Praktikumsbericht zum fachdidaktischen Blockpraktikum im Fach Mathematik

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1 Philosophische Fakultät Department Fachdidaktiken Lehrstuhl für Didaktik der Mathematik Regensburger Straße Nürnberg Praktikumsbericht zum fachdidaktischen Blockpraktikum im Fach Mathematik vom bis vorgelegt von: xxx Praktikumsschule: Betreuende Lehrkraft: Inhalt: I. Ein eigener Unterrichtsversuch II. Zusätzliche Beobachtungsaufgabe

2 Thema: Mal-Plus-Häuser I. Ein eigener Unterrichtsversuch 1. Sachstruktur Bei Mal-Plus-Häusern handelt es sich um ein Übungsformat, das nach festen Regeln aufgebaut ist. Beispiel: Benachbarte Zahlen im Erdgeschoss werden jeweils miteinander multipliziert. (3 2; 2 6) Die so erhaltenen Produkte werden im Stockwerk darüber entsprechend eingetragen. Die beiden Produkte werden addiert und ihre Summe erscheint dann im Dach. Die drei Zahlen im untersten Stockwerk ( Erdgeschoss ) sind voneinander unabhängig und können willkürlich gewählt werden. Algebraisch lässt sich das Mal-Plus-Haus also folgendermaßen darstellen: Die im Dach stehende Zahl lässt sich unmittelbar aus dem Produkt der Zahl unten Mitte mal der Summe der beiden Zahlen unten links und unten rechts bilden. Ausgehend von dieser Struktur lassen sich im Folgenden nun verschiedene Aufgabenstellungen bilden: Einfache Häuser (Typ 1) 1. Die Zahlen a, b und c sind vorgegeben. a b und b c werden berechnet und schließlich die Summe aus beiden Produkten gebildet.

3 Mittelschwere Häuser (Typ 2) 2. a) Hier kann a durch die Umkehroperation Division (a b:b) berechnet werden. Wenn b c bestimmt ist, kann auch die Summe aus a b und b c gebildet werden. b) Es lässt sich a b aus der Differenz der Dachzahl und des Produkts b c berechnen. Durch Division kann zunächst b, dann c bestimmt werden. Es gibt noch weitere Varianten, bei denen sich die fehlenden Zahlen jeweils direkt bestimmen lassen. Schwere Aufgaben (Typ 3) 3. Sehr schwere Aufgaben (Typ 4) 4. Unterbestimmte Aufgaben, z.b. Hier lassen sich die Zahlen in der zweiten Reihe nicht unmittelbar erschließen. Durch Division kann aber zunächst b bestimmt werden, sofern klar ist, dass sich die Zahl im Dach als Produkt von b und der Summe a+c bilden lässt. Andernfalls kann b durch Probieren erschlossen werden. Im Bereich der natürlichen Zahlen ist die Anzahl der Lösungen für b und c begrenzt. Es kommen nur die Teiler des Produktwertes von b c in Frage. Sind nur die beiden Zahlen in der mittleren Reihe vorgegeben, so ist b ein gemeinsamer Teiler (triviale Lösung: b = 1). Je nach Zahlenmaterial gibt es eine unterschiedliche Anzahl von Lösungsmöglichkeiten.

4 Hier kommt für b nur 1 oder 7 (als einziger gemeinsamer Teiler) in Frage. Hier sind die gemeinsamen Teiler 1, 2, 3, 4, 6, und 12, die alle Lösungen für b darstellen. Durch operatives Vorgehen wird die unterschiedliche Rolle der Zahl b im Unterschied zu a und c deutlich. Eine Veränderung von a (oder von c) wirkt sich nur auf das erste Produkt aus. Eine Veränderung von b wirkt sich auf beide Produkte aus. Mögliche Fragestellungen: Zur Erkundung der Struktur des Übungsformats lassen sich neben den verschiedenen Aufgaben auch Fragen stellen: Was passiert mit der Dachzahl, wenn - die linke und die rechte Kellerzahl vertauscht werden? - die linke oder die rechte Kellerzahl immer um 1 größer werden? - die linke Kellerzahl immer um 1 größer und die rechte Kellerzahl immer um 1 kleiner wird? - die Mittelzahl um 1 größer (kleiner) wird? - Wie passen die Mittelzahl im Keller und die Dachzahl zusammen? ) - Haben die beiden Außenzahlen im Keller und die Dachzahl auch etwas miteinander zu tun? - Ist es eigentlich egal, wo man die Zahlen 3, 5, 8 im Keller einträgt? Kommt trotzdem immer die gleiche Dachzahl heraus? -... Didaktische Reduktion Im Rahmen der geplanten Einheit von 45 min. ist es sinnvoll den geforderten Schwierigkeitsgrad der Aufgaben zu reduzieren. Neben den einfachen und mittelschweren Typen können gute Schüler bereits sich mit schweren Aufgaben befassen. Typ 3 und Typ 4 sind allerdings erst in der Folgestunde für alle Thema. Die Reduktion findet auf Grund des geringen Zeitrahmens und dem Leistungsstand der Schüler statt. Hier wird der Schwierigkeitsgrad vom Einfachen zum Schweren gesteigert.

5 2.1 Lehrplanbezug Die geplante Stunde wird in einer 3. Klasse gehalten. Sie findet sich im Lehrplan für die Bayerische Grundschule unter folgenden Punkten: 3.3 Rechnen Addition und Subtraktion Multiplikation und Division 2.2 Einbettung in die Sequenz Die geplante Stunde schließt sich als Abschluss an die Erarbeitung der Einmaleinsreihen zu den Zahlen 2,4,5,8 und 10 an. Die Stunde ist Teil einer Doppelstunde, die am Ende der Sequenz steht und zum Wiederholen, Üben und vor allem Festigen der erarbeiteten Lerninhalte dient. Nachdem die einzelnen Einmaleinsreihen eingeführt wurden, ist in den Folgestunden vor allem Wert darauf gelegt worden, eine Vorstellung über Beziehungen und Zusammenhänge zwischen den Zahlenreihen bei den Schülern zu fördern. Dies wurde in mehreren Übungsstunden durch verschiedene Aufgabentypen (Operation, Umkehroperation, über- und unterbestimmte Aufgaben) geschult. Das Mal-Plus-Haus schließt die Sequenz ab. In Form von Freiarbeit können die Schüler das Gelernte festigen und in ihrem Lernstand arbeiten. Der geplanten Unterrichtseinheit schließt sich eine Abschlussstunde der Sequenz an, in der schwierige Aufgaben noch einmal besprochen werden und eine Lernkartei zum Thema von den Schülern erstellt wird. Unterrichtsvoraussetzung Die Schüler - sollten sowohl das Addieren, als auch das Multiplizieren (Faktor2,4,5,8,10) im Zahlenraum bis 100 beherrschen. - sollten die Einmaleinsreihen mit 2,4,5,8 und 10 auswendig können. - kennen das Übungsformat Mal-Plus-Haus. - sollten Umkehroperationen bilden können. - sollten Produkte in ihre Faktoren zerlegen können. 3. Lernziele Grobziel: Die Schüler sollen das Operieren mit den Einmaleinsreihen 2,4,5,8 und 10 mit Hilfe des Übungsformats Mal-Plus-Haus üben. Feinziele: Die Sch sollen - ihr bisheriges Wissen zum Mal-Plus-Haus auffrischen um im Folgenden darauf aufzubauen, - ihr individuelles Leistungsniveau im Umgang mit dem Mal-Plus-Haus steigern, - sollen einfache funktionale Zusammenhänge im Mal-Plus-Haus erkennen.

6 4. Plan der Durchführung Rechnen mit dem Mal-Plus-Haus Zeit Unterrichtsverlauf ca. 5 min. Kopfrechnen Aufgaben zur Wiederholung des Addierens und Multiplizierens im Zahlenbereich von Vom Einfachen zum Schweren. Materialien/ Methoden Kopfrechenblatt Vgl. Anlage 1 ca. 10 min ca. 15 min. Wiederholung Wiederholung des Übungsformats Mal-Plus-Haus (vgl. Sachstruktur Einfache Aufgaben) TA mit ausgefülltem Mal-Plus-Haus wird aufgeklappt. Sch wiederholen bereits bekannte Gesetzmäßigkeiten (Multiplizieren im 1. Stock, Summe aus beiden Produkten im Dach ) L hängt entsprechende Karten mit Operationszeichen an die Tafel. Sch erklären die Regeln mit Hilfe des Beispiels. Lösen einer Aufgabe Typ 1 (vgl. Sachstruktur Einfache Aufgaben) L: Du kannst dich jetzt an das Haus erinnern; versuche folgende Aufgabe alleine zu lösen. Sch bearbeiten Aufgabe, die Lösung wird auf der Folie gemeinsam besprochen. Übungsphase L: In unserem Haus sind aber nicht immer nur die Zimmer im Erdgeschoss besetzt. Bei manchen musst du ganz schön nachdenken. AA auf Folie wird besprochen und von Sch wiederholt. L: Unsere verschiedenen Häuser findest du auf den Arbeitsblättern an der Lerntheke. Du kannst dich selbst entscheiden, mit welchem du beginnen möchtest. Am Ende der Std. solltest du aber mindestens 2 Arbeitsblätter bearbeitet haben. L: Die Lösungen zu den Häusern findest du als Lösungsblätter im Klassenzimmer verteilt. Vergleiche bitte selbst, ob dein Ergebnis stimmt. Sch arbeiten eigenständig. Differenzierung: Sch wählen eigenständig den Schwierigkeitsgrad des Aufgabenblattes. (vgl. Sachstruktur Einfache bis Schwere Aufgaben) L: Du kannst mich oder deinen Nachbarn um Hilfe bitten. TA, UG Vgl. Tafelbild TA, Karten EA Folie, UG AB, Lerntheke AA auf Folie Vgl. Anlage 2 Hilfekärtchen AB

7 ca. 10 min. ca. 5 min. Gute / Schnelle Schüler können ein weiteres Arbeitsblatt bearbeiten. Reflexion L wählt eine Aufgabe vom Typ 2 (gelbes Arbeitsblatt) exemplarisch aus, Sch stellen Lösung vor. Mögliche Impulse: L: Wann hattest du Probleme beim Lösen der Aufgabe? L: Wie bist du nacheinander vorgegangen, um auf eine Lösung zu kommen? L: Du hast doch auch die Forscheraufgabe bearbeitet. Sch erkennen: - die Dachzahl kann sich ändern, - das Vertauschen der linken und rechten Zahl im Erdgeschoss ändert nichts an der Dachzahl, - entscheidend ist, welche Zahl in der Mitte steht. Hausaufgabe L: Überlege dir selbst zwei Häuser bei denen im Dach 80 und 77 als Ergebnis steht UG L

8 5. Reflexion der Unterrichtseinheit In der gehaltenen Stunde konnten die Lernziele weitestgehend erfüllt werden. Alle Schüler konnten ihr Wissen zum Mal-Plus-Haus auffrischen und im Anschluss mit dem Übungsformat die geforderten Aufgaben lösen. Eine Steigerung der individuellen Leistungsniveaus war bei vielen Schülern ersichtlich, indem sie sich im Laufe der Stunde auch an die Schweren Aufgaben wagten. Leider war es mir auf Grund der Schüler Zahl nicht möglich, dies bei jedem einzelnen festzustellen. Während der Reflexion kamen gute Beiträge zu den funktionalen Zusammenhängen der Zahlen im Rechenformat. Allerdings brachten sich hier vor allem die Leistungsstarken Schüler ins Gespräch mit ein. Es ist zu überlegen, ob man nicht durch eine schriftliche Sicherung alle Schüler dazu bringt, ihre erarbeiteten Kenntnisse zu verbalisieren. Betrachtet man den didaktischen Aufbau der Stunde, konnte ich folgendes feststellen. Bei der Wiederholung des Mal-Plus-Hauses habe ich mich gegen eine sofortige Präsentation der nötigen Rechenoperationen entschieden. Wie sich herausstellte, konnten auch die leistungsschwächeren Schüler ohne Probleme das Format durchdringen und die geforderten Schritte verbalisieren. Bei einer Vorgabe der Schritte wäre dies nur schwer zu überprüfen gewesen. Trotzdem war die Präsentation eines ausgefüllten Hauses zu einfach. Man hätte nur die untere Zeile vorgeben sollen. Vor allem in dieser Phase konnte ich auf die verwendete Fachsprache der Schüler achten. Leider gelang mir dies im weiteren Verlauf der Stunde nicht mehr so gut und ist noch deutlich verbesserungswürdig. Ich hoffe, dass sich dies durch eine wachsende Routine beim Unterrichten verbessern wird. Das anschließende gemeinsame Erarbeiten einer Beispielaufgabe sollte vor allem den schwächeren Schülern noch einmal ermöglichen, selbst die Rechenoperationen und das dahinter stehende Prinzip im Mal-Plus-Haus zu wiederholen. Hier hätten die leistungsstärkeren Schüler vielleicht bereits eine schwerere Aufgabe bekommen können, um sie an dieser Stelle eigenständig zu lösen. Während der eigentlichen Übung wurde das Arbeiten mit einer Lerntheke gewählt. Den Schülern war die Methode bereits bekannt und sie konnten sich problemlos selbst das Material besorgen. Leider wählten nicht immer alle Schüler den für sie angemessenen Schwierigkeitsgrad. Aus den speziellen Beobachtungsaufträgen ging zudem hervor, dass entstandene Unruhen auf die fehlenden klaren Anweisungen zurück zu führen waren. Die Folie mit den AA hätte andauernd sichtbar auf dem OHP bleiben sollen, um Unklarheiten bei den Schülern zu vermeiden. Außerdem hätte ich auf die entstandenen Störungen mehr eingehen müssen. Einzelne Zwischenrufe habe ich meist ignoriert, da ich sie nicht als gravierend angesehen habe. Für das gesamte Arbeitsklima wäre dies aber von Vorteil gewesen. Im Großen und Ganzen zeigten die Schüler eine hohe Arbeitsbereitschaft und vor allem Durchhaltevermögen während der Übungsphase. Es ist zu überlegen, ob es in diesem Zusammenhang nicht auch sinnvoller gewesen wäre, weitere Übungsformate des Mal-Plus-Hauses mit einzubinden (vgl. Typ 4 Sachstruktur), um so eine zusätzliche Alternative für gute Schüler zu bieten. Außerdem würden die geschulten Operationen weiter gefestigt und die Schüler hätten mehr Möglichkeiten, Zusammenhänge zu erkennen. Auch die geplante Differenzierung über Hilfekärtchen und ein freiwilliges Tutorensystem hat nur bedingt zur gewünschten Unterstützung der Leistungsschwächeren geführt. Eine Alternative wären

9 eventuell von Beginn an 2-er Teams in Einzelfällen vorzugeben oder als Lehrer sich die schwachen Schüler separat zu holen, um mit ihnen gemeinsam die Aufgaben zu lösen. In diesem Fall könnten Schüler auch sobald sie glauben eigenständig weiter arbeiten zu können, die Gruppe wieder verlassen. In der abschließenden Reflexion habe ich mich zu lange mit der Besprechung von Rechenfehlern aufgehalten. Gut war, dass einige Schüler bereits erkannt hatten, dass die mittlere Zahl zweimal als Faktor auftritt.

10 II. Zusätzliche Beobachtungsaufgaben

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16 Anlage 1 Kopfrechnen Mein Kopfrechenblatt Datum Ergebnis Selbstkontrolle: (Für jede richtig gelöste Aufgabe darfst du ein Kästchen bunt ausmalen.)

17 Aufgaben Kopfrechnen: (Prinzip vom Einfachen zum Schweren sowie Inhalte der Stunde werden in den Aufgaben aufgegriffen) 1) = 30 2) = 78 3) 3 5 = 15 4) = 100 5) 12 4 = 48 6) 3 geht in 9 wie oft? 7) 9 geht in 45 wie oft? 8) Mit welcher Zahl muss ich 5 multipliziere um 40 zu erhalten.

18 Anlage 2 AA und Arbeitsblätter Arbeitsauftrag 1. An unserer Lerntheke findest du verschiedene Arbeitsblätter: Grün = für Anfänger beim Hausbauen Gelb = für die fortgeschrittenen Hausbauer Rot = für die Profihausbauer. 2. Bearbeite mindestens zwei Arbeitsblätter. 3. Forscherauftrag: Überlege dir ein eigenes Beispiel. Ist es egal, an welcher Stelle man die drei Zahlen im Erdgeschoss einträgt. Kommt trotzdem immer die selbe Dachzahl heraus? Hilfe: Falls du mal nicht weiter kommen solltest, findest du Hilfe am Pult. Für die Schnellen: 1) Löse weitere Häuser, hast du dich schon an das Profihaus heran gewagt? 2) Kannst du dir selbst ein Haus ausdenken?

19 Fortgeschrittene Hausbauer Fortgeschrittene Hausbauer

20 ANFÄNGER BEIM HAUSBAUEN ANFÄNGER BEIM HAUSBAUEN

21 Profihausbauer Profihausbauer