Springer-Lehrbuch Masterclass

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Riccardo Gatto Stochastische Modelle der aktuariellen Risikotheorie Eine mathematische Einführung

Riccardo Gatto Universität Bern Institut für Mathematische Statistik und Versicherungslehre Bern Schweiz ISBN 978-3-642-53951-0 DOI 10.1007/978-3-642-53952-7 ISBN 978-3-642-53952-7 (ebook) Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.d-nb.de abrufbar. Mathematics Subject Classification (2010): 60-01, 60G07, 60G51, 60E05, 60K05, 91B30, 91B70 Springer Spektrum Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2014 Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung, die nicht ausdrücklich vom Urheberrechtsgesetz zugelassen ist, bedarf der vorherigen Zustimmung des Verlags. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Bearbeitungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier Springer Spektrum ist eine Marke von Springer DE. Springer DE ist Teil der Fachverlagsgruppe Springer Science+Business Media www.springer-spektrum.de

Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung... 1 1.1 Versicherung und stochastische Modelle... 1 1.2 Abkürzungen und mathematische Notation... 4 1.2.1 Abkürzungen... 4 1.2.2 Mathematische Notation... 4 2 Modelle für individuelle Risiken... 7 2.1 Einleitung... 7 2.1.1 Wichtige Verlust-Verteilungen... 8 2.1.2 Eigenschaften von Verlust-Verteilungen... 13 2.2 Ausfallrate... 17 2.2.1 Definitionen... 17 2.2.2 Monotonie und Schwanz-Verhalten... 19 2.3 Exzess-Funktion... 22 2.4 Maximaler Verlust, Pareto-Typ und subexponentielle Verteilungen... 27 2.4.1 Verteilung des größten Schadensbetrags... 28 2.4.2 Pareto-Typ, Fréchet-Grenzwertsatz und Approximation der Exzess-Funktion... 30 2.4.3 Subexponentielle Verteilungen... 34 2.4.4 Fisher-Tippett-Grenzwertsatz... 39 2.5 Risikomaße... 42 2.5.1 Kohärentes Risikomaß... 42 2.5.2 Value-at-Risk... 44 2.5.3 Tail-Value-at-Risk... 44 2.6 Aufgaben... 46 3 Zählprozesse und zusammengesetzte Prozesse... 51 3.1 Einleitung... 51 3.2 Allgemeine Definitionen... 51 3.3 Geburtsprozesse... 55 3.3.1 Allgemeine Definition und Formel... 55 V

VI Inhaltsverzeichnis 3.3.2 Einführung zum Poisson-Prozess... 56 3.3.3 Prozesse mit Ansteckung: binomiale und negativ-binomiale Prozesse... 58 3.4 Zusammengesetzte Prozesse... 60 3.5 Poisson-Prozesse... 63 3.5.1 Eigenschaften des Poisson-Prozesses... 63 3.5.2 Gemischter Poisson-Prozess... 71 3.5.3 Poisson-Shot-Noise-Prozess... 73 3.5.4 Poisson-random Measures... 75 3.6 Aufgaben... 80 4 Risikoprozess und Ruintheorie... 87 4.1 Einleitung... 87 4.1.1 Die Komponente des Risikoprozesses... 88 4.1.2 Ruinwahrscheinlichkeiten... 89 4.1.3 Verallgemeinerte Risikoprozesse... 92 4.2 Einige grundlegende Resultate... 96 4.3 Zusammenhänge mit der Warteschlangentheorie... 100 4.4 Integrodifferentialgleichung zur Ruinwahrscheinlichkeit... 102 4.5 Anpassungskoeffizient... 105 4.6 Erstes Resultat unter der Initialreserve... 109 4.7 Maximal angehäufter Verlust... 113 4.7.1 Zusammengesetzte geometrische Darstellung... 113 4.7.2 Berechnung der Ruinwahrscheinlichkeit durch Partialbruchzerlegung... 116 4.8 Allgemeine Methoden zur Berechnung der Ruinwahrscheinlichkeit... 119 4.8.1 Heavy-traffic-Approximation... 120 4.8.2 Light-traffic-Approximation... 122 4.8.3 Berechnung durch die Simulation eines dualen Prozesses... 123 4.8.4 Berechnung mit der schnellen Fourier-Transformation (FFT)... 124 4.9 Aufgaben... 126 5 Erneuerungstheorie... 131 5.1 Einleitung... 131 5.2 Definitionen und Beispiele... 131 5.3 Neumann-Reihe-Darstellung und Laplace-Transformation der Erneuerungsfunktion... 135 5.4 Asymptotisches Verhalten... 138 5.4.1 Asymptotisches Verhalten des Erneuerungs-Zählprozesses... 138 5.4.2 Asymptotisches Verhalten der Erneuerungsfunktion... 139 5.5 Asymptotische Lösung von Erneuerungsgleichungen exponentieller Verschiebung... 142 5.6 Aufgaben... 146

Inhaltsverzeichnis VII 6 Exponentieller Maßwechsel und Anwendungen... 151 6.1 Einleitung... 151 6.2 Maßwechsel und exponentieller Maßwechsel... 152 6.3 Exponentieller Maßwechsel für den Poisson-Verlust-prozess... 154 6.3.1 Allgemeine Definitionen und Resultate... 154 6.3.2 Lundberg-Konjugation... 158 6.3.3 Ruinwahrscheinlichkeit im unendlichen Zeithorizont... 159 6.3.4 Ruinwahrscheinlichkeit im endlichen Zeithorizont... 163 6.4 Approximation zur Verteilung der Summe und Theorie der großen Abweichungen... 167 6.4.1 Edgeworth-Reihe... 167 6.4.2 Verschobene Edgeworth-Approximation... 170 6.4.3 Theorie der großen Abweichungen... 174 6.5 Aufgaben... 176 7 Appendix... 179 7.1 Laplace-Transformation und momentenerzeugende Funktion... 179 7.2 Ungleichungen... 180 7.3 Sätze der Lebesgue-Integration... 181 7.4 Stochastische Konvergenzen... 182 7.4.1 Konvergenz in Wahrscheinlichkeit, fast sicher und in L p... 182 7.4.2 Schwache Konvergenz... 184 7.5 Bedingter Erwartungswert... 185 7.6 Dirac-Verteilung und -Funktion... 186 7.6.1 Dirac-Verteilung... 186 7.6.2 Dirac-Funktion und -Dichte... 187 7.7 Elementare Resultate der Analysis... 187 7.7.1 Lineare Differentialgleichung der 2. Ordnung... 187 7.7.2 Partialbruchzerlegung... 188 Literatur... 191 Sachverzeichnis... 193

Vorwort Seit 1999 hält der Autor am Institut für Mathematische Statistik und Versicherungslehre der Universität Bern und am Department of Statistics and Applied Probability der University of California at Santa Barbara Vorlesungen im Bereich der stochastischen Modelle und der mathematischen Methoden der aktuariellen Risikotheorie. Gewonnen aus den persönlichen Notizen der gehaltenen Vorlesungen ist das vorliegende Buch vorrangig für Studenten des fortgeschrittenen Bachelor- bzw. des Masterstudiums Mathematik oder Statistik vorgesehen. Darüber hinaus wendet sich das Buch an Kandidaten, welche das Diplom der Schweizerischen Aktuarvereinigung (SAV) erwerben oder sich auf das Diplom der Society of Actuaries (SOA) vorbereiten möchten. Auch praktizierende Versicherungsmathematiker, welche ihre technischen Kenntnisse in der stochastischen Modellierung oder in den mathematischen Methoden vertiefen wollen, werden mit diesem Buch angesprochen. Voraussetzung sind in jedem Fall gute Grundkenntnisse in der Wahrscheinlichkeitstheorie. Dieses Buch bietet eine präzise Einführung in wichtige stochastische Modelle und mathematische Methoden der aktuariellen Risikotheorie und wendet sich an ein breiteres Publikum als die wenigen Forschungsmonografien, die zu diesem Gebiet existieren. Die Wahl der Hauptthemen resultiert aus persönlichen Schwerpunkten kombiniert mit den Anforderungen aus den Programmen der SAV-Ausbildung: Modelle für den individuellen und für den größten Schadensbetrag, Zählprozesse, Gesamtschadensprozesse, Ruintheorie, Erneuerungstheorie und Maßwechsel für die Berechnung von wichtigen Wahrscheinlichkeiten. Die Fragen meiner Studierenden und die Diskussionen mit meinen Kollegen der Universität Bern und der University of California at Santa Barbara führten zu einer stetigen Verbesserung dieses Buches. Für ihre Mithilfe an der Schreibarbeit danke ich Herrn Benjamin Baumgartner und Frau Katalin Siegfried. Von großer Wichtigkeit für die Realisierung des Buches war die Unterstützung des Springer-Verlags, speziell von Herrn Clemens Heine, Programmleiter Mathematik und Statistik, Frau Agnes Herrmann und nicht zuletzt von Frau Tatjana Strasser durch die sorgfältige Kontrolle des Textes. Für alle diese wertvollen Beiträge und Mitwirkungen bin ich sehr dankbar. Bern, Januar 2014 Riccardo Gatto IX