Endlich gelöst! Aufgaben zur Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler

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1 Endlich gelöst! Aufgaben zur Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler

2 Wilhelm Merz Peter Knabner Endlich gelöst! Aufgaben zur Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler Band 2: Analysis in n und gewöhnliche Differentialgleichungen

3 Wilhelm Merz Universität Erlangen Erlangen, Deutschland Peter Knabner Universität Erlangen Erlangen, Deutschland ISBN ISBN (ebook) DOI / Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über abrufbar. Springer Spektrum Springer-Verlag GmbH Deutschland 2017 Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung, die nicht ausdrücklich vom Urheberrechtsgesetz zugelassen ist, bedarf der vorherigen Zustimmung des Verlags. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Bearbeitungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Der Verlag, die Autoren und die Herausgeber gehen davon aus, dass die Angaben und Informationen in diesem Werk zum Zeitpunkt der Veröffentlichung vollständig und korrekt sind. Weder der Verlag noch die Autoren oder die Herausgeber übernehmen, ausdrücklich oder implizit, Gewähr für den Inhalt des Werkes, etwaige Fehler oder Äußerungen. Der Verlag bleibt im Hinblick auf geografische Zuordnungen und Gebietsbezeichnungen in veröffentlichten Karten und Institutionsadressen neutral. Planung: Dr. Annika Denkert Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier Springer Spektrum ist Teil von Springer Nature Die eingetragene Gesellschaft ist Springer-Verlag GmbH Deutschland Die Anschrift der Gesellschaft ist: Heidelberger Platz 3, Berlin, Germany

4 Vorwort v Herzlichen Gluckwunsch zum Erwerb dieses Buches! Wir danken Ihnen dafur und versprechen Ihnen viele lehr- und hilfreiche Aufgaben. Dieses Aufgaben- und Ubungsbuch bietet 240 Aufgaben, welche sich auf das Lehrbuch Mathematik fi.ir Ingenieure und Naturwissenschaftler - Analysis in JR.n und Gewohnliche Differentialgleichungen der gleichen Autoren beziehen und dort inhaltlich punktgenau im Anschluss an jeden Abschnitt formuliert werden. Dies bedeutet allerdings nicht, class eine gewinnbringende Verwendung dieses Aufgabenbuches nur zusammen mit dem genannten Lehrbuch moglich ist. Bei der Beschreibung der Losungen wird auf Ausfiihrlichkeit grol&en Wert gelegt, und es werden klar ubertragbare Losungswege entwickelt. \Venn es sich anbietet, werden verschiedene Herangehensweisen miteinander verglichen. Das Niveau der Aufgaben entspricht dem gangigen Niveau der Mathematikausbildung in einem Ingenieurstudium an einer deutschen Universitat. Dieses Buch bietet zudem eine hervorragende Erganzung fur Studierende des Faches Mathematik und in besonderem Mal&e fiir Lehramtsstudierende. Aufgaben und Losungswege sind getrennt dargestellt, aber jeweils zu jedem Abschnitt versammelt, wodurch sich umfangreiches Blattern eriibrigt. Andererseits sou aber der Versuchung entgegengewirkt werden, sich gleich mit dem vorgeschlagenen Losungsweg vertraut zu machen. Der Lerneffekt von Aufgaben besteht ja gerade darin, auch aus den eigenen Fehlversuchen so viel zu lernen, bis analoge Aufgabenstellungen selbststandig gelost werden konnen. Die Aufgaben dieses Buches entstammen zu einem gewissen Teil aus der nach bestem Wissen angegebenen Literatur, manche Aufgaben wurden neu,erfunden". Grol&tenteils jedoch sind sie der umfangreichen Aufgabensammlung entnommen, welche am Lehrstuhl fiir Angewandte Mathematik 1 der Friedrich-Alexander-Universitat Erlangen-Nurnberg in mittlerweile uber 50 Jahren im Rahmen einer umfangreichen Mathematik-Lehrtatigkeit fur Ingenieurstudierende erarbeitet worden ist. Ein wesentlicher Grundstein wurde hier von der ersten Generation von Dozenten, den Professoren Hans Grabmuller und Hans Straul&, den Akademischen Oberraten bzw. Direktoren Horst Letz und Peter Mirsch gelegt. Viele der dargestellten Losungswege gehen auf die genannten und viele ungenannte Mitglieder der Arbeitsgruppe zuruck, doch sei darauf hingewiesen, class fiir diesen Band samtliche Losungswege gepruft, uberarbeitet und gegebenenfalls neu entwickelt worden sind. Die Aufgaben beinhalten unterschiedliche Schwierigkeitsniveaus, von elementaren Rechnungen bis hin zu etwas,kniffiigen" Uberlegungen, doch wurde auf eine Kennzeichnung des Schwierigkeitsniveaus verzichtet, da dies immer eine subjektive Bewertung ist. Sollten die Ursprunge mancher Aufgaben versehentlich unerwahnt bleiben, bitten wir dies zu entschuldigen und werden dies nach Kenntnisnahme in der nachsten Auflage nachholen.

5 vi Neben den Genannten danken wir auch ganz besonders Frau Birgit Roensch M. Sc. fiir die Uberpriifung zahlreicher Losungen. Ebenso gebiihrt unser Dank Frau Dr. Annika Denkert vom Springer-Verlag, die die Entstehung dieses Buches mit grojl,em Einsatz unterstiitzt hat, und Frau Tatjana Strasser fiir das sorgfaltige Korrekturlesen des Manuskriptes zu diesem Buch. Erlangen, Februar 2017 W. Merz, P. Knabner

6 Inhaltsverzeichnis 1 Reellwertige Funktionen von mehreren reellen Veranderlichen Vorbetrachtungen Metrische und normierte Raume Stetigkeit bei Funktionen f E Abb(JR.n, JR.) Eigenschaften stetiger Funktionen f E Abb(JR.n, JR.) Partielle Ableitungen Differenzierbarkeit, Ableitungen Vollstiindiges oder tot ales Differential Mittelwertsatz und Taylorsche Formel Extremwertaufgaben fiir Funktionen in mehreren Veriinderlichen Extremwertaufgaben mit Nebenbedingungen Differentialrechnung vektorwertiger Funktionen Definitionen und Beispiele Stetigkeit und Ableitung Rechenregeln fiir differenzierbare Funktionen f E Abb(JR.n, JR.m) Satz iiber implizite Funktionen Mehrdimensionale Integration Messbare Punktmengen Ebene Bereichsintegrale vii

7 viii Inhaltsverzeichnis 3.3 Transformation von ebenen Bereichsintegralen Greensche Formel Bereichsintegrale im Rn Anwendungen der Bereichsintegrale Vektorwertige Integrale FHichen und FHichenintegrale Darstellungen von Flachen im JR Flachenelement und Flacheninhalt Flachenintegrale 1. und 2. Art Kurvenintegral Stammfunktionen und Wegunabhangigkeit von Kurven- und Flachenintegralen Rotationsoperator Gradientenfelder Vektorpotentiale Integralsatze von GauR und Stokes Integralsatz von Gauf5 fiir raumliche Bereiche Integralsatz von Gauf5 in der Ebene Folgerungen aus dem Integralsatz Integralsatz von Stokes Gewohnliche Differentialgleichungen Vorbetrachtungen, Aufgabenstellung Losungsverfahren fiir explizite Differentialgleichungen 1. Ordnung Vollstandige Differentialgleichung und integrierender Faktor Lineare Differentialgleichungen und -systeme n-ter Ordnung Lineare Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten Lineare Differentialgleichungen und spezielle Inhomogenitaten Eulersche Differentialgleichung Existenz- und Eindeutigkeitsfragen

8 Inhaltsverzeichnis ix 7.9 Stabilitat und qualitatives Verhalten Numerische Verfahren fiir Anfangswertaufgaben Literaturverzeichnis