Dr. Philipp Sprüssel. Stand 22. September Beweise zu diesem Abschnitt sollten sich in jedem beliebigen Topologiebuch finden.

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1 Skript zur Vorlesung Topologie, Sommersemester 2010 Dr. Philipp Sprüssel Stand 22. September Grundlegende Begriffe 1.1 Topologische Räume und stetige Abbildungen Beweise zu diesem Abschnitt sollten sich in jedem beliebigen Topologiebuch finden. Definition (Topologischer Raum, offene und abgeschlossene Mengen). Ein topologischer Raum ist eine Menge X zusammen mit einem System O von Teilmengen von X, so dass (i) Beliebige Vereinigungen von Elementen von O liegen in O. (ii) Durchschnitte von endlich vielen Elementen von O liegen in O. (iii) X und die leere Menge liegen in O. Die Mengen aus O heißen offen, ihre Komplemente sind abgeschlossen. Man nennt O auch eine Topologie auf X. Bemerkung. Erlaubt man leere Vereinigungen und Schnitte, kann man auf das letzte Axiom verzichten. Die Axiome für abgeschlossene Mengen sind komplementär zu denen für offene Mengen, das heißt, endliche Vereinigungen und beliebige Schnitte abgeschlossener Mengen sind abgeschlossen. Beispiel. Beispiele für topologische Räume sind: R n mit den bekannten offenen Mengen. Jede Menge X mit der diskreten Topologie: Jede Teilmenge von X ist offen. Jede Menge X mit der trivialen oder indiskreten Topologie: Nur X und die leere Menge sind offen. Die kofinite Topologie auf einer beliebigen Menge X: Eine Menge ist offen genau dann, wenn sie leer oder ihr Komplement endlich ist. Definition. Seien O, O zwei Topologien auf einer Menge X. Wir nennen O feiner als O (und umgekehrt O gröber als O), falls O O. 1

2 Bemerkung. Im Allgemeinen müssen zwei Topologien nicht vergleichbar (im Sinne von feiner/gröber) sein. Definition (Stetigkeit, Homöomorphismus). Eine Abbildung f : X Y zwischen topologischen Räumen heißt stetig, falls das Urbild jeder offenen Menge in Y offen in X ist. Falls f bijektiv ist und sowohl f als auch f 1 stetig, dann ist f ein Homöomorphismus. Beispiel. Seien (X, O X ), (Y, O Y ) topologische Räume. Ist O Y die triviale Topologie oder O X die diskrete Topologie, so ist jede Abbildung f : X Y stetig. Falls f(x) nur aus einem Punkt besteht, ist f stetig. Im Fall X = Y ist f genau dann stetig, wenn O X feiner als O Y ist. Satz. Sind f : X Y und g : Y Z stetige Abbildungen, dann ist auch g f : X Z stetig. Definition (Offene und abgeschlossene Abbildungen). Eine Abbildung f : X Y heißt offen, wenn das Bild jeder offenen Menge offen ist. Entsprechend sind abgeschlossene Abbildungen definiert. Bemerkung. Nicht jede offene Abbildung ist auch abgeschlossen. Umgekehrt ist auch nicht jede abgeschlossene Abbildung offen. Satz. Eine bijektive Abbildung ist genau dann ein Homöomorphismus, wenn sie stetig und offen (äquivalent: abgeschlossen) ist. Definition (Basis, Subbasis). Sei (X, O) ein topologischer Raum und B, S Teilmengen von O. (i) B heißt Basis (der Topologie O), falls jede Menge aus O die Vereinigung von Mengen aus B ist. (ii) S heißt Subbasis, falls die Menge B von endlichen Durchschnitten von Mengen aus S eine Basis ist. Bemerkung. Jede Basis ist auch eine Subbasis. Jede Topologie ist ihre eigene Basis. Beispiel. In R n bilden die offenen Bälle (Mengen der Form {y R n d(x, y) < ε} für festes x und ε > 0) eine Basis der bekannten Topologie. Alternativ bilden auch die offenen Hyperwürfel eine Basis. In beiden Fällen genügt es, diejenigen Mengen mit rationalem Zentrum zu wählen, R n hat also eine abzählbare Basis. Für die kofinite Topologie auf einer Menge X bilden die Komplemente der Einpunktmengen eine Subbasis. Satz. Sei X eine Menge und B ein System von Teilmengen von X. Genau dann ist B die Basis einer Topologie auf X, falls: 2

3 (i) Jeder Punkt in X ist in einer Menge aus B enthalten. (ii) Jeder Schnitt zweier (äquivalent: endlich vieler) Elemente von B ist Vereinigung von Mengen aus B. Satz. Seien (X, O X ) und (Y, O Y ) topologische Räume und sei B eine Basis von O Y. Eine Abbildung f : X Y ist genau dann stetig, wenn alle Urbilder von Mengen aus B in O X liegen. Satz. Sei (X, O) ein topologischer Raum und S eine Teilmenge von O. Genau dann ist S eine Subbasis von O, wenn O die gröbste Topologie auf X ist, in der alle Mengen aus S offen sind. Definition (Umgebung, Umgebungsbasis). Sei (X, O) ein topologischer Raum und x ein Punkt in X. Eine Teilmenge U von X heißt Umgebung von x, falls sie eine offene Menge O x enthält. Eine Menge U von Umgebungen von x heißt Umgebungsbasis von x, falls jede Umgebung von x eine Umgebung aus U enthält. Satz. Sei (X, O) ein topologischer Raum, B eine Basis von O und U eine Umgebungsbasis eines Punktes x X. (i) Eine Menge B von Teilmengen von X ist genau dann eine Basis von O, wenn jedes B B Vereinigung von Mengen aus B ist sowie jedes B B Vereinigung von Mengen aus B. (ii) Eine Menge U von Teilmengen von X, die x enthalten, ist genau dann eine Umgebungsbasis von x, wenn jedes U U ein U U enthält und umgekehrt auch jedes U U ein U U. Beispiel. Im R n bilden die abgeschlossenen Kugeln um einen Punkt x eine Umgebungsbasis aus nicht-offenen Mengen. Im R n bilden die offenen Quader, Mengen der Form (a 1, b 1 ) (a n, b n ), eine Basis. Satz. Eine Abbildung f : X Y ist genau dann stetig, wenn für jedes x X und jede Umgebung U Y von f(x) das Urbild f 1 (U Y ) eine Umgebung von x ist. 1.2 Induzierte Topologien Beweise zu diesem Abschnitt finden sich größtenteils in [8, Kapitel 3]. Definition (Unterraumtopologie). Ist (X, O X ) ein topologischer Raum und U eine Teilmenge von X, dann definieren wir die Unterraumtopologie O U von U: Eine Teilmenge O von U ist offen (in U) genau dann, wenn es eine offene Menge O X in X gibt mit O = O X U. 3

4 Bemerkung. Im Allgemeinen muss U hierfür nicht als Teilmenge von X gegeben sein. Ist ι: U X eine injektive Abbildung, so definieren wir eine Teilmenge von U als offen, falls ihr Bild unter ι offen in ι(u) (mit der gerade definierten Unterraumtopologie) ist. Beispiel. Die bekannte Topologie auf R n ist auch die Unterraumtopologie bezüglich der Abbildung R n R n {0} R n+1. Die Unterraumtopologie von Z in R ist die diskrete Topologie. Satz. Die Unterraumtopologie von U X ist die gröbste Topologie, mit der die Inklusion U X stetig ist. Definition (Quotiententopologie). Sei (X, O X ) ein topologischer Raum und eine Äquivalenzrelation auf X. In der Quotiententopologie von X/ ist eine Menge genau dann offen, wenn die Vereinigung ihrer Äquivalenzklassen offen in X ist. Bemerkung. Wir können auch umgekehrt von einer surjektiven Abbildung π : X Y ausgehen; dann ist Y kanonisch isomorph zum Quotienten X/ π. Eine Menge in Y ist nun genau dann offen, wenn ihr Pendant in X/ π offen ist. Beispiel. Die Abbildung [0, 1] {z C z = 1}, x exp(2πix) definiert eine Quotiententopologie auf dem Einheitskreis. Diese stimmt mit der Unterraumtopologie aus C überein. Die Quotiententopologie von R m bezüglich der Projektion R n R m (mit n > m) auf die ersten m Koordinaten ist gleich der üblichen Topologie auf R m. Sei T R 3 der Torus. Die Quotiententopologie, welche von der Projektion [0, 1] 2 T induziert wird, entspricht der Unterraumtopologie von T in R 3. Identifiziert man in R alle rationalen Zahlen, so ist im Quotientenraum X = {{Q}} {{x} x R \ Q} eine Menge O genau dann offen, wenn {Q} in O liegt und die Menge der x R mit {x} O offen in R \ Q ist. Satz. Sei (X, O X ) ein topologischer Raum und π : X Y eine Quotientenabbildung. Dann ist die Quotiententopologie von Y die feinste Topologie, für die π stetig ist. Definition (Disjunkte Vereinigungen). Seien (X i, O i ), i I, topologische Räume. Die Topologie der disjunkten Vereinigung X := i I X i (auch Summentopologie) besteht aus allen Teilmengen O von X, für welche alle Mengen O X i offen in X i sind. Bemerkung. Für jedes i sei B i eine Basis von O i. Dann ist die Vereinigung B aller B i eine Basis der Summentopologie. Insbesondere bildet die Menge aller offenen Mengen in den einzelnen X i eine Basis. Satz. Seien (X i, O i ), i I, topologische Räume. Die Topologie der disjunkten Vereinigung X ist die feinste Topologie, für die alle Inklusionen ι i : X i X stetig sind. 4

5 Definition (Produkte). Seien (X i, O i ), i I, topologische Räume. Die Topologie des Produktes X := i I X i (Produkttopologie) ist die Topologie, welche durch die Subbasis aller Mengen der Form O i j I\{i} X j mit O i offen in X i erzeugt wird. Bemerkung. Die Schnitte der obigen Subbasis sind von der Form O i1 O in j I\{i 1,...,i n} X j mit O ik offen in X ik. Diese Mengen bilden also eine Basis der Produkttopologie. Beispiel. Die Topologie von R n ist gleich der Produkttopologie, wenn man R n als n- faches Produkt von R ansieht. Satz. Seien X i, i I, topologische Räume. Die Produkttopologie auf X := i I X i ist die gröbste Topologie, für die alle Projektionen π i : X X i stetig sind. Bemerkung. Auf einem Produkt kann man auch eine andere Topologie definieren, die Boxtopologie: Hierin sind alle Produkte von offenen Mengen in den X i offen in X. Während in der Produkttopologie jede punktweise konvergente Folge konvergiert, ist dies in der Boxtopologie nicht der Fall. Hierbei heißt eine Folge (x n ) n N von Punkten in X konvergent, falls es einen Punkt x X gibt, so dass jede Umgebung von x alle bis auf endlich viele x n enthält. Die Folge heißt punktweise konvergent, falls für jedes i die Folge der Projektionen ( π i (x n ) ) n N konvergent in X i ist. Definition (Initialtopologie, Finaltopologie). Sei X eine Menge und X i, i I, topologische Räume. Sind Abbildungen f i : X X i für alle i gegeben, so ist die Initialtopologie bezüglich (f i ) i I diejenige Topologie auf X, welche durch die Subbasis aller Mengen der Form (O i ) (mit O i offen in X i ) erzeugt wird f 1 i Sind Abbildungen f i : X i X für alle i gegeben, so besteht die Finaltopologie auf X bezüglich (f i ) i I aus genau denjenigen Mengen O X, für die jedes Urbild (O) offen in X i ist. f 1 i Beispiel. Beispiele für Initialtopologien sind die Unterraumtopologie und die Produkttopologie. Beispiele für Finaltopologien sind die Quotiententopologie und die Topologie der disjunkten Vereinigung. Satz. Sei X eine Menge, X i, i I, topologische Räume und f i : X X i, i I, Abbildungen. Dann ist stimmen folgende Topologien auf X überein: (i) Die Initialtopologie bezüglich (f i ) i I. (ii) Die gröbste Topologie auf X, für die alle f i stetig sind. 5

6 (iii) Die (eindeutige) Topologie auf X mit der folgenden universellen Eigenschaft: Für jeden topologischen Raum Y und jede Abbildung g : Y X gilt, dass g genau dann stetig ist, wenn jede Abbildung f i g : Y X i stetig ist. Satz. Sei X eine Menge, X i, i I, topologische Räume und f i : X i X, i I, Abbildungen. Dann ist stimmen folgende Topologien auf X überein: (i) Die Finaltopologie bezüglich (f i ) i I. (ii) Die feinste Topologie auf X, für die alle f i stetig sind. (iii) Die (eindeutige) Topologie auf X mit der folgenden universellen Eigenschaft: Für jeden topologischen Raum Y und jede Abbildung g : X Y gilt, dass g genau dann stetig ist, wenn jede Abbildung g f i : X i Y stetig ist. Bemerkung. Initialtopologien kann man verketten, ebenso wie Finaltopologien: Die Initialtopologie von X bezüglich (f i : X X i ) i I, wobei jedes X i mit der Initialtopologie bezüglich (f i,j : X i X i,j ) j Ji ausgestattet ist, entspricht der Initialtopologie von X bezüglich (f i,j f i ) i I,j Ji. Analog entspricht die Finaltopologie von X bezüglich (f i : X i X) i I, wobei jedes X i mit der Finaltopologie bezüglich (f i,j : X i,j X i ) j Ji ausgestattet ist, der Finaltopologie von X bezüglich (f i f i,j ) i I,j Ji. Definition (Metrische Räume). Sei X ein metrischer Raum mit Metrik d. Ein offener Ball um x X ist eine Menge der Form {y X d(x, y) < ε} für ein ε > 0. Die offenen Bälle in X bilden die Basis einer Topologie O d auf X. Wir sagen, die Metrik d induziert die Topologie O d. 1.3 Simpliziale Komplexe Definition (Inneres, Rand, Abschluss). Sei A eine beliebige Teilmenge eines topologischen Raumes X. (i) Das Innere von A ist die Menge Å aller Punkte, die eine Umgebung haben, welche vollständig in A enthalten ist. (ii) Der Rand von A ist die Menge A aller Punkte, für die jede Umgebung sowohl A also auch X \ A trifft. (iii) Der Abschluss von A ist die Menge A aller Punkte, für die jede Umgebung A trifft. Alternativ kann man den Abschluss definieren als den Schnitt aller abgeschlossenen Mengen in X, die A enthalten. Satz. Sei A eine beliebige Teilmenge eines topologischen Raumes X. Dann gilt (i) A ist die kleinste abgeschlossene Menge, die A enthält. (ii) A ist die disjunkte Vereinigung von Å und A. 6

7 (iii) Å = X \ X \ A. (iv) A = A X \ A. (v) Ist B eine Menge mit A B A, dann ist B = A. Definition (Simplex). Seien x 0,..., x n Punkte im R m (m n) in allgemeiner Lage, das heißt, die Vektoren x i x 0, i = 1,..., n, sind linear unabhängig. Die konvexe Hülle [x 0,..., x n ] := { λ 0 x λ n x n λ λ n = 1 und λ i 0 für alle i } dieser Punkte (mit der Unterraumtopologie) heißt n-simplex. Die Punkte x i sind seine Ecken. Bemerkung. Jeder n-simplex ist homöomorph zum Standard-n-Simplex n := { (t 0,..., t n ) t R n+1 t t n = 1 und t i 0 für alle i }. Bemerkung. Sei S = [x 0,..., x n ] ein n-simplex und sei x = λ 0 x λ n x n S. Für jedes ε > 0 ist die Menge S ε (x) := { µ 0 x µ n x n S i : λ i µ i < ε } offen in S. Die Mengen S ε (x) für festes x bilden eine Umgebungsbasis von x; die Mengen für alle x bilden eine Basis von S. Definition (Teilsimplex, Seitenfläche, Rand). Sei S = [x 0,..., x n ] ein n-simplex. Jede (k + 1)-elementige Teilmenge der Ecken spannt ihrerseits ein k-simplex auf, ein k- Teilsimplex von S. Insbesondere ist S ein n-teilsimplex von sich selbst. Ein (n 1)- Teilsimplex von S heißt Seitenfläche von S. Die Vereinigung der Seitenflächen von S ist der Rand von S. Satz. Sei S ein n-simplex im R n. Der Rand von S ist S. Definition (Simplizialer Komplex). Ein (endlich dimensionaler) simplizialer n-komplex K n ist ein topologischer Raum, der durch Zusammenkleben von Simplizes entsteht: Man beginnt mit der disjunkten Vereinigung K 0 von 0-Simplizes (mit der Summentopologie), dann bildet man induktiv für k = 1,..., n die disjunkte Vereinigung von K k 1 und einigen k-simplizes und identifiziert den Rand jedes k-simplexes mit einer Teilmenge von K k 1 wie folgt: (i) Die Ecken eines k-simplexes werden mit 0-Simplizes in K k 1 identifiziert. (ii) Für jeden k-simplex S werden je zwei Ecken von S mit verschiedenen 0-Simplizes identifiziert. (iii) Betrachtet man für einen k-simplex S die 0-Simplizes, mit denen seine Ecken identifiziert werden, dass sind je k von ihnen die Ecken eines (k 1)-Simplexes in K k 1. Die Punkte dieses (k 1)-Simplexes werden mit den Punkten der entsprechenden Seitenfläche von S identifiziert. (Zwei Punkte werden identifiziert, wenn ihre Darstellungen als Linearkombination übereinstimmen.) 7

8 (iv) Es gibt keine zwei k-simplizes, deren Ecken mit den gleichen 0-Simplizes identifiziert werden. Die Simplizes, die während der Konstruktion als disjunkte Vereinigung hinzugefügt werden, heißen Simplizes von K n. Der k-komplex K k heißt k-skelett von K n. Satz. Sei K n ein simplizialer n-komplex. Dann gibt es für jeden k-simplex S von K n eine Abbildung ι: S K n, welche ein Homöomorphismus zwischen S und ι(s) ist. Definition (Stern). Sei K n ein simplizialer n-komplex und S eine Menge von Simplizes in K n. Der Stern von S ist die Vereinigung in K n der Inneren aller Simplizes, für die ein Teilsimplex in S liegt. Definition (Polyeder). Ein Polyeder ist ein Unterraum vom R 3, welcher isomorph zu einem endlichen simplizialen 2-Komplex K ist, in welchem jeder Stern eines Simplexes S homöomorph zu einer offenen Scheibe ist. 1.4 Invarianten von topologischen Räumen Beweise zu diesem Abschnitt finden sich: Für Kompaktheit, Zusammenhang und Wegzusammenhang sowohl in [1, Kapitel 3] als auch in [8, Kapitel 4 und 8], für die Trennungseigenschaften in [8, Kapitel 6] und für lokale Kompaktheit und Zusammenhang in [8, Kapitel 4 und 8]. Definition (Topologische Invariante). Eine topologische Invariante ist eine Eigenschaft topologischer Räume (formal: eine Teilklasse der Klasse aller topologischen Räume), welche invariant unter Homöomorphismen ist, das heißt, homöomorphe Räume besitzen beide diese Eigenschaft oder beide nicht. Bemerkung. Topologische Invarianten werden häufig verwendet um zu beweisen, dass gegebene topologische Räume nicht homöomorph sind. Bemerkung. Simple topologische Invarianten sind: Die Mächtigkeit von O, die minimale Mächtigkeit einer Basis von O, die Mächtigkeiten von Umgebungsbasen. Definition (Metrisierbarkeit). Ein topologischer Raum (X, O) heißt metrisierbar, falls es eine Metrik gibt, welche die Topologie O induziert (siehe Seite 6). Beispiel. Sei (X, O) ein topologischer Raum. Ist O die diskrete Topologie, so ist (X, O) metrisierbar. Ist O die triviale Topologie (und besteht X aus mindestens zwei Punkten), so ist (X, O) nicht metrisierbar. 8

9 Ist X = R und O die kofinite Topologie, so ist (X, O) nicht metrisierbar. Satz. Metrisierbarkeit ist eine topologische Invariante. Bemerkung. In einem metrisierbaren topologischen Raum bilden die offenen Bälle vom Radius 1 n um einen festen Punkt x eine abzählbare Umgebungsbasis von x. Bemerkung. Jeder metrisierbare Raum (X, O) ist metrisierbar durch eine Metrik, in der keine zwei Punkte Abstand größer 1 haben: Ist d irgendeine Metrik, die O induziert, dann wird O auch durch die Metriken d := induziert. d (x, y) := d 1+d oder { d(x, y) falls d(x, y) 1 1 sonst Satz. Unterräume metrisierbarer Räume sind metrisierbar. Satz. Disjunkte Vereinigungen metrisierbarer Räume sind metrisierbar. Satz. Das Produkt abzählbar vieler metrisierbarer Räume ist metrisierbar. Definition (Kompaktheit). Ein topologischer Raum (X, O) heißt kompakt, falls es zu jeder Menge A von offenen Mengen mit X = A (einer offenen Überdeckung) eine endliche Teilüberdeckung gibt. Eine Teilmenge von X heißt kompakt, wenn sie als Unterraum von X kompakt ist. Beispiel. Beispiele für kompakte Räume sind: Jeder endliche Raum, beschränkte, abgeschlossene Teilmengen im R n, jeder Raum mit der trivialen oder kofiniten Topologie, die Zariski-Topologie auf dem Spektrum eines kommutativen Ringes. Satz. Stetige Bilder kompakter Räume/Mengen sind kompakt. Korollar. Kompaktheit ist eine topologische Invariante. Korollar. Jeder Quotient eines kompakten Raumes ist kompakt. Satz. Jede abgeschlossene Teilmenge eines kompakten Raumes ist kompakt. Satz. In einem kompakten metrischen Raum ist die Metrik beschränkt. Definition (Zusammenhang). Ein topologischer Raum (X, O) heißt zusammenhängend, falls es keine disjunkte, nicht-leere, offene Mengen A, B gibt mit X = A B. Eine Teilmenge U von X heißt zusammenhängend, falls sie in der Unterraumtopologie zusammenhängend ist. 9

10 Beispiel. Beispiele für zusammenhängende Räume sind: R n, Intervalle in R, jeder Raum mit der trivialen Topologie, jeder unendliche Raum mit der kofiniten Topologie. Hingegen ist jeder Raum mit der diskreten Topologie (und mindestens zwei Punkten) nicht zusammenhängend, ebenso wie jede disjunkte Vereinigung. Auch Q als Teilmenge von R ist nicht zusammenhängend. Satz. Stetige Bilder zusammenhängender Räume/Mengen sind zusammenhängend. Korollar. Zusammenhang ist eine topologische Invariante. Definition (Weg, Wegzusammenhang). Ein Weg in einem topologischen Raum X ist eine stetige Abbildung ϕ: [0, 1] X. Die Punkte ϕ(0) und ϕ(1) heißen Endpunkte von ϕ, und ϕ verbindet seine Endpunkte. Wir nennen X (oder eine Teilmenge von X) wegzusammenhängend, falls je zwei Punkte in X (in der Teilmenge) durch einen Weg in X (in der Teilmenge) verbunden werden. Satz. Stetige Bilder wegzusammenhängender Räume/Mengen sind wegzusammenhängend. Korollar. Wegzusammenhang ist eine topologische Invariante. Satz. Jeder wegzusammenhängende Raum ist zusammenhängend. Bemerkung. Die Umkehrung des obigen Satzes gilt nicht. Definition (Trennungseigenschaften). Ein topologischer Raum (X, O) hat die Eigenschaft T 0, wenn es zu jeden zwei Punkten in X eine offene Menge gibt, die genau einen dieser Punkte enthält; T 1, wenn zu jeden zwei Punkten in X jeder dieser beiden eine Umgebung hat, die den anderen nicht enthält; T 2, wenn jede zwei Punkte in X disjunkte Umgebungen besitzen; T 3, wenn jede abgeschlossene Menge A und jeder Punkt in X \A disjunkte Umgebungen besitzen; T 3a, wenn es zu jeder abgeschlossenen Menge A und jedem Punkt x X \A eine stetige Funktion f : X [0, 1] gibt, die x auf 1 und ganz A auf 0 abbildet; T 4, wenn jede zwei disjunkte, abgeschlossene Mengen disjunkte Umgebungen haben. 10

11 Hierbei ist eine Umgebung einer Menge A eine Menge U, welche Umgebung aller Punkte in A ist. Diese Eigenschaften heißen Trennungseigenschaften oder Trennungsaxiome. Bemerkung. Die Eigenschaft T 1 ist äquivalent dazu, dass jede Einpunktmenge abgeschlossen ist. Satz. Die Trennungsaxiome sind topologische Invarianten. Definition (Hausdorff-Raum). Ein topologischer Raum mit der Eigenschaft T 2 heißt auch hausdorffsch oder Hausdorff-Raum. Satz. In einem Hausdorff-Raum haben jede zwei disjunkte, kompakte Mengen disjunkte Umgebungen. Bemerkung. Offenbar impliziert hausdorffsch T 1, welches wiederum T 0 impliziert. Ebenso wird T 3 durch T 3a impliziert. Definition (Reguläre, vollständig reguläre und normale Räume). Sei (X, O) ein T 1 - Raum. (i) Falls X ein T 3 -Raum ist, heißt X auch regulär. (ii) Falls X ein T 3a -Raum ist, heißt X vollständig regulär. (iii) Falls X ein T 4 -Raum ist, heißt X normal. Satz (ohne Beweis). Jeder normale Raum ist vollständig regulär (und somit auch regulär). Satz. Jeder reguläre Raum ist hausdorffsch. Somit sind auch vollständig reguläre Räume und normale Räume hausdorffsch. Beispiel. Sei N mit der folgenden Topologie ausgestattet: Eine Menge ist offen genau dann, wenn sie zu jedem ihrer Elemente auch alle kleineren natürlichen Zahlen enthält. Mit dieser Topologie ist N ein T 0 -Raum aber kein T 1 -Raum. Beispiel. Sei X eine unendliche Menge, die mit der kofiniten Topologie ausgestattet ist. Dann ist X ein T 1 -Raum aber kein T 2 -Raum. Beispiel. Jeder Raum mit der trivialen Topologie (und mindestens zwei Punkten) ist ein T 3 -Raum, erfüllt aber nicht T 0 (und somit auch nicht T 1 und T 2 ). Beispiel. Sei X eine Menge und a, o Punkte in X. Eine nichtleere echte Teilmenge von X sei offen genau dann, wenn sie o enthält aber nicht a. Dann ist X ein T 4 -Raum aber kein T 3 -Raum. Satz. Ein metrischer Raum erfüllt alle Trennungsaxiome. Satz. Jeder kompakte Hausdorff-Raum ist normal. 11

12 Satz. Ist X ein T i -Raum (i = 0, 1, 2, 3, 3a), dann ist auch jeder Unterraum von X ein T i -Raum. Beispiel. Sei X := {a, b, c, o} und sei die Topologie auf X definiert wie oben. Der Unterraum U := X \ {a} ist kein T 4 -Raum. Satz. Jeder abgeschlossene Unterraum eines T 4 -Raumes ist ein T 4 -Raum. Satz. Ein Produktraum i I X i ist genau dann ein T i -Raum (i = 0, 1, 2, 3, 3a), wenn jedes X i ein T i -Raum ist. Beispiel. In R bilden die halboffenen Intervalle [a, b) die Basis einer Topologie. Dieser topologische Raum wird Sorgenfrey-Gerade genannt und ist normal. Das Produkt der Sorgenfrey-Gerade mit sich selbst heißt Sorgenfrey-Ebene und ist nicht normal. Definition (Lokale Kompaktheit). Ein topologischer Raum heißt lokal kompakt, falls jeder Punkt eine Umgebungsbasis aus kompakten Mengen besitzt. Beispiel. Der R n ist lokal kompakt, ebenso jeder Raum mit der diskreten, trivialen oder kofiniten Topologie. Hingegen ist die Menge der rationalen Zahlen in [0, 1] weder kompakt noch lokal kompakt. Definition (Lokaler Zusammenhang). Ein topologischer Raum heißt lokal zusammenhängend, falls jeder Punkt eine Umgebungsbasis aus zusammenhängenden Mengen besitzt. Beispiel. Der Raum X R 2 mit X := {(x, y) R 2 x = 0 oder y = sin(1/x)} ist zusammenhängend aber nicht lokal zusammenhängend. Satz. Lokale Kompaktheit und lokaler Zusammenhang sind topologische Invarianten. Bemerkung. Diese lokalen Eigenschaften bleiben im Allgemeinen nicht unter stetigen Abbildungen erhalten. Definition (Abzählbarkeitseigenschaften). Eine Teilmenge eines topologischen Raumes heißt dicht, wenn ihr Abschluss der gesamte Raum ist. Ein topologischer Raum heißt separabel, wenn er eine abzählbare, dichte Teilmenge enthält. Ein topologischer Raum erfüllt das erste Abzählbarkeitsaxiom (ist first countable), wenn jeder Punkt eine abzählbare Umgebungsbasis hat. Der Raum erfüllt das zweite Abzählbarkeitsaxiom (ist second countable), falls er eine abzählbare Basis hat. Beispiel. Der R n erfüllt alle drei obigen Eigenschaften. Bemerkung. Das zweite Abzählbarkeitsaxiom impliziert das erste und Separabilität. 12

13 Beispiel. Ein überabzählbarer Raum mit der diskreten Topologie ist first countable aber nicht second countable. Beispiel. Die Sorgenfrey-Gerade ist separabel und first countable aber nicht second countable. Satz. Die Abzählbarkeitseigenschaften sind topologische Invarianten. Satz. Ist X separabel und f : X Y stetig und surjektiv, dann ist auch Y separabel. Bemerkung. Die Abzählbarkeitsaxiome bleiben im Allgemeinen nicht unter stetigen Abbildungen erhalten. 1.5 Flächen Definition (Fläche). Ein Hausdorff-Raum Σ heißt Fläche, wenn er lokal homöomorph zum R 2 ist, das heißt, jeder Punkt hat eine Umgebung, die homöomorph zum R 2 ist. Σ heißt Fläche mit Rand, wenn jeder Punkt eine Umgebung hat, die homöomorph zum R 2 oder zur Halbebene {(x, y) R 2 y 0} ist. Die Menge der Punkte der letzteren Art heißt Rand von Σ. Bemerkung. In der Literatur werden anstelle von Fläche mit Rand und Fläche oft die Begriffe Fläche und Fläche ohne Rand verwendet. Bemerkung. Wir werden lediglich abgeschlossene Flächen betrachten: Eine Fläche heißt abgeschlossen, wenn sie kompakt und zusammenhängend ist. Beispiel. Flächen sind: Die Sphäre S 2 := {x R 3 x = 1}. Der Torus, der Quotient von [0, 1] 2 bei der linearen Identifizierung der in Abbildung 1 mit gleichen Buchstaben versehenen Kanten in der vorgegebenen Orientierung. Der Doppeltorus, der Quotient eines regelmäßigen Achtecks bei der Identifizierung der Kanten nach Abbildung 2. Der n-fache Torus, der Quotient eines regelmäßigen 4n-Ecks bei Identifizierung der ersten mit der dritten Kante, der zweiten mit der vierten, der fünften mit der siebten und so weiter. Hierbei sind die Orientierungen zweier identifizierter Kanten (im Vergleich zum Uhrzeigersinn) stets entgegengesetzt. Die projektive Ebene, der Quotient von [0, 1] 2 bei Identifizierung nach Abbildung 3. 13

14 a b b a Abbildung 1: Schema des Torus a d b c a d c b Abbildung 2: Schema des Doppeltorus a b b a Abbildung 3: Schema der projektiven Ebene 14

15 a b b a Abbildung 4: Schema der Kleinschen Flasche Die Kleinsche Flasche, der Quotient von [0, 1] 2 bei Identifizierung nach Abbildung 4. Beispiel. Flächen mit Rand sind: Der Zylinder, der Quotient von [0, 1] 2 nach Abbildung 5. Abbildung 5: Der Zylinder als Quotient Das Möbiusband, der Quotient von [0, 1] 2 nach Abbildung 6. Abbildung 6: Das Möbiusband Definition (Scheibe). Sei X ein topologischer Raum. Eine Scheibe in X ist ein Unterraum D von X, der homöomorph zur Einheitskreisscheibe ist. B 2 := {x R 2 x 1} 15

16 Definition (Henkel, Kreuzhaube). Eine Fläche Σ entsteht aus der Sphäre S 2 durch Annähen von Henkeln, falls es 2n disjunkte Scheiben D 1,..., D 2n auf der Sphäre gibt, so dass Σ homöomorph zum Quotientenraum der disjunkten Vereinigung von S 2 \ ( Di ) und Zylindern Z 1,..., Z n ist, wenn die beiden Randkreise von Z i mit den Rändern von D 2i 1 und D 2i identifiziert werden. Hierbei sind die Orientierungen der beiden Randkreise von Z i gleich gerichtet, die Orientierungen von D 2i 1 und D 2i jedoch entgegengesetzt. Eine Fläche Σ 1 entsteht aus einer Fläche Σ 2 durch Einnähen einer Kreuzhaube, wenn Σ 1 homöomorph zum Quotienten von Σ 2 D ist (mit D eine Scheibe in Σ 2 ), wenn je zwei gegenüberliegende Punkte in D (gegenüberliegend unter dem Homöomorphismus zu B 2 ) identifiziert werden. Beispiel (Ohne Beweis). Der n-fache Torus ensteht aus der Sphäre durch Annähen von n Henkeln, die projektive Ebene durch Einnähen einer Kreuzhaube und die Kleinsche Flasche durch Einnähen zweier Kreuzhauben. Theorem (Klassifikation der Flächen). Jede (abgeschlossene) Fläche ist von einem der folgenden Typen: (i) Die Sphäre, (ii) Die Sphäre mit n angenähten Henkeln, (iii) Die Sphäre mit n eingenähten Kreuzhauben. Diese Flächen sind allesamt voneinander verschieden. Bemerkung (Ohne Beweis). Insbesondere erhält man keine neuen Flächen, wenn man die Sphäre zunächst mit einigen Henkel und dann mit Kreuzhauben versieht. 1.6 Zusammenhang Beweise zu diesem Abschnitt finden sich in [1, Kapitel 3] und in [8, Kapitel 4]. Satz. Sei X ein topologischer Raum. Folgende Aussagen sind äquivalent: (i) X ist zusammenhängend (ii) Nur die leere Menge und X sind sowohl offen als auch abgeschlossen in X. (iii) Für alle nicht-leere Mengen A, B mit A B = X gilt A B oder A B. (iv) Es gibt keine surjektive stetige Funktion von X auf einen Raum mit diskreter Topologie (und mindestens zwei Punkten). Satz. R ist zusammenhängend. Definition (Intervall). Eine Teilmenge I von R heißt Intervall, wenn sie zu jeden zwei Punkten a, b I auch alle Punkte c mit a < c < b enthält. 16

17 Korollar. Eine nicht-leere Teilmenge von R ist genau dann zusammenhängend, wenn sie ein Intervall ist. Bemerkung. Dies beweist, dass jeder wegzusammenhängende Raum zusammenhängend ist (siehe Seite 10). Satz. Sei Z eine dichte Teilmenge eines topologischen Raumes X. Ist Z zusammenhängend, dann ist es auch X. Korollar. Ist Z eine zusammenhängende Teilmenge eines topologischen Raumes, dann ist auch jede Menge Y mit Z Y Z zusammenhängend. Insbesondere ist der Abschluss jeder zusammenhängenden Menge zusammenhängend. Satz. Sei A eine Menge von zusammenhängenden Teilmengen eines topologischen Raumes X und sei A A A = X. Ist für jede zwei Elemente von A der Durchschnitt ihrer Abschlüsse nicht-leer, dann ist auch X zusammenhängend. Satz. Ein Produkt topologischer Räume ist genau dann zusammenhängend, wenn jeder Faktor zusammenhängend ist. Definition (Komponente). Eine maximale zusammenhängende Menge in einem topologischen Raum X heißt (Zusammenhangs-)Komponente von X. Satz (Lemma von Zorn). Sei A eine (nicht-leere) partiell geordnete Menge. Falls jede total geordnete Teilmenge ( Kette) eine obere (untere) Schranke hat, besitzt A ein maximales (minimales) Element. Satz. Sei X ein topologischer Raum. Dann gilt: (i) Je zwei Komponenten von X sind disjunkt. (ii) Jede zusammenhängende Teilmenge von X ist in einer Komponente enthalten. (iii) Jede Komponente von X ist abgeschlossen. Beispiel. Eine zusammenhängender Raum hat nur eine Komponente. In jedem diskreten Raum bestehen alle Komponenten aus einem einzelnen Punkt, ebenso beim Cantorschen Diskontinuum oder bei Q (mit der Unterraumtopologie aus R). Ein topologischer Raum, in dem jede Komponente nur einen Punkt enthält, heißt total unzusammenhängend. Bemerkung. Im Allgemeinen gibt es zu zwei Komponenten C, D keine disjunkten offenen Mengen A C und B D, die X überdecken. Satz. Jede zusammenhängende offene Teilmenge des R n ist wegzusammenhängend. Definition (Wegkomponenten). Eine maximale wegzusammenhängende Menge in einem topologischen Raum X heißt Weg(zusammenhangs)komponente von X. Bemerkung. Wegkomponenten müssen im Gegensatz zu Komponenten nicht abgeschlossen sein. 17

18 Bemerkung. Jede Komponente eines topologischen Raumes ist Vereinigung von Wegkomponenten. Beispiel. Es gibt eine zusammenhängende Teilmenge von R 2, deren Wegkomponenten aus jeweils einem einzelnen Punkt bestehen. Diese kann man rekursiv definieren, indem man in jedem Schritt (von überabzählbar vielen) einen Punkt aus dem Rand einer offenen Menge hinzufügt und einen Punkt aus dem Bild eines Weges ausschließt. 1.7 Kompaktheit Beweise zu diesem Abschnitt (abgesehen von den Kompaktheits-Varianten) finden sich in [1, Kapitel 3] sowie in [8, Kapitel 8]. In letzterer Quelle werden auch einige der Kompaktheits-Varianten behandelt. Satz. Sei X ein topologischer Raum und B eine Basis seiner Topologie. X ist genau dann kompakt, wenn jede offene Überdeckung durch Mengen aus B eine endliche Teilüberdeckung hat. Satz (Beweis später). Sei X ein topologischer Raum und S eine Subbasis seiner Topologie. X ist genau dann kompakt, wenn jede offene Überdeckung durch Mengen aus S eine endliche Teilüberdeckung hat. Satz. Jedes Intervall [a, b] R ist kompakt. Satz (Tychonoff, Beweis später). Ein Produkt i I X i ist genau dann kompakt, wenn alle Faktoren kompakt sind. Satz. Eine Teilmenge von R n ist genau dann kompakt, wenn sie beschränkt und abgeschlossen ist. Korollar. Jede kompakte Teilmenge eines Hausdorff-Raumes ist abgeschlossen. Korollar. Das Bild eines Weges in einem Hausdorff-Raum ist abgeschlossen. Satz. Sei f : X Y eine bijektive stetige Abbildung. Ist X kompakt und Y hausdorffsch, dann ist f ein Homöomorphismus. Korollar. Jede injektive stetige Abbildung f von einem kompakten Raum X in einen Hausdorff-Raum Y ist eine Einbettung (ein Homöomorphismus zwischen X und f(x)). Satz. Eine stetige Funktion von einem kompakten Raum nach R ist beschränkt und nimmt ihr Maximum und Minimum an. Satz. Jede Folge (x n ) n N von Punkten in einem kompakten Raum X besitzt einen Häufungspunkt, einen Punkt, für den jede Umgebung unendlich viele x n enthält. Satz. Sei X ein kompakter metrischer Raum und sei A eine offene Überdeckung von X. Dann gibt es ein δ > 0, so dass jede Menge vom Durchmesser höchstens δ in einer Menge aus A enthalten ist. 18

19 Bemerkung. Eine solche Zahl δ heißt Lebesgue-Zahl der Überdeckung A. Definition (Varianten von Kompaktheit). Sei X ein topologischer Raum. (i) X heißt pseudokompakt, wenn jede stetige Funktion von X nach R beschränkt ist. (ii) X heißt abzählbar kompakt, wenn jede abzählbare offene Überdeckung von X eine endliche Teilüberdeckung besitzt. (iii) X heißt schwach abzählbar kompakt, wenn jede unendliche Teilmenge von X einen Häufungspunkt hat. (iv) X heißt folgenkompakt, wenn jede Folge in X eine konvergente Teilfolge besitzt. Satz. Stetige Bilder von pseudokompakten, abzählbar kompakten, schwach abzählbar kompakten oder folgenkompakten Räumen sind ebenfalls pseudokompakt, abzählbar kompakt, schwach abzählbar kompakt beziehungsweise folgenkompakt. Bemerkung. Jeder kompakte Raum ist auch pseudokompakt, abzählbar kompakt und schwach abzählbar kompakt. Jeder abzählbar kompakte Raum ist auch pseudokompakt und schwach abzählbar kompakt. Beispiel. Sei {0, 1} mit der diskreten Topologie ausgestattet und {0, 1} P(N) mit der Produkttopologie. Dieser Raum ist kompakt (nach Tychonoff) aber nicht folgenkompakt. Satz (Ohne Beweis). Für metrische Räume sind alle Kompaktheits-Begriffe äquivalent. 1.8 Topologische Dimension Mehr über topologische Dimensionen findet sich in [2] sowie (in knapperer Form) in [3]. Definition (Kleine induktive Dimension). Sei X ein regulärer Raum. Wir definieren die kleine induktive Dimension ind(x) von X wie folgt. (i) Der leere Raum hat Dimension 1. (ii) Für jedes n 0 gilt ind(x) n, falls jeder Punkt eine Umgebungsbasis aus offenen Mengen hat, für die der Rand jeder Basisumgebung Dimension höchstens n 1 hat. (iii) X hat Dimension n, falls ind(x) n aber ind(x) n 1. (iv) Falls ind(x) n für alle n, so hat X unendliche Dimension. Beispiel. ind(r n ) = n. Für das Cantorsche Diskontinuum C gilt ind(c) = 0. Für das Sierpiński-Dreieck S gilt ind(s) = 1. 19

20 [0, 1] I mit I unendlich hat unendliche Dimension. Bemerkung. Die kleine induktive Dimension ist eine topologische Invariante, bleibt aber nicht unter stetigen Abbildungen erhalten: Das stetige Bild eines n-dimensionalen Raumes (n 1) kann beliebige Dimension ( 1) haben. Satz. Ist Y ein Unterraum eines regulären Raumes X, dann gilt ind(y ) ind(x). Definition (Große induktive Dimension). Sei X ein normaler Raum. Wir definieren die große induktive Dimension Ind(X) von X wie folgt. (i) Der leere Raum hat Dimension 1. (ii) Für jedes n 0 gilt Ind(X) n, falls es zu jeder abgeschlossenen Menge A und jeder offenen Umgebung U von A eine offene Umgebung V U von A existiert, deren Rand Dimension höchstens n 1 hat. (iii) X hat Dimension n, falls Ind(X) n aber Ind(X) n 1. (iv) Falls Ind(X) n für alle n, so hat X unendliche Dimension. Beispiel. Der R n hat große induktive Dimension n. Jeder diskrete Raum hat große induktive Dimension 0. Satz. Ist Y ein abgeschlossener Unterraum eines normalen Raumes X, dann gilt Ind(Y ) Ind(X). Satz. Für jeden normalen Raum X gilt ind(x) Ind(X). Definition (Lebesguesche Überdeckungs-Dimension). Sei X ein normaler Raum. Wir definieren die Lebesguesche Überdeckungs-Dimension (auch topologische Dimension) dim(x) von X wie folgt. (i) Für jedes n 1 gilt dim(x) n, falls jede endliche offene Überdeckung U von X eine endliche offene Verfeinerung U hat (das heißt, jede Menge aus U ist in einer Menge aus U enthalten), so dass jeder Punkt in höchstens n + 1 Mengen aus U liegt. (ii) X hat Dimension n, falls dim(x) n aber dim(x) n 1. (iii) Falls dim(x) n für alle n, so hat X unendliche Dimension. Bemerkung. Bei der Definition von topologischer Dimension wird in der Literatur gelegentlich auf die Forderung nach endlichen Überdeckungen verzichtet. In diesem Fall muss entweder jede endliche Überdeckung eine geeignete (nicht unbedingt endliche) Verfeinerung haben oder jede (nicht unbedingt endliche) Überdeckung eine geeignete Verfeinerung. Beispiel. Der R n hat topologische Dimension n. Das Cantorsche Diskontinuum hat topologische Dimension 0. 20

21 Satz (Ohne Beweis). Ein normaler Raum hat genau dann topologische Dimension 0, wenn er total unzusammenhängend ist. Satz. Ist Y ein abgeschlossener Unterraum eines normalen Raumes X, dann gilt dim(y ) dim(x). Satz (Ohne Beweis). Ist X separabel und metrisierbar, dann gilt ind(x) = Ind(X) = dim(x) Satz (Urysohn, ohne Beweis). Sei X normal und second countable. Dann ist X separabel und metrisierbar. Korollar. Ist X normal und second countable, dann gilt ind(x) = Ind(X) = dim(x) Satz (Ohne Beweis). Für jede Teilmenge von R n stimmen die drei Dimensionsbegriffe überein. X R n hat genau dann Dimension n, wenn es eine offene Teilmenge von R n enthält. Satz (Ohne Beweis). Sei X separabel und metrisierbar. Dann existiert eine Einbettung von X in den R 2 dim(x)+1. Satz (Ohne Beweis). Seien X und Y normale Räume. Es gilt dim(x Y ) dim(x) + dim(y ), sofern (i) beide Räume metrisierbar sind oder (ii) mindestens einer der beiden Räume kompakt ist. Bemerkung. Es gibt Räume, für welche die obige Ungleichung strikt ist. 2 Klassifikation der Flächen Theorem (Klassifikation der Flächen). Jede (abgeschlossene) Fläche ist von einem der folgenden Typen: (i) Die Sphäre, (ii) Die Sphäre mit n angenähten Henkeln, (iii) Die Sphäre mit n eingenähten Kreuzhauben. Diese Flächen sind allesamt voneinander verschieden. Bemerkung (Ohne Beweis). Bei der Konstruktion ist es egal, wie die Scheiben auf der Sphäre gewählt werden. 21

22 2.1 Verkleben von Räumen Beweise zu diesem Abschnitt finden sich (mit etwas anderer Notation) in [1, Abschnitt 4.2]. Alternativ siehe [6, Abschnitt 3.7]. Definition (Verkleben, Klebeabbildung). Seien X, Y topologische Räume, A ein Unterraum von X und f : A Y eine stetige Abbildung. Dann bezeichnet X f Y den Quotientenraum der disjunkten Vereinigung von X und Y, der durch Identifikation jedes Punktes in f(a) mit allen seinen Urbildern entsteht. Hierbei heißt f Klebeabbildung. Beispiel. Über Klebeabbildungen lassen sich definieren: Simpliziale Komplexe Das Annähen eines Henkels Das Verkleben eines Polygons zu einer Fläche wie in den Abbildungen 1 6 Satz. Seien X, Y, A und f gegeben. Sei ferner π : X Y X f Y die Quotientenabbildung. Dann stimmt die Unterraumtopologie von π(y ) in X f Y mit der Topologie von Y überein, die Abbildung π Y ist also eine Einbettung. Bemerkung. Informell können wir Y als Teilmenge von X f Y auffassen. Nach dem obigen Satz behält Y dabei seine Topologie. Bemerkung. Umgekehrt können wir X nur dann als Teilmenge von X f Y auffassen, wenn f bijektiv ist. Die Topologie auf X bleibt dabei im Allgemeinen jedoch nicht erhalten. Definition (Induzierte Abbildung). Seien X, Y, A und f gegeben. Wir nennen zwei Punkte aus A äquivalent, wenn sie das gleiche Bild unter f haben. Dies ist eine Äquivalenzrelation auf A und auch auf X (jeder Punkt aus X \ A ist nur zu sich selbst äquivalent). Die Abbildung f : A/ X f Y definiert durch f ([a]) := f(a) ist die von f induzierte Abbildung. Bemerkung. Genau dann bleibt die Topologie von X/ in X f Y erhalten, wenn f eine Einbettung ist. Definition (Identifikationsabbildung). Eine Klebeabbildung heißt Identifikationsabbildung, falls die induzierte Abbildung eine Einbettung ist. Satz. Eine Klebeabbildung f : A Y ist genau dann eine Identifikationsabbildung, wenn die induzierte Abbildung f offen ist. Dies ist insbesondere der Fall, wenn (i) f offen ist oder (ii) A kompakt und Y hausdorffsch ist. Beispiel. Identifiziert man zwei Scheiben entlang eines Abschnittes ihrer Ränder, ist das Ergebnis wiederum homöomorph zu einer Scheibe. 22

23 Bezeichnet B n die n-dimensionale Einheitskugel und S n 1 ihren Rand, die (n 1)- dimensionale Einheitssphäre, dann ist B n /S n 1 homöomorph zu S n. S 1 S 1 ist homöomorph zum Torus. Satz (Klebelemma). Sei X ein topologischer Raum und seien A, B Teilmengen von X, deren Vereinigung X ist und die beide offen oder beide abgeschlossen sind. Stimmen zwei stetige Abbildungen f A : A Y und f B : B Y auf A B überein, so ist auch die kombinierte Abbildung f = f A f B stetig. Beispiel. Ein Torus entsteht aus der Sphäre durch Einnähen eines Henkels. 2.2 Schemata Die Beweise zu diesem Abschnitt finden sich größtenteils in [7]. Die dortige Form der Klassifikation entspricht jedoch nicht der unseren. Satz (Rado, nur Beweisidee). Jede (abgeschlossene) Fläche ist triangulierbar, das heißt, homöomorph zu einem endlichen 2-Komplex. Ein solcher 2-Komplex heißt Triangulierung. Bemerkung. In einem solchen 2-Komplex liegt jedes 1-Simplex in genau zwei 2-Simplizes und für jedes 0-Simplex lassen sich die es enthaltenden 2-Simplizes derart zyklisch anordnen, dass zwei dieser 2-Simplizes genau dann eine Seitenfläche gemeinsam haben, wenn sie in der Anordnung aufeinander folgen. Definition (Polygon). Ein Polygon P ist eine Scheibe in R 2, für welche es Punkte v 0,..., v n gibt (die Ecken des Polygons), so dass der Rand von P die Vereinigung der Strecken v 0 v 1,..., v n 1 v n, v n v 0 ist und diese Strecken bis auf ihre Endpunkte disjunkt sind. Definition (Schema). Ein Schema ist ein Polygon zusammen mit einer Menge von disjunkten Paaren seiner Kanten und einer Orientierung aller Kanten. Ein Schema heißt vollständig, wenn jede Kante in einem Paar enthalten ist. Definition (Symbol eines Schemas). Jedes vollständige Schema definiert ein Symbol: Wir beginnen an einer beliebigen Ecke und zählen für alle Kanten (üblicherweise im Uhrzeigersinn) auf, in welchem Paar sie enthalten sind und ob sie vorwärts oder rückwärts (relativ zur Umlaufrichtung) orientiert sind. Liegt also die n-te Kante des Polygons im Paar a und ist in Umlaufrichtung gerichtet, so ist a das n-te Zeichen des Symbols. Ist die Kante gegen die Umlaufrichtung gerichtet, ist es a 1. Bemerkung. Aufgrund der Wahl der Anfangsecke im Polygon ist das Symbol eines Schemas lediglich eindeutig bis auf zyklische Permutation und Invertierung der Reihenfolge. 23

24 Bemerkung. Die Zeichen in dem Symbol nennen wir auch Buchstaben. Buchstaben der Form a, a 1 nennen wir invers zueinander. Im Symbol eines vollständigen Schemas kommt also für jedes Paar dieser Buchstabe entweder genau zweimal vor oder sowohl er als auch sein Inverses kommen genau einmal vor. Definition (Quotient eines Schemas). Der Quotient eines Schemas ist der Quotientenraum des Polygons bei Identifikation der Kanten, die ein Paar bilden, gemäß ihrer Orientierung. Satz. Jede (abgeschlossene) Fläche Σ ist Quotient eines vollständigen Schemas. Bemerkung. Wenn wir in einem Schema die Orientierungen der beiden Kanten in einem Paar umkehren, erhalten wir offenbar essentiell das gleiche Schema (jedoch nicht formal). Definition (Äquivalente Schemata). Zwei Schemata heißen äquivalent, falls ihre Quotienten homöomorph sind. Satz. Haben zwei Schemata das gleiche Symbol, so sind sie äquivalent. Satz. Zu jedem vollständigen Schema (mit mindestens 6 Ecken) gibt es ein äquivalentes Schema, für welches je zwei Ecken des Polygons im Quotienten identifiziert sind. Bemerkung. Ob zwei Ecken u, v identifiziert werden, erkennen wir wie folgt: Sie werden genau dann identifiziert, wenn es Ecken w 0 = u, w 1,..., w n = v gibt, so dass für jedes i = 1,..., n die Ecken w i 1 und w i die Endecken oder die Anfangsecken der beiden Kanten eines Paares des Schemas sind. Bemerkung. Diese Eigenschaft des Schemas wird bei allen folgenden Operationen erhalten bleiben. Satz. Sei ein Schema gegeben und sei sein Symbol von der Form xxp Q, wobei x ein Buchstabe und P und Q Sequenzen von Buchstaben sind. Dann ist das Schema äquivalent zum Schema mit dem Symbol yp 1 yq, wobei P 1 die inverse Sequenz zu P bezeichnet (mit den jeweils inversen Buchstaben in umgekehrter Reihenfolge). Bemerkung. Beim Übergang zum äquivalenten Schema müssen wir den Buchstaben x in y ändern, da es sich formal nicht um das gleiche Paar handelt. Korollar. Jedes Schema ist äquivalent zu einem Schema, in dessen Symbol jeder Buchstabe nur dann zweimal vorkommt, wenn dies an benachbarten Positionen geschieht. Satz. Sei ein Schema gegeben und sei sein Symbol von der Form xp Qx 1 R, wobei x ein Buchstabe und P, Q, R Sequenzen sind. Dann ist das Schema äquivalent zum Schema mit dem Symbol yqp y 1 R. Definition (Kreuzende Buchstabenpaare). Seien x, y Buchstaben eines Symbols eines Schemas, so dass auch x 1 und y 1 Buchstaben dieses Symbols sind. Die beiden Buchstabenpaare (x, x 1 ) und (y, y 1 ) heißen kreuzend, falls das Symbol (bis auf zyklische Permutation) von der Form xp yqx 1 Ry 1 S ist. 24

25 Korollar. Jedes Schema ist äquivalent zu einem Schema, in dessen Symbol alle kreuzenden Buchstabenpaare aufeinanderfolgende Positionen einnehmen. Satz. Jedes vollständige Schema (mit mindestens 6 Ecken) ist äquivalent zu einem Schema, dessen Symbol folgende Eigenschaften hat: (i) Falls ein Buchstabe zweimal auftritt, geschieht dies an aufeinander folgenden Positionen. (ii) Falls ein Buchstabe zweimal auftritt, gilt dies für alle Buchstaben. (iii) Die Buchstaben von zwei sich kreuzenden Paaren nehmen aufeinander folgende Positionen ein. (iv) Falls ein Buchstabe und sein Inverses auftreten, kreuzt sich dieses Buchstabenpaar mit (genau) einem anderen Paar. Satz. Jede (abgeschlossene) Fläche ist homöomorph zu einer der Flächen aus der Klassifikation. Definition (Orientierbarkeit). Eine Orientierung eines 2-Simplexes ist eine zyklische Nummerierung seiner Ecken. Eine Orientierung eines 2-Simplexes induziert eine Orientierung auf jeder Kante (Seitenfläche): Sind a, b, c die Ecken des Simplexes (in dieser Reihenfolge nummeriert), dann sind die Kanten entsprechend orientiert, nämlich (a, b), (b, c) und (c, a). Eine Fläche heißt orientierbar, wenn man für jedes 2-Simplex einer Triangulierung eine Orientierung wählen kann, so dass für jede Kante die induzierten Orientierungen der beiden sie enthaltenden 2-Simplizes entgegengesetzt sind. Bemerkung (Ohne Beweis). Orientierbarkeit ist unabhängig von der Wahl der Triangulierung. Satz. Die Sphäre ist orientierbar. Bemerkung. Die zweite Hälfte der Klassifikation dass die aufgezählten Flächen nicht homöomorph sind folgt bei der Betrachtung von Fundamentalgruppen. Eine andere Alternative, diese Flächen zu unterscheiden, ist anhand von Orientierbarkeit und Euler- Charakteristik, welche als n 0 n 1 + n 2 definiert ist, wobei n k die Anzahl der k-simplizes in einer Triangulierung bezeichnet. 3 Kompakte Räume 3.1 Der Satz von Tychonoff Die Beweise können in [6, Kapitel 10] nachgelesen werden. Satz (Tychonoff). Ein Produkt i I X i ist genau dann kompakt, wenn alle Faktoren kompakt sind. 25

26 Definition (Filter). Sei X eine Menge. Ein Filter auf X ist eine Menge F von Teilmengen von X mit den folgenden Eigenschaften. (i) Für F, F F ist auch F F F. (ii) Ist F F und F F, dann ist auch F F. (iii) / F. Bemerkung. Aus den obigen Bedingungen folgt direkt, dass je zwei Elemente eines Filters nicht disjunkt sind. Beispiel. Ist X ein topologischer Raum und x X, dann bilden die Umgebungen von x einen Filter. Dieser heißt Umgebungsfilter von x. Ist X unendlich, so bilden die kofiniten Teilmengen von X einen Filter. Für jede (nicht-leere) Menge X und jeden Punkt x X bilden die Mengen, welche x enthalten, einen Filter. Definition (Konvergenz eines Filters). Sei X ein topologischer Raum und F ein Filter auf X. Wir sagen, dass F gegen einen Punkt x X konvergiert, falls F den Umgebungsfilter von x enthält. Bemerkung. Ist (x i ) i N eine Folge in einem topologischen Raum X, dann ist F := { F {x i i N} n N: x i F i n } ein Filter auf X, der genau dann konvergiert, wenn (x i ) konvergiert. Bemerkung. In einem Hausdorffraum konvergiert ein Filter gegen maximal einen Punkt. Definition. Ein maximaler Filter auf einer Menge X heißt Ultrafilter. Satz. Jeder Filter auf einer Menge X ist in einem Ultrafilter enthalten. Satz. Ist U ein Ultrafilter auf X und A eine Teilmenge von X, dann liegt entweder A oder X \ A in U. Satz. Ein topologischer Raum X ist genau dann kompakt, wenn jeder Ultrafilter auf X konvergiert. Satz. Sei X ein topologischer Raum und S eine Subbasis seiner Topologie. X ist genau dann kompakt, wenn jede offene Überdeckung durch Mengen aus S eine endliche Teilüberdeckung hat. 26

27 3.2 Kompaktifizierungen Zur Einpunkt-Kompaktifizierung siehe etwa [8, Abschnitt 8.B], zur Freudenthal-Kompaktifizierung siehe [4] und zur Stone-Čech-Kompaktifizierung siehe [8, Abschnitt 12.B]. Satz. Jeder topologische Raum ist Unterraum eines kompakten Raumes. Definition (Kompaktifizierung). Sei X ein Hausdorffraum. Eine Kompaktifizierung von X ist ein kompakter Hausdorffraum X, der X (beziehungsweise einen zu X homöomorphen Raum) als dichte Teilmenge enthält Einpunkt-Kompaktifizierung Definition (Einpunkt-Kompaktifizierung). Sei X ein lokal kompakter Hausdorffraum, der nicht kompakt ist. Sei X := X { } der topologische Raum, in welchem eine Menge genau dann offen ist, wenn sie (i) eine Teilmenge von X und dort offen oder (ii) das Komplement in X einer kompakten Menge in X ist. Dann heißt X Einpunkt-Kompaktifizierung (auch Alexandroff-Kompaktifizierung) von X. Satz. Ist X ein lokal kompakter Hausdorffraum und nicht kompakt, so ist die Einpunkt- Kompaktifizierung von X eine Kompaktifizierung von X. Beispiel. Die Einpunkt-Kompaktifizierung von R n ist S n. Die Einpunkt-Kompaktifizierung von (0, 1] ist [0, 1]. Die Einpunkt-Kompaktifizierung von N ist homöomorph zu {0, 1, 1 2, 1 3,... } (mit der Unterraumtopologie aus R) Freudenthal-Kompaktifizierung Definition (Enden). Sei X ein Hausdorffraum. Wir betrachten Folgen U 1 U 2 nicht-leerer, offener, zusammenhängender Mengen in X, deren Ränder kompakt sind und die i N U i = erfüllen. Zwei solche Folgen nennen wir äquivalent, wenn jedes Folgenglied der beiden Folgen alle bis auf endlich viele Folgenglieder der jeweils anderen Folge enthält. Die Äquivalenzklassen dieser Relation heißen Enden von X. Beispiel. R besitzt zwei Enden. R n (mit n > 1) besitzt nur ein Ende. Der binäre Baum (der simpliziale 1-Komplex mit 0-Simplizes v 1, v 2,... und 1- Simplizes [v n, v 2n ] und [v n, v 2n+1 ] für alle n 1) hat R Enden. 27