Modul: Programmierung B-PRG Grundlagen der Programmierung 1 Teil 1 V10

Transkript

1 Modul: Programmierung B-PRG Grundlagen der Programmierung 1 Teil 1 V10 Graphen, Bäume, Halden Prof. Dr. Detlef Krömker Professur für Graphische Datenverarbeitung Institut für Informatik Fachbereich Informatik und Mathematik (12) Übersicht: Wichtige Datenstrukturen geordnete Strukturen lineare Strukturen nichtlineare Strukturen nicht geordnete Strukturen Liste list string tupel Stapel stack Schlange queue Graph frozenset Menge set Abbildung dictionary Verbund gerichtet azyklisch Feld array Vorrangschlange priority queue Baum tree Record Union 2 Programmieren 1 Teil 1 V10 Prof. Dr. Detlef Krömker 1

2 Unser heutiges Lernziel Die Brot und Butter Datenstruktur Baum kennen lernen. Eine spezielle Klasse Baum realisieren. gerichtet azyklisch Graph Baum tree Einordnung und Spezialisierung des Datentyps Baum kennenlernen. M-Way Suchbaum search tree Halde heap binary tree quadtree octtree B-Tree 3 Programmieren 1 Teil 1 V10 Prof. Dr. Detlef Krömker Nicht nur eine Erfindung der Informatik Stammbaum des Wissens Band 1 der Encyclopédie ou Dictionnaire raisonné des sciences, des arts et des métiers (28 Bände, vollendet im Jahr 1772) Jean Baptiste le Rond d'alembert und Denis Diderot 4 Programmieren 1 Teil 1 V10 Prof. Dr. Detlef Krömker 2

3 Wo sind wir in Teil1? V V 1 V 2 V V 4 V V 6 V V 8 V 9 V10 V11 Begrüßung und Einführung Daten Information Wissen Computer Algorithmus Programm Variablen Datentypen Objekte Elementare numerische Datentypen Zeichenketten Verzweigungen und Schleifen Prozeduren Aggregierte Datentypen Klassen Graphen und Bäume Bibliotheken 5 Programmieren 1 Teil 1 V10 Prof. Dr. Detlef Krömker Übersicht Graph Kategorisierung von Graphen Graphen als Datenstruktur Adjazenzmatrix Inzidenzmatrix Adjazenzliste Baum Heap Implementierung von Bäumen 6 Programmieren 1 Teil 1 V10 Prof. Dr. Detlef Krömker 3

4 Graph Definition (Graphentheorie) Ein Graph G ist ein geordnetes Paar zweier Mengen: G = (V, E) Dabei bezeichnet V die Menge der im Graph enthaltenen Knoten (Vertex) und E die Menge der Kanten (Edge) des Graphen. Knoten Anschaulich ist ein Graph ein Gebilde aus Knoten (auch Ecken oder Punkte), die durch Kanten verbunden sein können. Kante Achtung: verschiedene Bilder können denselben Graphen darstellen. 7 Programmieren 1 Teil 1 V10 Prof. Dr. Detlef Krömker Kategorisierung von Graphen ungerichtete Graphen ohne Mehrfachkanten: E ist eine Teilmenge aller 2-elementigen Teilmengen von V schlicht oder einfach gerichtete Graphen ohne Mehrfachkanten: E ist eine Teilmenge des kartesischen Produktes V x V e Startknoten von e Digraph (Directed Graph). Endknoten von e 8 Programmieren 1 Teil 1 V10 Prof. Dr. Detlef Krömker 4

5 Kategorisierung von Graphen (Eigenschaften von E) ungerichteten Graphen mit Mehrfachkanten: E ist eine Multimenge [Elemente können mehrfach vorkommen] über der Menge aller 2-elementigen Teilmengen von V gerichteten Graphen mit Mehrfachkanten: E ist eine Multimenge über dem kartesischen Produkt V x V (Multigraph) (Multigraph) Hypergraphen eine Teilmenge der Potenzmenge von V. 9 Programmieren 1 Teil 1 V10 Prof. Dr. Detlef Krömker Eigenschaften von Graphen Hat eine Kante e in gerichteten Graphen die Form (v, v), so spricht man von einer Schleife (Zyklus). Ist jede Kante eines gerichteten Graphen G Element einer ungerichteten Kante von G, so nennt man G auch symmetrisch. = 10 Programmieren 1 Teil 1 V10 Prof. Dr. Detlef Krömker 5

6 Graphen als Datenstruktur Ein Graph als Datentyp sollte mindestens die folgenden Operationen haben Einfügen (Kante, Knoten) Löschen (Kante, Knoten) Finden eines Objekts (Kante, Knoten). Die bekanntesten Repräsentation von Graphen im Computer sind die Adjazenzmatrix (Nachbarschaftsmatrix) die Adjazenzliste (Nachbarschaftsliste) die Inzidenzmatrix (Knoten-Kanten-Matrix, seltener genutzt) 11 Programmieren 1 Teil 1 V10 Prof. Dr. Detlef Krömker Adjazenzmatrix Ein Graph mit n Knoten kann durch eine n n-matrix repräsentiert werden. Dazu nummeriert man die Knoten von 1 bis n durch und trägt in die Matrix die Beziehungen der Knoten zueinander ein Hypergraphen lassen sich nicht durch eine Adjazenzmatrix darstellen. 12 Programmieren 1 Teil 1 V10 Prof. Dr. Detlef Krömker 6

7 Adjazenzliste Die Adjazenzliste wird in ihrer einfachsten Form durch eine einfach verkettete Liste aller Knoten des Graphen dargestellt, wobei jeder Knoten eine Liste aller seiner Nachbarn (in ungerichteten Graphen) bzw. Nachfolger in gerichteten Graphen besitzt. Vielfachheiten der Kanten Knotengewichte, und Kantengewichte werden meist in Attributen der einzelnen Elemente gespeichert. 13 Programmieren 1 Teil 1 V10 Prof. Dr. Detlef Krömker Adjazenzliste (2) In der Praxis verwendet man daher meist diese Form der Repräsentation. aufwändiger zu implementieren und zu verwalten, bieten aber eine Reihe von Vorteilen gegenüber Adjazenzmatrizen. verbrauchen nur linear viel Speicherplatz, was insbesondere bei dünnen Graphen (also Graphen mit wenig Kanten) von Vorteil ist, während die Adjazenzmatrix quadratischen Platzbedarf bezüglich der Anzahl Knoten besitzt (dafür aber kompakter bei dichten Graphen, also Graphen mit vielen Kanten ist). Zum anderen lassen sich viele graphentheoretische Probleme nur mit Adjazenzlisten in linearer Zeit lösen. 14 Programmieren 1 Teil 1 V10 Prof. Dr. Detlef Krömker 7

8 Inzidenzmatrix (seltener genutzt) Ein Graph mit n Knoten und m Kanten kann auch durch eine n m- Matrix repräsentiert werden. Dazu nummeriert man die Knoten von 1 bis n und die Kanten von 1 bis m durch und trägt in die Matrix die Beziehungen der Knoten zu den Kanten ein. Jede Spalte der Inzidenzmatrix enthält genau zwei von Null verschiedene Einträge. In ungerichteten Graphen zweimal die 1 und in gerichteten Graphen einmal die 1 (Endknoten) und einmal die -1 (Startknoten). 15 Programmieren 1 Teil 1 V10 Prof. Dr. Detlef Krömker Baum Als Wald bezeichnet man in der Graphentheorie einen ungerichteten Graphen ohne Kreis Zyhlus). Ist dieser zusammenhängend, so spricht man von einem (ungerichteten) Baum. Die Zusammenhangskomponenten eines Waldes stellen in diesem Sinne für sich einen Baum dar, so dass ein Wald aus einem oder mehreren Bäumen besteht. Jeder ungerichtete Baum ist also auch ein Wald. Betrachtungen über Wälder lassen sich damit auch auf ungerichtete Bäume übertragen. Umgekehrt sind aber auch Betrachtungen über ungerichtete Bäume häufig leicht auf Wälder übertragbar. 16 Programmieren 1 Teil 1 V10 Prof. Dr. Detlef Krömker 8

9 Gewurzelte Bäume Neben ungerichteten Bäumen betrachtetet man auch gerichtete Bäume, die häufig auch als gewurzelte Bäume bezeichnet werden und sich weiter in In-Trees und Out-Trees unterscheiden lassen. Es gibt einen ausgezeichneten Knoten, den man Wurzel nennt und für den die Eigenschaft gilt, dass alle Kanten von diesem wegzeigen (Out-Tree) oder zu diesem hinzeigen (In-Tree). 17 Programmieren 1 Teil 1 V10 Prof. Dr. Detlef Krömker Eigenschaften die lineare Struktur der Liste wird aufgebrochen. Der maximale Ausgangsgrad wird als Ordnung eines Out-Trees bezeichnet alle Knoten mit Ausgangsgrad 0 bezeichnet man als Blätter. alle Knoten, die kein Blatt sind, als innere Knoten. (Manchmal schließt man die Wurzel dabei aber aus.) Als Tiefe einen Knotens bezeichnet man die Länge des Pfades von der Wurzel zu ihm und als Höhe des Out-Trees die Länge eines längsten Pfades. 18 Programmieren 1 Teil 1 V10 Prof. Dr. Detlef Krömker 9

10 Eigenschaften Für einen von der Wurzel verschiedenen Knoten v bezeichnet man den Knoten, durch den er mit einer eingehenden Kante verbunden ist als Vater, Vaterknoten, Elternknoten oder Vorgänger von v. Als Vorfahren von v bezeichnet man alle Knoten, die entweder Vater von v oder Vorgänger des Vaters sind. Umgekehrt bezeichnet man alle Knoten, die von einem beliebigen Knoten v aus durch eine ausgehende Kante verbunden sind als Kinder, Kinderknoten, Sohn oder Nachfolger von v. Als Nachfahren von v bezeichnet man Kinder von v oder deren Nachfahren. Als Geschwister oder Geschwisterknoten werden in einem Out-Tree Knoten bezeichnet, die den gleichen Vater besitzen. 19 Programmieren 1 Teil 1 V10 Prof. Dr. Detlef Krömker Spezielle Bäume Bei Binärbäumen ist die Anzahl der Kinder höchstens zwei. In balancierten Bäumen gilt zusätzlich, dass sich die Höhen des linken und rechten Teilbaums an jedem Knoten höchstens um eins unterscheiden. Bei Suchbäumen sind die Elemente in der Baumstruktur geordnet abgelegt, so dass man schnell Elemente im Baum finden kann. 20 Programmieren 1 Teil 1 V10 Prof. Dr. Detlef Krömker 10

11 Partiell geordneter Baum Ein partiell geordneter Baum T ist ein Baum, dessen Knoten markiert sind dessen Markierungen aus einem geordneten Wertebereich stammen in dem für jeden Teilbaum T' mit der Wurzel x gilt: Alle Knoten aus T' sind größer markiert als x oder gleich x. Intuitiv bedeutet dies: Die Wurzel jedes Teilbaumes stellt ein Minimum für diesen Teilbaum dar. Die Werte des Teilbaumes nehmen in Richtung der Blätter zu oder bleiben gleich. 21 Programmieren 1 Teil 1 V10 Prof. Dr. Detlef Krömker Geordnete, strikte und vollständige Binärbäume Ein Binärbaum heißt geordnet, wenn jeder innere Knoten ein linkes und eventuell zusätzlich ein rechtes Kind besitzt (und nicht etwa nur ein rechtes Kind). Man bezeichnet ihn als voll oder strikt, wenn jeder Knoten entweder Blatt ist (also kein Kind besitzt), oder aber zwei (also sowohl ein linkes wie ein rechtes) Kinder besitzt. Man bezeichnet ihn als vollständig, wenn alle Blätter die gleiche Tiefe besitzen. Ein vollständiger Binärbaum der Höhe n, n man häufig auch als B n bezeichnet, hat genau 2n+1-1 Knoten, 2i Knoten in Tiefe i, insbesondere also 2n-1 innere Knoten, 2n Blätter mit Höhe n die Länge des Pfades zu einem tiefsten Knoten bezeichnet wird. 22 Programmieren 1 Teil 1 V10 Prof. Dr. Detlef Krömker 11

12 Eine wichtige Operation auf Bäumen: Linearisierung oder Traversierung Es gibt verschiedene Möglichkeiten, die Knoten von Binärbäumen zu durchlaufen. Diesen Prozess bezeichnet man auch als Linearisierung oder Traversierung. Man unterscheidet hier in: pre-order (W L R): wobei zuerst die Wurzel (W) betrachtet wird und anschließend zuerst der linke (L), dann der rechte (R) Teilbaum durchlaufen wird, in-order (L W R): wobei zuerst der linke (L) Teilbaum durchlaufen wird, dann die Wurzel (W) betrachtet wird und anschließend der rechte (R) Teilbaum durchlaufen wird und 23 Programmieren 1 Teil 1 V10 Prof. Dr. Detlef Krömker Eine wichtige Operation auf Bäumen: Linearisierung oder Traversierung post-order (L R W): wobei zuerst der linke (L), dann der rechte (R) Teilbaum durchlaufen wird und anschließend die Wurzel (W) betrachtet wird. level-order Beginnend bei der Wurzel, werden die Ebenen von links nach rechts durchlaufen. 24 Programmieren 1 Teil 1 V10 Prof. Dr. Detlef Krömker 12

13 Rekursive Implementierungen Funktion Preorder (Baum) W <- Baum.Wurzel //W:= Wurzel des übergebenen Baumes If Baum.Links <> NULL //Existiert ein linker Unterbaum? L <- Preorder(Baum.Links) // dann: L:= Preorder von linkem Unterbaum If Baum.Rechts <> NULL //Existiert ein rechter Unterbaum? R <- Preorder(Baum.Rechts) // dann: R:= Preorder von rechtem Unterbaum Return W L R //Rückgabe: Verkettung aus W, L und R Funktion Inorder (Baum) W <- Baum.Wurzel /W:= Wurzel des übergebenen Baumes If Baum.Links <> NULL //Existiert ein linker Unterbaum? L <- Inorder(Baum.Links) // dann: L:= Inorder von linkem Unterbaum If Baum.Rechts <> NULL //Existiert ein rechter Unterbaum? R <- Inorder(Baum.Rechts) // dann: R:= Inorder von rechtem Unterbaum Return L W R //Rückgabe: Verkettung aus L, W und R Funktion Postorder (Baum) W <- Baum.Wurzel //W:= Wurzel des übergebenen Baumes If Baum.Links <> NULL //Existiert ein linker Unterbaum? L <- Postorder(Baum.Links) // dann: L:= Postorder von linkem Unterbaum If Baum.Rechts <> NULL //Existiert ein rechter Unterbaum? R <- Postorder(Baum.Rechts) // dann: R:= Postorder von rechtem Unterbaum Return L R W //Rückgabe: Verkettung aus L, R und W 25 Programmieren 1 Teil 1 V10 Prof. Dr. Detlef Krömker Man unterscheidet hier weiter in binäre Suchbäume mit AVL-Bäumen als balancierte Version und B-Bäumen sowie diversen Varianten, den B*-Bäumen (die Blattknoten in einer Liste miteinander verkettet). (Spezielle Suchbäume in Datenbanksystemen Achtung: B steht nicht für binär!) In B*-Bäumen wird neben der effizienten Suche einzelner Datenelemente auch das schnelle sequenzielle Durchlaufen aller Datenelemente unterstützt). Eine detaillierte Diskussion würde hier zu weit führen, aber Sie werden in Ihrem Studium noch viel davon hören, versprochen ;-) 26 Programmieren 1 Teil 1 V10 Prof. Dr. Detlef Krömker 13

14 Bäume als Datenstruktur Gewurzelte Bäume, insbesondere Out-Trees, Bei beschränkter Ordnung können diese so implementiert werden, dass jeder Knoten einen festen Satz an Variablen oder ein Array für die Referenzen auf seine Kinder enthält. Ein Baum unbeschränkter Ordnung kann implementiert werden, indem man statt Arrays dynamische Listen verwendet (z. B. in Python). Häufig besitzen die Knoten auch eine Referenz auf ihren Elternknoten (back pointer). 27 Programmieren 1 Teil 1 V10 Prof. Dr. Detlef Krömker Bäume als Datenstruktur (2) In Programmiersprachen ohne dynamische Listen hat sich auch ein Verfahren bewährt, bei dem ein allgemeiner Baum durch einen Binärbaum implementiert wird rote Linie zeigt dabei den realisierten allgemeinen Baum Pfeile zeigen die tatsächlich implementierte Zeigerstrukturen repräsentieren. Prinzip: linke Zeiger zeigt auf den am weitesten links stehenden Sohn rechte Zeiger auf den rechten Bruder verweist. 28 Programmieren 1 Teil 1 V10 Prof. Dr. Detlef Krömker 14

15 Heap Der Heap (Haufen, Halde) vereint die Datenstruktur eines Baums mit den Operationen einer Vorrangwarteschlange. Je nach Reihenfolge in der Vorrangwarteschlange spricht man von Min-Heap oder einem Max-Heap. Häufig hat der Heap neben den minimal nötigen Operationen wie insert, remove und extractmin (-Max)auch noch weitere Operationen wie merge oder changekey. In einem Heap können Objekte oder Elemente abgelegt und aus diesem wieder entnommen werden. Sie dienen damit der Speicherung von Mengen. Den Elementen ist dabei ein Schlüssel zugeordnet, der die Priorität der Elemente festlegt. Häufig werden auch die Elemente selbst als Schlüssel verwendet. 29 Programmieren 1 Teil 1 V10 Prof. Dr. Detlef Krömker Übersicht... zur Implementierung gerichtet azyklisch Graph Baum tree Implementierung mit einer dynamischen Liste in Python einfach und effizient möglich Übung M-Way Suchbaum search tree Halde heap Wir betrachten eine Variante zur Übung... Programmierung einer Klasse! binary tree quadtree octtree B-Tree 30 Programmieren 1 Teil 1 V10 Prof. Dr. Detlef Krömker 15

16 Vorab: Zusammenfassung der Namenskonventionen (1) (1) Namen, die mit zwei Unterstrichen beginnen und enden (zum Beispiel init ), haben eine besondere Bedeutung für den Interpreter: Klassen fangen eingebaute Operationen ab und implementieren dieses auf ihre Art (Überladen die Methode), indem sie Methoden mit zwei Unterstrichen beginnen und enden lassen, die sie von ihrer Oberklasse geerbt haben. (2) Namen, die mit einem Unterstrich beginnen, (z.b. _A) und denen auf oberster Ebene eines Moduls zugewiesen wird, werden bei from module import * nicht sichtbar. (Pseudo private Attribute) (3) Namen in einer class-anweisung, die mit zwei Unterstrichen beginnen, aber nicht damit enden, z.b. A, wird der Name der Klasse vorangestellt (Pseudo private Attribute) 31 Programmieren 1 Teil 1 V10 Prof. Dr. Detlef Krömker Zusammenfassung der Namenskonventionen (2) (4) Klassennamen beginnen normalerweise mit einem großen Buchstaben, z.b. MeineKlasse (Camel Casing) (5) Der erste (am weitesten links stehende) Parameter der Methodendefinition innerhalb von Klassen wird normalerweise self genannt. (6) Qualifizierte Namen werden als Attribute bezeichnet und unterliegen den Regeln für Objekt-Namensräumen. Zuweisungen in bestimmten lexikalischen Geltungsbereichen (beziehen sich auf die Schachtelung im Quellcode eines Programmes) initialisieren Objekt-Namensräume (Module, Klassen). 32 Programmieren 1 Teil 1 V10 Prof. Dr. Detlef Krömker 16

17 Ein Beispiel für die (unvollständige) Implementierung eines binären Suchbaums class Node: def init (self, data=none): self.data = data self.left = None self.right = None def str (self): return "[%s, %i, %i]" % (str(self.data), id(self.left), id(self.right)) 33 Programmieren 1 Teil 1 V10 Prof. Dr. Detlef Krömker Implementierung eines binären Suchbaums (2) class BTree: def init (self): self.root = None def _prchilds(self, node): if node!= None: return "(%s; %s; %s)" (self._prchilds(node.left), node, self._prchilds(node.right)) else: return "nil" 34 Programmieren 1 Teil 1 V10 Prof. Dr. Detlef Krömker 17

18 Implementierung eines binären Suchbaums (3) def add(self, data): if self.root == None: self.root = Node(data) else: curnode = self.root lastnode = self.root while curnode!= None: lastnode = curnode if data < curnode.data: curnode = curnode.left direction = -1 # links einfügen else: curnode = curnode.right direction = +1 # rechts einfügen if direction == -1: lastnode.left = Node(data) else: lastnode.right = Node(data) 35 Programmieren 1 Teil 1 V10 Prof. Dr. Detlef Krömker Testen unserer Implementierung in der Python Shell >>> a=btree() >>> a.add(4) >>> a.add(2) >>> a.add(7) >>> a < main.btree instance at 0x00C26828> >>> a. str () '((nil; [2, , ]; nil); [4, , ]; (nil; [7, , ]; nil))' 36 Programmieren 1 Teil 1 V10 Prof. Dr. Detlef Krömker 18

19 Zusammenfassung Graphen, Bäume, Heaps ganz wichtige Datenstrukturen Sie wissen, was das ist und wissen, wie es zu implementieren ist es fehlen aber noch viele weitergehende Aspekte,... Datenstrukturen im 2. Semester,... Programmieren erfordert Disziplin, Ausdauer, abstraktes Denkvermögen, Kreativität und hohe Lernbereitschaft! 37 Programmieren 1 Teil 1 V10 Prof. Dr. Detlef Krömker Was haben wir (noch) nicht gemacht? Algorithmenkonstruktion... macht Prof. Drobnik Interaktive Programme mit graphischer Oberfläche... das tut mir etwas weh! ein Teil des Skripts fehlt noch V2... wird bald nachgeliefert und auch eine Überarbeitung (insbesondere Fehlerkorrektur) Sie erkennen das an einer Versionsnummer (-X) auf dem Server Möglichkeiten sich Selbsttest (Multiple-Choice Fragen, demnächst!) 38 Programmieren 1 Teil 1 V10 Prof. Dr. Detlef Krömker 19

20 Fragen und (hoffentlich) Antworten 39 Programmieren 1 Teil 1 V10 Prof. Dr. Detlef Krömker Ausblick Der Abschluss des Teils 1 (für die Klausur immerhin schon 45%): jeweils nur ausgewählte Elemente: Module, Pakete Ein- / Ausgabe exceptions event-based programming und eine 1. Evaluierung Danke für Ihre Aufmerksamkeit! 40 Programmieren 1 Teil 1 V10 Prof. Dr. Detlef Krömker 20