Dimensionieren Prof. Dr. K. Wegener ame Vorname Legi-r. Übung : Schrumpfsitz Besprechung 08.03.17, Abgabe 15.03.17 Musterlösung Voraussetzungen Druck-Beanspruchung rotationssymmetrischer Körper Welle-abe-Verbindung Problemstellung Eine abe aus GJL50 soll auf eine Welle aus E95 mittels Schrumpfsitz reibschlüssig montiert werden. Abbildung 1: Schrumpfsitz Das Torsionsmoment, das übertragen werden muss, beträgt 1000 m. Der Betriebsfaktor ist c B = 1.5, der Sicherheitsfaktor gegen Rutschen S R = 1.5 (Antrieb gleichförmig, Abtrieb leichte Stösse. Der Durchmesser der Welle ausserhalb der Verbindungsstelle wurde in einer anderen Dimensionierung auf d 1 = 70mm festgelegt. Es ist bekannt, dass an der Passungsstelle infolge des Drucksprunges grosse Kerbwirkungen auftreten. Aus diesem Grund wird die Welle an dieser Stelle um 10-30% verstärkt mit abgerundetem Übergang. a Bestimmen Sie korrekte Toleranzen von Wellenaussendurchmesser und abenbohrung. b Bestimmen Sie die Fügetemperatur der abe. Weitere Angaben: (Index W für Welle, für abe ennfügedurchmesser d = 80mm Querkontraktionszahl ν W = 0.3 Aussendurchmesser D = 190mm E-Modul E W = 10000 MPa Sitzlänge L = 10 mm Sicherheitsfaktor Fliessen W = 1.5 Mittenrauheitswert R Z = 6.3 µm Querkontraktionszahl ν = 0.5 Wärmeausdehnungskoeffizient α = 10 5 K 1 E-Modul E = 115000MP a Haftreibwert µ H = 0.16 Sicherheitsfaktor Bruch S B = 1
Hinweise und Formeln Drehmomentübertragung p min Umfangskraft, ennwert: F = M T d Reibkraft, Minimalwert: F R = c B S R F Druck, Minimalwert: p min = F R µ H A Spannungen und Vergleichsspannungen in Funktion von Pressdruck p p max Dickwandiger Zylinder, ebener Spannungszustand ESZ: σ x = 0 abe, p a = 0, p i = p, Innenseite r = r i Tangentialspannung und Radialspannung ( 1 + χ σ t = p 1 χ (Zug σ r = p (Druck (1 Vergleichsspannung für duktiles Material, Schubspannungshypothese (Tresca σ v = σ t σ r = p 1 χ ( Vergleichsspannung für sprödes Material, Zugspannungshypothese Kritisch ist die Tangentialspannung, da 1 + χ 1 χ > 1 σ v = σ t = p ( 1 + χ 1 χ Welle, duktiles Material, Schubspannungshypothese Hohlwelle, p a = p, p i = 0, Innenseite r = r i, σ r = 0 Vergleichsspannung σ v = σ x σ t = 0 σ t = p 1 χ W (3 (4 Vollwelle r i = 0, χ W = 0 Mit σ t = σ r = p folgt Vergleichsspannung σ v = σ x σ t = 0 σ t = p (5 Festigkeitsbedingung: σ v R e = σ F (duktil oder σ v R m S B = σ B S B (spröd
Radiale Verschiebung in Funktion von p. Liefert Grenzen für U: p min U min ; p max U max Radiale Verschiebung abe innen u i = d Radiale Verschiebung Hohlwelle aussen u W a = d Radiale Verschiebung Vollwelle aussen u W a = d ( p 1+χ E 1 χ ( p 1+χ E W 1 χ + ν ν W 0 p E W (1 ν W 0 Mindesterforderliches Übermass U min = (u i (p min u W a (p min + G Höchstzulässiges Übermass U max = (u i (p max u W a (p max + G Glättung G = 0.8 (R zw + R z Übermass U = d W a d i Passung wählen unter Einhaltung der gefundenen Bedingungen. Empfehlung: Einheitsbohrung H7. Toleranzen der Welle daraus berechnen d W a,min = d a,max + U min, d W a,max = d a,min + U max Erwärmung abe für die Montage U max + U f = U = T α d 3
Lösung (Ohne Schwungkräfte berechnet Bestimmung des minimalen Pressdruckes im Sitz Damit das geforderte Drehmoment übertragen werden kann, ist ein minimaler Pressdruck p min erforderlich. Die Umfangskraft infolge des enn-torsionsmomentes M T ist: F res = M T d = 1000 103 80 = 5k (6 (Bezeichnung F res, weil im allgemeinen Fall die Resultierende aus einer Axialkraft und der Tangentialkraft einzusetzen ist. Mit dem Betriebsfaktor c B = 1.5 und dem Sicherheitsfaktor gegen Rutschen S R = 1.5 folgt die notwendige Reibkraft: F Rres = c B S R F res = 1.5 1.5 5k = 46.9k (7 Mit der Haftreibungszahl µ H = 0.16 und der Fügefläche A = dπl ergibt sich der minimal erforderliche Fügedruck: p min = F Rres µ H A = c B S R M T µ H d π L = 46 900 0.16 80 π 10 = 9.7/mm (8 Bestimmung des maximalen Pressdruckes im Sitz Der maximale Druck berechnet sich aus der Versagensgrenze der abe oder der Welle. Die Vergleichsspannungen 548 9 Welle-abe-Verbindungen dürfen die zulässigen Festigkeitswerte nicht übersteigen. Für duktile Werkstoffe wird die Schubspannungshypothese (Tresca oder die Gestaltänderungsenergiehypothese GEH (v. Mises verwendet, für spröde Werkstoffe die ormalspannungshypothese. Schubspannungen aus der Drehmomentübertragung werden Abb. 9.7. Verlauf der Tangentialspannung t vernachlässigt. und der Radialspannung Pressverbindung mit Hohlwelle und mit Vollwelle r bei einer abe Tabelle 9.10. Schrumpfspannungen im Pressverband Die abe besteht aus Grauguss mit Lamellengraphit GJL, ist also spröd, es wird die ormalspannungshypothese angewendet. Die Tangentialspannung an der abeninnenseite ist kritisch, sie stellt Außenteil (abe Hohlwelle Vollwelle die grösste positive Spannung dar. 1 QA 1 QI Die tai p ti ri p tia pdruckspannung ist auch im Betrag kleiner, zudem ist die Druckfestigkeit von GJL etwa dreimal so hoch 1 QAwie die Zugfestigkeit. 1 QI Q A tii p taa σ p v = σ 1 Q t σ zul = σ B 1 Q A S B I (9 Für die abe sind p ria p a = 0 und p i = p. rai p raa 0 rii 0 σ t = p 1 + χ 1Größte χ = σ v σ B mit χ = d i = d zulässige Flächenpressung S B d a D (10 Die Grenze der elastischen Beanspruchung ist dann erreicht, wenn am Innendurchmesser der abe (siehe oben die Vergleichsspannung eine zulässige 4 Spannung nicht überschreitet. Mit dieser oberen Grenze zul für lässt sich somit die größte, gerade noch zulässige Flächenpressung p max in der Fügefläche ermitteln. Für die maximale Vergleichsspannung ergibt sich nach der Hypothese der
Aufgelöst, mit χ = 80/190, σ B GJL50 = 50/mm sowie S B = ergibt sich die Bedingung aus der abenfestigkeit: p max = σ B S B (1 χ (1 + χ = 50 (1 0.4 (1 + 0.4 = 87.5/mm (11 Welle Es liegt eine Vollwelle aus Stahl E95 vor, sie ist also duktil, es wird die Schubspannungshypothese angewendet. (Schubspannungen infolge Torsion werden vernachlässigt. Der Aussendruck p erzeugt Radial- und Tangentialspannungen, für die unabhängig vom Ort gilt Die Vergleichsspannung ist: σ t = σ r = p (1 σ v = σ x σ t = 0 ( p = p σ zul = σ F (13 Mit der Streckgrenze σ F = 95/mm sowie der Sicherheit gegen Fliessen = 1.5 folgt für p p maxw = σ F = 95 1.5 = 197/mm (14 Ergebnis Fügedruck p Aus (Gl. 8 sowie durch Vergleich von abe (Gl. 11 und Welle (Gl. 14 wegen p max = 87.5 /mm < p maxw = 197 /mm folgt: Die abe ist bestimmend für den maximalen Fügedruck. Somit sind bekannt: der minimale Fügedruck p min = 9.7 /mm der maximale Fügedruck p max = 87.5 /mm Radiale Verschiebung der Welle und der abe in Funktion von p Die radiale Verschiebung am Aussendurchmesser einer Vollwelle ist, mit E w = 10 000/mm, ν w = 0.3 und d = 80mm u W a = d p 80 mm p (1 ν W = E W 10000 mm 3 mm3 (1 0.3 = 0.133 10 p (15 Mit den Werten für die abe E = 115 000/mm, ν = 0.5, d = 80mm und χ = d/d = 0.4 wird die radiale Verschiebung der abe innen: u i = d ( p 1 + χ E 1 χ + ν = 80 ( p 1 + 0.4 115000 1 0.4 + 0.5 3 mm3 = 0.584 10 p (16 Berechnung des minimalen und maximalen Übermasses Die Differenz der radialen Verschiebungen der abe (nach aussen und der Welle (negativ, weil nach innen muss durch das Übermass der Welle-abe-Passung U = d W a d i kompensiert werden, welches ja die radialen Verschiebungen von Welle und abe verursacht. Gl.( 15 und Gl.( 16 liefern Bedingungen für das Übermass, und zwar für p min den Minimalwert U min, für p max den Maximalwert U max, wobei das Übermass um den Wert der zu erwartenden Glättung G grösser gemacht werden muss. Die Glättung der beiden Trennflächen ist abhängig von den Rauhigkeiten der beiden Bauteile. Diese ist wiederum abhängig von der Bearbeitung (siehe ormenauszug. Sie sind je mit R Z = 6.3 µm angegeben. 5
G = 0.8 (R zw + R z = 0.8 (6.3 + 6.3 = 10.1µm = 0.0101mm (17 Mindesterforderliches Übermass (kleineres Übermass bedeutet Rutschgefahr 3 mm3 U min = (u i (p min u W a (p min +G = (0.584+0.133 10 9.7 +0.0101mm = 0.04mm mm (18 Höchstzulässiges Übermass (grösseres Übermass bedeutet Gefahr des Versagens U max = (u i (p max u W a (p max +G = (0.584+0.133 10 3 87.5+0.0101 = 0.136mm (19 Mit den Begriffen: Bohrung (abe innen: Abmass E, Durchmesser d i = d+e Welle (aussen: Abmass e, Durchmesser d W a = d+e Und den oberen und unteren Werten der Abmasse, wie sie durch Toleranzen vorgegeben sind: Bohrung (abe innen: Oberes Abmass ES, unteres Abmass EI, Durchmesser d i = d ES EI Welle (aussen: Oberes Abmass es, unteres Abmass ei, Durchmesser d W a = d es ei ergeben sich Mindesterforderliches Übermass U min = d W a,min d i,max = d + ei (d + ES = ei ES = 0.04mm (0 Höchstzulässiges Übermass U max = d W a,max d i,min = d + es (d + EI = es EI = 0.136mm (1 Festlegen der Fertigungstoleranzen Es muss nun für Welle und abe eine Passung gefunden werden, deren Übermass innerhalb der obigen Grenzen liegt. Wir legen uns auf eine Einheitsbohrung fest und wählen für die abe eine H7-Toleranz. Dies ist dann zu bevorzugen, wenn die Bohrung der abe mittels Reibahle fertigbearbeitet werden kann ( günstige Bearbeitung, hohe Verfügbarkeit an H7-Reibahlen. ( d abe = 80H7 = Aus (Gl. 0 resp. (Gl. 1 folgen 80 +0,030 0 (kleineres Abmass kann Rutschen bedeuten (grösseres Abmass kann Versagen bedeuten somit EI = 0, ES = +0.030mm ( ei U min + ES = 0.04 + 0.030 = 0.054 mm (3 es U max + EI = 0.136 + 0 = 0.136 mm (4 somit d W elle = 80 +0,136 +0,054 (5 Man könnte diese Toleranz stehen lassen. Aus Fertigungsgründen wird die nächste engere empfohlene normierte Passung gewählt (Werkzeuge und Messgeräte vorhanden: d W elle = 80s6 = 80 +0,078 +0,059 (6 6
otwendige Erwärmung der abe für die Montage Für die gewählte Passung H7/s6 wird U max = d W a,max d i,min = d+0.078mm d 0 = 0.078mm U max + U f = U = T α d U f = d 10 3 α = 1 10 5 K 1 (7 T = U max + U f α d = 0.078mm + 80mm 10 3 10 5 K 1 80mm = 198 C (8 Für diese Temperatur kommt ein Ölbad in Frage. Passungswahl Einheitsbohrung Einheits- Welle Merkmale Anwendungen H8/d9 D10/h9 Die Teile laufen mit sehr weitem Spiel Förderanlagen, Landmaschinen H8/d9 E9/h9 Die Teile laufen mit sehr weitem Spiel Förderanlagen, Landmaschinen H8/e8 E9/h9 Die Teile laufen mit reichlichem Spiel Ringschmieranlagen, Spindeln H7/f7 F8/h6 Die Teile laufen mit merklichem Spiel Kulissensteine in Führungen H7/g6 G7/h6 Die Teile laufen ohne merkliches Spiel Spindellager in Schleifmaschinen, ausrückbare Zahnräder, Teilkopfspindeln H7/h6 H7/h6 Die Teile gleiten, von Hand bewegt, gerade noch Pinole in Reitstock, Säulenführungen H7/j6 nicht festgelegt Die Teile lassen sich mit leichten Schlägen oder von Hand bewegen Riemenscheiben, Zahnräder, abe und Welle bei Keilund Federverbindungen H7/n6 Die Teile lassen sich mit geringem Kraftaufwand fügen Lagerbuchsen in Gehäusen, Kolbenbolzen, Führungssäulen H7/r6 nicht festgelegt Die Teile lassen sich mit grösserem Kraftaufwand fügen Lagerbuchsen in Gehäusen H7/s6 Die Teile lassen sich durch grossen Kraftaufwand, durch Dehnen oder Schrumpfen fügen Zahnkränze, Schrumpfringe H8/u8 Die Teile lassen sich durch Dehnen oder Schrumpfen fügen Räder auf Achsen, Kupplungen auf Wellen Tabelle 1: Passungswahl 7