Kinga Szűcs Friedrich-Schiller-Universität Jena Fakultät für Mathematik und Informatik Abteilung Didaktik

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1 Beurteilende Statistik im Mathematikunterricht Kinga Szűcs Friedrich-Schiller-Universität Jena Fakultät für Mathematik und Informatik Abteilung Didaktik

2 Gliederung Anliegen der beurteilenden Statistik Bezüge zu den Bildungsstandards Bezüge zu dem Thüringer Lehrplan Der Signifikanztest Voraussetzungen Wichtigste Inhalte Einführungsmöglichkeiten Der Alternativtest Voraussetzungen Wichtigste Inhalte Einführungsmöglichkeiten Vor- und Nachteile, Schwierigkeiten im MU Fazit

3 Anliegen der beurteilenden Statistik In der beschreibenden Statistik geht es um Sammeln, Erfassen, Strukturieren, Darstellen und Auswerten von Daten, es geht also um vergangene Ereignisse. Die Wahrscheinlichkeitsrechnung beschäftigt sich mit zukünftigen Ereignissen. Die beurteilende (schließende) Statistik verbindet die beiden Bereiche: Anhand von Stichproben (d.h. anhand mehrmaliger Ausführung von Zufallsexperimenten - vergangen) formuliert und überprüft sie mit Hilfe der Wahrscheinlichkeitsrechnung Hypothesen über die Verteilung bestimmter Merkmale innerhalb einer Grundgesamtheit.

4 Bezüge zu den Bildungsstandards Grundlegendes und erhöhtes Anforderungsniveau: Die Schülerinnen und Schüler können [ ] die Binomialverteilung und ihre Kenngrößen nutzen Simulationen zur Untersuchung stochastischer Situationen verwenden in einfachen Fällen aufgrund von Stichproben auf die Gesamtheit schließen

5 Bezüge zu den Bildungsstandards Erhöhtes Anforderungsniveau: Die Schülerinnen und Schüler können darüber hinaus [ ] Hypothesentests interpretieren und die Unsicherheit und Genauigkeit der Ergebnisse begründen (B2) exemplarisch diskrete und stetige Zufallsgrößen unterscheiden und die Glockenform als Grundvorstellung von normalverteilten Zufallsgrößen nutzen stochastische Situationen untersuchen, die zu annähernd normalverteilten Zufallsgrößen führen (KMK, 2012)

6 Bezüge zum Thüringer Lehrplan Der Schüler kann exemplarisch statistische Erhebungen planen und beurteilen, zweiseitige Signifikanztests für binomialverteilte Zufallsgrößen durchführen und interpretieren, [ ]

7 Bezüge zum Thüringer Lehrplan Thema 2 Hypothesentests (auch einseitige Signifikanztests und Alternativtests) für binomial- und normalverteilte Zufallsgrößen durchführen und interpretieren, Unsicherheit der Ergebnisse von Hypothesentests begründen,[ ] TMBWK (2013)

8 Der Signifikanztest Voraussetzungen: Laplacesche Wahrscheinlichkeit Binomialverteilung (Bernoulli-Ketten, hierzu auch: Unabhängigkeit, Stichproben mit Zurücklegen) Aufstellen und Revidieren von Hypothesen (Annahme, Ablehnung) Irrtumswahrscheinlichkeit

9 Der Signifikanztest Wichtigste Inhalte: Nullhypothese, Alternativhypothese Entscheidungsverfahren (Unterschied zw. Aufstellen und Testen von Hypothese bewusst machen!) Entscheidungskriterium (hierzu: Idee der Normierung) Signifikanzniveau Fehler 1. (= Nullhypothese ist richtig, trotzdem abgelehnt) und 2. Art (= Nullhypothese ist falsch, trotzdem angenommen) Ablehnungsbereich Durchführung des Versuchs Prüfen und Bewerten des Ergebnisses

10 Ein möglicher Einstieg: Der Signifikanztest

11 Der Signifikanztest Weitere mögliche Einstiege: gezinkter Minutenschätzen Kreisel (Analog zu fairer Euromünze) (Riemer, 2012)

12 Der Signifikanztest Mögliche Projekte: Den Zufall imitieren (Münzwurf und Würfeln durch Zahlenfolgen imitieren und diese anschließend auswerten) (Leuders, 2005) Blauer Engel (LISA, 2000) (Umfrage zur Bekanntheit des Zeichens in der eigenen Gemeinde/Schule durchführen) Was ist dran an Blondinenwitzen? (LISA, 2000) (sehr heikles Thema, Lehrer, Schüler können verletzt werden!) Mit Bleistiften würfeln (ein- und zweiseitiger Signifikanztest, Alternativtest, Chi-Quadrat-Anpassungstest)

13 Voraussetzungen: Der Alternativtest wie Kenntnis beim Signifikanztest, des Signifikanztests ist nicht unbedingt notwendig, aber sehr hilfreich!

14 Der Alternativtest Wichtigste Inhalte: wie Unterschied: Falls beim Signifikanztest Es werden zwei Hypothesen für eine unbekannte Wahrscheinlichkeit gegeneinander überprüft. die eine Hypothese (die Nullhypothese ) verworfen werden muss, wird die andere Hypothese (die Alternativhypothese) angenommen. Letztere ist in diesem Fall nicht nur die Verneinung der Nullhypothese, sondern ein konkreter Wert für die unbekannte Wahrscheinlichkeit.

15 Der Alternativtest Schwierig, realitätsnahe Aufgaben zu finden Ein möglicher Einstieg: Anhand der beiden Experimente (des polnischen Professors und der Mitarbeiter der Redaktion) kann man die Vermutung formulieren, die Wahrscheinlichkeit für Kopf ist 60% bei einer Euromünze. Oder ist sie doch fair, also 50% Wahrscheinlichkeit für jede Seite?

16 Der Alternativtest Ein weiterer möglicher Einstieg: Ein Großabnehmer bezieht von einer Firma Schrauben. Von den Schrauben erster Qualität sind im Mittel 10%, von denen zweiter Qualität 25 % Ausschuss. Bei der Lieferung ist bei einem Paket die Beschriftung verlorengegangen. a.) Für die unbekannte Wahrscheinlichkeit p kommt nur einer der beiden Werte p0 =0,1 bzw. p1 =0,25 in Betracht. Zu testen ist somit die Nullhypothese H0:p=0,1 gegen die (einzige) Alternative H1: p =0,25. (Bosch, 2001)

17 Der Alternativtest Entwerfen Sie ein geeignetes Entscheidungsverfahren! Legen Sie hierzu einen entsprechenden Entscheidungskriterium fest. Bestimmen Sie den Annahme- und den Ablehnungsbereich für H 0. Bestimmen Sie die Irrtumswahrscheinlichkeiten und interpretieren Sie diese Ergebnisse.

18 Vor-und Nachteile, Schwierigkeiten im MU + Sensibilisierung für kritischen Umgang mit Daten und Schlussfolgerungen aus statistischen Tests Förderung aller mathematischen Kompetenzen Möglichkeit zum sinnvollen Einsatz von Computer (z.b. Tabellenkalkulation) und von CAS-Rechner Analogie zum indirekten Beweis - Alternativtests haben wenig Realitätsbezug Testverfahren oft sehr komplex Wenn methodisch nicht gut vorbereitet, kann die Durchführung von Testverfahren zum unreflektierten Abarbeiten von Rezepten werden Aus didaktischer Sicht besonders geeignete Projekte sind zeitaufwendig

19 Fazit Sowohl mathematisch als auch methodisch komplexes Gebiet Besonders beim Signifikanztest vielfältige Einsatzmöglichkeiten Gleichzeitige Förderung aller mathematischen Kompetenzen denkbar und machbar

20 Literatur Bosch, K. (2001): TRAINING Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik. Sekundarstufe I/II. Stuttgart: Klett, S Leuders, T. (2005): Darf das denn wahr sein? Eine schüleraktive Entdeckung der Grundidee des Hypothesentestens mit Tabellenkalkulation. Praxis der Mathematik in der Schule 2005/4, S LISA (2000): Stochastik im Mathematikunterricht der Sekundarstufe II. Landesinstitut für Lehrerweiterbildung und Unterrichtsforschung von Sachsen-Anhalt. Halle. Riemer, W. (2012): Mit Bleistiften würfeln. Beurteilende Statistik zwischen Realität und Simulation. Praxis der Mathematik in der Schule, 43, Riemer, W. (2012): Lernen aus Erfahrung. Ein Fünfminuten - Experiment TMBWK (2013): Lehrplan für den Erwerb der allgemeinen Hochschulreife. Mathematik. KMK (2004): Bildungsstandards im Fach Mathematik für den mittleren Schulabschluss. KMK (2012): Bildungsstandards im Fach Mathematik für die Allgemeine Hochschulreife.