Implementierung von Huffmans Konstruktion optimaler Präfixcodes

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1 Implementierung von Huffmans Konstruktion optimaler Präfixcodes Huffmans Konstruktion schrittweise Freq d proc s Häufigkeitsverteilung der Symbole (sortiert) map x / rhs x = lhs x, StringTools:-CharacterFrequencies s f1 d Freq "abracadabra" f1 := 1 = "c", 1 = "d", 2 = "b", 2 = "r", 5 = "a" HuffmanStep dproc flist T set `=` einzelner Schritt in der Huffmann-Konstruktion if nops flist = 1 then rhs flist else flist 3..K1 union lhs flist 1 C lhs flist 2 = rhs flist 1, rhs flist 2 fi; (1.1) HuffmanStep f1 HuffmanStep % HuffmanStep % HuffmanStep % HuffmanStep % 2 = "b", 2 = "r", 2 = "c", "d", 5 = "a" 2 = "c", "d", 4 = "b", "r", 5 = "a" 5 = "a", 6 = "c", "d", "b", "r" 11 = "a", "c", "d", "b", "r" "a", "c", "d", "b", "r" HuffmanTree dproc s T string Iterative Konstruktion des Huffman-Baumes zum string s mju=mittlere erwartete Wortlänge local sfreq, symb, i, mju; sfreq d Freq s ; symb d nops sfreq ; mju d 0; for i from 1 to symb K 1 do print sfreq ; mju d mju C lhs sfreq 1 C lhs sfreq 2 ; sfreq d HuffmanStep sfreq od; (1.2) (1.3) (1.4) (1.5) (1.6)

2 sfreq d HuffmanStep sfreq ; mju sfreq, evalf length s ht d HuffmanTree "abracadabra" ht := "a", "c", "d", "b", "r", HuffmanCoding dproc ht, p d "" binäre Huffman-Codierung für Huffman-Baum ht if ht T string then ht = p else procname ht 1, cat p, 0, procname ht 2, cat p, 1 fi hc d HuffmanCoding ht 1 hc := "a" = "0", "c" = "100", "d" = "101", "b" = "110", "r" = "111" CodeString dproc s T string, HCT list `=` ` ` codiert string s gemäss binärer Codierung HC s darf nur Symbole aus dem Alphabet von HC haben local hctab; hctab d table HC ; cat map x/hctab x, StringTools:-Explode s ; cs d CodeString "abracadabra", hc cs := " " StringTools:-Entropy "abracadabra" HuffmanTree "abracadabra" "a", "c", "d", "b", "r", mu d % 2 length cs length "abracadabra" $mu StringTools:-Entropy cs µ := (1.7) (1.8) (1.9) (1.10) (1.11) (1.12) (1.13) (1.14) (1.15) Huffman-Codierung und Decodierung (A. Mihailovs)

3 HuffmanEncode dproc s code from Alec Mihailovs (mapleprimes 2009) local C, T, HuffmanTree, HuffmanCoding; HuffmanTree d s / if nops s % 1 then rhs s else procname s 3..K1 union lhs s 1 C lhs s 2 = rhs s 1, rhs s 2 fi; HuffmanCoding dproc s, p d "" if s T string then s = p else procname s 1, cat p, 0, procname s 2, cat p, 1 fi end; if _nrest = 1 then T d _rest else T d HuffmanTree map x / rhs x = lhs x, StringTools:-CharacterFrequencies s fi; C d table HuffmanCoding T ; cat map x / C x, StringTools:-Explode s, T HuffmanDecode dproc b, T code from Alec Mihailovs (mapleprimes 2009) local h, i, j, ans; ans d Array 1..length b ; h d T; j d 0; for i to length b do if b i = "0" then h d h 1 else h d h 2 fi; if h T string then j d j C 1; ans j d h; h d T fi od; StringTools:-Implode seq i, i = ans 1..j HuffmanEncode "abracadabra" " ", "a", "c", "d", "b", "r" HuffmanDecode % "abracadabra" (2.1) (2.2) Textbeispiel text2 d "Problemfach Mathe Vielleicht, vielleicht auch nicht Mathe bleibt ein rätselhaftes Fach: So fällt es Grundschülern offenbar schwer, Wahrscheinlichkeiten richtig einzuschätzen. Viele Zweit- und Viertklässler scheiterten an der Frage, ob ein Ereignis unmöglich oder

4 nur unwahrscheinlich ist. Doch auch in Klasse sechs fielen die Tests eher mäßig aus. Grundschulkinder haben offenbar große Schwierigkeiten, Wahrscheinlichkeiten und komplexe Matheaufgaben richtig zu beurteilen. Dies zeigt eine Studie der Ludwig-Maximilians- Universität (LMU) und der Technischen Universität (TUM) in München. Dafür wurden die mathematischen Fähigkeiten von rund 160 Schülern aus den Klassen zwei, vier und sechs untersucht. Um herauszufinden, wie erfolgreich Kinder Verständnis für wissenschaftliche Beweisführungen und Wahrscheinlichkeiten entwickeln, zeigten die Forscher den Kindern, wie Bäume auf zwei verschiedene Sorten Dünger reagierten: Mit Dünger aus einer blauen Packung wuchsen 24 Bäume gut, 12 gingen ein. Mit Dünger aus einer gelben Packung wuchsen drei Bäume gut, einer ging ein. Die meisten Schüler hielten jedoch den Dünger aus der blauen Packung für besser. Sogar viele Sechstklässler wählen die falsche Strategie und missachten die Proportionen, sagt TUM-Didaktikerin Professor Kristina Reiss. Sie vergleichen stattdessen die Differenz aus 24 und 12 mit der Differenz aus 3 und 1. Deshalb kommen sie auf einen vermeintlich besseren Wert für den blauen Dünger. Unmöglich oder unwahrscheinlich? Nun ist Düngemitteleinsatz nicht gerade ein lebensnahes Beispiel für Grundschüler - wenn auch besser geeignet als etwa das Rechnen mit Kinderleichen, wie das im vergangenen Jahr ein japanischer Lehrer mit seinen Schüler versucht hatte. Im Alltag jedoch muss jeder Mensch immer wieder Wahrscheinlichkeiten einschätzen und Schlussfolgerungen aus wissenschaftlichen Ergebnissen ziehen - egal ob es um den Einsatz beim Lotto oder die Erfolgschancen medizinischer Therapien geht. Die Grundlagen für diese Fähigkeiten werden dabei schon in der Grundschule gelegt. Stochastik, die Vereinigung von Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik, wird an den meisten Schulen allerdings erst in der Oberstufe unterrichtet. Aber schon zwischen unmöglich und unwahrscheinlich zu unterscheiden, fiel den Schülern schwer. Noch in der vierten Klasse halten es viele Kinder für unmöglich, aus einem Sack mit 99 blauen und einem roten Würfel den roten zu ziehen. Den Kinder fehlen das Verständnis für Zufall und Wahrscheinlichkeit sowie Strategien, um Daten zu analysieren - obwohl sie in diesem Alter bereits ausgeprägte kognitive Kompetenzen entwickelt haben, sagt LMU-Entwicklungspsychologin Beate Sodian. Beispielsweise verstehen schon Zweitklässler intuitiv, dass eine große Datenmenge aussagekräftiger ist als eine geringere. Die Wissenschaftler wollen nun solche Kompetenzen der Kinder

5 identifizieren und darauf aufbauend Methoden entwickeln, wie das Wahrscheinlichkeitsverständnis im Unterricht gefördert werden kann. " : HT2 d HuffmanTree text2 HT2 := "t", "g", "w", "D", "S", "s", "r", "0", "3", "6", "?", "E", "W", ",", "p", "F", "G", "L", "T", "!", "I", "J", "A", "m", ".", "!", "f", "z", "!", "d", " ", "u", "l", "K", "P", "V", "M", "Z", "!", "B", "o", "c", "e", "!", " ", "a", "i", "n", "b", "k", "O", "(", "1", "-", "2", "j", ")", "4", "9", ":", "N", "R", "x", "y", "U", "v", "h", T2, M2 d op HT2 : HuffmanEncode text2 " \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (3.1) (3.2)

6 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \

7 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \

8 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \

9 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \

10 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ", "t", "g", "w", "D", "S", "s", "r", "0", "3", "6", "?", "E", "W", ",", "p", "F", "G", "L", "T", "!", "I", "J", "A", "m", ".", "!", "f", "z", "!", "d", " ", "u", "l", "K", "P", "V", "M", "Z", "!", "B", "o", "c", "e", "!", " ", "a", "i", "n", "b", "k", "O", "(", "1", "-", "2", "j", ")", "4", "9", ":", "N", "R", "x", "y", "U", "v", "h" HuffmanDecode % "Problemfach Mathe Vielleicht, vielleicht auch nicht Mathe bleibt ein rätselhaftes Fach: So fällt es Grundschülern offenbar schwer, Wahrscheinlichkeiten richtig einzuschätzen. Viele Zweit- und Viertklässler scheiterten an der Frage, ob ein Ereignis unmöglich oder nur unwahrscheinlich ist. Doch auch in Klasse sechs fielen die Tests eher mäßig aus. Grundschulkinder haben offenbar große Schwierigkeiten, Wahrscheinlichkeiten und komplexe Matheaufgaben richtig zu (3.3)

11 beurteilen. Dies zeigt eine Studie der Ludwig-Maximilians- Universität (LMU) und der Technischen Universität (TUM) in München. Dafür wurden die mathematischen Fähigkeiten von rund 160 Schülern aus den Klassen zwei, vier und sechs untersucht. Um herauszufinden, wie erfolgreich Kinder Verständnis für wissenschaftliche Beweisführungen und Wahrscheinlichkeiten entwickeln, zeigten die Forscher den Kindern, wie Bäume auf zwei verschiedene Sorten Dünger reagierten: Mit Dünger aus einer blauen Packung wuchsen 24 Bäume gut, 12 gingen ein. Mit Dünger aus einer gelben Packung wuchsen drei Bäume gut, einer ging ein. Die meisten Schüler hielten jedoch den Dünger aus der blauen Packung für besser. Sogar viele Sechstklässler wählen die falsche Strategie und missachten die Proportionen, sagt TUM-Didaktikerin Professor Kristina Reiss. Sie vergleichen stattdessen die Differenz aus 24 und 12 mit der Differenz aus 3 und 1. Deshalb kommen sie auf einen vermeintlich besseren Wert für den blauen Dünger. Unmöglich oder unwahrscheinlich? Nun ist Düngemitteleinsatz nicht gerade ein lebensnahes Beispiel für Grundschüler - wenn auch besser geeignet als etwa das Rechnen mit Kinderleichen, wie das im vergangenen Jahr ein japanischer Lehrer mit seinen Schüler versucht hatte. Im Alltag jedoch muss jeder Mensch immer wieder Wahrscheinlichkeiten einschätzen und Schlussfolgerungen aus wissenschaftlichen Ergebnissen ziehen - egal ob es um den Einsatz beim Lotto oder die Erfolgschancen medizinischer Therapien geht. Die Grundlagen für diese Fähigkeiten werden dabei schon in der Grundschule gelegt. Stochastik, die Vereinigung von Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik, wird an den meisten Schulen allerdings erst in der Oberstufe unterrichtet. Aber schon zwischen unmöglich und unwahrscheinlich zu unterscheiden, fiel den Schülern schwer. Noch in der vierten Klasse halten es viele Kinder für unmöglich, aus einem Sack mit 99 blauen und einem roten Würfel den roten zu ziehen. Den Kinder fehlen das Verständnis für Zufall und Wahrscheinlichkeit sowie Strategien, um Daten zu analysieren - obwohl sie in

12 diesem Alter bereits ausgeprägte kognitive Kompetenzen entwickelt haben, sagt LMU-Entwicklungspsychologin Beate Sodian. Beispielsweise verstehen schon Zweitklässler intuitiv, dass eine große Datenmenge aussagekräftiger ist als eine geringere. Die Wissenschaftler wollen nun solche Kompetenzen der Kinder identifizieren und darauf aufbauend Methoden entwickeln, wie das Wahrscheinlichkeitsverständnis im Unterricht gefördert t d time : bin2 d HuffmanEncode text2 : time K t; t d time : HuffmanDecode bin2 : time K t; length text2 StringTools:-Entropy text2 M2 length text2 $M2 length bin2 1 mu d 1 StringTools:-Entropy bin2 1 werden kann. " µ := (3.4) (3.5) (3.6) (3.7) (3.8) (3.9) (3.10) (3.11) (3.12)