m n 4 (= 3 4 ) 1 (= 7 1 )

Transkript

1 Å Ø Ñ Ø ½º Ë Ñ Ø Ö

2 ÁÆÀ ÄÌËÎ Ê Á ÀÆÁË ½ ÁÒ ÐØ Ú ÖÞ Ò ½ Ð Ò Å Ò Ò ÃÓÓÖ Ò Ø Ò Ý Ø Ñ ¾ ĵ ÌÓØ Ð ¾Ä Ø ØØ ½º½ Ð Ò Äµ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º½º½ Å Ò Ö Ò Ø ÖÐ Ò Ð Ò ½Ä º º º º º º º º º º º º º ½º½º¾ Å Ò Ö ÒÞ Ò Ð Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º½º Å Ò Ö Ö Ø ÓÒ Ð Ò Ð Ò º º º º º º º º º º º º º º º º ½º½º Å Ò Ö ÖÖ Ø ÓÒ Ð Ò Ð Ò ½Ä º º º º º º º º º º º º º ½º½º Å Ò Ö Ö ÐÐ Ò Ð Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º½º Þ Ñ Ð Ö ¾Ä º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º½º Ö Ð Ò ØÖ Ð ÙÒ ÇÖ ÒÙÒ Ö Ð Ø ÓÒ < Ù R ½Ä º º ½º½º Û ÒÐ Ö ¾Ä º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º¾ Å Ò Ò Äµ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º¾º½ Û ÖØ Ò Ö ÓÖÑ Ð Ò Å Ò Ò Ö Ø ÐÐÙÒ ¾Ä º º º º º º º º ½ ½º¾º¾ Ì ÐÑ Ò Ò ¾Ä º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾½ ½º¾º Å Ò ÒÓÔ Ö Ø ÓÒ Ò Ä º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½º Ê Ò Ò Ñ Ø Ð Ò Äµ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼ ½º º½ ÖÙ Ö Ò Ò ½Ä º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼ ½º º¾ Ö ØÖ ½Ä º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º º ÈÓØ ÒÞ Ò Ñ Ø ÒÞ Ò ÜÔÓÒ ÒØ Ò ½Ä º º º º º º º º º º º º º º ½º º ÈÓØ ÒÞ ØÞ ¾Ä º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼ ½º º Ï Ò ØÐ Ö Ø ÐÐÙÒ ÚÓÒ Ð Ò ½Ä º º º º º º º º º ½º º ÉÙ Ö Ø¹µÏÙÖÞ Ð ½Ä º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º º ÆÓÖÑ Ð ÓÖÑ Ò ÏÙÖÞ ÐØ ÖÑ Ä º º º º º º º º º º º º º ¼ ½º ÃÓÓÖ Ò Ø Ò Ý Ø Ñ Äµ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ Ì ÖÑ Äµ ¾º½ Ò Ø ÓÒ Ì ÖÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º¾ Ö Ï ÖØ Ò Ì ÖÑ ½Ä º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º Ì ÖÑÙÑ ÓÖÑÙÒ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾º º½ ËÙÑÑ Ò ÙÒ Ö ÒÞ Ò ½Ä º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾º º¾ ÈÖÓ Ù Ø ÙÒ ÈÓØ ÒÞ Ò ½Ä º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º º ÉÙÓØ ÒØ Ò ½Ä º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º º ØÖ ÙØ Ú ØÞ ¾Ä º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼ ÈÓÐÝÒÓÑ ½¼Äµ º½ Ò Ø ÓÒ ÈÓÐÝÒÓÑ ¾Ä º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾ Ø ÓÒ ÙÒ ËÙ ØÖ Ø ÓÒ ÚÓÒ ÈÓÐÝÒÓÑ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º ÅÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ ÙÒ Ú ÓÒ ÚÓÒ ÈÓÐÝÒÓÑ Ò ½Ä º º º º º º º º º º º º º ÒÓÑ ÙÒ ØÖ ÒÓÑ ÓÖÑ ÐÒ ¾Ä º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º È Ð Ö ½Äµ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ØÓÖÞ ÖÐ ÙÒ ÚÓÒ ÈÓÐÝÒÓÑ Ò ¾Ä º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ö Ú ÓÒ Ð ÓÖ Ø ÑÙ Ö ÈÓÐÝÒÓÑ ½Äµ º º º º º º º º º º º º º º ¾ º ØÓÖÞ ÖÐ ÙÒ Ñ Ø Ð Ú ÓÒ Ð ÓÖ Ø ÑÙ ½Äµ º º º º º º º º ÖÙ Ø ÖÑ Äµ º½ à ÖÞ Ò ÙÒ ÖÛ Ø ÖÒ ½Ä º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾ Ø ÓÒ ÙÒ ËÙ ØÖ Ø ÓÒ ÚÓÒ ÖÙ Ø ÖÑ Ò ½Ä º º º º º º º º º º º º ½¼½ º ÅÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ ÙÒ Ú ÓÒ ÚÓÒ ÖÙ Ø ÖÑ Ò ¾Ä º º º º º º º º º º º ½¼ º ÓÔÔ Ð Ö ½Ä º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼

3 ÁÆÀ ÄÌËÎ Ê Á ÀÆÁË ¾ Ð ÙÒ Ò Äµ ½½½ º½ Ä Ò Ö Ð ÙÒ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½½ º½º½ Ò Ð Ò Ö Ð ÙÒ Ò ¾Ä º º º º º º º º º º º º º º º º ½½½ º½º¾ ÖÙ Ð ÙÒ Ò Ó Ò Î Ö Ð Ñ Æ ÒÒ Ö ½Ä º º º º º º º º ½½ º½º Ð ÙÒ Ò Ñ Ø È Ö Ñ Ø ÖÒ Ó Ò ËÓÒ Ö ÐÐ º º º º º º º º ½½ º½º Ì ÜØ Ù Ò Ð Ò ÙÒ Ò Òµ Ä º º º º º º º º º º º º º ½½ º¾ ÕÙ Ú Ð ÒÞ¹ Û ÒÒ¹ ÙÒ Î ÖÐÙ ØÙÑ ÓÖÑÙÒ Ò º º º º º º º º º º º º ½¾½ º¾º½ Ó ØÙÒ Ò Ò Ò Ò Ô Ð Ò ½Ä º º º º º º º º º º º ½¾½ º¾º¾ Ô Ð ¾Ä º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¾¾

4 ½ ÀÄ Æ Å Æ Æ ÃÇÇÊ ÁÆ Ì ÆË ËÌ Å ¾ ĵ ÌÇÌ Ä ¾Ä ËÌ ÌÌ ½ ½º½ ½º½º½ Ð Ò Å Ò Ò ÃÓÓÖ Ò Ø Ò Ý Ø Ñ ¾ ĵ ÌÓØ Ð ¾Ä Ø ØØ Ð Ò Äµ Å Ò Ö Ò Ø ÖÐ Ò Ð Ò ½Ä Å Ò Ò ÒÒ Ò Ñ Ø Û Ø Ò ÃÐ ÑÑ ÖÒ Ö Ø ÐÐØ Û Ö Òº N := {,2,,4...} Ø Å Ò Ö Ò Ø ÖÐ Ò Ð Òº ½º½º¾ Å Ò Ö ÒÞ Ò Ð Ò Z := {..., 2,,0,,2,...} Ø Å Ò Ö ÒÞ Ò Ð Òº ½º½º Å Ò Ö Ö Ø ÓÒ Ð Ò Ð Ò Ò Ð Ð Û ÒÐ Ö ÖÙ m n Ñ Ø ÒÞ Ò Ð Ò m,n Ö Ò Û Ö¹ Ò ÒÒ Ø Ö Ø ÓÒ Ð Ðº Å Ò Ö Ö Ø ÓÒ Ð Ò Ð Ò Û Ö Ñ Ø Q Þ ¹ Ò Øº Ô Ð ½ 4 Ø Ö Ø ÓÒ Ð 4 Ø Ö Ø ÓÒ Ð ÒÒ 4 = 4 (= 4 ) µ 0.5 Ø Ö Ø ÓÒ Ð ÒÒ 0.5 = 2 7 Ø Ö Ø ÓÒ Ð ÒÒ 7 = 7 7 Ø Ö Ø ÓÒ Ð ÒÒ 7 = 7 Ö ÒÒØÒ Ù Ò Ð ØÞØ Ò Ò Ô Ð Ò (= 7 ) Æ Ø ÖÐ ÙÒ ÒÞ Ð Ò Ò Ù Ö ¹ Ø ÓÒ Ðº ÐÐ Ö Ò ÔÖÓ Ò Ò Ð Ò Ò Ð Ó Ö Ø ÓÒ Ðº Ö Ð Ò ÒÓ Ð Ò Ò Ø Ð Û ÒÐ Ö ÖÙ Ö Ò Û Ö Ò ÒÒ Ò

5 ½ ÀÄ Æ Å Æ Æ ÃÇÇÊ ÁÆ Ì ÆË ËÌ Å ¾ ĵ ÌÇÌ Ä ¾Ä ËÌ ÌÌ ½º½º Å Ò Ö ÖÖ Ø ÓÒ Ð Ò Ð Ò ½Ä Ò Ð Ò Ø Ð Û ÒÐ ¹ Ö ÖÙ Ö Ò Û Ö Ò ÒÒ Ø ÖÖ Ø ÓÒ Ð Ðº Å Ò Ö ÖÖ Ø ÓÒ Ð Ò Ð Ò Û Ö Ñ Ø R\Q Þ Ò Øº Ô Ð ¾ π Ó Ò Û µ R ººº º ÐÐ ÏÙÖÞ ÐÒ Ù Ò Ø ÖÐ Ò Ð Ò Ñ Ò Ò Ø Þ Ò ÒÒº Ó Ò Û µ 9 = Ø Ö Ø ÓÒ Ðµ ½º½º Å Ò Ö Ö ÐÐ Ò Ð Ò Æ Ñ Ö ÔÖÓ Ò Ò Ø Ò Ð ÑÑ Ö ÒØÛ Ö Ö Ø ÓÒ Ð Ó Ö ÖÖ Ø Ó¹ Ò Ð ÙÒ Ò Ö Ð Ò Û Ö Ò Û Ö Ò Ö ÃÅ Ò Ø ÒÒ ÒÐ ÖÒ Ò Ù Ö Úº Ò Ö Ò Û Ò Ø Ò Å Ø Ñ Ø Ö Ð Ð ÒÑ Ò Ò N Z Q R\Q Ñ Ö ÙÒ Ö ÁÒØ Ö ÖØ ÐÐ Ú Ö Ð ÒÑ Ò Ò N Z Q R\Q ÒØ ÐØ Ò ÙÒ Ò Ð Ú Ð Ð Òº Ö Ø Ò Ö Å Ò Ò Ò Ö ÑÑ Ö Ò ÒÓ Þ Ð Ö º º Ñ Ò ÒÒ ÙÖ ÒÙÑÑ Ö Ö Òº Ö Å Ò Ö ÖÖ Ø ÓÒ Ð Ò Ð Ò R\Q Ø Ò Ø Ñ Ö Ñ Ð º ÁÒ Ñ Ë ÒÒ Ø Ð Ó ÚÓÒ Ò ÖÖ Ø ÓÒ Ð Ò Ð Ò Ñ Ñ Ø Òº

6 ½ ÀÄ Æ Å Æ Æ ÃÇÇÊ ÁÆ Ì ÆË ËÌ Å ¾ ĵ ÌÇÌ Ä ¾Ä ËÌ ÌÌ Å Ò Ö Ö Ø ÓÒ Ð Ò ÙÒ Å Ò¹ Ö ÖÖ Ø ÓÒ Ð Ò Ð Ò Ð Ò ÞÙ ÑÑ Ò Å Ò Ö Ö ÐÐ Ò Ð Ò Rº Â Ð Ø Ð Ó Ö Ðк Ð ÙÒ Ö ÐÐ Ð Ò Ö ÙÒ ËÝÒÓÒÝÑ º ½º½º Þ Ñ Ð Ö ¾Ä Ò Þ Ñ Ð ÖÙ Ø Ò ÖÒ ÓÐ Ñ Ø Ò Ñ Þ Ñ ÐÔÙÒ Øº Å Ò ÙÒØ Ö Ø := Ô Ö Ó Ö Þ Ñ Ð ÖÙ Ò ØÔ Ö Ó Ö Þ Ñ Ð ÖÙ Ò Þ Ñ Ð ÖÙ Ø Ð Ó Ô Ö Ó Û ÒÒ Ö Ñ Ø Ò Ñ ËØÖ Ö Û Ò ÖÒ Ö Ò Ð Øº Ô Ð Á Ø Ö Þ Ñ Ð ÖÙ Ô Ö Ó Ó Ö Ò Ø = Â Ò Ò Ó ÛÓ Ð ØÞ¹ Ñ Ø ÚÓÖ Ò Òµ µ.6=.60  =  2.0= 2.0 Â Ò ÓÐ Ò Ò Ë ØÞ Ö Ò Ù ÑÑ Ò Ò Ö Ø ÓÒ Ð Ö Ð Ò ÙÒ Þ Ñ Ð Ö ¹ Ò Ñ Ò Û Ö ÙÒ Ñ Ø ÞÛ Ô Ð Ò Ð Ö Ë ØÞ Ò Ð Ø Ò Ù ÒÒ Ö Ø ÓÒ Ð Û ÒÒ Ð Ô Ö Ó Ö Þ Ñ Ð ÖÙ ¹ Ö Ò Û Ö Ò ÒÒº

7 ½ ÀÄ Æ Å Æ Æ ÃÇÇÊ ÁÆ Ì ÆË ËÌ Å ¾ ĵ ÌÇÌ Ä ¾Ä ËÌ ÌÌ Ô Ð Û ÒÐ Ö ÖÙ ¹ Þ Ñ Ð ÖÙ Ë Ö Ò Ë Ò Û ÒÐ Ò ÖÙ 22 7 Ð Þ Ñ Ð ÖÙ º 22 : 7 = = Ô Ð Þ Ñ Ð ÖÙ ¹ Û ÒÐ Ö ÖÙ Ë Ö Ò Ë Ò Þ Ñ Ð ÖÙ 2.78 Ð Û ÒÐ Ò ÖÙ º = = = = (= 79 0 ) ÎÓÖ Ò ÅÙÐØ ÔÐ Þ Ö 2.78 Ñ Ø Ö Ð Ò Ø Ò Ò ÖÔÓØ ÒÞ ½ Ó Ö ¹ Ò ÙÒÑ ØØ Ð Ö Ò Ñ Þ Ñ ÐÔÙÒ Ø Ô Ö Ó Ø ÙÒ Ö ÒØ ÔÖ Ò¹ Ð ÙÒ Òº ÒÒ ÑÙÐØ ÔÐ Þ Ö 2.78 Ñ Ø Ö ÞÛ Ø Ð Ò Ø Ò Ò ÖÔÓØ ÒÞ Ó Ö Ò ÙÒÑ ØØ Ð Ö Ò Ñ Þ Ñ ÐÔÙÒ Ø Ô Ö Ó Ø ÙÒ Ö ¹ ÒØ ÔÖ Ò Ð ÙÒ Ö Ö Ø º  ØÞØ Ù ØÖ Ö ÙÒØ Ö ÚÓÒ Ö Ó Ö Ò Ð ÙÒ ÙÒ Ú Ö ÒØ Ø Ò Ò Ð ÙÒ ÙÖ 990º ½ Ð Ò ººº Ò Ò ÖÔÓØ ÒÞ Òº

8 ½ ÀÄ Æ Å Æ Æ ÃÇÇÊ ÁÆ Ì ÆË ËÌ Å ¾ ĵ ÌÇÌ Ä ¾Ä ËÌ ÌÌ Ù Ò Ð Ò Ù ½ Ù Û Ð Ò Ö Ð ÒÑ Ò Ò N Z Q R\Q ÖØ Ð Ñµ π Òµ µ Óµ е 6 Ôµ Ù ¾ Î ÖÛ Ò ÐÒ Ë Ò Û ÒÐ Ò ÖÙ Ò Ò Ò Þ Ñ Ð ÖÙ º µ Ù Î ÖÛ Ò ÐÒ Ë Ò Þ Ñ Ð ÖÙ Ò Ò Ò Û ÒÐ Ò ÖÙ Ò Ë Ò Ø ÖÞ Ò Ñ Òµº µ

9 ½ ÀÄ Æ Å Æ Æ ÃÇÇÊ ÁÆ Ì ÆË ËÌ Å ¾ ĵ ÌÇÌ Ä ¾Ä ËÌ ÌÌ Ä ÙÒ Ò Ù ½ N Z Q R\Q N Z Q ѵ R\Q Z Q Q R\Q Òµ R\Q µ Q Z Q Q Óµ R\Q Q Ù ¾ 0.5 Z Q е N Z Q 7 8 = = Ó Ö Ö ØÐ Ú ÓÒµ µ Ö ØÐ Ú ÓÒµ Ù = ( = 7.72) = = Ôµ Q 7 50 = = = = Ö ØÐ Ú ÓÒµ = ( = 2.72) =2 222 µ = = = = ( = ) = = = = ,29 = ( 0.29 = 0.29) = = 8 00 = = = = = = ,5 = 5.5 ( 0.5 = 0.5) = = 5 9

10 ½ ÀÄ Æ Å Æ Æ ÃÇÇÊ ÁÆ Ì ÆË ËÌ Å ¾ ĵ ÌÇÌ Ä ¾Ä ËÌ ÌÌ ½º½º Ö Ð Ò ØÖ Ð ÙÒ ÇÖ ÒÙÒ Ö Ð Ø ÓÒ < Ù R ½Ä ÐÐ Ò Ø ÞÙ Ò ØÖ Ò Ò Ø ÓÐÐØ Ñ Ò ÙÒØ Ö Ñ Ø Ñ Ø Ò Ç Ø Ò Ø Ø ØÛ ÚÓÖ Ø ÐÐ Òº ÍÒØ Ö Ö Å Ò Ö Ö ÐÐ Ò Ð Ò Ø ÐÐØ Ñ Ò Ñ Ø Ò Ò Ó Ò ÒÒØ Ò Ð Ò ØÖ Ð ÚÓÖº Ø Ò Ö Ñ Ø Ò Ñ ÈÙÒ Ø ¼ ÙÒ Ò Ñ ÈÙÒ Ø ½ Ö Ø ÚÓÒ ¼ ÙÒ Úº Ò Ö Ò Ö Ø Þ Ò Ò È Ð Ô ØÞ ÒÒ ÐØ ¼ ½ R Â Ö Ö ÐÐ Òµ Ð ÒØ ÔÖ Ø Ò ÈÙÒ Ø Ù Ñ Ð Ò ØÖ Ð ÙÒ ÙÑ Öغ 2 ¼ ½ R 0.6 π Å Ò Ö Øa < b Ð Ò Ö Ó Ö b > a Ö Ö Û ÒÒ a Ð Ò ÚÓÒ b Ð Ø Ù Ñ Ð Ò ØÖ Ðº Ô Ð ÇÖ Ò Ò Ë Ð Ò Ö Ö Ò º.0 <. <.0 < 0.0 <.00 Ò Ð a > 0 Ø ÔÓ Ø Ú Ò Ð a < 0 Ò Ø Úº Ò Ð Ø Ð Ó ÔÓ Ø Ú Û ÒÒ Ö Ø ÚÓÒ ¼ Ð Ø ÙÒ Ò Ø Ú Û ÒÒ Ð Ò ÚÓÒ ¼ Рغ a Ò Ðº Ò 0 Ô ÐØ Ð Û Ö Ñ Ø a Þ Ò Ø ÙÒ Ø ÒÞ Ð ÞÙ aº Ô Ð Ò a = b = 5º Á Ø Ð ÔÓ Ø Ú Ó Ö Ò Ø Ú a = ( ) = > 0 a = < 0

11 ½ ÀÄ Æ Å Æ Æ ÃÇÇÊ ÁÆ Ì ÆË ËÌ Å ¾ ĵ ÌÇÌ Ä ¾Ä ËÌ ÌÌ ½¼ µ ( b) = b = 5> 0 ( a) = a = < 0 b = 5< 0 b = 5> 0 ( ( ( a))) = a = < 0 a b Ð Ò Ö Ð Ó Ö b a Ö Ö Ð ÙØ Ø a Ð Ò ÚÓÒ b Ð Ø Ó Ö Ñ Ð Ò ÇÖØ Ù Ñ Ð Ò ØÖ Ðº Ô Ð Ë Ò ÍÒ Ð ÙÒ Ò Û Ö Ó Ö Ð 4 5 Û Ö 4 4 Û Ö µ 5 4 Ð

12 ½ ÀÄ Æ Å Æ Æ ÃÇÇÊ ÁÆ Ì ÆË ËÌ Å ¾ ĵ ÌÇÌ Ä ¾Ä ËÌ ÌÌ ½½ Ù Ò ÇÖ ÒÙÒ Ö Ð Ø ÓÒ Ù R Ö Ì ÒÖ Ò Ö Ø Ò Ø ÖР٠غ Ù ÇÖ Ò Ò Ë Ð Ò Ö Ö Ò º µ Ù Ò a = 5 b = 0.º Á Ø Ð ÔÓ Ø Ú Ó Ö Ò Ø Ú b a µ b ( a) ( b) a ( ( ( ( (b))))) ( ( ( ( (a))))) Ù Á Ø ÍÒ Ð ÙÒ Û Ö Ó Ö Ð

13 ½ ÀÄ Æ Å Æ Æ ÃÇÇÊ ÁÆ Ì ÆË ËÌ Å ¾ ĵ ÌÇÌ Ä ¾Ä ËÌ ÌÌ ½¾ Ä ÙÒ Ò Ù 0.45 < 0.5 < 0.5 < 0.5 < < < 74447< 44747< µ.24<.24 <.2.2 <.2 Ù b = 0. < 0 a = 5 > 0 µ b = ( 0.) = 0. > 0 ( a) = a = 5 > 0 ( (b)) = b = 0. < 0 a = 5 < 0 ( ( ( ( (b))))) = b = ( 0.) = 0. > 0 ( ( ( ( (a))))) = a = 5 < 0 Ù ÒØÛ Ö Û Ò ÐØ Ñ Ò Ò Û ÒÐ Ò ÖÙ Ò Ò Ò Þ Ñ Ð ÖÙ ÙÑ Ó Ö ÙÑ Öغ Á Û Ð Ò Ö Ø Ò Ï 24 7 =.42857>.424 Ö ØÐ Ú ÓÒµ ÍÒ Ð ÙÒ Ø Ð º

14 ½ ÀÄ Æ Å Æ Æ ÃÇÇÊ ÁÆ Ì ÆË ËÌ Å ¾ ĵ ÌÇÌ Ä ¾Ä ËÌ ÌÌ ½ ½º½º Û ÒÐ Ö ¾Ä Ö ÒÒ ÖÙÒ Ò ØØ ½º½º µ Ò Û ÒÐ Ö ÖÙ Ø Ò Ù ÖÙ Ö ÓÖÑ m n Ñ Ø ÒÞ Ò Ð Ò m, n ÛÓ n Ò Ø ¼ Ò Ö Ú ÓÒ ÙÖ ¼ ÒÒØÐ Ú Ö ÓØ Ò Øºµ à ÖÞ Ò ÚÓÒ Ö Ò ÈÖ ÑÞ Ð Ò Ò Ò Ø ÖÐ Ð n Ø ÈÖ ÑÞ Ð Û ÒÒ ÒÙÖ ÙÖ Ð Ø ÙÒ ÙÖ ½ Ø Ð Ö Øº ÈÖ ÑÞ Ð Ò ººº ÈÖ Ñ ØÓÖÞ ÖÐ ÙÒ Ô Ð ÖÐ Ò Ë Ð Ò ÈÖ Ñ ØÓÖ Òº 60= = 7 µ 26= 2 7 9= 7 Ö Ö Ø Ñ Ò Ñ Ì Ð Ö Ìµ Ö Ö Ø Ñ Ò Ñ Ì Ð Ö ÞÛ Ö Ò Ø ÖÐ Ö Ð Ò a b Ø Ö Ø Ð Ð Ò Ó Ò Ê Ø Ø Ðغ Ð Û Ö Ñ Ø ggt(a,b) Þ Ò Øº Ô Ð Ö Ò Ò Ë Ò Ö Ø Ò Ñ Ò Ñ Ò Ì Ð Ö Ö Ò Ð Òº = = ggt(24,80) = 2 2 = = = 2 ggt(2,8) = 2 = 6

15 ½ ÀÄ Æ Å Æ Æ ÃÇÇÊ ÁÆ Ì ÆË ËÌ Å ¾ ĵ ÌÇÌ Ä ¾Ä ËÌ ÌÌ ½ µ = = ggt(00,50) = = 50 Ô Ð Ã ÖÞ Ò Ë Ò ÖÙ Ó Û Ø Û Ñ Ð º 6 9 = 7 7 = = 9 8 = 7 = 7 27 ÇÖ Ò Ò ÚÓÒ Ö Ò ¾Ä Ð Ò Ø Ñ Ò Ñ Î Ð Îµ ÖÞØ Ñ Ø Ì ½µµ Ð Ò Ø Ñ Ò Ñ Î Ð ÞÛ Ö Ò Ø ÖÐ Ö Ð Ò a b Ø Ð Ò¹ Ø Ð ÓÛÓ Ð Ò Î Ð ÚÓÒ a Ð Ù ÚÓÒ b غ Ð Û Ö Ñ Ø kgv(a,b) Þ Ò Øº Ô Ð Ö Ò Ò Ë Ð Ò Ø Ñ Ò Ñ Î Ð Ö Ð Òº = = kgv(60,50) = = = = 5 8 = 2 kgv(2,5,8) = = 80 Ô Ð ½¼ ÇÖ Ò Ò Ë Ö Ö Ö Ò º 9 = 27 = 8 = 2 kgv(9,27,8) = 2 = = = = < 5 8 < 8 27

16 ½ ÀÄ Æ Å Æ Æ ÃÇÇÊ ÁÆ Ì ÆË ËÌ Å ¾ ĵ ÌÇÌ Ä ¾Ä ËÌ ÌÌ ½ Ù Ò Ð Ò Ù Ò Ã ÖÞ Ò Ë Ó Û Ø Û Ñ Ð º µ Ù ÇÖ Ò Ò Ë Ö Ö Ò º Ò Ò µ ( 5 6 )0 ( 5 6 )4 ( 5 6 ) ( 5 6 )5 ( 5 6 ) ( 5 6 )2

17 ½ ÀÄ Æ Å Æ Æ ÃÇÇÊ ÁÆ Ì ÆË ËÌ Å ¾ ĵ ÌÇÌ Ä ¾Ä ËÌ ÌÌ ½ Ä ÙÒ Ò Ù 0 = 2 5,42 = 2 7 ggt(0,42)= 2 = = = 5,25= ggt(65,25)= = 25 µ 72 = 2 2 2,4= ggt(72,4)= Å Ò ÒÒ = 5 2,0 = 2 5 ggt(5,0)= = = 2 2 7,0 = 2 5 ggt(28,0)= = =,69= ggt(4,69)= 4 69 = 5 = 7,87= 7 ggt(5,87)= = 9 Ù Ò Ø ÖÞ Òº 6 = 2,4 = 2 7,24 = kgv(6,4,24) = = = = = 68 4 < 9 24 < = = = 5 kgv(8,0,5) = = 60 8 = = = < 0 < 6 45 µ =,8 = 2 2 2,2 = 2 2,25 = 5 5 kgv(,8,2,25) = = = = = = < 5 8 < 6 25 < = < 24 4 = 2 2,7 = 7, = kgv(4,7,) = = 08 4 = = = < ( 5 6 )5 < ( 5 6 )4 < ( 5 6 ) < ( 5 6 )2 < ( 5 6 ) < ( 5 6 )0 08

18 ½ ÀÄ Æ Å Æ Æ ÃÇÇÊ ÁÆ Ì ÆË ËÌ Å ¾ ĵ ÌÇÌ Ä ¾Ä ËÌ ÌÌ ½ ½º¾ Å Ò Ò Äµ ÓÖ ÒØÓÖ ½ ¹½ ½ Ø Ò Ö Ö Å Ò Ó Ö ÐÖØ Ò Å Ò Ø Ù ÑÑ Ò ÙÒ ÚÓÒ Ø ÑÑØ Ò ÛÓ ÐÙÒØ Ö Ò Ò Ç Ø Ò ÙÒ Ö Ö Ò¹ ÙÙÒ Ó Ö ÙÒ Ö Ò Ò ÞÙ Ò Ñ ÒÞ Òº Ò Ç Ø Ò Ò Ö Å Ò Ø Ñ Ò Ð Ñ ÒØ º ½º¾º½ Û ÖØ Ò Ö ÓÖÑ Ð Ò Å Ò Ò Ö Ø ÐÐÙÒ ¾Ä Å Ò Ò ÒÒ Ò ÓÖÑ Ð Ù ÞÛ ÖØ Ò Ö Ø ÐÐØ Û Ö Ò Ù Þ Ð Ò ÓÖÑ ÁÒ Ö Ù Þ Ð Ò Ò ÓÖÑ Û Ö Ò ÐÐ Ð Ñ ÒØ Ù Ð Ø Ø Ó Ö Û Ò Ø Ò Ò ¹ ÙØ Ø Ô Ð A := {,2,,4,5} Ò Ð Å Ò B := {2,4,6,...} ÙÒ Ò Ð Å Ò ÖØ Ò Ð Ñ ÒØ a ÞÙ Ò Ö Å Ò A Ó Ö Ø Ñ Ò a A ÙÒ Ø a ص Ð Ñ ÒØ ÚÓÒµ A º ÖØ a Ò Ø ÞÙ A Ö Ø Ñ Ò a A ÙÒ Ø a ص Ò Ø Ð Ñ ÒØ ÚÓÒµ A º ËØ ØØ a Ð Ñ ÒØ A Ø Ñ Ò Ù a Ù A Ó Ö a Ð Ø Ò A ÙÒ Ò ÐÓ ÐØ Ö Ò ÖØ Ù º Å Ò Ò Û Ö Ò Ñ Ø ÖÓ Ù Ø Ò Ð Ñ ÒØ Ñ Ø ÃÐ Ò Ù Ø Ò Þ Ò Øº Ô Ð 2 {,2,,4,5} {2,4,6,...}

19 ½ ÀÄ Æ Å Æ Æ ÃÇÇÊ ÁÆ Ì ÆË ËÌ Å ¾ ĵ ÌÇÌ Ä ¾Ä ËÌ ÌÌ ½ µanita {Hans,Fritz,Vreni} Ò ÓÖÑ Å Ò Ñ Ð Ø Ö Ø ÐÐÙÒ Ò Ù Þ Ð Ò Ö ÓÖÑ Ö Ò Ø Ñ Ð Û Ô Ð ¹ Û Ò ÁÒØ ÖÚ ÐÐ Ò Ò ØØ ½º¾º¾µº ÍÒ Ñ Ò Ñ Ð Ø Ö ¹ Ò ÓÖÑ Û Ò Ö Ò ØÖ Ò Ò ¾ ÞÙ Ð Ò Ô Ð ½½A := {n N n ist Primzahl} Ö Ú ÖØ Ð ËØÖ Ø ÑÑ Ö Ð ÙØÙÒ Ö ÐØ º ÁÒ ÑØ Ð Ø Å Ò Ó Å Ò ÐÐ Ö Ò Ù N Ö ÐØ n Ø ÈÖ ÑÞ Ðº Ç Ø Ò Å Ò Ò Ö Ø ÐÐÙÒ Ò ÒÐ ÙØ Ú Ö ØÒ Ð Ô Ð ½¾ Ò Ë Å Ò A := {2,4,6,8,0,2,4} Ò Ö Ò Ö ÓÖÑ Òº A = {n N n Ø ÙÖ ¾ Ø Ð Ö ÙÒ Ð ¹ Ò Ö Ó Ö Ð ½ } Ñ Ö ÙÒ ÍÒ Ó Ø Ø ÒÒ Ö Ð Ö Ö Ò Ò ÓÖÑ Ú Ö Ò Å ¹ Ð Ø Ò Ö Ö ÙÒ º Å Ò Ñ Ô Ð ½¾ ÒÒ Ñ Ò Ù Ó Ö ¹ Ò A = {n N n 2 N n 4} ÒØ ÐØ Ò ÞÛ Å Ò Ò ÙÒ ¹ Ð Ò Ð Ñ ÒØ Ö Ø Ñ Ò A = B Ô Ð ½ {,2,} = {2,,} ¾ Å Ò A = {2,,5,7,,,...} Ñ Ô Ð ½½ Ò Ù Þ Ð Ò Ö ÓÖÑ Ö Ø ÐÐØ ÑÙ Ñ Ò Ò Ø Ù Û Ö Ò Ð Ò Ñ Ò Ñ Ö Ø Û Ð Ð Ò Ñ ÒØ Ò º

20 ½ ÀÄ Æ Å Æ Æ ÃÇÇÊ ÁÆ Ì ÆË ËÌ Å ¾ ĵ ÌÇÌ Ä ¾Ä ËÌ ÌÌ ½ Ù Ò Û ÖØ Ò Ö ÓÖÑ Ð Ò Å Ò Ò Ö Ø ÐÐÙÒ Ù Ë Ö Ò Ë Å Ò Ò Ö Ù Þ Ð Ò Ò ÓÖÑ Òº A := {n N Ò Ø ÙÖ Ø Ð Ö Ö Ò Ø ÙÖ Ø Ð Ö} B := {n N Ò Ø Ì Ð Ö ÚÓÒ ½ Ö Ò Ø ÚÓÒ ¼} µ C := {n N n N} D := {n N n 2 50} E := {n N Ò Ø Ö ÞÙ 9 Ö Ò Ò Þ Ñ Ð ÖÙ } Ù ½¼ Ë Ö Ò Ë Å Ò Ò Ö Ù Þ Ð Ò Ò ÓÖÑ Òº A := {x Ü Ø Ò ÔÙÒ Ø ÝÑÑ ØÖ Ö ÖÓ Ù Ø ÐÔ Ø } B := {x Ü Ø Ò ÖÓ Ù Ø ÐÔ Ø Ñ Ø Ò Ö Ú ÖØ Ð Ò ËÝÑÑ ØÖ } Ù ½½ Ë Ò Ð ÙÒ Ò Ö Ø Ó Ö Ð {,2,,4,5}= {5,4,,2,} {5,0,5,20}= {x N Ü Ø Î Ð ÚÓÒ } µ {n N n 4 N} = {4,8,2,6,20,...} {n N Ò Ø Ö } = {4,8,2,6,20,...} {,4,7,0,...}= {n N Ò Ø Ò Ø ÙÖ Ø Ð Ö} Ù ½¾ Ò Ë Å Ò Ò Ö Ò Ö ÓÖÑ Òº A := {,,7,2} B := {6,0,4,8,...} µ C := {6,0,4,8} D := {,4,9,6,25,...} E := {2,4,8,6,2,...} F := {20,2,22,2,...} G := {7,8,9,...,20} n N Ø Ì Ð Ö ÚÓÒ m N Û ÒÒ m Nº ÁÒ ÏÓÖØ Ò Ë Ò m n ÞÛ Ò Ø ÖÐ Ð Ò n Ó Ø m Ò Ì Ð Ö ÚÓÒ n Û ÒÒ m ÙÖ n Ó Ò Ê Ø Ø Ð Ö Øºµ

21 ½ ÀÄ Æ Å Æ Æ ÃÇÇÊ ÁÆ Ì ÆË ËÌ Å ¾ ĵ ÌÇÌ Ä ¾Ä ËÌ ÌÌ ¾¼ Ä ÙÒ Ò Ù A = {,9,5,2,27,...} B = {9,8} µ C = {,6,9,2,...} D = {,2,,4,5,6,7} 9 = Ö ØÐ Ú ÓÒµ E := {2,,6,7,9} Ù ½¼ A = {H,I,N,O,S,X,Z} B = {A,H,I,M,O,T,V,W,X} Ù ½½ Ö Ø Ð µ Ö Ø Ð Ð Ù ½¾ A = {n N n ist Teiler von 2} Ó Ö A = {n N 2 n N} Ó Ö ÒÐ B = {n N n ist durch 2 teilbar, aber nicht durch 4 und n ist grosser als 2} Ó Ö B = {n N n 2 N n 4 N n > 2} Ó Ö ÒÐ µ C = {n N n 2 N n 4 N n > 2 n 8} Ó Ö ÒÐ D = {n N n ist Quadratzahl} Ó Ö D = {n N Es gibt ein m N, so dass n = m 2 } Ó Ö Ö ÙÒ ÙÒ ÛÓ ÒØ Ö Ñ Þ ÒØ Ø Òµ D = {n 2 n N} E = {n N n ist Zweierpotenz} Ó Ö E = {n N Es gibt ein m N, so dass 2 m = n} Ó Ö Ñ Þ ÒØ Ø Ò E = {2 n n N} F = {n N n 20} Ó Ö F = {n N n > 9} G = {n N 7 n 20} Ó Ö G = {n N 6 < n < 2}

22 ½ ÀÄ Æ Å Æ Æ ÃÇÇÊ ÁÆ Ì ÆË ËÌ Å ¾ ĵ ÌÇÌ Ä ¾Ä ËÌ ÌÌ ¾½ ½º¾º¾ Ì ÐÑ Ò Ò ¾Ä Á Ø Ð Ñ ÒØ Ö Å Ò A Ù Ò Ö Å Ò B ÒØ ÐØ Ò Ö Ø Ñ Ò A B A Ì ÐÑ Ò Bº Ò ÖÒ ÐÐ Ö Ø Ñ Ò A B A Ò Ø Ì ÐÑ Ò Bº Ô Ð ½ {,2,} {,2,,4} {,2,} {2,,4} µ{,2,} {,2,} Ð Ö Å Ò ÒØ ÐØ Ò Ð Ñ Òغ Ë Û Ö Ñ Ø Ó Ö Ñ Ø { } Þ Ò Øº ÐØ Ð Ö Å Ò Ø Ì ÐÑ Ò Ö Å Ò º Û Ð Ñ ÒØ Ò Ø Ü Ø Ö Ò Ò Ò Øº ÁÒ ÓÒ Ö Ò Ð Ñ ÒØ Ò Ö Ð Ò ÚÓÖ Ò Ò Å Ò º Ð Ó ÐØ A. Ô Ð ½ Ë Ö Ò Ë ÐÐ Ì ÐÑ Ò Ò Ö Å Ò {2,,5} Òº {2} {} {5} {2,} {2,5} {,5} {2,,5}

23 ½ ÀÄ Æ Å Æ Æ ÃÇÇÊ ÁÆ Ì ÆË ËÌ Å ¾ ĵ ÌÇÌ Ä ¾Ä ËÌ ÌÌ ¾¾ ÁÒØ ÖÚ ÐÐ ÁÒØ ÖÚ ÐÐ Ò Ô Þ ÐÐ Ì ÐÑ Ò Ò ÚÓÒ R Û Ð Ö Ù Ö Ù Ø Û Ö Ò Þº º Ö Ö ÙÒ ÚÓÒ ÙÒ Ø ÓÒ Ò º Ë Ñ Ø Öµº Ö a < b R Ò Ì ÐÑ Ò Ò [a,b] := {x R a x b} ]a,b] := {x R a < x b} [a,b[ := {x R a x < b} ]a,b[ := {x R a < x < b} ÚÓÒ R ÁÒØ ÖÚ ÐÐ º ÓÑ ØÖ Î Ö Ò ÙÐ ÙÒ Ù Ö Ð Ò Ö Ò a b R Ú Ö ÁÒØ Ö Ú ÐÐ ÓÖÑ Ò ÙÒØ Ö Ò ÒÙÖ Ò Ò Ò ÔÙÒ Ø Ò Ñ Ö Ø Ò ÁÒØ ÖÚ ÐÐ Ö Ò Ò Ò ÔÙÒ Ø a b ÞÙÑ ÁÒØ ÖÚ Ðк Ñ Ð ØÞØ Ò ÁÒØ ÖÚ ÐÐ Ö Ò Ò Ø ÞÙº Ñ ÞÛ Ø Ò ÁÒØ ÖÚ ÐÐ ÖØ Ö Ð Ò ÔÙÒ Ø Ò Ø ÞÙÑ ÁÒØ ÖÚ ÐÐ Ö Ö Ø Ö ÓÒº ÍÒ Ñ Ö ØØ Ò ÁÒØ ÖÚ ÐÐ Ø Ö ÙÑ Öغ Ò Ö ÒÒ Ñ Ò Ú Ö ÁÒØ ÖÚ ÐÐØÝÔ Ò Ò Ø ÙÒØ Ö Ò Û ÒÒ Ñ Ò Û Ò Ó Ö ÓÑ ØÖ Ö Î Ö Ò ÙÐ ÙÒ Þ Ò Øºµ Ô Ð ½ Ë Ò Þ ÙÒ Ò Û Ö Ó Ö Ð [,4] [,5] Û Ö [,4] ],4] Ð µ [ 4 5,π] [4 5,π] Û Ö Ó Ò Ò ÖØ Ò ÁÒØ ÖÚ ÐÐ Ò ÖÒ Ø ÁÒØ ÖÚ ÐÐ Û Ð Ò Ó Ò ÙÒ ÙÒØ Ò ÖÒ Ø Ò º Ï Ö Ò Ö Ò ØÞØ ÒÓ ÙÒ ÖÒ Ø ÁÒØ ÖÚ ÐÐ º

24 ½ ÀÄ Æ Å Æ Æ ÃÇÇÊ ÁÆ Ì ÆË ËÌ Å ¾ ĵ ÌÇÌ Ä ¾Ä ËÌ ÌÌ ¾ Ë a Rº Å Ò Ò ÖØ [a, [:= {x R a x} ]a, [:= {x R a < x} ],a] := {x R x a} ],a[:= {x R x < a} ], [:= R Å Ö Ò Ò ÙÒ Ø Ø Ø Ø Ò Ó Ò ÃÐ ÑÑ Ö º ÓÑ ØÖ Î Ö Ò ÙÐ ÙÒ Ù Ö Ð Ò Ö Ò Þº º [a, [ a [a, [ R Ô Ð ½ Ë Ò Þ ÙÒ Ò Û Ö Ó Ö Ð [,5] [, [ Û Ö ],4] ],5] Û Ö µ ] 2, [ [ 2, 4 5 ] Ð Å Ò ÒÒ Þ Ò ÙÒ Ò Ð Ò Ò º Ð ÒÒ Ò Ù Ò Ø ÞÙÑ ÁÒØ ÖÚ ÐÐ Ö Òº

25 ½ ÀÄ Æ Å Æ Æ ÃÇÇÊ ÁÆ Ì ÆË ËÌ Å ¾ ĵ ÌÇÌ Ä ¾Ä ËÌ ÌÌ ¾ Ù Ò Ì ÐÑ Ò Ò Ö Ù Ò Ð ØØ ÙÒ Ò Ø Ö Ò Û Ö Ò Ò Ò Ð Ò Ô Ð ÓÐ Ò ÖÞÙÒ Ò Ò Û Ð Ö Ñ ÔØ Ö Ò ÍÒØ ÖÖ Ø Ò Ñ Ö Ö Ù Ø Û Ö Ò Ô Ð V 8 := {n N n Ø Î Ð ÚÓÒ } = {8,6,24,2,40,...} T 8 := {n N n Ø Ì Ð Ö ÚÓÒ } = {,2,4,8} Ù ½ Ë Ò Ù Ò Û Ö Ó Ö Ð N N {7} N µ {0} N T 60 T 50 V 6 V 2 T 6 V 2 T 2 V 8 V 6 T 80 T 200 T 27 V Ù ½ Ë Ö Ò Ë ÐÐ Ì ÐÑ Ò Ò Ö Ò Ò Å Ò Òº A := B := {2} µ C := {2,} D := {2,,5} Ù ½ Ï Ú Ð Ì ÐÑ Ò Ò Ø Ò Å Ò Ñ Ø ¼ Ð Ñ ÒØ Ò ½ Ð Ñ ÒØ µ ¾ Ð Ñ ÒØ Ò Ð Ñ ÒØ Ò Ð Ñ ÒØ Ò Ð Ñ ÒØ Ò Ò Ð Ñ ÒØ Ò Ù ½ Ò Î Ø Ö Ø Ö Ã Ò Öº Ö ÒÒ ÐÐ Ò Ó Ö Ò Ð ØÙÒ ÚÓÒ Ò Ñ Ó Ö Ñ Ö Ö Ò Ã Ò ÖÒ Ô Þ Ö Ò Òº Ï Ú Ð Å Ð Ø Ò Ø Ö

26 ½ ÀÄ Æ Å Æ Æ ÃÇÇÊ ÁÆ Ì ÆË ËÌ Å ¾ ĵ ÌÇÌ Ä ¾Ä ËÌ ÌÌ ¾ Ä ÙÒ Ò Ù ½ Û Ö Û Ö µ Ð Ð Þº º Ø 4 T 60 Ö 4 T 50 µ Ð Þº º Ø 6 V 6 Ö 6 V 2 µ Ð Þº º Ø T 6 Ö V 2 µ Û Ö Ð Þº º Ø 8 V 8 Ö 8 V 6 µ Û Ö Þº º Ø T 80 Ö T 200 µ Ð Þº º Ø T 27 Ö V µ Ù ½,{2} µ,{2},{}{2,},{2},{},{5}{2,},{2,5},{,5}{2,,5} Ù ½ Ö Ø Ò Ä ÙÒ Ò µ ÒÒ Ñ Ò Ò Ù ½ Ð Òº ½ ¾ µ Å Ò Ö ÒÒØ ÒÞ Ð Û Ð Ú Ö ÓÔÔ Ðغ Ñ Ø Ö ÐØ Ñ Ò Ò Ø Ò ¾ Ä ÙÒ Ò ½ ¾ ÆÙÒ ÑÙ Ñ Ò Ú Ö Ù Ò Ð Ò ÓÐ Ð ÓÖÑ Ð ÖÞÙ Ø ÐÐ Ò 2 n Ù ½ Ø Ó Ú Ð Å Ð Ø Ò Û Ò Ö Ð Ñ ÒØ Å Ò Ì ÐÑ Ò Ò Øº Æ Ù ½ Ò 2 = 8 Å Ð Ø Òº

27 ½ ÀÄ Æ Å Æ Æ ÃÇÇÊ ÁÆ Ì ÆË ËÌ Å ¾ ĵ ÌÇÌ Ä ¾Ä ËÌ ÌÌ ¾ ½º¾º Å Ò ÒÓÔ Ö Ø ÓÒ Ò Ä ÒÐ Û Ð ÒÓÔ Ö Ø ÓÒ Ò Ø Þº º 5 = 2µ Ø Ù Å Ò ÒÓÔ Ö ¹ Ø ÓÒ Ò Þº º {,2,} {2,,4} = {2,} ÙÒØ Òµº ÚÓÖ Û Ö Å Ò ÒÓÔ Ö ¹ Ø ÓÒ Ò Ò Ö Ò Ö Ò Û Ö ÒÓ Ò Ö Ö ÖÙÒ Ñ Ò Ò Ö Ö Ö ÖÙÒ Ñ Ò ÐÐ Ç Ø Ò Ö Å Ò Ò Ð¹ ÙÒ Ö ÙÔØ Ò ØÖ Ø ÞÓ Ò Û Ö¹ Ò Ð Ò ÖÙÒ Ñ Ò º ÁÒ Ö Ö Ò Ò ÓÖÑ ÖÛ ÒØ Ñ Ò ÖÙÒ Ñ Ò Ù ÚÓÖ Ñ ¹ Ò ÙÒ ØÖ A := {x G...}º Ë Ö Û Ò Û Ö Ö Ö Ö Ø Ú ÖÛ Ò Øº Ö Ò Å Ò Ò Ø Ó Ø ÚÓÒ G Ô Ð A := {x N x 5}= {,4,5} Ò Ð Å Ò B := {x R x 5}= [,5] ÙÒ Ò Ð Å Ò Ò Ø ÓÒ Ö Å Ò ÒÓÔ Ö Ø ÓÒ Ò A B := {x G x A x B} Ø Ö ÙÖ Ò ØØ ÚÓÒ ÙÒ º A B A Ò ØØ Ò Ñ Ø B Ø Ø Ù Ò Ð Ñ ÒØ Ò ÓÛÓ Ð ÞÙ Ð Ù ÞÙ Ö Òº Ô Ð {,2,} {2,,4} = {2,} ½ ¾ A B := {x G x A x B} Ø Î Ö Ò ÙÒ ÚÓÒ ÙÒ º A B A Ú Ö Ò Ø Ñ Ø B Ø Ø Ù Ò Ð Ñ ÒØ Ò ÒØÛ Ö ÞÙ Ó Ö ÞÙ Ö Ò Ó Ö ÞÙ Ò Å Ò Ò Ö Òº

28 ½ ÀÄ Æ Å Æ Æ ÃÇÇÊ ÁÆ Ì ÆË ËÌ Å ¾ ĵ ÌÇÌ Ä ¾Ä ËÌ ÌÌ ¾ Ô Ð {,2,} {2,,4} = {,2,,4} ¾ ½ A \ B := {x G x A x B} Ø Ö ÒÞ ÚÓÒ ÙÒ º A\B A Ó Ò B Ø Ø Ù Ò Ð Ñ ÒØ Ò ÞÙ Ö Ò Ø ÞÙ Ö Òº Ô Ð {,2,}\{2,,4} = {} ½ ¾ A c := G \ A Ø ÃÓÑÔÐ Ñ ÒØ ÚÓÒ º A c A ÃÓÑÔÐ Ñ ÒØ Ø Ø Ù Ò Ð Ñ ÒØ Ò ÞÙ Ö Ò Ø ÞÙ Ö Òº Ô Ð G := N A := {,2,} A c = {4,5,6,7,...} ½ ººº ¾ Ô Ð ½ Ë Ö Ò Ë Å Ò Ð ÁÒØ ÖÚ ÐÐ [,00] ],7]= [,7]

29 ½ ÀÄ Æ Å Æ Æ ÃÇÇÊ ÁÆ Ì ÆË ËÌ Å ¾ ĵ ÌÇÌ Ä ¾Ä ËÌ ÌÌ ¾ Ù Ò Å Ò ÒÓÔ Ö Ø ÓÒ Ò Ö ÐÐ ÛÓ ÃÓÑÔÐ Ñ ÒØ A c µ ÚÓÖ ÓÑÑØ Ø Ù ÖÙÒ Ñ Ò G = R ÞÓ Òº Ù Ö Ò Ù ¾¼º Ù ½ Ò Ò ÁÒØ ÖÚ ÐÐ A = [2, [ B =],4] C = [ 5,5] D = [,0]º Ë Ö Ò Ë Å Ò Ð ÁÒØ ÖÚ ÐÐ Ó Ö Ð Î Ö Ò ÙÒ ÚÓÒ ÁÒØ Ö¹ Ú ÐÐ Òº A B A B µ (A\B) (D\B) D c A B C A c C c (B C) D D \(C \B) Ù ½ Ë Ö Ò Ë Å Ò Ñ Ð Ø Ò Ò Ñ Ø Ò ËÝÑ ÓÐ Ò N,Z,Q,R,R\Q, º Q R Q Z µ Z\R Q (R\Q) Q (R\Q) Z N Q c (R\Q) c Ù ½ ËØ ÐÐ Ò Ë Å Ò Ò Ö Ù Þ Ð Ò Ò ÓÖÑ Öº T 2 T 8 (T 2 \T 8 ) (T 8 \T 2 ) V V 9 µ T 0 \T 5 V 2 V 4 V 6 \V 9 Ù ¾¼ Ë Ö Ò Ë Ö Ù Ñ Ö ÖØ Å Ò Ð Å Ò ÒØ ÖÑ Ñ Ø Ò Å Ò Ò Ö Ò Ø ÙÒ Ò ÇÔ Ö Ø ÓÒ Þ Ò C \º µ ÁÒ Ò Ù Ò ÙÒ µ Ö Ò Ë ÞÛ Î Ö ÓÒ Ò Ò Ñ Ø Ñ ÃÓÑÔРѹ ÒØÞ Ò c ÙÒ Ò Ñ Ø Ñ Ç Ò ¹ Ò \º Ù ¾½ Î Ö Ò Ò Ë Ò Å Ò ÒØ ÖÑ Ó Û Ø Û Ñ Ð º Ì ÔÔ ¹ ÒÙÒ Ñ Òµ A A A (A\B) A (A B) ѵ (A B) (A\B) A A A\(A B) A (A B) Òµ (A B)\(A\B) µ A\A A\(B \A) (A B) (A\B) Óµ (A\B) (A B) A (A\B) A\(A\B) е (A B) (A\B) Ôµ (A\B)\(B \A)

30 ½ ÀÄ Æ Å Æ Æ ÃÇÇÊ ÁÆ Ì ÆË ËÌ Å ¾ ĵ ÌÇÌ Ä ¾Ä ËÌ ÌÌ ¾ Ä ÙÒ Ò Ù ½ A B = [2,4] A B = ], [ µ A\B =]4, [ D \ B =]4,0[ (A\B) (D \B) = ]4, [ D c = ],[ ]0, [ Ù ½ R R A B C = ], [ A c C c =],2[ (], 5[ ]5, [) = ], 5[ (B C) D = (],4[ [ 5,5]) [,0] = ],5] [,0] = [,5] D \ (C \ B) = [,0] \ ([ 5,5]\],4]) = [,0]\]4,5]= [,4] ]5,0] Z µ N R\Q Ù ½ Q T 2 T 8 = {,2,,4,6,2} {,2,,6,9,8}= {,2,,6} V V 9 = {,6,9,2,5,8,2,24,27,...} {9,8,27,...}= V = {,6,9,2,5,8,2,...} µ T 0 \T 5 = {,2,,5,6,0,5,0}\{,,5,5}= {2,6,0,0} (T 2 \T 8 ) (T 8 \T 2 ) = ({,2,,4,6,2}\{,2,,6,8,9,8}) ({,2,,6,9,8}\ {,2,,4,6,2})= {4,2} {9,8} = {4,9,2,8} V 2 V 4 = {2,4,6,8,0,2,4,6...} {4,8,2,6}= V 4 = {4,8,2,6,...} V 6 \V 9 = {6,2,8,24,0,6,42,48,54,60,66,72,78,84,90}\{9,8,27,6,45,54,6,72,8,90,...}= {6,2,24,0,42,48,60,66,78,84,...} Ù ¾¼ ½º Î Ö ÓÒ (A B)\C ¾º Î Ö ÓÒ (A B) C c (B C) c Ó Ö B c C c µ ½º Î Ö ÓÒ (A C)\B ¾º Î Ö ÓÒ (A C) B c (B C) A Ó Ö (B A) (C A) Ù ¾½ A A\B A B ѵ A A A Òµ B µ A A B Óµ A A B е A\B Ôµ A\B

31 ½ ÀÄ Æ Å Æ Æ ÃÇÇÊ ÁÆ Ì ÆË ËÌ Å ¾ ĵ ÌÇÌ Ä ¾Ä ËÌ ÌÌ ¼ ½º ½º º½ Ê Ò Ò Ñ Ø Ð Ò Äµ ÖÙ Ö Ò Ò ½Ä Ø ÓÒ ÙÒ ËÙ ØÖ Ø ÓÒ ÚÓÒ Ö Ò ÍÑ Ö Ö Ò Ó Ö Ù ØÖ Ö Ò ÞÙ ÒÒ Ò ÑÙ Ñ Ò Ó Ø ÞÙ Ö Ø Ð Ò Ñ Ñ Ò Ð Ó Ò Ò À ÙÔØÒ ÒÒ Ö Ò Òº Ô Ð Ë Ö Ò Ë Ð Ò Ò ÖÙ º 4 5= = 2 20 ÅÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ ÙÒ Ú ÓÒ ÚÓÒ Ö Ò Ö Û Ö Ò Ñ Ø Ò Ò Ö ÑÙÐØ ÔÐ Þ ÖØ Ò Ñ Ñ Ò Æ ÒÒ Ö Ñ Ø Ò Ò Ö ÑÙй Ø ÔÐ Þ ÖØ ÙÒ Ð Öº Ô Ð Ë Ö Ò Ë Ð Ò Ò ÖÙ º 4 5= = 6 20 = 0 ÙÖ Ò Ò ÖÙ Û Ö Ú ÖØ Ò Ñ Ñ Ò Ñ Ø Ñ Ã ÖÛ ÖØ ÖÙ ÑÙй Ø ÔÐ Þ Öغ Ô Ð Ë Ö Ò Ë Ð Ò Ò ÖÙ º 4 5= : = = 5 8 µ ÎÓÖÞ ÒÖ ÐÒ Ö Ú ÓÒ ÎÓÖÞ ÒÖ ÐÒ Ò Ò ÐÓ ÞÙÖ ÅÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ Ñ ÒÙ ÙÖ Ñ ÒÙ Ð ÔÐÙ Ù Ûº ( a) : ( b) = a : b ( a) : b = (a : b) a : ( b) = (a : b) Ô Ð Ë Ö Ò Ë Ð Ò Ò ÖÙ º Ó Ö Ð Ûº Ö Ö Ò a b a a b b = a b = a b = a b 4 5= ( : 2 4 ) : 2 5 = ( 4 : 2 5 ) = ( ) = 5 ÓÔÔ Ð Ö 4 2 = 5 8 a bc d := a b : c d

32 ½ ÀÄ Æ Å Æ Æ ÃÇÇÊ ÁÆ Ì ÆË ËÌ Å ¾ ĵ ÌÇÌ Ä ¾Ä ËÌ ÌÌ ½ Ô Ð Ô Ð ½ Ë Ö Ò Ë Ð Ò Ò ÖÙ º 4 2 = 42 = 4 : 2 = 4 2 = 8 Ô Ð ¾¼ Ë Ö Ò Ë Ð Ò Ò ÖÙ º = = = = 7 2 = 4

33 ½ ÀÄ Æ Å Æ Æ ÃÇÇÊ ÁÆ Ì ÆË ËÌ Å ¾ ĵ ÌÇÌ Ä ¾Ä ËÌ ÌÌ ¾ Ù Ò Ð Ò Ù ¾¾ Ë Ö Ò Ë Ð Ò Ò ÙÖ ÙÒ Ú Ö Ò Ò Ë Ó Û Ø Û Ñ ¹ Ð º µ е 2 (+ 2 ) 2(2 6 ) ѵ

34 ½ ÀÄ Æ Å Æ Æ ÃÇÇÊ ÁÆ Ì ÆË ËÌ Å ¾ ĵ ÌÇÌ Ä ¾Ä ËÌ ÌÌ Ä ÙÒ Ò Ù ¾¾ = = = = = = = = 6 50 = 25 µ = = = 8 4 = 8 4 = 8 4 = 2 8 = = = = = = = 5 7 = = = = = = = = 7 2 = 7 2 = 7 2 = 7 2 = = = = 2 9 = 2 9 = 6 9 = 2 = 6 5 = 6 5 = 6 5 = 2 5 = 2+ 0 = 2+ 0 = 2 0 = = = = = 29 2 = = = = = 8 2 = 2 е 2 (+ 2 ) = 2 2(2 ( ) = ) 2( ) 2 6 = = = = 9 ѵ = =

35 ½ ÀÄ Æ Å Æ Æ ÃÇÇÊ ÁÆ Ì ÆË ËÌ Å ¾ ĵ ÌÇÌ Ä ¾Ä ËÌ ÌÌ ½º º¾ Ö ØÖ ½Ä Ö ØÖ Ò Ö Ð a Ø Ò ÖØ Ð a := { a,falls a 0 a,falls a < 0 ÓÑ ØÖ ÁÒØ ÖÔÖ Ø Ø ÓÒ a Ø Ö Ø Ò ÞÛ Ò a ÙÒ 0 Ù Ö Ð Ò Ö º Ô Ð ¾½ Î Ö Ò Ò Ë Ó Û Ø Û Ñ Ð º = = µ ( ( ())) =

36 ½ ÀÄ Æ Å Æ Æ ÃÇÇÊ ÁÆ Ì ÆË ËÌ Å ¾ ĵ ÌÇÌ Ä ¾Ä ËÌ ÌÌ Ù Ò ØÖ Ù ¾ Î Ö Ò Ò Ë Ó Û Ø Û Ñ Ð º µ ( 5) ( 0.) ( 2) : Ù ¾ Ï ÒÒ Ñ Ò a b ÓÑ ØÖ ÒØ ÖÔÖ Ø Ö Ò ÐØ Ð ÙÒ a b = b a Ö ÐÐ Ö ÐÐ Òµ Ð Ò a b Ù ¾ ÐØ Ò Ð ÙÒ Ò Ö ÐÐ Ö ÐÐ Òµ Ð Ò a b Ë Ñ Ò Á Ö ÒØÛÓÖØ Ò Ø Û Ò ÓÒ ÖÒ Ë Ö Ò ÔÖ ÐÒºµ a+b = a + b a b = a b µ a b = a b a b = a b

37 ½ ÀÄ Æ Å Æ Æ ÃÇÇÊ ÁÆ Ì ÆË ËÌ Å ¾ ĵ ÌÇÌ Ä ¾Ä ËÌ ÌÌ Ä ÙÒ Ò Ù ¾ 5 2 = = 2 5 = = µ 6 6 = 0 = = = = =. 4 = 4 = = ( 5) 5 = ( 5) 5 = ( 0.) = (= 2 0 = 5 20 = 00 ) = 0.5 = 0.5 ( 2) : 0.5 = 2 : 0.5 = 2 : 2 = 2 2 = 2 2 = 4 5 = 5 = 5 Ù ¾ a b Ø Ö Ø Ò ÞÛ Ò a ÙÒ b  ٠¾ Ò Ò Ò Ò µ

38 ½ ÀÄ Æ Å Æ Æ ÃÇÇÊ ÁÆ Ì ÆË ËÌ Å ¾ ĵ ÌÇÌ Ä ¾Ä ËÌ ÌÌ ½º º ÈÓØ ÒÞ Ò Ñ Ø ÒÞ Ò ÜÔÓÒ ÒØ Ò ½Ä Ö a R ÙÒ n N Ò ÖØ Ñ Ò a n := a a a... a a := a a n Ø ÈÓØ ÒÞ a Ø ÙÒ n ÜÔÓÒ Òغ n ØÓÖ Òµ Ô Ð ¾¾ Ë Ö Ò Ë Ð ÒÞ Ðº ( 2) 4 = ( 2)( 2)( 2)( 2) = = = 6 Ö a R\{0} ÙÒ n N Ò Ö Ò Û Ö a n := a n a 0 := 0 0 := Ô Ð ¾ Ë Ö Ò Ë Ð Û ÒÐ Ò ÖÙ ÙÒ Ó Ò ÜÔÓÒ ÒØ Òº 2 = 2 = 8 ( 2) = ( 2) = 8 = 8

39 ½ ÀÄ Æ Å Æ Æ ÃÇÇÊ ÁÆ Ì ÆË ËÌ Å ¾ ĵ ÌÇÌ Ä ¾Ä ËÌ ÌÌ Ù Ò ÈÓØ ÒÞ Ò Ñ Ø ÒÞ Ò ÜÔÓÒ ÒØ Ò Ù ¾ Ë Ö Ò Ë Ð Û ÒÐ Ò ÖÙ ÙÒ Ó Ò ÜÔÓÒ ÒØ Ò Ó Ö ÐÐ Ñ Ð Ð ÒÞ Ðº ( 2) 2 µ ( 2) ( 2) ( 2) ( 2) е 0 ѵ 0 Òµ 0 Óµ 27 0 Ôµ π 0 Õµ ( 2) 0 Öµ 0 27 µ ( 27) 0

40 ½ ÀÄ Æ Å Æ Æ ÃÇÇÊ ÁÆ Ì ÆË ËÌ Å ¾ ĵ ÌÇÌ Ä ¾Ä ËÌ ÌÌ Ä ÙÒ Ò Ù ¾ ( 2) = ( )( )( ) = 8 2 = = 8 µ ( 2) = ( 8) = 8 ( 2) 4 = = 2 2 = 4 ( 2) 2 = ( 2) 2 = = 2 2 = 4 ( 2) = ( 2) = 8 = = 2 5 = = 2 = 9 = = Â Ð Ó ÒÙÐÐ Ø ½µ е 0 = 0 = 0 Ø Ò Ø Ò ÖØ Ú ÓÒ ÙÖ ÒÙÐÐ Ò Ø Ò ÖØ Øº ѵ 0 = 0 Òµ 0 = Ö Ò ÙÒ Û Ò µ Óµ 27 0 = Ö Ò ÙÒ Û Ò µ Ôµ π 0 = Ö Ò ÙÒ Û Ò µ Õµ ( 2) 0 = Ö Ò ÙÒ Û Ò µ Öµ 0 27 = 0 µ ( 27) 0 = Ö Ò ÙÒ Û Ò µ

41 ½ ÀÄ Æ Å Æ Æ ÃÇÇÊ ÁÆ Ì ÆË ËÌ Å ¾ ĵ ÌÇÌ Ä ¾Ä ËÌ ÌÌ ¼ ½º º ÈÓØ ÒÞ ØÞ ¾Ä Ö a,b R ÙÒ m,n Z ÐØ Ò ÓÐ Ò Ò ÈÓØ ÒÞ ØÞ Ð Ð Ö ÜÔÓÒ ÒØ ÈÓØ ÒÞ Ö Ò Ò Ö ÈÓØ ÒÞ Ô Ð ¾ Ë Ö Ò Ë Ð Ò Ø ÖРк = = 5 2 = 25 a m an = a m+n a m a n = a m n (a 0) a n bn = (ab) n a n b n = ( a b )n (b 0) (a m ) n = a m n = 0 6 = ( 0 6 ) = 5 = 25 Ù Ö Ò Ø ÓÒ a n := a n ÙÒ Ñ Ú ÖØ Ò ÈÓØ ÒÞ ØÞ ÓÐ Ø n Z ( a b ) n = ( b a )n Û ( a b ) n = ( a b )n = a n b n = bn a n = ( b a )n Ô Ð ¾ ËØ ÐÐ Ò Ë Ð Û ÒÐ Ò ÖÙ Ö Ó Ö ÐÐ Ñ Ð Ð ÒÞ Ðº (0.2) = ( 2 0 ) = ( 5 ) = 5 = 25

42 ½ ÀÄ Æ Å Æ Æ ÃÇÇÊ ÁÆ Ì ÆË ËÌ Å ¾ ĵ ÌÇÌ Ä ¾Ä ËÌ ÌÌ ½ Ù Ò ÈÓØ ÒÞ ØÞ Ù ¾ Ë Ö Ò Ë Ð Û ÒÐ Ò ÖÙ Ó Ö ÐÐ Ñ Ð Ð ÒÞ Ð Ó Ö Ð ÈÓØ ÒÞ Ñ Ø ÒÞ Ö ÙÒ ÒÞ Ñ ÜÔÓÒ ÒØ Òµº µ ( 49) 7 0 : ( 5 ) : ( 2 4 ) ( 4) ( ) 5 : ( 2 ) е ( 8) 5 (2 4 ) 4 Ù ¾ Ë Ö Ò Ë Ð Ò ÈÓØ ÒÞ ÙÒ Ñ Ð Ø Ò º ( 8) 4 : ( 8) 0 µ ( 2) ( ) ( 4) ( 2 )( ) : 2 Ù ¾ È Ö Ñ Ø Öµ Ë Ö Ò Ë Ð Ò ÈÓØ ÒÞ ÙÒ Ñ Ð Ø Ò º 2 n n 5 n n + n + n µ ( 0) 2n : ( 2 2n ) 4 k ( 2 )k ( ) k Ù ¼ Ë Ö Ò Ë Ð Û ÒÐ Ò ÖÙ Ó Ö ÐÐ Ñ Ð Ð ÒÞ Ðº µ ( 0.25) (2 + ) ( ) 2 Ù ½ È Ö Ñ Ø Öµ Ë Ö Ò Ë Ð Ò ÈÓØ ÒÞ Ö Ò Ò Ñ ¹ Ð Ø Ð Ò Ò Ø ÖРРغ µ

43 ½ ÀÄ Æ Å Æ Æ ÃÇÇÊ ÁÆ Ì ÆË ËÌ Å ¾ ĵ ÌÇÌ Ä ¾Ä ËÌ ÌÌ ¾ Ä ÙÒ Ò Ù ¾ = (2 5) 4 = 0 4 = = ( )9 = ( 8 8 ) 9 = 0 9 = µ = ( 4 6 )4 = 2 4 = 6 ( 49) 7 0 : 7 4 = = = = = = = = 7 8 ( 5 ) : ( 2 4 ) = 2 2 = 2 2 = 4 = = (2 ) 7 ( ) = 4 9 = 5 = 24 ( 4) = = ( )2 = ( 6 8 )2 = 2 2 = 4 ( ) 5 : ( 2 ) 6 = 5 2 = = = 2 5 (2 ) 4 = = 2 е ( 8) 5 (2 4 ) 4 = = (2 ) = = 2 = 2 Ù ¾ = ( 4 5 )4 = ( 2 5 )4 ( 8) 4 : ( 8) 0 = 8 4 : 8 0 = 8 6 µ = = ( 5 )5 ( 2) ( ) ( 4) 0 = (( 2)( )) = = = 2 ( 2 )( ) : 2 = 2 ( ) 2 = 2 2 = 7 Ù ¾ 2 n n 5 n = 2n n 5 n = ( 2 5)n = ( 0 )n n + n + n = n = n+ µ ( 0) 2n : ( 2 2n ) = 0 2n : ( 2 2n ) = 02n 2 2n = 02n 2 2n = ( 0 2 )2n = 5 2n 4 k ( 2 )k ( ) k = 4k 2 k k = ( 4 2 )k = 6 k Ù ¼ = = ( 4 )2 = 6 = = 0. 4 = ( 0 )4 = 4 = = µ ( 0.25) = ( 0.25) = 0.25 = 0.25 = ( 8 ) = 8 = 8

44 ½ ÀÄ Æ Å Æ Æ ÃÇÇÊ ÁÆ Ì ÆË ËÌ Å ¾ ĵ ÌÇÌ Ä ¾Ä ËÌ ÌÌ 0.75 = 0.75 = = = 4 ( 4 ) = =.5 4 = ( 2 )4 = 4 = = (2 + ) = ( 2 + ) = ( 5 6 ) = 5 6 = 6 5 ( ) 2 = ( 4 8 ) 2 = ( 5 8 ) 2 = ( 5 8 )2 = 5 2 = = Ù ½ ÎÓÖ Ò Ù Ö Ø Ð Û ÒÐ Ò ÖÙ Ö Ò ÒÒ ÖÞ Ò ÒÒ Ò Æ ÒÒ Ö Ò ÈÖ Ñ ØÓÖ Ò Þ ÖÐ Òº ÈÖ Ñ ØÓÖÞ ÖÐ ÙÒ ÒÙÖ Ò Ò Ù Ò ÙÒ Ñ Ø Ò Ò Ò ÖÒ Ù Ò Ø Ñ Ò ÈÓØ ÒÞ Ò ÚÓÒ Ù ºµ 8 = 2 = = = 0 4 = 0 4 µ 8 = 4 = = = 4 = 2 2 = = 5 4 = = = 6 = 2 4 = = = (2 ) = 6 = = = 25 = = 5 = 5

45 ½ ÀÄ Æ Å Æ Æ ÃÇÇÊ ÁÆ Ì ÆË ËÌ Å ¾ ĵ ÌÇÌ Ä ¾Ä ËÌ ÌÌ ½º º Ï Ò ØÐ Ö Ø ÐÐÙÒ ÚÓÒ Ð Ò ½Ä Ö Ö ÖÓ ÙÒ Ö Ð Ò Ð Ò Ø Û Ò ØÐ Ö Ø ÐÐÙÒ ÚÓÒ Ð Ò Ö ØÐ Ö ÙÒ Ö Ë Ö Ù Û Ò Ó Ø Ð Ò Öº Ô Ð Å Ö Ö Ø ØÛ m = kg ÆÓÖÑ Ð ÓÖѵ ¾ ÖÒ Ò Ö º m = kg Û Ò ØÐ ÓÖѵ Ô Ð Ö ÙÖ Ñ Ö Ï Ö ØÓ ØÓÑ Ø ØÛ d = mm ÆÓÖÑ Ð ÓÖѵ Ø º Ö Ò Þ Ñ ÐÔÙÒ Øµº d = mm Û Ò ØÐ ÓÖѵ Û Ò ØÐ Ö Ø ÐÐÙÒ Ò Ö Ð Ø ÓÖÑ a 0 n, ÛÓ n Z ÙÒ a Ò Þ Ñ Ð ÖÙ Ø Ö Ð Ò ÚÓÑ Þ Ñ ÐÔÙÒ Ø ÒÙÖ Ò Ö Øº Ô Ð ÆÓÖÑ Ð ÓÖÑ Ï Ò ØÐ ÓÖÑ ½ ½¾ ¼¼ ¼¼¼ ¼º¼¼ ¾ Ô Ð ¾ Ë Ö Ò Ë Ò Ö Û Ð Ò Ö Ò ÓÖѺ = = µ = Ó ØÙÒ Ö ÜÔÓÒ ÒØ n Ø Ò ÙÑ Û Ú Ð ËØ ÐÐ Ò Ö Þ Ñ ÐÔÙÒ Ø Ñ Ö Ò ÚÓÒ Ö Û Ò ØÐ Ò ÓÖÑ Ò ÆÓÖÑ Ð ÓÖÑ Ò Ð Ò Ò ¹ Ø Ú Ö ÜÔÓÒ Òص Ó Ö Ò Ö Ø ÔÓ Ø Ú Ö ÜÔÓÒ Òص Ú Ö Ó Ò Û Ö º

46 ½ ÀÄ Æ Å Æ Æ ÃÇÇÊ ÁÆ Ì ÆË ËÌ Å ¾ ĵ ÌÇÌ Ä ¾Ä ËÌ ÌÌ Ù Ò ÆÓÖÑ Ð ÓÖÑ ÙÒ Û Ò ØÐ ÓÖÑ ÚÓÒ Ð Ò Ù ¾ Ë Ö Ò Ë Ð Ò Ö Ö ÆÓÖÑ Ð ÓÖѺ µ Ù Ë Ö Ò Ë Ð Ò Ö Ö Û Ò ØÐ Ö ÓÖѺ µ Ù Ë Ö Ò Ë Ò Ö Û Ð Ò Ö Ò ÓÖѺ µ

47 ½ ÀÄ Æ Å Æ Æ ÃÇÇÊ ÁÆ Ì ÆË ËÌ Å ¾ ĵ ÌÇÌ Ä ¾Ä ËÌ ÌÌ Ä ÙÒ Ò Ù ¾ = = 50 µ = = = = = = Ù = = µ = = Ù 0 6 = = µ 0 5 = = = = = =

48 ½ ÀÄ Æ Å Æ Æ ÃÇÇÊ ÁÆ Ì ÆË ËÌ Å ¾ ĵ ÌÇÌ Ä ¾Ä ËÌ ÌÌ ½º º ÉÙ Ö Ø¹µÏÙÖÞ Ð ½Ä ÏÙÖÞ Ð ÚÓÒa Ø Ò Ò Ø Ò Ø Ú Ð Ö Ò ÉÙ Ö Ø a غ Ë Û Ö Ñ Ø a Þ Ò Øº Ô Ð ¾ Ö Ò Ò Ë ÏÙÖÞ Ðº 9 = ÒÒ 2 = = 4 ÒÒ ( 4 )2 = 9 6 µ = Ìʵ Ì Ø (.72...) 2 = 4 Ø Ò Ø Ò Öغ Ô Ð ¾ Á Ø Ð ÙÒ 9 = Ö Ø Æ Ò 9 = Ï Ø Ö ÏÙÖÞ Ð a ÐØ Ø Ø a 0 ÙÒ a 0º º º ÓÛÓ Ð Ð Ù Ö Ñ Ò ÏÙÖÞ Ð Þ Ø Ð Ù Ö Ò Ò Ö Ö Ó Ö Ð ¼º ÐØ Ò ÓÐ Ò Ò Ê Ò ØÞ Ö ÅÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ ÙÒ Ú ÓÒ a b = a b ab = a b Ô Ð ¾ Î Ö Ò Ò Ë Ó Ò Ê Ò Öº 7 2 = 7 7 = = 7 = 2 = = = 4

49 ½ ÀÄ Æ Å Æ Æ ÃÇÇÊ ÁÆ Ì ÆË ËÌ Å ¾ ĵ ÌÇÌ Ä ¾Ä ËÌ ÌÌ Ù Ò ÏÙÖÞ Ð ÐÐ Ù Ò Ò Ó Ò Ì ÒÖ Ò Ö ÞÙ Ð Òº Ù Î Ö Ò Ò Ë Ó Û Ø Û Ñ Ð º ( 5) µ ( ) 5 ( 2) 6 ( ) 5( 20+ 5) 6( + 2 ) : Ò Ù Ï Ð Ð ÙÒ Ò Ò Ö Ø ÙÒ Û Ð Ð 9 = 9 = µ 9 = ( 4) 2 = = = = = = 5 5 = 5 Ù ÐØ Ò ÓÐ Ò Ò Ð ÙÒ Ò Ö ÐÐ Ö ÐÐ Òµ Ð Ò a b Ë Ñ Ò ÒØÛÓÖØ Ò Ø Û Ò ÓÒ ÖÒ ÒÙÖ ÙÖ ÈÖ ÐÒ Ò Òºµ a+b = a+ b a b = a b Ù Ö Ò Ò Ë ÏÙÖÞ Ð ÙÒ Ø ÐÐ Ò Ë Ê ÙÐØ Ø ÛÙÖÞ Ð Ö Öº µ 0.04 ( 99) Ê ÙÐØ Ø ÓÐÐ Ó Û Ò ËÝÑÓ ÓÐ Û Ñ Ð ÒØ ÐØ Ò

50 ½ ÀÄ Æ Å Æ Æ ÃÇÇÊ ÁÆ Ì ÆË ËÌ Å ¾ ĵ ÌÇÌ Ä ¾Ä ËÌ ÌÌ Ù = Ä ÙÒ Ò ( 5) = 5 5 µ ( ) 5 = 9 ( 2) 6 = 8 ( ) = Ù ÑÙÐØ ÔÐ Þ Öص 5( 20+ 5) = = 0+5 = 5 Ù ÑÙÐØ ÔÐ Þ Öص 6( + 2 ) = 2+ Ù ÑÙÐØ ÔÐ Þ Öص = ( 2 2)( 2+2) = = 4 45 : 5 = 45 : 5 = 9 = = = 08 = Ù = 2 2 = 2 2 = 2 = = 8 9 Ð µ Û Û Û Öµ Û Û Ù Ò Ò Ù Ò Ò Ù Ù 400 = = 00 = = 0 =. µ = 00 = 4 00 = 2 0 = 0.2 ( 99) 2 = 99 2 = = = = 8 (0 50 ) 2 = = 00 = = 7 0 = = = = 69 (0 2 ) 2 = 0 2 = = = = 8 (0 49 ) 2 =

51 ½ ÀÄ Æ Å Æ Æ ÃÇÇÊ ÁÆ Ì ÆË ËÌ Å ¾ ĵ ÌÇÌ Ä ¾Ä ËÌ ÌÌ ¼ ½º º ÆÓÖÑ Ð ÓÖÑ Ò ÏÙÖÞ ÐØ ÖÑ Ä ÆÓÖÑ Ð ÓÖÑ Ò ÏÙÖÞ ÐØ ÖÑ Ø Ò Ö Ø ÐÐÙÒ q 0 +q n +q 2 n Ñ Ø q 0,q,q 2,... Q ÙÒ n,n 2,n,... N ÛÓ ÐÐ Ê Ò Ò n i ÕÙ Ö Ø Ö ÙÒ ÚÓÒ Ò Ò Ö Ú Ö Ò Ò º Ô Ð q 0 = 2 q = q 2 = 8 q = 2 5 n = 5 n 2 = 0 n = 7 Ñ Ö ÙÒ Ö ÏÙÖÞ Ð Ö Ì ÖÑ q 0 Ñ Ó Ò Ô Ð Ø q 0 = 2 µ Ö Ù ¼ Òº Ò Ô Ð Ø Ò Ø ÕÙ Ö Ø Ö Ò Ö ÈÖ Ñ¹ ØÓÖÞ ÖÐ ÙÒ 2 = 2 2 Ö ØÓÖ 2 Ñ ÉÙ Ö Ø ÚÓÖ ÓÑÑغ Å Ò Ñ Ø Ò ÚÓÖ ÏÙÖÞ Ð Þ Ò = = Ò Ô Ð Ê Ò Ò Ò Ò Ø ÐÐ Ú Ö ¹ Òº ¹Ì ÖÑ Ñ Ø Ñ Ò ÞÙ ÑÑ Ò ¹ Ò =

52 ½ ÀÄ Æ Å Æ Æ ÃÇÇÊ ÁÆ Ì ÆË ËÌ Å ¾ ĵ ÌÇÌ Ä ¾Ä ËÌ ÌÌ ½ ÙÑ ÎÓÖ Ò ÒØ ÐØ Ö Æ ÒÒ Ö ÏÙÖÞ ÐØ ÖÑ ÏÙÖÞ ÐÒ Ø Ñ Ò Ù Ñ Æ ÒÒ Öº Ô Ð ¼ = ( 2 5) = ( 2 2 5) 5 5 = = = Ç Ø ÑÙ Ñ Ò Ñ Ø Ö ÒÓÑ Ò ÓÖÑ Ð (a + b)(a b) = a 2 b 2 Ò Ò ÌÖ ÒÛ Ò Ò ÙÑ Ò Æ ÒÒ Ö ÛÙÖÞ Ð Ö ÞÙ ÓÑÑ Ò Ô Ð ½ 2+ 5 = 2 5 ( 2+ 5)( 2 5) = = 2 5 = 5 2 = 5 2

53 ½ ÀÄ Æ Å Æ Æ ÃÇÇÊ ÁÆ Ì ÆË ËÌ Å ¾ ĵ ÌÇÌ Ä ¾Ä ËÌ ÌÌ ¾ Ù Ò ÆÓÖÑ Ð ÓÖÑ Ò ÏÙÖÞ ÐØ ÖÑ Ù Ò Ò Ó Ò Ì ÒÖ Ò Ö ÞÙ Ð Òº Ù Ö Ò Ò Ë Ò ÏÙÖÞ ÐØ ÖÑ Ù Ò ÆÓÖÑ Ð ÓÖѺ µ е ѵ 2

54 ½ ÀÄ Æ Å Æ Æ ÃÇÇÊ ÁÆ Ì ÆË ËÌ Å ¾ ĵ ÌÇÌ Ä ¾Ä ËÌ ÌÌ Ù Ä ÙÒ Ò 8 = = = = 2 4 = = ( 6 2) = = = µ 2+ = 2 ( 2+ )( 2 = 2 ) 2 = = ( 5) 2 5 (+ 5)( = ) 5 = = 2 = 2 = 6 = = (2 2 5) 5 (2 2+ 5)(2 2 = ) 2 = 2 = 2 = = 2 2 = = 0. = 5 00 = 5 0 = 00 = 5 0 = 0 5 = ( 2 ) = 2 4 = = = = 2 0 = = 0 0 = 0 0 = = = = = = = ( + 6) ( 6 2) = ( ) = = е = = = ( ) ( ) (+ )( ) = = = 6 2 = ѵ = (+ = 2) ( 2)(+ 2) = = + 2 = +(+ 2) = 2+ 2

55 ½ ÀÄ Æ Å Æ Æ ÃÇÇÊ ÁÆ Ì ÆË ËÌ Å ¾ ĵ ÌÇÌ Ä ¾Ä ËÌ ÌÌ ½º ÃÓÓÖ Ò Ø Ò Ý Ø Ñ Äµ ÃÓÓÖ Ò Ø Ò Ý Ø Ñ Ø Ø Ù Ò Ö Û Ö Ø Ò ÙÒ Ò Ö Ò Ö Ø Ò ¹ Ð Ò Ö Ò Û Ð ¼ Ò Òº y ¾ P( 2) ½ ¹ ¹ ¹ ¹¾ ¹½ ¹½ Ç ½ ¾ x ¹¾ ¹ ¹ ¹ Þ ÙÒ Ò Ò Ð Ò Ö Ò Ò ÃÓÓÖ Ò Ø Ò Òº Û Ö Ø ¹ Ð Ò Ö Ø x¹ ÞÙ Ò Ö Ø y¹ º Ö Ë Ò ØØÔÙÒ Ø Ö Ò ÃÓÓÖ Ò Ø Ò Ò Ø ÍÖ ÔÖÙÒ ÃÓÓÖ ¹ Ò Ø Ò Ý Ø Ñ ÙÒ Û Ö Ñ Ø Ñ ÖÓ Ù Ø Ò Ç Ð Ø ÓÖ Óµ Þ Ò Øº µ Å Ø Ð ÃÓÓÖ Ò Ø Ò Ý Ø Ñ ÒÒ Ò ÇÖØ Ò Ò Ñ ØØ Ð ÞÛ Ö Ð Ò Ñ Ø Û Ö Ò Ô Ð Û Ø Ö ÈÙÒ Ø P( 2) x¹ãóóö Ò Ø ÙÒ y¹ãóóö Ò Ø ¾ к Ö Ò ÍÖ ÔÖÙÒ ÐØ O(0 0)º

56 ½ ÀÄ Æ Å Æ Æ ÃÇÇÊ ÁÆ Ì ÆË ËÌ Å ¾ ĵ ÌÇÌ Ä ¾Ä ËÌ ÌÌ Ô Ð ¾ Å Ö Ö Ò Ë ÈÙÒ ØÑ Ò x = 2º x = 2 Ø ÖÞØ Ë Ö Û Ö Å Ò {P(x y) x = 2}ºµ

57 ½ ÀÄ Æ Å Æ Æ ÃÇÇÊ ÁÆ Ì ÆË ËÌ Å ¾ ĵ ÌÇÌ Ä ¾Ä ËÌ ÌÌ Ù Ò ÃÓÓÖ Ò Ø Ò Ý Ø Ñ Ù ¼ Ò Ò Ë Ò ÃÓÓÖ Ò Ø Ò Ý Ø Ñ ÙÒ Ñ Ö Ö Ò Ë ÈÙÒ Ø¹ Ñ Ò º ½ Ò Ø ½ ÀÙ Òµ y = x > 2 µ y = x y 4 y = x+ y = 2x Ù ½ Ò Ë Ð ÙÒ Ó Ö ÍÒ Ð ÙÒ Ö ÈÙÒ ØÑ Ò Òº µ

58 ½ ÀÄ Æ Å Æ Æ ÃÇÇÊ ÁÆ Ì ÆË ËÌ Å ¾ ĵ ÌÇÌ Ä ¾Ä ËÌ ÌÌ Ä ÙÒ Ò Ù ¼ y 5 y x x µ y 5 y x x y 5 y x x Ù ½ y = 2 y = x µ x > 2 Ó Ö x 2 y < Ó Ö y y = x y = x

59 ¾ Ì ÊŠĵ ¾ ¾º½ Ì ÖÑ Äµ Ò Ø ÓÒ Ì ÖÑ Ì ÖÑ Ø Ò Ò Ö ÏÓÖØ Ö Ù ¹ ÖÙ º Ô Ð ¾º¾ a b 2 a x y z 7 Ö Ï ÖØ Ò Ì ÖÑ ½Ä Å Ø T(a) T(a,b) T(a,b,c) ººº ¹ Þ Ò Ø Ñ Ò Ò Ò Ì ÖÑ Ö Î Ö Ð Ò a ÞÛº a,b ÞÛº a,b,c ººº ÒØ Ðغ Ô Ð T(a) = a T(a,b) = b 2 a T(x,y,z) = x y z Ë ØÞØ Ñ Ò Ö Î Ö Ð Ò Ò Ì ÖÑ Ð Ò Ò Ó Ö ÐØ Ñ Ò Ò Ï ÖØ Ì ÖÑ Ö Ð Òº Ô Ð Ò Ø Ö Ì ÖÑ T(a,b) = ab 2 2 a. Ö Ò Ò Ë Ò Ò Ï ÖØ Ö a = 2 b = 5º T(2, 5) = 2 ( 5) = = 50 4 = 46

60 ¾ Ì ÊŠĵ Ù Ò ½ Ö Ï ÖØ Ò Ì ÖÑ Ç Ò Ì ÒÖ Ò Ö Ù ¾ Ö Ò Ò Ë Ï ÖØ T(2) T( 2) T(0) Ì ÖÑ º T(x) = 2x 2 x 5 T(x) = 2x 2 +x+5 µ T(x) = ( x) 2 (x 5) Ù Ö Ò Ò Ë ÚÓÒ Ò Ì ÖÑ Ò T(x,y,z) = xy 2 z T(x,y,z) = x y 2 z ÙÒ T(x,y,z) = ( xy) z Ò Ï Öغ T(2,,5) T( 2, 2, 4 ) µ T( 2, 0,) Ù Ö Ò Ò Ë Ï ÖØ T(80,4,2) T(60, 5,2) ÙÒ T(0,5, 5 ) Ì ÖÑ º T(d,e,f) = de f T(d,e,f) = e df Ù Ö Ò Ò Ë Ï ÖØ T( 4,) ÙÒ T( 5, 8) Ì ÖÑ º T(a,b) = 5 a 7 b T(a,b) = (b 2 a ) µ T(a,b) = a 2 +b 2

61 ¾ Ì ÊŠĵ ¼ Ä ÙÒ Ò ½ Ù ¾ T(2) = = = T( 2) = 2 ( 2) 2 ( 2) 5 = = 9 T(0) = = = 65 T(2) = = = T( 2) = 2 ( 2) 2 ( 2)+5 = = 9 T(0) = = = 65 µ T(2) = ( 2) 2 ( 2 5) = ( 6) 2 (6 5) = 6 = 5 T( 2) = ( ( 2)) 2 ( ( 2) 5) = 6 2 ( 6 5) = 6 ( ) = 6+ = 47 T(0) = ( 0) 2 ( 0 5) = ( 0) 2 (0 5) = = 875 Ù T(2,,5) = = = 90 T(2,,5) = = = 080 T(2,,5) = ( 2 ) 5 = ( 8) 5 = = 2960 Ñ Ñµ T(, 2, ) = (2 )2 = 4 4 = T(, 2, ) = 2 4 ( 2 ) ( 2 )2 = 4 ( ) 4 = 4 = T(, 2, ) = 2 4 ( ( ) 2 2 ) = ( ) = 4 = 4 4 µ T( 2, 0,) = 2 ( 0) 2 = 2 00 = 200 T( 2, 0,) = ( 2) ( 0) 2 = ( 8) 00 = = 2400 T( 2, 0,) = ( ( 2) ( 0)) = ( 60) = Ù T(80,4,2) = = 60 T(60, 5,2) = 60 ( 5) = 5 ( 5) = 25 2 T(0,5, ) = 0 5 = = T(80,4,2) = 4 = T(60, 5,2) = 5 = = T(0,5, ) = 5 = 5 = 5 0 ( 5 ) Ù T( 4,) = = = 20 2 = 4 T( 5, 8) = = = = T( 4,) = ( 4 ) = ( 4) = ( 6) = ( ) = 2 2 T( 5, 8) = ( ) = ( 8 2 5) = ( ) = ( ) = 6 2 µ T( 4,) = ( 4) = 6+9 = 25 = 5 T( 5, 8) = ( 5) 2 +( 8) 2 = = 289 = 7

62 ¾ Ì ÊŠĵ ½ ¾º Ì ÖÑÙÑ ÓÖÑÙÒ Ò Ì ÖÑ Û Ö Ò Û Ö Ñ Ø Ò ÙÑ ÓÖÑ Ò ÙÑ ÞÙ Ú Ö Ò Òº ¾º º½ ËÙÑÑ Ò ÙÒ Ö ÒÞ Ò ½Ä ÞÙ Ú ÖÛ Ò Ò Û Ö Ùº º ÓÐ Ò ÃÐ ÑÑ ÖÖ ÐÒ a+(b+c d) = a+b+c d a (b+c d) = a b c+d ÁÒ ÏÓÖØ Ò ËØ Ø Ò + ÚÓÖ Ö ÃÐ ÑÑ Ö Ó ÒÒ Ñ Ò Ò Û Ð Òº ËØ Ø Ò ÚÓÖ Ö ÃÐ ÑÑ Ö Ó Ò ÖÒ ÐÐ ÎÓÖÞ Ò Ò Ö ÃÐ ÑÑ Ö Û ÒÒ Ñ Ò Û Ð Øº Ë Ð Ð ÒÓ Ò ÖÞ Ò Ë Ö Û n a := a+a+...+a }{{} nsummanden Ô Ð Î Ö Ò Ò Ë Ò Ì ÖÑ g+g+g h h h+f+f= g+g+g (h+h+h)+f+f = g h+2f Ô Ð Î Ö Ò Ò Ë Ò Ì ÖÑ 9a (4b a)= 9a 4b+a = 2a 4b

63 ¾ Ì ÊŠĵ ¾ Ù Ò ¾ ËÙÑÑ Ò ÙÒ Ö ÒÞ Ò Ù Î Ö Ò Ò Ë Ò Ì ÖÑ Ó Û Ø Û Ñ Ð º a+a+a+b+b p+p+p q q q +r p p p p q µ x+2y +7x 9x 0y 2y 40p+5q 20p+6q 20p q Ù Î Ö Ò Ò Ë Ò Ì ÖÑ Ó Û Ø Û Ñ Ð º 5b+(76b+24b) b (5b+c) µ 5x+9y +( 4y+x) 5a+( a) 5b ( a 0b) 20a [6a (2a+b)] 2p 4q (6p 4q) [(p+4q) (2p+9q)] 5t [(t 6u) v] [5u (20t+4v)] 7m 5n [5m (n n) (2m+n) 5n] 6x y (x y)+(4x ) (x+y)

64 ¾ Ì ÊŠĵ Ù a+a+a+b+b = a+2b Ä ÙÒ Ò ¾ p+p+p q q q+r p p p p q= p (q+q+q)+r (p+p+p+p) q= p q +r 4p q = p 4q +r µ x+2y +7x 9x 0y 2y = 29x 40p+5q 20p+6q 20p q = 20q Ù 5b+(76b+24b) = 5b+76b+24b = 5b b (5b+c) = b 5b c = 8b c µ 5x+9y +( 4y+x) = 5x+9y 4y+x = 6x+5y 5a+( a) = 5a a = 2a 5b ( a 0b) = 5b+a+0b = a+25b 20a [6a (2a+b)] = 20a [6a 2a b] = 20a 6a+2a+b = 6a+b 2p 4q (6p 4q) [(p+4q) (2p+9q)]= 2p 4q 6p+4q [p+4q 2p 9q]= 6p p 4q +2p+9q = 5p+5q 5t [(t 6u) v] [5u (20t+4v)] = 5t [t 6u v] [5u 20t 4v] = 5t t+6u+v 5u+20t+4v = 2t+u+5v 7m 5n [5m (n n) (2m+n) 5n]= 7m 5n [5m n+n 2m n 5n]= 7m 5n [m 8n] = 7m 5n m+8n = 4m+n 6x y (x y)+(4x ) (x+y) = 6x y x+y+4x x y = 6x y

65 ¾ Ì ÊŠĵ ¾º º¾ ÈÖÓ Ù Ø ÙÒ ÈÓØ ÒÞ Ò ½Ä ÐØ Ò ÓÐ Ò Ò ÎÓÖÞ Ò ØÞ º ( a) b = ab a ( b) = ab ( a) ( b) = ab Å ÒÙ Ñ Ð ÈÐÙ Ð Å ÒÙ ÙÒ Å ÒÙ Ñ Ð Å ÒÙ Ð ÈÐÙ Ù Ö Ñ Û Ö Ò Û Ö Ö Ì ÖÑÙÑ ÓÖÑÙÒ Ò ÓÐ Ò ÖÞ Ò Ë Ö Û Ò Ø Òº a n := a a a... a }{{} nfaktoren Ô Ð Î Ö Ò Ò Ë ÓÐ Ò Ì ÖÑ º a a a a = a 4 a a 5 = a 8 µ 2 cd 4 ce = 2 4 ccde = 6 2 c2 de = 2 c2 de x 2 ( 2x ) = x 2 2x = 6x 5

66 ¾ Ì ÊŠĵ Ù Ò ÈÖÓ Ù Ø ÙÒ ÈÓØ ÒÞ Ò Ù Î Ö Ò Ò Ë Ò Ì ÖÑ Ó Û Ø Û Ñ Ð º c c c c c c c c a 5 a 7 µ 5p 4p pq Ù Î Ö Ò Ò Ë Ò Ì ÖÑ Ó Û Ø Û Ñ Ð º ( )( a) b( 5) ( a)( a) ѵ ( m) 2 ( 7)( c) ( c)( 2a) ( a) 0 Òµ ( a) 5 µ ( n)( a) ( )c ( )7n Óµ ( 2ab) 2 ( )a h( h) е ac( 2a 2 c 2 ) Ôµ ( 2cd) Ù ¼ Î Ö Ò Ò Ë Ò Ì ÖÑ Ó Û Ø Û Ñ Ð º 2a( b)( c)( d) 5ab( ac)9c( b)( 2c)( a) µ ( 5n 2 )2n ( 2n) 5( 2a)a 2 b( 4ab 2 ) 2 4 ( 2 a)( 6x)( y)2 Ù ½ Î Ö Ò Ò Ë Ò Ì ÖÑ Ó Û Ø Û Ñ Ð º x 2 +x 2 +x 2 +x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 µ xy +xy +xy +xy xy xy +( xy)+( xy)+( xy) Ù ¾ Î Ö Ò Ò Ë Ò Ì ÖÑ Ó Û Ø Û Ñ Ð º 6r 2 +5r+4+9r 2 +9s+t 4x 2 y +( 9x 2 y 2 )+4x 2 y +( 9x 2 y 2 ) µ 4x 2 (2x 2 4x+) ab 59ac (ab ac) 2a b 7a b

67 ¾ Ì ÊŠĵ Ù c c c c c c c c = c 8 a 5 a 7 = a 2 µ 5p 4p = 20p 2 Ä ÙÒ Ò pq = pq = 6 00pq = 0.06pq Ù ( )( a) = a = a ( 7)( c) = 7c µ ( n)( a) = na ( )a = a b( 5) = 5b ( c)( 2a) = 2ac ( )c = c = c h( h) = h h = h 2 ( a)( a) = a a = a 2 ( a) 0 = 0 ( )7n = 7n = 7n е ac( 2a 2 c 2 ) = ac 2a 2 c 2 = 2a c Ù ¼ ѵ ( m) 2 = m 2 Òµ ( a) 5 = a 5 Ñ Ø Ø (a 5 ) Ñ Òص Óµ ( 2ab) 2 = 4a 2 b 2 Ôµ ( 2cd) = 8c d 2a( b)( c)( d) = 2abcd = 6abcd 5ab( ac)9c( b)( 2c)( a)= 5abac9cb2ca= 90a b 2 c µ ( 5n 2 )2n ( 2n) = 5n 2 2n ( 8)n = 5n 2 2n 8n = 80n 8 5( 2a)a 2 b( 4ab 2 ) 2 = 5 2aa 2 b6a 2 b 4 = 2880a 5 b 5 4 ( 2 a)( 6x)( y)2 = 4 2 a 6xy2 = 6 8 axy2 = 4 axy2 Ù ½ x 2 +x 2 +x 2 +x 2 = 4x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = x 8 Ù ¾ µ xy +xy +xy +xy xy = xy xy +( xy)+( xy)+( xy) = 4xy 6r 2 +5r+4+9r 2 +9s+t = 5r 2 +5r+9s+t+4 4x 2 y +( 9x 2 y 2 )+4x 2 y +( 9x 2 y 2 ) = 8x 2 y 2 µ 4x 2 (2x 2 4x+) = 4x 2 2x 2 +4x = 2x 2 +4x ab 59ac (ab ac) = 58ac 2a b 7a b = 9a b

68 ¾ Ì ÊŠĵ ¾º º ÉÙÓØ ÒØ Ò ½Ä ÐØ Ò Ò ÐÓ Ò ÎÓÖÞ Ò ØÞ Û Ö ÅÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒº ( a) : b = (a : b) a : ( b) = (a : b) ( a) : ( b) = a : b º º Å ÒÙ ÙÖ ÈÐÙ Ð Å ÒÙ ÙÒ Å ÒÙ ÙÖ Å ÒÙ Ð ÈÐÙ Ë Ö Û ËØ ØØ (a : b) Ö Ø Ñ Ò Ó Ø Ó Ò ÃРѹ Ñ ÖÒ a : bº Ô Ð Î Ö Ò Ò Ë Ò Ì ÖѺ 2ab : ( 4ab)= 2ab : 4ab = 2 b2 a)= 9 2 axy : 9 ( axy : 5 2 a = xy = 9 5 xy Ö ÒÒ ÖÙÒ ÙÖ Ò Ò ÖÙ Û Ö ¹ Ú ÖØ Ò Ñ Ñ Ò Ñ Ø Ò Ñ Ã ÖÛ ÖØ ÑÙÐØ ÔÐ Þ Öص

69 ¾ Ì ÊŠĵ Ù Ò ÉÙÓØ ÒØ Ò Ù Î Ö Ò Ò Ë Ò Ì ÖÑ Ó Û Ø Û Ñ Ð º ( 6b) : ( 4) ( d) : 2d µ 6 5 a4 b : 8 25 ab 8 axy4 : ( 7 2 y ) 05ax 2 :.5ax 2 4 m2 n : 46mn 52 5 b4 : 5 b 24c 2 : 24c 2 : ( ) ax z 4 : 7ax 2 6x 4 y 4 : ( x y 4 ) е 5z 5 : ( 5z 2 )

70 ¾ Ì ÊŠĵ Ù ( 6b) : ( 4) = 6b : 4 = 4b Ä ÙÒ Ò ( d) : 2d = d : 2d = 2 µ 6 5 a4 8 6 b : 25ab = a = 0a 8 axy4 : ( 7 2 y ) = 8 axy4 : 7 2 y = axy = 28 axy 05ax 2 :.5ax = 70x 2 4 m2 n : 46mn = m = 8 m 52 5 b4 : 5 b = b = 4 b 24c 2 : = 24c 2 24c 2 : ( ) = 24c 2 : = 24c 2 ax z 4 : 7ax 2 = 7 xz4 6x 4 y 4 : ( x y 4 ) = 6x 4 y 4 : x y 4 = 6 x = 8x е 5z 5 : ( 5z 2 ) = z

71 ¾ Ì ÊŠĵ ¼ ¾º º ØÖ ÙØ Ú ØÞ ¾Ä a(b c+d) = ab ac+ad (a+b c) : d = a : d+b : d c : d Ô Ð ÅÙÐØ ÔÐ Þ Ö Ò Ë Ù ÙÒ Ú Ö Ò Ò Ë ÒÒ ÓÛ Ø Û Ñ Ð º (5x + 2 x2 ) 4 x = 5x 4 x + 2 x2 4 x = 20 x x5 Ô Ð Ú Ö Ò Ë Ù ÙÒ Ú Ö Ò Ò Ë ÒÒ Ó Û Ø Û Ñ Ð º ( 9 4 xyz+8 5 xz) : ( 4 5 xz)= 9 4 xyz : ( 4 5 xz)+8 5 xz : ( 4 5 xz) = 9 4 xyz : 4 5 xz 8 5 xz : 4 5 xz = xyz : xz xz : xz = 45 6 y 2 Ô Ð ¼ Å ÖÑ Ð ÒÛ Ò ÙÒ ØÖ ÙØ Ú ØÞ µ ÅÙÐØ ÔÐ Þ Ö Ò Ë Ù ÙÒ Ú Ö Ò Ò Ë ÒÒ ÓÛ Ø Û Ñ Ð º (e f)(g h)= (e f)g (e f)h = eg fg [eh fh] = eg fg eh+fh Ô Ð ½ ÃÐ ÑÑ ÖÒ Ë Ñ Ð Ø Ú Ð ØÓÖ Ò Ù ÙÒ Ú Ö Ò Ò Ë ÒÒ Ó Û Ø Û Ñ Ð º 9xy 4 9xy +2x 2 y 2 = xy 2 (y 2 y +4x)

72 ¾ Ì ÊŠĵ ½ Ù Ò ØÖ ÙØ Ú ØÞ Ù ÅÙÐØ ÔÐ Þ Ö Ò Ë Ù ÙÒ Ú Ö Ò Ò ÒÒ ÓÛ Ø Û Ñ Ð º (a 2 +b)4ab ( 2 k ) 9 5 µ 5(2a b+c) (5a+b 7c).2abc xy2 z ( 5 2 x y 2 z 6x 2 y x) (4p q +5r)( 2b) 2x y 4 ( 2 x2 y 7 x y 4 ) ( c e+f )( ) (4s 2st+8st 2 (2t) ) 5 2 s2 t 2 (5m n+q)( 4) Ù Ú Ö Ò Ë Ù ÙÒ Ú Ö Ò Ò Ë ÒÒ ÓÛ Ø Û Ñ Ð º (5a 20b) : ( 5) (5a 2 +5a) : ( 5 ) µ (4x 2 5x) : ( 7x) (4.4ac+08a) : 7.2a ( 9 4 xyz xz) : ( 4 5 xz) (26x 5 9x 4 +52x x 2 ) : ( 26x 2 ) (26m 2 n 2 m n ) : 2 m2 n 2 ( xy xz) : ( x) Ù Å ÖÑ Ð ÒÛ Ò ÙÒ ØÖ ÙØ Ú ØÞ µ ÅÙÐØ ÔÐ Þ Ö Ò Ë Ù ÙÒ Ú Ö Ò Ò Ë ÒÒ ÓÛ Ø Û Ñ Ð º (p+q)(x+) (r s)(n+t) µ (a+b)(c d) (x y)(p q) (m+2n+)(m+n) (a+)(a 2 +a+) (x+) 2 (b +c 2 )(b 4 +c 2 ) (p 2)(q +) ( 2 x+9)(5 6 y ) Ù ÃÐ ÑÑ ÖÒ Ë Ñ Ð Ø Ú Ð ØÓÖ Ò Ù ÙÒ Ú Ö Ò Ò Ë ÒÒ Ó Û Ø Û Ñ Ð º 5ab+5ac 25ad 2a 4 7 a 7 6 a µ z 4 z z 2 2x xy a+b 4 a a+ 7 4 a2 + 2 a a 2 +ab 5 2 x+ 2 x 4 a2 +a a2 2a 2 Ù Î Ö Ò Ò Ë Ó Û Ø Û Ñ Ð º 2 a+ b+ 4 a x 2 y + x2 y xy 2

73 ¾ Ì ÊŠĵ ¾ Ù Ä ÙÒ Ò (a 2 +b)4ab = a 2 4ab+b 4ab = 2a b+4ab 2 ( 2 k ) 9 5 = 2 k = 27 0 k µ 5(2a b+c) = 0a+5b 5c (5a+b 7c).2abc = 6a 2 bc+.6ab 2 c 8.4abc 2 xy2 z ( 5 2 x y 2 z 6x 2 y x) = 5 6 x4 y 4 z 4 +2x y z 7 5 x2 y 2 z (4p q +5r)( 2b) = 8bp+2bq 0br 2x y 4 ( 2 x2 y 7 x y 4 ) = 8x 5 y 7 +28x 6 y 8 ( c e+f )( ) = c+e f + (4s 2st+8st 2 (2t) ) 5 2 s2 t 2 = 0s 5 t 2 0s t +20s t 4 20s 2 t 5 (5m n+q)( 4) = 20m+2n 4q Ù (5a 20b) : ( 5) = a+4b (5a 2 +5a) : ( 5 ) = 9a2 a µ (4x 2 5x) : ( 7x) = 2x+5 (4.4ac+08a) : 7.2a = 2c+5 ( 9 4 xyz xz) : ( 4 5xz) = 45 6 y 2 (26x 5 9x 4 +52x x 2 ) : ( 26x 2 ) = x x2 2x+ 26 = x + 2 x2 2x+ 2 (26m 2 n 2 m n ) : 2 m2 n 2 = 52 2mn ( xy xz) : ( x) = y +z Ù (p+q)(x+) = px+p+qx+q (r s)(n+t) = rn+rt ns st µ (a+b)(c d) = ac ad+bc bd (x y)(p q) = xp qx py +qy (m+2n+)(m+n) = m 2 +mn+2mn+2n 2 +m+n = n 2 +mn+2n 2 +m+n (a+)(a 2 +a+) = a +a 2 +a+a 2 +a+ = a +2a 2 +2a+ (x+) 2 = x 2 +2x+ (b +c 2 )(b 4 +c 2 ) = b 7 +b c 2 +b 4 c 2 +c 4

74 ¾ Ì ÊŠĵ (p 2)(q +) = pq +p 2q 2 ( 2 x+9)(5 6 y ) = 5 2 xy 2 x+ 5 2 y 9 Ù 5ab+5ac 25ad = 5a(b+c 5d) 2a 4 7 a 7 6 a = a( ) = a( ) = 42 a µ z 4 z z 2 = z 2 (z 2 z ) 2x xy = x(2x 2 y) a+b = (a+b) 4 a a+7 4 a2 + 2 a = a( 4 a a+2 ) = a(0 4 a+9 6 ) = a(5 2 a+ 2 ) = a 2 (5a+) a 2 +ab = a(a+b) 5 2 x+ 2 x = x( ) = x( ) = 9 6 x 4 a2 +a a2 2a 2 = a 2 ( ) = a2 ( ) = a2 ( ) = 2 a2 Ù 2 a+ b+ 4 a = 4 a+ b x 2 y + x2 y xy 2 = 4 x2 y xy 2

75 ÈÇÄ ÆÇÅ ½¼Äµ ÈÓÐÝÒÓÑ ½¼Äµ º½ Ò Ø ÓÒ ÈÓÐÝÒÓÑ ¾Ä ÈÓÐÝÒÓÑ Ò Ô Þ ÐÐ Ì ÖÑ º Ø ÐÐ Ò Ã Ô Ø Ð ¾ ÔÖÓ Ò Ò Ì ÖÑ Û Ö Ò ÈÓÐÝÒÓÑ º Ò ÅÓÒÓÑ Ø Ò ÈÖÓ Ù Ø ÚÓÒ ÈÓØ Ò¹ Þ Ò ÚÓÒ Ù Ø Ò º Ñ Ò ÜÔÓÒ ÒØ Ò Ù N 0 := {0,,2,,...} Òº Ô Ð ab 2 cd = a b 2 c d µ x 7 y z = x 7 y z µ uv = u v µ x = x = x x 0 µ = x 0 = x 0 x 0 µ Ò Ô Ð x x 2 a2 +b 2 x 5 2 y Ò ÈÓÐÝÒÓÑ Ø Ò Ä Ò Ö ÓÑ Ò ¹ Ø ÓÒ ÚÓÒ ÅÓÒÓÑ Ò º º Ò ËÙÑÑ ÚÓÒ Î Ð Ò ÚÓÒ ÅÓÒÓÑ Òµº Ô Ð ab2 cd+.2abc 6 ÒÓÑ 2x 4 7x +πx ÌÖ ÒÓÑ 2uv +w = 2uv +wµ ÒÓÑ ab 2 cd = ab 2 cd+0aµ ÅÓÒÓÑ u ÅÓÒÓÑ 7 = 7x 0 µ Ò ÅÓÒÓÑ Ñ Ö ÙÒ Â ÅÓÒÓÑ Ø Ð Ó Ù Ò ÈÓÐÝÒÓѺ

76 ÈÇÄ ÆÇÅ ½¼Äµ º¾ Ø ÓÒ ÙÒ ËÙ ØÖ Ø ÓÒ ÚÓÒ ÈÓÐÝÒÓÑ Ò ÆÓÖÑ Ð ÓÖÑ Ò ÈÓÐÝÒÓÑ Ø ¹ Ò Ò Ø Ö Ø ÐÐÙÒ Ð Ä Ò Ö ÓÑ ¹ Ò Ø ÓÒ ÚÓÒ ÅÓÒÓÑ Òº Ô Ð ¾ Ò Ë ÈÓÐÝÒÓÑ Ò Ò Ö ÆÓÖÑ Ð ÓÖÑ Òº x 2 x 2 (x 2 x+2)= 2x 4 Ñ Ö ÙÒ ÃÐ ÑÑ ÖØ Ñ Ò Ñ Ó Ò Ö Ò ÒÓ Þº º 2 Ù Ö ÐØ Ñ Ò 2(x+2). Ç Ö Ø ÐÐÙÒ Ò Ö Ø Ø Ò Ø Ø Ö Ò ÆÓÖÑ Ð ÓÖÑ ÈÓÐÝÒÓÑ Ò Ä Ò Ö ÓÑ Ò Ø ÓÒ ÚÓÒ ÅÓÒÓÑ Ò Øº

77 ÈÇÄ ÆÇÅ ½¼Äµ Ù Ò Ø ÓÒ ÙÒ ËÙ ØÖ Ø ÓÒ ÚÓÒ ÈÓÐÝÒÓÑ Ò Ù Ò Ë ÈÓÐÝÒÓÑ Ò ÆÓÖÑ Ð ÓÖÑ Òº (2ef +e 5f) 9e 6f + xyz 2 xy x 25 xyz +7 6 xy x xy + 25 xyz µ 4x 5y +6z (x+2y+8z) 2 y ( x y) Ù ¼ Ö Ò Ë ÙÒØ Ö Ò Ò Ö Ø Ò ÈÓÐÝÒÓÑ ÙÒ Ò Ë Ê ÙÐØ Ø Ò ÆÓÖÑ Ð ÓÖÑ Òº 6a 75b 9a + 28b µ x 2 xy + y 2 + y x 2 6y 2 7x xy + 2y 2 5x + 8 x 2 y xy2 8 x2 y 5 2 xy2 Ù ½ ËÙ ØÖ Ö Ò Ë ÙÒØ Ö ÈÓÐÝÒÓÑ ÚÓÑ Ó Ö Ò ÙÒ Ò Ë Ê ÙÐØ Ø Ò ÆÓÖÑ Ð ÓÖÑ Òº 2x 4 + 4x 6x 2 8x 4x + 6x 2 + 8x 0 µ 4a 2a 5b + c x y2 x 2 5 y2 8z + 7 8z 2 Ù ¾ Ò Ë ÈÓÐÝÒÓÑ Ò ÆÓÖÑ Ð ÓÖÑ Òº a (b (c (d e))) [ 0 x (xy 5 6 x 2y)]+xy ( 5 x 4 y) µ ( (p+8)+6p)+8 50k+29 {8k [44 (7k +6)]} k Ù Ö Ò Ò Ë Ò Ï ÖØ ÈÓÐÝÒÓÑ Ö x = ÙÒ y = 2º Ò Ù Ù Ë ØÞ Ò Ë Ò ÈÓÐÝÒÓÑ P(x,y) = 2 x2 y y P(a,b,c) = a b c a = x 4y b = 2x+9z c = 5y 8z Ò ÙÒ Ú Ö Ò Ò Ë ÒÒº

78 ÈÇÄ ÆÇÅ ½¼Äµ Ù Ä ÙÒ Ò (2ef +e 5f) 9e 6f + = 2ef 8e f + xyz 2 xy x 25 xyz xy x xy + xyz = xyz 9 6 xy xy 6 6 xy 2x = xyz 4 xy 2x µ 4x 5y +6z (x+2y+8z) = 4x 5y +6z x 2y 8z = x 7y 2z 2 y ( x y) = 2 y +x+ y = x+ 5 6 y Ù ¼ 6a 75b 9a + 28b 7a 47b x 2 y xy2 8 x2 y 5 2 xy2 x2 y + xy 2 µ x 2 xy + y 2 + y x 2 6y 2 7x xy + 2y 2 5x + 8 2x 2 y 2 2x + y + 7 Ù ½ 2x 4 + 4x 6x 2 8x 4x + 6x 2 + 8x 0 2x 4 + 8x 2x 2 6x + 0 µ 4a 2a 5b + c 2a + 5b c x y2 x 2 5 y2 2x y2 8z + 7 8z 2 9 Ù ¾ a (b (c (d e))) = a (b (c d+e)) = a (b c+d e) = a b+c d+e [ 0 x (xy 5 6 x 2 y)]+xy ( 5 x 4y) = [ 0 x xy+ 5 6 x+ 2 y]+xy 5 x+ 4 y = 0 x+xy 5 6 x 2 y+xy 5 x+ 4 y = 0 x 5 6 x 5 x+2xy 6 4 y+ 4 y = x+2xy 5 4 y µ ( (p+8)+6p)+8 = ( p 8+6p)+8 = p+8 6p+8 = p+6 50k+29 {8k [44 (7k+6)]} k= 50k+29 {8k [44 7k 6]} k= 50k+29 {8k 44+7k+6} k = 50k+29 8k+44 7k 6 k = 2k+7 Ù P(, 2) = 2 2 ( 2) ( 2) = 2 ( 8)+6 = 9+6 = Ù P(x 4y, 2x+9z,5y 8z) = x 4y ( 2x+9z) (5y 8z) = x 4y +2x 9z 5y +8z = x 9y z

79 ÈÇÄ ÆÇÅ ½¼Äµ º ÅÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ ÙÒ Ú ÓÒ ÚÓÒ ÈÓÐÝÒÓÑ Ò ½Ä Ô Ð Ò Ë ÈÓÐÝÒÓÑ Ò ÆÓÖÑ Ð ÓÖÑ Òº (x 2y)(2x y)= 6x 2 9xy 4xy +6y 2 = 6x 2 xy +6y 2 (8apq 2bpq) : ( 4pq)= 2a+48b

80 ÈÇÄ ÆÇÅ ½¼Äµ Ù Ò ÅÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ ÙÒ Ú ÓÒ ÚÓÒ ÈÓÐÝÒÓÑ Ò Ù ÅÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒµ Ò Ë ÈÓÐÝÒÓÑ Ò ÆÓÖÑ Ð ÓÖÑ Òº (z )(z 5 6 ) a(9a+0) 5(a 2 +2a ) µ uv 2 (u 4 u 2 v 2 2v 4 ) ( )(a +a 2 a a 4 ) ( r+6)( r+4) (4a 2 5b 2 )(a 2 b 2 ) ( 6z 2 +z +4)( 5z +) (y )(4y 2 +y ) (a b)(a+b)(x y) (c+d)(8u v) d(8u v) (2a )(4a ) (5a+4)(a ) е (n 2 +)(2n 2 )(n 2 2) ѵ ( 2 r+)(2r 4 ) Òµ (a b)(a 4 +a b+a 2 b 2 +ab +b 4 ) Óµ (0.z 2 +6)(2z 2 ) Ôµ 4(p 2)( p+s) Õµ (y +)(y 6)( y) Öµ ( s 2 +s+)(s 2 x+2) Ù Ú ÓÒµ Ò Ë ÈÓÐÝÒÓÑ Ò ÆÓÖÑ Ð ÓÖÑ Òº ( 9ax 4 +8bx ) : ( 6x 2 ) 64n 2 (x+y) : ( 8n) µ (u 2 8) : (8 u 2 ) 7.2(t 5) 2 :.8(t 5) x 4 y (8x+2) : ( 4x y ) ( z) : (z ) (0k 2 +7k 2) : ( ) (.4x 2 +2x z) : 0.x 2 2.5(a+b)(a 2) : (2 a) (a b) 2 (a+b) : [ 2 (b a)]2 p ( 2p+) : ( p) е 9mn (n 6)(2n ) : mn(6 n) ѵ (x y) : ( y +x) Òµ z(z 2 +0z 24) : 6z Óµ (d 6)k : ( k) Ôµ 2(2r 5) : 7(5 2r) Õµ (.8x x 4 x +.6x 2 ) : ( 2.4x 2 ) е 2.5(a+b)(a 2) : (a+b)

81 ÈÇÄ ÆÇÅ ½¼Äµ ¼ Ù (z+ 9 0 )(z 5 6 ) = z2 5 6 z+ 9 0 z z 4 Ä ÙÒ Ò z = z z+ 0 z 4 = z z 4 = a(9a+0) 5(a 2 +2a ) = 9a 2 +0a 5a 2 0a+5 = 4a 2 +5 µ uv 2 (u 4 u 2 v 2 2v 4 ) = u 5 v 2 9u v 4 6uv 6 ( )(a +a 2 a a 4 ) = a a 2 +a +a 4 ( r+6)( r+4) = r 2 4r 6r+24 = r 2 0r+24 (4a 2 5b 2 )(a 2 b 2 ) = 2a 4 4a 2 b 2 5a 2 b 2 +5b 4 = 2a 4 9a 2 b 2 +5b 4 ( 6z 2 +z+4)( 5z+)= 0z 8z 2 5z 2 +9z 20z+2= 0z z 2 z +2 (y )(4y 2 +y ) = 4y +y 2 y 4y 2 y + = 4y y 2 4y + (a b)(a + b)(x y) = (a 2 + ab ab b 2 )(x y) = (a 2 b 2 )(x y) = a 2 x a 2 y b 2 x+b 2 y (c+d)(8u v) d(8u v) = 8cu cv +8du dv 8du+dv = 8cu cv (2a )(4a ) (5a+4)(a ) = 8a 2 2a 2a+ [5a 2 5a+4a 4] = 8a 2 4a+ [5a 2 a 4] = 8a 2 4a+ 5a 2 +a+4 = a 2 a+7 е (n 2 +)(2n 2 )(n 2 2) = (2n 4 n 2 +2n 2 )(n 2 2) = 6n 6 4n 4 9n 4 +6n 2 +6n 4 4n 2 9n 2 +6 = 6n 6 7n 4 7n 2 +6 ѵ ( 2 r+)(2r 4 ) = r2 2r+6r 4 = r 2 +4r 4 Òµ (a b)(a 4 +a b+a 2 b 2 +ab +b 4 ) = a 5 +a 4 b+a b 2 +a 2 b +ab 4 a 4 b a b 2 a 2 b ab 4 b 5 = a 5 b 5 Óµ (0.z 2 +6)(2z 2 ) = 0.6z 4 0.z 2 +2z 2 6 = 0.6z 4.7z 2 6 Ôµ 4(p 2)( p+s) = ( 4p+8)( p+s) = 4p 2 4ps 8p+8s Õµ (y+)(y 6)( y) = (y+)( y 2 +6y) = y +6y 2 y 2 +8y = y +y 2 +8y Öµ ( s 2 +s+)(s 2 x+2) = s 4 +s 2 x 2s 2 +s sx+6s+s 2 x+2 = s 4 +s +s 2 x s 2 sx+6s x+2 Ù ( 9ax 4 +8bx ) : ( 6x 2 ) = 9 6 ax2 8 6 bx = 2 ax2 4 bx 64n 2 (x+y) : ( 8n) = 8n(x+y) = 8nx+8ny µ (u 2 8) : (8 u 2 ) = (8 u 2 ) : (8 u 2 ) = 7.2(t 5) 2 :.8(t 5) = 4(t 5) = 4t 20 x 4 y (8x + 2) : ( 4x y ) = 4x 4 y (2x + ) : ( 4x y ) = x(2x + ) = 2x 2 +x

82 ÈÇÄ ÆÇÅ ½¼Äµ ½ ( z) : (z ) = (z ) : (z ) = (0k 2 +7k 2) : ( ) = 0k 2 7k+2 (.4x 2 +2x z) : 0.x 2 = 4+20xz 2.5(a + b)(a 2) : (2 a) = 2.5(a + b)(2 a) : (2 a) = 2.5(a + b) = 2.5a 2.5b (a b) 2 (a+b) : [ 2 (b a)]2 = (a b) 2 (a+b) : [ 4 (a b)2 ] = 4(a+b) = 4a+4b p ( 2p+) : ( p) = p 2 ( 2p+) = 2p p 2 е 9mn (n 6)(2n ) : mn(6 n) = 9mn (6 n)(2n ) : mn(6 n) = n 2 (2n ) = 6n +6n 2 ѵ (x y) : ( y +x) = (x y) : (x y) = Òµ z(z 2 +0z 24) : 6z = 2 (z2 +0z 24) = 2 z2 +5z 2 Óµ (d 6)k : ( k) = (d 6) = 6 d Ôµ 2(2r 5) : 7(5 2r) = 2(5 2r) : 7(5 2r) = Õµ (.8x x 4 x +.6x 2 ) : ( 2.4x 2 ) = x x x x 24 = 4 x x x 2 е 2.5(a+b)(a 2) : (a+b) = 2.5(a 2) = 2.5a 5 x = 8 24 x

83 ÈÇÄ ÆÇÅ ½¼Äµ ¾ º ÒÓÑ ÙÒ ØÖ ÒÓÑ ÓÖÑ ÐÒ ¾Ä (a+b) 2 = a 2 +2ab+b 2 (a+b)(a b) = a 2 b 2 (a+b) = a +a 2 b+ab 2 +b (a+b+c) 2 = a 2 +b 2 +c 2 +2ab+2ac+2bc Ö Ø Ò Ö ÓÖÑ ÐÒ Ò ÒÓÑ ÓÖÑ ÐÒ Û Ð ÒÓÑ ÔÓØ ÒÞ ÖØ ÞÛº ÑÙÐØ ÔÐ Þ ÖØ Û Ö Òµº Ð ØÞØ ÓÖÑ Ð Ø Ò ØÖ ÒÓÑ ÓÖÑ Ð Û Ð Ò ÌÖ ÒÓÑ ÔÓØ ÒÞ ÖØ Û Öº ÒÓÑ ÙÒ ÌÖ ÒÓÑ Ò Ô Þ ÐÐ ÈÓÐÝÒÓÑ º Ô Ð Ò Ë ÈÓÐÝÒÓÑ Ò ÆÓÖÑ Ð ÓÖÑ Òº ( q )2 = ( q) 2 +2( q) 5 6 +(5 6 )2 = q 2 5 q ( 2u v)( 2u+v)= ( 2u) 2 (v) 2 = 4u 2 2v 2

84 ÜÔÓÒ ÒØ Ò ÚÓÒ a Ò Ò ÚÓÒ Ð Ò Ò Ö Ø ÜÔÓÒ ÒØ Ò ÚÓÒ b Ø Ò ÚÓÒ Ð Ò Ò Ö Ø º ÃÓ Þ ÒØ Ò Ð ÖØ È Ð Ö º Ë Ò ÒÓÑ Ð Ó Þ ÒØ Òº È Ð Ö ÒÓÑ ÓÖÑ Ð ÈÇÄ ÆÇÅ ½¼Äµ (a+b) 0 (a+b) a+b (a+b) 2 a 2 +2ab+b 2 (a+b) a +a 2 b+ab 2 +b (a+b) 4 a 4 +4a b+6a 2 b 2 +4ab +b 4 (a+b) 5 a 5 +5a 4 b+0a b 2 +0a 2 b +5ab 4 +b 5 º È Ð Ö ½Äµ º (a+b) = a b 0 +a 2 b +a b 2 +a 0 b Ô Ð (4v u) 4 ½ ½ ½ ¾ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½¼ ½¼ ½ ½ [4v +( u)] 4 (4v) 4 ( u) 0 +4(4v) ( u) +6(4v) 2 ( u 2 )+4(4v) ( u) +(4v) 0 ( u) v v ( u) v 2 u v( u) +u 4 256v 4 256uv +96u 2 v 2 6u v +u 4

85 ÈÇÄ ÆÇÅ ½¼Äµ Ù Ò ÒÓÑ ÙÒ ÌÖ ÒÓÑ ÓÖÑ ÐÒ È Ð Ö Ù ÙÖ Ö Ø Ò ÓÖÑ Ðµ Ò Ë ÈÓÐÝÒÓÑ Ò ÆÓÖÑ Ð ÓÖÑ Òº (a b) 2 (m ) 2 µ ( q )2 (6n ) 2 ( a+b) 2 (r 2 6rs) 2 ( a b) 2 ( 9p +4p 2 ) 2 (a a) 2 (xy yz) 2 (x+( y)) 2 е ( ) 2 ѵ (4c+5d) 2 Òµ ( 2uv+ 4 )2 Óµ ( a 2 b 2 )( a 2 b 2 ) Ôµ (0.a 2 +b 2 ) 2 Õµ (2x+x) 2 Öµ (c 2d) 2 Ù ÙÖ ÞÛ Ø Ò ÓÖÑ Ðµ Ò Ë ÈÓÐÝÒÓÑ Ò ÆÓÖÑ Ð ÓÖÑ Òº (a+7b)(a 7b) ( n+0)( n 0) µ ( 8q )(8q ) ( m +m)(m +m) (9ab 5 b)( 5 b+9ab) (y 2z)( y 2z) Ù ÙÖ Ö ØØ Ò ÓÖÑ Ðµ Ò Ë ÈÓÐÝÒÓÑ Ò ÆÓÖÑ Ð ÓÖÑ Òº (a b) (c+0) µ ( 2 k ) ( n 2 +2n 2 ) (uv +v) (4g ) (a+b)(a+b) 2 (2r+5s) Ù ¼ ÙÖ Ú ÖØ Ò ÓÖÑ Ðµ Ò Ë ÈÓÐÝÒÓÑ Ò ÆÓÖÑ Ð ÓÖÑ Òº (a b+c) 2 Ò Ù (x+y+4z) 2 µ ( u 2 2uv+2v 2 ) 2 ( 7a+b+6c) 2 (7a b 6c) 2 Ù ½ Ñ Ø Ù Òµ Ò Ë ÈÓÐÝÒÓÑ Ò ÆÓÖÑ Ð ÓÖÑ Òº (a+4b)(a 4b) (a 5b) 2 (4x+2)(4x 2)(x+.5)(x.5) µ (p 5) 2 (p+5) 2 (a+2)(a 2)(7b 8) (r 2 +r)(r 2 r)+(r 2 r)2 Ù ¾ ÅÙÐØ ÔÐ Þ Ö Ò Ë Ñ Ø Ð ÒÓÑ Ö ÓÖÑ ÐÒ Ù ºµ Ò Ë ÈÓÐÝÒÓÑ Ò ÆÓÖÑ Ð ÓÖÑ Òº (x+y 8z)(x+y+8z) (a+b+u+v)(a+b u v) µ ( x 2 y 2 +z 2 )(x 2 y 2 +z 2 ) (x+y z )(x y z +) Ù Î ÖÛ Ò Ò Ë È Ð Ö ºµ Ò Ë ÈÓÐÝÒÓÑ Ò ÆÓÖÑ Ð ÓÖÑ Òº (e 5f) 4 (a +b ) 4 µ (c 2d)6 ( m+0) 5