Grundlagen des Mathematikunterrichts in der Sekundarstufe

Transkript

1 Grundlagen des Mathematikunterrichts in der Sekundarstufe

2 Mathematik Primarstufe und Sekundarstufe I + II Herausgegeben von Prof. Dr. Friedhelm Padberg Universität Bielefeld Bisher erschienene Bände (Auswahl): Didaktik der Mathematik P. Bardy: Mathematisch begabte Grundschulkinder Diagnostik und Förderung (P) M. Franke: Didaktik der Geometrie (P) M. Franke/S. Ruwisch: Didaktik des Sachrechnens in der Grundschule (P) K. Hasemann: Anfangsunterricht Mathematik (P) K. Heckmann/F. Padberg: Unterrichtsentwürfe Mathematik Primarstufe (P) G. Krauthausen/P. Scherer: Einführung in die Mathematikdidaktik (P) G. Krummheuer/M. Fetzer: Der Alltag im Mathematikunterricht (P) F. Padberg/C. Benz: Didaktik der Arithmetik (P) P. Scherer/E. Moser Opitz: Fördern im Mathematikunterricht der Primarstufe (P) G. Hinrichs: Modellierung im Mathematikunterricht (P/S) R. Danckwerts/D. Vogel: Analysis verständlich unterrichten (S) G. Greefrath: Didaktik des Sachrechnens in der Sekundarstufe (S) F. Padberg: Didaktik der Bruchrechnung (S) H.-J. Vollrath/H.-G. Weigand: Algebra in der Sekundarstufe (S) H.-J. Vollrath/J. Roth: Grundlagen des Mathematikunterrichts in der Sekundarstufe (S) H.-G. Weigand/T. Weth: Computer im Mathematikunterricht (S) H.-G. Weigand et al.: Didaktik der Geometrie für die Sekundarstufe I (S) Mathematik F. Padberg: Einführung in die Mathematik I Arithmetik (P) F. Padberg: Zahlentheorie und Arithmetik (P) K. Appell/J. Appell: Mengen Zahlen Zahlbereiche (P/S) A. Filler: Elementare Lineare Algebra (P/S) S. Krauter: Erlebnis Elementargeometrie (P/S) H. Kütting/M. Sauer: Elementare Stochastik (P/S) T. Leuders: Erlebnis Arithmetik (P/S) F. Padberg: Elementare Zahlentheorie (P/S) F. Padberg/R. Danckwerts/M. Stein: Zahlbereiche (P/S) A. Büchter/H.-W. Henn: Elementare Analysis (S) G. Wittmann: Elementare Funktionen und ihre Anwendungen (S) P: Schwerpunkt Primarstufe S: Schwerpunkt Sekundarstufe Weitere Bände in Vorbereitung

3 Hans-Joachim Vollrath / Jürgen Roth Grundlagen des Mathematikunterrichts in der Sekundarstufe 2. Auflage

4 Autoren Prof. Dr. Hans-Joachim Vollrath Universität Würzburg Institut für Mathematik Emil-Fischer-Str Würzburg Prof. Dr. Jürgen Roth Universität Koblenz-Landau Institut für Mathematik Fortstraße Landau roth@uni-landau.de Weitere Informationen zum Buch finden Sie unter Wichtiger Hinweis für den Benutzer Der Verlag, der Herausgeber und die Autoren haben alle Sorgfalt walten lassen, um vollständige und akkurate Informationen in diesem Buch zu publizieren. Der Verlag übernimmt weder Garantie noch die juristische Verantwortung oder irgendeine Haftung für die Nutzung dieser Informationen, für deren Wirtschaftlichkeit oder fehlerfreie Funktion für einen bestimmten Zweck. Ferner kann der Verlag für Schäden, die auf einer Fehlfunktion von Programmen oder ähnliches zurückzuführen sind, nicht haftbar gemacht werden. Auch nicht für die Verletzung von Patentund anderen Rechten Dritter, die daraus resultieren. Eine telefonische oder schriftliche Beratung durch den Verlag über den Einsatz der Programme ist nicht möglich. Der Verlag übernimmt keine Gewähr dafür, dass die beschriebenen Verfahren, Programme usw. frei von Schutzrechten Dritter sind. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Buch berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Der Verlag hat sich bemüht, sämtliche Rechteinhaber von Abbildungen zu ermitteln. Sollte dem Verlag gegenüber dennoch der Nachweis der Rechtsinhaberschaft geführt werden, wird das branchenübliche Honorar gezahlt. Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über abrufbar. Springer ist ein Unternehmen von Springer Science+Business Media springer.de 2. Auflage 2012 Spektrum Akademischer Verlag Heidelberg 2012 Spektrum Akademischer Verlag ist ein Imprint von Springer Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlages unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Planung und Lektorat: Dr. Andreas Rüdinger, Barbara Lühker Herstellung: Crest Premedia Solutions (P) Ltd, Pune, Maharashtra, India Satz: Autorensatz Umschlaggestaltung: SpieszDesign, Neu-Ulm ISBN

5 Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis... V Einleitung... IX 1 Mathematik als Unterrichtsfach Mathematik in der Schule Einschätzungen des Fachs Schule für alle Allgemeinbildung als Auftrag der Schule Schultypen Schultyp und Fächerkanon Mathematik im Fächerkanon Mathematik als allgemeinbildendes Fach Beiträge zur Entfaltung der Persönlichkeit Beiträge zur Umwelterschließung Beiträge zur Teilhabe an der Gesellschaft Beiträge zur Vermittlung von Normen und Werten Mathematik als qualifizierendes Fach Qualifikation als Ziel Die Bedeutung der Mathematik für die Berufsreife Mathematik und Hochschulreife Die Qualifikationsproblematik der Primarstufe Mathematik als authentisches Fach Zuverlässige Erfahrung von Mathematik Mathematisches Wissen Mathematik im Entstehen Mathematik und Wirklichkeit Mathematische Weltbilder Einstellungen zur Mathematik Inhalte des Mathematikunterrichts Das Curriculumproblem Das Zentrale Fundamentale Ideen Das Elementare Das Curriculum Mathematik lernen Aspekte des Lernens von Mathematik... 43

6 VI Inhaltsverzeichnis Mathematik: Wissen Lehren Lernen Arten mathematischen Wissens Entstehen mathematischen Wissens Mathematik lernen als Wissenserwerb Mathematik verstehen Mathematik lernen als Denkvorgang Systemorientiertes Lernen von Mathematik Systemorientiert lernen Bedingungen systemorientierten Lernens Die Rolle des Gedächtnisses Die Problematik der Systematik für das Lernen Problemorientiertes Lernen von Mathematik Problemorientiertes Lernen Bedingungen problemorientierten Lernens Die Rolle der Wahrnehmung Die Problematik der Aufgabensammlungen Reflektierendes Lernen von Mathematik Erwerb von mathematischem Metawissen Logisches Denken lernen Algorithmisches Denken lernen Problemlösen lernen Kreativität lernen Bewerten lernen Langfristiges Lernen von Mathematik Zur Entwicklung mathematischen Lernens Das langfristige Lernen von Operationen Modelle langfristigen Lernens von Mathematik Langfristiges Lernen als Aufbau einer kognitiven Struktur Mathematik lehren Mathematik lehren als Aufgabe Mathematik lehren als umfassende Aufgabe Lehraufgaben in einzelnen Unterrichtsphasen Das Lehren von Inhalten und Methoden Unterrichtskonzeptionen Bestand und Wandel im Mathematikunterricht Didaktische Prinzipien des Mathematikunterrichts Genetischer Mathematikunterricht Problemorientierter Mathematikunterricht Zielorientierter Mathematikunterricht Offener Mathematikunterricht Selbstständiges Üben am Computer Grundmuster des Lehrens Mathematik darbieten

7 Inhaltsverzeichnis VII Mathematisch handeln lassen Mathematik erarbeiten Sozialformen Kommunikation im Mathematikunterricht Sprache im Mathematikunterricht Mathematische Texte Bilder im Mathematikunterricht Tafel und Tageslichtprojektor Didaktische Materialien Lernumgebungen Der Computer als Medium im Mathematikunterricht Werkzeuge im Mathematikunterricht Die klassischen Werkzeuge Der Computer als Werkzeug im Mathematikunterricht Organisation des Arbeitens mit dem Computer Der graphikfähige Taschenrechner Diskussion zur Auswahl der Computerwerkzeuge Mathematikunterricht planen Planung eines Lehrgangs Der Lehrplan Aufbau eines mathematischen Lehrgangs Themenstränge eines mathematischen Lehrgangs Themenkreise eines mathematischen Lehrgangs Jahresplan Umfang der Behandlung der Themen Bildung von Unterrichtssequenzen Anordnung der Unterrichtssequenzen Planung einer Unterrichtssequenz Entscheidung über die didaktische Konzeption Auswahl der Inhalte Anordnung der Inhalte Verteilung der Inhalte Planung eines Projekts Wahl des Themas Stellen des Themas Organisation Planung einer Unterrichtseinheit Typen von Inhalten Ziele Zugänge Gliederung Lehrmuster und Sozialformen Die Problematik der reinen Aufgabensequenzen

8 VIII Inhaltsverzeichnis 4.6 Planung wichtiger Unterrichtsphasen Themenstellungen Einstiege Übungen Computergestützte Lernumgebungen Lernzirkel Kontrollen Mathematik erarbeiten Erarbeiten von Begriffen Zur Rolle von Begriffen Einbindung des Begriffs in einen Problemkontext Erarbeiten des Begriffs Erkunden des Begriffs Der Computer beim Erarbeiten eines Begriffs Beispiel: Ein Plan zur Erarbeitung eines Begriffs Erarbeiten von Sachverhalten Didaktische Aufgaben Erschließung neuer Sachverhalte Verschiedene Begründungsweisen Der Computer beim Erarbeiten von Sachverhalten Beispiel: Ein Plan zur Erarbeitung eines Sachverhalts Erarbeiten von Verfahren Didaktische Aufgaben Benötigte Vorkenntnisse und Fähigkeiten Von der Idee zum Rezept Ziele und Wege Üben und Verstehen Der Computer bei der Erarbeitung eines Verfahrens Beispiel: Ein Plan zur Erarbeitung eines Verfahrens Anwenden und Modellbilden Phänomene Anwendungsaufgaben Sachstruktur Der Computer beim Modellieren Beispiel: Ein Plan einer Modellbildung Problemlösen Problemlösen lehren Freude und Leid des Problemlösens Der Computer beim Problemlösen Unterricht als Problem Literatur Index

9 Einleitung Die Grundlagen des Mathematikunterrichts in der Sekundarstufe I werden in diesem Buch aus didaktischer Sicht behandelt. Im Vordergrund stehen die folgenden Fragen: Wie lässt sich Mathematik als Pflichtfach für alle Heranwachsenden in allen Schultypen und in allen Jahrgangsstufen rechtfertigen? Welche Ziele hat dieser Unterricht? Welche Inhalte sind zu unterrichten? Was bedeutet es, Mathematik zu lernen, und unter welchen Bedingungen vollzieht es sich? Was geschieht dabei im Denken des Menschen? Was bedeutet es, Mathematik zu lehren? Gibt es Erfolg versprechende Handlungsmuster der Lehrenden für den Mathematikunterricht? Wie plant man Mathematikunterricht so, dass kurz- und mittelfristiges Lernen erfolgt und zu langfristigem Lernen führt? Wie plant man einen lebendigen, zielgerichteten Unterricht, ohne die Spontaneität von Lehrenden und Lernenden zu verhindern? Wie kann man die wichtigsten Typen mathematischer Inhalte im Mathematikunterricht der Sekundarstufe I erarbeiten? Diese allgemeinen Fragen werden in 5 Kapiteln aus der Sicht der Mathematikdidaktik theoretisch und zugleich mit Blick auf die Unterrichtspraxis behandelt. Inhaltliche Fragen des Mathematikunterrichts werden überwiegend in Beispielen angesprochen. Dabei gehen wir auch ausführlich auf die Rolle der elektronischen Medien für das Lehren und Lernen von Mathematik ein. Obwohl der Taschenrechner heute in der Hand der Schülerinnen und Schüler inzwischen eine Selbstverständlichkeit ist, beginnt in Deutschland der Unterricht erst damit, z.b. die Möglichkeiten der graphikfähigen Taschenrechner zu nutzen, die vor allem im englischen Sprachraum bereits umfassend eingesetzt werden. Die sich ständig weiterentwickelnden dynamischen Geometriesysteme, Tabellenkalkulationsprogramme und Computeralgebrasysteme ermöglichen einen vielfältigen Einsatz des Computers als Werkzeug im Mathematikunterricht. Darüber hinaus kann der Computer als Unterrichtsmedium in allen Phasen des Unterrichtsgeschehens auf unterschiedliche Weise nutzbringend verwendet werden. Dieses Buch soll die Lehrenden anregen, die durch den Computer entstehenden Freiräume nicht allein mit neuen Inhalten und Aufgaben zu füllen, sondern

10 X Einleitung für einen neuen Unterrichtsstil zu nutzen, bei dem die Lernenden Spielraum zur Entfaltung eigener Ideen erhalten, ihre Gedanken in Ruhe entwickeln und Zusammenhänge und Gesetzmäßigkeiten selbst entdecken können. Nach unserer Auffassung bieten leistungsfähige Taschenrechner und Computerwerkzeuge die Chance, tiefer in die Mathematik einzudringen, so dass Verstehen von Mathematik für alle Schülerinnen und Schüler möglich wird und sie Aufgaben lösen können, an denen sie sonst vielleicht scheitern würden. Für die Mathematikdidaktik ist das Lehren und Lernen von Mathematik das zentrale Forschungsanliegen. Dabei liefern Mathematik, Pädagogik und Psychologie Argumente, mit denen sich didaktische Theorien stützen lassen. Mathematikdidaktik gründet sich aber auch auf Unterrichtserfahrung, die theoretisch reflektiert wird, und auf Ergebnisse empirischer didaktischer Forschung. Mathematikdidaktik ist in Deutschland seit etwa 50 Jahren an den wissenschaftlichen Hochschulen etabliert. Grundlegende mathematikdidaktische Fragen werden international erforscht. Da es hier in erster Linie um Fragen des Mathematikunterrichts in Deutschland geht, wird überwiegend auf deutsche Literatur Bezug genommen. Wo allgemeine Fragen berührt werden, wird auch einschlägige internationale Literatur mit herangezogen. Verweise auf ältere Literatur sollen die Wurzeln didaktischer Ideen aufzeigen, die in der didaktischen Diskussion der Gegenwart wichtig sind. Dabei wird sich zeigen, dass manche alte Idee lediglich in neuem Gewand daherkommt. Das lässt sich häufig bei Begriffen nachweisen, die aus den USA nach Deutschland kommen und anscheinend modern wirken. Um sich an der aktuellen Diskussion beteiligen zu können, kann sich die Mathematikdidaktik kaum diesem Vokabular entziehen. Aus diesem Grund finden sich auch in diesem Buch einige dieser Begriffe. Im geteilten Deutschland hatte sich die Entwicklung der Mathematikdidaktik in der DDR wurde sie als Methodik des Mathematikunterrichts bezeichnet weitgehend getrennt vollzogen. Bei der Wiedervereinigung wurden die Strukturen überwiegend von der Bundesrepublik her bestimmt. Das gilt auch für die Didaktik und für das Schulsystem. Der Mathematikunterricht in Deutschland hat also unterschiedliche Traditionen. Manches lässt sich nur verstehen, wenn man dies bei der Analyse berücksichtigt. In den historischen Betrachtungen wird deshalb auch immer wieder auf Beiträge von Mathematikdidaktikern der ehemaligen DDR verwiesen. Mathematikunterricht wendet sich an Heranwachsende. Sie sollen lernen, mathematisch zu denken. Das ist nur möglich, wenn die Lehrenden von den Heranwachsenden her denken. Das eigene kindliche Denken haben Erwachsene weitgehend vergessen. Wer Kinder lehren will, muss deshalb wieder lernen, wie Kinder denken. Dazu will dieses Buch zumindest Anstöße geben.

11 Einleitung XI In der hier vorgelegten neuen Auflage sind an vielen Stellen Verbesserungen angebracht worden: Beispiele und Literaturhinweise wurden aktualisiert. Inhaltlich Neues, das im Wesentlichen auf den neu gewonnenen zweiten Autor zurückgeht, ist vor allem im Hinblick auf einen sinnvollen Einsatz des Taschenrechners und des Computers hinzugekommen. Darüber hinaus finden sich jeweils am Ende eines Kapitels Aufgaben, die zur Beschäftigung mit einschlägigen didaktischen Problemen des behandelten Themas einladen. Bei der Überarbeitung waren uns die Anregungen von Prof. Dr. Dr. Günter Pickert, Gießen, und von Prof. Dr. Hans Schupp, Saarbrücken, eine Hilfe, für die wir herzlich danken. Dem Herausgeber dieser Schriftenreihe und dem Verlag danken wir für die Möglichkeit dieser Neuauflage. Für Ergänzungen verweisen wir auf die in dieser Reihe erschienenen Bücher: Vollrath, H.-J., Weigand, H.-G., Algebra in der Sekundarstufe, 2007³; Weigand, H.-G. et al., Didaktik der Geometrie für die Sekundarstufe I, 2009; Weigand, H.-G., Weth, T., Computer im Mathematikunterricht, Schließlich sei auf unsere Informationsmaterialien zu den Grundlagen des Mathematikunterrichts in der Sekundarstufe I im Internet verwiesen, die sich unter der folgenden Adresse finden: