Beispiel: (Strukturerhaltung) Begriffsklärung: (AVL-Baum) Rotationen auf Suchbäumen: Gestaltsanalyse: Lemma: Beweis: siehe Vorlesung

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1 urc zusätzlice nforderungen bzgl. einer Verteilung der lätter und Höen in Unterbäumen kann man ein egenerieren verindern; spekte: 4 - Vorteil: geringer ufwand für Grundoperationen kann zugesicert werden Nacteil: Strukturinvariante muss eralten werden. - Kosten der Struktureraltung? eispiel: (Struktureraltung) Einfügen von unter Eraltung von Fast- Vollständigkeit Wegen der alancierungseigenscaft mussten alle Knoten vertausct werden. delson-velskij und Landis sclugen folgende alancierungseigenscaft vor: 45 egriffsklärung: (VL-aum) 57 Ein binärer Sucbaum eißt VL-ausgeglicen, öenbalanciert und ein VL-aum, wenn für jeden Knoten K gilt: ie Höe des linken Unterbaums von K untersceidet sic von der Höe des recten Unterbaums öcstens um Poetzsc-Heffter, Universität Kaiserslautern Poetzsc-Heffter, Universität Kaiserslautern 6 Vorgeen: Gestaltsanalyse von VL-äumen Rotationen auf Sucbäumen atenstruktur für VL-äume Heraussucen alancieren nac Einfügen iskussion Gestaltsanalyse: Frage: Hat jeder VL-aum logaritmisce Höe? (ies ist die Voraussetzung, alle Grundoperationen mit logaritmiscen ufwand realisieren zu können.) Lemma: Für die Höe eines VL-aums mit N Knoten gilt: eweis: siee Vorlesung * log (N +) + Rotationen auf Sucbäumen: Eine Rotation ist ein lokale Reorganisation eines Sucbaums, bei der die Sucbaumeigenscaft eralten bleibt, die Höen der Unterbäume aber ggf. verändert werden. Rotation nac rects (nac links entsprecend): Es gilt: - alle Sclüssel aus sind ect kleiner als - alle Sclüssel aus sind ect größer als und ect kleiner als - alle Sclüssel aus sind ect größer als - < Poetzsc-Heffter, Universität Kaiserslautern Poetzsc-Heffter, Universität Kaiserslautern 64

2 oppelrotation links-rects (rects-links entsprecend): uc bei der oppelrotation bleibt die Sucbaum- Eigenscaft eralten. atenstruktur für VL äume: ur Realisierung von VL-äumen geen wir von der Implementierung der natürlicen Sucbäume aus: - ie aumknoten bekommen ein zusätzlices ttribut bf (balance factor), in dem die Höendifferenz von linkem und rectem Unterbaum gespeicert wird. - ie Operationen zum Einfügen und Löscen müssen angepasst werden (ggf. wird dazu auc die atenstruktur erweitert) Poetzsc-Heffter, Universität Kaiserslautern 65 Ein ictionary wird repräsentiert durc ein Objekt, das eine Referenz auf einen inärbaum entält: er leere inärbaum wird durc die null-referenz repräsentiert (leeres ictionary). Jeder Knoten eines nictleeren inärbaums wird durc ein Objekt vom Typ VLNode repräsentiert mit Instanzvariablen für: - den Sclüssel - die aten - die Referenz auf das linke Kind - die Referenz auf das recte Kind - die Höendifferenz bf ie aumknoten sind gekapselt und können von außen nur indirekt über die Grundoperationen manipuliert werden. atenstruktur-invarianten: - Sclüssel kommen nict doppelt vor. - ie inärbäume sind Sucbäume. - ie Höendifferenz ist korrekt belegt Poetzsc-Heffter, Universität Kaiserslautern 66 class VLTreeictionary implements ictionary { private VLNode root; private static class VLNode { private int key; private Object data; private VLNode left, rigt; private int bf; private VLNode( int k, Object d ) { key = k; data = d; public VLTreeictionary() { root = null; // leeres ictionary public Object get( int key ) { private VLNode searcnode( VLNode current, int key) { public void put(int key, Object value){ private VLNode insertnode( VLNode current, int key, Object v ){ private VLNode rotate(vlnode current){ public void remove( int key ) { trow RuntimeException("not available"); Poetzsc-Heffter, Universität Kaiserslautern 67 Heraussucen: - Ist der Wurzelsclüssel gleic dem gesucten Sclüssel, terminiert das Verfaren. - Ist der Wurzelsclüssel größer als der gesucte Sclüssel, suce im linken Unterbaum weiter. - Ist der Wurzelsclüssel kleiner als der gesucte Sclüssel, suce im recten Unterbaum weiter. public Object get( int key ) { VLNode tn = searcnode(root,key); if( tn == null ) { return null; else { return tn.data; private VLNode searcnode( VLNode current, int key) { if( current!=null && key!= current.key ) { if( current.key > key ) { return searcnode( current.left, key ); else { // current.key < key return searcnode( current.rigt, key ); return current; Poetzsc-Heffter, Universität Kaiserslautern 68

3 Einfügen: eispiel: Entwicklung des lgoritmus in 4 Scritten: Einfügen von 33: 45. Einfügen one ktualisieren von bf und Rotation. ktualisieren von bf, aber one Rotation ktualisieren von bf mit ufruf der Rotation 4. Rotation mit ktualisieren von bf an den rotierten Knoten Einfügen one ktualisieren von bf und Rotation : - Neue Knoten werden immer als lätter eingefügt. - ie Position des lattes wird durc den Sclüssel des neuen Knotens festgelegt. - eim ufbau eines aumes ergibt der erste Knoten die Wurzel. - Ein Knoten wird in den linken Unterbaum der Wurzel eingefügt, wenn sein Sclüssel kleiner ist als der Sclüssel der Wurzel; in den recten, wenn er größer. ieses Verfaren wird rekursiv fortgesetzt, bis die Einfügeposition bestimmt ist Poetzsc-Heffter, Universität Kaiserslautern class VLTreeictionary implements ictionary { private VLNode root; public void put( int key, Object value ){ if( root == null ) { root = new VLNode(key, value); else { VLNode res = insertnode(root,key,value); if( res!=null ) root = res; Poetzsc-Heffter, Universität Kaiserslautern 6 49 Rekursives ufsucen der Einfügestelle und Einfügen: void insertnode( VLNode current, int key, Object v ) { // pre: current!= null // if( key < current.key ) { if ( current.left == null ) { current.left = new VLNode(key,v); else { insertnode( current.left, key, v); else if( key > current.key ) { if ( current.rigt == null ) { current.rigt = new VLNode(key,v); else { insertnode( current.rigt, key, v); else { // key == current.key current.data = v;. ktualisieren von bf, aber one Rotation lgoritmisces Vorgeen: - Einfügen wie oben. - ktualisieren von bf soweit nötig: er Höendifferenz bf kann sic nur bei Knoten ändern, die auf dem Pfad von der Wurzel zum eingefügten Knoten liegen. Nur an diesen Knoten kann die VL-Eigenscaft verletzt werden. - estimmen des kritiscen Knotens KK; das ist der näcste Elternknoten zum eingefügten Knoten mit bf=. - Rotiere bei KK, Rotationstyp ergibt sic aus Pfad von eingefügtem Knoten zu KK. Wir werden zeigen, dass durc die Rotation der Unterbaum mit Wurzel KK die gleice Höe erält, die er vor dem Einfügen atte. ie alancierungsfaktoren an Knoten oberalb von KK braucen also nict aktualisiert zu werden Poetzsc-Heffter, Universität Kaiserslautern Poetzsc-Heffter, Universität Kaiserslautern 6

4 Einfügen mit ktualisieren von bf: private boolean insertnode ( VLNode current, int key, Object v ){ /* pre: current!= null ens: result==true, wenn (current) > old((current)) result==false, sonst */ if( key < current.key ) { if( current.left == null ) { current.left = new VLNode(key,v); current.bf++; // current.bf < return (current.bf>); else { if( insertnode(current.left,key,v) ){ current.bf++; return (current.bf>); else { return false; else if( key > current.key ) { // symmetrisc auf recter Seite else { // key == current.key current.data = v; return false; Poetzsc-Heffter, Universität Kaiserslautern 63 emerkung: ie obige Fassung veranscaulict die Vorgeensweise, auf dem Rückweg von einem rekursiven bstieg Operationen auszufüren. ie obige Fassung wird so nict benötigt, da bf nur bis zu kritiscen Knoten zu aktualisieren ist. Ist der kritisce Knoten gefunden, wird rotiert und damit die ktualisierungen oberalb unnötig. 3. Einfügen mit ktualisieren von bf und Rotation: Problem: ie Rotation mact es nötig, den Elternknoten des kritiscen Knotens zu modifizieren. Idee: Statt true/false liefert die Einfüge-Operation: - null, wenn sic die Höe geändert at. - ie Referenz auf den möglicerweise rotierten Unterbaum, wenn sic die Höe nict geändert at; desalb ist ggf. root zu modifizieren: public void put( int key, Object val ) { if( root == null ) { root = new VLNode(key, value); else { VLNode res = insertnode(root,key,val); if( res!=null ) { root = res; Poetzsc-Heffter, Universität Kaiserslautern 64 private VLNode insertnode ( VLNode current, int key, Object v ) { if( key < current.key ) { if( current.left == null ) { current.left = new VLNode(key,v); current.bf++; // current.bf < return (current.bf>)? null : current; else { VLNode res = insertnode(current.left,key,v); if( res == null ) { current.bf++; if( current.bf < ) { return (current.bf>)?null:current; else { return rotate( current ); else { current.left = res; return current; else if( key > current.key ) { // symmetrisc auf recter Seite else { // key == current.key current.data = v; return current; 4. Rotation mit ktualisieren von bf: Wir betracten die Situation, dass bf im kritiscen Knoten KK auf gestiegen ist, also links eingefügt wurde. ie Unterbäume von KK bezeicnen wir mit li, li.li, li.re etc. a (li) = (re)+, kann der Wurzelknoten von li nict der neu eingefügte Knoten KN sein. Es gibt vier untersciedlice Fälle: - KN ist in li.li eingefügt (rects-rotation) - KN ist in li.re eingefügt; bf ist abängig davon, ob KN neue Wurzel von li.re (links-rects-rotation) KN in li.re.li eingefügt KN in li.re.re eingefügt Fall: links-links vor Einfügen: + + (links-rects-rotation) (links-rects-rotation) Poetzsc-Heffter, Universität Kaiserslautern Poetzsc-Heffter, Universität Kaiserslautern 66

5 nac Einfügen: eacte: ie Höe nac der Rotation ist gleic der Höe vor dem Einfügen. amit wird die VL- Eigenscaft der aumteile oberalb des kritiscen Knotens nict beeinflusst. Fall: links-rects: vor Einfügen: nac Rotation: (der Fall rects-rects get analog) Poetzsc-Heffter, Universität Kaiserslautern Poetzsc-Heffter, Universität Kaiserslautern 68 nac Einfügen links-rects: nac Einfügen links-rects-links: nac Rotation: nac Rotation: (der Fall rects-links get analog) (der Fall rects-links-rects get analog) Poetzsc-Heffter, Universität Kaiserslautern Poetzsc-Heffter, Universität Kaiserslautern 63

6 nac Einfügen links-rects-rects: nac Rotation: Poetzsc-Heffter, Universität Kaiserslautern 63 - (der Fall rects-links-links get analog) - - private VLNode rotate( VLNode current ) { // pre: current!= null && current.bf == // if( current.bf == ) { VLNode cleft = current.left; if( cleft.bf == ) { // Variante LL current.left = cleft.rigt; current.bf = ; cleft.rigt = current; cleft.bf = ; return cleft; else { // LR-Varianten VLNode clrigt = cleft.rigt; current.left = clrigt.rigt; cleft.rigt = clrigt.left; clrigt.left = cleft; clrigt.rigt = current; if( clrigt.bf == ) { // LR(a) current.bf = -; cleft.bf = ; else if( clrigt.bf == - ) { // LR(b) current.bf = ; cleft.bf = ; else { // degenerierter Fall current.bf = ; cleft.bf = ; clrigt.bf = ; return clrigt; else { // current.bf == - ) // symmmetrisc fuer rects Poetzsc-Heffter, Universität Kaiserslautern 63 iskussion: eim Einfügen eines Knotens at der rebalancierte Unterbaum stets die gleice Höe wie vor dem Einfügen: - er restlice aum wird nict beeinflusst. - Höcstens eine Rotation wird benötigt. eim Löscen können ungünstigsten Falls so viele Rotationen erforderlic sein, wie es Knoten auf dem Pfad von der Löscposition bis zur Wurzel gibt. a der ufwand für eine Rotation aber konstant ist, ergeben sic maximal O(log N) Operationen. egriffsklärung: (Hasfunktion, -tabelle) Seien - S die Menge der möglicen Sclüsselwerte (Sclüsselraum) und - die Menge von dressen in einer Hastabelle (im Folgenden ist immer die Indexmenge.. m- eines Feldes). Eine Hasfunktion : S ordnet jedem Sclüssel eine dresse in der Hastabelle zu. ls Hastabelle (HT) der Größe m bezeicnen wir einen Speicerbereic, auf den über die dressen aus mit konstantem ufwand (unabängig von m) zugegriffen werden kann.. Hasing/Streuspeicerung nstatt durc scrittweises Vergleicen von Sclüsseln auf einen atensatz zuzugreifen, versuct man bei Has- oder Streuspeicerverfaren aus dem Sclüssel die Positionsinformation des atensatzes (z.. den Feldindex) zu berecnen. Für viele praktisc relevante Szenarien erreict man dadurc atenzugriff mit konstantem ufwand. Entält S weniger Elemente als, kann injektiv sein: Für alle s,t in S: s t => (s) (t) d.. die Hasfunktion ordnet jedem Sclüssel eine eineindeutige dresse zu. ann ist perfektes Hasing möglic. ndernfalls können Kollisionen auftreten: Poetzsc-Heffter, Universität Kaiserslautern Poetzsc-Heffter, Universität Kaiserslautern 634

7 Klassifikation von Hasverfaren: egriffsklärung: (Kollision, Synonym) wei Sclüssel s,t kollidieren bezüglic einer Hasfunktion, wenn (s) = (t). ie Sclüssel s und t nennt man dann Synonyme. ie Menge der Synonyme bezüglic einer dresse a aus eißt die Kollisionsklasse von a. Ist scon ein atensatz mit Sclüssel s in der Hastabelle gespeicert, nennt man einen atensatz mit einem Synonym von s einen Überläufer. nforderungen an Hasfunktionen: Eine Hasfunktion soll - sic einfac und effizient berecnen lassen (konstanter ufwand bzgl. S) - zu einer möglicst gleicmäßigen elegung der Hastabelle füren - möglicst wenige Kollisionen verursacen Poetzsc-Heffter, Universität Kaiserslautern 635 Hasverfaren untersceiden sic durc die Hasfunktion durc die Kollisionsauflösung: - extern: Überläufer werden in atenstrukturen außeralb der Hastabelle gespeicert. - offen: Überläufer werden an noc offenen Positionen der Hastabelle gespeicert. durc die Wal der Größe von der Hastabelle: - statisc: ie Größe wird bei der Erzeugung festgelegt und bleibt unverändert. - dynamisc: ie Größe kann angepasst werden. Wir betracten im Folgenden eine Realisierung einer statiscen Hastabelle mit externer Kollisionsauflösung durc ein ictionary mit binärer Suce. Hasfunktion: Entsceidend ist, dass die Hasfunktion die Sclüssel gut streut. Verbreitetes Verfaren: - Wäle eine Primzal als Hastabellen-Größe. - Wäle den ganzzaligen ivisionsrest als Haswert: private int as( int key ) { return Mat.abs(key) % astable.lengt; Poetzsc-Heffter, Universität Kaiserslautern 636 emerkung: Sclect wäre beispielsweise eine Wal von m = i als Tabellengröße bei dem ivisionsrest-verfaren, da bei inärdarstellung der Sclüssel dann nur die letzten i its relevant sind. atenstruktur: Wir realisieren eine Hastabelle als Implementierung der Scnittstelle ictionary: class Hasictionary implements ictionary { int[] astable; Object[] datatable; private ictionary[] overflowtable; public Hasictionary( int tabsize ) { /* tabsize sollte eine Primzal sein */ astable = new int[tabsize]; datatable = new Object[tabsize]; overflowtable = new ictionary[tabsize]; private int as( int key ) { public Object get( int key ) { public void put (int key,object v ){ public void remove( int key ) { Poetzsc-Heffter, Universität Kaiserslautern 637 Sei s ein Sclüssel, (s) sein Haswert. er atenstruktur Hasictionary liegen folgende Invarianten zugrunde: - ie Hastabelle entält den atensatz zu s, wenn astable[ (s) ] == key datatable[ (s) ]!= null ie aten liefert dann datatable[ (s) ]. - lle eingetragenen Elemente der Kollisionsklasse zu (s) befinden sic in der Hastabelle mit Index (s) oder in overflow[(s)]. Wegen Löscens ist es möglic, dass die Hastabelle zu (s) keinen Eintrag at, sic trotzdem aber Einträge in der Überlauftabelle zu (s) befinden! Löscen: public void remove( int key ) { int ix = as(key); if( astable[ix] == key && datatable[ix]!= null ) { datatable[ix] = null; else if( overflowtable[ix]!= null ) { overflowtable[ix].remove(key); Poetzsc-Heffter, Universität Kaiserslautern 638

8 Sucen: public Object get( int key ) { int ix = as(key); if( astable[ix] == key && datatable[ix]!= null ) { return datatable[ix]; else if( overflowtable[ix] == null ) { return null; else { Object v = overflowtable[ix].get(key); if( datatable[ix] == null ) { datatable[ix] = v; overflowtable[ix].remove(key); return v; Einfügen: public void put ( int key, Object value ) { if( value!= null ) { int ix = as(key); if( datatable[ix] == null ) { astable[ix] = key; datatable[ix] = value; else if( astable[ix] == key ) { datatable[ix] = value; else { if( overflowtable[ix] == null ) { overflowtable[ix] = new intreeictionary(); overflowtable[ix].put(key,value); Poetzsc-Heffter, Universität Kaiserslautern Poetzsc-Heffter, Universität Kaiserslautern 64 iskussion: ie Komplexität der Operationen einer Hastabelle ängt ab von: - der Hasfunktion und dem Füllungsgrad der Tabelle - dem Verfaren zur Kollisionsauflösung ei guter Hasfunktion und kleinem Füllungsgrad kommt man im Mittel mit konstantem ufwand aus. emerkung: Hasverfaren sind ein eispiel dafür, dass man sic nict immer für lgoritmen mit asymptotisc gutem Veralten interessiert. ie Hasfunktion wird dabei benutzt, um komplexere Sclüssel in einfacere, meist ganzzalige Sclüssel abzubilden. a Injektivität meist nur annäerungsweise erreict werden kann, brauct man Kollisionsauflösung. Meist verwendet man dazu offene Kollisionsauflösung. eispiel: (Strings als Sclüssel) In ezeicnerumgebungen (vgl. ESSy, Folie 4) und eklarationstabellen von Übersetzern sind die Sclüssel in natürlicerweise eicenreien. urc Hasing wird jedem ezeicner eine natürlice al als Sclüssel zugeordnet. Unter diesem alsclüssel wird die eklarationsinformation verwaltet. nwendung von Hasverfaren: Hasverfaren werden auc verwendet um Sclüsselräume zu vereinfacen. Wir betracten ier nwendungen mit eicenreicen als Sclüssel. eicenreien als Sclüssel: - Vorteile: bzgl. nwendung der sic direkt ergebende Sclüsseltyp; nict längenbescränkt. - Nacteile: Sclüsselvergleice ser teuer; nict zur Indizierung geeignet Poetzsc-Heffter, Universität Kaiserslautern 64 emerkung: ie praktisce edeutung von Hasverfaren zur Sclüsselvereinfacung wird auc durc die Metode /** Returns a as code value for te object. * Tis metod is supported for te benefit * of astables suc as tose provided by * java.util.hastable */ public native int asode(); in der Java Klasse Object verdeutlict Poetzsc-Heffter, Universität Kaiserslautern 64

9 eobactermuster: ls eispiel einer Klasse, die Objekte nur über deren Scnittstelle ansprict, betracten wir eine nwendung des eobactermusters. ktie name: String kurswert: int * * eobacter void steigen(ktie a) void fallen(ktie a) a über die eobacter nicts bekannt ist, realisiert man sie sinnvollerweise durc einen Scnittstellentyp: interface eobacter { void steigen( ktie a ); void fallen( ktie a ); // Fortsetzung näcste Folie ie ssoziation zwiscen ktien und eobactern implementieren wir durc eine Liste in der Klasse ktie, die alle eobacter der Klasse entält: oersianer oersianer public class ktie { private String name; private int kurswert; private rraylist beobacterliste; ei Realisierung der Klasse ktie ist nur bekannt, dass die eobacter über das Steigen und Fallen des ktienkurses informiert werden wollen. Wie eobacter auf Änderungen reagieren, ist nict bekannt. ie Klassen können also getrennt entwickelt werden. emerkung: as eispiel illustriert eine nwendung des Entwurfmusters eobacter (engl. observer ). ktie( String n, int anfangswert ){ name = n; kurswert = anfangswert; beobacterliste = new rraylist(); public String getname(){ return name; public int getkurswert(){ return kurswert; // Fortsetzung näcste Folie Poetzsc-Heffter, Universität Kaiserslautern Poetzsc-Heffter, Universität Kaiserslautern 644 eim Setzen des Kurswertes werden auc die eobacter benacrictigt: // Fortsetzung von voriger Folie void setkurswert( int neuerwert ){ int alterwert = kurswert; kurswert = neuerwert>? neuerwert : ; ListIterator it = beobacterliste.listiterator(); if( kurswert > alterwert ) { wile( it.asnext() ){ eobacter b = (eobacter)it.next(); b.steigen( tis ); else { wile( it.asnext() ){ eobacter b = (eobacter)it.next(); b.fallen( tis ); public void anmeldeneobacter( eobacter b ) { beobacterliste.add( b ); ur Illustration von eobacterimplementierungen betracten wir einen oersianer der - von der beobacteten ktien kauft, wenn deren Kurs unter 3 Euro fällt und er noc keine besitzt, - verkauft, wenn der Kurs über 4 Euro steigt. public class oersianer implements eobacter{ private boolean besitzt = false; void fallen( ktie a ) { if( a.getkurswert() < 3 &&!besitzt ) { System.out.println("Kauf "+a.getname()); besitzt = true; void steigen( ktie a ) { if( a.getkurswert() > 4 && besitzt ) { System.out.print("Verkauf "+a.getname()); System.out.println(); besitzt = false; nwendungsfragment: ktie vw = new ktie("vw", 354); eobacter peter = new oersianer(); vw.anmeldeeobacter( peter ); Poetzsc-Heffter, Universität Kaiserslautern Poetzsc-Heffter, Universität Kaiserslautern 646