Mathematische Modelle im Bauingenieurwesen

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1 Mathematische Modelle im Bauingenieurwesen Mit Fallstudien und numerischen Lösungen von Kerstin Rjasanowa. Aulage Hanser München 00 Verlag C.H. Bec im Internet: ISBN Zu Inhaltsverzeichnis schnell und portorei erhältlich bei bec-shop.de DIE FACHBUCHHANDLUNG

2 Leseprobe Kerstin Rjasanowa Mathematische Modelle im Bauingenieurwesen Mit Fallstudien und numerischen Lösungen ISBN: Weitere Inormationen oder Bestellungen unter sowie im Buchhandel. Carl Hanser Verlag, München

3 56 Nichtlineare Gleichungen und Gleichungsssteme Mit der Startnäherung 0 = 0.5 und dem Abbruchriterium + < ε, ε = 0 0 ergeben sich die Iterationsschritte wie in Tabelle.. Man erhält die Näherungslösung in 57 Iterationsschritten. Das Newton-Verahren benötigte daür lediglich vier Iterationsschritte (siehe Beispiel.8). Verahren der einachen Iteration Beispiel. Zu lösen ist die Gleichung () = ln = 0, > 0..0 Der Graph der Funtion ist in Bild.7 dargestellt. Offenbar hat zwei Nullstellen = ln, +0.5 wählt g() = und h() = ln (siehe Bild.8) und prüt, ür welche die Konvergenzbedingung (.7) erüllt ist, so findet man mit g () = und h () = / ür > 0 > /, d. h. > / Der Iterationsprozess (.6) heißt dann Bild.7 Funtion Wahl von 0 ( /, ) Für = 0,,,... d. h. + = ln, g.0.5 h + ln. /) ln + =, Bild.8 Funtionen g, h d. h.. + = e Man erhält die Lösung α der Ausgangsgleichung. ( +) Man erhält die Lösung α der Ausgangsgleichung. Wahl von 0 (0, Für = 0,,,... + =. Wählt man hingegen g() = ln und h() =, so ist die Konvergenzbedingung (.7) ür 0 < < / erüllt. Der Iterationsprozess (.6) heißt dann Bisetionsverahren ( +) O. Schreibt man diese Gleichung in der Form α + + ( ) Bild.9 Bisetion Iterationsvorschrit Beim Bisetionsverahren geht man davon aus, dass ein bestimmtes Intervall I = [0, ] des Definitionsbereiches der stetigen Funtion geunden wurde, an dessen Grenzen 0 und die Funtionswerte von verschiedene Vorzeichen haben, d. h. dass (0 ) ( ) < 0 gilt. Wenn stetig ist, so eistiert dann nach dem Satz von Bolzano (siehe [8]) im Inneren des Intervalls I eine Nullstelle α. Das Intervall I wird durch die Stelle = (0 + )/ halbiert. Wenn

4 . Nichtlineare Gleichungen 57 ist bereits die gesuchte Nullstelle ist, ist de Iterationsprozess beendet. Andernalls untersucht man die Funtionswerte an den Grenzen der Teilintervalle [0, ] bzw. [, ] au analoge Weise. Das Teilintervall, bei dem die Funtionswerte an den Rändern unterschiedliche Vorzeichen auweisen, wird weiter halbiert (siehe Bild.9). Das Bisetionsverahren onvergiert, wenn die Funtion stetig ist und die Funtionswerte an den Rändern des Startintervalls unterschiedliche Vorzeichen haben. Für den Fehler z = α gilt wegen der suzessiven Halbierung des vorhergehenden Intervalls z < Konvergenz 0,. Wegen z+ z / ist die Konvergenzgeschwindigeit linear.. Nullstellen von Funtionen mit nichtnegativen Funtionswerten werden nicht geunden. Die Funtion () = ( ) (siehe Bild.0) hat eine zweiache Nullstelle bei =. Da aber () 0 ür beliebige R gilt, ann die Initialisierung des Bisetionsverahrens nicht erolgen. In Bild.0 ist das Startintervall [0, ] = [, ] mit positiven Funtionswerten an den Intervallrändern dargestellt.. Die Voraussetzung der Stetigeit der Funtion ist wesentlich. Betrachtet wird die nicht stetige Funtion () = / mit der Polstelle = 0. Als Startintervall wird z. B. [, ] gewählt, sodass die Polstelle = 0 darin enthalten ist. Die Funtionswerte ( ) = 0.5 und () = an den Intervallrändern haben unterschiedliche Vorzeichen, und nach Anwendung des Bisetionsverahrens wird schließlich bei Verwendung des Abbruchriteriums + < ε als Nullstelle 0 geunden (siehe Bild.). Tabelle. enthält die Intervalle der Bisetion, die ür ε = 0 4 die näherungsweise Nullstelle lieert. Bemerung. Nichtnegative Funtionswerte Stetigeit 5 4 Tabelle. Bisetion ür die Funtion () = / Bild.0 Funtion () = ( )

5 58 Nichtlineare Gleichungen und Gleichungsssteme Das Bisetionsverahren ann mit olgendem Algorithmus realisiert werden: Algorithmus Initialisierung. Vorgabe des Startintervalls [0, ] mit (0 ) ( ) < 0. Vorgabe von ε > 0 Iterationsphase: Für = 0,,,.... Berechnung von + = ( + + )/. Berechnung von (+ ) Wenn (+ ) < ε = + ist Näherungslösung. Falls (+ ) ( ) < 0 Falls (+ ) (+ ) < 0 Bisetionsverahren + setze [+, + ] := [+, + ] Beispiel.4 () = cos = 0 0 [+, + ] := [, + ] Zum Auﬃnden der Näherungslösung der Gleichung + setze + aus Beispiel.8 soll das Bisetionsverahren benutzt werden. An den Rändern des Startintervalls [0.5, ] ist (0.5) < 0 und () > 0. Mit dem Abbruchriterium ( ) < ε, ε = 0 0 ergeben sich die Iterationsschritte wie in Tabelle.4. Tabelle.4 Bisetion ür die Funtion () = cos Bild. Bisetion bei () = / Man erhält die Näherungslösung in 0 Iterationsschritten...5 Regula alsi und Seantenverahren Regula alsi Iterationsvorschrit In der Regula alsi geht man wie beim Bisetionsverahren davon aus,

6 . Nichtlineare Gleichungen 59 dass die Vorzeichen der Funtionswerte ( ) und (+ ) einer stetigen Funtion verschieden sind und deswegen eine Nullstelle α im Intervall [, + ] eistieren muss. Weiter wird aber nicht der Halbierungspunt dieses Intervalls betrachtet, sondern der Schnittpunt der Geraden durch die Punte P (, ( )) und P+ (+, (+ )) mit der -Achse. Diese Gerade hat die Gleichung = ( ) + (+ ) ( ) ( ), + P +. (+ ) ( ) P+ und ür = 0 olgt + = ( ) O + α + + Bild. Regula alsi (.8) Der Funtionswert (+ ) legt wie beim Bisetionsverahren das Intervall est, in welchem die gesuchte Lösung α liegt (siehe Bild.). Die Konvergenzgeschwindigeit der Regula alsi ist unter den Voraussetzungen (α) /= 0 und (α) /= 0 linear (siehe [6]).. Wie auch beim Bisetionsverahren liegt die gesuchte Nullstelle α in sich stets verleinernden Intervallen [, + ], = 0,,,... Jedoch ist die Folge der Längen der Intervalle nicht unbedingt eine Nullolge. Daher ann das Abbruchriterium + < ε nicht verwendet werden, und stattdessen ist das Kriterium (+ ) < ε zu verwenden. Konvergenz Bemerung.5 Abbruchriterium. Die Berechnung von Ableitungen der Funtion wie beim NewtonVerahren ist nicht erorderlich. Keine Berechnung von Ableitungen. Die Nachteile des Bisetionsverahrens treﬀen auch au die Regula alsi zu. Die Funtion muss au dem gewählten Startintervall stetig sein. Nullstellen von Funtionen, die au dem Startintervall nichtnegativ oder nichtpositiv sind, werden wegen der Bedingung der unterschiedlichen Vorzeichen der Funtionswerte an den Intervallrändern nicht geunden. Stetigeit Der Algorithmus der Regula alsi lautet: Initialisierung. Vorgabe des Startintervalls [0, ] mit (0 ) ( ) < 0. Vorgabe von ε > 0 Algorithmus

7 60 Nichtlineare Gleichungen und Gleichungsssteme Iterationsphase: Für = 0,,,.... Berechnung von + = ( ) P. Berechnung von (+ ) P+ O + α + + (+ ) ( ) Wenn (+ ) < ε = + ist Näherungslösung +. Falls (+ ) ( ) < 0 Bild. Seantenverahren Falls (+ ) (+ ) < 0 setze [+, + ] := [, + ] setze [+, + ] := [+, + ] Seantenverahren Iterationsvorschrit Wird au die Voraussetzung ( ) (+ ) < 0 verzichtet, erhält man mit der Rechenvorschrit (.8) das Seantenverahren. Im ( + )-ten Iterationsschritt wird die Iterierte + als Schnittpunt der Geraden durch die beiden Punte P (, ( )) und P+ (+, (+ )) mit der -Achse geunden (siehe Bild.). Da aber nicht garantiert ist, dass (+ ) und ( ) verschiedene Vorzeichen haben, önnen diese Werte gleich sein, und in diesem Fall versagt die Rechenvorschrit (.8). Daür önnen mit dem Seantenverahren auch Nullstellen nichtnegativer bzw. nichtpositiver Funtionen geunden werden. Konvergenz Die Konvergenzgeschwindigeit des Seantenverahrens ist etwas besser β als linear, aber nicht quadratisch. Es gilt z+ C z mit dem Eponenten β = ( + 5)/.68 und einer Konstanten C, die von der Funtion abhängt (siehe [6]). Der Algorithmus des Seantenverahrens lautet Algorithmus Initialisierung. Vorgabe des Startintervalls [0, ]. Vorgabe von ε > 0 Iterationsphase: Für = 0,,,.... Berechnung von + = ( ) + (+ ) ( ). Berechnung von (+ ) Wenn (+ ) < ε = + ist Näherungslösung Regula alsi Seantenverahren Beispiel.6 Zum Auﬃnden der Näherungslösung der Gleichung () = cos = 0

8 . Fallstudie: Wasserabsenung in einem vollommenen Brunnen 6 aus Beispiel.8 soll die Regula alsi bzw. das Seantenverahren benutzt werden. An den Rändern des Startintervalls [0.5, ] ist (0.5) < 0 und () > 0. Mit dem Abbruchriterium ( ) < ε, ε = 0 0 ergeben sich bei der Regula alsi die Iterationsschritte wie in Tabelle.5. Tabelle.5 Regula alsi ür die Funtion () = cos ] Man erhält die Näherungslösung in 8 Iterationsschritten. Beim Seantenverahren ergeben sich ohne die Bedingung, dass die Funtionswerte an den Rändern des atuellen Intervalls unterschiedliche Vorzeichen haben, die Iterationsschritte wie in Tabelle.6. Tabelle.6 Seantenverahren ür die Funtion () = cos Man erhält die Näherungslösung in 5 Iterationsschritten.. Fallstudie: Wasserabsenung in einem vollommenen Brunnen Pratische Augabe Wird aus einem zlindrischen Brunnen mit dem Grundreisradius r Wasser abgepumpt, so bildet sich zwischen dem Wasserstand mit der Höhe h im Brunnen und dem unbeeinflussten Grundwasserspiegel der Höhe H ein Geälle aus. Das Grundwasser fließt dem Brunnen von allen Seiten trichterörmig zu. Der unbeeinflusste Grundwasserspiegel der Höhe H wird dabei in der Enternung R (Reichweite der Absenung) von der Brunnenachse erreicht. Der Brunnen soll vollommen sein, d. h. durch seine Grundfläche dringt ein Wasser ein. Wird die Höhe des