Formale Potenzreihen

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1 Formale Potenzreihen als Mittel der Modellierung formaler Sprachen Kursfolien Karin Haenelt Karin Haenelt, Formale Potenzreihe & formale Sprachen, V.:

2 Formale Potenzreihe als Mittel der Definition formaler Sprachen Formale Potenzreihen sind ein Konzept der mathematischen Analysis Betrachtung formaler Sprachen als formale Potenzreihe ermöglicht die Angabe von Geichten eine vereinheitlichende Sicht auf formale Sprachen Theorie Beeise Algorithmen Karin Haenelt, Formale Potenzreihe & formale Sprachen, V.:

3 Formale Sprachen und endliche Automaten Automatentyp Sprache Ausdrucksmöglichkeit Akzeptoren reguläre Angabe der Zeichenreihen Ausdrücke Transduktoren reguläre Relationen Angabe der Relationen zischen den Zeichenreihen geichtete Automaten formale Potenzreihen Angabe der Geichte der Zeichenreihen Karin Haenelt, Formale Potenzreihe & formale Sprachen, V.:

4 Potenzreihe Potenzreihe und formale Potenzreihe Reihe der Form a 0 + a x + a x + a 3 x 3 + Notation: Formale Potenzreihe n0 Betrachtung gilt nicht der Aufsummierung der Reihe, sondern den Operationen, die für die Reihe definiert sind Reihe soll als unendliche Liste betrachtet erden, in der jeder Variablen x ein Wert a r(x) zugeordnet ist Karin Haenelt, Formale Potenzreihe & formale Sprachen, V.: n ( s ) a x bezeichnet - Folge (s n ) n n - Grenzert der Folge (s n ), falls (s n ) konvergent ist Koeffizient Variable Koeffizient an Position 3 Variable an Position 3 a 0 + a x + a x + a 3 x 3 + 4

5 Formale Potenzreihe: Illustration einer Anendung Abfall / 0 Apfel / Appell / 3 Abfall / Apfel / 0.4 Appell / Abfall / 0.35 Lautfolge x Apfel / 0.4 Lautfolge x Appell / 0.5 Lautfolge x 3 Sprache des Automaten r + r + r 3 3 r Abfall + Apfel + Appell r 0,35 Abfall + 0,4 Apfel + 0,5 Appell Karin Haenelt, Formale Potenzreihe & formale Sprachen, V.: r 0,35 Abfall + 0,4 Apfel + 0,5 Appell x x x 5

6 Sei dann Formale Potenzreihe: Definition A S A* ist die Funktion r : A* S sind (r,) a S oder auch r() a S oder auch r a S Karin Haenelt, Formale Potenzreihe & formale Sprachen, V.: ein endliches Alphabet ein Semiring ein Wort aus Zeichen des Alphabets A eine formale Potenzreihe r selbst ird als eine formale Summe geschrieben: r A* ( r, ) r A* die Werte von r und heißen Koeffizienten der Reihe r( ) r A* r A* Wir sagen auch, dass r eine Reihe mit (nicht-kommutativen) Variablen in A ist (nach Kuich/Salomaa, 986: 7) r a 6

7 Formale Potenzreihe, Beispiel Koeffizient Variable Formel Beispiel Erläuterung Notationsvariante Notationsvariante r r A* ( r, ) 0,35 Abfall + 0,4 Apfel + 0,5 Appell (r,) + (r,) + (r,) r() + r() + r() a + a + a Karin Haenelt, Formale Potenzreihe & formale Sprachen, V.: Abfall (r,abfall) 0,35 r(abfall) 0,35 a Abfall 0,35 r r r A* A* A* ( r, ) r( ) a 7

8 Operationen Die Menge aller formaler Potenzreihen bezeichnet man mit S A* Addition r + r ist die Summe der Potenzreihen r und r, und es gilt r + r S A* def ( r + r, ) ( r, ) + ( r, ) oder ( r ( ) + r ( )) Multiplikation r r das (Cauchy-)Produkt der Potenzreihen r und r, und es gilt: r r S A* def ( r r, ) Beispiel eines Cauchy-Produktes: ( r r, abc) (( r, ε ) ( r, abc) + ( r, a) ( r, bc) + r, ab) ( r, ) + ( c (, abc) ( r, ε ) r ) ( r, )( r, ) Karin Haenelt, Formale Potenzreihe & formale Sprachen, V.: oder A* A* ( r ( ) r ( mit Worten: die Zeichenreihe abc ist ein Produkt zeier Sprachen r und r, enn es eine Zerlegung gibt, in der der Anfang der Zeichenreihe in der ersten Srpache und das Ende der Zeichenreihe in der zeiten Sprache enthalten ist. 8 ))

9 Vielen Dank für das Aufspüren von Fehlern in früheren Versionen und für Verbesserungsvorschläge danke ich Martina Trognitz Karin Haenelt, Formale Potenzreihe & formale Sprachen, V.:

10 Literatur Kuich, Werner und Arto Saloma (986). Semirings, Automata, Languages. Berlin / Heidelberg / Ne York / Tokyo: Springer-Verlag. Versionen.: ,.0: Karin Haenelt, Formale Potenzreihe & formale Sprachen, V.:

11 Copyright Karin Haenelt, 007 All rights reserved. The German Urheberrecht (esp., 3, 63, etc.). shall be applied to these slides. In accordance ith these las these slides are a publication hich may be quoted and used for non-commercial purposes, if the bibliographic data is included as described belo. Please quote correctly. If you use the presentation or parts of it for educational and scientific purposes, please observe the las (copyright, Urheberrecht, etc.) Please include the bibliographic data (author, title, date, page, URL) in your publication (book, paper, course slides, etc.). Deletion or omission of the footer (ith name, data and copyright sign) is not permitted Bibliographic data. Karin Haenelt. Formale Potenzreihen als Mittel zur Definition formaler Sprachen. FormalePotenzreihe.pdf For commercial use: No commercial use is alloed ithout ritten permission from the author. In case you are interested in commercial use please contact the author. Court of Jurisdiction is Darmstadt, Germany Karin Haenelt, Formale Potenzreihe & formale Sprachen, V.: