Einführung in die Algebra

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1 Einführung in die Algebra Vorlesung im Wintersemester Technische Universität Berlin gehalten von Prof. Dr. M. Pohst

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3 Contents Chapter 4. Galoistheorie Satz Hilfssatz Satz Definition Satz Satz Korollar Satz Definition Satz Definition Satz Hilfssatz Definition Satz Satz Satz Korollar Satz Korollar Satz Definition Satz Definition Hilfssatz Hilfssatz Satz 19 Appendix. Bibliography 23 i

4 CHAPTER 4 Galoistheorie 4.1. Satz Es seien L, L zwei Körper und σ i : L L (1 i n) verschiedene Isomorphismen. Dann sind σ 1,...,σ n im folgenden Sinn linear unabhängig: n α i σ i (β) = 0 für feste α 1,...,α n L und alle β L impliziert i=1 α i = 0 (1 i n). Mittels Induktion über n! n = 1 : trivial (speziell ist σ 1 (1) = 1!). n n 1 n : Es sei α i σ i (β) = 0 β L vorgegeben. i=1 Es sind σ 1 und σ n verschieden, also existiert γ L\{0, 1} mit σ 1 (γ) σ n (γ). n Hierfür gilt: σ n (γ 1 ) α i σ i (γβ) = 0 β L, i=1 n und wir subtrahieren hiervon α i σ i (β) = 0 β L. i=1 n 1 Dies liefert α i (σ n (γ 1 )σ i (γ) 1)σ i (β) = 0 β L. i=1 Nach Induktionsannahme gilt dann α i (σ n (γ 1 )σ i (γ) 1) = 0 (1 i n 1), also α 1 = 0. Wiederum nach Induktionsannahme folgt dann auch α 2 =... = α n = Hilfssatz Es seien L, L zwei Körper und σ i : L L (1 i n) verschiedene Isomorphismen. Dann ist K : = {α L σ 1 (α) =... = σ n (α)} ein Unterkörper von L mit [L : K] n. K Teilkörper ist klar, es bleibt die Gradaussage zu zeigen. Indirekt! 1

5 2 4. GALOISTHEORIE Wir nehmen [L : K] = r < n an. Dann existiert eine K -Basis ω 1,...,ω r von L/K. n Danach hat das lineare Gleichungssystem σ j (ω i )X j = 0 (1 j=1 i r) eine nicht triviale Lösung X 1,...,X n in L. r Für beliebiges α L, α = α i ω i (α i K, 1 i r), i=1 n liefert dies σ j (α i ω i )X j = 0 (1 i r) j=1 (mittels Multiplikation der i -ten Gleichung mit σ 1 (α i ) = σ 2 (α i ) =... = σ n (α i )). n Addition aller Gleichungen ergibt σ j (α)x j = 0 α L, Widerspruch! j=1 Anwendung: Es sei L eine endliche K-Erweiterung, G(L/K) bezeichne die Gruppe aller K -Automorphismen von L. Ferner sei H eine Untergruppe von G(L/K) und F(H) : = {α L σ(α) = α σ H}. Dann ist F(H) ein Teilkörper von L, der K enthält, und es gilt [L : F(H)] (H : 1). F(H) heißt Fixkörper bzgl. H (Bezeichnung: F ix (H)). Beispiel: Es sei L = K(t). L besitzt u.a. folgende 6 Automorphismen σ i, welche durch σ 1 (t) = t, σ 2 (t) = 1 t, σ 3 (t) = 1 t, σ 4(t) = 1 1 t, σ 5(t) = 1 1 t, σ 6(t) = t festgelegt sind. (Beachte: t 1 σ 5 = σ 2 4, σ 1 = σ 3 4, ord(σ i ) = 2 für i = 2, 3, 6.) Es sei F derjenige Teilkörper von L, der von allen 6 Automorphismen elementweise invariant gelassen wird. Hierfür gilt [L : F] 6. Es steht sogar das Gleichheitszeichen: Denn g(t) : = (t2 t + 1) 3 liegt in F. t 2 (t 1) 2 Also ist F 1 : = K(g(t)) ein Teilkörper von F, d.h. [L : F 1 ] 6.

6 4.3. SATZ 3 Wegen (t 2 t + 1) 3 g(t)t 2 (t 1) 2 = 0 in F 1 [t] ist t Wurzel eines Polynoms vom Grad 6 aus F 1 [t], also [F 1 [t] : F 1 ] 6 und damit F = K(g(t)) Satz Es sei G eine endliche Gruppe von Automorphismen eines Körpers L und F = {α L σ(α) = α α G}. Dann ist F ein Körper, sog. Fixkörper F(G), und es gilt: [L : F] = (G : 1). Gemäß (4.2) ist F Teilkörper von L mit [L : F] (G : 1) =: n. Wir nehmen an, daß L über F n + 1 linear unabhängige Elemente ω 1,...,ω n+1 enthält. Für G = {σ 1,...,σ n } betrachten wir das homogene lineare Gleichungssystem n+1 j=1 σ i (ω j )X j = 0 (1 i n). Hierfür sei X 1,...,X n+1 eine nicht triviale Lösung in L. Unter allen Lösungen des Gleichungssystems wählen wir nun eine aus, bei der minimal viele X i von Null verschieden sind. Durch Umordnung der Basis erreichen wir also etwa r σ i (ω j )X j = 0 (1 i n, r n + 1, X 1... X r 0). j=1 Offenbar muß r 2 sein. Außerdem normieren wir X r zu 1 und nehmen noch X 1 / F an (alle X i F ω 1,...,ω r linear abhängig), d.h. es existiert h {1,...,n} mit σ h (X 1 ) X 1. Anwendung von σ h auf alle n Gleichungen ergibt r σ h (X j )σ h σ i (ω j ) = 0 (1 i n), also j=1 r σ h (X j )σ k (ω j ) = 0 (1 k n). j=1 Subtraktion vom Ausgangssystem liefert: r 1 j=1 σ k (ω j )(X j σ h (X j )) = 0 (1 k n). Wegen X 1 σ h (X 1 ) steht dies jedoch im Widerspruch zur Minimalität von r.

7 4 4. GALOISTHEORIE Es sei L/K normal, endlich, und F sei der Fixkörper von G(L/K). Wir haben gesehen, daß F/K rein inseparabel ist (Bem. (iii) nach 3.43). Offenbar ist G(L/F) = G(L/K), also nach (4.3): [L : F] = G(L/F) = 3.43 [L : F] sep. Folglich ist L/F separabel. Wir merken noch an, dass F = {α L α/k rein iseparabel } gilt Definition Eine algebraische Erweiterung L/K heißt Galoiserweiterung, falls K der Fixkörper von G(L/K) ist. In diesem Fall heißt G = G(L/K) Galoisgruppe von L/K Satz L/K endlich: L/K galoissch L/K normal und separabel. Es sei F = Fix (G(L/K)) der Fixkörper zu G(L/K). Hierfür ist [F : K] = [L : K] i = 1, also F = K. Es sei α L. Betrachte α j : = σ j (α) für G(L/K) = {σ 1,...,σ n }, hierunter seien - evtl. Umnummerieren - α 1,...,α r paarweise verschieden. G permutiert {α 1,...,α r }. Alle symmetrischen Funktionen in α 1,...,α r bleiben demnach G- invariant, speziell ist g α (t) : = r (t α i ) demnach aus K = Fix (G). i=1 Ein irreduzibler Teiler g(t) von g(t) in K[t] hat dann mit einer Nullstelle α j alle α i als Nullstellen, also ist g α (t) = m α (t). Damit ist L/K normal. Ferner ist Fix (G(L/K)) = K, also nach dem Vorangehenden L/K separabel. Bemerkung: L/K galoissch und K E L L/E galoissch Satz (Hauptsatz der Galoistheorie) Es sei L/K eine endliche Galoiserweiterung. Dann gibt es eine Bijektion zwischen den Zwischenkörpern K E L und den Untergruppen von G(L/K) mittels E G(L/E). Dabei ist E/K genau dann galoissch, wenn G(L/E) Normalteiler in G(L/K) ist, und in diesem Fall gilt: G(E/K) = G(L/K)/G(L/E).

8 4.8. SATZ 5 (i) Zunächst ist E G(L/E) eine injektive Abbildung (vgl. Beweis zu (3.44)). Es bleibt die Surjektivität zu zeigen. Dazu sei H eine Untergruppe von G(L/K) und F(H) der zugehörige Fixkörper. Dann ist L/F(H) normal und separabel, also galoissch mit Galoisgruppe G(L/F(H)). Also gilt H < G(L/F(H)). Gemäß (4.3) ist [L : F(H)] = (H : 1) und nach (3.42) [L : F(H)] = (G(L/F(H)) : 1), also H = G(L/F(H)). (ii) Sei nun K E L. Wir nehmen zunächst E/K als galoissch, d.h. normal und separabel, an. Ferner seien σ G(L/K) und τ G(L/E). Für α E ist σ(α) E, also σ 1 τσ(α) = σ 1 σ(α) = α, und damit σ 1 τσ G(L/E). Damit ist G(L/E) Normalteiler. Umgekehrt sei G(L/E) G(L/K). Trivialerweise ist E/K separabel, es bleibt E/K normal zu zeigen. Dazu sei f K[t] irreduzibel mit Nullstelle α E. In L[t] zerfällt f in Linearfaktoren, alle Nullstellen sind dabei von der Form σ(α) (σ G(L/K)). Für alle τ G(L/E) existiert nun ρ G(L/E) mit τ = σρσ 1, d.h. τ(σ(α)) = σρσ 1 (σ(α)) = σρ(α) = σ(α), d.h. σ(α) F(G(L/E)) = E. Also zerfällt f bereits in E[t] in Linearfaktoren, und E/K ist normal. (iii) Definiere φ : G(L/K) G(E/K) : σ σ E. φ ist Homomorphismus wegen σ E Automorphismus und gemäß (3.40) surjektiv. Ker φ = {σ G(L/K) σ E = id E } = G(L/E). Damit folgt die behauptete Isomorphie aus dem Homorphiesatz für Gruppen Korollar Es sei L/K galoissch, E, F seien Zwischenkörper. Dann gilt: E F G(L/E) G(L/F) Satz Es sei L/K eine Körpererweiterung mit Zwischenkörpern E, F. Ist dann E/K eine endliche Galoiserweiterung, so ist EF eine Galoiserweiterung von F mit G(EF/F) =

9 6 4. GALOISTHEORIE G(E/E F). EF E F E F K E/K ist Zerfällungskörper eines Polynoms f K[t], dessen Faktoren lauter einfache Nullstellen besitzen. Dann ist auch EF Zerfällungskörper von f F[t], d.h. EF/F ist normal und separabel, also galoissch. Es seien nun σ G(EF/F) und α 1,...,α n die verschiedenen Nullstellen von f. Dann induziert σ eine Permutation dieser Nullstellen, die einem Element σ G(E/K) entspricht. Verschiedene σ induzieren so verschiedene σ, die Zuordnung σ σ liefert einen Isomorphismus von G(EF/F) auf eine Untergruppe von G(E/K). σ (und damit σ) läßt jedes Element von F E invariant, d. h. σ G(E/E F). Jedes Element σ G(E/E F) permutiert α 1,...,α n und ist daher als Bild eines σ G(EF/F) erhältlich. Also folgt die behauptete Isomorphie Definition Es sei L/K galoissch. Ist dann G(L/K) abelsch, zyklisch etc., so heißt auch die Erweiterung L/K abelsch, zyklisch etc.. Beispiel: Für f(t) = t 3 2 Q[t] ist der Zerfällungskörper K = Q( 3 2, 3). Demnach ist [K : Q] = 6 und K/Q normal und separabel, also galoissch. Alle 6 Q -Automorphismen von K sind durch ihre Wirkung auf 3 2 und 3 eindeutig bestimmt. Wir setzen ξ : = und 2 σ : K K mittels , 3 3 (ξ ξ 2 ), τ : K K mittels 3 2 ξ 3 2, (ξ ξ) und erhalten folgende Tabelle:

10 4.9. DEFINITION 7 id τ τ 2 σ στ στ ξ 3 2 ξ ξ ξ Die Untergruppen von G(K/Q) = S 3 sind: H 1 = {id, σ}, H 2 = {id, στ}, H 3 = {id, στ 2 }, H 4 = {id, τ, τ 2 }. Diesen entsprechen die Fixkörper L 1 = Q( 3 2), L 2 = Q(ξ 3 2), L 3 = Q(ξ 2 3 2),L 4 = Q( 3). Also ist L 4 /Q galoissch, jedoch L i /Q nicht normal (1 i 3). L 1 Q K L 2 L3 Wir haben dabei L 1 = Q( 3 2) L 2 = Q(ξ 3 2) L 3 = Q(ξ 2 3 2) und L 4 = Q( 3). Beispiel: Gleichungen dritten Grades und ihre Diskriminanten. Es sei f[t] ZZ[t] mit deg (f) = 3 irreduzibel. Dann hat der Zerfällungskörper von f über Q genau dann den Grad 3, falls die Diskriminante der Nullstellen von f ein Quadrat in ZZ ist. Dazu seien ρ 1,ρ 2,ρ 3 die Nullstellen von f in C. Dann ist D(ρ 1,ρ 2,ρ 3 ) = (ρ 1 ρ j ) 2, 1 i<j 3 L 4 also D(ρ 1,ρ 2,ρ 3 ) ZZ wegen D(ρ 1,ρ 2,ρ 3 ) = det (S i+j 2 (ρ 1,ρ 2,ρ 3 )) ZZ. Für Zerfällungskörper M von f über Q gibt es nun genau zwei Möglichkeiten:

11 8 4. GALOISTHEORIE (i) [M : Q] = 3 M = Q(ρ 1 ) G(M/Q) = C 3 D = D invariant unter G(M/Q) D Fix(G(M/Q)) = Q; (ii) [M : Q] = 6 G(M/Q) = S 3 G(M/Q) enthält Transposition, etwa (23), d.h. σ( D) = D für ein σ G(M/Q) D = D / Fix(G(M/Q)) = Q wegen D Satz Es sei K eine endliche Erweiterung von IF p vom Grad n. Dann ist K/IF p galoissch mit G(K/IF p ) = σ, wobei σ der Frobenius-Automorphismus von K ist, σ = n. Ist L eine Erweiterung von K vom Grad m, so ist auch L/K galoissch mit Galoisgruppe G(L/K) = ψ, wobei ψ durch x x pn gegeben ist, ψ = m. (i) Die Erweiterung K/IF p ist normal als Zerfällungskörper von t pn t; sie ist separabel, weil IF p vollkommen ist. Die Abbildung σ : K K : x x p ist - wie früher gezeigt - ein Monomorphismus, der wegen K < surjektiv ist. Da für x IF p zudem x p = x gilt, ist σ G(K/IF p ). Wir betrachten die zyklische Untergruppe σ =: U von G = G(K/IF p ). Es gilt: σ v : K K : x x pv, d.h. σ v = id k erstmalig für υ = n. Also ist U = n = G und damit U = G. (ii) L/K ist galoissch (vgl. (i)). Wegen (4.3) gilt: G(L/K) = m. Als Untergruppe von G(L/IF p ) ist G(L/K) zyklisch. Die Gruppe wird erzeugt durch ψ : L L : x x pn Definition Es sei K ein Primkörper. Jede Wurzel des Polynoms t n 1 K[t] heißt n-te Einheitswurzel über K. Der Zerfällungskörper K n von t n 1 heißt n-ter Kreisteilungskörper über K. Im folgenden seien stets die Voraussetzungen von (4.11) gegeben.

12 4.13. HILFSSATZ 9 In K n zerfällt t n 1 in Linearfaktoren. Für die Nullstellenmenge E n von t n 1 in K n gilt dabei: Satz Es sei t n 1 K[t], K Primkörper. Im Zerfällungskörper K n von t n 1 bezeichne E n die Nullstellenmenge von t n 1 ( E n n). Dann gilt: (i) E n ist zyklische Untergruppe von K n. (ii) Für χ(k) = p mit p n gilt E n = E n/p. (iii) Für χ(k) n gilt E n = n. (iv) m IN gilt E n E mn, also K n K mn. (i) Gemäß (3.9), denn mit x,y K n und x n = y n = 1 folgt (xy) n = (xy 1 ) n = 1, also E n < K. (ii) Es sei n = pm; es folgt t n 1 = (t m ) p 1 = (t m 1) p. (iii) t n 1 besitzt n Nullstellen in K n, die wegen ggt(t n 1, (t n 1) ) = ggt(t n 1,nt n 1 ) = 1 alle verschieden sind. (Beachte: n 0 in K n ). (iv) x n = 1 x nm = 1 m IN. Wegen (ii) können wir im weiteren stets χ(k) n annehmen! Dann gilt E n = < ξ >, E n = n, also E n = {1,ξ,...,ξ n 1 }. Jedes erzeugende Element der zyklischen Gruppe E n heißt dann primitive n te Einheitswurzel. Ist E n =< ξ >, so gilt K n = K[ξ]. Wegen ord(ξ m ) = n ggt(m,n) gibt es genau ϕ(n) primitive n te Einheitswurzeln. Hierbei mißt die Eulersche Funktion ϕ die Anzahl der zu n teilerfremden Zahlen in {1, 2,...,n}. Es bezeichne F n die Menge der primitiven n ten Einheitswurzeln, dann gilt F n E n, F n = ϕ(n) Hilfssatz (i) Für m n,m,n IN ist F m F n =. (ii) E n = F d. d n (iii) n = d n ϕ(d). (i) Trivial.

13 10 4. GALOISTHEORIE (ii) Klar ist zunächst E n d nf d. Die Vereinigung ist wegen (i) zudem disjunkt. Ist andererseits ξ E n, so existiert ein minimaler Exponent m N mit ξ m = 1 und m n. Hierfür ist ξ eine primitive m te Einheitswurzel. (iii) Folgt sofort aus (ii). K. Φ n (t) := Definition ξ F n (t ξ) K n [t] heißt n-tes Kreisteilungspolynom über Bemerkungen: Offensichtlich ist deg(φ n ) = ϕ(n). Ist ξ irgendeine primitive n te Einheitswurzel, so gilt Φ n (t) = n (t ξ i ). i=1 ggt(i,n)=1 Damit folgt aus (4.13)(ii) unmittelbar t n 1 = d n Φ d (t) in K n [t] Satz Es ist Φ n (t) K[t]; speziell für K = Q gilt sogar Φ n (t) ZZ[t]. Mittels Induktion nach n! n = 1 : Φ 1 (t) = t 1 1,...,n 1 n : Wegen t n 1 = Φ d (t) ist Φ n (t) = (t n 1)/ d n nach Induktionsannahme. ( (Φ d (t)) d n d<n }{{} =:g n (t) K[t] bzw. ZZ[t] in K n (t) Also existieren Polynome h n (t), r n (t) aus K[t] bzw. ZZ[t] mit t n 1 = h n (t)g n (t) + r n (t) und deg(r n ) < n ϕ(n). Da diese Zerlegung auch in K n (t) Gültigkeit besitzt, folgt r n (t) = 0 und h n (t) = Φ n (t).

14 4.16. SATZ Satz Es gilt [K n : K] = ϕ(n) für K = Q; speziell ist Φ n (t) in ZZ[t] irreduzibel, K n /Q galoissch. Offenbar ist [K n : K] ϕ(n), da Φ n (t) in K n in Linearfaktoren zerfällt und K n = K(ξ) mit ξ Nullstelle von Φ n ist. Wir zeigen also noch [K n : K] ϕ(n). Dazu sei ξ eine Nullstelle von Φ n (t) mit Minimalpolynom m ξ (t) K[t]. Hierfür gilt m ξ (t) Φ n (t), d.h. es existiert h(t) K[t] (nominiert!) mit Φ n = m ξ h. Nach Gauß besteht diese Faktorisierung sogar in ZZ[t]. Wir zeigen: Ist nun x Nullstelle von m ξ, so auch x p für alle Primzahlen p, die n nicht teilen. Daraus folgt dann sofort, daß jede primitive n te Einheitswurzel Nullstelle von m ξ ist, also m ξ (t) = Φ n (t) gilt. Annahme: x p ist keine Nullstelle von m ξ. Dies bedeutet wegen Φ n (x p ) = 0 jedoch h(x p ) = 0, d.h. x Nullstelle von h(t p ) bzw. m ξ (t) h(t p ) oder h(t p ) = m ξ (t)g(t) in ZZ[t]. Also folgt wegen h(t p ) h(t) p modpzz[t] auch h(t) p m ξ (t)g(t) mod pzz[t], d.h. in IF p [t] gilt: ggt( h, m ξ ) 1, was dann bedingt, daß t n 1 mehrfache Nullstellen in IF p [t] besitzt. Dies ist jedoch ein Widerspruch zu p n. Schreibt man die Möbiusche Umkehrformel multiplikativ, so erhält man: n IN : f(n) = g(d) n IN : g(n) = f(d) µ(n/d). d n d n Wir wenden dies auf f(n) = t n 1, g(d) = Φ d (t) an und erhalten (1) Φ n (t) = d n(t d 1) µ(n/d). Hiermit lässt sich Φ n (t) leicht berechnen. Wir erhalten für n = 12: Φ 12 (t) = (t2 1)(t 12 1) (t 4 1)(t 6 1) = t4 t

15 12 4. GALOISTHEORIE Beispiel: Über IF 5 gilt: Φ 12 (t) = t 4 t = (t 2 2t 1)(t 2 + 2t 1) = (t ξ)(t ξ 5 ) (t ξ 7 )(t ξ 11 ) (4.16) wird falsch! Bemerkung: Über IF p mit p n ist [K n : K] = min{m IN p m 1 0 mod n} Satz Für n IN ist G(K n /Q) = U(ZZ/nZZ). Es seien ξ eine (feste) primitive n te Einheitswurzel, K n = Q(ξ), und h IN mit 1 h n, ggt (h,n) = 1. Dann sind ξ und ξ h beide Nullstellen des irreduziblen Polynoms Φ n (t) ZZ[t], welches in K n [t] in Linearfaktoren zerfällt, und es gilt K n (ξ) = K n (ξ h ). Wir definieren ϕ : U(ZZ/nZZ) G(K n /Q) : h + n ZZ σ h, wobei σ h : K n K n mittels ξ ξ h gegeben ist. Offensichtlich ist σ h ein Element aus G(K n /Q), vgl. (3.17). ϕ ist wohldefiniert wegen ξ n = 1, injektiv (und damit surjektiv). Zur Homomorphie: ϕ(hk + n ZZ) = σ hk = σ h σ k = ϕ(h + n ZZ)ϕ(k + n ZZ) Korollar Der n-te Kreiskörper K n ist abelsch über Q. Alle Zwischenkörper F mit Q F K n sind über Q galoissch. Konstruktion mit Zirkel und Lineal Gegeben sei eine zweidimensionale affine Ebene mit kartesischem Koordinatensystem sowie dem Punkt (1,0) auf der x-achse. Konstruktionsregeln (i) Durch zwei gegebene Punkte läßt sich (eindeutig) eine Gerade zeichnen. (ii) Um einen gegebenen Punkt läßt sich (eindeutig) ein Kreis zeichnen, dessen Radius gleich dem Abstand zweier gegebener Punkte ist. (iii) Neue Punkte entstehen als Schnittpunkte von zwei Geraden, zwei Kreisen oder einer Geraden mit einem Kreis.

16 4.18. KOROLLAR 13 Konstruierbar sind dann (in endlich vielen Schritten!!!): I. Alle Punkte (x,0) mit x Q, (0,y) mit y Q, (x,y) Q 2. (Eine Strecke läßt sich in n gleiche Stücke teilen, da man zu einer Geraden und einem Punkt P außerhalb eine Parallele durch P konstruieren kann). II. Zu x Q läßt sich x (als ( x, 0)) konstruieren. x 1 x Betrachte die Menge L der konstruierbaren reellen Zahlen x. III. Mit u,v ist u ± v konstruierbar, sowie uv, u v b (v 0). u/v a ab v u Also gilt: Q L IR, L Körper. Es seien nun die bisher konstruierten Punkte im Körper K Q enthalten. (i) Schneide die Geraden durch (x 1,y 1 ) (x 2,y 2 ) bzw. (u 1,v 1 ) (u 2,v 2 ): y y 1 = (y 2 y 1 ) x x 1 (x 2 x 1 ) =: r 1, y v 1 x u 1 = v 2 v 1 u 2 u 1 =: r 2, r 1 r 2, y = r 1 x x 1 r 1 + y }{{ 1 = r } 2 x u 1 r 2 +v 1, x = x 1r 1 y 1 u 1 r 2 + v 1, (x,y) K. r 1 r 2 s 1

17 14 4. GALOISTHEORIE (ii) Schneide Gerade durch (x 1,y 1 ) (x 2,y 2 ) mit Kreis um (u,v) vom Radius r : y = r 1 x + s 1, (x u) 2 + (y v) 2 = r 2 x genügt quadratischer Gleichung, eine Lösung liegt in Erweiterung K von K vom Grad 2 ( K/K galoissch). (iii) Schneide Kreis um (u 1,v 1 ) vom Radius r 1, mit dem um (u 2,v 2 ) vom Radius r 2. (x u 1 ) 2 + (y v 1 ) 2 = r 1 2, (x u 2 ) 2 + (y v 2 ) 2 = r 2 2, (x u 2 ) 2 = (x u 1 ) 2 2u 1 x + δ 2 (δ = u 2 u 1 ), (y v 2 ) 2 = (y v 1 ) 2 2v 1 y + γ 2 (γ = v 2 v 1 ), r 2 2 = r 1 2 2u 1 x 2v 1 y + γ 2 + δ 2 usw. x genügt quadratischer Gleichung, fahre fort wie in (ii) Satz x IR ist genau dann konstruierbar, wenn es einen endlichen Körperturm Q = K 0 K 1 K 2... K n IR mit x K n gibt, wo stets K i = K i 1 ( β i ) mit β i K i 1, β i > 0, β i / K i 1 (1 i n) gilt. K n = Q( β 1..., β n ). x konstruierbar x liegt in solchem K n. Jede Zahl aus K n ist konstruierbar: x K n x = a + b β n mit a,b,β n K n 1, dann wende Induktion über n an und beachte Konstruktionsregeln II und III Korollar (i) x IR konstruierbar x liegt in Körper K mit Q K IR und [K : Q] = 2 n (n ZZ 0 ). (ii) Transzendente Zahlen aus IR sind nicht konstruierbar. (iii) x IR algebraisch über Q mit [Q(x) : Q] = n und n keine Potenz von 2 ist nicht konstruierbar. Anwendungen: (i) Delisches P roblem: Verdoppelung eines Würfels gegebener Kantenlänge x. Die zu konstruierende Kantenlänge ist 3 2x. Dies ist genau dann möglich, falls 3 2 konstruierbar ist. Wegen [Q( 3 2) : Q] = 3 ist dies über Q unmöglich. Dagegen ist t 2 2 reduzibel in Q( 2), 2 ist konstruierbar.

18 4.21. SATZ 15 (ii) Quadratur des Kreises: πr 2 = x 2. Dies geht nur, falls π konstruierbar ist. Da π bzw. π transzendent sind, ist dies unmöglich. (iii) W inkeldreiteilung : Winkel α konstruierbar cos α, sin α konstruierbar! cos3x + i sin 3x = e 2πi3x = (e 2πix ) 3 = (cosx + i sinx) 3 = cos 3 x 3 cosxsin 2 x + i(3 cos 2 x sinx sin 3 x) impliziert (mit sin 2 x = 1 cos 2 x) : cos 3x = 4 cos 3 x 3 cosx. Also ist der Winkel 3x drittelbar 4t 3 3t cos3x in K = Q(cos 3x) reduzibel und K/Q konstruierbar. Dies ist jedoch i.a. falsch! x = 20 0 : 4t 3 3t 1 2 = 0 (2t)3 3(2t) 1 = 0. Jedoch ist u 3 3u 1 irreduzibel. x = 15 0 : 4t 3 3t 2 = 0 2 u3 3u 2 = 0. Dies ist reduzibel in Q( 2), x ist konstruierbar. (iv) Reguläre n Ecke : Konstruierbar deg(φ n ) = ϕ(n) Potenz von 2. (Für beachte, daß die Galoisgruppe eines Kreiskörpers abelsch ist.) Für n = 2 m 0 p m p m r r (p i paarweise verschiedene ungererade Primzahlen) ist Φ(n) = 2 max(0,mo 1) p m (p 1 1)...p m r 1 r (p r 1). Dies ist genau dann eine Potenz von 2, falls m 1 =... = m r = 1 und p i : = 2 k i + 1(k i IN) ist. D.h. die p i sind sog. F ermatsche P rimzahlen. (Beachte : k i = 2 l i, denn für k i = ϕ i γ i, γ i ungerade, ist 2 k i +1 durch 2 ϕ i + 1 teilbar). l i p i (Für l 5 = 5 ist p 5 keine Primzahl.) Das reguläre n-eck ist genau dann konstruierbar, falls n = 2 m 0 p 1...p r mit paarweise verschiedenen Fermatschen Primzahlen p i ist (m 0 ZZ 0 ). Beispiel: n = 17. Zyklische Erweiterungen Satz Es sei K ein Körper, n IN mit χ(k) n, K enthalte eine primitive n te Einheitswurzel ζ. (i) Ist α Nullstelle von t n a K[t], so ist K(α) zyklisch über K.

19 16 4. GALOISTHEORIE (ii) Ist L/K zyklisch vom Grad n, so ist L Zerfällungskörper eines Polynoms t n a K[t]. (i) Ist α Nullstelle von t n a und ζ eine primitive n te Einheitswurzel, so gilt t n a = n 1 (t αζ i ) in K(α)[t]. i=0 K(α) ist also Zerfällungskörper eines separablen Polynoms über K. Wir zeigen im Anschluß an diesen Beweis, daß dann K(α)/K separabel ist. Also ist K(α)/K galoissch. Gemäß (...Nr.?) enthält G(K(α)/K) Automorphismen σ i gegeben durch α αζ i (für αζ i Nullstelle von m α (t)). Analog zum Beweis von (...Nr.?) erhält man einen Gruppenepimorphismus ψ : (ZZ/nZZ, +) G(K(α)/K) : k + nzz σ k, also ist G(K(α)/K) isomorph zu einer Faktorgruppe von (ZZ/nZZ, +), also zyklisch. (ii) Gemäß (...Nr.?) sind die Automorphismen σ i : = σ i (0 i < n) für G(L/K) = < σ > linear unabhängig. Mit ζ K bilden wir µ : = σ 0 + ζσ ζ n 1 σ n 1. Hierzu exististiert dann γ L mit 0 β : = µ(γ) = n 1 i=0 ζ i σ i (γ). Also gilt auch 0 σ(β) = n ζ i 1 σ i (γ) = ζ 1 µ(γ), sowie i=1 σ(β n ) = β n, und damit a : = β n K = F(G(L/K)) = F(< σ >). Folglich ist β L Nullstelle von t n a K[t]. Mit β sind auch σ i (β) = βζ i (0 i < n) Nullstellen von m β (t) K[t], diese sind jedoch paarweise verschieden, also folgt deg(m β ) n. Wegen m β (t) (t n a) folgt hier Gleichheit und wegen G(L/K) = n = [L : K] = [K(β) : K] dann auch L = K(β). Auflösung algebraischer Gleichungen durch Radikale Im folgenden sei K ein Körper der Charkteristik 0.

20 4.23. SATZ Definition Eine Körpererweiterung L/K heißt Radikalerweiterung, wenn es einen Körperturm K = K 0 K 1... K m = L gibt, bei dem K i aus K i 1 durch Adjunktion einer Wurzel von t n i a i K i 1 [t] entsteht. Eine Gleichung f(x) = 0 mit f(t) K[t] heißt durch Radikale auflösbar, falls es eine Radikalerweiterung L/K gibt, die einen Zerfällungskörper von f als Teilkörper enthält Satz Zu jeder Radikalerweiterung L/K existiert eine Radikalerweiterung M/K mit M L, M/K galoissch. Mittels Induktion nach r = [L : K]. r = 1. Es ist L = K, also nichts zu zeigen. Sei also r > 1 und L/K Radikalerweiterung mit Körperturm K = K 0 K 1 K 2... K m = L. 1. Fall: m = 1. Dann ist L = K(α) mit α n = a K. Ist dann ζ eine primitive n te Einheitswurzel, so setze M = L(ζ) : K L M ist ebenfalls Radikalerweiterung. Hierin ist nun M als Zerfällungskörper von (t n a)(t n 1) galoissch über K. 2. Fall: m 2. Dann ist K m 1 Radikalerweiterung von K mit [K m 1 : K] = [L : K] / [L : K m 1 ] < [L : K] = r. Nach Induktionsvoraussetzung exisitiert eine galoissche Radikalerweiterung N über K, die K m 1 umfaßt. Wegen (...Nr.?) ist N Zerfällungskörper eines Polynoms g K[t]. Nach Voraussetzung gilt L = K m 1 (γ) mit γ n K m 1. Hiermit bilden wir das Polynom f(t) : = σ G(N/K)(t n σ(γ n )) = ai t i in N[t]. Nach Konstruktion ist f invariant unter allen σ G(N/K), d.h. σ(a i ) = a i i, also a i F(G(N/K)) = K. Es sei M der Zerfällungskörper von f über N. Nach Konstruktion von f ist M Radikalerweiterung von N, also auch von K. Wegen f(γ) = 0 gilt γ M, also L M. Es bleibt zu zeigen, daß M/K galoissch ist.

21 18 4. GALOISTHEORIE Offenbar ist M Zerfällungskörper von gf über K (beachte f K[t]!), also ist M/K normal (...Nr.?) und separabel (χ(k) = 0) Definition Eine endliche Gruppe G heißt auflösbar, falls eine Kette von Untergruppen G = G 0 G 1 G 2... G n = 1 existiert, so daß G i+1 G i gilt und G i /G i+1 abelsch ist (0 i < n) Hilfssatz (i) Jede endliche abelsche Gruppe ist auflösbar mit zyklischen Faktorgruppen. (ii) Eine endliche Gruppe ist genau dann auflösbar, falls eine Untergruppenkette G = G 0 G 1... G n = 1 mit G i+1 G i und G i /G i+1 zyklisch existiert. (i) Induktion über m = (G : 1). m = 1 ist trivial. Sei also m > 1. Ist G selbst zyklisch, so ist nichts zu zeigen. Andernfalls sei H =< x > zyklische Untergruppe von G mit x 1. Nach Induktionsvoraussetzung ist dann G/H auflösbar mit zyklischen Faktorgruppen, d.h. es exististieren Untergruppen G i /H (0 i r, G 0 = G, G r = H) mit G i /H /G i+1 /H = G i /G i+1 zyklisch. Dann leistet G = G 0 G 1... G r 1 G r = H 1 das Gewünschte. (ii) klar nach Definition; gemäß (i) Hilfssatz Es sei G eine endliche Gruppe mit Untergruppe H. (i) Ist G auflösbar, so auch H und im Fall H G ist auch G/H auflösbar. (ii) Ist H Normalteiler und sind H sowie G/H auflösbar, dann ist auch G auflösbar.

22 4.27. SATZ 19 (i) Es sei G = G 0 G 1... G n = 1 mit G i+1 G i,g i /G i+1 abelsch. Bilde H i : = G i H (0 i n). H i+1 H i : Für x H i gilt: xh i+1 x 1 xg i+1 x 1 xhx 1 = G i+1 H = H i+1. Ferner ist H i /H i+1 = H i /H i G i+1 = Hi G i+1 /G i+1 < G i /G i+1, also abelsch. Gilt außerdem H G, so bilde mittels G i : = G i H < G (0 i n) Kette G 0 /H G 1 /H... G n /H = T. Betrachte Abbildung φ : G i G i /G i+1 : g i h g i G i+1. φ Homomorphismus: φ(g i h)φ( g i h) = (gi G i+1 )( g i G i+1 ) = g i g i G i+1 = φ(g i g i k) = φ(g i h g i h), da k H bel.. φ surjektiv klar, Kerφ = {g i h G i g i G i+1 } = G i+1 H = G i+1. Also gilt: Gi+1 G i und G i / G i+1 = Gi /G i+1, also abelsch. Wende nun (... Nr.?) an: ( G i /H)/( G i+1 /H) = G i / G i+1. (ii) H auflösbar: H = H 0 H 1... H r = 1 und H i /H i+1 abelsch. G/H auflösbar: Existiert Untergruppe G 0 = G G,... G s = H von G mit (G i /H)/(G i+1 /H) (1.21) = Gi /G i+1 abelsch. Also ist G = G 0 G 1... G s = H = H 0 H 1... H r = 1, d.h. G auflösbar Satz Es sei f K[t] mit deg(f) 1. Dann ist f(x) = 0 genau dann durch Radikale auflösbar, wenn für einen Zerfällungskörper L von f über K die Galoisgruppe G(L/K) (Galoisgruppe von f) auflösbar ist. (i) Es sei L Zerfällungskörper von f K[t] und G(L/K) auflösbar. Wir setzen n = [L : K]. Zunächst nehmen wir an, daß K eine primitive n te Einheitswurzel ζ enthält. Zu G = G(L/K) gehöre die Kette G = G 0 G 1... G r = 1 mit G i /G i+1 zyklisch (vgl.(3.15)(ii)). Ferner sei F i = F(G i ) (G i : = G(L/F i )) mit F 0 = K F 1... F r = L.

23 20 4. GALOISTHEORIE Für n i = [F i : F i 1 ] gilt n i n, also enthält F i 1 eine primitive n i te Einheitswurzel. Wegen G i G i 1 ist F i /F i 1 galoissch (vgl. (3...Nr.?)): die betreffende Galoisgruppe ist isomorph zu G i 1 /G i, also zyklisch. Nunmehr wenden wir (3.11) (ii) an und erhalten F i = F i 1 (α i ), α i Wurzel eines Polynoms t n i β i F i 1 [t]. Also ist L/K Radikalerweiterung für f. Enthält K dagegen keine primitive n te Einheitswurzel, so bilden wir den Zerfällungskörper M von t n 1 L[t], der dann eine primitive n te Einheitswurzel ζ enthält. Damit setze K 1 = K(ζ) und L 1 = K 1 L. Dann ist L 1 Zerfällungskörper von f über K 1 und G(L 1 /K 1 ) ist isomorph zu einer Untergruppe von G = G(L/K) nach (... Nr.?). Nach (3.16) (i) ist G(L 1 /K 1 ) auflösbar. Für m = [L 1 : K 1 ] gilt m n, also enthält K 1 auch eine primitive m te Einheitswurzel ξ. Wie im ersten Teil des Beweises gezeigt, existiert ein Körperturm K 1 = F 0 F 1... F r = L 1, also L 1 /K 1 Radikalerweiterung. Wegen K 1 = K(ζ) ist auch L 1 /K Radikalerweiterung mit L 1 L, d.h.f(x) ist durch Radikale auflösbar. (ii) Sei umgekehrt f(x) durch Radikale auflösbar. Nach (3.13) exististiert ein Körperturm K = K 0 K 1... K r = : M, M/K Radikalerweiterung, M enthält Zerfällungskörper L von f über K, M/K galoissch. Für i = 1,...,r ist dabei K i = K i 1 (α i ), α i Wurzel von t n i β i K i 1 [t]. Setze n = n 1... n r und bestimme primitive n te Einheitswurzel ζ in Erweiterung von M (Zerfällungskörper von t n 1 M[t]). Für i = 1,...,r setze F i = K i (ζ). Dann ist K(ζ) = : F 0 F 1... F r eine normale Radikalerweiterung von K(ζ). Hierbei ist jeweils F i = F i 1 (α i ) = K i 1 (α i, ζ), und F i 1 enthält eine primitive n i -te Einheitswurzel. Nach (3.11) (i) ist F i demnach über F i 1 zyklisch.

24 4.27. SATZ 21 Mit H i : = G(F r /F i ) (0 i n) ist H 0 H 1 H 2... H r = 1 und dabei H i /H i+1 = G(F r /F i )/G(F r /F i+1 ) = G(F i+1 /F i ) zyklisch. Also ist G(F r /F 0 ) auflösbar. Wegen F r = K r K(ζ) = K r F 0 erhalten wir mittles (... Nr.?) G(F r /F 0 ) = G(K r /K r F 0 ) =: G, so daß auch G auflösbar ist. Schließlich ist F 0 /K abelsch (... Nr.?), also K r F 0 /K abelsch und insbesondere G(K r F 0 /K) auflösbar. K r F 0 /K galoissch impliziert G(K r /K r F 0 ) G(K r /K); die Faktorgruppe ist dabei isomorph zu G(K r F 0 /K), also abelsch. Damit ist dann auch G(K r /K) auflösbar nach (3.16) (ii) G(L/K) auflösbar nach (3.16) (i).

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