Ö Ø Ò Ð Ò ËÔ Þ Ð ÐÐ ÚÓÒ Ò º Ö ¾º Ð Û Ö Ö Ø Ñ Ò Ø Ò Ò ØØ Ð Öºµ ÓÐÐØ Ò Ë Ò Ö Ñ Ò Ð Ò Å ØÙÖ Ù Û Ò ÒÒ Ò (x r ) = rx r

109 ÁÆ ÀÊÍÆ ÁÆ Á Á Ê ÆÌÁ ÄÊ ÀÆÍÆ ½ Ä ½¼ Ô Ð f(x) = x 3 f () =? º Ð Ì ÐÐ Ñ Ø r = 3µ f (x) = (x 3 ) = 3x f () = 3 = Ô Ð f(x) = x f (4) =? ½º Å Ð Ø º Ð Ì ÐÐ f (x) = ( x) = x f (4) = 4 = 4 ¾º Å Ð Ø º Ð Ì ÐÐ Ñ Ø r = µ f(x) = x f (x) = (x) = x = = x / x f (4) = = 4 4 Ô Ð f(x) = x f ( ) =? ½º Å Ð Ø ¾º Ð Ì ÐÐ Ñ Ø c = µ f (x) = (x) = f ( ) = ¾º Å Ð Ø º Ð Ì ÐÐ Ñ Ø r = µ f (x) = (x ) = x 0 = f ( ) =

110 ÁÆ ÀÊÍÆ ÁÆ Á Á Ê ÆÌÁ ÄÊ ÀÆÍÆ ½ Ä ½¼ Ù Ò ¾ Ð Ø Ò Ð Ñ ÒØ Ö Ö ÙÒ Ø ÓÒ Ò Ù ½¾¼ ÈÓØ ÒÞ ÙÒ Ø ÓÒ Òµ Ö Ò Ò Ë Ð ØÙÒ f (x) Ö ÙÒ Ø ÓÒ ÐÐ Ñ Ò ÙÒ Ò Ö Ò Ò Ò ËØ ÐÐ Üº µ f(x) = x 7 x = µ y = x 3 x = 4 µ f(x) = x 3 x = 8 µ f(x) = x x = 9 µ y = x x = µ f(x) = 8 x = π µ f(x) = 3x x = µ y = x x = 3 µ y = x x = µ f(x) = x 5 x = µ f(x) = x π x = Ù ½¾½ Ò Ö Ð Ñ ÒØ Ö ÙÒ Ø ÓÒ Òµ Ö Ò Ò Ë Ð ØÙÒ f (x) Ö ÙÒ Ø ÓÒ ÐÐ Ñ Ò ÙÒ Ò Ö Ò Ò Ò ËØ ÐÐ Üº µ f(x) = cosx x = π µ y = sinx x = 3π µ f(x) = tanx x = 5 µ f(x) = e x x = 5 µ y = e πx x = 3 µ y = e x π x = µ f(x) = 3 x x = µ y = ( ) x x = µ y = lnx x = µ f(x) = sin x x = 4 µ f(x) = cos x x = 0.5 Ðµ f(x) = tan x x =

111 ÁÆ ÀÊÍÆ ÁÆ Á Á Ê ÆÌÁ ÄÊ ÀÆÍÆ ½ Ä ½½¼ Ä ÙÒ Ò ¾ Ð Ø Ò Ð Ñ ÒØ Ö Ö ÙÒ Ø ÓÒ Ò Ù ½¾¼ ÈÓØ ÒÞ ÙÒ Ø ÓÒ Òµ µ f (x) = 7x 6 f ( ) = 7 ( ) 6 = 448 µ f (x) = 3 x3 = 3 x = 3 x f (4) = 3 4 = 3 µ f (x) = 3 x 3 = 3 x 3 = 3 x 3 µ f (x) = x f (9) = 9 = 6 = 3 3 x f (8) = = 3 µ f (x) = (x ) = x = x 3 = f () = 3 = 8 = 4 = 0.8 x 3 = x 3 µ f (x) = 0 f ( π) = 0 µ f (x) = 3 f ( ) = 3 µ f (x) = x f (3) = 3 =.3 µ f (x) = x f ( ) = ( ) = 4 µ f (x) = (x 5 ) = 5x 6 = 5 x 6 f () = 5 6 = 5 64 = 0.08 µ f (x) = (x π ) = π x π = π x (π+) = π x π+ f ( ) = π ( )π+ = Ù ½¾½ Ò Ö Ð Ñ ÒØ Ö ÙÒ Ø ÓÒ Òµ µ f (x) = sinx f ( π ) = sin π = µ f (x) = cosx f (3π) = cos(3π) = µ f (x) = cos x f (5) = cos 5 = (0.8) =.43 µ f (x) = e x f (5) = e 5 = 48.4 µ f (x) = πe πx f ( 3) = πe 3π = µ f (x) = π e π x f ( ) = π e π = 0.37 µ f (x) = ln3 3 x f ( ) = ln3 3 = 9 ln3 = 0. µ f (x) = (ln ) ( ) x f ( ) = (ln ) ( ) = ln = 0.7 µ f (x) = x f ( ) = = µ f (x) = x f ( 4 ) = = ( 4 ) 6 µ f (x) = x f ( ) = = ( ) 4 Ðµ f (x) = +x f ( ) = +( ) = +4 = 5 = 0. = 5 6 = 3 4 = 5 4 = 3 = 4 5 =.03 = 3 =.5

112 ÁÆ ÀÊÍÆ ÁÆ Á Á Ê ÆÌÁ ÄÊ ÀÆÍÆ ½ Ä ½½½ º ËÙÑÑ Ò¹ ÙÒ ØÓÖÖ Ð ½Ä Ô Ð Û Ò Ø Ñ Ò Ð ØÙÒ Ö ÙÒ Ø ÓÒ f(x) = e x x Ò Ø Ò Ò Ì ÐÐ Òº Å Ø Ð Ö ËÙÑÑ ÒÖ Ð ÙÒ Ö ØÓÖÖ Ð ÒÒ Ñ Ò ØÖÓØÞ Ñ Ö Ò Ò Ò Ñ Ñ Ò Ù Ð ØÙÒ Ö Ò Ì Ð ÙÒ Ø ÓÒ Ò e x ÙÒ x ÞÙÖ ÖØº Ë ØÞ ËÙÑÑ Ò¹ ÙÒ ØÓÖÖ Ðµ Ë Ò ÙÒ Ø ÓÒ Òf(x) ÙÒ g(x) Ò Ö ËØ ÐÐ x Ö ÒÞ Ö Ö Ó Ò Ù f(x)+g(x) ÙÒ c f(x) c Rµ ÙÒ ÐØ (f(x)+g(x)) = f (x)+g (x) Û ËÙÑÑ ÒÖ Ð f(x+h)+g(x+h) [f(x)+g(x)] h ØÓÖÖ Ð cf(x+h) cf(x) h (cf(x)) = cf (x) = c f(x+h) f(x) h = f(x+h) f(x) h + g(x+h) g(x) h 0 h f (x)+g (x)º = h 0 c f (x)º Ô Ð f(x) = x 3 3 x + lnx f (x) =? f () =? f (x) = (x 3 3 x + lnx ) = (x 3 ) 3 ( x ) + (lnx) = 3x 3 ( )+ x x = 6x x x f () = = 9.5

113 ÁÆ ÀÊÍÆ ÁÆ Á Á Ê ÆÌÁ ÄÊ ÀÆÍÆ ½ Ä ½½¾ Ù Ò ËÙÑÑ Ò¹ ÙÒ ØÓÖÖ Ð Ù ½¾¾ ÃÓÑ Ò Ø ÓÒ Ò ÚÓÒ ÈÓØ ÒÞ ÙÒ Ø ÓÒ Òµ Ö Ò Ò Ë Ð ØÙÒ Ö ÙÒ Ø ÓÒ ÐÐ Ñ Ò Ò Ö ËØ ÐÐ Üº ÁÒ Ò Ö Ø Ò ÞÛ Ì Ð Ù Ò µ ÙÒ µ Ö Ò Ò Ë Ù Ò Ö ËØ ÐÐ x = º µ f(x) = x 4 +x 7 µ y = 4x 3 µ f(x) = x 3 µ y = (x 3 ) 4 µ f(x) = 5x µ f(x) = x µ y = x 3 5x +6 µ y = x + x +x µ f(x) = 3 x3 +t x+ t 3 x µ f(x) = xk x k (k )(k ) µ y = cx k +x k Ù ½¾ Ï Ø Ö ÞÙ ÑÑ Ò ØÞØ ÙÒ Ø ÓÒ Òµ Ö Ò Ò Ë Ð ØÙÒ Ö ÙÒ Ø ÓÒ ÐÐ Ñ Ò Ò Ö ËØ ÐÐ Üº µ f(x) = cosx+sinx µ y = e5x x 3 6 µ f(x) = 3 tanx+9 µ y = (e x )(e x +) µ f(x) = 3x +3 5cosx µ f(x) = e 7lnx e x µ y = (e x e x ) µ y = 3 (sin x+cos x) µ f(x) = sinx µ f(x) = cosx 4 4( sin x) x [ π, π ]

114 ÁÆ ÀÊÍÆ ÁÆ Á Á Ê ÆÌÁ ÄÊ ÀÆÍÆ ½ Ä ½½ Ä ÙÒ Ò ËÙÑÑ Ò¹ ÙÒ ØÓÖÖ Ð Ù ½¾¾ ÃÓÑ Ò Ø ÓÒ Ò ÚÓÒ ÈÓØ ÒÞ ÙÒ Ø ÓÒ Òµ Ö Ò Ò Ë Ð ØÙÒ Ö ÙÒ Ø ÓÒ ÐÐ Ñ Ò Ò Ö ËØ ÐÐ Üº ÁÒ Ò Ö Ø Ò ÞÛ Ì Ð Ù Ò µ ÙÒ µ Ö Ò Ù Ò Ö ËØ ÐÐ x = º µ f (x) = (x 4 +x 7 ) = (x 4 ) +(x 7 ) = 4x 3 +7x 6 f ( ) = 4 ( ) 3 +7 ( ) 6 = 46 µ f (x) = (4x 3 ) = 4(x 3 ) = 4 3x = x f ( ) = ( ) = 48 µ f (x) = ( x 3 ) = (x 3 ) = 3x µ f(x) = (x 3 ) 4 = 6x f (x) = (6x ) = 6 x = 9 x µ f(x) = 5x = 5 x f (x) = ( 5 x) = 5 ( x) = 5 x = 5 x µ f(x) = x = x f (x) = ( x ) = ( x ) = x µ f (x) = (x 3 5x +6) = (x 3 ) 5(x ) +(6) = 3x 0x µ f (x) = ( x + x +x) = (x )+( x ) +x = x+( x )+ = x x + µ f (x) = 3 (x3 ) +t( x) + t 3 ( x ) = 3 3x +t x + t 3 ( x 3 ) = x + t x t 6 x 3 µ f(x) = xk x k (k )(k ) = (k )(k ) (xk x k ) f (x) = (k )(k ) [(xk ) (x k ) ] = (k )(k ) [(k )xk (k )x k 3 ] = xk k xk 3 k µ f (x) = c(x k ) +(x k ) = c( k)x k +k x k Ù ½¾ Ï Ø Ö ÞÙ ÑÑ Ò ØÞØ ÙÒ Ø ÓÒ Òµ Ö Ò Ò Ë Ð ØÙÒ Ö ÙÒ Ø ÓÒ ÐÐ Ñ Ò Ò Ö ËØ ÐÐ Üº µ f (x) = (cosx) +(sinx) = sinx+cosx µ f (x) = 6 [(e5x ) (x 3 ) ] = 6 (5e5x 6x ) = 5 6 e5x x µ f (x) = 3 (tanx) +9 = 3 cos x +0 = 3cos x µ f(x) = (e x )(e x +) = (e x ) = e x f (x) = (e x ) = e x µ f(x) = 3x +3 5cosx = 3x + 3 5cosx f (x) = (3x ) ( 3 ) 5(cosx) = ln3 3x +5sinx µ f(x) = e 7lnx e x = e ln(x7) e x = x 7 e x f (x) = (x 7 ) (e x ) = 4x 6 e x µ f(x) = (e x e x ) = (e x ) e x e x +(e x ) = e x +e x f (x) = (e x ) +(e x ) = e x e x = (e x e x ) µ f(x) = 3 (sin x+cos x) = 3 f (x) = ( 3 ) = 0 µ f(x) = sinx cosx 4 = tanx 4 f (x) = tan x 4 = cos x µ f(x) = 4( sin x) = sin x = cos x x [ π,π ] = cosx f (x) = cos x = sinx

115 ÁÆ ÀÊÍÆ ÁÆ Á Á Ê ÆÌÁ ÄÊ ÀÆÍÆ ½ Ä ½½ º ÒÛ Ò ÙÒ Ò Ä Ô Ð ËØ ÐÐ ÞÙ ÚÓÖ Ò Ö ËØ ÙÒ Ö Ò Òµ Ò Û Ð Ö ËØ ÐÐ Ü Ø Ö Ö Ô Ö ÙÒ Ø ÓÒ f(x) = x ËØ ÙÒ 4 Ì Ò ÒØ ÓÐÐ ËØ ÙÒ 4 Ò x =? f (x) = 4 ( x) = 4 x = 4 4 = x = x x = 4 Ô Ð ¼ Ð ÙÒ Ò Ö Ì Ò ÒØ Ö Ò Òµ Ò Ø ÙÒ Ø ÓÒ y = e x º Ö Ò Ò Ë ÙÒ Ø ÓÒ Ð ÙÒ Ö Ì Ò¹ ÒØ Ò Ò Ö Ô ÚÓÒ f Û Ð Ü¹ ½ Ò Øº x =? e x/ x = f (x) e x/ x = ex/ e x/ = ex/ (x ) 0 = ex/ (x ) e x/ 0 = e x/ ( (x ) ) x =? 0 = e x/ ( x 3 ) 0 = x 3 x = 3

116 ÁÆ ÀÊÍÆ ÁÆ Á Á Ê ÆÌÁ ÄÊ ÀÆÍÆ ½ Ä ½½ Ð ÙÒ Ö Ì Ò ÒØ Ì Ò ÒØ Ò Ø ÙÒ f (3) = e3/ =.4 ÈÙÒ Ø Ù Ì Ò ÒØ P(3 e 3/ ) = P(3 4.48) Ò ØÞØ Ò Ò Ð Òº Ðºy = mx+q 4.48 =.4 3+q.4 = q y =.4x.4

117 ÁÆ ÀÊÍÆ ÁÆ Á Á Ê ÆÌÁ ÄÊ ÀÆÍÆ ½ Ä ½½ Ù Ò ÒÛ Ò ÙÒ Ò Ù ½¾ ÈÙÒ Ø Ñ Ø ÚÓÖ Ò Ö ËØ ÙÒ µ Ò Û Ð Ò ËØ ÐÐ Ò Ø Ö Ö Ô ÚÓÒ ËØ ÙÒ Ñ µ f(x) = x e x m = 0 µ y = x m = Ù ½¾ Ì Ò ÒØ Ò Ð ÙÒ µ Ö Ò Ò Ë Ð ÙÒ Ö Ì Ò ÒØ Ò Ò Ö Ô Ö ÙÒ Ø ÓÒ Ñ ÈÙÒ Ø P(?)º f(x) = x 3 +4x 5 Ù ½¾ È Ö Ð Ð ÙÒ µ Ö Ò Ò Ë È Ö Ñ Ø Ö Ó È Ö Ð ÚÓÒ y = ax +bx+c Ñ ÈÙÒ Ø P( ) ËØ ÙÒ 4 Ø ÙÒ ÙÖ Ò ÈÙÒ Ø Q(5 8) Øº Ù ½¾ ÆÓÖÑ Ð Ò Ð ÙÒ µ Ö Ò Ò Ë Ð ÙÒ Ö ÆÓÖÑ Ð Ò ÞÙÑ Ö Ô Ö ÙÒ Ø ÓÒ Ñ ÈÙÒ Ø P(e?)º f(x) = lnx+ Ö ÒÒ ÖÙÒ Ò Ö Ò Ö Ø ÞÙÖ Ö Ò y = mx + q Ø Ø Ø ËØ ÙÒ m ºµ Ù ½¾ Ë Ò ØØÛ Ò Ð ÚÓÒ Ö Ô Òµ ÍÒØ Ö Û Ð Ñ Ï Ò Ð Ò Ò Ö Ô Ò Ö ÙÒ Ø ÓÒ Ò f(x) = x 3 ÙÒ g(x) = 4 x Ù ½¾ Ì Ò ÒØ ÙÖ ÚÓÖ Ò Ò ÈÙÒ Ø P Ö Ô µ Ö Ò Ò Ë Ð ÙÒ Ö Ì Ò ÒØ Ò Ò Ö Ô Ö ÙÒ Ø ÓÒ f(x) = x Û Ð Ò ÈÙÒ Ø P( ) ÒØ ÐØº È Ð Ø Ò Ø Ù Ñ Ö Ô ºµ Ù ½ ¼ ÓÖÑ Ð Ö Ò Ë Ø ÐÔÙÒ Øµ Ù Ñ Ö Ø Ò Ë Ñ Ø Ö Û Ò Ë Ò Ö ÕÙ Ö Ø Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ø Ö Ë Ø ÐÔÙÒ Ø Ü¹ÃÓÓÖ Ò Ø y = ax +bx+c Û Ò Ë º u = b a.

118 ÁÆ ÀÊÍÆ ÁÆ Á Á Ê ÆÌÁ ÄÊ ÀÆÍÆ ½ Ä ½½ Ä ÙÒ Ò ÒÛ Ò ÙÒ Ò Ù ½¾ ÈÙÒ Ø Ñ Ø ÚÓÖ Ò Ö ËØ ÙÒ µ µ f (x) = 0 (x e x ) = 0 e x = 0 = e x x = 0 µ f (x) = x = = x x = ± Ù ½¾ Ì Ò ÒØ Ò Ð ÙÒ µ Ý¹ÃÓÓÖ Ò Ø ÚÓÒ P( y) y = f( ) = ( ) 3 +4( ) 5 = 4 5 = 8 P( 8)º Ì Ò ÒØ Ò Ø ÙÒ m m = f ( ) = 3x +4 = 3( ) +4 = 3+4 = P( 8) ÙÒ m = Ò ØÞ Ò Ò y = mx+q 8 = +q q = 7º y = x 7 Ù ½¾ È Ö Ð Ð ÙÒ µ f (x) = ax+b ËØ ÙÒ º º ËØ ÐÐ ¾ ÓÐÐ 4 Ò 4 = a +b 4a+b = 4 P( ) Ö Ô = a +b +c 4a+b+c = P(5 8) Ö Ô 8 = a 5 +b 5+c 5a+5b+c = 8 Ò Ð Ò Ö Ð ÙÒ Ò Ò Ò Î Ö Ð Ò º ÌÊµ a = b = c = 8 Ù ½¾ ÆÓÖÑ Ð Ò Ð ÙÒ µ f (x) = x Ý¹ÃÓÓÖ Ò Ø ÚÓÒ P(e y) y = f(e) = lne+ = + = 0 P(e 0)º ËØ ÙÒ Ö Ì Ò ÒØ Ò P(e 0) m = f (e) = e ËØ ÙÒ Ö ÆÓÖÑ Ð Ò Ò P(e 0) m = m = eº P(e 0) ÙÒ m = e Ò ØÞ Ò Ò y = m x+q 0 = e +q q = e y = ex e Ù ½¾ Ë Ò ØØÛ Ò Ð ÚÓÒ Ö Ô Òµ Ñ Ø Ò Ñ Ø Ñ Ò Ò ÙÒ Ö Ù º γ P α β Q f (x) = 3x g (x) = 4 x Ë Ò ØØ Ø ÐÐ Ò Ö Ö Ô Ò x 3 = 4 x x4 = 4 x = ± º

119 ÁÆ ÀÊÍÆ ÁÆ Á Á Ê ÆÌÁ ÄÊ ÀÆÍÆ ½ Ä ½½ Ë Ò ØØÛ Ò Ð α Ö Ì Ò ÒØ ÚÓÒ f Ñ Ø Ü¹ x = tanα = f ( ) = 3 x = 3 = 6 α = º Ë Ò ØØÛ Ò Ð β Ö Ì Ò ÒØ ÚÓÒ g Ñ Ø Ü¹ x = tanβ = g ( ) = 4 x = β = 63.4 = 63.4 Ë Ò ØØÛ Ò Ð γ Ö Ò Ö Ô Ò x = γ = 80 α β = Ù ËÝÑÑ ØÖ Ö Ò Ò Ø Ö Ë Ò ØØÛ Ò Ð È ÙÒ É Ö Ð ºµ Ù ½¾ Ì Ò ÒØ ÙÖ ÚÓÖ Ò ÈÙÒ Ø P Ö Ô µ Ö Ù ÓÐÐØ Ñ Ò Ò ÒÙÒ Ñ Òº x + x P( ) (x+ ) f (x) = x Ö Ö Ø ÐÐ Ò x Ö Ì Ò ÒØ Ñ Ø Ñ Ö Ô Ðº Ð Ø Ñ Ò Ñ Ö Ù Ò ËØ ÙÒ Ö µ f (x) = x + x+ x = x + x+ x +x = x + x +x = 0 TR x =.6 x = 0.6º ËØ ÙÒ Ö Ì Ò ÒØ Ò m = f (.6) = 3.4 m = f (0.6) =.4º P( ) ÙÒ m = 3.4 ÞÛº m =.4 Ò ØÞ Ò Ò y = mx+q = 3.4 ( )+q q =.6 y = 3.4x.6 Ù ÞÓ Ò Ö µ =.4 ( )+q q = 0.38 y =.4x 0.38 ØÖ ÐØ Ö µ Ù ½ ¼ ÓÖÑ Ð Ö Ò Ë Ø ÐÔÙÒ Øµ f (x) = ax+b Ì Ò ÒØ Ò Ø ÙÒ ÑÙ 0 Ò º º ËØ ÐÐ Ë Ø ÐÔÙÒ Ø 0 = ax+b x = b a

120 ÁÆ ÀÊÍÆ ÁÆ Á Á Ê ÆÌÁ ÄÊ ÀÆÍÆ ½ Ä ½½ º ÓÑ ØÖ ÙØÙÒ Ö Ö ÒÞ Ö Ö Ø ¾Ä ØÞØ Ò Û Ö Ò Ñ Ã Ô Ø Ð ÒÙÖ Ö ÒÞ Ö Ö ÙÒ Ø ÓÒ Ò Ò ÐØ º º ÙÒ Ø ÓÒ Ò Ö Ò Ð ØÙÒ f (x) R Ü Ø ÖØº Ø Ò Ø ÑÑ Ö Óº f (x) := lim h 0,h<0 Ð Ò Ø Ð ØÙÒ f(x+h) f(x) h f +(x) := lim h 0,h>0 Ö Ø Ø Ð ØÙÒ f(x+h) f(x) h Ç Ò ØÐ ÐØ Ò Ò Ø ÓÒ Ö ÒÞÛ ÖØ ÙÒ Ø ÓÒ Òµ f º Ö º º ËØ ÐÐ x f (x) = f +(x) Rº Ô Ð ½ ÃÒ µ ÍÒØ Ö Ù Ò Ë ÙÒ Ø ÓÒ f(x) = Ù Ö ÒÞ Ö Ö Ø Ò Ö ËØ ÐÐ x = º { x, x < x, x 4 3 ËØ ÙÒ ËØ ÙÒ f () = (x ) = x = f +() = (x) = = ÃÒ ÃÒ f Ò Ø º Ö º º ËØ ÐÐ ½ 0 3 4

121 ÁÆ ÀÊÍÆ ÁÆ Á Á Ê ÆÌÁ ÄÊ ÀÆÍÆ ½ Ä ½¾¼ Ô Ð ¾ ËÔÖÙÒ µ ÍÒØ Ö Ù Ò Ë ÙÒ Ø ÓÒ { f(x) = x, x < x +, x Ù Ö ÒÞ Ö Ö Ø Ò Ö ËØ ÐÐ x = º ËØ ÙÒ 0 3 ËÔÖÙÒ f () = R Ð Ö Ñ Ø ÒÙÒ µ f Ò Ø º Ö º º ËØ ÐÐ ¾ f +() = ( x ) = x = Rµ ÎÓÖ Ò Ò Ò Ù Ò x =, x + = 3 ËÔÖÙÒ f Ò Ø º Ö º º ËØ ÐÐ ¾º 0 ËØ ÙÒ Ô Ð Î ÖØ Ð Ì Ò ÒØ µ ÍÒØ Ö Ù Ò Ë ÙÒ Ø ÓÒ f(x) = x Ù Ö ÒÞ Ö Ö Ø Ò Ö ËØ ÐÐ x = 0º f (x) = ( x) = x f (0) = 0 = 0 = R º Ú ÖØ Ð Ì Ò ÒØ f Ò Ø º Ö º º ËØ ÐÐ ¼ Ñ Ö ÙÒ ÞÙÑ Ð ØÞ Ò Ô Ð Ö Û ÐÐ µ Ë Ö Û 0 = Ø Ò Ø Ö Å Ò Ö Ò Ø Ö Ø Ø Ð Ò f (0) = lim h 0 f(0+h) f(0) h = lim h 0 0+h 0 h = lim h h 0 h = lim h 0 h = º Ø Ù ÙÒ Ø ÓÒ Ò = ÒØ ÖÔÖ Ø Ö Ò ÑÙ º Ø Ñ Ò Û Ð Ñ Ö Ô Ò Ò Ò Ñ Ò 0 Ò Û ÒÒ Ñ Ò Ò Ù ÖØ Ê ÒÙÒ Ò Ø ÙÖ Ö Ò Û ÐÐºµ

122 ÁÆ ÀÊÍÆ ÁÆ Á Á Ê ÆÌÁ ÄÊ ÀÆÍÆ ½ Ä ½¾½ Ó ØÙÒ Ò Ò Ò Ö Ô Ð Ò f Ø Ö ÒÞ Ö Ö º º ËØ ÐÐ x Ö Ö Ô Ø ÓÖØ Ò Ò ÃÒ Ñ Ø Ò Ò ËÔÖÙÒ ÙÒ Ø Ò Ú ÖØ Ð Ì Ò ÒØ º Ñ Ö ÙÒ ½ Ò Ö Ö ÒÞ Ö Ö Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ø Ñ Ò Ù Ð ØØ ÙÒ Ø ÓÒ Û Ð Ö Ö Ô Ö ÚÓÒ ÃÒ Ò ÙÒ ËÔÖ Ò Ò Øµº Ñ Ö ÙÒ ¾ Ò ÙÒ Ö ÒÞ Ö Ö Ò Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ø ØÖ Ö Ð Ò ÙÒ Ø Ø Ò Ö ÒÞ Ö Ö ÙÒ Ø ÓÒ Ø ÙØÓÑ Ø Ø Ø º ÍÑ ÖÙÒ ÐØ Ò Ø Ò Ô Ð f(x) = x Ø Ø Ø Ö Ò Ø Ö ÒÞ Ö Ö Ò x = 0 ÃÒ µº Ñ Ö ÙÒ Ö Û ÐÐ µ ÍÑ ÖÙÒ ÚÓÒ Ñ Ö ÙÒ ¾ ÐØ Ò Ø Ø Ö Ô Ò Ó Ò ÃÒ ÙÒ ËÔÖ Ò Ö Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ò Ø Ö ÒÞ Ö Ö Øº º º Ø ÙÒ Ø ÓÒ f(x) = x Ù Ñ Ð ØÞØ Ò Ô Ð Ò Ø Ö ÒÞ Ö Ö º º ËØ ÐÐ ¼ Ó ÛÓ Ð Ö Ö Ô Ò ÃÒ ÙÒ ËÔÖ Ò Øº Ï Ø Ö Ô Ð f(x) = 3 x Ø Ó Ö Ù ÒÞ R Ö ÚÓÒ ÃÒ Ò ÙÒ ËÔÖ Ò Ò Ö Ò Ø Ö ÒÞ Ö Ö º º ËØ ÐÐ ¼ Ú ÖØ Ð Ì Ò ÒØ ¼µº Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ø Ö ÒÞ Ö Ö Û ÒÒ Ò Ö ËØ ÐÐ Ö ÒÞ Ö Ö Øº Ë Ò Ø Ã Ô Ø Ðº

123 ÁÆ ÀÊÍÆ ÁÆ Á Á Ê ÆÌÁ ÄÊ ÀÆÍÆ ½ Ä ½¾¾ Ù Ò Ö ÒÞ Ö Ö Ø Ù ½ ½ Ö ÒÞ Ö Ö Øµ ÍÒØ Ö Ù Ò Ë ÙÒ Ø ÓÒ Ò Ù Ö ÒÞ Ö Ö Ø Ò Ö Ö Ø Ò ËØ ÐÐ Ü Ò Ñ Ë ÙÒØ Ö Ù Ò Ó Ò ÃÒ Ò ËÔÖÙÒ Ó Ö Ò Ú ÖØ Ð Ì Ò ÒØ ÚÓÖÐ Øº Ò Ò Ë Ò Ö Ô Ò µ ÙÒ µ ÞÙÑ Ö Ò Î Ö ØÒ Ò ºµ { x, x < µ f(x) = x+3, x x = { µ y = 3 x3, x e x x =, x > µ y = 3 x x = 0 µ f(x) = { e x, x 0 x+, x > 0 x = 0 µ y = x 3 x = 3

124 ÁÆ ÀÊÍÆ ÁÆ Á Á Ê ÆÌÁ ÄÊ ÀÆÍÆ ½ Ä ½¾ Ä ÙÒ Ò Ö ÒÞ Ö Ö Ø Ù ½ ½ Ö ÒÞ Ö Ö Øµ } f µ +() = (x ) = x = 4 f () = ( x+3) = = ÃÒ f Ò Ø º Ö Ò Ö ËØ ÐÐ º } µ 3 x3 = 3 3 = 3 e x = e ËÔÖÙÒ f Ò Ø º Ö Ò Ö ËØ ÐÐ º = e =.78 µ f (0) = ( x) 0 = x 0 = = 0 0 º Ú ÖØ Ð Ì Ò ÒØ f Ò Ø º Ö Ò Ö ËØ ÐÐ 0º } f µ (0) = (e x ) 0 = e x 0 = e 0 = f + (0) = Ò ÃÒ f º Ö Ò Ö ËØ ÐÐ 0º (x+) 0 = 0 = µ ÍÑ Ð Ø Ò ÞÙ ÒÒ Ò ÑÙ Ñ Ò Ú Ö Ù Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ó Ò ØÖ ¹ Þ Ò ÞÙ Ö Ò Ø x 3 = x 3 ÐÐ x 3 ÙÒ x 3 = (x 3) { = x+3 ÐÐ x < 3º x 3, x 3 Ð Ó ÒÒ Ñ Ò ÙÒ Ø ÓÒ f Ö Ò Ð f(x) = x+3, x < 3. } f +(3) = (x 3) 3 = 3 = f (3) = ÃÒ f Ò Ø º Ö Ò Ö ËØ ÐÐ 3º ( x+3) 3 = 3 = ÒÙÒ Ò µ µ Ñ Ö ÙÒ ÞÙÖ ÒÙÒ Ò µ Ö Ö Ô Ö ÙÒ Ø ÓÒ f(x) = x 3 Ø Ö ÙÑ Ò Ø Ò Ò Ö Ø Ú Ö Ó Ò Ö Ô Ö ÙÒ Ø ÓÒ f(x) = x º Ñ Ö ÙÒ ÞÙÑ ÎÓÖ Ò Ò Ò Ù Ò Ù Ö Ø ÙÒØ Ö Ù Ò Ó Ò ËÔÖÙÒ ÒÒ Ó Ò ÃÒ ÙÒ ÒÒ Ó Ò Ú ÖØ Ð Ì Ò ÒØ ÚÓÖÐ Øº

125 ÁÆ ÀÊÍÆ ÁÆ Á Á Ê ÆÌÁ ÄÊ ÀÆÍÆ ½ Ä ½¾ º À Ö Ð ØÙÒ Ò ¾Ä Á Ø f : I R Ò Ö ËØ ÐÐ x I ¹ Ö ÒÞ Ö Ö Ó Ø f Ö ÒÞ Ö Öº Ð ØÙÒ f Ð Ø ÒÒ Û Ö Ð ÙÒ Ø ÓÒ f : I R Ù Òº Ë Ø Ò Ö ËØ ÐÐ Ì Ò ÒØ Ò Ø ÙÒ Òº f(x) = sin(x) Ô Ð Ð ØÙÒ ÙÒ Ø ÓÒ Þ Ò Òµ Ö Ò Ò Ë Ð ØÙÒ ÚÓÒ f(x) = sinx ÙÒ Þ Ò Ò Ë Ö Ô Ò Ö ÙÒ Ø ÓÒ Ò f ÙÒ f ÙÒØ Ö Ò Ò Öº π 3π π π π π 3π π f (x) = cos(x) π 3π π π π π 3π π Á Ø f Ð Ø Û Ö Ö ÒÞ Ö Ö Ó ÒÒ Ñ Ò f Û Ö Ð Ø Ò Å Ò Ö ÐØ ÞÛ Ø Ð ØÙÒ f º ÒØ ÔÖ Ò Ò Ö ØØ ¹ Ð ØÙÒ f Ú ÖØ Ð ØÙÒ f (4) ººº Ò ÖØ f (5) f (6) ºººµº

126 ÁÆ ÀÊÍÆ ÁÆ Á Á Ê ÆÌÁ ÄÊ ÀÆÍÆ ½ Ä ½¾ Ô Ð Ö Ø Ò Ò Ð ØÙÒ Ò Ö Ò Ò ÙÒ Þ Ò Òµ Ö Ò Ò Ë Ö Ø Ò Ð ØÙÒ Ò Ö ÙÒ Ø ÓÒ f(x) = x +4x ÙÒ Þ Ò Ò Ë ÐÐ Ö Ô Ò ÙÒØ Ö Ò Ò Öº 4 3 f(x) = x +4x f (x) = x f (x) = 3 4 f (3) (x) = f (4) (x) =

127 ÁÆ ÀÊÍÆ ÁÆ Á Á Ê ÆÌÁ ÄÊ ÀÆÍÆ ½ Ä ½¾ Ù ½ ¾ Û Ø Ð ØÙÒ µ Ö Ò Ò Ë ÞÛ Ø Ð ØÙÒ º µ f(x) = x +5x 7 µ y = x µ f(x) = e x +e x µ y = x+ 3 x Ù Ò À Ö Ð ØÙÒ Ò Ù ½ ÆÓ Ö Ð ØÙÒ Òµ µ Ö Ò Ò Ë ¹Ø Ð ØÙÒ Ö ÙÒ Ø ÓÒ Ò y = sinx µ Ö Ò Ò Ë ¹Ø Ð ØÙÒ Ö ÙÒ Ø ÓÒ Ò y = cosx µ Ö Ò Ò Ë ¹Ø Ð ØÙÒ Ö ÙÒ Ø ÓÒ f(x) = 4sinx+5cosx µ Ö Ò Ò Ë ¾ ¹Ø Ð ØÙÒ Ö ÙÒ Ø ÓÒ y = e x º Ö Ò Ò Ë Ù Ò Ö ËØ ÐÐ ¼º Ù ½ Ð ØÙÒ ÙÒ Ø ÓÒ Ò Þ Ò Òµ Ö Ò Ò Ë f ÙÒ Þ Ò Ò Ë Ö Ô Ò ÚÓÒ f ÙÒ f Û Ð ÙÒØ Ö Ò Ò Öº µ f(x) = x µ y = x µ f(x) = e x µ f(x) = { x, x x, x > Ë Ñ Ò Ò Ò Ø ÙÒ Ò Ø Ð Ö Ò ÓÐÐØ Ò Ö Ò Ò ÐÐ Ö¹ ØÐ Ò ÝÑÔØÓØ Ò ÛÓ Ö Ö Ô Ò Ò Ø ËØ ÐÐ ÃÒ Ù ½ Æ Ø Ü Ø ÒÞ ÚÓÒ f µ Á Ø ÙÒ Ø ÓÒ f Ù Ó Ö Ù µ Ö ÒÞ Ö Ö º º Ü Ø ÖØ ÙÒ Ø ÓÒ f

128 ÁÆ ÀÊÍÆ ÁÆ Á Á Ê ÆÌÁ ÄÊ ÀÆÍÆ ½ Ä ½¾ Ù ½ ¾ Û Ø Ð ØÙÒ µ Ö Ò Ò Ë ÞÛ Ø Ð ØÙÒ º µ f (x) = x+5 f (x) = Ä ÙÒ Ò À Ö Ð ØÙÒ Ò µ f (x) = x f (x) = (x ) = x 3 = x 3 µ f (x) = e x e x f (x) = e x +e x = f(x)µ µ y = x+ 3 x = x 3 x + 3 x = 3 x + 3 x f (x) = 6 x 3 x 3 f (x) = x 3 + x 5 Ù ½ ÆÓ Ö Ð ØÙÒ Òµ µ f (x) = cosx f (x) = sinx f (x) = cosx f (4) (x) = sinx (= f(x)) µ f (x) = sinx f (x) = cosx f (x) = sinx f (4) (x) = cosx (= f(x)) µ Ù µ ÙÒ µ ÙÒ Ö ËÙÑÑ Ò¹ ÙÒ Ö ØÓÖÖ Ð ÓÐ Ø f (4) (x) = 4sinx+5cosx (= f(x)) µ f (x) = e x f (x) = 4e x f (x) = 8e x... f (n) (x) = ( ) n e x n Nº f (3) (x) = ( ) 3 e x f (3) (0) = ( ) 3 e 0 = 3 Ù ½ Ð ØÙÒ ÙÒ Ø ÓÒ Ò Þ Ò Òµ µ 3 f(x) = x µ 4 3 f(x) = x f (x) = x f (x) = x

129 ÁÆ ÀÊÍÆ ÁÆ Á Á Ê ÆÌÁ ÄÊ ÀÆÍÆ ½ Ä ½¾ µ 4 3 f(x) = e x µ 4 3 f(x) = { x, x x, x > f (x) = e x 3 4 f (x) = 3 { x, x, x > Ù ½ Æ Ø Ü Ø ÒÞ ÚÓÒ f µ Æ Ò f Ø Ò Ø Ö ÒÞ Ö Ö º º ËØ ÐÐ ½ Ö Ö Ô ÓÖØ Ò Ò ÃÒ Øº ÙÒ Ø ÓÒ f Ü Ø ÖØ Ð Ó Ò Øºµ

130 ÁÆ ÀÊÍÆ ÁÆ Á Á Ê ÆÌÁ ÄÊ ÀÆÍÆ ½ Ä ½¾ º Ô Ð Ò Ö È Ý Ã Ò Ñ Ø µ ½Ä Ò Ã ÖÔ Ö Û ÐÒ Ò Ö Ö Ò sº s(t) s ÙÒ Ø ÓÒ s(t) Ò ÇÖØ s Ð ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ø t Òº Å Ò Ò ÖØ v(t) := s (t) Û Ò Ø ÞÙÑ ØÔÙÒ Ø t a(t) := s (t) Ð ÙÒ ÙÒ ÞÙÑ ØÔÙÒ Ø t Ô Ð Ð Ñ Ð ÙÒ Ø Û ÙÒ µ Ò Ã ÖÔ Ö Û ÐÒ Ò Ö Ö Ò Ñ Ö ÇÖØ ÙÒ Ø ÓÒ s(t) = a t Ñ Ø a Rº µ Ö Ò Ò Ë Ò Û Ò Ø ÞÙÑ ØÔÙÒ Ø t µ Ö Ò Ò Ë Ò Ð ÙÒ ÙÒ ÞÙÑ ØÔÙÒ Ø t µ Ò Ò Ë Ö Ô Ò Ö ÙÒ Ø ÓÒ Ò s(t) v(t) a(t) ÙÒØ Ö Ò Ò Ö Ö Ò ÐÐ a = º µs (t) = ( a t ) = a (t ) = at µs (t) = (at) = a ÓÒ Øº Ðºµ

131 ÁÆ ÀÊÍÆ ÁÆ Á Á Ê ÆÌÁ ÄÊ ÀÆÍÆ ½ Ä ½ ¼ µ s 4 3 s = 4 t t v v = t t a a = t

132 ÁÆ ÀÊÍÆ ÁÆ Á Á Ê ÆÌÁ ÄÊ ÀÆÍÆ ½ Ä ½ ½ Ù Ò È Ý Ù ½ Û Ò Ø ÙÒ Ð ÙÒ ÙÒ µ Ö Ò Ò Ë Û Ò Ø ÙÒ Ð ÙÒ ÙÒ Ù Ö ÇÖØ ÙÒ Ø ÓÒ s(t) ÞÙÑ Ò Ò ØÔÙÒ Ø tº µ s(t) = t +5t 7 t = 3 µ s(t) = t 3 +t t = µ s(t) = g t t = 3 Ö Ö ÐÐ Ñ Ø g := 9.8m/s µ µ s(t) = a t +v 0 t+s 0 Ñ Ø v 0 = 5 a = 3 t = Ð Ñ Ð ÙÒ Ø Û ÙÒ Ñ Ø Ò Ò Û Ò Ø v 0 := v(0) ÙÒ Ò Ò ÓÖØ s 0 := s(0)µ

133 ÁÆ ÀÊÍÆ ÁÆ Á Á Ê ÆÌÁ ÄÊ ÀÆÍÆ ½ Ä ½ ¾ Ä ÙÒ Ò È Ý Ù ½ Û Ò Ø ÙÒ Ð ÙÒ ÙÒ µ µ s(t) = t +5t+7 s (t) = t+5,s (t) = s (3) =,s (3) = µ s(t) = t +t = t 3 +t s (t) = 3t 4 + = 3 3 t + s (t) = t 5 = 4 t 5 s () = 3 + = = 0.8 s () = = = µ s(t) = g t s (t) = gt s (t) = g s (3) = 3g = = 9.43,s (3) = 9.8 µ s(t) = a t + v 0 t + s 0 s (t) = at + v 0 = 3t + 5 s (t) = 3 s () = 3 +5 = s () = 3

134 ÁÆ ÀÊÍÆ ÁÆ Á Á Ê ÆÌÁ ÄÊ ÀÆÍÆ ½ Ä ½ º ÈÖÓ Ù Ø¹ ÙÒ ÉÙÓØ ÒØ ÒÖ Ð ¾Ä Ö ÒÒ ÖÙÒ Å Ø Ð Ö ËÙÑÑ Ò¹ ÙÒ ØÓÖÖ Ð ÒÒ Ñ Ò ÓÑÔ Þ ÖØ Ö ÙÒ ¹ Ø ÓÒ Ò Ð Ø Ò Ò Ñ Ñ Ò Ö Ð ØÙÒ Ù Ð ØÙÒ Ò Ö Ö ÙÒ Ø Ó¹ Ò Ò ÞÙÖ ÖØ Ù Ò Ò ÞÙ ÑÑ Ò ØÞ Òº Ò Ð Ò Û Ò ÈÖÓ Ù Ø¹ ÙÒ ÉÙÓØ ÒØ ÒÖ Ðº ÈÖÓ Ù ØÖ Ð ÙÒ Ù ÉÙÓØ ÒØ ÒÖ Ðµ Ø ÓÖÑ Ð Ò Ø ÒÞ Ò ÐÓ ÞÙÖ ËÙÑÑ ÒÖ Ð º º Ñ ÐÐ Ñ Ò Ò Ø Ð Ö (f(x) g(x)) f (x) g (x)º ÈÖÓ Ù ØÖ Ð Ë Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ò f g ¹ Ö ÒÞ Ö Ö Ó Ø Ù Ö ÈÖÓ Ù Ø f g ÙÒ ÐØ (f(x) g(x)) = f (x) g(x)+f(x) g (x) ÃÙÖÞ ÓÖÑ (fg) = f g +fg Û f(x+h) g(x+h) f(x) g(x) h = f(x+h) f(x) h g(x+h)+f(x) g(x+h) g(x) h = [f(x+h) f(x)]g(x+h)+f(x)[g(x+h) g(x)] h h 0 f (x)g(x)+f(x)g (x)º Ö Ø Ð ÙÒ Ø Ñ Ò Ñ Ø Ò Û ÒÒ Ñ Ò Ö ÛÖØ Ö Ò Ø º º Ò Ö Ø Ò Ì ÖÑ Ò Ò Ð Ò Ò ÙÑÛ Ò ÐØ ÙÖ Ù ÑÙÐØ ÔÐ Þ Ö Òµº Ô Ð f(x) = e x cosx f (x) =? f (x) = (e x ) cosx+ex (cosx) = e x cosx e x sinx = e x (cosx sinx) ÉÙÓØ ÒØ ÒÖ Ð Ë Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ò f g ¹ Ö ÒÞ Ö Ö Ó Ø Ù Ö ÉÙÓØ ÒØ f g ÐÐ g(x) 0µ ÙÒ ÐØ ÃÙÖÞ ÓÖÑ ( f g ) = f g fg g ( f(x) g(x) ) = f (x)g(x) f(x)g (x) g (x)

135 ÁÆ ÀÊÍÆ ÁÆ Á Á Ê ÆÌÁ ÄÊ ÀÆÍÆ ½ Ä ½ Û Ï Ö Ò ÐÒ ÞÙ Ö Ø Ò ËÔ Þ Ð ÐÐ f = ( g(x) ) g(x+h) = lim g(x) h 0 h = lim h 0 g(x+h)g(x) (g(x) g(x+h) h ) = g (x) g (x) º ÞÛ Ø Ð ÙÒ Ø Ñ Ò Ñ Ø Ò Û ÒÒ Ñ Ò Ö ÛÖØ Ö Ò Ø º º Ò Ö Ø Ò Ì ÖÑ Ò Ò Ð Ò Ò ÙÑÛ Ò ÐØ ÙÖ Ù ÑÙÐØ ÔÐ Þ Ö Òµº ÙÔØÙÒ ÓÐ Ø ÒÙÒ Ù Ö ÈÖÓ Ù ØÖ Ð ( f(x) g(x) ) = (f(x) g(x) ) = f (x) g(x) f(x) g (x) g (x) = f (x)g(x) f(x)g (x) g (x) Ë ØÞØ Ñ Ò f = Ò Ö ÉÙÓØ ÒØ ÒÖ Ð Ö ÐØ Ñ Ò Ò ÙÖÞ Ö Ê ÒÙÒ Ò ËÔ Þ Ð ÐÐ ( f(x) ) = f (x) f (x) x Ô Ð ( +3x ) =? x ( +3x ) = (x ) (+3x) x (+3x) (+3x) = x(+3x) x 3 (+3x) = x+6x 3x (+3x) = 3x +x (+3x) = x(3x+) (+3x)

136 ÁÆ ÀÊÍÆ ÁÆ Á Á Ê ÆÌÁ ÄÊ ÀÆÍÆ ½ Ä ½ Ù Ò ÈÖÓ Ù Ø¹ ÙÒ ÉÙÓØ ÒØ ÒÖ Ð Ö Ò Ò Ë Ò Ö Ù Ð ØÙÒ Ö ÙÒ Ø ÓÒ Ù Ö Ò Ö Ð ØÞØ Ò Ù Ù ÞÛ Ø Ð ØÙÒ º Î Ö Ò Ò Ë Ê ÙÐØ Ø Ó Û Ø Û Ñ ¹ Ð º ÈÖÓ Ù ØÖ Ð Ù ½ ÈÓØ ÒÞ ÙÒ Ø ÓÒ Òµ µ f(x) = (x +5x+3) µ y = (x+)(x +)(x 3 +3) µ f(x) = (x ) x Ù ½ ÜÔ»ÄÓ ¹ ÙÒ Ø ÓÒ Òµ µ f(x) = xe x µ y = x 3 lnx Ù ½ ÌÖ ÓÒº ÙÒ Ø ÓÒ Òµ µ f(x) = sinxcosx µ y = cos 3 x µ f(x) = xcosx Ù ½ ¼ ÈÖÓ ºÖ Ð Ö ØÓÖ Òµ Ò Ë (fgh) = f gh+fg h+fgh µ f(x) = (lnx) µ y = xe x lnx ÉÙÓØ ÒØ ÒÖ Ð Ù ½ ½ ÈÓØ ÒÞ Òµ µ f(x) = 3x x 3 9x+6 µ y = x + µ f(x) = a x a+x Ù ½ ¾ ÌÖ ÓÒº ÙÒ Ø ÓÒ Òµ µ f(x) = sinx x µ y = sinx +cos x µ f(x) = sinx cosx sinx+cosx µ y = x3 x +x Ù ½ ÜÔ»ÄÓ ¹ ÙÒ Ø ÓÒ Òµ µ f(x) = x lnx µ y = lnx µ f(x) = +ex e x µ y = ex x À Ö Ñ Ò Ë Ê ÙÐØ Ø Ò Ø Ú Ö Ò Ò Û ÒÒ Ë Ò Ø ÛÓÐÐ Òºµ Ï Ø Ö Ù Ò Ù ½ ÈÖÓ º ÙÒ ÉÙÓØºÖ Ðµ µ f(x) = sinxcosx x µ y = xlnx e x µ f(x) = cos x lnx Ù ½ Û Ø Ð ØÙÒ µ µ f(x) = x + x µ y = x e x µ f(x) = sinxcosx

137 ÁÆ ÀÊÍÆ ÁÆ Á Á Ê ÆÌÁ ÄÊ ÀÆÍÆ ½ Ä ½ Ù ½ ÈÓØ ÒÞ ÙÒ Ø ÓÒ Òµ Ä ÙÒ Ò ÈÖÓ Ù Ø¹ ÙÒ ÉÙÓØ ÒØ ÒÖ Ð µ f (x) = [(x +5x+3) ] = [(x +5x+3)(x +5x+3)] = (x +5x+3) (x +5x+3)+(x +5x+3)(x +5x+3) = (x +5x+3) (x +5x+3) = (4x+5)(x +5x+3) µ f (x) = [(x+)(x +)(x 3 +3)] = (x+) (x +)(x 3 +3)+(x+)(x +) (x 3 +3)+(x+)(x +)(x 3 +3) = (x +)(x 3 +3)+(x+)x(x 3 +3)+(x+)(x +)3x = (x +)(x 3 +3)+x(x+)(x 3 +3)+3x (x+)(x +) µ f (x) = [(x ) x] = (x ) x+(x )( x) = x x+ (x ) x Ù ½ ÌÖ ÓÒÓÑ ØÖ ÙÒ Ø ÓÒ Òµ µ f (x) = (sinxcosx) = (sinx) cosx+sinx(cosx) = cos x sin x µ f (x) = (cos 3 x) = (cosxcosxcosx) = 3(cosx) cos x = 3sinxcos x µ f (x) = ( xcosx) = ( x) cosx+ x(cosx) = cosx x xsinx Ù ½ ÜÔ»ÄÓ ¹ ÙÒ Ø ÓÒ Òµ µ f (x) = (xe x ) = x e x +x(e x ) = e x +xe x = e x (+x) µ f (x) = (x 3 lnx) = (x 3 ) lnx+x 3 (lnx) = 3x lnx+x 3 x = 3x lnx+x = x (3lnx+) µ f (x) = [(lnx) ] = [(lnx)(lnx)] = (lnx) lnx = lnx x µ f (x) = (xe x lnx) = x e x lnx + x(e x ) lnx + xe x (lnx) = e x lnx + xe x lnx + xe x x = e x (lnx+xlnx+) Ù ½ ¼ ÈÖÓ Ù ØÖ Ð Ö ØÓÖ Òµ Å Ò ÖØ Ò Û Ù ÈÖÓ Ù ØÖ Ð Ö ¾ ØÓÖ Ò ÞÙÖ (fgh) = ((fg)h) = (fg) h+(fg)h = (f g +fg )h+fgh = f gh+fg h+fgh ÈÓØ ÒÞ Ò Ù ½ ½ ÈÓØ ÒÞ Òµ µ f (x) = ( 3x x 3 9x+6 ) = (3x ) (x 3 9x+6) (3x )(x 3 9x+6) = 6x(x3 9x+6) 3x (3x 9) (x 3 9x+6) (x 3 9x+6) µ f (x) = x + = (x +) (x +) = x (x +) ÉÙÓØ ÒØ ÒÖ Ð Ö Ò ËÔ Þ Ð ÐÐ f = µ µ f (x) = ( a x a+x ) = (a x) (a+x) (a x)(a+x) = (a+x) (a x) = a (a+x) (a+x) (a+x) µ f(x) = x3 x = x 7 +x 7 f (x) = ( x ) = (x +x +x 7 ) (+x ) (x 7 )(+x ) (+x ) = 7 x 5 (+x ) x 7 x (+x )

138 ÁÆ ÀÊÍÆ ÁÆ Á Á Ê ÆÌÁ ÄÊ ÀÆÍÆ ½ Ä ½ Ù ½ ¾ ÌÖ ÓÒº ÙÒ Ø ÓÒ Òµ µ f (x) = ( sinx x ) = (sinx) x (sinx)x = xcosx sinx x x µ f (x) = ( sinx +cosx ) = (sinx) (+cosx) (sinx)(+cosx) = (cosx)(+cosx) (sinx)( sinx) (+cosx) (+cosx) cosx+cos x+sin x (+cosx) = cosx+ (+cosx) = +cos x µ f (x) = ( sinx cosx sinx+cosx ) = (sinx cosx) (sinx+cosx) (sinx cosx)(sinx+cosx) (sinx+cosx) = (cosx+sinx)(sinx+cosx) (sinx cosx)(cosx sinx) = (sinx+cosx) +(cosx sinx) (sinx+cosx) (cosx+sinx) = sin x+sinxcosx+cos x+cos x sinxcosx+sin x (sinx+cosx) = (sinx+cosx) Ù ½ ÜÔ»ÄÓ ¹ ÙÒ Ø ÓÒ Òµ µ f (x) = ( x lnx ) = (x) lnx x(lnx) = lnx x (lnx) x (lnx) = lnx = lnx (lnx) ln x µ f (x) = ( lnx ) = (lnx) = ln x = ÉÙÓØ ÒØ ÒÖ Ð Ö Ò ËÔ Þ Ð ÐÐ f = µ x ln x xln x µ f (x) = ( +ex ) = (+ex ) ( e x ) (+e x )( e x ) = ex ( e x ) (+e x )( e x ) e x ( e x ) ( e x ) = ex ( e x )+e x (+e x ) ( e x ) = 4ex ( e x ) µ f (x) = ( ex x ) = (ex ) x e x ( x) = e x x e x x x = x x = e x x e x x x e x x( x ) = ex x x ( ) x Ë Ö Ò Ò µ Ê ÙÐØ Ø Ö Ø ÐÐ Ò Û Ë ÛÓÐÐ Ò Ù Ó Ò Î Ö Ò ÙÒ ºµ Ï Ø Ö Ù Ò Ù ½ ÈÖÓ º ÙÒ ÉÙÓØ ÒØ ÒÖ Ðµ µ f (x) = ( sinxcosx ) QR = (sinxcosx) x (sinxcosx)x PR = [(sinx) cosx+sinx(cosx) ]x sinxcosx x x x = [cos x sin x]x sinxcosx x µ f (x) = ( xlnx e x ) = (xlnx) e x xlnx(e x ) (e x ) = [x lnx+x(lnx) ]e x xlnxe x (e x ) = [lnx+x x ]ex xlnxe x (e x ) = e x (lnx+ xlnx) = lnx xlnx+ (e x ) e x µ f (x) = ( cos x lnx ) = (cos x) lnx cos x (lnx) = sinxcosxlnx cos x x (lnx) (lnx) cosx(sinxlnx+ cosx x = ) ln x Ù ½ Û Ø Ð ØÙÒ µ µ f (x) = ( x + x ) = ( x + x ) = f (x) = ( ) = ( ) x x µ f (x) = (x e x ) = (x ) e x +x (e x ) = xe x x e x f (x) = (xe x x e x ) = [(x) e x +x(e x ) ] [(x ) e x +x (e x ) ] = [(e x xe x ] [xe x x e x ] = e x xe x xe x +x e x = e x 4xe x +x e x = e x (x 4x+) µ f (x) = (sinxcosx) = (sinx) cosx+sin(cosx) = cos x sin x f (x) = (cos x) (sin x) = sinxcosx sinxcosx = 4sinxcosx = x 3 x 3

139 Ï ÀÊË À ÁÆÄÁ ÀÃ ÁÌËÊ ÀÆÍÆ Ì ÁÄ ¾ ½ º½ º½º½ Ï Ö ÒÐ Ø Ö ÒÙÒ Ì Ð ¾ Ù ÐÐ Ö Ò Ò Ø ÓÒ Å Ø À Ð ÚÓÒ Ù ÐÐ Ö Ò Ð Ò Ú Ð Ö Ò ÙÖÞ ÙÒ ÔÖ Ò ÒØ Ö ¹ Òº Ω Ò Ï Ö ÒÐ Ø Ö ÙÑº Ò Ù ÐÐ Ö Ø Ò ÙÒ Ø ÓÒ X : Ω R ËØ ØØ Ù ÐÐ Ö Ø Ñ Ò Ù Ù ÐÐ Ú Ö Ð º Ô Ð Ù Ò ÙÑÑ Ñ ÞÛ Ñ Ð Ò Ï Ö ÐÒ Ø Ω := {,,3,...,64,65,66} X : Ω R,X(ij) = i+j ÓÖ Ò Ø Ñ ω = ij Ω Ù Ò ÙÑÑ ÞÙº Ö Ò Ù Ò ÙÑÑ Ø {3,, 3}, Ð Ø Ñ Ø X Ó Ö Ò {3,,3} = {ω Ω X(ω) = 4} =: {X = 4}. Ô Ð Ù Ò ÙÑÑ Ñ ÞÛ Ñ Ð Ò Ï Ö ÐÒ Ø Ø Ò {,,3,,,3} = {X 4} Ô Ð Ù Ò ÙÑÑ Ñ ÞÛ Ñ Ð Ò Ï Ö ÐÒ Ø ÙÒ Ð {,,5,6,...muehsam} = {X 4} ÁÒ Ö Ë Ö Û Ù Ò Û Ð Ö Ø Ò Ë Ø Ò Ò Ò Ó Ò Ö Ô Ð Ò Ø ÙØÙÒ Ö Ò Ù Ò Ò Ð Ö ÒÒ Öº

140 Ï ÀÊË À ÁÆÄÁ ÀÃ ÁÌËÊ ÀÆÍÆ Ì ÁÄ ¾ ½ º½º¾ Î ÖØ ÐÙÒ Ò Ö Ù ÐÐ Ö Ò x x ººº x n Ê Ð ¹ ÖÙÒ Ò ÚÓÒ Xº ÒÒ Ø ËÝ Ø Ñ Ö Ï Ö ÒÐ Ø Ò P(X = x ),...,P(X = x n ) Î ÖØ ÐÙÒ ÚÓÒ Xº Ò Û Ö ÖÞ Ò Þº º P(X = x ) := P({X = x }) Ó Ò Û Ø ÃÐ ÑÑ ÖÒ Ö Òº Ô Ð Ù Ò ÙÑÑ Ñ ÞÛ Ñ Ð Ò Ï Ö ÐÒ P(X = ) = p() = 36 P(X = 3) = p()+p() = 36 P(X = 4) = p(3)+p()+p(3) = 3 36 P(X = 5) = p(4)+p(3)+p(3)+p(4) = 4 36 P(X = 6) = p(5)+p(4)+p(33)+p(4)+p(5) = 5 36 P(X = 7) = p(6)+p(5)+p(34)+p(43)+p(5)+p( P(X = 8) = p(6)+p(35)+p(44)+p(53)+p(6) = 5 36 P(X = 9) = p(36)+p(45)+p(54)+p(63) = 4 36 P(X = 0) = p(46)+p(55)+p(64) = 3 36

141 P(X = x i ) Ï ÀÊË À ÁÆÄÁ ÀÃ ÁÌËÊ ÀÆÍÆ Ì ÁÄ ¾ ½ ¼ P(X = ) = p(56)+p(65) = 36 P(X = ) = p(66) = ¾ ½¼ ½½ ½¾ x i º¾ À ØÓ Ö ÑÑ Ö Ô Ö Ø ÐÐÙÒ Ö Î ÖØ ÐÙÒ Ö Ù Ò ÙÑÑ Xº ÖÛ ÖØÙÒ Û ÖØ Ï Ö ÓÐØ Ñ Ò ÜÔ Ö Ñ ÒØ ÞÛ Ñ Ð Ï Ö ÐÒ Ö Ó Ø Þº º n = 000 Å Ðµ ÙÒ ØÖ ØØ h Å Ð Ù Ò ÙÑÑ x Ù Þº º h = 57 Å Ð x = 3µ h Å Ð x ººº h n Å Ð x n ÑÙ Ò Ø ÖÐ h h n = n Òµ Ó Ø ÙÖ Ò ØØÐ Ù Ò ÙÑÑ x h +...+x n h n n h = x n +...+x n h n n. Å Ø Û Ò Ñ n Û Ö Ñ Ø ÞÙÒ Ñ Ò Ö Ò Ù Ø ÙÒ Ë Ö Ø Ö Ð Ø Ú ÀÙ Ø hi n Ö Ù Ò ÙÑÑ x i ÞÙÖ Ï Ö ÒÐ Ø Ö Ù ØÖ Ø Ò h i n P(X = x i). ÙÖ Ò ØØÐ ÔÖÓ ÏÙÖ ÞÙ ÖÛ ÖØ Ò Ù Ò ÙÑÑ Ø Ð Ó E(X) := x P(X = x )+...+x n P(X = x n )

142 Ï ÀÊË À ÁÆÄÁ ÀÃ ÁÌËÊ ÀÆÍÆ Ì ÁÄ ¾ ½ ½ ÐÐ Ñ Ò ÒÒ Ñ Ò Ò Ö Ò X Ò Ù ÐÐ Ö Ñ Ø Ò Ê Ð ÖÙÒ Ò x,...,x n º ÒÒ Ø n E(X) := x i P(X = x i ) i= Ö ÖÛ ÖØÙÒ Û ÖØ ÚÓÒ Xº ËØÓ Ø ÁÒØ ÖÔÖ Ø Ø ÓÒ Ï Ö ÓÐØ Ñ Ò Ò Ù ÐÐ ÜÔ Ö Ñ ÒØ Ö Ó Ø Ó Ø EX Ò ÞÙ ÖÛ ÖØ Ò Ò ÙÖ ¹ Ò ØØ Ö Ø Ñ Ø Å ØØ Ðµ Ö Ö ÐØ ¹ Ò Ò Ö Ò Òº Ô Ð ÓÖØ ØÞÙÒ Ù Ò ÙÑÑ Ñ ÞÛ Ñ Ð Ò Ï Ö ÐÒµ Ð ÙÖ Ò ØØÐ Ù Ò ÙÑÑ Ö Ù Ñ Ï Ö ÐÒ Ø ÞÙ ÖÛ ÖØ Ò EX = P(X = )+3P(X = 3)+4P(X = 4) +5P(X = 5)+6P(X = 6)+7P(X = 7) +8P(X = 8)+9P(X = 9)+0P(X = 0) +P(X = )+P(X = ) = = 36 ( ) = 7 (sieheobigeshistogramm)

143 Ï ÀÊË À ÁÆÄÁ ÀÃ ÁÌËÊ ÀÆÍÆ Ì ÁÄ ¾ ½ ¾ Ô Ð ¼ ËÔ Ð ÙØÓÑ Øµ Ö ØÖ Ö Ò ËÔ Ð ÙØÓÑ Ø Ò Ñ Ø ÒÙÖ 80% Ö Ò ØÞ Ð ËÔ Ð¹ Û ÒÒ Û Ö Ù ØØ Òº Ï Ð Ò Ò ØÞ ÑÙ Ö ÚÓÑ ËÔ Ð Ö Ú ÖÐ Ò Ò ½ ½ ¾ ½ ¾ ½ ½ ¾ ½ ½ Ù Þ ¹ ÐÙÒ ÔÐ Ò Öº ¾¾ ¾ Öº ½½ ½ Öº µ ÖÛ ÖØÙÒ Û ÖØ Ö Ù Þ ÐÙÒ Ω = {,,3,,,3,3,3,33} X := Ù Þ ÐÙÒ P(X = ) = p() = 4 6 = 3 = 3 P(X = ) = p() = 6 6 = 3 6 = 8 P(X = 6) = p(33) = 6 6 = 36 EX = P(X = )+P(X = )+6P(X = 6)+0P(X = = = = = 8 0.6Fr.

144 Ï ÀÊË À ÁÆÄÁ ÀÃ ÁÌËÊ ÀÆÍÆ Ì ÁÄ ¾ ½ P(X = x i ) ¼ ½ ¾ x i À ØÓ Ö ÑÑ Ö Ô Ö Ø ÐÐÙÒ Ö Î ÖØ ÐÙÒ Û ÒÒ Xº EX = 0.6 µ Ù Ú ÖÐ Ò Ò Ö Ò ØÞ 0.8a = 0.6 a = 0.76Fr È Ý Ð ÁÒØ ÖÔÖ Ø Ø ÓÒ ÖÛ ÖØÙÒ Û ÖØ Ö Û ÐÐ µ È Ý ¹ Ð ØEX Ö Ë Û ÖÔÙÒ Ø ÚÓÒ Ù Ö Ü¹ Ð Ò Ò Å ÒÔÙÒ Ø Ò Ñ Ø Ò ÃÓÓÖ Ò Ø Ò x,...,x n ÙÒ Ò Å Ò m := P(X = x ),...,m := P(X = x n )º ÓÐ Ø Ó ÓÖØ Ù Ö Ò Ø ÓÒ S := n M i= x im i Ë Û ÖÔÙÒ Ø Ë Û Ð ÑØÑ ½ Ø M := n i= m i = º

145 Ï ÀÊË À ÁÆÄÁ ÀÃ ÁÌËÊ ÀÆÍÆ Ì ÁÄ ¾ ½ Ù Ò ÖÛ ÖØÙÒ Û ÖØ Ù Ò Ù Ò ½ ½ ÙÒ ½ ¾ Ò ËÔ Ð Ö ÞÛ ËÔ Ð Ö Û Ö Ð Ö ¹ Þ Ò Ø Û ÒÒ Ö ÖÛ ÖØÙÒ Û ÖØ Û ÒÒ Ö ËÔ Ð Ö Ð ¼ Øº Ò Ø Ò Ø ÖÐ Ö ÖÛ ÖØÙÒ Û ÖØ Ö Ò Ò ËÔ Ð Ö ¼ Ø Û Ð Ö ÒÒ Ö Ò Ò ÖÒ ÙØÓÑ Ø Ù ¼ Øºµ Ù ½ ¾ Å Ð Ï Ö ÐÒµ Û Ö Ò ÞÛ Ï Ö Ð ÛÓÖ Òº Ö Ò Ò ÖÛ ÖØÙÒ Û ÖØ Ö Ù ÐÐ Ö Ö ÒÞ Ð Ö ÛÓÖ Ò Ò Öº Ù ½ ½ Å Ð Ï Ö ÐÒµ Ò ËÔ Ð Ø ÓÐ Ò ÖÑ Ò Å Ò Û Ö Ø Ò Ò Ï Ö Ðº Ï Ö Ø Ñ Ò Ò ÈÖ ÑÞ Ð Ö ÐØ Ñ Ò ÓÔÔ ÐØ Ù ÒÞ Ð Ò Ö Ò Ò Ù Þ ÐØº Ò ÖÒ ÐÐ ÑÙ Ñ Ò Ò ØÖ Ò À Ö Ù ÒÞ Ð Ò Ò Þ Ð Òº µ Á Ø ËÔ Ð Ö Ò ÔÖÓ Ø Ð µ Ï Ð Ò Ò ØÞ ÔÖÓ ËÔ Ð Ñ Ø Ò Ú ÖÐ Ò Ò ÙÑ Ò Ö ËÔ Ð ÞÙ Ø ÐØ Ò Ù ½ À ØÔ ØÚ Ö ÖÙÒ µ Ò À ØÔ ØÚ Ö ÖÙÒ Ø ÐÐØ Ø 80% Ö Î Ö ÖÙÒ Ò Ñ Ö Ò Ò Ð ØÞØ Ò Ö Â Ö Ò Ò Ë Ò Ñ Ð ÙÒ Ò Ò ½ ± Ò ± ÞÛ ÙÒ ½ ± Ö ÞÛº Ú Ö Ë Ò Ñ Ð ÙÒ Òº Ò ÒÓÑÑ Ò Î ÖØ ÐÙÒ Ö Ë Ò Ñ Ð ÙÒ Ò Ð Ø Ð Å Ø Û Ú Ð Ò Ë Ò Ñ Ð ÙÒ Ò ÔÖÓ Î Ö ¹ ÖÙÒ Ø ÐÒ Ñ Ö Û Ö Î Ö ÖÙÒ Ò Ò Ò Ø Ò Ö Â Ö Ò Ö Ò Ò ÒÒ Ò Ù ½ ËÔ Ð Ò Ù ÍÖÒ Ó Ò ÙÖ Ð Òµ Ö Ò Ò ØÞ ÚÓÒ Öº ÒÒ Ñ Ò Ò ÓÐ Ñ ËÔ Ð Ø ÐÒ Ñ Ò Ò ÍÖÒ ÒØ ÐØ ÖÓØ ÙÒ Û ÖÞ ÃÙ ÐÒº Û Ö Ò ÃÙ ÐÒ Ñ Ø Ò Ñ Ö ÞÓ Òº Ë Ò ÙÒØ Ö Ò ÞÓ Ò Ò ÃÙ ÐÒ Ñ Ò Ø Ò ¾ ÖÓØ Ó Ö ÐØ Ñ Ò ½¼ Öº Ù Þ ÐØº µ Ö Ò Ò Ë Ò ÖÛ ÖØÙÒ Û ÖØ Ö Ò Û ÒÒ ÞÛº Î ÖÐÙ Øº Á Ø ËÔ Ð Ö µ Ï Ð Ò Ò ØÞ Ñ Ø Ú ÖÐ Ò Ø Û Ö Ò Ñ Ø ËÔ Ð Ö Ø Ù ½ ¼ ÒÞ ÙÒ Ø ÄÑÔ Ò Ñ Ã ÖØÓÒµ ÁÒ Ò Ñ Ã ÖØÓÒ Ò ÄÑÔ Ò ÚÓÒ Ò Øº Ï Ó Ø ÑÙ Ñ Ò Ñ Å ØØ Ð Þ Ò Ó Ò ÙÖ Ð Òµ Ñ Ò Ò Ùµ µ Ò Ö Ù Ö ÄÑÔ Ò Ø µ ÞÛ Ö Ù Ö ÄÑÔ Ò Ø Ù ½ ½ ÌÓÒØ Ù Ò Òµ Ò ÌÓÒØ Ù Ò ØÞ Ø ÓÐ Ò Ö Ò ÌÓÒØ Ù ØÖÓ Ò Ø Ñ Ü Ñ Ð Ó Å Ðº Ö ØÖ Ø ÔÖÓ Ë Ù Ñ Ø Ö Ï Ö ÒÐ Ø 5%º Ö Ò Ò ÖÛ ÖØÙÒ Û ÖØ Ö ÒÞ Ð Ë º Ù ½ ¾ Ï Ö ÐÒ ÙÑ Ð µ Ã ÖÐ Ô ÐØ Ñ Ø Ò Ö Ë Û Ø Ö Ò Ð ÙÑ Ð º Ï ÒÒ Ö Ò Ñ ÏÙÖ Ñ Ø Ú Ö Å ÒÞ Ò Ñ Ò Ø Ò Ö Ñ Ð Ð ÖÞ ÐØ ÓÖ ÖØ Ö ¾¾ Ö Ò Ò ÚÓÒ Öº Ï Ð Ò ØÖ Ú ÖÐ Ò Ø Ò Ð Ñ ÐÐ Ò Å Ö ÓÐ Û ÒÒ ËÔ Ð Ö Ò ÓÐÐ

146 Ï ÀÊË À ÁÆÄÁ ÀÃ ÁÌËÊ ÀÆÍÆ Ì ÁÄ ¾ ½ Ä ÙÒ Ò ÖÛ ÖØÙÒ Û ÖØ Ù ½ Ω := {,,...,65,66} p() = p() =... = p(66) = 36 X := ÒÞ Ð ÛÓÖ Ò Öº P(X = ) = [p(6)+p(6)+...+p(56)]+[p(6)+p(6)+...+p(65)] = 0 36 P(X = ) = p(66) = 36 EX = P(X = )+P(X = ) = = 36 = 3 Ù ½ µ Ω := {,,3,4,5,6} p() =... = p(6) = 6 X := Û ÒÒ ËÔ Ð Ö P(X = ) = p() = 6 P(X = 4) = p() = 6 P(X = 6) = p(3) = 6 P(X = 4) = p(4) = 6 P(X = 0) = p(5) = 6 P(X = 6) = p(6) = 6 EX = P(X = )+4P(X = 4)+6P(X = 6) 4P(X = 4)+0P(X = 0) 6P(X = 6) = = ( ) 6 = 3 =.50Fr. Æ Ò Ö ËÔ Ð Ö Û ÒÒØ Ù Ð Ò Ë Ø ÙÖ Ò ØØÐ ½º ¼ Öº ÔÖÓ ËÔ Ðºµ µ.50fr. Ù ½ Ω := {a,b,c,d,e} p(a) = 0.8 p(b) = 0.5 p(c) = 0.03 p(d) = 0.0 p(e) = 0.0 X := ÒÞ Ð Ë Ò Ñ Ð ÙÒ Ò ÔÖÓ Î Ö ÖÙÒ Ø ÐÒ Ñ Ö P(X = 0) = p(a) = 0.8 P(X = ) = p(b) = 0.5 P(X = ) = p(c) = 0.03 P(X = 3) = p(d) = 0.0 P(X = 4) = p(e) = 0.0 EX = 0P(X = 0)+P(X = )+P(X = )+3P(X = 3)+4P(X = 4) = = 0.8

147 Ï ÀÊË À ÁÆÄÁ ÀÃ ÁÌËÊ ÀÆÍÆ Ì ÁÄ ¾ ½ Ù ½ µ Ω := {rrr,rrs,rsr,srr;sss;ssr,srs,rss} p(rrr) = 6 p(rrs) = 6 p(rsr) = 6 p(srr) = = = 6 Ö ØÐ Ò Ï Ö ÒÐ Ø Ò Ò Ò Ø Û Ø º X := Ù Þ ÐÙÒ P(X = 0) = p(rrr) +p(rrs)+p(rsr) +p(srr) = 4 6 = 3 EX = 0P(X = 0)+0P(X = 0) = 0 3 = 0 3 = 6.67Fr. ÖÛ ÖØ Ø Ö Î ÖÐÙ Ø =.33Fr. Æ Ò µ 6.67Fr. Ù ½ ¼ µ Ω := {,0,00,000}º º º ÙØ Ø Ð Ñ ÒØ Ö Ö Ò ω = 0 Ñ Ö Ø Ò Ù Ò Ø ÙÒ Ñ ÞÛ Ø Ò Ò ÒÞ ÖÒ ÞÙ Þ Òºµ p() = 3 6 = p(0) = = 3 5 = 3 0 p(00) = = = 3 0 p(000) = = 5 4 = 0 X := ÒÞ Ð ÙÒ Ò ÞÙÑ Ö Ø Ò Ö Ù Ö Ò ÄÑÔ Ò EX = P(X = )+P(X = )+3P(X = 3)+4P(X = 4) = = = 35 0 =.75 µ Ω := {;0,0;00,00,00;000,000,000,000}º º º ¹ ÙØ Ø Ð Ñ ÒØ Ö Ö Ò ω = 0 Ñ Ö Ø Ò Ù Ò ÒÞ Ñ ÞÛ Ø Ò Ò Ø ÙÒ Ñ Ö ØØ Ò Ò ÒÞ ÖÒ ÞÙ Þ Òº Ð ØÞØ Ö ÒÒ Ò Ò ¼ Ò Ñ Ò Ù ÖØ Ò Ñ Ñ Ò ¾ ÒÞ ÖÒ Ò ÞÓ Ò Øºµ

148 Ï ÀÊË À ÁÆÄÁ ÀÃ ÁÌËÊ ÀÆÍÆ Ì ÁÄ ¾ ½ p() = = 5 = 5 p(0) = p(0) = p(00) = 3 6 p(00) = 0 p(00) = 0 4 = = = = 0 p(000) = = 5 4 = 0 p(000) = 0 p(000) = 0 p(000) = 0 X := ÒÞ Ð ÙÒ Ò ÞÙÑ ÞÛ Ø Ò Ö Ù Ö Ò ÄÑÔ Òº P(X = ) = 5 P(X = 3) = 6 0 = 3 0 P(X = 4) = 3 0 P(X = 5) = 4 0 = 5 EX = P(X = )+3P(X = 3)+4P(X = 4)+5P(X = 5) = = = = 35 0 = 3.5 Ù ½ ½ Ω := {,0,00,000,0000,00000,000000} Ð ØÞØ Ð Ñ ÒØ Ö Ö Ò ω = Ò Ø Ú Ö Ò µ p() = 4 p(0) = p(00) = ( 3 4 ) 4 p(000) = ( 3 4 )3 4 p(0000) = ( 3 4 )4 4 p(00000)= ( 3 4 )5 4 p(000000)= ( 3 4 )6 X := ÒÞ Ð Ë EX = P(X = )+P(X = )+3P(X = 3)+4P(X = 4)+5P(X = 5)+6P(X = 6) = (3 4 ) 4 +4 (3 4 ) (3 4 ) (3 4 ) (3 4 )6 TR = 3.9 Ù ½ ¾ Ω = {kkkk,kkkz,...,zzzz} p(ω) = ( )4 ω Ω X = Û ÒÒ ÚÓÒ Ã ÖÐ x := ØÖ Ò Ò Ð ÚÓÒ Ã ÖÐ Ú ÖÐ Ò Ø Ñ ÐÐ Ò Å Ö ÓÐ º

149 Ï ÀÊË À ÁÆÄÁ ÀÃ ÁÌËÊ ÀÆÍÆ Ì ÁÄ ¾ ½ P(X = ) = p(kkkk)+p(kkkz)+p(kkzk)+p(kzkk)+p(zkkk) = 5 ( )4 = 5 6 P(X = x) = 5 6 = 6 EX = P(X = )+xp(x = x) 5 0 = +x = 0+x x = 0 Ò Ð Ú ÖÐ Ò Ø ½¼ Öº

150 Ï ÀÊË À ÁÆÄÁ ÀÃ ÁÌËÊ ÀÆÍÆ Ì ÁÄ ¾ ½ º Î Ö ÒÞ ÙÒ ËØ Ò Ö Û ÙÒ Ð Î Ö ÒÞ Ò Ö Ù ÐÐ Ö X Ò ÖØ Ñ Ò Ò ÖÛ ÖØÙÒ Û ÖØ Ö Ö ÕÙ ¹ Ö Ø Ò Û ÙÒ Ò ÚÓÒ Ö Ñ ÖÛ ÖØÙÒ Û ÖØ EXº ÍÑ ÞÙ Ò Ö ÓÖÑ Ð Ò Ò Ø ÓÒ ÞÙ Ð Ò Ò Ø ÐÐ Ò Û Ö ÙÒ Û Ö ÜÔ Ö Ñ ÒØ Ö Ù Ò ÙÑÑ Ñ ÞÛ Ñ Ð Ò Ï Ö ÐÒ ÚÓÖº Ï Ö Ö ÙÑ ÒØ Ö Ò Ò ÐÓ ÞÙÑ ÖÛ ÖØÙÒ Û ÖØ Ò Ã Ô Ø Ð º¾ Ï Ö ÓÐØ Ñ Ò ÜÔ Ö Ñ ÒØ Ö Ó Ø Þº º n = 000 Å Ðµ ÙÒ ØÖ ØØ h Å Ð Ù Ò ÙÑÑ x Ù Þº º h = 57 Å Ð x = 3µ h Å Ð x ººº h n Å Ð x n ÑÙ Ò Ø ÖÐ h +...+h n = n Òµ Ó Ø ÙÖ Ò ØØÐ ÕÙ Ö Ø Û ÙÒ ÚÓÑ ÖÛ ÖØÙÒ Û ÖØ µ := EX (x µ) h +...+(x n µ) h n n = (x µ) h n +...+(x n µ) h n n. Å Ø Û Ò Ñ n Û Ö Ñ Ø ÞÙÒ Ñ Ò Ö Ò Ù Ø ÙÒ Ë Ö Ø Ö Ð Ø Ú ÀÙ Ø hi n Ö Ù Ò ÙÑÑ x i ÞÙÖ Ï Ö ÒÐ Ø Ö Ù ØÖ Ø Ò h i n P(X = x i). ÙÖ Ò ØØÐ ÔÖÓ ÏÙÖ ÞÙ ÖÛ ÖØ Ò ÕÙ Ö Ø Û ÙÒ ÚÓÒ µ Ø Ö n V(X) := (x µ) P(X = x )+...+(x n µ) P(X = x n ) = (x i µ) P(X = x i ). ÐÐ Ñ Ò ÒÒ Ñ Ò Ò Ö Ò X Ò Ù ÐÐ Ö Ñ Ø Ò Ê Ð ÖÙÒ Ò x,...,x n ÙÒ Ñ ÖÛ Ö¹ ØÙÒ Û ÖØ µ := EXº ÒÒ Ø n V(X) := (x i µ) P(X = x i ) i= Î Ö ÒÞ ÚÓÒ Xº ËØÓ Ø ÁÒØ ÖÔÖ Ø Ø ÓÒ Ï Ö ÓÐØ Ñ Ò Ò Ù ÐÐ ÜÔ Ö Ñ ÒØ Ö Ó Ø Ó Ø V(X) Ò ÞÙ ÖÛ ÖØ Ò Ò ÙÖ Ò ØØ Ö Ø Ñ Ø Å ØØ Ðµ Ö ÕÙ Ö Ø Ò Û ÙÒ Ò Ö Ö ÐØ ¹ Ò Ò Ö Ò ÚÓÑ ÖÛ ÖØÙÒ Û ÖØ µ Òº i=

151 Ï ÀÊË À ÁÆÄÁ ÀÃ ÁÌËÊ ÀÆÍÆ Ì ÁÄ ¾ ½ ¼ V(X) Ø Ò Å Ö ËØÖ Ö ËØÖ ÙÙÒ ÚÓÒ X ÙÑ Ò ÖÛ ÖØÙÒ Û ÖØ µº ÏÙÖÞ Ð σ := V(X) ÒØ ÔÖ Ø ÙÒ Ö Ö ÒØÙ Ø Ú Ò ÎÓÖ Ø ÐÐÙÒ ÚÓÒ Ö ËØÖ Ö Þº º ÓÐ Ò Ô Ðµº Ù Ö Ñ Ø σ Ð Ò Ø Û Xº σ := V(X) Ø ËØ Ò Ö Û ¹ ÙÒ Ó Ö ËØÖ ÙÙÒ ÚÓÒ º Ô Ð ½ ØÖ Ø Ô Ðµ Î ÖØ ÐÙÒ Ö Ù ÐÐ Ö Ò X ÙÒ Y Ò ÙÖ Ò À ØÓ Ö ÑÑ Òº Ò Ò ÖÛ ÖØÙÒ Û ÖØ µ = 5 Û Ò Ø ÚÓÖ Ö Ò Ø Øµº ¹ Ö Ò ËØÖ ÙÙÒ ÚÓÒ X ÙÒ º P(X = x i ) P(Y = y i ) x i y i Î ÖØ ÐÙÒ ÚÓÒ Ñ Ø µ := EX = 5 Î ÖØ ÐÙÒ ÚÓÒ Ñ Ø µ := EY = 5 V(X) = (3 5) 0.+(4 5) 0.+(5 5) 0.4 +(6 5) 0.+(7 5) 0. =. σ =. V(Y) = ( 5) 0.3+(3 5) 0.+(7 5) 0. +(8 5) 0.+(9 5) 0.+(0 5) 0. =.4 σ = 3.4

152 Ï ÀÊË À ÁÆÄÁ ÀÃ ÁÌËÊ ÀÆÍÆ Ì ÁÄ ¾ ½ ½ Ô Ð ¾ ÊÓÙÐ ØØ µ Ö Ò ÖÛ ÖØÙÒ Û ÖØ ÙÒ ËØÖ ÙÙÒ Û ÒÒ ÚÓÒ ËÔ Ð Ö ÙÒ º ËÔ Ð Ö Ë ØÞØ Ø Ø ½¼ Öº Ù ÊÓØº À Ø Ö Ö Ø ØÞØ Û Ö Ñ Ö ÓÔÔ ÐØ Ò ØÞ ¾¼ Öº Ù Þ ÐØº ËÔ Ð Ö Ë ØÞØ Ø Ø ½¼ Öº Ù Ð ½ º À Ø Ö Ö Ø ØÞØ Û Ö Ñ ¾ ¹ Ò ØÞ Ù Þ ÐØº ÊÓÙÐ ØØ Ð Ò ½ ÖÓØ ½ Û ÖÞ ÙÒ ½ Ö Ò ËÔ Ð Ö X := Û ÒÒ Ù Þ ÐÙÒ ¹ Ò ØÞµ EX = 0P(X = 0)+( 0)P(X = 0) = = Fr. VX = (0 µ) P(X = 0)+( 0 µ) P(X = 0) = (0 ( 0 8 )) ( 0 ( 0 9 )) = ( ) +( 0+ ) = σ 0Fr.