Gliederung. Tiefensuche. Kurz notiert. Zur Motivation: Breitensuche. Seminar Systementwurf Ralf Cremerius

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1 Seminar Systementwurf Ralf Cremerius Gliederung Teil ): als effizientes Suchverfahren auf Graphen Teil ): zur Bestimmung der Starken Zusammenhangskomponenten in Graphen Kurz notiert Zur Motivation: Abgearbeiteter Knoten Expandierte(r) Knoten => bilden Randbereich Unbearbeiteter Knoten Tiefe Verzeigungsfaktor v =

2 Vollständig: Für endlichen Verzweigungsgrad Optimal: +b+b²+b³+ +(b d+ -b) expandierte Knoten Zeitkomplexität: O(v d+ ) Speicherkomplexität: O(v d+ ) Speicheranforderungen der sehr problematisch verhindert Explosion des Speicherbedarfs konzeptionell

3 Vollständig: Nicht in unendlichen Graphen Optimal: Zeitkomplexität: O(v dmax ) Expandierte Knoten löschbar: Speicherkomplexität: O(vd max ) Aber wenn d max? problematisch auf unendlichen Graphen Einführung der Tiefenbeschränkung: + Knoten unterhalb Tiefe werden nicht expandiert

4 Knoten unterhalb von d= werden ignoriert Knoten unterhalb von d= werden ignoriert Knoten unterhalb von d= werden ignoriert Knoten unterhalb von d= werden ignoriert Vollständig: Knoten unterhalb von d= werden ignoriert Optimal: Zeitkomplexität: O(v dmax ) Speicherkomplexität: O(vd max ) Wie geeignetes d max bestimmen?

5 Iterativ vertiefte Werden Lösungen mit tiefenbeschränkter wirklich gefunden? Idee: Knotenzahl/Tiefenebene wächst exponentiell Kosten von iterativer Vertiefung haltbar Iterativ vertiefte Durchlauf : d=0 Knoten unterhalb von d=0 werden ignoriert Iterativ vertiefte Iterativ vertiefte Durchlauf : d=0 Knoten unterhalb von d=0 werden ignoriert Durchlauf : d= Knoten unterhalb von d= werden ignoriert Iterativ vertiefte Iterativ vertiefte Durchlauf : d= Knoten unterhalb von d= werden ignoriert Durchlauf : d= Knoten unterhalb von d= werden ignoriert

6 Iterativ vertiefte Iterativ vertiefte Durchlauf : d= Knoten unterhalb von d= werden ignoriert Durchlauf : d= Knoten unterhalb von d= werden ignoriert Iterativ vertiefte Vergleich der Verfahren Vollständig: Für endlichen Verzweigungsgrad Zeit Speicher Vollständig Optimal Optimal: O(v d+ ) O(v d ) O(v d+ ) O(vd max ) Zeitkomplexität: O(v dmax ) Speicherkomplexität: O(vd max ) Komplexitäten unverändert Lösungen werden gefunden Tiefenbeschränkte Iterativ vertiefte O(v d ) O(v d ) O(vd max ) O(vd max ) Teil Problemstellung der Starken Zusammenhangskomponenten in Graphen Problemlösung durch ein tiefensuchenbasiertes Verfahren Starke Zusammenhangskomponenten Ausgangssituation: Gerichteter Graph G=(V,E) Problem: Maximale Menge V' V finden, so daß uv, V': uv, E* vu, E* ( ) ( ) 6

7 Algorithmus von Warshall - Konzept Algorithmus von Warshall - Verfahren Transitive Hülle bilden: => Konstruktion von Erreichbarkeitsmatrix: E(i,j) = / erreichbar bzw. 0 / nicht err. Algorithmus von Warshall - Algorithmus Informeller Algorithmus: <Anzahl Knoten> Durchläufe für jeden Knoten für jeden Partnerknoten wenn Partnerknoten erreichbar, dann trage seine erreichbaren Knoten ein Komplexität in O(n³), es existieren jedoch leistungsfähigere Optimierungen Idee des Tarjan-Algorithmus in Graph durchführen Starke Zusammenhangskomponenten sind Teilbäume des Tiefensuchbaums! Besuchte Knoten werden auf Stack abgelegt Mitführen von Tiefensuchindex und Zeiger Entscheidung, ob ein Knoten Wurzel einer Zusammenhangskomponente ist Wenn Wurzel => Ausgabe der SZhK. Vorbereitung Stack von Knoten initialisieren Zählvariable i initialisieren Führen zweier Arrays für die Knoten: Index -> Tiefensuchindex jeweils = - für unbesuchte Knoten Zeiger -> Verweis auf höherliegende Knoten im Tiefensuchbaum Vorbereitung Initialisiere() { Stack = {} i = 0 für alle Knoten Index[Knoten] = - } 7

8 Hauptschleife Initialisierung aufrufen Initialisiere(); Alle unbesuchten Knoten abarbeiten für alle Knoten wenn ( Index[Knoten] == - ) Tarjan(Knoten) Rekursive Prozedur für Knoten Tarjan( Knoten ) { Zeiger[Knoten] = Index[Knoten] = i = i+ Stack = Stack + { Knoten } für jeden Nachfolger j von Knoten : if ( Index[Knoten] == - ) { Tarjan( j ) Zeiger[Knoten] = min(zeiger[knoten],zeiger[j]) } else if (Stack.enthalten(j) UND Index[Knoten] > Index[j]) Zeiger[Knoten] = min(zeiger[knoten],zeiger[j]) if ( Index[Knoten] == Zeiger[Knoten] ) new SZhK; solange ( Stack.enthalten(Knoten) == wahr ) SZhK = SZhK + { Stack.pop() }; } Fazit Besondere Eigenschaft: Komplexität in O( V + E ) Effizientestes Verfahren zur Bestimmung von SZK Heute ein Standard, damals Sensation Tarjan später zusammen mit Hopcroft mit dem Turing-Preis ausgezeichnet Quellen Russell/Norvig Künstliche Intelligenz, ein moderner Ansatz (. Auflage) Karsten Schmidt - Vorlesungsskript "Computergestütze Verifikation Ekkart Kindler, Universität Paderborn - Vorlesungsskript Model Checking Martin Reyher Ausarbeitung Proseminar Algorithmen auf Graphen : Finden von (starken) Zusammenhangskomponenten und Erkennen von Brücken Quellen Teil Dokument TI-Vorbereitung von Oliver Schwarz Seminarvortrag über Robert Tarjan von Matthias Bender an Universität des Saarlandes: Tarjan.pdf Bachelorarbeit Algorithmen für endliche Automaten mit Ausgabe von Michael Thomas an der Universität Hannover: Vorlesung Praktische Informatik: Datenstrukturen von Martin Rammerstorfer an der Johannes Kepler Universität Linz: Volker Turau - Algorithmische Graphentheorie, Addison- Wesley, 996, S