Musterlösung Übung 4 Aufgabe 1: Radon im Keller a) 222 86Rn hat 86 Protonen, 86 Elektronen und 136 Neutronen. Der Kern hat demnach eine gerade Anzahl Protonen und eine gerade Anzahl Neutronen und gehört zu den g/g-kernen und hat somit eine Kernspindrehimpulsquantenzahl von I 0. b) 222 86Rn hat einen Protonenüberschuss und gehört zu den schwereren Kernen, daher wird 222 86Rn durch Emission eines α-teilchens zerfallen (α-zerfall). Es gilt 222 86 Rn 218 84Po 2 + 4 2He 2+ (1.1) c) Die Aktivität beträgt A 0 300 Bq pro Kubikmeter Luft. Es gilt t 1/2 3.8235 d 3.3035 10 5 s (1.2) k ln 2 0.181 29 d 1 2.0982 10 6 s 1 t 1/2 (1.3) A k N N 0 A 0 k (1.4) 300 Bq 2.0982 10 6 s 1.4298 1 108 Teilchen (pro m 3 Luft). (1.5) Die Anzahl Mol 222 86Rn pro Kubikmeter Luft beträgt n 222 N 0 N A 1.4298 10 8 6.022 14 10 23 mol 1 2.3742 10 16 mol. (1.6) d) Ein Kubikmeter Luft beinhaltet bei einer Temperatur von θ 20 C (T 293.15 K) und einem Druck von p 1013.25 hpa n tot p V R T 101 325 Pa 1 m 3 8.3145 J mol 1 K 1 293.15 K Gasteilchen. Somit beträgt der Molenbruch von 222 86Rn 41.571 mol (1.7) x 222 n 222 n tot 5.7112 10 18. (1.8) e) Damit die Aktivität von 300 Bq konstant bleibt, muss gemäss Gleichung (1.4) die Radonkonzentration (in Teilchen pro m 3 ) und somit auch die Stoffmenge konstant gehalten werden. Der Kellerraum hat ein Volumen von 70 m 3. Die Stoffmenge im Keller beträgt demnach n 0 70 n 222 1.66 10 14 mol und die Gesamtaktivität A (Keller) A (konst) 70 m 3 300 Bq m 3 2.1 10 4 Bq. Damit die Gesamtzahl der Radonteilchen im Keller N (tot) zeitlich konstant ist, (tot)! 0 (1.9) Seite 1 von 5
muss die Summe der radioaktiv zerfallenden Teilchen N ( ) (t) und der zutrömenden Teilchen N (+) (t) gleich N (tot) sein. Wir finden (tot) ( ) + (+) 0 (1.10) (1.11) Der radioaktive Zerfall, im Allgemeinen beschrieben durch hängt von der Gesamzahl der Radonteilchen im Keller ab, d.h. k N, (1.12) Es folgt ( ) k N (tot). (1.13) k N (tot) + (+) (+) 0 (1.14a) k N (tot) (+) k} N {{ (tot) } A (konst). (1.14b) Integriert erhält man N (+) t t 0 1 d86400 s A (konst) A (konst) (t t 0 ) }{{} 2.1 10 4 Bq 86400 s 1.81 10 9 Teilchen. (1.15) Es müssen also 1.81 10 9 Teilchen oder 3.01 10 15 mol in einem Tag dem Raum zugeführt werden, damit die Aktivität konstant gehalten wird. 1 f) Die akkumulierte Äquivalentdosis ist H 300 Bq m 3 365 6 h 2.44 10 6 msv Bq 1 m 3 h 1 1.6 msv. (1.17) g) Nach der Strahlenschutzverordnung (StSV) der Bundesverwaltung 2 darf die effektive Dosis durch Strahlung für nicht beruflich strahlenexponierte Personen den Grenzwert von 1 msv 1 Ein alternativer Lösungsansatz besteht darin, als Näherung das schrittweise Nachfüllen am Ende eines Tages zu berechnen. Dazu bestimmt man, wie viele Mol 222 Rn-Kerne im Laufe eines Tages zerfallen sind. Man erhält n(t) n(t 0 ) n(t 0 + 1 d) n(t 0 ) [1 exp{ k 1 d}] 2.6677 10 15 mol. (1.16) Diese Näherung ist aber nur dann sinnvoll, wenn das Zeitintervall, nach welchem schrittweise 222 Rn dem Keller zugeführt wird, im Vergleich zur Halbwertszeit von 222 Rn sehr klein gewählt wird. Im vorliegenden Fall beträgt die Abweichung des Resultats von jenem, welchem eine kontinuierliche 222 Rn-Zufuhr zu Grunde liegt (siehe Gleichung (1.15)), etwa 10%. Das Resultat wird umso ungenauer, je grösser das Zeitintervall gewählt wird. Der Grund für diese Abweichung liegt in der Tatsache, dass auch das kontinuierlich zuströmende 222 Rn zu Zerfällen führt. 2 https://www.admin.ch/opc/de/classified-compilation/19940157/index.html, Kapitel 4, Artikel 37 Seite 2 von 5
pro Jahr nicht überschreiten. Die Äquivalentdosis überschreitet diesen gesetzlichen Grenzwerte also deutlich. Die Strahlungsbelastung durch Radon wurde vom Gesetzgeber jedoch ausdrücklich bei der Bestimmung der Strahlendosis ausgeschlossen, da sie natürlichen Ursprungs ist und sich nur schwer beeinflussen lässt. Für Gebäude gilt ein Grenzwert von 1000 Bq pro Kubikmeter, oberhalb dessen das Gebäude saniert werden muss. h) Wenn kein Radon hinzukommt, gilt { } n(t) n 0 1 exp { k t} exp ln 2 1000 t 1/2 t. (1.18) Damit ist nach einer Zeit von t ln 1000 k t 1/2 ln 1000 ln 2 38.1 d (1.19) die Radonkonzentration auf 1 1000 der ursprünglichen Konzentration gefallen. Seite 3 von 5
Aufgabe 2: Radioaktivität und Ioabletten a) Alle angegebenen Isotope zerfallen durch einen β -Zerfall: 131 53 I β 131 54Xe + + e + ν e (2.1) 90 38Sr β 90 39Y + + e + ν e ( 90 39Y β 90 40Zr + + e + ν e ) (2.2a) (2.2b) 137 55 Cs β 137 56Ba + + e + ν e. (2.3) 40 K zerfällt zusätzlich mit geringerer Wahrscheinlichkeit (p EC 10.72%) durch Elektroneneinfang 40 19K β 40 20Ca + + e + ν e 40 19K EC 40 18Ar + ν e. (2.4a) (2.4b) b) Die Zerfallskonstanten folgen aus den gegebenen Halbwertszeiten. Wo im Folgenden nicht ausdrücklich spezifiziert, entspricht der Index einer Grösse der Massenzahl des entsprechenden Isotopes. Es gilt k 131 ln 2 t 131 ln 2 8.0252 d ln 2 6.9338 10 5 s 9.9967 10 7 s 1 (2.5) k 90 ln 2 t 90 ln 2 28.90 a ln 2 9.120 10 8 s 7.600 10 10 s 1 (2.6) k 137 ln 2 ln 2 t 137 30.08 a ln 2 9.492 10 8 s 7.302 10 10 s 1 (2.7) k 40 ln 2 t 40 ln 2 1.248 10 9 a ln 2 3.938 10 16 s 1.760 10 17 s 1. (2.8) c) Die Zahl der 40 K Atome N 40 in einer Tablette berechnet sich als N 40 m Tablette h 40 N A M KI 65 10 3 g 166.0028 g mol 1.17 1 10 4 6.02214 10 23 mol 1 2.75889 10 16 (2.9) wobei m Tablette die Masse der Tablette, M KI die molare Masse von KI und h 40 die natürliche Häufigkeit des Isotops 40 K darstellen. Die durch den Zerfall der 40 K Atome bedingte Aktivität ist daher A 40 N 40 k 40 0.486 Bq. (2.10) Diese geringe Aktivität stellt eine vernachlässigbare Belastung dar. Seite 4 von 5
d) Die Aktivität A(t) einer Probe ist proportional zur Zahl der noch vorhandenen radioaktiven Kerne N(t) und der Zerfallskonstante k und beträgt A(t) k N(t) k N 0 exp ( k t) (2.11) wobei N 0 die Zahl der radioaktiven Kerne zum Zeitpunkt t 0 0 und t t t 0 die 1 verstrichene Zeit ist. Die Zeitdauer bis zum Abklingen der Aktivität auf der anfänglichen 500 Aktivität A 0 bestimmt sich zu A(t) A(t) exp ( k t) 1 A 0 k N 0 500 exp ( k t) 1 500 ( ) 1 k t ln 500 t t 131 k k 131 (2.12) ln (2) t 131 6.2167 10 6 s 71.95 d. (2.13) In der selben Zeit reduziert sich die Aktivität einer 90 Sr Probe auf A 90 (t) A 0,90 exp ( k 90 t 131 ) 0.9953A 0,90. (2.14) Die Aktivität hat also um ca. 0.5% abgenommen. e) Wir finden A 131 (t) exp ( k 131 t) A 0,131 exp ( 9.9967 10 7 s 1 6.912 10 6 s ) A 0,131 9.981 10 4 A 0,131. (2.15) Die Aktivität hat sich also um einen Faktor von ungefähr 1000 reduziert. Die Strahlenbelastung durch das bei einem nuklearen Zwischenfall freigesetzte 131 I wäre also schon stark reduziert, wenn das durch die Tablette aufgenommene 127 I im Körper zur Hälfte abgebaut ist. Die Schutzwirkung der Tablette ist also, bezogen auf diesen Aspekt, gut. Seite 5 von 5