MATERIALIEN FÜR EINEN REALITÄTSBEZOGENEN MATHEMATIKUNTERRICHT

Transkript

1 Schriftenreihe der ISTRON-Gruppe MATERIALIEN FÜR EINEN REALITÄTSBEZOGENEN MATHEMATIKUNTERRICHT Band 15 Modellierung von Eratosthenes bis Google Herausgeber: Regina Bruder Andreas Eichler

2 Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek. Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über abrufbar. Bibliographic information published by the Deutsche Nationalbibliothek. The Deutsche Nationalbibliothek lists this publication in the Deutsche Nationalbibliografie; detailed bibliographic data are available in the Internet at Information bibliographique de la Deutsche Nationalbibliothek. La Deutsche Nationalbibliothek a répertorié cette publication dans la Deutsche Nationalbibliografie; les données bibliographiques détaillées peuvent être consultées sur Internet à l adresse ISBN ISTRON, Band 15 Modellierung von Eratosthenes bis Google Regina Bruder, Andreas Eichler (Hrsg.) Das Werk ist urheberrechtlich geschützt. Alle Rechte, insbesondere die der Vervielfältigung und Übertragung auch einzelner Textabschnitte, Bilder oder Zeichnungen vorbehalten. Kein Teil des Werkes darf ohne schriftliche Zustimmung des Verlages in irgendeiner Form reproduziert werden (Ausnahmen gem. 53, 54 UrhG). Das gilt sowohl für die Vervielfältigung durch Fotokopie oder irgendein anderes Verfahren als auch für die Übertragung auf Filme, Bänder, Platten, Transparente, Disketten und andere Medien by Verlag Franzbecker, Hildesheim, Berlin

3 Inhalt Inhaltsverzeichnis Kommentiertes Inhaltsverzeichnis Vorwort Ulrich Böhm Aller Anfang ist schwer, Modellieren lernen umso mehr!? Erste Schritte auf dem Weg zur langfristigen Förderung von Modellierungskompetenzen im Mathematikunterricht Andreas Büchter, Hans-Wolfgang Henn & Jan Hendrik Müller Experimenteller Zugang zu funktionalem Denken Arbeiten mit der Funktionen-Box des Mathekoffers Günter Graumann Bevölkerungsentwicklungen in Deutschland und in der Welt Hans-Stefan Siller & Jürgen Maaß Wetten im Mathematikunterricht Förderung prozessbezogener Kompetenzen Burkhard Alpers Der Korbbogen Herkunft, Konstruktion und Anwendungen Boris Girnat I III VII Mathematik auf der Anklagebank Didaktische Überlegungen zu einem Ausflug in die Spieltheorie Andreas Eichler 75 Auf Spurensuche im Supermarkt Kassenbons als Modellierungsaufgabe Günter Gramlich 95 Google TM und Mathematik Wer oder was ist wichtig? Gesamtverzeichnis der ISTRON-Bände I

4 Inhalt Ulrich Böhm Aller Anfang ist schwer, Modellieren lernen umso mehr!? Erste Schritte auf dem Weg zur langfristigen Förderung von Modellierungskompetenzen im Mathematikunterricht Mathematisches Modellieren im Unterricht durchzuführen ist nach wie vor schwierig und hat im Unterricht noch nicht den Stellenwert, der wünschenswert ist. Anspruchsvolle Modellierungsprobleme können Lernende schnell überfordern und für die Durchführung im Mathematikunterricht wird viel Zeit benötigt. Um einen moderaten Einstieg in das mathematische Modellieren im Unterricht zu ermöglichen, werden in diesem Beitrag bekannte Aufgabentypen in ein Konzept zum Erlernen des mathematischen Modellierens integriert. Andreas Büchter, Hans-Wolfgang Henn & Jan Hendrik Müller Experimenteller Zugang zu funktionalem Denken Arbeiten mit der Funktionen-Box des Mathekoffers 1 15 Funktionale Zusammenhänge und ihre Beschreibung bilden einen wesentlichen Schwerpunkt in den Lehrplänen des Faches Mathematik. Deswegen enthält der Mathekoffer eine Themenbox Funktionaler Zusammenhang". Der Begriff oder das Werkzeug Funktion ist wesentlicher Bestandteil nahezu aller mathematischen Teildisziplinen. Die Aufgabenkarten der Themenbox greifen interessante und gut zugängliche Alltagsphänomene auf und ermöglichen handlungsorientierte und spielerische Lernanlässe. Im Rahmen eines Workshops beim Lehrertag der ISTRON- Tagung 2008 in Darmstadt haben die Teilnehmer einige Experimente erprobt und didaktisch reflektiert. Günter Graumann Bevölkerungsentwicklungen in Deutschland und in der Welt 25 Die Altersverteilung und Entwicklung der Population in Deutschland, den meisten Industrieländern, aber auch der Weltbevölkerung, ist ein in letzter Zeit in den Medien häufig diskutiertes Thema. Der Mathematikunterricht kann hierzu einen aufklärerischen Beitrag leisten. Gleichzeitig kann das Lesen und Interpretieren von statistischem Material trainiert und das Reflektieren über Modelle anregt werden. In diesem Beitrag liegt der Schwerpunkt auf dem Umgang mit Statistiken in Klasse 5/6 zur Bevölkerungsentwicklung in Deutschland sowie auf der Modellierung der Weltbevölkerungsentwicklung der letzten 5000 Jahre in Klasse 10. III

5 Inhalt Hans-Stefan Siller & Jürgen Maaß Wetten im Mathematikunterricht Förderung prozessbezogener Kompetenzen Spielsucht und Geldverluste beim Glücksspiel können für Schüler(innen) schon ernste Bedrohungen sein und strahlen zugleich eine Faszination aus, die sich auch für den Unterricht nutzen lässt. Wir schlagen vor, durch eine reflektierte Simulation von Sportereignissen und Sportwetten hohe subjektive Motivation, guten Mathematikunterricht und eine nachdrückliche Warnung vor den Gefahren von Glücksspiel und Spielsucht zu verbinden. Wir beschreiben den vorgeschlagenen Unterrichtsgang und die so erzielbaren Ergebnisse ohne damit Lehrer(inne)n vorschreiben zu wollen, dass sie es genau so machen müssen. 37 Burkhard Alpers Der Korbbogen Herkunft, Konstruktion und Anwendungen 49 Korbbögen findet man allenthalben, als Henkelform, bei Toren oder Brücken oder bei Druckbehältern im Heizungsraum. Sie bieten damit einen guten Untersuchungsgegenstand für einen (auch) auf praktische Anwendung ausgerichteten Mathematikunterricht. In diesem Beitrag wird zunächst auf die Bedeutung des Begriffs in Korbflechterei und Architektur eingegangen. Dann werden verschiedene Definitionen und Konstruktionsmöglichkeiten vorgestellt. Eine ebenfalls mögliche algebraische Modellierung und Optimierungsbetrachtungen zeigen weitere Behandlungsmöglichkeiten im Unterricht auf. Boris Girnat 63 Mathematik auf der Anklagebank Didaktische Überlegungen zu einem Ausflug in die Spieltheorie Die Spieltheorie ist eine junge mathematische Disziplin. Sie ist im 20. Jahrhundert mit dem Ziel angetreten, soziale Konfliktsituationen mathematisch zu beschreiben und Fragen der Politik, der Sozialwissenschaft, der Biologie, der Wirtschaftswissenschaften und sogar der Moralphilosophie einer wissenschaftlich exakten Methode zugänglich zu machen. Im Schulunterricht kann man an elementaren Beispielen ohne besondere Vorkenntnisse erleben, wie sich die Mathematik mit der Spieltheorie ein neues Anwendungsfeld erobert hat, wie umgekehrt reale Probleme die Entwicklung mathematischer Theorien beeinflussen, die rechnergestützte Simulation ein unersetzbares Handwerkszeug wird und nicht zuletzt dass man kritisch werden sollte, wenn eine Theorie verspricht, alle Konflikte des menschlichen, tierischen und staatlichen Miteinanders mathematisch sauber zu lösen. IV Schriftenreihe der ISTRON-Gruppe

6 Inhalt Andreas Eichler Auf Spurensuche im Supermarkt Kassenbons als Modellierungsaufgabe 75 Günter Gramlich Das Modellieren im Sinne der Beschreibung, der Erklärung oder auch der Prognose zu einem kleinen Ausschnitt der Realität basiert häufig auf Daten. Solche zu finden, ist in unserer datenorientierten Gesellschaft nicht schwer. In diesem Artikel sollen die Modellierungsmöglichkeiten empirischer Daten schrittweise hinsichtlich eines Modellierungskreislaufs betrachtet werden. Dabei stehen nicht offizielle, sondern weggeworfene Daten, nämlich Kassenbons verschiedener Supermärkte im Zentrum sowie die Frage, welche Aspekte des mathematischen Modellierens in verschiedenen Schulstufen mit verschiedener Komplexität möglich sind. Google TM und Mathematik Wer oder was ist wichtig? 95 Im Mai 2004 ist Google an die Börse gegangen, die Gründer Sergej Brin und Lawrence Page gehören seit dieser Zeit zu den reichsten Männern der Welt. Zum Verständnis des Google-Suchsystems sind vielseitige mathematische Modelle möglich. Sie erfordern die Vernetzung der mathematischen Teilgebiete Lineare Algebra, Analysis, Graphentheorie, Stochastik und Numerische Mathematik. Der Computer kann dabei als Rechenmittel, zur Visualisierung und Simulation vielfach und gewinnbringend eingesetzt werden. Das Ziel dieses Beitrags ist es, eine Anregung zu geben, die Mathematik, die sich hinter dem Google-Suchsysteme verbirgt, im Unterricht zu beleuchten. V

7 Vorwort Was ist ISTRON? Im Jahre 1990 hat sich in Istron Bay auf Kreta eine internationale Gruppe konstituiert mit dem Ziel, durch Koordination und Initiierung von Innovationen zur Verbesserung des Mathematikunterrichts beizutragen. Diese Gruppe, die sich nach dem Gründungsort genannt hat, besteht aus Mathematikern und Mathematikdidaktikern aus Europa und USA. Schwerpunkt der Aktivitäten war und ist es, Realitätsbezüge des Mathematikunterrichts zu fördern. Konstitutiv dabei ist die Netzwerk- Idee: Die Verbindung von Aktivitäten und der sie tragenden Menschen auf lokaler, regionaler und internationaler Ebene. Seit 1991 gibt es eine deutsch-österreichische ISTRON-Gruppe als Teil dieses Netzwerkes. Sie gibt diese Schriftenreihe heraus. Ihr gehören Lehrende aus Schulen und Hochschulen, Curriculumsentwickler, Schulbuchautoren, Lehrerfortbildner und Zeitschriftenherausgeber an. Die Gruppe hat ganz im Sinne der Netzwerk-Idee wechselseitige Verbindungen sowohl mit Lehrenden auf lokaler und regionaler Ebene als auch mit der internationalen ISTRON-Gruppe. Zu den Aktivitäten der Gruppe gehören (neben dieser Schriftenreihe) die Dokumentation und Entwicklung von schulgeeigneten Materialien zum realitätsorientierten Lehren und Lernen von Mathematik sowie alle Arten von Anstrengungen, solche Materialien in die Schulpraxis einzubringen durch Lehreraus- und fortbildung, über Schulbücher und Lehrpläne sowie natürlich vor allem durch direkte Arbeit vor Ort mit Lernenden. Zu diesem Band Die Bände dieser Schriftenreihe wollen für einen realitätsbezogenen Mathematikunterricht werben. Der Bezug zur Realität ist heutzutage unverzichtbarer Bestandteil des Mathematikunterrichts und wird nicht zuletzt in den nationalen Bildungsstandards eingefordert. Die Beiträge in den Bänden der ISTRON- Reihe sollen Lehrenden dabei helfen, Realitätsbezüge im Mathematikunterricht tatsächlich zu behandeln. Die überwiegende Anzahl der Beiträge enthalten daher konkrete und zum Teil mehrfach erprobte Vorschläge zur Einbeziehung von Anwendungen im Mathematikunterricht. Eine Schwierigkeit, der sich alle Autorinnen und Autoren bewusst sind ist, dass aufgrund der Individualität der Unterrichtssituationen alle didaktischen oder methodischen Überlegungen nicht so konkret formuliert werden können, dass sie unmittelbar in jeder Schule oder Klasse umgesetzt werden können. Daher ersetzen die Beiträge der ISTRON-Reihe die Unterrichtsvorbereitungen nicht, sollen sie aber erleichtern und anreichern. Die Beiträge des vorliegenden 15. Bandes der ISTRON-Reihe beziehen sich auf beide Sekundarstufen. Der Band umfasst zwei Teile. Im ersten Teil werden Materialsammlungen zum Modellieren in den Sekundarstufen vorgestellt. Im zweiten Teil werden Einzelbeispiele für die Modellierung realer Situationen behandelt. Hier geht es insbesondere um die Rekonstruktion eines Ausschnitts der Realität, etwa um Sportwetten, Kassenbons oder Google. Die dabei angesprochenen mathematischen Disziplinen umfassen die Algebra, Geometrie, Analysis oder Stochastik. Wir haben uns dabei bemüht, möglichst abwechslungsreiche, interessante und motivierende Beispiele zusammenzutragen. In diesem Sinne wünschen wir Ihnen viel Erfolg beim Beschreiten der hier vorgeschlagenen Wege. Unser Dank gilt den Autoren der Beiträge und dem Verlag Franzbecker, der die Publikation der ISTRON-Reihe ermöglicht. Regina Bruder & Andreas Eichler November 2010 VII

8 Aller Anfang ist schwer, Modellieren lernen umso mehr!? Erste Schritte auf dem Weg zur langfristigen Förderung von Modellierungskompetenzen im Mathematikunterricht ULRICH BÖHM, DARMSTADT Mathematisches Modellieren im Unterricht durchzuführen ist aus verschiedenen Gründen nach wie vor schwierig und hat im real stattfindenden Unterricht noch nicht den Stellenwert, der wünschenswert ist. Anspruchsvolle Modellierungsprobleme können Lernende schnell überfordern und für die Durchführung im Mathematikunterricht wird viel Zeit benötigt. Um einen moderaten Einstieg in das mathematische Modellieren im Unterricht zu ermöglichen, werden in diesem Beitrag bekannte Aufgabentypen in ein Konzept zum Erlernen des mathematischen Modellierens integriert. Damit soll ein Beitrag zu einem langfristig angelegten Kompetenzaufbau geleistet werden. 1 Einleitung Maßgeblich beeinflusst durch die internationalen Vergleichsuntersuchungen TIMSS und PISA wurde das mathematische Modellieren als allgemeine mathematische Kompetenz in die Bildungsstandards Mathematik aufgenommen (vgl. KMK 2004, S. 8). Doch auch wenn das mathematische Modellieren inzwischen auf der Grundlage der Bildungsstandards in allen Bundesländern Gegenstand der Lehrpläne ist, wird immer wieder auf Lücken zwischen fachdidaktischen Diskussionen und Lehrplaninhalten auf der einen Seite und der alltäglichen Unterrichtspraxis auf der anderen Seite hingewiesen (vgl. z.b. Blum 2007, S. 4 und Blum et al 2007, S. xi). Möglicherweise besteht eine Ursache für diese Theorie-Praxis-Differenz darin, dass viele Modellierungsaufgaben ein erstrebenswertes Zielniveau beschreiben. Im Sinne der Outputorientierung der Bildungsstandards ist dies auch durchaus sinnvoll, jedoch müssen Lernende erst zum Bewältigen solcher Anforderungen befähigt werden. Schüler haben weltweit große Probleme mit Modellierungsaufgaben, Modellieren ist offensichtlich schwer! (Blum 2007, S. 5) Für einen erfolgreichen Kompetenzaufbau über mehrere Schuljahre hinweg sind daher moderate Einstiege erforderlich. Zunächst werden Lernangebote benötigt, in denen wissensbasiert eine Art Fundament für die weitere Kompetenzentwicklung gelegt wird. (Bruder 2006, S. 147) Das Konzept in diesem Beitrag zielt darauf ab, ein solches Fundament für das Mathematische Modellieren zu legen. Dabei wird das Ziel (mathematisches Modellieren zum mittleren Schulabschluss) jedoch konsequent im Auge behalten, damit dieses Fundament für den weiteren Kompetenzaufbau tragfähig ist. Zur Beschreibung von Modellierungskompetenzen wird ein Modell vorgestellt, das eine differenzierte Beschreibung von Lernzielen für einen langfristigen Aufbau von Modellierungskompetenzen ermöglicht. Das Ziel des Konzeptes besteht darin, Schülerinnen und Schüler zu befähigen, die Grundrechenarten flexibel, situationsangemessen und reflektiert für vielfältige, realitätsbezogene Aufgabenstellungen nutzen zu können. Zahlreiche fachdidaktische Studien machen deutlich, dass dieses Ziel im Mathematikunterricht nicht von selbst in der gewünschten Form von den Lernenden erreicht wird (vgl. Verschaffel et al sowie Verschaffel et al. 2010). Das hier vorgeschlagene Konzept nutzt diese Erkenntnisse als Ausgangssituation und baut auf der Theorie der Lerntätigkeit nach Giest und Lompscher (2006) auf (vgl. Böhm in Druck). Der Anspruch an das Konzept ist die Verwendbarkeit und Nützlichkeit im alltäglichen Mathematikunterricht. 2 Mathematisches Modellieren Nach Humenberger & Reichel (1995, S. 31) ist das mathematische Modellieren oder Modellbilden eine typische Vorgehensweise beim Anwenden von Mathematik zum Lösen realer Probleme. Diese Vorgehensweise besteht wiederum aus verschiedenen Teilhandlungen, die in einem Modellierungskreislauf zusammengefasst werden. Diese Teilhandlungen werden im Folgenden vorgestellt. Illustriert werden Aller Anfang ist schwer, Modellieren lernen umso mehr!? 1