Laufzeit & Komplexität

Transkript

1 Laufzeit & Komplexität Ziel Sensibilität erhöhen für "kurze" Algorithmen Verstehen der O-Notation

2 Laufzeit Es gibt viele Algorithmen um ein Problem zu lösen, welches ist der Beste? Zeiteffizienz Speichereffizienz Wie leicht ist der Alg. zu verstehen Wie leicht ist der Alg. zu programmieren

3 Ausführungszeit Hängt ab von Programmierung Prozessorgeschwindigkeit Programmiersprache (Interpretieren versus Compilieren) Systemauslastung (bei nicht-echtzeitfähigkeit) Eine "stabile" Laufzeitbeschreibung ohne obere Einflüsse wird benötigt

4 Schrittanzahl T(n) Schrittanzahl T(n) zählt die Anzahl der benötigten Programmschritte in Abhängigkeit von der Anzahl der n gegebenen Elemente Die gegebenen n Elemente werden in einer Liste / Array über die Eingabevariable zur Verarbeitung bereitgestellt Durch Angabe in Abhängigkeit von n können die Aussagen der Schrittanzahl verallgemeinert werden, da meist nicht bekannt ist, wie viele Elemente genau verarbeitet werden müssen

5 Beispiele lineare Schrittanzahl Bsp: sequentielle Suche T(n)=2n+2 public static void seqsearch(object[] aarray,object atosearchfor) boolean found=false; for (Object o:aarray) if (o==atosearchfor) found=true; 1 Schritt 1 Schritt n mal 1 Schritt n mal 1 Schritt T(n)=2*n +2

6 Beispiel konstante Schrittanzahl Bsp: Ausgabe der ersten 10 Elemente T(n)=20 public static void output10elements(int[] aarray) for (int i=0;i<10;i++) System.out.println(aArray[i]); 1 Schritt 10 mal 1 Schritt 10 mal T(n)=20

7 Beispiel quadratische Schrittanzahl Bsp: kartesisches Produkt T(n)=2n² + n public static void cartesianproduct(int[] aarray) for (int i1:aarray) 1 Schritt n mal ausgeführt for (int i2:aarray) 1 Schritt n*n mal ausgeführt int product=i1*i2; 1 Schritt n*n mal ausgeführt T(n)= 2n² + n

8 Aufwände Bei Schrittanzahl T(n)=3 n und 60 Elementen wird mehr Zeit benötigt, als das Universum alt ist

9 Visuelle Darstellung von T(n) T(n) n

10 O-Notation Die Ordnung ist die Eingruppierung eines Algorithmus in eine Komplexitätsklasse und basiert auf der Funktion T(n) Wird ermittelt über Streichung von Absolutwerten & Koeffizienten in T(n) Terme mit niedrigem Exponenten (sofern noch ein n-term mit höherem Expontenten vorkommt)

11 Beispiel 1 public static boolean isproducteven(int a, int b) int product=a*b; boolean iseven=false; if (product%2==0) iseven=true; return iseven; T(n)=4 O(1)

12 Ausführungszeit T als Funktion der Menge von Inputs n sequentielle Suche T(n)=2n+2 O(n) public static void seqsearch(object[] aarray,object atosearchfor) boolean found=false; for (Object o:aarray) if (o==atosearchfor) found=true;

13 Beispiel 2 kartesisches Produkt T(n)=2n² + n O(n²) public static void cartesianproduct(int[] aarray) for (int i1:aarray) 1 Schritt n mal ausgeführt for (int i2:aarray) 1 Schritt n*n mal ausgeführt int product=i1*i2; 1 Schritt n*n mal ausgeführt T(n)= 2n² + n

14 Ordnungsklasse O-Notation Ziel: Algorithmen finden mit möglichst kleiner Ordnungsklasse Alles >O(nk ) ist nicht polynomial und sollte nicht verwendet werden, z.b. O(2 n )