Wiederholung und Zusammenfassung

Transkript

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2 Wiederholung und Zusammenassung Fourier-Transormation ann angewendet werden ür die Frequenzanalyse eines Signals Beispiel: Woler- Zahlen Eine ähnliche Transormation ist die Disrete Cosinus- Transormation DCT Sie wird z.b. ür das JPEG Verahren eingesetzt Wavelets verwenden onstante B-Splines als orthogonale Basisuntionen Sie önnen durch lin. Filtermasen dargestellt werden Wavelets sind eizienter als die FFT und haben bessere Eigenschaten bzgl. Kanten Numerisches Programmieren 2 Dr. Rudolph Triebel

3 VI. Iterationsverahren Falls eine direte Lösung des Problems nicht möglich oder ineizient ist. Fipuntgleichungen Problemstellung: Iterationsuntion Φ Iteration: 0 R Startwert, + : Φ R, 0,,... 3

4 Dadurch ist eine Folge deiniert. Ist diese Folge onvergent: ür, so olgt ür eine stetige Funtion Φ: lim lim Φ Φlim Φ heißt Fipunt von Φ in R. Beispiel: Φ 2, also + : Φ 2 oder

5 5 Das Konvergenzverhalten hängt vom Startwert 0 ab :, 0, 0 0,,2,, 0,,2, 0, > < < ± Φ hat daher den Fipunt 0, bzw. ist divergent önnte man als Fipunt bezeichnen. Die Folgen sind jeweils monoton ür > 0. ist ebenalls Fipunt, ann aber nur vorommen, wenn man mit ± startet; heißt daher abstoßender Fipunt.

6 Beispiel: Ausbreitung eines Grippevirus in einem Kindergarten Zu Zeitpunt t i bezeichnen wir mit i die relative Anzahl erranter Kinder, also i # rane Kinder / # Kinder. t i ist disrete Folge von Zeitpunten. Inetionsrate α >, hängt mit Übertragungswahrscheinlicheit zusammen Bei jeder Kontataunahme zweier Kinder ann daher eine Virusübertragung stattinden; daher ist die Zahl neu Erranter zum nächsten Zeitpunt diret proportional zur Zahl der möglichen Begegnungen zwischen einem ranen und einem gesunden Kind. Ein Kind, das zum Zeitpunt t i ran ist, ist zum Zeitpunt t i+ wieder gesund, ann sich aber wieder anstecen Diese Annahme dient der Vereinachung des Modells. 6

7 Ergibt Formel: α i+ i i α* #Krane * #Gesunde Dazugehörige Iterationsuntion: Φ α beschreibt eine onave Parabel, die logistische Parabel. Relatives Maimum bei 0.5 mit Wert Φ α; Nullstellen bei 0 und ; 7

8 Fipunt als Schnittpunt von Φ mit der Funtion g : α Φ α α Für < α < 2 eistiert genau ein eindeutiger Fipunt dieser Iteration zwischen 0 und 0.5. z.b und α.5 Konvergiert monoton wachsend gegen /3 8

9 Banach scher Fipuntsatz Frage: Wann onvergiert die so erzeugte Folge und wann nicht? Welche Eigenschaten müssen Φ und 0 haben, damit Konvergenz gegen einen ev. eindeutigen Fipunt vorliegt? 9

10 Banachscher Fipuntsatz: Sei I ein abgeschlossenes Intervall, Startwert 0 I, Φ eine Abbildung Φ: I I, d.h. ΦI I, Φ sei in I eine ontrahierende Abbildung, d.h. es gibt eine Konstante 0 < L < mit, y I Φ Φ y L y Dann onvergiert die Folge + : Φ gegen den eindeutigen Fipunt I, also Φ ür. Beweis: Oensichtlich gilt stets I; daher olgt. + L Φ Φ L L. 2 Damit ergibt sich ür den Abstand zweier Iterierter und m ür m>: L 0 0

11 L L L L L L j j m m m m m m m m m m m , ε ε N m ür m Daher wird der Abstand zwischen zwei Iterierten beliebig lein, wenn sie beide großen Inde haben: Daher eistiert eine Zahl I mit ür. dies ist genau die mathematische Deinition von Abgeschlossenheit. Die Zahlen bilden daher eine Cauchy-Folge Cauchy-Folgen sind onvergent in I, da I abgeschlossen ist

12 2 0. Φ ist der gesuchte Fipunt in I, denn + Φ Φ + Φ + Φ ür L 0 0 Daher muss gelten ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ alsch L mit I und I < Φ Φ Φ Φ ˆ ˆ Dieser Fipunt in I ist eindeutig, denn Widerspruch, daher Annahme alsch, also

13 Außerdem gilt: onvergiert linear gegen, denn + Φ Φ L L + 0 0, L < Um den Satz anwenden zu önnen benötigt man also, dass Φ ein Intervall in sich abbildet, und zwar so, dass die Funtionswerte dabei näher zusammenrücen. L < heißt Lipschitz-Konstante. Ist Φ di bar, so lassen sich diese Bedingungen mit Hile des Mittelwertsatzes vereinachen: 3

14 Für,y I ist dann nämlich Φ y Φ + Φ$ z y mit einer Zahl z zwischen und y. Daher gilt: Φ y Φ ma Φ$ z z I Ist nun Φ z < in I, so ann man L : ma Φ" z z I y setzen. Wir betrachten den Mittelwertsatz jetzt speziell in der Nähe eines Fipuntes. Dann gilt: Sei Φ < ; dann ann man eine Umgebung U von angeben, in der Φ ontrahierend ist und ΦU U gilt es liegt dann also loale Konvergenz vor. 4

15 Sei Φ < ; dann ann man eine Umgebung U von angeben, in der Φ ontrahierend ist und ΦU U gilt es liegt dann also loale Konvergenz vor. Beweis: Setze U: [ -h, +h ] und wähle dabei h > 0 so lein, dass immer noch gilt Φ ist ja stetig. L : ma Φ" z < z U Für ein U olgt dann Φ Φ Φ L < h und daher ist auch Φ U. Also insgesamt: ΦU U und außerdem ist Φ ontrahierend in U. Daher ist der Banach sche Fipuntsatz anwendbar. 5

16 Einen Fipunt mit Φ < nennt man anziehenden Fipunt. Im Beispiel 2 ist 0 anziehender Fipunt, da Φ 02*0 0< Daher gilt ür L 0.5 und U [-0.25, 0.25], dass Φ 2 in U eine ontrahierende Selbstabbildung von U ist mit dem Fipuntsatz von Banach: Konvergenz in U gegen Fipunt 0 Andererseits heißt ein Fipunt mit Φ > abstoßender Fipunt, da eine ontrahierende Umgebung ür Φ eistiert. Im Beispiel 2 ist abstoßender Fipunt, da Φ 2* 2 >. 6

17 Beispiel Grippevirus: Dann gilt mit Fipunt Φ α α α α % Φ* α 2 α& 2 # 2 ' α $ α α-/α ist anziehender Fipunt ür < α < 3. Für α>3 ergibt sich abstoßender Fipunt Keine Konvergenz Für α< ein Fipunt im Intervall [0,]. 7

18 Wegen + gilt außerdem Φ + Φ# z Φ# z + Daher ist ür < α < 2 Φ > 0, und die Folge ist loal monoton wachsend oder allend, je nach Startwert rechts oder lins vom Fipunt. + Φ# z die liegen stets au derselben Seite, rechts oder lins vom Fipunt Dagegen onvergiert ür 2 < α < 3 die Folge alternierend, da Φ < 0 ist. 8

19 p Fipunt ξ p 0 p 0

20 p Fipunt ξ p 0

21 p Fipunt ξ 2 p 0

22 p Fipunt ξ 3 2 p 0 2

23 ξ 4 p Fipunt ξ 3 2 p ξ

24 α.5 und Startwert 0.44 monoton allende Konvergenz α 2.9 und Startwert 0.55 alternierende Konvergenz 24

25 Das Newtonverahren zur Nullstellenbestimmung Gesucht sind Nullstellen einer nichtlinearen stetig di baren Funtion :RR, also R mit 0 Zurücührung des Nullstellenproblems au das inzwischen beannnte Fipuntproblem. Also gesucht: ür Betrachte dazu die Taylorentwiclung in letzter Iterierten : + wird ignoriert 0 + $ 2 + Ο. Aulösen nach + lieert die Newton-Iteration: : " + alls 0 " 25

26 Geometrische Interpretation des Newtonverahrens Ersetze loal an der Stelle durch bestmögliche Gerade Tangente, entspricht linearem Anteil der Taylorreihe. Die Nullstelle dieser Geraden g + # ist genau + /, und wird als nächste Näherung ür die echte Nullstelle von gewählt. 26

27 Probleme des Newtonverahrens, wenn 0 : Division durch Null Geometrisch: Ist nahe einem Punt mit waagrechter Tangente, so ist die Gerade g ast parallel zur -Achse, und die nächste Iterierte liegt weit enternt von Kein onvergentes Verhalten 27

28 Beispiel ür Iterationen beim Newtonverahren Funtion: ep - Nullstelle: 0 Startwert: 0 28

29 0 Newtonverahren: Tangente t Nullstelle von 0

30 Newtonverahren: Nullstelle von Tangente t 2

31 Newtonverahren: Nullstelle von Tangente t 3 2

32 32. Φ 0 Φ Newton-Verahren als Fipuntiteration: alls 0 : Gesuchte Nullstelle von ist gleichzeitig Fipunt von Φ Damit sind die Resultate über Iterationsuntionen und deren Fipunte anwendbar Fipuntsatz, L<, usw.: Dazugehörige Iterationsuntion ist

33 2 Φ 2 2 und alls einache Nullstelle von gilt: Φ 0 <. Daher ist die gesuchte Nullstelle von dann ein anziehender Fipunt von Φ Satz: Das Newtonverahren ür eine stetig di bare Funtion mit einacher Nullstelle ist loal quadratisch onvergent. Beweis: Loal onvergent nach Banach schem Fipuntsatz Startwert nahe genug bei Fipunt lineare Konvergenz im Intervall U [ -h, +h ] Zum Beweis der quadratische Konvergenz: 33

34 z "" + " + mit Zwischenstelle z Taylorentwiclung. 2 L + Ist 0, so ann C loal durch eine Konstante L nach oben beschränt werden. Daher olgt: 2 2 z " "" " + 2 2, 2 C z # ## + Umormung:

35 Der Abstand von der gesuchten Lösung verringert sich in jedem Schritt quadratisch wenn man nahe genug an der Lösung ist, so dass - <<. z.b. Abstand von der Lösung in jedem Schritt - z.b. wie 0, 0 2, 0 4, 0 8, Also schnelle Konvergenz Voraussetzungen ür quadratische Konvergenz: - einache Nullstelle, d.h. 0, aber 0, oder -g mit g0 - Startwert 0 nahe bei 35

36 a heißt m-ache Nullstelle, wenn: j a 0 ür j0,,m-, aber m a 0 oder -a m g mit ga 0 Graphisch: 36

37 37 < + L und L p L + Deinition der Konvergenzordnung Linear onvergent: Konvergent von Ordnung p > : 0 g mit g m g g m g m m m + Φ Falls an der Stelle eine m-ache Nullstelle hat mit m >, so ist das Newtonverahren nur noch loal linear onvergent: Ist nämlich eine m-ache Nullstelle, so olgt und die Iterationsuntion lautet

38 Die Ableitung der Iterationsuntion ist daher g Φ$ < m g m Nach dem Banachschen Fipunsatz olgt: Φ ist loal ontrahierend und es liegt lineare Konvergenz vor Variationen bei m-acher Nullstelle, um quadratische Konvergenz zu erreichen: Wende Newtonverahren an au m- te Ableitung von / m-te Wurzel von oder modiiziere Newtonormel bei beanntem m zu Φ m. 38

39 Verwandte Verahren Seantenverahren: Ersetze Tangente in letztem Punt durch die Seante, die die beiden letzten Punte verbindet; verwende deren Nullstelle g + Nullstelle der Seante als nächste Iterierte: 39

40 40 + Lieert loale Konvergenz wie beim Newtonverahren. Vorteil: eine Ableitungen benötigt, jeweils nur die letzten beiden Funtionswerte Billiger Aber Problem, alls Nenner gleich Null ist Konvergenzordnung p nur mit <p<2, aber daür pro Schritt nur eine neue Funtionsauswertung nötig bei Newton und pro Schritt

41 Bisetionsverahren: Starte mit zwei Werten und y, ür die gilt, dass *y < 0 ist, ür die also verschiedene Vorzeichen hat. Daher liegt ür stetiges zwischen und y garantiert eine Nullstelle Setze z:+y/2 den Wert genau in der Mitte zwischen und y: 4

42 Berechne z. Ist z 0: ertig Ist *z > 0, so setze :z, y bleibt Ist y*z > 0, so setze y:z, bleibt Damit gilt wieder *y < 0, aber der Abstand zwischen und y hat sich halbiert. Daher liegt die gesuchte Nullstelle nach Schritten garantiert in einem leineren Intervall der Größe const/2, und es gilt: Bezeichnung:, y z usw. + + y + y y 0.5 < ma {, y } + y 42

43 Daher schrumpt der Abstand der Nullstelle zu den beiden Intervallgrenzen linear in jedem Schritt um den Fator 0.5 {, y } y y / 2 ma{, y }/ 2 ma y + y y +2 Regula alsi durch Verbindung von Bisetion und Seantenver.: Iteriere wieder Intervall-Einschließungsgrenzen. Neuer Kandidat ür Ober/Untergrenze ist jetzt nicht der Punt in der Mitte, sondern die Nullstelle der Seante. Ersetze eine der beiden alten Grenzen durch diesen neuen Kandidaten, so dass die gesuchte Nullstelle wieder garantiert in dem neuen Intervall liegt 43

44 Bisetionsverahren: Nullstelle im Intervall [,y] < 0 y > 0 z+y/2 y

45 Bisetionsverahren: alt [,y] [,z]:[,y] neu Da y und z das gleiche Vorzeichen haben, wird y durch z ersetzt. < 0 y > 0 z+y/2 y z > 0

46 Intervall [,y] z+y/2 y <0 y>0

47 [,y] [z,y]:[,y] wird durch z ersetzt. z+y/2 y <0 z<0 y>0

48 Nullstelle in [,y] Neues Intervall ist ¼ so groß wie das Anangsintervall y <0 y>0

49 In der Prais wird häuig eine Kombination von Bisetion und Newton eingesetzt: Starte mit sicherer Bisetion, bis der Einzugsbereich der quadratischen Konvergenz des Newtonverahrens erreicht ist. Dazu nötig sind Werte und y mit y < 0 ; solche Werte erhält man z.b. durch Auswertung von an Zuallszahlen oder an äquidistanten Stellen. Falls solche und y nicht auindbar sind, liegt ev. eine Nullstelle vor oder eine Nullstelle gerader Ordnung Im letzteren Fall ann das Newtonverahren au angewendet werden. 49