Okt: Schulinterner Lehrplan zum Kernlehrplan für die gymnasiale Oberstufe des Maria-Sibylla- Merian-Gymnasiums Telgte.

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1 Okt: 2015 Schulinterner Lehrplan zum Kernlehrplan für die gymnasiale Oberstufe des Maria-Sibylla- Merian-Gymnasiums Telgte Mathematik

2 Inhalt 1 Die Fachgruppe Mathematik am Maria-Sibylla-Merian-Gymnasium 3 2 Entscheidungen zum Unterricht Unterrichtsvorhaben Übersichtsraster Unterrichtsvorhaben 7 Übersicht über die Unterrichtsvorhaben Konkretisierte Unterrichtsvorhaben 23 Einführungsphase Funktionen und Analysis (A) 24 Einführungsphase Analytische Geometrie und Lineare Algebra (G) 31 Problemlösen 34 Werkzeuge nutzen 35 Modellieren 36 Kommunizieren 36 Q-Phase Grundkurs Funktionen und Analysis (A) 39 Modellieren 40 Q-Phase Grundkurs Analytische Geometrie und Lineare Algebra (G) 56 Q-Phase Grundkurs Stochastik (S) 63 Q-Phase Leistungskurs Funktionen und Analysis (A) 70 Q-Phase Leistungskurs Analytische Geometrie und Lineare Algebra (G) 88 Q-Phase Leistungskurs Stochastik (S) Grundsätze der fachmethodischen und fachdidaktischen Arbeit 109 Überfachliche Grundsätze: 110 Fachliche Grundsätze: Grundsätze der Leistungsbewertung und Leistungsrückmeldung Lehr- und Lernmittel Entscheidungen zu fach- und unterrichtsübergreifenden Fragen Qualitätssicherung und Evaluation 117 Seite 2

3 1 Die Fachgruppe Mathematik am Maria-Sibylla-Merian-Gymnasium Das Maria-Sibylla-Merian-Gymnasium arbeitet in der Kleinstadt Telgte (unter Einwohner) als Solitär-Gymnasium. Zur Zeit unterrichten gut 70 Lehrerinnen und Lehrer etwa 850 Schülerinnen und Schüler, die nahezu vollständig aus Telgte mit seinen umliegenden Stadtteilen Westbevern-Dorf und Vadrup sowie aus Ostbevern stammen. Insgesamt ist die Schülerschaft in ihrer Zusammensetzung eher heterogen. In die Einführungsphase der Sekundarstufe II wurden in den letzten Jahren nur wenige Schülerinnen und Schüler neu aufgenommen, überwiegend aus der benachbarten Realschule. Diese werden im Fach Mathematik auf die parallelen Kurse gleichmäßig verteilt. In der Regel werden in der Einführungsphase fünf parallele Grundkurse eingerichtet, aus denen sich für die Qualifikationsphase zwei Leistungsund drei Grundkurse entwickeln. Zudem werden in der Einführungsphase im Fach Mathematik in der Regel zwei Vertiefungskurse eingerichtet, in die die Schülerinnen und Schüler im zweiten Halbjahr der Jahrgangsstufe 9 von den Fachlehrinnen und Fachlehrern beraten werden. Der Unterricht findet im 45-Minuten-Takt statt, wobei in der Sekundarstufe I im Stundenplan in der Regel eine Doppelstunde und zwei Einzelstunden erscheinen. In den Grundkursen der Oberstufe wird durchgängig ebenfalls eine Doppelstunde eingeplant, in den Leistungskursen zwei. Den im Schulprogramm ausgewiesenen Zielen, Schülerinnen und Schüler ihren Neigungen entsprechend individuell zu fördern und ihnen Orientierung für ihren weiteren Lebensweg zu bieten, fühlt sich die Fachgruppe Mathematik in besonderer Weise verpflichtet: Schülerinnen und Schüler aller Klassen- und Jahrgangsstufen werden zur Teilnahme am Känguruh-Wettbewerb im Fach Mathematik angehalten, in den Jahrgangsstufen 5 und 6 ist die Teilnahme verpflichtend. Seit mehreren Jahren schickt die Schule eine Schülerin bzw. einen Schüler aus der Jahrgangsstufe 6 zur regionalen Fördermaßnahme SAMS nach Münster. Darüber hinaus werden die Schülerinnen und Schüler aller Jahrgangsstufen zur begleiteten Teilnahme an der Mathematik- Olympiade animiert. Für den Fachunterricht aller Stufen besteht Konsens darüber, dass wo immer möglich mathematische Fachinhalte mit Lebensweltbezug vermittelt werden. Besonders eng ist die Zusammenarbeit mit der Fachgruppe Physik, was deshalb leicht fällt, da sie eine echte Teilmenge der Fachgruppe Mathematik darstellt. In der Sekundarstufe II kann verlässlich darauf aufgebaut werden, dass die Verwendung von Kontexten im Mathematikunterricht bekannt ist. Ein wissenschaftlicher Taschenrechner wird in der Sekundarstufe I ab Klasse 7 verwendet, dynamische Geometrie-Software und 3

4 Tabellenkalkulation werden an geeigneten Stellen im Unterricht genutzt, der Umgang mit ihnen eingeübt. Dazu stehen in der Schule zwei PC- Unterrichtsräume zur Verfügung. In der Sekundarstufe II kann deshalb davon ausgegangen werden, dass die Schülerinnen und Schüler mit den grundlegenden Möglichkeiten dieser digitalen Werkzeuge vertraut sind. Der grafikfähige Taschenrechner wird in der Einführungsphase eingeführt. 4

5 2 Entscheidungen zum Unterricht Hinweis: Die nachfolgend dargestellte Umsetzung der verbindlichen Kompetenzerwartungen des Kernlehrplans findet auf zwei Ebenen statt. Das Übersichtsraster gibt den Lehrkräften einen raschen Überblick über die laut Fachkonferenz verbindlichen Unterrichtsvorhaben pro Schuljahr. In dem Raster sind, außer dem Thema des jeweiligen Vorhabens, das schwerpunktmäßig damit verknüpfte Inhaltsfeld bzw. die Inhaltsfelder, inhaltliche Schwerpunkte des Vorhabens sowie Schwerpunktkompetenzen ausgewiesen. Die Konkretisierung von Unterrichtsvorhaben führt weitere Kompetenzerwartungen auf und verdeutlicht vorhabenbezogene Absprachen und Empfehlungen, z. B. zur Festlegung auf einen Aufgabentyp bei der Lernerfolgsüberprüfung durch eine Klausur. 2.1 Unterrichtsvorhaben Die Darstellung der Unterrichtsvorhaben im schulinternen Lehrplan besitzt den Anspruch, sämtliche im Kernlehrplan angeführten Kompetenzen abzudecken. Dies entspricht der Verpflichtung jeder Lehrkraft, Schülerinnen und Schülern Lerngelegenheiten zu ermöglichen, so dass alle Kompetenzerwartungen des Kernlehrplans von ihnen erfüllt werden können. Die entsprechende Umsetzung erfolgt auf zwei Ebenen: der Übersichts- und der Konkretisierungsebene. Im Übersichtsraster Unterrichtsvorhaben (Kapitel 2.1.1) wird die Verteilung der Unterrichtsvorhaben dargestellt. Sie ist laut Beschluss der Fachkonferenz verbindlich für die Unterrichtsvorhaben I, II und III der Einführungsphase und für die Unterrichtsphasen der Qualifikationsphase. Die zeitliche Abfolge der Unterrichtsvorhaben IV bis VIII der Einführungsphase ist jeweils auf die Vorgaben zur Vergleichsklausur abzustimmen. Das Übersichtsraster dient dazu, den Kolleginnen und Kollegen einen schnellen Überblick über die Zuordnung der Unterrichtsvorhaben zu den einzelnen Jahrgangsstufen sowie den im Kernlehrplan genannten Kompetenzen, Inhaltsfeldern und inhaltlichen Schwerpunkten zu verschaffen. Um Klarheit für die 5

6 Lehrkräfte herzustellen und die Übersichtlichkeit zu gewährleisten, werden in der Kategorie Kompetenzen an dieser Stelle nur die übergeordneten Kompetenzerwartungen ausgewiesen, während die konkretisierten Kompetenzerwartungen erst auf der Ebene konkretisierter Unterrichtsvorhaben Berücksichtigung finden. Der ausgewiesene Zeitbedarf versteht sich als grobe Orientierungsgröße, die nach Bedarf über- oder unterschritten werden kann. Um Spielraum für Vertiefungen, individuelle Förderung, besondere Schülerinteressen oder aktuelle Themen zu erhalten, wurden im Rahmen dieses schulinternen Lehrplans ca. 75 Prozent der Bruttounterrichtszeit verplant. Während der Fachkonferenzbeschluss zum Übersichtsraster Unterrichtsvorhaben zur Gewährleistung vergleichbarer Standards sowie zur Absicherung von Kurswechslern und Lehrkraftwechseln für alle Mitglieder der Fachkonferenz Bindekraft entfalten soll, besitzt die Ausweisung konkretisierter Unterrichtsvorhaben (Kapitel 2.1.2) empfehlenden Charakter. Referendarinnen und Referendaren sowie neuen Kolleginnen und Kollegen dienen diese vor allem zur standardbezogenen Orientierung in der neuen Schule, aber auch zur Verdeutlichung von unterrichtsbezogenen fachgruppeninternen Absprachen zu didaktisch-methodischen Zugängen, fächerübergreifenden Kooperationen, Lernmitteln und -orten sowie vorgesehenen Leistungsüberprüfungen, die im Einzelnen auch den Kapiteln 2.2 bis 2.4 zu entnehmen sind. Begründete Abweichungen von den vorgeschlagenen Vorgehensweisen bezüglich der konkretisierten Unterrichtsvorhaben sind im Rahmen der pädagogischen Freiheit der Lehrkräfte jederzeit möglich. Sicherzustellen bleibt allerdings auch hier, dass im Rahmen der Umsetzung der Unterrichtsvorhaben insgesamt alle prozess- und inhaltsbezogenen Kompetenzen des Kernlehrplans Berücksichtigung finden. Dies ist durch entsprechende Kommunikation innerhalb der Fachkonferenz zu gewährleisten. 6

7 2.1.1 Übersichtsraster Unterrichtsvorhaben Unterrichtsvorhaben I: Einführungsphase Unterrichtsvorhaben II: Thema: Beschreibung der Eigenschaften von Funktionen und deren Nutzung im Kontext (E-A1) Zentrale Kompetenzen: Modellieren Werkzeuge nutzen Inhaltsfeld: Funktionen und Analysis (A) Inhaltlicher Schwerpunkt: Grundlegende Eigenschaften von Potenz-, Exponential- und Sinusfunktionen Zeitbedarf: 15 Std. Thema: Von der durchschnittlichen zur lokalen Änderungsrate (E-A2) Zentrale Kompetenzen: Argumentieren Werkzeuge nutzen feld: Funktionen und Analysis (A) Inhaltlicher Schwerpunkt: Grundverständnis des Ableitungsbegriffs Zeitbedarf: 12 Std. 7

8 Unterrichtsvorhaben III: Thema: Von den Potenzfunktionen zu den ganzrationalen Funktionen (E-A3) Zentrale Kompetenzen: Problemlösen Argumentieren Werkzeuge nutzen Inhaltsfeld: Funktionen und Analysis (A) Inhaltlicher Schwerpunkt: Differentialrechnung ganzrationaler Funktionen Zeitbedarf: 12 Std. Unterrichtsvorhaben IV: Thema: Den Zufall im Griff Modellierung von Zufallsprozessen (E-S1) Zentrale Kompetenzen: Modellieren Werkzeuge nutzen Inhaltsfeld: Stochastik (S) Inhaltlicher Schwerpunkt: Mehrstufige Zufallsexperimente Zeitbedarf: 9 Std. 8

9 Unterrichtsvorhaben V: Einführungsphase Fortsetzung Unterrichtsvorhaben VI: Thema: Testergebnisse richtig interpretieren Umgang mit bedingten Wahrscheinlichkeiten (E-S2) Zentrale Kompetenzen: Modellieren Kommunizieren Inhaltsfeld: Stochastik (S) Inhaltlicher Schwerpunkt: Bedingte Wahrscheinlichkeiten darf: 9 Std. Thema: Entwicklung und Anwendung von Kriterien und Verfahren zur Untersuchung von Funktionen (E-A4) Zentrale Kompetenzen: Problemlösen Argumentieren Inhaltsfeld: Funktionen und Analysis (A) Inhaltlicher Schwerpunkt: Differentialrechnung ganzrationaler Funktionen Zeitbedarf: 12 Std. Unterrichtsvorhaben VII: Thema: Unterwegs in 3D Koordinatisierungen des Raumes (E-G1) Zentrale Kompetenzen: Modellieren Kommunizieren Inhaltsfeld: Analytische Geometrie und Lineare Algebra (G) Inhaltlicher Schwerpunkt: Koordinatisierungen des Raumes Zeitbedarf: 6 Std. Unterrichtsvorhaben VIII: Thema: Vektoren bringen Bewegung in den Raum (E-G2) Zentrale Kompetenzen: Problemlösen Inhaltsfeld: Analytische Geometrie und Lineare Algebra (G) Inhaltlicher Schwerpunkt: Vektoren und Vektoroperationen Zeitbedarf: 9 Std. Summe Einführungsphase: 84 Stunden 9

10 Qualifikationsphase (Q1) GRUNDKURS Unterrichtsvorhaben Q1-I: Thema: Optimierungsprobleme (Q-GK-A1) Zentrale Kompetenzen: Modellieren Problemlösen Inhaltsfeld: Funktionen und Analysis (A) Inhaltlicher Schwerpunkt: Funktionen als mathematische Modelle Zeitbedarf: 9 Std. Unterrichtsvorhaben Q1-III: Thema: Von der Änderungsrate zum Bestand (Q-GK-A3) Zentrale Kompetenzen: Kommunizieren Inhaltsfeld: Funktionen und Analysis (A) Inhaltlicher Schwerpunkt: Grundverständnis des Integralbegriffs Zeitbedarf: 9 Std. Unterrichtsvorhaben Q1-II : Thema: Funktionen beschreiben Formen Modellieren von Sachsituationen mit ganzrationalen Funktionen (Q-GK-A2) Zentrale Kompetenzen: Modellieren Werkzeuge nutzen Inhaltsfelder: Funktionen und Analysis (A) Lineare Algebra (G) Inhaltliche Schwerpunkte: Funktionen als mathematische Modelle Lineare Gleichungssysteme Zeitbedarf: 15 Std. Unterrichtsvorhaben Q1-IV: Thema: Von der Randfunktion zur Integralfunktion (Q-GK-A4) Zentrale Kompetenzen: Argumentieren Werkzeuge nutzen Inhaltsfeld: Funktionen und Analysis (A) Inhaltlicher Schwerpunkt: Integralrechnung Zeitbedarf: 12 Std. 10

11 Unterrichtsvorhaben Q1-V: Thema: Von stochastischen Modellen, Zufallsgrößen, Wahrscheinlichkeitsverteilungen und ihren Kenngrößen (Q-GK-S1) Zentrale Kompetenzen: Modellieren Inhaltsfeld: Stochastik (S) Inhaltlicher Schwerpunkt: Kenngrößen von Wahrscheinlichkeits-verteilungen Zeitbedarf: 6 Std. Unterrichtsvorhaben Q1-VII: Thema: Modellieren mit Binomialverteilungen (Q-GK-S3) Zentrale Kompetenzen: Modellieren Argumentieren Inhaltsfeld: Stochastik (S) Inhaltlicher Schwerpunkt: Binomialverteilung Zeitbedarf: 9 Std. Unterrichtsvorhaben Q1-VI: Thema: Treffer oder nicht? Bernoulliexperimente und Binomialverteilung (Q-GK-S2) Zentrale Kompetenzen: Modellieren Werkzeuge nutzen Inhaltsfeld: Stochastik (S) Inhaltlicher Schwerpunkt: Binomialverteilung Zeitbedarf: 9 Std. Unterrichtsvorhaben Q1-VIII : Thema: Von Übergängen und Prozessen (Q-GK-S4) Zentrale Kompetenzen: Modellieren Argumentieren Inhaltsfeld: Stochastik (S) Inhaltlicher Schwerpunkt: Stochastische Prozesse Zeitbedarf: 9 Std. Summe Qualifikationsphase (Q1) GRUNDKURS 78 Stunden 11

12 Qualifikationsphase (Q2) GRUNDKURS Unterrichtsvorhaben Q2-I: Thema: Beschreibung von Bewegungen und Schattenwurf mit Geraden (Q-GK-G1) Zentrale Kompetenzen: Modellieren Werkzeuge nutzen Inhaltsfeld: Analytische Geometrie und Lineare Algebra (G) Inhaltlicher Schwerpunkt: Darstellung und Untersuchung geometrischer Objekte (Geraden) Zeitbedarf: 9 Std. Unterrichtsvorhaben Q2-II: Thema: Lineare Algebra als Schlüssel zur Lösung von geometrischen Problemen (Q-GK-G2) Zentrale Kompetenzen: Problemlösen Werkzeuge nutzen Inhaltsfeld: Analytische Geometrie und Lineare Algebra (G) Inhaltliche Schwerpunkte: Darstellung und Untersuchung geometrischer Objekte (Ebenen) Lineare Gleichungssysteme Zeitbedarf: 9 Std. Unterrichtsvorhaben Q2-III: Thema: Eine Sache der Logik und der Begriffe: Untersuchung von Lagebeziehungen (Q-GK-G3) Zentrale Kompetenzen: Argumentieren Kommunizieren Inhaltsfeld: Analytische Geometrie und Lineare Algebra (G) Inhaltlicher Schwerpunkt: Lagebeziehungen Zeitbedarf: 6 Std. Unterrichtsvorhaben Q2-IV : Thema: Räume vermessen mit dem Skalarprodukt Polygone und Polyeder untersuchen (Q-GK-G4) Zentrale Kompetenzen: Problemlösen Inhaltsfeld: Analytische Geometrie und Lineare Algebra (G) Inhaltlicher Schwerpunkt: Skalarprodukt Zeitbedarf: 9 Std Qualifikationsphase (Q2) GRUNDKURS Fortsetzung 12

13 Unterrichtsvorhaben Q2-V: Thema: Natürlich: Exponentialfunktionen (Q-GK-A5) Zentrale Kompetenzen: Problemlösen Werkzeuge nutzen Inhaltsfeld: Funktionen und Analysis (A) Inhaltlicher Schwerpunkt: Fortführung der Differentialrechnung Zeitbedarf: 9 Std. Unterrichtsvorhaben Q2-VI: Thema: Modellieren (nicht nur) mit Exponentialfunktionen (Q-GK-A6) Zentrale Kompetenzen: Modellieren Inhaltsfeld: Funktionen und Analysis (A) Inhaltliche Schwerpunkte: Fortführung der Differentialrechnung Integralrechnung Zeitbedarf: 12 Std. Summe Qualifikationsphase (Q2) GRUNDKURS: 54 Stunden 13

14 Qualifikationsphase (Q1) LEISTUNGSKURS Unterrichtsvorhaben Q1-I: Thema: Optimierungsprobleme (Q-LK-A1) Zentrale Kompetenzen: Modellieren Problemlösen Inhaltsfeld: Funktionen und Analysis (A) Inhaltliche Schwerpunkte: Funktionen als mathematische Modelle Fortführung der Differentialrechnung Zeitbedarf: 20 Std. Unterrichtsvorhaben Q1-II: Thema: Funktionen beschreiben Formen Modellieren von Sachsituationen mit Funktionen (Q-LK-A2) Zentrale Kompetenzen: Modellieren Werkzeuge nutzen Inhaltsfelder: Funktionen und Analysis (A) Lineare Algebra (G) Inhaltliche Schwerpunkte: Funktionen als mathematische Modelle Lineare Gleichungssysteme Zeitbedarf: 20 Std. 14

15 Unterrichtsvorhaben Q1-III Thema: Von der Änderungsrate zum Bestand (Q-LK-A3) Zentrale Kompetenzen: Kommunizieren Inhaltsfeld: Funktionen und Analysis (A) Inhaltlicher Schwerpunkt: Grundverständnis des Integralbegriffs Unterrichtsvorhaben Q1-IV: Thema: Von der Randfunktion zur Integralfunktion (Q-LK-A4) Zentrale Kompetenzen: Argumentieren Werkzeuge nutzen Inhaltsfeld: Funktionen und Analysis (A) Inhaltlicher Schwerpunkt: Integralrechnung Zeitbedarf: 20 Std. Zeitbedarf: 10 Std. Unterrichtsvorhaben Q1-V Thema: Modellieren (nicht nur) mit Exponentialfunktionen (Q-LK-A5) Zentrale Kompetenzen: Modellieren Inhaltsfeld: Funktionen und Analysis (A) Inhaltliche Schwerpunkte: Fortführung der Differentialrechnung Integralrechnung Zeitbedarf: 20 Std. Unterrichtsvorhaben Q1-VI: Thema: Von stochastischen Modellen, Zufallsgrößen, Wahrscheinlichkeitsverteilungen und ihren Kenngrößen (Q-LK-S1) Zentrale Kompetenzen: Modellieren Inhaltsfeld: Stochastik (S) Inhaltlicher Schwerpunkt: Kenngrößen von Wahrscheinlichkeits-verteilungen Zeitbedarf: 5 Std. 15

16 Unterrichtsvorhaben Q1-VII: Thema: Treffer oder nicht? Bernoulliexperimente und Binomialverteilungen (Q-LK-S2) Zentrale Kompetenzen: Modellieren Werkzeuge nutzen Inhaltsfeld: Stochastik (S) Inhaltlicher Schwerpunkt: Binomialverteilung Unterrichtsvorhaben Q1-VIII: Thema: Untersuchung charakteristischer Größen von Binomialverteilungen (Q-LK-S3) Zentrale Kompetenzen: Problemlösen Inhaltsfeld: Stochastik (S) Inhaltlicher Schwerpunkt: Binomialverteilung Zeitbedarf: 5 Std Zeitbedarf: 10 Std..Unterrichtsvorhaben Q1-IX: Thema: Ist die Glocke normal? (Q-LK- S4) Zentrale Kompetenzen: Modellieren Problemlösen Werkzeuge nutzen Inhaltsfeld: Stochastik (S) Inhaltlicher Schwerpunkt: Normalverteilung Zeitbedarf: 10 Std. Unterrichtsvorhaben Q2-X: Thema: Signifikant und relevant? Testen von Hypothesen (Q-LK-S5) Zentrale Kompetenzen: Modellieren Kommunizieren Inhaltsfeld: Stochastik (S) Inhaltlicher Schwerpunkt: Testen von Hypothesen Zeitbedarf: 10 Std. 16

17 Unterrichtsvorhaben Q2-XI: Thema: Von Übergängen und Prozessen (Q-LK-S6) Zentrale Kompetenzen: Modellieren Argumentieren Inhaltsfeld: Stochastik (S) Inhaltlicher Schwerpunkt: Stochastische Prozesse Zeitbedarf: 10 Std. Summe Qualifikationsphase (Q1) LEISTUNGSKURS 140 Stunden 17

18 Qualifikationsphase (Q2) LEISTUNGSKURS Unterrichtsvorhaben Q2-I: Thema: Beschreibung von Bewegungen und Schattenwurf mit Geraden (Q-LK-G1) Zentrale Kompetenzen: Modellieren Werkzeuge nutzen Inhaltsfeld: Analytische Geometrie und Lineare Algebra (G) Inhaltlicher Schwerpunkt: Darstellung und Untersuchung geometrischer Objekte (Geraden) Unterrichtsvorhaben Q2-II: Thema: Die Welt vermessen das Skalarprodukt und seine ersten Anwendungen (Q-LK-G2) Zentrale Kompetenzen: Problemlösen Inhaltsfeld: Analytische Geometrie und Lineare Algebra (G) Inhaltlicher Schwerpunkt: Skalarprodukt Zeitbedarf: 10Std. Zeitbedarf: 10 Std. Unterrichtsvorhaben Q2-III: Thema: Ebenen als Lösungsmengen von linearen Gleichungen und ihre Beschreibung durch Parameter (Q-LK- G3) Zentrale Kompetenzen: Argumentieren Kommunizieren Inhaltsfeld: Analytische Geometrie und Lineare Algebra (G) Inhaltlicher Schwerpunkt: Darstellung und Untersuchung geometrischer Objekte (Ebenen) Zeitbedarf: 10 Std. Unterrichtsvorhaben Q2-IV: Thema: Lagebeziehungen und Abstandsprobleme bei geradlinig bewegten Objekten (Q-LK-G4) Zentrale Kompetenzen: Argumentieren Kommunizieren Inhaltsfeld: Analytische Geometrie und Lineare Algebra (G) Inhaltlicher Schwerpunkt: Lagebeziehungen und Abstände (von Geraden) Zeitbedarf: 10 Std. 18

19 Unterrichtsvorhaben Q2-V: Thema: Untersuchungen an Polyedern (Q-LK-G5) Zentrale Kompetenzen: Problemlösen Werkzeuge nutzen Inhaltsfeld: Analytische Geometrie und Lineare Algebra (G) Inhaltliche Schwerpunkte: Lagebeziehung und Abstände (von Ebenen) Lineare Gleichungssysteme Zeitbedarf: 10 Std. Unterrichtsvorhaben Q2-VI: Thema: Strategieentwicklung bei geometrischen Problemsituationen und Beweisaufgaben (Q-LK-G6) Zentrale Kompetenzen: Modellieren Problemlösen Inhaltsfeld: Analytische Geometrie und Lineare Algebra (G) Inhaltlicher Schwerpunkt: Verknüpfung aller Kompetenzen Zeitbedarf: 10 Std. Unterrichtsvorhaben Q2-VII: Thema: Natürlich: Exponentialfunktionen und Logarithmus (Q-LK-A6) Zentrale Kompetenzen: Problemlösen Werkzeuge nutzen Inhaltsfeld: Funktionen und Analysis (A) Inhaltlicher Schwerpunkt: Fortführung der Differentialrechnung Zeitbedarf: 20 Std. Summe Qualifikationsphase (Q2) LEISTUNGSKURS: 80 Stunden 19

20 Übersicht über die Unterrichtsvorhaben E-Phase Unterrichtsvorhaben Thema Stundenzahl I E-A1 15 II E-A2 12 III E-A3 12 IV E-S1 9 V E-S2 9 VI E-A4 12 VII E-G1 6 VIII E-G2 9 Summe: 84 Q1 Grundkurse Unterrichtsvorhaben Thema Stundenzahl I Q-GK-A1 9 II Q-GK-A2 15 III Q-GK-A3 9 IV Q-GK-A4 12 V Q-GK-S1 6 VI Q-GK-S2 9 VII Q-GK-S3 9 VIII Q-GK-S4 9 Summe: 78 Q2 Grundkurse Unterrichtsvorhaben Thema Stundenzahl I Q-GK-G1 9 II Q-GK-G2 9 III Q-GK-G3 6 20

21 IV Q-GK-G4 9 V Q-GK-A5 9 VI Q-GK-A6 12 Summe: 54 21

22 Q1 Leistungskurse Unterrichtsvorhaben Thema Stundenzahl I Q-LK-A1 20 II Q-LK-A2 20 III Q-LK-A3 10 IV Q-LK-A4 20 V Q-LK-A5 20 VI Q-LK-S1 5 VII Q-LK-S2 10 VIII Q-LK-S3 5 IX Q-LK-S4 10 X Q-LK-S5 10 XI Q-LK-S6 10 Summe: 140 Q2 Leistungskurse Unterrichtsvorhaben Thema Stundenzahl I Q-LK-G1 10 II Q-LK-G2 10 III Q-LK-G3 10 IV Q-LK-G4 10 V Q-LK-G5 10 VI Q-LK-G6 10 VII Q-LK-A6 20 Summe: 80 22

23 2.1.2 Konkretisierte Unterrichtsvorhaben Hinweis: Thema, Inhaltsfelder, inhaltliche Schwerpunkte und Kompetenzen hat die Fachkonferenz des Maria-Sibylla-Merian-Gymnasiums verbindlich vereinbart. In allen anderen Bereichen sind Abweichungen von den vorgeschlagenen Vorgehensweisen bei der Konkretisierung der Unterrichtsvorhaben möglich. Darüber hinaus enthält dieser schulinterne Lehrplan in den Kapiteln 2.2 bis 2.4 übergreifende sowie z. T. auch jahrgangsbezogene Absprachen zur fachmethodischen und fachdidaktischen Arbeit, zur Leistungsbewertung und zur Leistungsrückmeldung. Je nach internem Steuerungsbedarf können solche Absprachen auch vorhabenbezogen vorgenommen werden. Vorhabenbezogene Konkretisierung: 23

24 24 Einführungsphase Funktionen und Analysis (A) Thema: Beschreibung der Eigenschaften von Funktionen und deren Nutzung im Kontext (E-A1) Zu entwickelnde Kompetenzen Inhaltsbezogene Kompetenzen: beschreiben die Eigenschaften von Potenzfunktionen mit ganzzahligen Exponenten sowie quadratischen und kubischen Wurzelfunktionen beschreiben Wachstumsprozesse mithilfe linearer Funktionen und Exponentialfunktionen wenden einfache Transformationen (Streckung, Verschiebung) auf Funktionen (Sinusfunktion, quadratische Funktionen, Potenzfunktionen, Exponentialfunktionen) an und deuten die zugehörigen Parameter Prozessbezogene Kompetenzen (Schwerpunkte): Modellieren erfassen und strukturieren zunehmend komplexe Sachsituationen mit Blick auf eine konkrete Fragestellung (Strukturieren) übersetzen zunehmend komplexe Sachsituationen in mathematische Modelle (Mathematisieren) Vorhabenbezogene Absprachen und Empfehlungen Dem oft erhöhten Angleichungs- und Förderbedarf von Schulformwechslern wird ebenfalls durch gezielte individuelle Angebote Rechnung getragen (Vertiefungskurs). Ein besonderes Augenmerk muss in diesem Unterrichtsvorhaben auf die Einführung in die elementaren Bedienkompetenzen der verwendeten Software und des GTR gerichtet werden. Für kontinuierliche Prozesse und den Übergang zu Exponentialfunktionen werden verschiedene Kontexte (z. B. Bakterienwachstum, Abkühlung) untersucht. Anknüpfend an die Erfahrungen aus der SI werden dann quadratische Funktionen (Scheitelpunktform) und Parabeln unter dem Transformationsaspekt betrachtet. Systematisches Erkunden mithilfe des GTR eröffnet den Zugang zu Potenzfunktionen. Werkzeuge nutzen nutzen Tabellenkalkulation und grafikfähige Taschenrechner zum Darstellen von Funktionen grafisch und als Wertetabelle, zum zielgerichteten Variieren der Parameter von Funktionen 24

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26 Thema: Von der durchschnittlichen zur lokalen Änderungsrate (E-A2) Zu entwickelnde Kompetenzen Inhaltsbezogene Kompetenzen: berechnen durchschnittliche und lokale Änderungsraten und interpretieren sie im Kontext unter Berücksichtigung des Grenzwertbegriffs. deuten die Tangente als Grenzlage einer Folge von Sekanten deuten die Ableitung an einer Stelle als lokale Änderungsrate/ Tangentensteigung beschreiben und interpretieren Änderungsraten funktional (Ableitungsfunktion) leiten Funktionen graphisch ab begründen Eigenschaften von Funktionsgraphen (Monotonie, Extrempunkte) mit Hilfe der Graphen der Ableitungsfunktionen Vorhabenbezogene Absprachen und Empfehlungen Für eine quadratische Funktion wird der Grenzübergang bei der h- Methode exemplarisch durchgeführt Als Kontext für den Übergang von der durchschnittlichen zur lokalen Änderungsrate könnte z.b. die vermeintliche Diskrepanz zwischen der Durchschnittsgeschwindigkeit bei einer längeren Fahrt und der durch ein Messgerät ermittelten Momentangeschwindigkeit genutzt werden. Neben zeitabhängigen Vorgängen soll auch ein geometrischer Kontext betrachtet werden. Die dynamische-geometrie-software kann den Übergang von der durchschnittlichen zur lokalen Änderungsrate bzw. der Sekanten zur Tangenten (Zoomen) unterstützen. Prozessbezogene Kompetenzen (Schwerpunkte): Argumentieren (Vermuten) stellen Vermutungen auf, unterstützen diese beispielgebunden und präzisieren sie mithilfe von Fachbegriffen Werkzeuge nutzen nutzen mathematische Hilfsmittel und verwenden verschiedene digitale Werkzeuge zum Erstellen von Wertetabellen und zur grafischen Darstellungen von Funktionen. 26

27 Thema: Von den Potenzfunktionen zu den ganzrationalen Funktionen (E-A3) Zu entwickelnde Kompetenzen Inhaltsbezogene Kompetenzen: erläutern qualitativ auf der Grundlage eines propädeutischen Grenzwertbegriffs an Beispielen den Übergang von der durchschnittlichen zur lokalen Änderungsrate leiten Funktionen graphisch ab begründen Eigenschaften von Funktionsgraphen (Monotonie, Extrempunkte) mit Hilfe der Graphen der Ableitungsfunktionen nutzen die Ableitungsregel für Potenzfunktionen mit natürlichen Exponenten wenden die Summen- und Faktorregel auf ganzrationale Funktionen an Prozessbezogene Kompetenzen (Schwerpunkte): Problemlösen analysieren und strukturieren die Problemsituation (Erkunden) erkennen Muster und Beziehungen (Erkunden) wählen geeignete Begriffe und Verfahren zur Problemlösung aus (Lösen) Vorhabenbezogene Absprachen und Empfehlungen Um die Ableitungsregel für höhere Potenzen zu vermuten, nutzen die Schüler den GTR und die Möglichkeit, Werte der Ableitungsfunktionen näherungsweise zu tabellieren und zu plotten. Symmetrie zum Ursprung und das Globalverhalten ganzrationaler Funktionen vom Grad 3 werden untersucht (z.b. mithilfe von Geogebra). Mit dem GTR werden Parameter gezielt variiert. Die Vorteile einer Darstellung mithilfe von Linearfaktoren und die Bedeutung der Vielfachheit einer Nullstelle werden thematisiert. Visualisieren der Ableitungsfunktion ganzrationalen Funktionen 3. Grades: Dabei entdecken sie die Zusammenhänge zwischen charakteristischen Punkten Der Begriff des Extrempunktes (lokal vs. global) soll präzisiert werden und dabei auch Sonderfälle, wie eine konstante Funktion, betrachtet werden. Argumentieren präzisieren Vermutungen mithilfe von Fachbegriffen und unter Berücksichtigung der logischen Struktur (Vermuten) nutzen mathematische Regeln bzw. Sätze und sachlogische Argumente für Begründungen (Begründen) überprüfen, inwiefern Ergebnisse, Begriffe und Regeln 27

28 verallgemeinert werden können (Beurteilen) Werkzeuge nutzen verwenden verschiedene digitale Werkzeuge (z.b. GTR, Geogebra) zum Lösen von Gleichungen und Variieren der Parameter von Funktionen. 28

29 Thema: Entwicklung und Anwendung von Kriterien und Verfahren zur Untersuchung von Funktionen (E-A4) Zu entwickelnde Kompetenzen Inhaltsbezogene Kompetenzen: leiten Funktionen graphisch ab nennen die Kosinusfunktion als Ableitung der Sinusfunktion begründen Eigenschaften von Funktionsgraphen (Monotonie, Extrempunkte) mit Hilfe der Graphen der Ableitungsfunktionen nutzen die Ableitungsregel für Potenzfunktionen mit natürlichem Exponenten wenden die Summen- und Faktorregel auf ganzrationale Funktionen an lösen Polynomgleichungen (ohne Polynomdivision), die sich durch einfaches Ausklammern oder Substituieren auf lineare und quadratische Gleichungen zurückführen lassen, ohne digitale Hilfsmittel verwenden das notwendige Kriterium und das Vorzeichenwechselkriterium zur Bestimmung von Extrempunkten unterscheiden lokale und globale Extrema im Definitionsbereich verwenden am Graphen oder Term einer Funktion ablesbare Eigenschaften als Argumente beim Lösen von inner- und außermathematischen Problemen Prozessbezogene Kompetenzen (Schwerpunkte): Problemlösen erkennen Muster und Beziehungen (Erkunden und nutzen heuristische Strategien und Prinzipien (hier: Zurückführen auf Bekanntes) (Lösen) wählen geeignete Begriffe, Zusammenhänge und Verfahren zur Vorhabenbezogene Absprachen und Empfehlungen Ein kurzes Wiederaufgreifen des graphischen Ableitens am Beispiel der Sinusfunktion führt zur Entdeckung, dass die Kosinusfunktion deren Ableitung ist. Für ganzrationale Funktionen werden die Zusammenhänge zwischen den Extrempunkten der Ausgangsfunktion und ihrer Ableitung durch die Betrachtung von Monotonieintervallen und der vier möglichen Vorzeichenwechsel an den Nullstellen der Ableitung untersucht. Die Schülerinnen und Schüler üben damit, vorstellungsbezogen zu argumentieren. Die Untersuchungen auf Symmetrien und Globalverhalten werden fortgesetzt. Bezüglich der Lösung von Gleichungen im Zusammenhang mit der Nullstellenbestimmung wird durch geeignete Aufgaben Gelegenheit zum Üben von Lösungsverfahren ohne Verwendung des GTR gegeben. Der logische Unterschied zwischen notwendigen und hinreichenden Kriterien kann durch Multiple-Choice-Aufgaben vertieft werden, die rund um die Thematik der Funktionsuntersuchung von Polynomfunktionen Begründungsanlässe und die Möglichkeit der Einübung zentraler Begriffe bieten. Neben den Fällen, in denen das Vorzeichenwechselkriterium angewendet wird, werden die Lernenden auch mit Situationen konfrontiert, in denen sie mit den Eigenschaften des Graphen oder Terms argumentieren. So erzwingt z. B. Achsensymmetrie die Existenz eines Extrempunktes auf der Symmetrieachse. Beim Lösen von inner- und außermathematischen Problemen können auch Tangentengleichungen bestimmt werden. 29

30 Problemlösung aus (Lösen) Argumentieren präzisieren Vermutungen mithilfe von Fachbegriffen und unter Berücksichtigung der logischen Struktur (Vermuten) nutzen mathematische Regeln bzw. Sätze und sachlogische Argumente für Begründungen (Begründen) berücksichtigen vermehrt logische Strukturen (notwendige / hinreichende Bedingung, Folgerungen [ ]) (Begründen) erkennen fehlerhafte Argumentationsketten und korrigieren sie (Beurteilen) 30

31 Einführungsphase Analytische Geometrie und Lineare Algebra (G) Thema: Unterwegs in 3D Koordinatisierungen des Raumes (E-G1) Zu entwickelnde Kompetenzen Inhaltsbezogene Kompetenzen: hlen geeignete kartesische Koordinatisierungen für die Bearbeitung eines geometrischen Sachverhalts in der Ebene und im Raum stellen geometrische Objekte in einem räumlichen kartesischen Koordinatensystem dar; durchklettern genügend interessante räumliche Objekte, z.b. symmetrische (Platonische Körper) zur Objekterkundung und beschreiben die Objekterfassung vermittels Punkten und Bewegungen (Basis des Vektorbegriffs); bestimmen Abstände (Längen); vervielfachen Vektoren (Basis der Geradenvorstellung und der Parallität/Kollinearität); erfassen ebene Schnitte durch das zugrundeliegende Objekt, auch Schnittlinien solcher ebenen Schnitte im Objekt : entwickeln damit insgesamt (aus Anlass und im Rahmen erster interessanter räumlicher Objekte) eine frühe, anschauliche Vorstellungsund Handlungsbasis für spätere (in der Qualitätsphase durchzuführende) Bearbeitungen von Geraden und Ebenen im Raum. Prozessbezogene Kompetenzen (Schwerpunkte): Modellieren erfassen und strukturieren zunehmend komplexe Sachsituationen mit Blick auf eine konkrete Fragestellung (Strukturieren) erarbeiten mithilfe mathematischer Kenntnisse und Fertigkeiten eine Lösung innerhalb des mathematischen Modells (Mathematisieren) Vorhabenbezogene Absprachen und Empfehlungen Ausgangspunkt ist eine Vergewisserung (z. B. in Form einer Mindmap) hinsichtlich der den Schülerinnen und Schülern bereits bekannten Koordinatisierungen (GPS, geographische Koordinaten, kartesische Koordinaten, Robotersteuerung). Abbildungen genügend interessanter (unterschiedlich komplexer) räumlicher Objekte werden in der Fachschaft gesammelt mitsamt zugehörigen möglichen Aufgabenstellungen. An geeigneten, nicht zu komplexen geometrischen Modellen (z.b. unvollständigen Holzquadern) lernen die Schülerinnen und Schüler, ohne Verwendung einer DGS zwischen (verschiedenen) Schrägbildern einerseits und der Kombination aus Grund-, Auf- und Seitenriss andererseits zu wechseln, um ihr räumliches Vorstellungsvermögen zu entwickeln. Mithilfe einer DGS werden unterschiedliche Möglichkeiten ein Schrägbild zu zeichnen untersucht und hinsichtlich ihrer Wirkung beurteilt. Kommunizieren (Produzieren) 31

32 wählen begründet eine geeignete Darstellungsform aus wechseln flexibel zwischen mathematischen Darstellungsformen 32

33 Thema: Vektoren bringen Bewegung in den Raum (E-G2) Zu entwickelnde Kompetenzen Inhaltsbezogene Kompetenzen: festigen, präzisieren und vertiefen die schon an den bisherigen, maßvoll komplexen räumlichen Objekten erworbenen Handlungsund Beschreibungsmöglichkeiten. Währenddessen differenziert sich die Vektorgeometrie/Vektoralgebra weiter aus. Anlässe sind die Erkundung/Erfassung immer komplexerer Objekte und die Bearbeitung immer differenzierterer Fragestellungen bzgl. dieser Objekte. Mehr noch: Die Vektorrechnung reicht in ihrer Leistungsfähigkeit über die Körpergeometrie hinaus (z.b. in die Physik). Die Vektorrechnung wird zu einem immer weiter tragenden und dabei immer vertrauteren Werkzeug. Die Schülerinnen und Schüler deuten Vektoren (in Koordinatendarstellung) als Verschiebungen und kennzeichnen Punkte im Raum durch Ortsvektoren stellen gerichtete Größen (z. B. Geschwindigkeit, Kraft) durch Vektoren dar berechnen Längen von Vektoren und Abstände zwischen Punkten mit Hilfe des Satzes von Pythagoras addieren Vektoren, multiplizieren Vektoren mit einem Skalar und untersuchen Vektoren auf Kollinearität weisen Eigenschaften von besonderen Dreiecken und Vierecken mithilfe von Vektoren nach auch von Vielecken, die Teiloberflächen räumlicher Objekte (Polyeder, z.b. Platonischer Körper) sind, bei welchen die vektorgeometrischen Fragestellungen das räumliche Vorstellungsvermögen noch mit einbeziehen (und die Leistungsfähigkeit der Vektorgeometrie noch erlebbarer wird) Vorhabenbezogene Absprachen und Empfehlungen Abbildungen genügend interessanter (unterschiedlich komplexer) räumlicher Objekte werden in der Fachschaft gesammelt mitsamt zugehörigen möglichen Aufgabenstellungen. Durch Operieren mit Verschiebungspfeilen werden einfache geometrische Problemstellungen gelöst: Beschreibung von Diagonalen (insbesondere zur Charakterisierung von Viereckstypen), Auffinden von Mittelpunkten (ggf. auch Schwerpunkten), Untersuchung auf Parallelität. Solche Untersuchungen lassen sich schon sehr früh auch im Rahmen räumlicher Objekte (insbesondere symmetrischer Polyeder) durchführen: sehr gut auf deren ebenen Teiloberflächen, aber auch in deren Innenbereichen. Übermäßig häufige Vorübungen in rein ebener (betont zweidimensionaler) Geometrie sind nicht notwendig. Denn die Geometrie in der Einführungsphase dient nicht zuletzt auch der Stärkung des räumlichen Vorstellungsvermögens als einer wesentlichen Grundlage bzw. als eines stützenden und anregenden Begleiters der in der Qualifikationsphase auszubauenden Vektoralgebra. 33

34 Prozessbezogene Kompetenzen (Schwerpunkte): Problemlösen entwickeln Ideen für mögliche Lösungswege (Lösen) setzen ausgewählte Routineverfahren auch hilfsmittelfrei zur Lösung ein (Lösen) wählen geeignete Begriffe, Zusammenhänge und Verfahren zur Problemlösung aus (Lösen) 34

35 Einführungsphase Stochastik (S) Thema: Den Zufall im Griff Modellierung von Zufallsprozessen (E-S1) Zu entwickelnde Kompetenzen Inhaltsbezogene Kompetenzen: deuten Alltagssituationen als Zufallsexperimente simulieren Zufallsexperimente verwenden Urnenmodelle zur Beschreibung von Zufallsprozessen stellen Wahrscheinlichkeitsverteilungen auf und führen Erwartungswertbetrachtungen durch beschreiben mehrstufige Zufallsexperimente und ermitteln Wahrscheinlichkeiten mit Hilfe der Pfadregeln Prozessbezogene Kompetenzen (Schwerpunkte): Modellieren treffen Annahmen und nehmen begründet Vereinfachungen einer realen Situation vor (Strukturieren) übersetzen zunehmend komplexe Sachsituationen in mathematische Modelle (Mathematisieren) erarbeiten mithilfe mathematischer Kenntnisse und Fertigkeiten eine Lösung innerhalb des mathematischen Modells (Mathematisieren) Werkzeuge nutzen verwenden verschiedene digitale Werkzeuge zum Generieren von Zufallszahlen Variieren der Parameter von Wahrscheinlichkeitsverteilungen Erstellen der Histogramme von Wahrscheinlichkeitsverteilungen Vorhabenbezogene Absprachen und Empfehlungen Beim Einstieg ist eine Beschränkung auf Beispiele aus dem Bereich Glücksspiele zu vermeiden. Einen geeigneten Kontext bietet die Methode der Zufallsantworten bei sensitiven Umfragen und/oder Prüfung von Werkstücken. Zur Modellierung von Wirklichkeit werden Simulationen auch unter Verwendung von digitalen Werkzeugen (GTR, Tabellenkalkulation) geplant und durchgeführt (Zufallsgenerator). Das Urnenmodell wird auch verwendet, um grundlegende Zählprinzipien wie das Ziehen mit/ohne Zurücklegen mit/ohne Berücksichtigung der Reihenfolge zu thematisieren. Die zentralen Begriffe Wahrscheinlichkeitsverteilung und Erwartungswert werden im Kontext von Glücksspielen erarbeitet und können durch zunehmende Komplexität der Spielsituationen vertieft werden. Digitale Werkzeuge werden zur Visualisierung von Wahrscheinlichkeitsverteilungen (Histogramme) und zur Entlastung von händischem Rechnen verwendet. 35

36 Berechnen der Kennzahlen von Wahrscheinlichkeitsverteilungen (Erwartungswert) Thema: Testergebnisse richtig interpretieren Umgang mit bedingten Wahrscheinlichkeiten (E-S2) Zu entwickelnde Kompetenzen Vorhabenbezogene Absprachen und Empfehlungen Inhaltsbezogene Kompetenzen: modellieren Sachverhalte mit Hilfe von Baumdiagrammen und Vieroder Mehrfeldertafeln bestimmen bedingte Wahrscheinlichkeiten prüfen Teilvorgänge mehrstufiger Zufallsexperimente auf stochastische Unabhängigkeit bearbeiten Problemstellungen im Kontext bedingter Wahrscheinlichkeiten. Prozessbezogene Kompetenzen (Schwerpunkte): Modellieren erfassen und strukturieren zunehmend komplexe Sachsituationen mit Blick auf eine konkrete Fragestellung (Strukturieren) erarbeiten mithilfe mathematischer Kenntnisse und Fertigkeiten eine Lösung innerhalb des mathematischen Modells (Mathematisieren) beziehen die erarbeitete Lösung wieder auf die Sachsituation (Validieren) Kommunizieren erfassen, strukturieren und formalisieren Informationen aus zunehmend komplexen mathematikhaltigen Texten [ ] (Rezipieren) wechseln flexibel zwischen mathematischen Darstellungsformen (Produzieren) Als Einstiegskontext zur Erarbeitung des fachlichen Inhaltes könnte ein Diagnoseverfahren einer häufiger auftretenden Erkrankung (z.b. HIV, Tuberkulose, Grippe) dienen. Um die Übertragbarkeit des Verfahrens zu sichern, sollen insgesamt mindestens zwei Beispiele aus unterschiedlichen Kontexten betrachtet werden. (z.b. geschlechtsspezifische Umfragen etc.) Zur Förderung des Verständnisses der Wahrscheinlichkeitsaussagen werden parallel Darstellungen mit absoluten Häufigkeiten verwendet. sollen zwischen verschiedenen Darstellungsformen (Baumdiagramm, Mehrfeldertafel) wechseln können und diese zur Berechnung bedingter Wahrscheinlichkeiten beim Vertauschen von Merkmal und Bedingung und zum Rückschluss auf unbekannte Astwahrscheinlichkeiten nutzen können. Bei der Erfassung stochastischer Zusammenhänge ist die Unterscheidung von Wahrscheinlichkeiten des Typs P(A B) von bedingten Wahrscheinlichkeiten auch sprachlich von besonderer Bedeutung. 36

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39 Q-Phase Grundkurs Funktionen und Analysis (A) Thema: Optimierungsprobleme (Q-GK-A1) Zu entwickelnde Kompetenzen Vorhabenbezogene Absprachen und Empfehlungen 39

40 Inhaltsbezogene Kompetenzen: führen Extremalprobleme durch Kombination mit Nebenbedingungen auf Funktionen einer Variablen zurück und lösen diese verwenden notwendige Kriterien und Vorzeichenwechselkriterien [ ] zur Bestimmung von Extrem- und Wendepunkten Prozessbezogene Kompetenzen: Modellieren treffen Annahmen und nehmen begründet Vereinfachungen einer realen Situation vor.(strukturieren) übersetzen zunehmend komplexe Sachsituationen in mathematische Modelle (Mathematisieren) erarbeiten mithilfe mathematischer Kenntnisse und Fertigkeiten eine Lösung innerhalb des mathematischen Modells (Mathematisieren) beziehen die erarbeitete Lösung wieder auf die Sachsituation (Validieren) beurteilen die Angemessenheit aufgestellter (ggf. konkurrierender) Modelle für die Fragestellung (Validieren) Problemlösen finden und stellen Fragen zu einer gegebenen Problemsituation (Erkunden) wählen heuristische Hilfsmittel (z. B. Skizze, informative Figur, Tabelle ) aus, um die Situation zu erfassen (Erkunden) nutzen heuristische Strategien und Prinzipien (z. B. systematisches Probieren, Darstellungswechsel, Zurückführen auf Bekanntes, Zerlegen in Teilprobleme, Verallgemeinern ) (Lösen) setzen ausgewählte Routineverfahren auch hilfsmittelfrei zur Lösung ein (Lösen) Leitfrage: Woher kommen die Funktionsgleichungen? Das Aufstellen der Funktionsgleichungen fördert Problemlösestrategien. Es wird deshalb empfohlen, den Lernenden hinreichend Zeit zu geben, u. a. mit Methoden des kooperativen Lernens selbstständig zu Zielfunktionen zu kommen. An Problemen, die auf quadratische Zielfunktionen führen, sollten auch unterschiedliche Lösungswege aufgezeigt und verglichen werden. Hier bietet es sich außerdem an, Lösungsverfahren auch ohne digitale Hilfsmittel einzuüben. An mindestens einem Problem entdecken die Schülerinnen und Schüler die Notwendigkeit, Randextrema zu betrachten (z. B. Glasscheibe oder verschiedene Varianten des Hühnerhofs ). Ein Verpackungsproblem (Dose oder Milchtüte) wird unter dem Aspekt der Modellvalidierung/Modellkritik untersucht. Abschließend empfiehlt es sich, ein Problem zu behandeln, das die Schülerinnen und Schüler nur durch systematisches Probieren oder anhand des Funktionsgraphen lösen können: Aufgabe zum schnellsten Weg. Stellen extremaler Steigung eines Funktionsgraphen werden im Rahmen geeigneter Kontexte (z. B. Neuverschuldung und Schulden oder Besucherströme in einen Freizeitpark/zu einer Messe und erforderlicher Personaleinsatz) thematisiert und dabei der zweiten Ableitung eine anschauliche Bedeutung als Zu- und Abnahmerate der Änderungsrate der Funktion verliehen. Die Bestimmung der extremalen Steigung erfolgt zunächst über das Vorzeichenwechselkriterium (an den Nullstellen der zweiten Ableitung). 40

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42 Thema: Funktionen beschreiben Formen - Modellieren von Sachsituationen mit ganzrationalen Funktionen (Q-GK-A2) Zu entwickelnde Kompetenzen Vorhabenbezogene Absprachen und Empfehlungen 42

43 Inhaltsbezogene Kompetenzen: bestimmen Parameter einer Funktion mithilfe von Bedingungen, die sich aus dem Kontext ergeben ( Steckbriefaufgaben ) beschreiben das Krümmungsverhalten des Graphen einer Funktion mit Hilfe der 2. Ableitung verwenden notwendige Kriterien und Vorzeichenwechselkriterien sowie weitere hinreichende Kriterien zur Bestimmung von Extrem- und Wendepunkten beschreiben den Gauß-Algorithmus als Lösungsverfahren für lineare Gleichungssysteme wenden den Gauß-Algorithmus ohne digitale Werkzeuge auf Gleichungssysteme mit maximal drei Unbekannten an, die mit geringem Rechenaufwand lösbar sind Prozessbezogene Kompetenzen: Modellieren erfassen und strukturieren zunehmend komplexe Sachsituationen mit Blick auf eine konkrete Fragestellung (Strukturieren) treffen Annahmen und nehmen begründet Vereinfachungen einer realen Situation vor (Strukturieren) übersetzen zunehmend komplexe Sachsituationen in mathematische Modelle (Mathematisieren) erarbeiten mithilfe mathematischer Kenntnisse und Fertigkeiten eine Lösung innerhalb des mathematischen Modells (Mathematisieren) beziehen die erarbeitete Lösung wieder auf die Sachsituation (Validieren) beurteilen die Angemessenheit aufgestellter (ggf. konkurrierender) Modelle für die Fragestellung (Validieren) verbessern aufgestellte Modelle mit Blick auf die Fragestellung (Validieren) Leitfrage: Woher kommen die Funktionsgleichungen? Anknüpfend an die Einführungsphase (vgl. Thema E-A1) werden an einem Beispiel in einem geeigneten Kontext (z. B. Fotos von Brücken, Gebäuden, Flugbahnen) die Parameter der Scheitelpunktform einer quadratischen Funktion angepasst. Anschließend werden aus gegebenen Punkten Gleichungssysteme für die Parameter der Normalform aufgestellt. Die Beschreibung von Links- und Rechtskurven über die Zu- und Abnahme der Steigung führt zu einer geometrischen Deutung der zweiten Ableitung einer Funktion als Krümmung des Graphen und zur Betrachtung von Wendepunkten. Als Kontext hierzu können z. B. Trassierungsprobleme gewählt werden. Die simultane Betrachtung beider Ableitungen führt zur Entdeckung eines weiteren hinreichenden Kriteriums für Extrempunkte. Anhand einer Funktion mit Sattelpunkt wird die Grenze dieses hinreichenden Kriteriums entdeckt. Vorund Nachteile der beiden hinreichenden Kriterien werden abschließend von den Lernenden kritisch bewertet. Designobjekte oder architektonische Formen können zum Anlass genommen werden, die Funktionsklassen zur Modellierung auf ganzrationale Funktionen 3. oder 4. Grades zu erweitern und über gegebene Punkte, Symmetrieüberlegungen und Bedingungen an die Ableitung Gleichungen zur Bestimmung der Parameter aufzustellen. Hier bieten sich nach einem einführenden Beispiel offene Unterrichtsformen (z. B. Lerntheke) an. Schülerinnen und Schüler erhalten Gelegenheit, über Grundannahmen der Modellierung (Grad der Funktion, Symmetrie, Lage im Koordinatensystem, Ausschnitt) 43 selbst zu entscheiden, deren Angemessenheit zu reflektieren und ggf. Veränderungen vorzunehmen.

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45 Thema: Von der Änderungsrate zum Bestand (Q-GK-A3) Zu entwickelnde Kompetenzen Vorhabenbezogene Absprachen und Empfehlungen 45

46 Inhaltsbezogene Kompetenzen: interpretieren Produktsummen im Kontext als Rekonstruktion des Gesamtbestandes oder Gesamteffektes einer Größe deuten die Inhalte von orientierten Flächen im Kontext skizzieren zu einer gegebenen Randfunktion die zugehörige Flächeninhaltsfunktion Prozessbezogene Kompetenzen: Kommunizieren erfassen, strukturieren und formalisieren Informationen aus [ ] mathematikhaltigen Texten und Darstellungen, aus mathematischen Fachtexten sowie aus Unterrichtsbeiträgen (Rezipieren) formulieren eigene Überlegungen und beschreiben eigene Lösungswege (Produzieren) wählen begründet eine geeignete Darstellungsform aus (Produzieren) wechseln flexibel zwischen mathematischen Darstellungsformen (Produzieren) dokumentieren Arbeitsschritte nachvollziehbar (Produzieren) erstellen Ausarbeitungen und präsentieren sie (Produzieren) Das Thema ist komplementär zur Einführung der Änderungsraten. Deshalb sollten hier Kontexte, die schon dort genutzt wurden, wieder aufgegriffen werden (Geschwindigkeit Weg, Zuflussrate von Wasser Wassermenge). Der Einstieg kann über ein Stationenlernen oder eine arbeitsteilige Gruppenarbeit erfolgen, in der sich die Schülerinnen und Schüler selbstständig eine Breite an Kontexten, in denen von einer Änderungsrate auf den Bestand geschlossen wird, erarbeiten. Außer der Schachtelung durch Ober- und Untersummen sollen die Schülerinnen und Schüler eigenständig weitere unterschiedliche Strategien zur möglichst genauen näherungsweisen Berechnung des Bestands entwickeln und vergleichen. Die entstehenden Produktsummen werden als Bilanz über orientierte Flächeninhalte interpretiert. Qualitativ können die Schülerinnen und Schüler so den Graphen einer Flächeninhaltsfunktion als Bilanzgraphen zu einem vorgegebenen Randfunktionsgraphen skizzieren. Falls die Lernenden entdecken, welche Auswirkungen dieser Umkehrprozess auf die Funktionsgleichung der Bilanzfunktion hat, kann dies zur Überleitung in das folgende Unterrichtsvorhaben genutzt werden. Die Ergebnisse der Gruppenarbeit können auf Plakaten festgehalten und in einem Museumsgang präsentiert werden. Schülervorträge über bestimmte Kontexte sind hier wünschenswert. 46

47 Thema: Von der Randfunktion zur Integralfunktion (Q-GK-A4) Zu entwickelnde Kompetenzen Vorhabenbezogene Absprachen und Empfehlungen 47

48 Inhaltsbezogene Kompetenzen: erläutern und vollziehen an geeigneten Beispielen den Übergang von der Produktsumme zum Integral auf der Grundlage eines propädeutischen Grenzwertbegriffs erläutern geometrisch-anschaulich den Zusammenhang zwischen Änderungsrate und Integralfunktion (Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung) nutzen die Intervalladditivität und Linearität von Integralen bestimmen Stammfunktionen ganzrationaler Funktionen bestimmen Integrale mithilfe von gegebenen Stammfunktionen und numerisch, auch unter Verwendung digitaler Werkzeuge ermitteln den Gesamtbestand oder Gesamteffekt einer Größe aus der Änderungsrate bestimmen Flächeninhalte mit Hilfe von bestimmten Integralen Prozessbezogene Kompetenzen: Argumentieren stellen Vermutungen auf (Vermuten) unterstützen Vermutungen beispielgebunden (Vermuten) präzisieren Vermutungen mithilfe von Fachbegriffen und unter Berücksichtigung der logischen Struktur (Vermuten) stellen Zusammenhänge zwischen Begriffen her (Begründen) Werkzeuge nutzen nutzen [ ] digitale Werkzeuge [Erg. Fachkonferenz: Tabellenkalkulation und Funktionenplotter] zum Schülerinnen und Schüler sollen hier (wieder-)entdecken, dass die Bestandsfunktion eine Stammfunktion der Änderungsrate ist. Dazu kann das im vorhergehenden Unterrichtsvorhaben (vgl. Thema Q-GK-A3) entwickelte numerische Näherungsverfahren auf den Fall angewendet werden, dass für die Änderungsrate ein Funktionsterm gegeben ist. Die Graphen der Änderungsrate und der Bestandsfunktion können die Schülerinnen und Schüler mit Hilfe einer Tabellenkalkulation und eines Funktionenplotters gewinnen, vergleichen und Beziehungen zwischen diesen herstellen. Fragen, wie die Genauigkeit der Näherung erhöht werden kann, geben Anlass zu anschaulichen Grenzwertüberlegungen. Da der Rekonstruktionsprozess auch bei einer abstrakt gegebenen Randfunktion möglich ist, wird für Bestandsfunktionen der Fachbegriff Integralfunktion eingeführt und der Zusammenhang zwischen Rand- und Integralfunktion im Hauptsatz formuliert (ggf. auch im Lehrervortrag). Die Regeln zur Bildung von Stammfunktionen werden von den Schülerinnen und Schülern durch Rückwärtsanwenden der bekannten Ableitungsregeln selbstständig erarbeitet. (z. B. durch ein sog. Funktionendomino) In den Anwendungen steht mit dem Hauptsatz neben dem numerischen Verfahren ein alternativer Lösungsweg zur Berechnung von Gesamtbeständen zur Verfügung. Davon abgegrenzt wird die Berechnung von Flächeninhalten, bei der auch Intervalladditivität und Linearität (bei der Berechnung von Flächen zwischen Kurven) thematisiert werden. Bei der Berechnung der Flächeninhalte zwischen Graphen werden die Schnittstellen in der Regel numerisch mit dem GTR bestimmt. 48 Komplexere Übungsaufgaben sollten am Ende des Unterrichtsvorhabens bearbeitet werden, um Vernetzungen