1. Vordiplom D-INFK Prüfung Informatik I + II 2. Oktober 2003

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1 Eidgenössische Technische Hochschule Zürich Institut für Theoretische Informatik Peter Widmayer Jörg Derungs Ecole polytechnique fédérale de Zurich Politecnico federale di Zurigo Federal Institute of Technology at Zurich Institut für Computersysteme Jürg Gutknecht Philipp Kramer 1. Vordiplom D-INFK Prüfung Informatik I + II 2. Oktober 2003 Name, Vorname: Stud.-Nummer: Ich bestätige mit meiner Unterschrift, dass ich diese Prüfung unter regulären Bedingungen ablegen konnte und dass ich die untenstehenden Hinweise gelesen und verstanden habe. Unterschrift: Hinweise: Ausser einem Wörterbuch dürfen Sie keine Hilfsmittel verwenden. Bitte schreiben Sie Ihre StudentInnen-Nummer auf jedes Blatt. Melden Sie sich bitte sofort, wenn Sie sich während der Prüfung in irgendeiner Weise bei der Arbeit gestört fühlen. Bitte verwenden Sie für jede Aufgabe ein neues Blatt. Pro Aufgabe kann nur eine Lösung angegeben werden. Ungültige Lösungsversuche müssen klar durchgestrichen werden. Bitte schreiben Sie lesbar! Wir werden nur bewerten, was wir lesen können. Viel Erfolg!

2 Informatik I + II Stud.-Nummer: Informatik I: Aufgabe Σ Mögl. Punkte Punkte Informatik II: Aufgabe Σ Mögl. Punkte Punkte

3 Stud.-Nummer: Informatik I + II Seite 1 8 P AUFGABE 1 (Informatik I): Gegeben sei eine Serie a: ARRAY N OF REAL von Werten. Ein Aufwärtstrend ist eine Serie aufsteigender aufeinanderfolgender Werte der Art a[i] a[i + 1] a[i + 2]... Schreiben Sie ein Oberon-Programm, welches die Länge, also die Anzahl Elemente, eines längsten Aufwärtstrends ausgibt.

4 Stud.-Nummer: Informatik I + II Seite 2 8 P AUFGABE 2 (Informatik I): Aus einer Serie a: ARRAY N OF REAL gegebener Messwerte sollen die 10% grössten und die 10% kleinsten Werte ausgesondert werden. a) Beschreiben Sie in Worten ein effizientes Verfahren, welches a so umordnet, dass die nicht ausgesonderten Werte in einem zusammenhängenden Bereich des Arrays zu liegen kommen. b) Implementieren Sie das oben beschriebene Verfahren in Oberon, und lassen Sie die Grenzen des erwähnten zusammenhängenden Bereiches ausgeben.

5 Stud.-Nummer: Informatik I + II Seite 3 10 P AUFGABE 3 (Informatik I): Der Huffman-Code ist eine verbreitete Methode zur Datenkomprimierung. Die Grundidee dabei ist einfach: Jedem Zeichen des zugrunde liegenden Alphabets wird eine Bitsequenz zugeordnet, und zwar so, dass häufig vorkommende Zeichen durch kurze Sequenzen dargestellt werden. Sind die relativen Häufigkeiten aller beteiligten Zeichen bekannt, so lässt sich der zugehörige Huffman-Code nach folgendem Rezept durch fortgesetztes Kombinieren bewerteter Binärbäume konstruieren: 1. Jedes vorkommende Zeichen wird als einelementiger Baum betrachtet, dessen Wert gleich der relativen Häufigkeit des betreffenden Zeichens ist. 2. Solange noch mehr als ein Baum im Spiel ist, werden zwei Bäume mit möglichst kleinen Werten durch eine neue Wurzel zu einem einzigen Baum verschmolzen, wobei der Wert des neuen Baumes gleich der Summe der Werte der beiden einzelnen Bäume gesetzt wird. 3. Bleibt nur noch ein einziger Baum übrig, so stellt dieser den Huffman-Code dar, wobei die Codierung jedes Zeichens durch den Weg von der Wurzel zu diesem Zeichen gegeben ist, mit der Interpretation 0 für Verzweigungen nach links bzw. 1 für Verzweigungen nach rechts. a) Bestimmen Sie von Hand den Huffman-Code zum Text WIE WEITER? (ohne Leer- und Fragezeichen) und zeichnen Sie den zugehörigen Baum. Geben Sie zu jedem Zeichen die Codierung an. b) Erstellen Sie ein Oberon-Programm, welches den Huffman-Code berechnet. Die relativen Häufigkeiten seien in Form eines Array h: ARRAY N OF REAL gegeben, wobei insgesamt N Zeichen verwendet werden und h[i] die relative Häufigkeit des Zeichens Nr. i angibt. Das Programm soll zusätzlich für jedes Zeichen die Huffman-Codierung ausgeben.

6 Stud.-Nummer: Informatik I + II Seite 4 10 P AUFGABE 4 (Informatik I): Die Wege zur Besteigung eines Berges seien in Abschnitte von einem Verzweigungspunkt zum nächsten unterteilt, wobei jedem Abschnitt eine Steigezeit zugeordnet sei (siehe Illustration). Abschnitt Verzweigungs punkt Verzweigungs punkt Steigezeit 4.5 h a) Geben Sie eine geeignete Datenstruktur zur Beschreibung der Gesamtheit aller Wege vom Fuss zum Gipfel an. b) Nennen Sie eine Strategie zur Bestimmung der kürzest möglichen Besteigungszeit des Berges. c) Implementieren Sie Ihre Strategie in Oberon.

7 Stud.-Nummer: Informatik I + II Seite 5 AUFGABE 5 (Informatik II): In dieser Aufgabe sollen Sie nur die Ergebnisse angeben. Diese können Sie direkt bei den Aufgaben notieren. Sofern Sie die Notationen, Algorithmen und Datenstrukturen aus der Vorlesung Informatik II verwenden, sind Erklärungen oder Begründungen nicht notwendig. Falls Sie jedoch andere Methoden benutzen, müssen Sie diese kurz soweit erklären, dass Ihre Ergebnisse verständlich und nachvollziehbar sind. Als Ordnung verwenden wir für Buchstaben die alphabetische Reihenfolge, für Zahlen die aufsteigende Anordnung gemäss ihrer Grösse. a) Der folgende gerichtete Graph wird mit Breitensuche traversiert. Die Suche startet beim Knoten a. Geben Sie eine Reihenfolge an, in der die Knoten erreicht werden können. f k e a b g d c i h b) Geben Sie für die untenstehenden Funktionen eine Reihenfolge an, so dass Folgendes gilt: Wenn Funktion f links von Funktion g steht, so gilt f O(g). Beispiel: Die drei Funktionen n 3, n 7, n 9 sind bereits in der entsprechenden Reihenfolge, da n 3 O(n 7 ) und n 7 O(n 9 ) gilt. n 2 3 n 2 n n 3 log n 2n + 2 n 5n c) Markieren Sie in der folgenden Liste genau die Aussagen, die korrekt sind: ( 2n + 5 ) 2 O(n) n n O(n!) (n 1)(n 1)! Ω(n!) n i=1 i Θ(n2 )

8 Stud.-Nummer: Informatik I + II Seite 6 d) Zeichnen Sie den binären Suchbaum, dessen Knoten in postorder-reihenfolge traversiert diese Zahlenfolge ergibt: 1, 3, 2, 5, 4, 7, 9, 11, 10, 12, 8, 6 e) Löschen Sie den Schlüssel 3 aus dem AVL-Baum und balancieren Sie ihn wieder f) In der folgenden Tabelle ist ein Heap in der üblichen impliziten Form gespeichert: [2,7,20,15,10,25,22,16,21,11] Wie sieht die Tabelle aus, nachdem das Element 5 hinten angefügt und die Heap-Bedingung wieder hergestellt wurde?

9 Stud.-Nummer: Informatik I + II Seite 7 g) Zeichnen Sie den Baum, der entsteht, wenn im folgenden (2,4)-Baum der Schlüssel 3 eingefügt wird h) Markieren Sie im untenstehenden gewichteten Graphen die Kanten eines minimalen Spannbaums i) Fügen Sie die Schlüssel 12, 3, 33, 16, 22 mittels Double Hashing in die Hashtabelle ein. Die zu verwendenden Hash-Funktionen sind h(k) := k mod 7 und h (k) := (k mod 5) j) Zeichnen Sie den Splay-Tree, der aus dem folgenden gegebenen Baum entsteht, nachdem auf das Element 8 zugegriffen wurde

10 Stud.-Nummer: Informatik I + II Seite 8 AUFGABE 6 (Informatik II): 2 P a) Gegeben ist die folgende Rekursionsgleichung: T (n) := { 2T ( n 2 ) + n 4 n > 4 3 n = 4 Beweisen Sie mit vollständiger Induktion, dass n 4 (1 + log 2(n)) eine geschlossene Formel für T (n) ist. Hinweis: Sie können annehmen, dass n eine Potenz von 2 ist. 3 P b) Gegeben ist die folgende Rekursionsgleichung: T (n) := { 5T ( n 3 ) 1 n > n = 1 Geben Sie eine geschlossene (d.h. nicht-rekursive) Formel für T (n) an und beweisen Sie diese mit vollständiger Induktion. Hinweise: (1) Sie können annehmen, dass n eine Potenz von 3 ist. (2) k i=0 qi = qk+1 1 q 1. c) Geben Sie eine möglichst genaue asymptotische Laufzeit in Abhängigkeit von n für folgenden Algorithmus an (in Oh-Notation): count := 0; FOR i := 0 TO n-1 DO FOR j := 0 TO n-1 DO IF a[i,j] = b[j,i] THEN INC(count) END END END d) Geben Sie die asymptotische Laufzeit in Abhängigkeit von n für folgenden Algorithmus in Theta-Notation an: i := 1; WHILE i < n DO j := i; REPEAT j := j * 2 UNTIL j > n; i := i + 5 END;

11 Stud.-Nummer: Informatik I + II Seite 9 AUFGABE 7 (Informatik II): Punkte auf der Ebene werden in einem binären Suchbaum nach ihrer X-Koordinate geordnet gespeichert; alle X-Koordinaten sind paarweise verschieden. Der Wert der Y-Koordinate wird als Differenz zur Y-Koordinate des Vaterknotens gespeichert; in der Wurzel des Baumes wird die Y- Koordinate direkt gespeichert, da dieser Knoten keinen Vaterknoten hat. Beispiel: Die Punkte (6,1), (7,2), (8,3), (10,-1), (12,3), (13,2), (14,1) werden in folgendem Baum gespeichert: 10,-1 7,3 13,3 6,-1 8,1 12,1 14,-1 Die Knoten sind definiert als: TYPE Node = POINTER TO RECORD x: INTEGER; deltay: INTEGER; left, right: Node END a) Beschreiben Sie (in Pseudo-Code) eine möglichst effiziente Prozedur MoveAll(tree: Node; delta: INTEGER), die alle Punkte im Baum tree um delta Einheiten in der y-richtung verschiebt. Geben Sie die asymptotische Laufzeit Ihres Algorithmus an. 3 P 4 P 2 P b) Beschreiben Sie (in Pseudo-Code) eine möglichst effiziente Prozedur Move(tree: Node; x1, x2: INTEGER; delta: INTEGER), die im Baum tree alle Punkte mit x-koordinate x1 und x2 um delta Einheiten in der y-richtung verschiebt. Geben Sie die asymptotische Laufzeit Ihres Algorithmus an. c) Beschreiben Sie (in Pseudo-Code) eine möglichst effiziente Prozedur Delete(VAR tree: Node; x, y: INTEGER), die den Punkt (x,y) aus dem Baum tree löscht. Betrachten Sie hierbei nur den Fall, dass der Punkt (x,y) in einem inneren Knoten gespeichert ist, d.h. der Node mit den Koordinaten (x,y) existiert und seine Felder left und right sind beide nicht NIL. d) Können die Punkte auch in einem AVL-Baum mit relativen Y-Koordinaten wie oben beschrieben gespeichert werden? Wenn ja, beschreiben Sie, wie die Rotation erweitert werden muss; wenn nein, begründen Sie, warum nicht.

12 Stud.-Nummer: Informatik I + II Seite 10 AUFGABE 8 (Informatik II): Bei den alten Balance-Waagen legt man das zu wägende Gut auf die eine Waagschale und belegt dann die andere so mit geeichten Gewichtssteinen, dass die Waage im Gleichgewicht ist. 2 5 Wir verfügen über N Gewichtssteine, deren jeweilige Gewichte im Array Weight: ARRAY N OF INTEGER in beliebiger Reihenfolge gespeichert sind, wobei Weight[i] das Gewicht des i-ten Steins angibt. Da mehrere Steine das gleiche Gewicht haben können, können natürlich auch verschiedene Einträge Weight[i] und Weight[j] denselben Wert haben. 2 P 3 P 3 P a) Schreiben Sie einen rekursiven Algorithmus, der bestimmt, ob das geforderte Gewicht w mit den zur Verfügung stehenden Gewichtssteinen abgewogen werden kann, wobei alle ausgewählten Gewichtssteine auf dieselbe Waagschale gelegt werden. Geben Sie die asymptotische Laufzeit Ihres Algorithmus in Abhängigkeit von N an. b) Entwerfen Sie einen Algorithmus nach dem Muster der dynamischen Programmierung, der bestimmt, ob das geforderte Gewicht w mit den zur Verfügung stehenden Gewichtssteinen abgewogen werden kann. Geben Sie die asymptotische Laufzeit Ihres Algorithmus in Abhängigkeit von N und w an. c) Beschreiben Sie in Worten, wie aus der Lösung gemäss der dynamischen Programmierung die entsprechenden Gewichtssteine durch Rückverfolgen gefunden werden können. d) Wenn das geforderte Gewicht w mit den zur Verfügung stehenden Gewichtssteinen nicht erzeugt werden kann, dann gibt es noch die Möglichkeit, auch auf die andere Waagschale Gewichtssteine zu legen, also w als Differenz zweier (disjunkter) Teilmengen aus Weight zu bilden. Schreiben Sie einen Algorithmus (rekursiv oder mit dynamischer Programmierung), mit welchem die beiden Teilmengen berechnet werden können, falls diese existieren.