Hans Walser, [ ] Affensattel 1 Worum geht es? Mit Hilfe des Affensattels werden Raumfüller konstruiert. 2 Der Affensattel Die durch

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1 Hans Walser, [ ] Affensattel 1 Worum geht es? Mit Hilfe des Affensattels werden Raumfüller konstruiert. 2 Der Affensattel Die durch z = x 3 3xy 2 (1) beschriebene Fläche wird als Affensattel bezeichnet (Abb. 1). Abb. 1: Affensattel Die anatomische Idee dahinter ist, dass ein Affe nicht nur seine beiden Beine, sondern auch seinen Schwanz unterbringen muss. Die Gleichung (1) kann auch in der Form z = R (( x + iy) 3 ) (2) geschrieben werden. Der Buchstabe R bedeutet Realteil.

2 Hans Walser: Affensattel 2 / 19 Der Affensattel hat bezüglich der senkrechten (grünen) Koordinatenachse eine dreizählige Drehsymmetrie. 3 Der Würfel auf der Ecke Die Abbildung 2 zeigt einen Würfel, der auf einer Ecke steht. Der Würfelmittelpunkt ist im Koordinatennullpunkt. Abb. 2: Würfel auf Ecke Bezüglich der senkrechten Achse hat dieser Würfel ebenfalls eine dreizählige Drehsymmetrie. Die Abbildung 3 zeigt andere Positionen des Würfels bezüglich des Koordinatensystems. Der Würfel wurde um die senkrechte Koordinatenachse schrittweise um 15 gedreht.

3 Hans Walser: Affensattel 3 / 19 Abb. 3: Andere Positionen 4 Halbierung des Würfels Wir können den auf der Ecke stehenden Würfel mit der Affensattelfläche volumenmäßig halbieren. Abb. 4: Halbieren mit Affensattel

4 Hans Walser: Affensattel 4 / 19 5 Ungleichsinnige Kongruenz Das Gegenstück, also die weggeschnittene Hälfte des Würfels, ist ungleichsinnig kongruent zur verbleibenden Würfelhälfte. Das liegt daran, dass die beiden Hälfte punktsymmetrisch zum Ursprung liegen. Punktsymmetrische Figuren im Raum sind ungleichsinnig kongruent. Die Abbildung 5 illustriert den Sachverhalt für das erste Beispiel der Abbildung 4. Abb. 5: Gegenstück Die Abbildung 6 zeigt die letzte Position der Abbildung 5 vergrößert.

5 Hans Walser: Affensattel 5 / 19 Abb. 6: Die beiden Würfelhälften

6 Hans Walser: Affensattel 6 / 19 6 Einpassen ins Koordinatensystem Den unteren halben Würfel der Abbildung 6 passen wir so in ein Koordinatensystem, dass die unterste Ecke in den Nullpunkt und die Würfelkanten auf die Achsen zu liegen kommen (Abb. 7). Abb. 7: Einpassen ins Koordinatensystem

7 Hans Walser: Affensattel 7 / 19 7 Zwölffüßler Wir ergänzen die Figur durch Spiegelungen an den Koordinatenebenen (Abb. 8). Abb. 8: Zwölffüßler Im Folgenden werden wir die Figur einheitlich färben (Abb. 9).

8 Hans Walser: Affensattel 8 / 19 Abb. 9: Monochrome Darstellung

9 Hans Walser: Affensattel 9 / 19 8 Raumfüller Mit dieser Figur kann der Raum lückenlos und überlappungsfrei gepackt werden. Die Abbildung 10 illustriert die ersten Schritte. Abb. 10: Erste Schritte der Packung Die Abbildung 11 zeigt einen gepackten Kubus, die Abbildung 12 eine Pyramide.

10 Hans Walser: Affensattel 10 / 19 Abb. 11: Kubus

11 Hans Walser: Affensattel 11 / 19 Abb. 12: Pyramide 9 Variante Die Abbildungen zeigen das analoge Vorgehen mit einer Variante.

12 Hans Walser: Affensattel 12 / 19 Abb. 13: Variante

13 Hans Walser: Affensattel 13 / 19 Abb. 14: Einpassen ins Koordinatensystem Abb. 15: Raumfüller

14 Hans Walser: Affensattel 14 / 19 Abb. 16: Kubus

15 Hans Walser: Affensattel 15 / 19 Abb. 17: Pyramide

16 Hans Walser: Affensattel 16 / Symmetrische Variante Abb. 18: Symmetrische Variante

17 Hans Walser: Affensattel 17 / 19 Abb. 19: Einpassen ins Koordinatensystem Abb. 20: Raumfüller Der Raumfüller hat nun dieselben Symmetrien wie der Würfel.

18 Hans Walser: Affensattel 18 / 19 Abb. 21: Kubus

19 Hans Walser: Affensattel 19 / 19 Abb. 22: Pyramide