DOWNLOAD. Quadratwurzeln und reelle Zahlen. Thomas Röser. Downloadauszug aus dem Originaltitel: Stationenlernen Mathematik 9.

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1 DOWNLOAD Thomas Röser Quadratwurzeln und reelle Zahlen Stationenlernen Mathematik 9. Klasse Thomas Röser 9. Klasse Bergedorfer Unterrichtsideen Bergedorfer Lernstationen Downloadauszug aus dem Originaltitel: Stationenlernen Mathematik 9. Klasse Reelle Zahlen Gleichungen Pythagoras zentrische Streckung quadratische Funktionen

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3 Einleitung: Stationenlernen, was ist das? Vorwort I Theorie: Zum Stationenlernen Einleitung: Stationenlernen, was ist das? Unsere Gesellschaft wird seit geraumer Zeit durch Begriffe der Individualisierung gekennzeichnet: Risikogesellschaft heißt es bei Ulrich Beck 1, Multioptionsgesellschaft nennt sie Peter Gross 2 und für Gerhard Schulze ist es eine Erlebnisgesellschaft 3. Jeder Begriff beinhaltet einen anderen inhaltlichen Schwerpunkt, doch egal, wie wir diesen Prozess bezeichnen, die Individualisierung hier zu verstehen als Pluralisierung von Lebensstilen schreitet voran. Damit wird die Identitäts- und Sinnfindung zu einer individuellen Leistung. Diese Veränderungen wirken sich zwangsläufig auch auf die Institution Schule aus. Damit lässt sich vor allem eine Heterogenität von Lerngruppen hinsichtlich der Lernkultur, der Leistungsfähigkeit sowie der individuellen Lernwege feststellen. Darüber hinaus legt beispielsweise das Schulgesetz Nordrhein-West-rheinfalen im 1 fest, dass: Jeder junge Mensch [ ] est- ohne Rücksicht auf seine wirtschaftliche Lage und Herkunft und sein Geschlecht ein Recht auf schulische Bildung, Erziehung und individuelle Förde- rung hat. Das klingt nach einem hehren Ziel die Frage ist nur, wie wir dieses Ziel erreichen en können? Ich möchte an dieser Stelle festhalten, dass es nach meiner Einschätzung nicht das pädagogische Allheilmittel gibt, welches wir nur einsetzen müssten und damit wären alle le (pädagogischen) Probleme gelöst trotz alledem em möchte ich an dieser Stelle die Methode des Stationenlernens tione präsentieren, da diese e der Individualisierung Rechnung tragen kann. Merkmale e des Stationenlernens Lernen an Stationen bezeichnet die Arbeit mit einem aus verschiedenen Stationen zusammengesetzten Lernangebot, das eine übergeordnete Pro- 1 Vgl.: Beck, Ulrich: Risikogesellschaft Auf dem Weg in eine andere Moderne. Berlin Vgl.: Pongs, Armin; Gross, Peter: Die Multioptionsgesellschaft. In: Pongs, Armin (Hrsg.): In welcher Gesellschaft leben wir eigentlich? Gesellschaftskonzepte im Vergleich, Band I. München 1999, S Vgl.: Schulze, Gerhard: Die Erlebnisgesellschaft Kultursoziologie der Gegenwart. Frankfurt/Main, New York 199 blematik differenziert entfaltet. 4 Schon an dieser Stelle wird offensichtlich, dass für diese Methode unterschiedliche Begriffe verwendet werden. Jedem Terminus wohnt eine (mehr oder weniger) anders geartete organisatorische Struktur inne. In den meisten Fällen werden die Begriffe Lernen an Stationen und Stationenlernen er synonym verwendet. Hiervon werden die Lernstraße oder der Lernzirkel unterschieden. Bei diesen beiden Varianten werden in der Regel eine festgelegte Reihenfolge sowie die Vollständigkeit des Durchlaufs aller Stationen verlangt. Daraus aus ergibt sich zwangsläufig (rein organisatorisch) auch eine festgelegte Arbeitszeit an der jeweiligen Station. Eine weitere Unterscheidung ng bietet die Lerntheke, an welcher sich die Schülerinnen und Schüler mit Material bedienen können, um anschließend wieder (meist eigenständig) an ihren regulären Plätzen zu arbeiten. Von diesen Formen soll das Lernen an Stationen bzw. das Stationenlernen tionen abgegrenzt werden. Diese Unterrichtsmethode ist hier zu verstehen als ein unterrichtliches Verfahren, bei dem der unter- richtliche Gegenstand so aufgefächert wird, dass die einzelnen nen Stationen unabhängig voneinander bearbeitet eite werden können die Schülerinnen und Schüler können die Reihenfolge der Stationen somit eigenständig bestimmen; sie allein entscheiden, wann sie welche Station bearbeiten wollen. Damit arbeiten die Lernenden weitgehend selbstständig und eigenverantwortlich (bei meist vorgegebener Sozialform, welche sich aus der Aufgabenstellung ergeben sollte). Um der Heterogenität Rechung zu tragen, werden neben den Pflichtstationen, die von allen bearbeitet werden müssen, Zusatzstationen angeboten, die nach individuellem Interesse und Leistungsvermögen ausgewählt werden können. Aufgrund der Auffächerung des Gegenstandes inunterschiedliche Schwerpunkte und der Unterteilung in Pflicht- und Zusatzstationen, bietet es sich an, bei der Konzeption der einzelnen Stationen unterschiedliche Lernzugänge zu verwenden. Auch hier wäre eine weitere schülerspezifischere Differenzierung denkbar. Folglich ist es möglich, einen 4 Lange, Dirk: Lernen an Stationen. In: Praxis Politik, Heft 3/2010, S. 4. 1

4 Einleitung: Stationenlernen, was ist das? inhaltlichen Schwerpunkt bspw. einmal über einen rein visuellen Text, zweitens mithilfe eines Bildes/ einer Karikatur und drittens über ein akustisches Material anzubieten, und die Lernenden dürfen frei wählen, welchen Materialzugang sie verwenden möchten, jedoch unter der Prämisse, einen zu bearbeiten. Unter diesen Gesichtpunkten wird offensichtlich, dass das Stationenlernen eine Arbeitsform des offenen Unterrichtes ist. Ursprung des Stationenlernens Die Idee des Zirkulierens im Lernablauf stammt ursprünglich aus dem Sportbereich. Das circuit training, von Morgan und Adamson 1952 in England entwickelt, stellt im Sportbereich den Sportlern unterschiedliche Übungsstationen zur Verfügung, welche sie der Reihe nach durchlaufen müssen. sen. Der Begriff Lernen an Stationen wurde hingegen gen von Gabriele Faust-Siehl geprägt, die hierzu ihren gleichnamigen Aufsatz in der Zeitschrift Grundschule 1989 publizierte. 1 Der Ablauf des Stationenlernens Für die Gestaltung und Konzeption eines Stationenlernens ist es entscheidend, eidend, dass sich der unterrichtliche Gegenstand in verschiedene Teilas- pekte aufschlüsseln lässt, die in ihrer zu bearbeitenden Reihenfolge unabhängig voneinander nander sind. Damit darf jedoch die abschließende Bündelung nicht unterschlagen werden. Es bietet sich daher an, eine übergeordnete Problematik oder Fragestellung an den Anfang zu stellen, welche e zum Abschluss (dieser ist von der methodischen Reflexion zu unterscheiden) en) erneut aufgegriffen wird. Der eigentliche Ablauf lässt sich in der Regel in vier Phasen unterteilen: Die thematische und methodische Hinführung hier wird den Schülerinnen und Schülern einerseits eine inhaltliche Orientierung geboten und andererseits der Ablauf des Stationenlernens erklärt. Sinnvoll ist es an dieser Stelle gemeinsam mit den Lernenden die Vorteile, aber auch mögliche Schwierigkeiten der Methode zu besprechen. Hierauf folgt ein knapper Überblick über die eigentlichen Stationen dieser Überblick sollte ohne Hinweise der Lehrperson auskommen. Rein organisatorisch macht es daher Sinn, den jeweiligen Stationen feste (für die Lernenden nachvollziehbare) Plätze im Raum zuzu- gestehen. In der sich anschließenden Arbeitsphase erfolgt ein weitgehend selbstständiges Lernen an den Stationen. In dieser Phase können je nach Zeit und Bedarf Plenumsgespräche stattfinden. Zur weiteren Orientierung während der Arbeitsphase sollten zusätzliche Materialien, wie Laufzettel, Arbeitspässe, Fortschrittslisten o. Ä. verwendet werden. Diese erleichtern den Ablauf und geben den Lernenden eine individuelle Übersicht über die bereits bearbeiteten und noch zur Verfügung stehenden Stationen. Bei einem solchen Laufzettel sollte auch eine Spalte für weitere Kommentare, welche später die Reflexion unterstützen können, Platz finden. Darüber hinaus kann von den Schülerinnen n und Schülern ein Arbeitsjournal, ein Portfolio oder auch eine Dokumentenmappe geführt werden, um Arbeitsergebnisse zu sichern und den Arbeitsprozess reflektierend zu begleiten. Ein zuvor ausgearbeitetes Hilfesystem kann den Ablauf zusätzlich unterstützen, tzen, indem Lernende an geeigneter Stelle Hilfe anbieten oder einfordern können. Am Ende schließt sich 4. eine Reflexionsphase (auf inhaltlicher und methodischer Ebene) an. Die Rolle der Lehrkraft beim Stationenlernen Als allererstes ist die Lehrperson wie bei fast al- len anderen Unterrichtsmethoden auch Organi- sator und Berater von Lernprozessen 2. Sie stellt ein von den Lernenden zu bearbeitendes Material- und Aufgabenangebot zusammen. Der zentrale Unterschied liegt jedoch darin, dass sie sich während des eigentlichen Arbeitsprozesses aus der frontalen Position des Darbietens zurückzieht. Die Lehrkraft regt vielmehr an, berät und unterstützt. Dies bietet dem Lehrer/der Lehrerin viel stärker die Möglichkeit, das Lerngeschehen zu beobachten und aus der Diagnose Rückschlüsse für die weitere Unterrichtsgestaltung sowie Anregungen für die individuelle Förderung zu geben. Insgesamt agiert die Lehrperson somit eher im Hintergrund. Als invisible hand strukturiert sie das Lerngeschehen. 3 Vor- und Nachteile des Stationenlernens Die Schülerinnen und Schüler übernehmen eine viel stärkere Verantwortung für ihren eigenen Lernprozess und können somit (langfristig!) selbst- 1 Vgl.: Faust-Siehl, Gabriele: Lernen an Stationen. In: Grundschule, Heft 3/1989. Braunschweig 1989, S. 22ff. 2 Lange, Dirk: Lernen an Stationen. In: Praxis Politik, Heft 3/2010, S Ebenda. 2

5 Besonderheiten des Stationenlernens im Fach Mathematik in der Klassenstufe 9 sicherer und eigenständiger im, aber auch außerhalb des Unterrichts agieren. Diese hohe Eigenverantwortung bei zurückgenommener Anleitung durch die Lehrperson kann jedoch zu einer Überforderung oder mangelnden Mitarbeit aufgrund der geringen Kontrolle führen. Beidem muss zielgerichtet begegnet werden, sei es durch die schon erwähnten Hilfestellungen oder durch eine (spätere) Kontrolle der Ergebnisse. Eine Stärke des Stationenlernens besteht eindeutig in der Individualisierung des Unterrichtsgeschehens die Lernenden selbst bestimmen Zeitaufwand und Abfolge der Stationen. Darüber hinaus können die unterschiedlichen Lerneingangskanäle sowie eine Differenzierung in Schwierigkeitsgrade als Ausgangspunkt des Lernprozesses genommen werden. Die Schülerinnen und Schüler können damit die ihnen gerade angemessen erscheinende ende Darstellungs- und Aufnahmeform erproben, erfahren und reflektieren. Damit kann eine heterogene Lerngruppe inhalts- und lernzielgleich unterrichtet werden, ohne dass die Lernwege vereinheitlicht werden müssen. 1 Stationenlernen n Ein kurzes Fazit Innerhalb der unterschiedlichen Fachdidaktiken herrscht seit Jahren ein Konsens darüber, dass s sich das Lehr-Lern-Angebot der Schule verändern n muss. Rein kognitive Wissensvermittlung ng im Sinne des Nürnberger Trichters ist nicht gefragt und widerspricht allen aktuellen Erkenntnissen n der Lernpsychologie. Eigenverantwortliches, selbstgestaltetes und kooperatives Lernen sind die zentralen Ziele der Pädagogik des neuen Jahrtausends. Eine mögliche Variante, ante, diesen Forderungen nachzukommen, bietet das Stationenlernen. Warum? Stationenlernen ermöglicht u. a.: Binnendifferenzierung und individuelle Förderung, indem unterschiedliche Schwierigkeitsgrade angesetzt werden. Gleichzeitig können die Schülerinnen und Schüler auch ihre Kompetenzen im Bereich der Arbeitsorganisation ausbauen. einen Methoden- und Sozialformenwechsel, sodass neben Fachkompetenzen auch Sozial-, Methoden- und Handlungskompetenzen gefördert werden können. 1 Lange, Dirk: Lernen an Stationen. In: Praxis Politik, Heft 3/ 2010, S. 6. Grundsätzlich so behaupte ich lässt sich Stationenlernen in allen Unterrichtsfächern durchführen. Grundsätzlich eignen sich auch alle Klassenstufen für Stationenlernen. Trotz alledem sollten wie bei jeder Unterrichtskonzeption immer die zu erwartenden Vorteile überwiegen; diese Aussage soll hingegen kein Plädoyer für eine Nichtdurchführung eines Stationenlernens sein! D. h. jedoch, dass wie bei jeder Unterrichtsvorbereitung eine Bedingungsanalyse unerlässlich ist! Stationenlernen benötigt rein organisatorisch als allererstes Platz: Es muss möglich sein, jeder Station einen festen (Arbeits-) t darüber hinaus für die Vor- Platz zuzuweisen. Die Lehrkraft benötigt bereitung im ersten Moment mehr Zeit sie muss alle notwendigen Materialien in ausreichender Anzahl zur Verfügung stellen len und das heißt vor allem: Sie benötigt Zeit für das Kopieren! Für den weiteren Ablauf ist es sinnvoll, Funktionsaufgaben an die Lernenden zu verteilen so kann bspw. je eine Schülerin oder je ein Schüler für eine Station die Verantwortung übernehmen: en: Sie/er muss dafür Sorge tragen, dass immer mer ausreichend Materialien bereit liegen. Wichtiger jedoch ist die Grundeinstellung der Schülerinnen und Schüler selbst: Viele Lernende wurden regelmäßig g mit lehrerzentriertem Frontalunterricht unterhalten die Reaktionen der Schülerinnen nen und Schüler werden sehr unterschiedlich sein. Eine Lerngruppe wird sich über mehr Eigenverantwortung freuen, eine andere wird damit maßlos überfordert sein, eine dritte wird sich verweigern. Daher ist es unerlässlich, die Lernenden (schrittweise) an offenere Unterrichtsformen heranzuführen. Sinnvoll ist es daher, mit kleineren Formen des offenen Unterrichts zu beginnen; dies muss nicht zwingend ausschließlich in einem bestimmten Fachunterricht erfolgen der Lernprozess einer Klasse sollte auch hier ganzheitlich verstanden werden! Absprachen zwischen den Kolleginnen und Kollegen sind somit auch hier unerlässlich letztendlich kann im Gegenzug auch wieder das gesamte Kollegium davon profitieren. Besonderheiten des Stationenlernens im Fach Mathematik in der Klassenstufe 9 Ein Stationenlernen im Mathematikunterricht muss sich an den Inhalten und dem Aufbau der Bildungsstandards im Fach Mathematik für den mittleren Bildungsabschluss orientieren. Das Einschlagen von individuellen Lösungswegen, das Analysieren 3

6 Besonderheiten des Stationenlernens im Fach Mathematik in der Klassenstufe 9 von Lernergebnissen, das zielgerichtete Anwenden von Formeln, Rechengesetzen und Rechenregeln soll stets unter der Prämisse der Nutzbarkeit für das weitere Lernen und dem Einbezug in möglichst unterschiedliche kontextbezogene Situationen gesehen werden. Der Schüler soll auf diese Weise Mathematik als anregendes, nutzbringendes und kreatives Betätigungsfeld erleben 1. Dabei sind folgende sechs allgemeine mathematische Kompetenzen Grundlage jeder Planung und unterrichtlichen Aufbereitung. Im Einzelnen handeln es sich um: mathematisch argumentieren Probleme mathematisch lösen mathematisch modellieren mathematische Darstellungen verwenden mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen kommunizieren Diese allgemeinmathematischen Kompetenzen en gilt es inhaltsbezogen zu konkretisieren en und mit einer der fünf folgenden mathematischen tischen Leitideen in Einklang zu bringen: Zahl Messen Raum und Form funktionaler Zusammenhang an Daten und Zufall Bezogen auf die Adressaten dieses Buches zum Stationenlernen die Schüler der 9. Klasse müssen folgende inhaltsbezogene en mathematische Kompetenzen Berücksichtigung finden: Die Vorstellung von reellen Zahlen entsprechend der Verwendungsnotwendigkeit notwe Das sichere Anwenden der Grundrechenarten, des Quadrierens und Wurzelziehens im Zahlbereich der rationalen und reellen Zahlen Die Umformungsübungen zu Termen, insbesondere für den Zahlbereich der reellen Zahlen Die Äquivalenzumformungen bei Gleichungen und Ungleichungen, insbesondere bei der rechnerischen Lösung von linearen Gleichungssystemen Das Nutzen des Zusammenhangs von Rechenoperationen, deren Umkehrung sowie Kontrollmechanismen 1 Bildungsstandards Mathematik für den mittleren Bildungsabschluss, Carl Link Verlag, S. 6. Das mathematische Lösen von Sachaufgaben und deren Kontrolle Das Beschreiben von Lösungswegen und deren Begründung Die Selbstformulierung mathematischer Probleme, deren sachgerechte Lösung und die Interpretation von Ergebnissen in Sachsituationen Das Umrechnen von Größen und deren situationsgemäße Anwendung Der Einsatz von Maßstäben und Streckenverhältnissen Das Beschreiben und Begründen von Eigenschaften und Beziehungen geometrischer Objekte, insbesondere bei zentrischen Streckungen Die Analyse von Sachzusammenhängen ng durch Eigenschaften und Beziehungen geometrischer Objekte Das Anwenden von Sätzen der ebenen n Geometrie bei Konstruktion, Berechnung ng und Beweis für die Satzgruppe des Pythagoras Das Zeichnen en und Konstruieren geometrischer Figuren mit entsprechenden echenden Hilfsmitteln Das Analysieren en und Vergleichen funktionaler Zusammenhänge und die Darstellung in tabellarischer und grafischer Form Das grafische Interpretieren von linearen und quadratischen Gleichungen Das Lösen von linearen und quadratischen Gleichungen sowie Gleichungssystemen mithilfe von Graph und Rechnung Das Berechnen von Unbekannten in rein- und gemischtquadratischen Gleichungen Das Herstellen von Beziehungen zwischen Funktionsterm und Graph Das Angeben von Sachsituationen bei vorgegebenen Funktionen Dabei muss sich der unterrichtliche Gegenstand jeweils in mehrere voneinander unabhängige Teilaspekte aufgliedern lassen. Dies ist auch im Fach Mathematik möglich, obwohl häufig Themen auf den vorherigen aufbauen bzw. ohne Kenntnis der erarbeiteten Rechenregeln nicht lösbar sind. Innerhalb eines Themengebietes ist die Reihenfolge der strukturellen Erarbeitung in vielen Fragestellungen austauschbar und von daher effektiv mithilfe des Stationenlernens umzusetzen. 4

7 Quadratwurzeln und reelle Zahlen Laufzettel zum Stationenlernen Quadratwurzeln und reelle Zahlen Station 1 Berechnen von Quadratwurzeln Station 2 Reelle Zahlen Zusatzstation A Kubikwurzeln und n-te Wurzeln Station 3 Rechnen mit reellen Zahlen Zusatzstation t B Teilweises Wurzelziehen Station 4 Rechenregeln Quadratwurzeln Zusatzstation C Quadratwurzelgleichungen ge II Station 5 Quadratwurzelterme umformen Zusatzstation D Sachaufgaben Station 6 Quadratwurzelgleichungen I Kommentare: 5

8 Station 1 Berechnen von Quadratwurzeln Aufgabe Aufgabe: Berechne Quadratwurzeln. Bestimme in deinem Heft die dazugehörige Quadratzahl. Bestimme in deinem Heft die folgenden Quadratwurzeln im Kopf. Für welche Werte von x können Wurzeln berechnet werden? Schreibe eine Bedingung mithilfe eines Vergleichsoperators in deinem Heft. 4. Berechne die folgenden Aufgaben ohne Taschenrechner und schreibe in dein Heft. Station 2 Reelle e Zahlen Aufgabe Aufgabe: Bestimme reelle Zahlen. Welche dieser Zahlen sind rational, welche irrational? Schreibe in dein Heft. Finde für a) und b) eine rationale Zahl, für c) und d) drei rationale Zahlen die zwischen den vorgegebenen Brüchen liegen. Schreibe und rechne in deinem Heft. Beantworte die Fragen in deinem Heft. Begründe deine Antwort. 6

9 Station 3 Rechnen mit reellen Zahlen Aufgabe Aufgabe: Übe das Rechnen mit reellen Zahlen. Berechne mit dem Taschenrechner in deinem Heft und runde auf vier Nachkommastellen. Vereinfache zunächst soweit wie möglich in deinem Heft und runde das Ergebnis mithilfe des Taschenrechners auf vier Nachkommastellen. Vereinfache zunächst soweit wie möglich und setzte anschließend die folgenden Werte ein: x = 3, y = 2, z = Berechne mithilfe des Taschenrechners in deinem Heft das Ergebnis und runde auf vier Nachkommastellen. 4. Welcher der beiden Dezimalbrüche ist eine rationale, ale, welcher eine irrationale Zahl? Begründe in deinem Heft. 5. Beantworte die folgende Frage in deinem Heft. Station 4 Rechenregeln Quadratwurzeln atwu Aufgabe Aufgabe: Berechne Quadratwurzeln urzeln mithilfe von Rechenregeln. Berechne ohne Taschenrechner in deinem Heft mittels der Wurzelregel für Produkte. Berechne echne ohne Taschenrechner in deinem Heft mittels der Wurzelregel für Quotienten. Setze die Kästchen an die richtige Stelle ein und überprüfe das Ergebnis auf Gleichheit. Trage auf dem Rechenblatt ein. 7

10 Station 5 Quadratwurzelterme umformen Aufgabe Aufgabe: Forme Quadratwurzelterme um. Benutze das Distributivgesetz und rechne ohne Taschenrechner in deinem Heft. Beseitige die Wurzel im Nenner. Rechne ohne Taschenrechner und löse in deinem Heft. Vereinfache ohne Taschenrechner zu einem Produkt in deinem Heft. 4. Vereinfache die Terme in deinem Heft. Runde das Ergebnis vom vereinfachten Term für c) und d) auf zwei Nachkommastellen. Station 6 Quadratwurzelgleichungen I Aufgabe Aufgabe: Übe das Lösen von Quadratwurzelgleichungen. Löse die folgenden Gleichungen mit einer Wurzel in deinem Heft. Löse die folgenden Gleichungen mit zwei Wurzeln in deinem Heft. Ordne den Gleichungen die richtige Lösungsmenge zu und verbinde auf dem Materialblatt. 8

11 Zusatzstation A Kubikwurzeln und n-te Wurzeln Aufgabe Aufgabe: Berechne Kubikwurzeln und n-te Wurzeln. Berechne die Kubikwurzeln durch Probieren ohne Taschenrechner und löse in deinem Heft. Berechne die Kubikwurzeln mit dem Taschenrechner in deinem Heft und runde auf zwei Nachkommastellen. Ergänze die fehlenden Zahlen für x durch Probieren ohne Taschenrechner in deinem Heft. 4. Berechne die Sachaufgabe. Zusatzstation B Teilweises Wurzelziehen zieh Aufgabe Aufgabe: Wende Wurzelregeln beim teilweisen en Wurzelziehen an. Berechne mithilfe der Regel für Produkte ohne Taschenrechner und schreibe in dein Heft. Berechne echne mithilfe der Regel für Quotienten ohne Taschenrechner und schreibe in dein Heft. Bringe den Vorfaktor mit unter das Wurzelzeichen und berechne mit dem Taschenrechner einen Näherungswert in deinem Heft. Runde auf zwei Nachkommastellen. 4. Vereinfache in deinem Heft durch teilweises Wurzelziehen und forme um. 9

12 Zusatzstation C Quadratwurzelgleichungen II Aufgabe Aufgabe: Löse schwierige Quadratwurzelgleichungen. Bestimme die Lösungsmenge der Gleichungen mit einer Wurzel in deinem Heft. Bestimme die Lösungsmenge der Gleichungen mit zwei Wurzeln in deinem Heft. Löse die folgenden Wurzelgleichungen in deinem Heft. Zusatzstation D Sachaufgaben Aufgabe Aufgabe: Bearbeite die Sachaufgaben. Stelle eine e Wurzelgleichung auf und berechne den Wert für x in deinem Heft. Ein Rechteck hat die folgenden Maße. Berechne die Zahl für x in deinem Heft. Bearbeite die folgende Sachaufgaben (Frage, Rechnung, Antwortsatz) in deinem Heft. 4. Für welche Zahl x sind die Flächeninhalte der beiden Rechtecke gleich? Wie groß ist der Flächeninhalt, wie groß sind die Seiten a und b der beiden Rechtecke? Berechne in deinem Heft und runde auf zwei Nachkommastellen. 10

13 Station 1 Berechnen von Quadratwurzeln Material Die Quadratwurzel einer positiven Zahl a ist diejenige positive Zahl b, die mit sich selbst multipliziert a ergibt (b 2 = a). Für die Quadratwurzel aus a schreibt man a. Dabei heißt die Zahl a unter dem Wurzelzeichen Radikant und das Berechnen der Quadratwurzel heißt Radizieren. z. B.: 625 = 25, da 25 μ 25 = 25 2 = = 0, da 0 μ 0 = 0 Das Quadratwurzelziehen wird durch das Quadrieren rückgängig gemacht: (a) 2 = a. Das Quadrieren wird durch das Quadratwurzelziehen rückgängig g gg gemacht: a 2 = a. Hinweis: Wurzeln können nur aus positiven Zahlen gezogen g werden. e Bei einer Doppelwurzel wird zuerst die innere n e Wurzel gezogen. Statt dem Wurzelzeichen wird seltener hoch 0,5 verwendet: a = a 0,5. : ( a) 1 b) 4 c) 7 d) 10 e) 12 f) 35 h) 0,8 2 g) 50 i) 3 k) 5 9 a 16 b) c) 529 d) 900 e) 1,21 f) fnn 4 N 225 g) fn1 4 h) fvvv a) x + 3 b) 9 + x c) x d) 5x 10 e) (3x + 1) f) 1 x 2 g) fvvvvvvv 2 5 x 2,4 h) 1 fvvvvvvv 8 x 4,2 4. a) (11) 2 b) (54) 2 c) ( 61) 2 d) 8 2 e) fvv 2 2 f) 21,3 2 g) dnnn d 81 h) dnnnnnn d 0,0016 i) fvvvvv k) $d % 2 9 d 16 11

14 Station 2 Reelle Zahlen Material Reelle Zahlen (kurz: R) bestehen aus den bisher bekannten rationalen Zahlen und den irrationalen Zahlen. Rationale Zahlen: Darstellung durch einen abbrechenden oder periodischen Dezimalbruch, z. B.: 1 4 = 0,25; 1 9 = 0,1; 9 5 = 1,8. Irrationale Zahlen: Beschreibung durch einen nichtabbrechenden und nichtperiodischen Dezimalbruch, z. B.: 2 = 1, a) 5 6 b) c) d) 6 e) f) 0,81 a) 1 7 und 3 7 b) 7 und c) 0,7 und 8 d) und a) Jede rationale Zahl ist auch eine reelle Zahl? b) Irrationale Zahlen sind reelle Zahlen, die nicht rational sind? c) Zwischen zwei rationalen alen Zahlen liegen abzählbar viele rationale Zahlen? d) Irrationale Zahlen lassen sich als Bruch darstellen, rationale nicht? e) Ist a eine natürliche Zahl, aber keine Quadratzahl, so ist a eine rationale Zahl? f) Bei einer rationalen Zahl steht eine natürliche Zahl im Zähler und eine ganze Zahl im Nenner? g) Jede reelle Zahl ist rational und irrational? 12

15 Station 3 Rechnen mit reellen Zahlen Material Rechnet man mit reellen Zahlen (rationale und irrationale Zahlen), so gelten alle bisher bekannten Rechenregeln. Im Folgenden sollen die Ergebnisse mithilfe des Taschenrechners auf vier Nachkommastellen gerundet werden, z. B.: I ,1231 II. Erst zusammenfassen: = ,8624 a) b) 1 7 c) 1 7 d) 2 13 e) 5 ( 3) f) 5 + ( 10) a) b) c) d) 4 5 ( ) a) 4 x (x + x 3 y + 3 y) ) z b) 3 x 2 x (x + y + 3 x ) 4. a) 0, b) 0, Rationale Zahlen können auf einer Zahlengeraden dargestellt werden. Können irrationale Zahlen auch auf einer Zahlengeraden dargestellt werden? Begründe. 13

16 Station 4 Rechenregeln Quadratwurzeln Material Berechnungen von Quadratwurzeln können aufgrund der folgenden Rechenregeln vereinfacht werden: Für alle a 6 0 gilt: (a) 2 = a Für alle a 6 0 gilt: a 2 = a Für alle a gilt: (a) 2 = a, z. B.: ( 20) 2 = 20 Für alle a 6 0, b 6 0 gilt: a b = a b, z. B.: 3 12 = 3 12 = 36 = 6 Für alle a 6 0, b > 0 gilt: a : b = a b = fvv a b, z. B.: 27 : 3 = fvvv 27 3 = 9 = 3 a) 2 32 b) 45 5 c) 12 2 fvvv 25 3 d) 10 12,1 e) 0,49 0,09 f) 180 0,008 g) 3, h) 32 0,5 4 i) a a k) a aa 3 l) a ab 2 m) 4a 4b 2 a a) b) 4 36 c) d) 7,2 0,05 e) 98 : 0,5 f) 45 : 1,8 g) fvvvv : 400 h) 25 : fn 1 4 i) fn a b : fn b a k) a 3 : a l) 49a fvvvvv 2 25b 2 m) fvvvvvv 100a 4 81b = 4 = ( 10) (100) 2 14

17 Station 5 Quadratwurzelterme umformen Material Für das Umformen von Quadratwurzeltermen gelten auch das Kommutativgesetz, das Assoziativgesetz und das Distributivgesetz. Einfache Rechentricks (z. B. das Beseitigen einer Wurzel im Nenner) können ebenfalls zur Termumformung genutzt werden. Beispiel: I) Ausklammern und Ausmultiplizieren: II) Wurzel im Nenner beseitigen: eiti (3 + 5) 6 = = 10 Ý 7 = 10 Ý Ý 7 7 (3 + 5) 3 = = 7 ¼ 10 7 III) Vereinfachen mithilfe eines Binoms: IV) Vereinfachen en zu einem Produkt: = = =7 5 (2 + 1) (2 1) = (2 ) = = a) (a + b) c b) (x + 8) 8 c) 5 a + a a 7 d) (125 5) 5 e) 10 0, ,5 5 f) 3 (11( + 3) g) (5 + 2v) v 2v h) ( ) ) 2 a) 3 2 e) 6 30 b) x x f) c) x y y g) a b a d) h) a) b) c) d) e) f) g) h) a) (6 + 13) (6 13) b) ( ) ( ) c) (2 + 2) 2 d) (5 6) 2-15

18 Station 6 Quadratwurzelgleichungen I Material Steht in einer Gleichung die Variable x unter einer Wurzel, so spricht man von einer Wurzelgleichung. Typische Vorgehensweise: I. Isoliere die Wurzel durch Quadrieren, ggf. unter Anwendung einer binomischen Formel bzw. forme zunächst geschickt um. II. Forme äquivalent um, sodass die Wurzel allein auf einer Seite steht. III. Quadriere ggf. erneut, um die Wurzel aufzulösen, sodass x allein steht. IV. Führe eine Probe durch. Wenn die Lösungen bei der Probe falsche Gleichungen ergeben, ist die Lösungsmenge leer. V. Gib die Lösungsmenge an. Beispiel: x + 1 = x + 7 x + 2x + 1 = x + 7 x = 3 x = 9 Quadriere mithilfe der binomischen Formel. Forme um, um die Wurzel allein auf eine Seite zu bekommen. Quadriere, um die Wurzel zu beseitigen = 9 + 7; 4 4 (Die Lösung führt zu einer falschen Aussage); L = {} a) x 3 = 2 b) 4x = 1 c) 2x 3 = 6 d) 1 = 2 x e) 7 + 5x + 4 = 10 f) 5 4x x 5 = 20 g) x = x h) x + 9 = 7 a) x = 2x + 7 b) x 4 = x + 36 c) x 45 = 5 + x d) 4x 12 = 12 + x x x + 7 = 4 L = { 3 } x 3 x + 2 = 1 L = { 7 } x = x + 11 L = { } x + 26 = 3 x 6 L = { 5 } 3 = x + 6 L = { 6 } 6 x 5 = x + 30 L = { 10 } 16

19 Zusatzstation A Kubikwurzeln und n-te Wurzeln Material Die Kubikwurzel, auch Wurzel genannt, aus einer positiven Zahl a, ist diejenige positive Zahl, die dreimal mit sich selbst multipliziert a ergibt (geschrieben: 3 a). Die N-te Wurzel einer positiven Zahl a, ist diejenige positive Zahl, die n-mal mit sich selbst multipliziert a ergibt. Man sagt die 4. Wurzel für n = 4, die 5. Wurzel für n = 5, usw. ( n a). Beispiele: 3 8 = 2, denn 2 3 = = 3, denn 3 4 = = 4, denn n 4 5 = 1024 a) b) c) 64 6 d) e) f) g) h) 3 fn a) 3 50 b) c) d) e) f) 5500 g) 3 0,2 h) 3fVVV fn 1 8 fn a) 4 a) 4 x x = 2 b) x = 3 c) = x d) 6561 = xfvvv 4 x e) = 0,5 f) x = 3 4. Ein Würfel hat das Volumen V = 6859 cm 3. Wie lang ist die Seitenlänge a? 17

20 Zusatzstation B Teilweises Wurzelziehen Material Beim teilweisen Wurzelziehen wird der Radikant in ein Produkt/Quotient aus einer Zahl und einer Quadratwurzel zerlegt. Hierbei die folgenden Zusammenhänge: a 2 μ b = a 2 μ b = a μ b für a 6 0, b 6 0, z. B.: 112 = 16 μ 7 = 4 μ 7 fn a b = a 2 b = a 2 b = a μ 1 b für a 6 0, b > 0, z. B.: 1,49 = 149 fvvvv 100 = μ 1 0 = 10 a) 45 b) 68 c) d) 108 e) 98 f) 4000 a) fvvv 2 49 b) fvvv 5 64 c) d) 0,06 e) fvvvv f) 3, a) 3 μ 11 1 b) 5 μ 21 c) 0,5 μ 12 d) 1 3 μ fvv μ fvv 4. a) 13a 2 b) 25a 2 b c) a fvvv 2 84 d) fvvvvv 2a 2 e) a 2 b f) 5a b fvvv 4 b 2 18

21 Zusatzstation C Quadratwurzelgleichungen II Material Für das Lösen von schwierigeren Quadratwurzelgleichungen wird der Umgang mit der p-q-formel vorausgesetzt. p-q-formel: x 2 + px + q = 0 x 1,2 = p 2 Beispiel: x + 1 = x + 7 Quadrieren x 2 + 2x + 1 = x + 7 Umformen x 2 + x 6 = 0 p-q-formel p = 1, q = 6 fnnnn ( 1 2) x 1 = 2,x 2 = 3 fnnnn (p 2 )2 q = = ) ) 2 L = {3} a) 5x x + 5 = 3 2x b) x 17 = 2x + 1 c) 2 μ x + 7 = 4 d) 4x 11 = 8x x a) 1 + x 9 = x 4 b) x + 6 = 1 + x 1 c) x = 2x + 7 d) x + 2 x = 1 a) 3 x + 2 = 2 b) 4 32x = 4 19

22 Zusatzstation D Material Sachaufgaben a) Die Quadratwurzel aus dem zweifachen einer Zahl ergibt 6. b) Die Summe der Quadratwurzel aus dem sechsfachen einer Zahl und 5 ergibt 17. c) Subtrahiert man 5 von der Quadratwurzel aus dem zwölffachen einer Zahl erhält man d) Die dritte Wurzel aus einer Zahl ergibt 8. a) b) A = 24 cm 2 x + 1 A = 32 m 2 x 3 6 cm 8 cm Ein würfelförmiges Gefäß hat einen n Rauminhalt von 4913 cm 3. Peter möchte das Gefäß komplett bestreichen. Wie groß ist die zu färbende Fläche? (in cm 2 / m 2 ) 4. a) b) x cm 6 cm 3 x 20

23 Abschließende Bündelung des Stationenlernens Aufgaben zur Wiederholung Material Wiederholung der Stationen 1 6 sowie der Zusatzstationen A D Fasse, wenn möglich, erst zusammen und berechne das Ergebnis mit dem Taschenrechner (gerundet auf vier Nachkommastellen). a) b) 5 35 c) d) 2 μ 10 ( ) e) (11 4 μ 14 15) 14 Berechne für a) d) die Wurzeln durch Anwendung der Rechenregeln, beseitige für e) h) die Wurzel im Nenner durch Termumformung. (ohne Taschenrechner) echner) a) 8 μ 60,5 b) 4 μ 3 μ 6 μ 2 c) ( 25) 4 0,5 d) fvvv 49 e) 5 7 f) Löse die folgenden Wurzelgleichungen. g) μ 8 xy h) xy 9 : a) 13 = x b) 4 = x x + 7 c) 6 μ x 50 = x x 15 d) x = x e) fvvvvvvvv 2x 5 x + 1 = 1 f) x 5 fvvvvvvvv x ) 0,5 = 1 g) x x = x + 2 5) 4. Für welche Zahl x ist der Flächeninhalt von a) doppelt so groß wie der Flächeninhalt von b)? Bestimme weiterhin die Seitenlängen der Rechtecke sowie A. a) b) 9,6 cm 6 cm 8 cm x + 5 cm 5. Ziehe teilweise die Wurzel. (ohne Taschenrechner) a) 32 b) 125 c) 243 d) 4a e) 25x 2 y f) 81x 3 g) 16x + 16y 6. Ziehe die n-te Wurzel. (ohne Taschenrechner) a) b) c) 3 dnnn d 64 d)

24 Quadratwurzeln und reelle Zahlen Lösungen Station 1: Berechnen von Quadratwurzeln a) 1 2 = 1 1 = 1 b) 4 2 = 16 c) 7 2 = 49 d) 10 2 = 100 e) 12 2 = 144 f) 35 2 = 1225 g) 50 2 = 2500 h) 0,8 2 = 0,64 i) ( 2 3) 2 = 4 k) 9 ( 5 81 a) 16 = 4 b) 289 = 17 c) 529 = 23 d) 900 = 30 e) 1,21 = 1,1 f) fnn = 2 15 g) fn1 4 = 0,5 h) fvvv 9) 2 = = 1,5 Da der Ausdruck unter der Wurzel positiv sein soll, werden folgende Bedingungen gen gestellt: a) x b) 9 + x 6 0 c) x 6 0 d) 5x x 6 3 x 6 9 x 6 4 x e) (3x + 1) 6 0 f) 1 x ,4 6 0 h) 1 8 x 4,2 x ^ 1 g) x x = [ 1; 1] x 6 6 x 6 33, a) (11) 2 = 11 b) (54) = 54 c) ( 61) ) 2 = 61 d) 8 2 = 8 e) fvv = i) fvvvvv 1 VVV = 0,5 f) 21,3 2 = 21,3 g) dnnn = 3 f) = 0,5 k) ( 9 16 ) 2 = 36 d 81 = 3 h) dnnnnnn d 0,0016 = 0,2 Station 2: Reelle Zahlen Rational: a) 5 1 b) c) f) 0,81 Irrational: d) 6 e) individuelle le Lösungen: Um eine rationale Zahl zwischen zwei Brüchen zu finden, müssen die zu vergleichenden Brüche gleichnamig sein. a) 1 7 ; 3 7 z. B.: b) 30 ; z. B.: c) ; z. B.: ; ; d) 44 ; z. B.: 44 ; ; a) Richtig, da die reellen Zahlen aus den rationalen und irrationalen Zahlen bestehen. b) Richtig, da die reellen Zahlen aus den rationalen und irrationalen Zahlen bestehen. c) Falsch, zwischen zwei rationalen Zahlen liegen unendlich viele rationale Zahlen. d) Falsch, rationale Zahlen lassen sich als Bruch darstellen, irrationale nicht. e) Falsch, ist a eine natürliche Zahl, aber keine Quadratzahl, so ist a keine rationale Zahl. f) Falsch, bei einer rationalen Zahl steht eine ganze Zahl im Zähler und eine natürliche Zahl im Nenner. g) Falsch, jede reelle Zahl ist rational oder irrational. 22

25 Station 3: Rechnen mit reellen Zahlen a) ,7321 b) 1 7 1,6458 c) 1 7 nicht möglich d) ,2111 e) 5 ( 3) 2,8284 f) 5 + ( 10) nicht möglich a) = ,8508 b) = ,1920 c) = 3 6 4,1815 d) 4 5 ( ) = ,4882 a) 4 x (x + x 3 y + 3 y ) z = 2 x z; eingesetzt: ,4641 b) 3 x 2 x (x + y + 3 x ) = 3 x y; eingesetzt: esetzt: , a) Eine irrationale Zahl: Der Dezimalbruch zählt aufsteigend end alle natürlichen geraden Zahlen auf. Diese Folge wird weder periodisch noch bricht sie ab, da es unendliche viele e gerade Zah- len gibt. b) Eine rationale Zahl. Der Dezimalbruch ist periodisch (0,236) und erfüllt damit die Voraussetzung für eine rationale Zahl. 5. Irrationalen Zahlen lassen nsich ebenfalls auf einer Zahlengerade darstellen. Egal wie klein man die Intervalle wählt, es finden sich immer unendlich viele irrationale Zahlen die dazwischen liegen. Station 4: Rechenregeln Quadratwurzeln rz Umformen mithilfe der Regel: a b = a b a) = 8 b) 45 5 = 15 c) 12 fvvv 25 3 = 10 d) ,1 1=11 11 e) 0,49 0,09 = 0,21 f) 180 0,008 = 1,2 g) 3, = 24 h) 32 0,5 4 = 8 i) a a = a k) a a 3 = a 2 l) a ab 2 = a b m) 4a 4b 2 a = 4 a b Umformen mithilfe der Regel: a : b = a b = fvv a b a) 20 5 = 2 4 b) 36 = 1 3 c) = 5 e) 98 : 0,5 = 14 f) 45 : 1,8 = 5 g) fvvvv : 25 = 2 3 d) 7,5 0,05 = 12 h) 400 : fn1 4 = 40 i) fn a b : fn b a = a b = a : b k) a 49a 3 : a = a l) fvvvvv 2 25b = 7a = 7a : 5b 2 5b 23

26 100a m) fvvvvvv 4 81b = 10a b = 10 a : 9 b 5 z. B ( 10) = 4 = (100) Station 5: Quadratwurzelterme umformen a) (a + b) c = a c + b c b) (x + 8) 8 = 8 x + 8 ) 5 e) 10 0, ,5 = 2 15 ((oder 15) 0,5) 2 f) 3 (11 + 3) = g) (5 + 2v) 2v = 10v + 2v c) 5 a + a 7 = a 12 d) (125 5) 5 = (125 5) 5 5 = h) ( ) 2 = a) e) 3 2 = = b) x = x x y y d) 1 5 = 1 c) x y = x a f) = g) 10 b a = a a 1 h) b 3 = 21 a) = 5 11 b) = 5 2 c) = 10 3 d) = 11 5 e) = f) = 7 2 g) = 14 7 h) = a) (6 + 13) (6 13) = 23 b) ( ) ( ) = 238 c) (2 + 2) ) 2 = ,66 d) (5 6) 2 = ,51 Station 6: Quadratwurzelgleichungen I a) x 3 = b) 4x = 1 ( ) c) 2x 3 = 6 : 2 x = 5 ( ) 4x = 1 x 3 = 3 ( ) x = 25 x = 0,25 x = 12 2 = 2, L = {25} 1 = 1, L = {0,25} 6 = 6, L = {12} d) 1 = 2 x 2 ( 1) 1 = x ( ) 24

27 x = 1 1 = 1, L = {1} e) 7 + 5x + 4 = 10 7 f) 5 4x 5 = 20 : 7 g) x = x ( ) 5x + 4 = 4 ( ) 4x 5 = 4 ( ) x = x 2 5x + 4 = 9 4x 5 = 16 x = 1 x = 1 x = 5,25 10 = 10, L = {1} 20 = 20, L = {5,25} 1 = 1, L = {1} h) x + 9 = 7 ( ) x + 9 = 49 x = 40 7 = 7, L = {40} a) x = 2x + 7 ( ) b) x 4 = x + 36 ( ) c) x 45 = 5 + x ( ) x = 2x + 7 x 4 = 36 umformen x 45 = x + x umformen x = 7 x = 20 x x = 7 x = 49 L = { } 4 = 4, L = { } 2 0 2, L = { } d) 4x 12 = 12 + x x ( ) ( binom. Formel) 4x 12 = 12 + x x x + x 2x 12 : ( 2) x + 12 = 12 + x x ( ) ( binom. Formel) x 2 24x = (12 +x) x auflösen nach x x = 4 2 = 2, L = {4} x + 7 = 4 L = {3} x 3 x + 2 = 1 L = {7} x = x + 11 L = { } x + 26 = 3 x 6 L = {5} 3 = x + 6 L = {6} 6 x 5 = x + 30 L = {10} 25

28 Zusatzstation A: Kubikwurzeln und n-te Wurzeln a) = 10, denn 10 3 = 1000 b) = 20, denn 20 3 = 8000 c) 3 64 = 4, denn 4 3 = 64 d) = 5, denn 5 3 = 125 e) = 7, denn 7 3 = 343 f) = 13, denn 13 3 = 2197 g) = 15, denn 15 3 = 3375 h) 3 fn 1 8 = 0,5, denn 0,53 = 1 8 a) ,68 b) ,26 c) ,93 d) ,36 e) ,59 f) ,65 g) 3 0,2 0,58 h) 3fVVV 3 0,67 10 a) 4 x = 2; x = 16 b) 5 x = 3; x = 243 c) = x; x = 4 d) = x ; x = 9 e) xfvvv 1 64 = 0,5; x = 6 f) x = 3; x = 9 4. Frage: Wie lang ist die Seitenlänge a? Rechnung: Das Volumen für einen Würfel ist V = a a a = a 3 und daher ist die Kubikwurzel gesucht = 19 Antwort: Die gesuchte Seite a ist 19 cm lang. Zusatzstation tation B: Teilweises Wurzelziehen a) 45 5 = = 3 5 b) 68 = 4 17 = 2 17 c) 275 = = 5 11 d) 108 = 36 3 = 6 3 e) 98 = 49 2 =7 2 f) 4000 = = a) fvvv 2 49 = fvvv 5 64 = 5 7 b) 1 c) = d) 0, = 1 11 = fvvvvv 6 e) fvvvv = f) 3,63 fvvvvv 363 = 100 = = = a) 3 μ 11 = 9 11 = 99 9,95 b) 5 μ 21 = = ,91 c) 0,5 μ 12 = 0,25 12 = 3 1,73 d) 1 3 μ fvv 9 2 = 1 fvvvvvv 9 9 = 0,5 0, a) 13a 2 = 13 a 2 = 13 a b) 25a 2 b = 25 a 2 b = 5a b c) fvvv a 2 84 = a 4 21 = a d) fvvvvv 2a 2 b 4 e) a 2 b = a b f) 5a fvvv b = 5a μ 1 2 b = 2 a b 2 = a 2 μ 1 b 2 26

29 Zusatzstation C: Quadratwurzelgleichungen II a) 5x + 5 = 3 2x 5x + 5 = (3 2x) 2 x 2 4,25x + 1 = 0 x 1 = 4, x 2 = 0,25 5 (4) + 5(3 2 (4) 5 ( 5 5 (0,25) + 5 = 3 2 (0,25) 2,5 = 2,5 L = {0,25} b) x 17 = 2x + 1 x 2 34x = 2x + 1 x 2 36x = 0 x 1 = 24, x 2 = = 2 (24) = (2 (12) ( 5 L = {24} c) 2 μ x + 7 = 4 x + 7 = 4 x = 3 2 μ = 4 4 = 4 L = { 3} d) 4x 11 = 8x x 2x 11 = 8x + 1 4x 2 44x = 8x + 1 x 2 13x + 30 = 0 4 (10) 11 = 8 (10) (10) 29 = 29 4 (3) 111 ( 8 (3) (3) 1 ( 111 L = {10} a) 1 + x 9 = x x 9 + x 9 = x 4 2 x 9 = 4 x 9 = 2 x 9 = 4 x = = =3 3 L = {13} b) x + 6 = 1 + x 1 x + 6 = x 1 + x 1 6 = 2 x 1 36 = 4x 4 x = = = 4 L = {10} c) x x = 2x x+7 x=2x + 7 x = 7 L = { } d) x + 2 x = 1 x x + 2 = 1 + x x + 2 = x + x x = 0,5 x = 0,25 0, ,25 = 1 1 = 1 L = {0,25} a) 3 x + 2 = 2 x + 2 = 8 x = = 2 2 = 2 L = {6} b) 4 32x = 4 32x = 256 x= x (8) = 4 4 = 4 L = {8} 27

30 Zusatzstation D: Sachaufgaben a) 2x = 6; x = 18 b) 6x + 5 = 17; x = 24 c) 12x 5 = 1; x = 3 d) 3 x = 8; x = 512 a) 6 (x + 1) = 24 x + 1 = 4 x = 9 b) 8 x 3 = 32 x 3 = 4 x 3 = 16 x = 19 Frage: Wie groß ist die zu färbende Fläche? Rechnung: Seitenlänge: a = cm 3 = 17 cm Gesucht Oberfläche: 6 a 2 = 6 (17 cm) 2 = 1734 cm 2 = 0,1734 4m 2 Antwort: Die zu färbende Fläche beträgt 1734 cm 2 / 0,1734 m x = 6 x x = x + 2 4x = x + 2 x = 2 3 Für x = 2 3 sind die Flächeninhalte der beiden Rechtecke gleich (4 6 9,8). Maße Rechteck a: a = 6 2,45, b = 4 Rechteck b: a = 6, b 1,63 Abschließende Bündelung des Stationenlernens: a) ,3166 b) ,9161 c) = ,8737 d) 2 μ 10 ( ) = ,0647 e) (11 4 μ 14 15) 14 = ,2064 a) 8 μ 60,5 = 8 μ 60,5 = 484 = 22 b) 4 μ 3 μ 6 μ 2 = 4 36 = 24 c) ( 25) 4 0,5 = fvvvv ( 25) 4 = e) g) 5 7 = = 2 5 = 0,4 d) 49 fvvv 9 : = 7 3 : 8 15 = 35 8 = 4,375 f) = μ 8 = = 30,25 h) xy xy = xy 28

31 a) 13 = x = x 1 x = = = 13 L = {82} b) 4 = x + 7 x = 9 4 ( ( 4 L = { } c) 6 μ x 50 = x μ (x 50) = x 15 x = 51 6 μ = = 6 L = {51} d) x = x (x + 8 2) 2 = x (x + 8) 4 x = x 12 4 x + 8 = 0 x + 8 = 9 x = = 1 1 = 1 L = {1} e) 2x 5 fvvvvvvvv x + 1 = 1 2x 5 x + 1 = 1 2x 5 = x + 1 x = 6 2 (6) 5 fvvvvvvvvvvvv = 1 1 = 1 L = {6} f) x 5 fvvvvvvvv x + 1 = 1 x 5 x + 1 = 1 9 x 5 = x x = 5,75 2 5, fvvvvvvvvvvv 5, = 1 1 = 1 L = {5,75} g) x = x + 2 (x ) 2 = x + 2 x x = x x + 7 = 6 x + 7 = 9 x = ( ( 2 L = { } 4. Stelle e die Gleichung auf: Flächeninhalt halt a) = 2 Flächeninhalt b), löse nach x auf: Rechnung: 9,6 (x + 5) = 2 (8 6) x + 5 = 10 x = = 96; L = {25} Antwort: Für x = 25 ist der Flächeninhalt von a) (96 cm 2 ) doppelt so groß wie von b) (48 cm 2 ). Die Seitenlängen betragen für a) 10 cm und 9,6 cm, für b) 8 cm und 6 cm. 5. a) 32 = 4 2 b) 125 = 5 5 c) 243 = 9 3 d) 4a = 2 a e) 25x 2 y = 5x y f) 81x 3 = 9x x g) 16x + 16y = 4 x + y 6. a) = 3 b) = 15 c) 3 dnnn d 64 = 2 d) = = 4 29

32 Weitere Downloads, E-Books und Print-Titel des umfangreichen Persen-Verlagsprogramms finden Sie unter Hat Ihnen dieser Download gefallen? Dann geben Sie jetzt auf direkt bei dem Produkt Ihre Bewertung ab und teilen Sie anderen Kunden Ihre Erfahrungen mit Persen Verlag, Hamburg AAP Lehrerfachverlage GmbH Alle Rechte vorbehalten. Das Werk als Ganzes sowie in seinen Teilen unterliegt dem deutschen Urheberrecht. Der Erwerber des Werks ist berechtigt, das Werk als Ganzes oder in seinen Teilen für den eigenen Gebrauch und den Einsatz im Unterricht zu nutzen. Die Nutzung ist nur für den genannten Zweck gestattet, nicht jedoch für einen weiteren kommerziellen Gebrauch, für die Weiterleitung an Dritte oder für die Veröffentlichung im Internet oder in Intranets. Eine über den genannten Zweck hinausgehende Nutzung bedarf in jedem Fall der vorherigen schriftlichen Zustimmung des Verlags. Sind Internetadressen in diesem Werk angegeben, wurden diese vom Verlag sorgfältig geprü ft. Da wir auf die externen Seiten weder inhaltliche noch gestalterische Einflussmöglichkeiten haben, können wir nicht garantieren, dass die Inhalte zu einem späteren Zeitpunkt noch dieselben sind wie zum Zeitpunkt der Drucklegung. Der Persen Verlag ü bernimmt deshalb keine Gewähr fü r die Aktualität und den Inhalt dieser Internetseiten oder solcher, die mit ihnen verlinkt sind, und schließt jegliche Haftung aus. Coverillustration: Mele Brink Konstruktionen: Satzpunkt Ursula Ewert GmbH, Bayreuth Satz: Satzpunkt Ursula Ewert GmbH Bestellnr.: 23521DA1