Wie genau kann der Differenzenquotient für Δx 0 berechnet werden?

Transkript

1 Wie genau kann der Dierenzenquotient ür Δ berechnet werden? Beispiel: ()= 3 =. ( )=.3 DQ (,Δ),,8,6,4, DQ DQ ( ),,,5,,5 Δ ( + Δ) ( ), Δ = Δ Scheint au den ersten Blick ganz gut zu unktionieren

2 Wie genau kann der Dierenzenquotient ür Δ berechnet werden? aber genauer betrachtet sieht es nicht mehr so gut aus: -6 '()-DQ(,Δ) ( ) DQ( Δ), Δ Woran liegt das?

3 Darstellung von Zahlen im Computer Positive ganze Zahlen Beispiel: 8 Bit Genauigkeit (unsigned char) = = 55 = = 8 Allgemein: b 7 b 6 b 5 b 4 b 3 b b b = b b b b b b. +b. +b. mit b i є{,} Datentypen im Visual Studio unsigned char 8 Bit unsigned short int unsigned short 6 Bit unsigned int 3 Bit unsigned long int unsigned long 3 Bit

4 Darstellung von Zahlen im Computer Ganze Zahlen Beispiel: -Komplement Darstellung mit 8 Bit Genauigkeit Das erste Bit ist das Vorzeichenbit (: positiv, : negativ) Bei positiven Zahlen ergeben die nächsten 7 Bits den Zahlenwert Bei negativer Zahl : Binärdarstellung von invertieren der Bits anschließend Addition von = = = - = = 7 = - = -7 = -8 short int / short int long int / long

5 Darstellung von Zahlen im Computer Gleitkommazahlen s ee ( ) M B = s: Vorzeichenbit M: Mantisse B: Basis (Bei Computern ) e: Eponent E: Eponent Bias s Eponent Mantisse Normierung Der Eponent wird so gewählt, dass <= Mantisse < B. Für die Basis ist dann das erste Bit der Mantisse ist dann immer = und muss nicht gespeichert werden ( Hidden Bit ). Spezielle Darstellung des Wertes Null erorderlich.

6 Darstellung von Zahlen im Computer Gleitkommazahlen Beispiel: Datentyp loat (3 Bit), Eponent Bias E = 7 = 4,5 = = = ( ), ( ), ( ), Erstes Bit der Mantisse ist bei Normierung des Eponenten redundant (=) und wird i.a. nicht gespeichert Die Genauigkeit (Anzahl der Nachkommastellen) wird durch die Anzahl der Bits der Mantisse bestimmt

7 Darstellung von Zahlen im Computer Gleitkommazahlen Gleitkommazahlen nach IEEE 754 Datentyp Mantisse Eponent Kleinste positive Zahl Größte positive Zahl Genauigkeit Dezimalstellen loat 3 Bit 8 Bit, , double 5 Bit Bit,3. -38, Andere Formate (z.b. long double) sind Compiler-speziisch

8 Wichtige Maschinenkonstanten deiniert in <loat.h> Datentyp double DBL_MAX EXP Größter zulässiger Eponent 38 DBL_MIN EXP Kleinster zulässiger Eponent -37 DBL_MIN Kleinste positive Zahl DBL_MAX Größter Wert ür den Typ double DBL_EPSILON Maschinengenauigkeit,e-6 DBL_DIG Anzahl an Dezimalstellen 5 Ganze Zahlen (deiniert in <limits.h>) INT_MAX Größte int Zahl INT_MIN Kleinste int Zahl

9 Maschinengenauigkeit ε m Beim Rechnen (z.b. Addition) treten Rundungsehler au, weil nur eine begrenzte Anzahl von Ziern gespeichert wird: Beispiel: Addition mit 4 Dezimalstellen Genauigkeit =.57 (3) =.34 (33). Maschinengenauigkeit ε m : Kleinste positive Gleitkommazahl, deren Summe mit. ein von. unterscheidbares Ergebnis lieert. ε m!= DBL_MIN

10 Rundungsehler Die endliche Maschinengenauigkeit ε m verursacht Rundungsehler. Insbesondere in langen Rechnungen setzten sich Rundungsehler ort. Werden N Rechenschritte hintereinander durchgeührt, so liegt der Rundungsehler in der Größenordnung ε m. N. Unter Umständen kann sich der Fehler jedoch auch eponentiell ortsetzen Beispiel: Für die Berechnung der Potenzen des goldenen Schnitts Φ=(sqrt(5)-)/ gilt die Rekursionsormel: Φ n+ = Φ n- Φ n Bei der Berechnung der Potenzen von Φ mit dieser Rekursionsormel planzen sich die Rundungsehler jedoch eponentiell ort, so dass bereits ür n=6 völlig alsche Ergebnisse beobachtet werden

11 In erster Ordnung gilt also: Dierenzenquotient Berechnung der Ableitung mit Taylor-Reihe ( ) ( ) + Δ = + ( ) Δ + ( ) Δ + ( ) ( + Δ) ( ) = ( ) Δ + K Δ ( ) ( + Δ) ( ) Δ K Rundungsehler e r : e r ε ( ) Δ ε : Relative Genauigkeit, mit der berechnet werden kann Im Beispiel ε ~ ε m Abbruchehler e t : e t Δ ( ) Optimaler Wert: ε ( ) er e t + ε ε ( ) ( ) Δ

12 Dierenzenquotient Bessere Approimation ür die erste Ableitung: ( ) ( + Δ) ( Δ) Δ Rundungsehler e r : e r ε ( ) Δ wie oben Abbruchehler e t : e t Δ ( ) Optimaler Wert: Δ ε 3 ( ) er + et ( ) ( ) ε /3 /3 /3 / 3 ( ) ε

13 Ergänzung: Zweite Ableitung ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Δ Δ + Δ + = Δ Δ Δ Δ Δ + Δ Δ + Δ

14 Formatierte Ein- und Ausgabe in C++ loat ; cin >> ; // Eingabe der Fließkommazahl // Ausgabe von im Fließkommaormat cout << "Die eingegebene Zahl lautet : " << << endl; cout.width(); // Ausgabeeld ist Zeichen breit cout.precision(4); // es werden 4 Nachkommastellen ausgegeben cout << ; cout << endl; // Standardormat ür die Ausgabe wiederherstellen cout.width(); cout.precision(6); InOutCPP

15 Formatierte Ein- und Ausgabe in C loat ; scan ("%",&); // Eingabe der Fließkommazahl // Ausgabe von im Fließkommaormat print ("Die Eingegebene Zahl lautet : %\n",); print ("%.4",); ausgegeben print ("\n"); // Ausgabeeld ist Zeichen breit, // es werden 4 Nachkommastellen InOutC Die Ein- und Ausgabe mit den Funktionen print und scan wird mit Formatstrings gesteuert

16 Zeichenketten (Strings) Zeichenketten können in C/C++ als Array von Buchstaben gespeichert werden. Beispiel: char tet [3]; // Deklaration von tet als char-array strcpy (tet, Das ist mein Computer ); // Wertzuweisung cout << tet; // Das ist mein Computer tet [8] = d ; // Neunter Buchstabe wird verändert cout << tet; // Das ist dein Computer tet [7] = ; // Ende der Zeichenkette cout << tet; // Das ist cin >> tet; // Eingabe von Tet über die Tastatur cout << tet Zeichenkette Wert D a s i s t m e i n C o m p u t e r \ Inde D a s i s t d e i n C o m p u t e r \ D a s i s t \ m e i n C o m p u t e r \

17 Formatierte Ein- und Ausgabe in C++ char c []; cout << "Bitte eine Zeichenkette eintippen" << endl; cin >> c; cout << "Es wurde " << c << " eingegeben";

18 Formatierte Ein- und Ausgabe in C char c []; print ("Bitte eine Zeichenkette eintippen \n"); scan ("%s",c); print ("Es wurde %s eingegeben", c); InOutC Wichtige Formatstrings % Fließkommazahl, %s Zeichenkette %d Ganze Zahl, %c Einzelnes Zeichen % Ganze Zahl im headezimal-system %o Ganze Zahl im oktal-system

19 Funktionen des Debuggers Mit dem Debugger kann das Programm schrittweise ausgeührt und Fehler im Programm geunden werden Schrittweise Ausührung des Programms: Debuggen Einzelschritt (F): Die nächste Anweisung wird ausgeührt Debuggen Prozedurschritt (F): Wie oben, jedoch wird bei einem Funktionsauru die gesamte Funktion in einem Schritt ausgeührt Debuggen Ausühren bis Rücksprung (Umsch + F): Die aktuelle Funktion wird bis zum Ende ausgeührt

20 Funktionen des Debuggers Setzen von Breakpoints (Klick vor die jeweilige Zeile): Die Programmausührung wird am Breakpoint unterbrochen, weiter mit Debuggen Weiter (F5) Beenden: Debuggen Debuggen beenden: Programm und Debugger werden beendet Anzeigen und ändern der Werte von Variablen: Stehen lassen des Cursors über der Variablen im Quelltet: Zeigt des Wert der Variablen an Fenster am unteren Bildschirmrand: Auto, Lokal und Überwachen: Anzeigen und Ändern des Wertes einer Variablen Debuggen Schnellüberwachung

21 Berechnung einer Ableitung mit Ridders Regel Berechnung des Dierenzenquotienten DQ(,Δ i ) ür eine Folge Δ i mit Δ i Etrapolation der Rechnung ür Δ = Beispiel: ()= 3 =. ( )=.3 Δ i = -i i є {..9} DQ(.,Δ )=.3 -DQ = e- DQ(,Δ),,8,6,4, DQ(,Δ) Polynom 9. Grades 7,,,5,,5 Δ

22 Etrapolation Gegeben: N Punkte P i ( i y i ) Gesucht: Polynom N- ten Grades F(), dass durch die N Punkte verläut 5 4 Berechnung eines Polynoms F() 4. Grades durch 5 Punkte mit der Lagrange-Formel 3 F() P (,5 ) P (,) p (.) P 3 (3 3.5) P 4 (4 3) 3 4

23 Etrapolation Lagrange-Formel zur Berechnung eines Polynoms N- ten Grades durch eine Menge von N Punkten: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = N N N N N N N N N N y y y F L L L L L L L

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