Datenstrukturen 1. Sommersemester Basierend auf Folien von Prof. Georg Schnitger und Prof. Ulrich Meyer
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1 Datenstrukturen 1 Sommersemester Basierend auf Folien von Prof. Georg Schnitger und Prof. Ulrich Meyer Martin Hoefer Datenstrukturen Kapitel Mai / 79
2 Datenstrukturen 1 Sommersemester 2019 Herzlich willkommen! 1 Basierend auf Folien von Prof. Georg Schnitger und Prof. Ulrich Meyer Martin Hoefer Datenstrukturen Kapitel Mai / 79
3 Wer ist wer? Wir: Professur für Algorithmen und Komplexität Martin Hoefer (Vorlesungen) R 115 RMS 11 15, mhoefer@cs.uni-frankfurt.de Martin Hoefer Datenstrukturen Kapitel Mai / 79
4 Wer ist wer? Wir: Professur für Algorithmen und Komplexität Martin Hoefer (Vorlesungen) R 115 RMS 11 15, mhoefer@cs.uni-frankfurt.de Niklas Hahn (Übungskoordination) R106 RMS 11 15, n.hahn@em.uni-frankfurt.de Martin Hoefer Datenstrukturen Kapitel Mai / 79
5 Wer ist wer? Wir: Professur für Algorithmen und Komplexität Martin Hoefer (Vorlesungen) R 115 RMS 11 15, mhoefer@cs.uni-frankfurt.de Niklas Hahn (Übungskoordination) R106 RMS 11 15, n.hahn@em.uni-frankfurt.de Karl Fehrs, Marius Hagemann, Melvin Kallmayer, Rene Meier, Adrian Musella, Elias Pitschmann, Leonard Priester, Jonas Strauch, Tolga Tel, Yauheniya Zhdanovich (Tutoren) Martin Hoefer Datenstrukturen Kapitel Mai / 79
6 Wer ist wer? Wir: Professur für Algorithmen und Komplexität Martin Hoefer (Vorlesungen) R 115 RMS 11 15, mhoefer@cs.uni-frankfurt.de Niklas Hahn (Übungskoordination) R106 RMS 11 15, n.hahn@em.uni-frankfurt.de Karl Fehrs, Marius Hagemann, Melvin Kallmayer, Rene Meier, Adrian Musella, Elias Pitschmann, Leonard Priester, Jonas Strauch, Tolga Tel, Yauheniya Zhdanovich (Tutoren) algo.cs.uni-frankfurt.de Sommer 2019 Datenstrukturen Martin Hoefer Datenstrukturen Kapitel Mai / 79
7 Wer ist wer? Wir: Professur für Algorithmen und Komplexität Martin Hoefer (Vorlesungen) R 115 RMS 11 15, mhoefer@cs.uni-frankfurt.de Niklas Hahn (Übungskoordination) R106 RMS 11 15, n.hahn@em.uni-frankfurt.de Karl Fehrs, Marius Hagemann, Melvin Kallmayer, Rene Meier, Adrian Musella, Elias Pitschmann, Leonard Priester, Jonas Strauch, Tolga Tel, Yauheniya Zhdanovich (Tutoren) algo.cs.uni-frankfurt.de Sommer 2019 Datenstrukturen Wer sind Sie? Martin Hoefer Datenstrukturen Kapitel Mai / 79
8 Worum geht s? Martin Hoefer Datenstrukturen Kapitel Mai / 79
9 Abstrakte Datentypen und Datenstrukturen Ein abstrakter Datentyp ist eine Sammlung von Operationen auf einer Menge von Objekten. Eine Datenstruktur ist eine Implementation eines abstrakten Datentyps Martin Hoefer Datenstrukturen Kapitel Mai / 79
10 Abstrakte Datentypen und Datenstrukturen Ein abstrakter Datentyp ist eine Sammlung von Operationen auf einer Menge von Objekten. Eine Datenstruktur ist eine Implementation eines abstrakten Datentyps Ein Beispiel für häufig auftretende Operationen: das Einfügen und Entfernen von Schlüsseln nach ihrem Alter. Wenn der jüngste Schlüssel zu entfernen ist: Wähle die Datenstruktur Martin Hoefer Datenstrukturen Kapitel Mai / 79
11 Abstrakte Datentypen und Datenstrukturen Ein abstrakter Datentyp ist eine Sammlung von Operationen auf einer Menge von Objekten. Eine Datenstruktur ist eine Implementation eines abstrakten Datentyps Ein Beispiel für häufig auftretende Operationen: das Einfügen und Entfernen von Schlüsseln nach ihrem Alter. Wenn der jüngste Schlüssel zu entfernen ist: Wähle die Datenstruktur Stack. Martin Hoefer Datenstrukturen Kapitel Mai / 79
12 Abstrakte Datentypen und Datenstrukturen Ein abstrakter Datentyp ist eine Sammlung von Operationen auf einer Menge von Objekten. Eine Datenstruktur ist eine Implementation eines abstrakten Datentyps Ein Beispiel für häufig auftretende Operationen: das Einfügen und Entfernen von Schlüsseln nach ihrem Alter. Wenn der jüngste Schlüssel zu entfernen ist: Wähle die Datenstruktur Stack. Wenn der älteste Schlüssel zu entfernen ist: Wähle die Datenstruktur Martin Hoefer Datenstrukturen Kapitel Mai / 79
13 Abstrakte Datentypen und Datenstrukturen Ein abstrakter Datentyp ist eine Sammlung von Operationen auf einer Menge von Objekten. Eine Datenstruktur ist eine Implementation eines abstrakten Datentyps Ein Beispiel für häufig auftretende Operationen: das Einfügen und Entfernen von Schlüsseln nach ihrem Alter. Wenn der jüngste Schlüssel zu entfernen ist: Wähle die Datenstruktur Stack. Wenn der älteste Schlüssel zu entfernen ist: Wähle die Datenstruktur Schlange (engl. Queue ). Martin Hoefer Datenstrukturen Kapitel Mai / 79
14 Abstrakte Datentypen und Datenstrukturen Ein abstrakter Datentyp ist eine Sammlung von Operationen auf einer Menge von Objekten. Eine Datenstruktur ist eine Implementation eines abstrakten Datentyps Ein Beispiel für häufig auftretende Operationen: das Einfügen und Entfernen von Schlüsseln nach ihrem Alter. Wenn der jüngste Schlüssel zu entfernen ist: Wähle die Datenstruktur Stack. Wenn der älteste Schlüssel zu entfernen ist: Wähle die Datenstruktur Schlange (engl. Queue ). Wenn Schlüssel Prioritäten besitzen und der Schlüssel mit höchster Priorität zu entfernen ist: Wähle die Datenstruktur Martin Hoefer Datenstrukturen Kapitel Mai / 79
15 Abstrakte Datentypen und Datenstrukturen Ein abstrakter Datentyp ist eine Sammlung von Operationen auf einer Menge von Objekten. Eine Datenstruktur ist eine Implementation eines abstrakten Datentyps Ein Beispiel für häufig auftretende Operationen: das Einfügen und Entfernen von Schlüsseln nach ihrem Alter. Wenn der jüngste Schlüssel zu entfernen ist: Wähle die Datenstruktur Stack. Wenn der älteste Schlüssel zu entfernen ist: Wähle die Datenstruktur Schlange (engl. Queue ). Wenn Schlüssel Prioritäten besitzen und der Schlüssel mit höchster Priorität zu entfernen ist: Wähle die Datenstruktur Heap. Martin Hoefer Datenstrukturen Kapitel Mai / 79
16 Worum geht s? Gegeben sei ein abstrakter Datentyp. Entwerfe eine möglichst effiziente Datenstruktur. Welche abstrakten Datentypen? Martin Hoefer Datenstrukturen Kapitel Mai / 79
17 Worum geht s? Gegeben sei ein abstrakter Datentyp. Entwerfe eine möglichst effiziente Datenstruktur. Welche abstrakten Datentypen? Stack: Einfügen und Entfernen des jüngsten Schlüssels. Warteschlange: Einfügen und Entfernen des ältesten Schlüssels. Prioritätswarteschlange: Einfügen und Entfernen des wichtigsten Schlüssels. Wörterbuch: Einfügen, Entfernen (eines beliebigen Schlüssels) und Suche. Martin Hoefer Datenstrukturen Kapitel Mai / 79
18 Worum geht s? Gegeben sei ein abstrakter Datentyp. Entwerfe eine möglichst effiziente Datenstruktur. Welche abstrakten Datentypen? Stack: Einfügen und Entfernen des jüngsten Schlüssels. Warteschlange: Einfügen und Entfernen des ältesten Schlüssels. Prioritätswarteschlange: Einfügen und Entfernen des wichtigsten Schlüssels. Wörterbuch: Einfügen, Entfernen (eines beliebigen Schlüssels) und Suche. Was heißt Effizienz? Martin Hoefer Datenstrukturen Kapitel Mai / 79
19 Worum geht s? Gegeben sei ein abstrakter Datentyp. Entwerfe eine möglichst effiziente Datenstruktur. Welche abstrakten Datentypen? Stack: Einfügen und Entfernen des jüngsten Schlüssels. Warteschlange: Einfügen und Entfernen des ältesten Schlüssels. Prioritätswarteschlange: Einfügen und Entfernen des wichtigsten Schlüssels. Wörterbuch: Einfügen, Entfernen (eines beliebigen Schlüssels) und Suche. Was heißt Effizienz? Minimiere die Laufzeit und den Speicherplatzverbrauch der einzelnen Operationen. Martin Hoefer Datenstrukturen Kapitel Mai / 79
20 Worum geht s? Gegeben sei ein abstrakter Datentyp. Entwerfe eine möglichst effiziente Datenstruktur. Welche abstrakten Datentypen? Stack: Einfügen und Entfernen des jüngsten Schlüssels. Warteschlange: Einfügen und Entfernen des ältesten Schlüssels. Prioritätswarteschlange: Einfügen und Entfernen des wichtigsten Schlüssels. Wörterbuch: Einfügen, Entfernen (eines beliebigen Schlüssels) und Suche. Was heißt Effizienz? Minimiere die Laufzeit und den Speicherplatzverbrauch der einzelnen Operationen. Wie skalieren die Ressourcen mit wachsender Eingabelänge? Asymptotische Analyse von Laufzeit und Speicherplatzverbrauch Martin Hoefer Datenstrukturen Kapitel Mai / 79
21 Worauf wird aufgebaut? (1) Diskrete Modellierung (bzw. Vorkurs): Vollständige Induktion und allgemeine Beweismethoden. Siehe hierzu auch die Seite des Vorkurs Informatik mit Folien zu Beweistechniken, Induktion und Rekursion und Asymptotik und Laufzeitanalyse. (2) Grundlagen der Programmierung 1: Kenntnis der elementaren Datenstrukturen (3) Lineare Algebra und Analysis: - Logarithmen, - Grenzwerte und - asymptotische Notation. Martin Hoefer Datenstrukturen Kapitel Mai / 79
22 Literatur (1/2) - Skript und Folien zur Vorlesung finden Sie auf der Webseite der Veranstaltung. - Kapitel 3-5, und 18 in T.H. Cormen, C.E. Leiserson, R.L. Rivest, C. Stein, Introduction to Algorithms, second edition, M. T. Goodrich, R. Tamassia, D. M. Mount, Data Structures and Algorithms in C++, M. Dietzfelbinger, K. Mehlhorn, P. Sanders, Algorithmen und Datenstrukturen, die Grundwerkzeuge, Springer Vieweg, R. Sedgewick, Algorithmen in C++, Kapitel 1-7 im Grundlagenteil. - Kapitel 1-3 in J. Kleinberg, E. Tardos, Algorithm Design (GL-1 Textbuch), Pearson New International Edition, Für mathematische Grundlagen: N. Schweikardt, Diskrete Modellierung, eine Einführung in grundlegende Begriffe und Methoden der Theoretischen Informatik, (Kapitel 2,5) D. Grieser, Mathematisches Problemlösen und Beweisen, eine Entdeckungsreise in die Mathematik, Springer Vieweg Martin Hoefer Datenstrukturen Kapitel Mai / 79
23 Literatur (2/2) Sämtliche Textbücher befinden sich auch in der Bibliothek im Semesterapparat der Veranstaltung Datenstrukturen. Die Bibliothek befindet sich im 1. Stock in der Robert-Mayer Strasse Martin Hoefer Datenstrukturen Kapitel Mai / 79
24 Organisatorisches Martin Hoefer Datenstrukturen Kapitel Mai / 79
25 Übungsbetrieb Alle Details auf der Webseite! Anmeldung zu Übungen im AUGE-System bis Donnerstag, Übungsblätter erscheinen im 2-Wochen Rhythmus auf der Webseite. Lösungen (zusammengetackert, mit vollem Namen, Matrikelnummer, und Nummer der Übungsgruppe versehen) sind nach 2-wöchiger Bearbeitungszeit abzugeben: Entweder im H V vor Beginn der Vorlesung oder in den Briefkasten einwerfen zwischen Büros 114 und 115, Robert-Mayer-Str Martin Hoefer Datenstrukturen Kapitel Mai / 79
26 Übungsbetrieb Alle Details auf der Webseite! Anmeldung zu Übungen im AUGE-System bis Donnerstag, Übungsblätter erscheinen im 2-Wochen Rhythmus auf der Webseite. Lösungen (zusammengetackert, mit vollem Namen, Matrikelnummer, und Nummer der Übungsgruppe versehen) sind nach 2-wöchiger Bearbeitungszeit abzugeben: Entweder im H V vor Beginn der Vorlesung oder in den Briefkasten einwerfen zwischen Büros 114 und 115, Robert-Mayer-Str Übungsgruppen treffen sich ab nächste Woche Dienstag, Bis Ende April freie Wahl der Gruppe, ab Mai gemäß Zuordnung. Martin Hoefer Datenstrukturen Kapitel Mai / 79
27 Übungsbetrieb Alle Details auf der Webseite! Anmeldung zu Übungen im AUGE-System bis Donnerstag, Übungsblätter erscheinen im 2-Wochen Rhythmus auf der Webseite. Lösungen (zusammengetackert, mit vollem Namen, Matrikelnummer, und Nummer der Übungsgruppe versehen) sind nach 2-wöchiger Bearbeitungszeit abzugeben: Entweder im H V vor Beginn der Vorlesung oder in den Briefkasten einwerfen zwischen Büros 114 und 115, Robert-Mayer-Str Übungsgruppen treffen sich ab nächste Woche Dienstag, Bis Ende April freie Wahl der Gruppe, ab Mai gemäß Zuordnung. Heute Ausgabe 0. Übungsblatt (ohne Abgabe) und 1. Übungsblatt (Abgabe bis ) Martin Hoefer Datenstrukturen Kapitel Mai / 79
28 Übungsbetrieb Alle Details auf der Webseite! Anmeldung zu Übungen im AUGE-System bis Donnerstag, Übungsblätter erscheinen im 2-Wochen Rhythmus auf der Webseite. Lösungen (zusammengetackert, mit vollem Namen, Matrikelnummer, und Nummer der Übungsgruppe versehen) sind nach 2-wöchiger Bearbeitungszeit abzugeben: Entweder im H V vor Beginn der Vorlesung oder in den Briefkasten einwerfen zwischen Büros 114 und 115, Robert-Mayer-Str Übungsgruppen treffen sich ab nächste Woche Dienstag, Bis Ende April freie Wahl der Gruppe, ab Mai gemäß Zuordnung. Heute Ausgabe 0. Übungsblatt (ohne Abgabe) und 1. Übungsblatt (Abgabe bis ) Übungsaufgaben sollten mit Anderen besprochen werden, aber Lösungen müssen eigenständig aufgeschrieben werden! Martin Hoefer Datenstrukturen Kapitel Mai / 79
29 Klausur Hauptklausur: Montag, 22. Juli 2019, ab 9:00 Uhr. Zweitklausur: Dienstag, 01. Oktober 2019, ab 9:00 Uhr. Die in den Übungen erreichten Punkte werden mit einem Maximalgewicht von 10% zu den Klausurpunkten hinzugezählt: Werden in der Klausur x% und in den Übungen y% erzielt, dann ist z = x + (y/10) die Gesamtpunktzahl. Die Veranstaltung ist bestanden, wenn die Klausur bestanden ist (i.d.r. wenn x 50). Wenn die Klausur bestanden ist, hängt die Note von der Gesamtpunktzahl z ab. Martin Hoefer Datenstrukturen Kapitel Mai / 79
30 Bevor es losgeht... Vor- und Nachbereitung der Vorlesungen Unbedingt am Übungsbetrieb teilnehmen und Aufgaben bearbeiten! Von den Teilnehmern, die 50% der Übungspunkte erreichen, bestehen nahezu 100% auch die Klausur! Teamarbeit vs. Einzelkämpfer Studieren lernen der richtige Umgang mit den Freiheiten Martin Hoefer Datenstrukturen Kapitel Mai / 79
31 Bevor es losgeht... Vor- und Nachbereitung der Vorlesungen Unbedingt am Übungsbetrieb teilnehmen und Aufgaben bearbeiten! Von den Teilnehmern, die 50% der Übungspunkte erreichen, bestehen nahezu 100% auch die Klausur! Teamarbeit vs. Einzelkämpfer Studieren lernen der richtige Umgang mit den Freiheiten Sprechstunde vereinbaren per . Oder versuchen Sie es auf gut Glück (Raum 115). Martin Hoefer Datenstrukturen Kapitel Mai / 79
32 Bevor es losgeht... Vor- und Nachbereitung der Vorlesungen Unbedingt am Übungsbetrieb teilnehmen und Aufgaben bearbeiten! Von den Teilnehmern, die 50% der Übungspunkte erreichen, bestehen nahezu 100% auch die Klausur! Teamarbeit vs. Einzelkämpfer Studieren lernen der richtige Umgang mit den Freiheiten Sprechstunde vereinbaren per . Oder versuchen Sie es auf gut Glück (Raum 115). Helfen Sie uns durch ihre Fragen, Kommentare und Antworten! Die Veranstaltung kann nur durch Interaktion interessant werden. Martin Hoefer Datenstrukturen Kapitel Mai / 79
33 Mathematische Grundlagen Martin Hoefer Datenstrukturen Kapitel Mai / 79
34 Vollständige Induktion Ziel: Zeige die Aussage A(n) für alle natürlichen Zahlen n n 0. Martin Hoefer Datenstrukturen Kapitel Mai / 79
35 Vollständige Induktion Ziel: Zeige die Aussage A(n) für alle natürlichen Zahlen n n 0. Die Methode der vollständigen Induktion 1. Zeige im INDUKTIONSANFANG die Aussage A(n 0 ) und Martin Hoefer Datenstrukturen Kapitel Mai / 79
36 Vollständige Induktion Ziel: Zeige die Aussage A(n) für alle natürlichen Zahlen n n 0. Die Methode der vollständigen Induktion 1. Zeige im INDUKTIONSANFANG die Aussage A(n 0 ) und 2. im INDUKTIONSSCHRITT die Implikation (A(n 0 ) A(n 0 + 1) A(n)) A(n + 1) für jede Zahl n mit n n 0. A(n 0 ) A(n 0 + 1) A(n) heißt Induktionsannahme. Martin Hoefer Datenstrukturen Kapitel Mai / 79
37 Vollständige Induktion Ziel: Zeige die Aussage A(n) für alle natürlichen Zahlen n n 0. Die Methode der vollständigen Induktion 1. Zeige im INDUKTIONSANFANG die Aussage A(n 0 ) und 2. im INDUKTIONSSCHRITT die Implikation (A(n 0 ) A(n 0 + 1) A(n)) A(n + 1) für jede Zahl n mit n n 0. A(n 0 ) A(n 0 + 1) A(n) heißt Induktionsannahme. Häufig nimmt man nur die Aussage A(n) in der Induktionsannahme an. Martin Hoefer Datenstrukturen Kapitel Mai / 79
38 Wiederholung? (1) demogr. Mathematische Grundlagen: Gesucht ist eine kurze Formel für n i i=1 (1) (2) n(n 1) 2 n(n+1) 2 (3) n (4) Hab ich mal irgendwann gelernt... (5) Zahlen als Buchstaben!?!? Martin Hoefer Datenstrukturen Kapitel Mai / 79
39 Wiederholung? (1) demogr. Mathematische Grundlagen: Gesucht ist eine kurze Formel für n i i=1 (1) (2) n(n 1) 2 n(n+1) 2 (3) n (4) Hab ich mal irgendwann gelernt... (5) Zahlen als Buchstaben!?!? Auflösung: Martin Hoefer Datenstrukturen Kapitel Mai / 79
40 Wiederholung? (1) demogr. Mathematische Grundlagen: Gesucht ist eine kurze Formel für n i i=1 (1) (2) n(n 1) 2 n(n+1) 2 (3) n (4) Hab ich mal irgendwann gelernt... (5) Zahlen als Buchstaben!?!? Auflösung: (2) n(n+1) 2 Martin Hoefer Datenstrukturen Kapitel Mai / 79
41 Wiederholung? (1) demogr. Mathematische Grundlagen: Gesucht ist eine kurze Formel für n i i=1 (1) (2) n(n 1) 2 n(n+1) 2 (3) n (4) Hab ich mal irgendwann gelernt... (5) Zahlen als Buchstaben!?!? Auflösung: (2) n(n+1) 2 (wie beweist man das?) Martin Hoefer Datenstrukturen Kapitel Mai / 79
42 Die Summe der ersten n Zahlen n i = n = i=1 n (n + 1) 2. Martin Hoefer Datenstrukturen Kapitel Mai / 79
43 Die Summe der ersten n Zahlen n i = n = i=1 n (n + 1) 2 Vollständige Induktion nach n:. Martin Hoefer Datenstrukturen Kapitel Mai / 79
44 Die Summe der ersten n Zahlen n i = n = i=1 n (n + 1) 2 Vollständige Induktion nach n: Induktionsanfang für n = 1:. Martin Hoefer Datenstrukturen Kapitel Mai / 79
45 Die Summe der ersten n Zahlen n i = n = i=1 n (n + 1) 2 Vollständige Induktion nach n: Induktionsanfang für n = 1: 1 i=1 i = 1. Martin Hoefer Datenstrukturen Kapitel Mai / 79
46 Die Summe der ersten n Zahlen n i = n = i=1 n (n + 1) 2 Vollständige Induktion nach n: Induktionsanfang für n = 1: 1 1 (1+1) i=1 i = 1 und 2 = 1.. Martin Hoefer Datenstrukturen Kapitel Mai / 79
47 Die Summe der ersten n Zahlen n i = n = i=1 n (n + 1) 2 Vollständige Induktion nach n: Induktionsanfang für n = 1: 1 1 (1+1) i=1 i = 1 und 2 = 1.. Martin Hoefer Datenstrukturen Kapitel Mai / 79
48 Die Summe der ersten n Zahlen n i = n = i=1 n (n + 1) 2 Vollständige Induktion nach n: Induktionsanfang für n = 1: 1 1 (1+1) i=1 i = 1 und 2 = 1. Induktionsschritt von n auf n + 1:. Martin Hoefer Datenstrukturen Kapitel Mai / 79
49 Die Summe der ersten n Zahlen n i = n = i=1 n (n + 1) 2 Vollständige Induktion nach n: Induktionsanfang für n = 1: 1 1 (1+1) i=1 i = 1 und 2 = 1. Induktionsschritt von n auf n + 1: Wir nehmen an, dass n i=1 i = n (n+1) gilt. 2. Martin Hoefer Datenstrukturen Kapitel Mai / 79
50 Die Summe der ersten n Zahlen n i = n = i=1 n (n + 1) 2 Vollständige Induktion nach n: Induktionsanfang für n = 1: 1 1 (1+1) i=1 i = 1 und 2 = 1. Induktionsschritt von n auf n + 1: Wir nehmen an, dass n i=1 i = n (n+1) gilt. 2 n+1 i=1 i =. Martin Hoefer Datenstrukturen Kapitel Mai / 79
51 Die Summe der ersten n Zahlen n i = n = i=1 n (n + 1) 2 Vollständige Induktion nach n: Induktionsanfang für n = 1: 1 1 (1+1) i=1 i = 1 und 2 = 1. Induktionsschritt von n auf n + 1: Wir nehmen an, dass n i=1 i = n (n+1) gilt. 2 n+1 i=1 i = n i=1 i + (n + 1) =. Martin Hoefer Datenstrukturen Kapitel Mai / 79
52 Die Summe der ersten n Zahlen n i = n = i=1 n (n + 1) 2 Vollständige Induktion nach n: Induktionsanfang für n = 1: 1 1 (1+1) i=1 i = 1 und 2 = 1. Induktionsschritt von n auf n + 1: Wir nehmen an, dass n i=1 i = n (n+1) gilt. 2 n+1 i=1 i = n n (n+1) i=1 i + (n + 1) = + (n + 1) = 2. Martin Hoefer Datenstrukturen Kapitel Mai / 79
53 Die Summe der ersten n Zahlen n i = n = i=1 n (n + 1) 2 Vollständige Induktion nach n: Induktionsanfang für n = 1: 1 i=1 Induktionsschritt von n auf n + 1: Wir nehmen an, dass n i=1 i = n (n+1) gilt. 2 n+1 i=1 i = n i=1. i = 1 und 1 (1+1) 2 = 1. i + (n + 1) = n (n+1) 2 + (n + 1) = n (n+1)+2 (n+1) 2 = Martin Hoefer Datenstrukturen Kapitel Mai / 79
54 Die Summe der ersten n Zahlen n i = n = i=1 n (n + 1) 2 Vollständige Induktion nach n: Induktionsanfang für n = 1: 1 i=1 Induktionsschritt von n auf n + 1: Wir nehmen an, dass n i=1 i = n (n+1) gilt. 2 n+1 i=1 i = n i=1. i = 1 und 1 (1+1) 2 = 1. i + (n + 1) = n (n+1) 2 + (n + 1) = n (n+1)+2 (n+1) 2 = (n+2) (n+1) 2 = Martin Hoefer Datenstrukturen Kapitel Mai / 79
55 Die Summe der ersten n Zahlen n i = n = i=1 n (n + 1) 2 Vollständige Induktion nach n: Induktionsanfang für n = 1: 1 1 (1+1) i=1 i = 1 und 2 = 1. Induktionsschritt von n auf n + 1: Wir nehmen an, dass n i=1 i = n (n+1) gilt. 2 n+1 i=1 i = n (n+1) (n+2) 2 i=1. i + (n + 1) = n (n+1) 2 + (n + 1) = n (n+1)+2 (n+1) 2 = (n+2) (n+1) 2 = Martin Hoefer Datenstrukturen Kapitel Mai / 79
56 Die Summe der ersten n Zahlen n i = n = i=1 n (n + 1) 2. Vollständige Induktion nach n: Induktionsanfang für n = 1: 1 1 (1+1) i=1 i = 1 und 2 = 1. Induktionsschritt von n auf n + 1: Wir nehmen an, dass n i=1 i = n (n+1) gilt. 2 n+1 i=1 i = n n (n+1) i=1 i + (n + 1) = + (n + 1) = n (n+1)+2 (n+1) = (n+2) (n+1) = (n+1) (n+2) und das war zu zeigen. 2 Martin Hoefer Datenstrukturen Kapitel Mai / 79
57 Die Summe der ersten n Zahlen n i = n = i=1 n (n + 1) 2. Vollständige Induktion nach n: Induktionsanfang für n = 1: 1 1 (1+1) i=1 i = 1 und 2 = 1. Induktionsschritt von n auf n + 1: Wir nehmen an, dass n i=1 i = n (n+1) gilt. 2 n+1 i=1 i = n n (n+1) i=1 i + (n + 1) = + (n + 1) = n (n+1)+2 (n+1) = (n+2) (n+1) = (n+1) (n+2) und das war zu zeigen. 2 Ein direkter Beweis: Martin Hoefer Datenstrukturen Kapitel Mai / 79
58 Die Summe der ersten n Zahlen n i = n = i=1 n (n + 1) 2. Vollständige Induktion nach n: Induktionsanfang für n = 1: 1 1 (1+1) i=1 i = 1 und 2 = 1. Induktionsschritt von n auf n + 1: Wir nehmen an, dass n i=1 i = n (n+1) gilt. 2 n+1 i=1 i = n n (n+1) i=1 i + (n + 1) = + (n + 1) = n (n+1)+2 (n+1) = (n+2) (n+1) = (n+1) (n+2) und das war zu zeigen. 2 Ein direkter Beweis: Betrachte ein Gitter mit n Zeilen und n Spalten: Martin Hoefer Datenstrukturen Kapitel Mai / 79
59 Die Summe der ersten n Zahlen n i = n = i=1 n (n + 1) 2. Vollständige Induktion nach n: Induktionsanfang für n = 1: 1 1 (1+1) i=1 i = 1 und 2 = 1. Induktionsschritt von n auf n + 1: Wir nehmen an, dass n i=1 i = n (n+1) gilt. 2 n+1 i=1 i = n n (n+1) i=1 i + (n + 1) = + (n + 1) = n (n+1)+2 (n+1) = (n+2) (n+1) = (n+1) (n+2) und das war zu zeigen. 2 Ein direkter Beweis: Betrachte ein Gitter mit n Zeilen und n Spalten: n 2 Gitterpunkte. Martin Hoefer Datenstrukturen Kapitel Mai / 79
60 Die Summe der ersten n Zahlen n i = n = i=1 n (n + 1) 2. Vollständige Induktion nach n: Induktionsanfang für n = 1: 1 1 (1+1) i=1 i = 1 und 2 = 1. Induktionsschritt von n auf n + 1: Wir nehmen an, dass n i=1 i = n (n+1) gilt. 2 n+1 i=1 i = n n (n+1) i=1 i + (n + 1) = + (n + 1) = n (n+1)+2 (n+1) = (n+2) (n+1) = (n+1) (n+2) und das war zu zeigen. 2 Ein direkter Beweis: Betrachte ein Gitter mit n Zeilen und n Spalten: n 2 Gitterpunkte. Wir müssen die Gitterpunkte unterhalb der Hauptdiagonale und auf der Hauptdiagonale zählen. Martin Hoefer Datenstrukturen Kapitel Mai / 79
61 Die Summe der ersten n Zahlen n i = n = i=1 n (n + 1) 2. Vollständige Induktion nach n: Induktionsanfang für n = 1: 1 1 (1+1) i=1 i = 1 und 2 = 1. Induktionsschritt von n auf n + 1: Wir nehmen an, dass n i=1 i = n (n+1) gilt. 2 n+1 i=1 i = n n (n+1) i=1 i + (n + 1) = + (n + 1) = n (n+1)+2 (n+1) = (n+2) (n+1) = (n+1) (n+2) und das war zu zeigen. 2 Ein direkter Beweis: Betrachte ein Gitter mit n Zeilen und n Spalten: n 2 Gitterpunkte. Wir müssen die Gitterpunkte unterhalb der Hauptdiagonale und auf der Hauptdiagonale zählen. Die Hauptdiagonale besitzt n Gitterpunkte Martin Hoefer Datenstrukturen Kapitel Mai / 79
62 Die Summe der ersten n Zahlen n i = n = i=1 n (n + 1) 2. Vollständige Induktion nach n: Induktionsanfang für n = 1: 1 1 (1+1) i=1 i = 1 und 2 = 1. Induktionsschritt von n auf n + 1: Wir nehmen an, dass n i=1 i = n (n+1) gilt. 2 n+1 i=1 i = n n (n+1) i=1 i + (n + 1) = + (n + 1) = n (n+1)+2 (n+1) = (n+2) (n+1) = (n+1) (n+2) und das war zu zeigen. 2 Ein direkter Beweis: Betrachte ein Gitter mit n Zeilen und n Spalten: n 2 Gitterpunkte. Wir müssen die Gitterpunkte unterhalb der Hauptdiagonale und auf der Hauptdiagonale zählen. Die Hauptdiagonale besitzt n Gitterpunkte und unterhalb der Hauptdiagonale befindet sich die Hälfte der verbleibenden n 2 n Gitterpunkte. Martin Hoefer Datenstrukturen Kapitel Mai / 79
63 Die Summe der ersten n Zahlen n i = n = i=1 n (n + 1) 2. Vollständige Induktion nach n: Induktionsanfang für n = 1: 1 1 (1+1) i=1 i = 1 und 2 = 1. Induktionsschritt von n auf n + 1: Wir nehmen an, dass n i=1 i = n (n+1) gilt. 2 n+1 i=1 i = n n (n+1) i=1 i + (n + 1) = + (n + 1) = n (n+1)+2 (n+1) = (n+2) (n+1) = (n+1) (n+2) und das war zu zeigen. 2 Ein direkter Beweis: Betrachte ein Gitter mit n Zeilen und n Spalten: n 2 Gitterpunkte. Wir müssen die Gitterpunkte unterhalb der Hauptdiagonale und auf der Hauptdiagonale zählen. Die Hauptdiagonale besitzt n Gitterpunkte und unterhalb der Hauptdiagonale befindet sich die Hälfte der verbleibenden n 2 n Gitterpunkte. Also folgt n i=1 i = Martin Hoefer Datenstrukturen Kapitel Mai / 79
64 Die Summe der ersten n Zahlen n i = n = i=1 n (n + 1) 2. Vollständige Induktion nach n: Induktionsanfang für n = 1: 1 1 (1+1) i=1 i = 1 und 2 = 1. Induktionsschritt von n auf n + 1: Wir nehmen an, dass n i=1 i = n (n+1) gilt. 2 n+1 i=1 i = n n (n+1) i=1 i + (n + 1) = + (n + 1) = n (n+1)+2 (n+1) = (n+2) (n+1) = (n+1) (n+2) und das war zu zeigen. 2 Ein direkter Beweis: Betrachte ein Gitter mit n Zeilen und n Spalten: n 2 Gitterpunkte. Wir müssen die Gitterpunkte unterhalb der Hauptdiagonale und auf der Hauptdiagonale zählen. Die Hauptdiagonale besitzt n Gitterpunkte und unterhalb der Hauptdiagonale befindet sich die Hälfte der verbleibenden n 2 n Gitterpunkte. Also folgt n i=1 i = n + Martin Hoefer Datenstrukturen Kapitel Mai / 79
65 Die Summe der ersten n Zahlen n i = n = i=1 n (n + 1) 2. Vollständige Induktion nach n: Induktionsanfang für n = 1: 1 1 (1+1) i=1 i = 1 und 2 = 1. Induktionsschritt von n auf n + 1: Wir nehmen an, dass n i=1 i = n (n+1) gilt. 2 n+1 i=1 i = n n (n+1) i=1 i + (n + 1) = + (n + 1) = n (n+1)+2 (n+1) = (n+2) (n+1) = (n+1) (n+2) und das war zu zeigen. 2 Ein direkter Beweis: Betrachte ein Gitter mit n Zeilen und n Spalten: n 2 Gitterpunkte. Wir müssen die Gitterpunkte unterhalb der Hauptdiagonale und auf der Hauptdiagonale zählen. Die Hauptdiagonale besitzt n Gitterpunkte und unterhalb der Hauptdiagonale befindet sich die Hälfte der verbleibenden n 2 n Gitterpunkte. Also folgt n i=1 i = n + n2 n 2 Martin Hoefer Datenstrukturen Kapitel Mai / 79
66 Die Summe der ersten n Zahlen n i = n = i=1 n (n + 1) 2. Vollständige Induktion nach n: Induktionsanfang für n = 1: 1 1 (1+1) i=1 i = 1 und 2 = 1. Induktionsschritt von n auf n + 1: Wir nehmen an, dass n i=1 i = n (n+1) gilt. 2 n+1 i=1 i = n n (n+1) i=1 i + (n + 1) = + (n + 1) = n (n+1)+2 (n+1) = (n+2) (n+1) = (n+1) (n+2) und das war zu zeigen. 2 Ein direkter Beweis: Betrachte ein Gitter mit n Zeilen und n Spalten: n 2 Gitterpunkte. Wir müssen die Gitterpunkte unterhalb der Hauptdiagonale und auf der Hauptdiagonale zählen. Die Hauptdiagonale besitzt n Gitterpunkte und unterhalb der Hauptdiagonale befindet sich die Hälfte der verbleibenden n 2 n Gitterpunkte. Also folgt n i=1 i = n + n2 n = n (n+1). 2 2 Martin Hoefer Datenstrukturen Kapitel Mai / 79
67 Wiederholung? (2) demogr. Mathematische Grundlagen: Gesucht ist eine kurze Formel für n a i mit a 1. i=1 (1) 2 a n (2) a n+2 1 n a (3) n+1 1 a 1 a n (n 1) (4) 2 (5) Keine Ahnung... Martin Hoefer Datenstrukturen Kapitel Mai / 79
68 Wiederholung? (2) demogr. Mathematische Grundlagen: Gesucht ist eine kurze Formel für n a i mit a 1. i=1 (1) 2 a n (2) a n+2 1 n a (3) n+1 1 a 1 a n (n 1) (4) 2 (5) Keine Ahnung... Auflösung: Martin Hoefer Datenstrukturen Kapitel Mai / 79
69 Wiederholung? (2) demogr. Mathematische Grundlagen: Gesucht ist eine kurze Formel für n a i mit a 1. i=1 (1) 2 a n (2) a n+2 1 n a (3) n+1 1 a 1 a n (n 1) (4) 2 (5) Keine Ahnung... Auflösung: (3) a n+1 1 a 1 Martin Hoefer Datenstrukturen Kapitel Mai / 79
70 Wiederholung? (2) demogr. Mathematische Grundlagen: Gesucht ist eine kurze Formel für n a i mit a 1. i=1 (1) 2 a n (2) a n+2 1 n a (3) n+1 1 a 1 a n (n 1) (4) 2 (5) Keine Ahnung... Auflösung: (3) a n+1 1 a 1 (wie beweist man das?) Martin Hoefer Datenstrukturen Kapitel Mai / 79
71 Die geometrische Reihe n i=0 a i = an+1 1 a 1 falls a 1. Martin Hoefer Datenstrukturen Kapitel Mai / 79
72 Die geometrische Reihe n i=0 a i = an+1 1 a 1 falls a 1. Vollständige Induktion nach n: Martin Hoefer Datenstrukturen Kapitel Mai / 79
73 Die geometrische Reihe n i=0 a i = an+1 1 a 1 falls a 1. Vollständige Induktion nach n: Induktionsanfang für n = 0: Martin Hoefer Datenstrukturen Kapitel Mai / 79
74 Die geometrische Reihe n i=0 a i = an+1 1 a 1 falls a 1. Vollständige Induktion nach n: Induktionsanfang für n = 0: 0 i=0 ai = 1 Martin Hoefer Datenstrukturen Kapitel Mai / 79
75 Die geometrische Reihe n i=0 a i = an+1 1 a 1 falls a 1. Vollständige Induktion nach n: Induktionsanfang für n = 0: 0 i=0 ai = 1 und a0+1 1 a 1 = 1. Martin Hoefer Datenstrukturen Kapitel Mai / 79
76 Die geometrische Reihe n i=0 a i = an+1 1 a 1 falls a 1. Vollständige Induktion nach n: Induktionsanfang für n = 0: 0 i=0 ai = 1 und a0+1 1 a 1 = 1. Induktionsschritt von n auf n + 1: Martin Hoefer Datenstrukturen Kapitel Mai / 79
77 Die geometrische Reihe n i=0 a i = an+1 1 a 1 falls a 1. Vollständige Induktion nach n: Induktionsanfang für n = 0: 0 i=0 ai = 1 und a0+1 1 a 1 = 1. Induktionsschritt von n auf n + 1: Wir können annehmen, dass n i=0 ai = an+1 1 gilt. a 1 Martin Hoefer Datenstrukturen Kapitel Mai / 79
78 Die geometrische Reihe n i=0 a i = an+1 1 a 1 falls a 1. Vollständige Induktion nach n: Induktionsanfang für n = 0: 0 i=0 ai = 1 und a0+1 1 a 1 = 1. Induktionsschritt von n auf n + 1: Wir können annehmen, dass n i=0 ai = an+1 1 gilt. Dann ist n+1 i=0 ai a 1 Martin Hoefer Datenstrukturen Kapitel Mai / 79
79 Die geometrische Reihe n i=0 a i = an+1 1 a 1 falls a 1. Vollständige Induktion nach n: Induktionsanfang für n = 0: 0 i=0 ai = 1 und a0+1 1 a 1 = 1. Induktionsschritt von n auf n + 1: Wir können annehmen, dass n i=0 ai = an+1 1 gilt. Dann ist a 1 n+1 i=0 ai = n i=0 ai + a n+1 Martin Hoefer Datenstrukturen Kapitel Mai / 79
80 Die geometrische Reihe n i=0 a i = an+1 1 a 1 falls a 1. Vollständige Induktion nach n: Induktionsanfang für n = 0: 0 i=0 ai = 1 und a0+1 1 a 1 = 1. Induktionsschritt von n auf n + 1: Wir können annehmen, dass n i=0 ai = an+1 1 gilt. Dann ist a 1 n+1 i=0 ai = n i=0 ai + a n+1 = an a n+1 a 1 Martin Hoefer Datenstrukturen Kapitel Mai / 79
81 Die geometrische Reihe n i=0 a i = an+1 1 a 1 falls a 1. Vollständige Induktion nach n: Induktionsanfang für n = 0: 0 i=0 ai = 1 und a0+1 1 a 1 = 1. Induktionsschritt von n auf n + 1: Wir können annehmen, dass n i=0 ai = an+1 1 gilt. Dann ist a 1 n+1 i=0 ai = n i=0 ai + a n+1 = an a n+1 = an+1 1+a n+2 a n+1 a 1 a 1 Martin Hoefer Datenstrukturen Kapitel Mai / 79
82 Die geometrische Reihe n i=0 a i = an+1 1 a 1 falls a 1. Vollständige Induktion nach n: Induktionsanfang für n = 0: 0 i=0 ai = 1 und a0+1 1 a 1 = 1. Induktionsschritt von n auf n + 1: Wir können annehmen, dass n i=0 ai = an+1 1 gilt. Dann ist a 1 n+1 i=0 ai = n i=0 ai + a n+1 = an a n+1 = an+1 1+a n+2 a n+1 a 1 a 1 das war zu zeigen. = an+2 1 a 1 und Martin Hoefer Datenstrukturen Kapitel Mai / 79
83 Die geometrische Reihe n i=0 a i = an+1 1 a 1 falls a 1. Vollständige Induktion nach n: Induktionsanfang für n = 0: 0 i=0 ai = 1 und a0+1 1 a 1 = 1. Induktionsschritt von n auf n + 1: Wir können annehmen, dass n i=0 ai = an+1 1 gilt. Dann ist a 1 n+1 i=0 ai = n i=0 ai + a n+1 = an a n+1 = an+1 1+a n+2 a n+1 a 1 a 1 das war zu zeigen. Ein direkter Beweis: = an+2 1 a 1 und Martin Hoefer Datenstrukturen Kapitel Mai / 79
84 Die geometrische Reihe n i=0 a i = an+1 1 a 1 falls a 1. Vollständige Induktion nach n: Induktionsanfang für n = 0: 0 i=0 ai = 1 und a0+1 1 a 1 = 1. Induktionsschritt von n auf n + 1: Wir können annehmen, dass n i=0 ai = an+1 1 gilt. Dann ist a 1 n+1 i=0 ai = n i=0 ai + a n+1 = an a n+1 = an+1 1+a n+2 a n+1 a 1 a 1 das war zu zeigen. Ein direkter Beweis: (a 1) n i=0 ai = a n i=0 ai n i=0 ai = an+2 1 a 1 und Martin Hoefer Datenstrukturen Kapitel Mai / 79
85 Die geometrische Reihe n i=0 a i = an+1 1 a 1 falls a 1. Vollständige Induktion nach n: Induktionsanfang für n = 0: 0 i=0 ai = 1 und a0+1 1 a 1 = 1. Induktionsschritt von n auf n + 1: Wir können annehmen, dass n i=0 ai = an+1 1 gilt. Dann ist a 1 n+1 i=0 ai = n i=0 ai + a n+1 = an a n+1 = an+1 1+a n+2 a n+1 a 1 a 1 das war zu zeigen. Ein direkter Beweis: (a 1) n i=0 ai = a n i=0 ai n i=0 ai = n+1 i=0 ai n i=0 ai = = an+2 1 a 1 und Martin Hoefer Datenstrukturen Kapitel Mai / 79
86 Die geometrische Reihe n i=0 a i = an+1 1 a 1 falls a 1. Vollständige Induktion nach n: Induktionsanfang für n = 0: 0 i=0 ai = 1 und a0+1 1 a 1 = 1. Induktionsschritt von n auf n + 1: Wir können annehmen, dass n i=0 ai = an+1 1 gilt. Dann ist a 1 n+1 i=0 ai = n i=0 ai + a n+1 = an a n+1 = an+1 1+a n+2 a n+1 a 1 a 1 das war zu zeigen. Ein direkter Beweis: (a 1) n i=0 ai = a n i=0 ai n i=0 ai = n+1 i=0 ai n i=0 ai = a n+1 a 0 = an+2 1 a 1 und Martin Hoefer Datenstrukturen Kapitel Mai / 79
87 Die geometrische Reihe n i=0 a i = an+1 1 a 1 falls a 1. Vollständige Induktion nach n: Induktionsanfang für n = 0: 0 i=0 ai = 1 und a0+1 1 a 1 = 1. Induktionsschritt von n auf n + 1: Wir können annehmen, dass n i=0 ai = an+1 1 gilt. Dann ist a 1 n+1 i=0 ai = n i=0 ai + a n+1 = an a n+1 = an+1 1+a n+2 a n+1 a 1 a 1 das war zu zeigen. Ein direkter Beweis: = an+2 1 a 1 (a 1) n i=0 ai = a n i=0 ai n i=0 ai = n+1 i=0 ai n i=0 ai = a n+1 a 0 = a n+1 1 und das war zu zeigen. und Martin Hoefer Datenstrukturen Kapitel Mai / 79
88 Binärsuche Martin Hoefer Datenstrukturen Kapitel Mai / 79
89 Binärsuche Ein Array von n Zahlen und eine Zahl A = (A[1],..., A[n]) ist gegeben: Wir möchten wissen, ob und wenn ja wo die Zahl x in A vorkommt. x Martin Hoefer Datenstrukturen Kapitel Mai / 79
90 Binärsuche Ein Array von n Zahlen und eine Zahl A = (A[1],..., A[n]) ist gegeben: Wir möchten wissen, ob und wenn ja wo die Zahl x in A vorkommt. x Wenn A nicht sortiert ist, dann wird die lineare Suche bis zu n Zellen des Arrays inspizieren. Wenn das Array aber aufsteigend sortiert ist, dann können wir Binärsuche anwenden. Martin Hoefer Datenstrukturen Kapitel Mai / 79
91 Binärsuche: Das Programm void Binärsuche( int unten, int oben){ if (oben < unten) std::cout «x «wurde nicht gefunden. «std::endl; Martin Hoefer Datenstrukturen Kapitel Mai / 79
92 Binärsuche: Das Programm void Binärsuche( int unten, int oben){ if (oben < unten) std::cout «x «wurde nicht gefunden. «std::endl; int mitte = (unten+oben)/2; if (A[mitte] == x) std::cout «x «wurde in Position «mitte «gefunden. «std::endl; Martin Hoefer Datenstrukturen Kapitel Mai / 79
93 Binärsuche: Das Programm void Binärsuche( int unten, int oben){ if (oben < unten) std::cout «x «wurde nicht gefunden. «std::endl; int mitte = (unten+oben)/2; if (A[mitte] == x) std::cout «x «wurde in Position «mitte «gefunden. «std::endl; else { if (x < A[mitte]) Binärsuche(unten, mitte-1); else Binärsuche(mitte+1,oben);}} Wir sagen, dass Zelle im ersten Aufruf inspiziert wird. A[mitte] Martin Hoefer Datenstrukturen Kapitel Mai / 79
94 Binärsuche: Korrektheit Wir zeigen durch vollständige Induktion nach n = oben unten + 1, dass der Aufruf Binärsuche(unten,oben) das korrekte Ergebnis liefert. Induktionsanfang für n = 0: Martin Hoefer Datenstrukturen Kapitel Mai / 79
95 Binärsuche: Korrektheit Wir zeigen durch vollständige Induktion nach n = oben unten + 1, dass der Aufruf Binärsuche(unten,oben) das korrekte Ergebnis liefert. Induktionsanfang für n = 0: Es ist n = oben unten + 1 = 0 oben < unten. Binärsuche(unten, oben) bricht ab mit der Antwort x wurde nicht gefunden. Martin Hoefer Datenstrukturen Kapitel Mai / 79
96 Binärsuche: Korrektheit Wir zeigen durch vollständige Induktion nach n = oben unten + 1, dass der Aufruf Binärsuche(unten,oben) das korrekte Ergebnis liefert. Induktionsanfang für n = 0: Es ist n = oben unten + 1 = 0 oben < unten. Binärsuche(unten, oben) bricht ab mit der Antwort x wurde nicht gefunden. Induktionsschritt n n + 1: Es ist oben unten + 1 = n + 1. Martin Hoefer Datenstrukturen Kapitel Mai / 79
97 Binärsuche: Korrektheit Wir zeigen durch vollständige Induktion nach n = oben unten + 1, dass der Aufruf Binärsuche(unten,oben) das korrekte Ergebnis liefert. Induktionsanfang für n = 0: Es ist n = oben unten + 1 = 0 oben < unten. Binärsuche(unten, oben) bricht ab mit der Antwort x wurde nicht gefunden. Induktionsschritt n n + 1: Es ist oben unten + 1 = n + 1. Wenn A(mitte) = x, dann Martin Hoefer Datenstrukturen Kapitel Mai / 79
98 Binärsuche: Korrektheit Wir zeigen durch vollständige Induktion nach n = oben unten + 1, dass der Aufruf Binärsuche(unten,oben) das korrekte Ergebnis liefert. Induktionsanfang für n = 0: Es ist n = oben unten + 1 = 0 oben < unten. Binärsuche(unten, oben) bricht ab mit der Antwort x wurde nicht gefunden. Induktionsschritt n n + 1: Es ist oben unten + 1 = n + 1. Wenn A(mitte) = x, dann wird mit Erfolgsmeldung abgebrochen. Ansonsten, wenn x < A[mitte], Martin Hoefer Datenstrukturen Kapitel Mai / 79
99 Binärsuche: Korrektheit Wir zeigen durch vollständige Induktion nach n = oben unten + 1, dass der Aufruf Binärsuche(unten,oben) das korrekte Ergebnis liefert. Induktionsanfang für n = 0: Es ist n = oben unten + 1 = 0 oben < unten. Binärsuche(unten, oben) bricht ab mit der Antwort x wurde nicht gefunden. Induktionsschritt n n + 1: Es ist oben unten + 1 = n + 1. Wenn A(mitte) = x, dann wird mit Erfolgsmeldung abgebrochen. Ansonsten, wenn x < A[mitte], sucht Binärsuche richtigerweise in der linken Hälfte und sonst in der rechten Hälfte. Die rekursive Suche in der linken bzw. rechten Hälfte verläuft aber nach Induktionsannahme korrekt. Martin Hoefer Datenstrukturen Kapitel Mai / 79
100 Wiederholung? (3) demogr. Wie groß ist die maximale Anzahl inspizierter Zellen in der Binärsuche in einem Array mit n = 2 k 1 Zellen? (1) n (2) n k (3) k (4) k (5) Nur Kleingeister suchen, das Genie beherrscht das Chaos! Martin Hoefer Datenstrukturen Kapitel Mai / 79
101 Wiederholung? (3) demogr. Wie groß ist die maximale Anzahl inspizierter Zellen in der Binärsuche in einem Array mit n = 2 k 1 Zellen? (1) n (2) n k (3) k (4) k (5) Nur Kleingeister suchen, das Genie beherrscht das Chaos! Auflösung: Martin Hoefer Datenstrukturen Kapitel Mai / 79
102 Wiederholung? (3) demogr. Wie groß ist die maximale Anzahl inspizierter Zellen in der Binärsuche in einem Array mit n = 2 k 1 Zellen? (1) n (2) n k (3) k (4) k (5) Nur Kleingeister suchen, das Genie beherrscht das Chaos! Auflösung: (4) k Martin Hoefer Datenstrukturen Kapitel Mai / 79
103 Wiederholung? (3) demogr. Wie groß ist die maximale Anzahl inspizierter Zellen in der Binärsuche in einem Array mit n = 2 k 1 Zellen? (1) n (2) n k (3) k (4) k (5) Nur Kleingeister suchen, das Genie beherrscht das Chaos! Auflösung: (4) k (wie beweist man das?) Martin Hoefer Datenstrukturen Kapitel Mai / 79
104 Binärsuche: Die Laufzeit Wie groß ist T (n) := maximale Anzahl inspizierter Zellen für ein Array mit n Zellen, für n = 2 k 1? Hier ist eine rekursive Definition von T (n): - Rekursionsanfang: T (0) := Martin Hoefer Datenstrukturen Kapitel Mai / 79
105 Binärsuche: Die Laufzeit Wie groß ist T (n) := maximale Anzahl inspizierter Zellen für ein Array mit n Zellen, für n = 2 k 1? Hier ist eine rekursive Definition von T (n): - Rekursionsanfang: T (0) := 0. - Rekursionsschritt: T (n) := Martin Hoefer Datenstrukturen Kapitel Mai / 79
106 Binärsuche: Die Laufzeit Wie groß ist T (n) := maximale Anzahl inspizierter Zellen für ein Array mit n Zellen, für n = 2 k 1? Hier ist eine rekursive Definition von T (n): - Rekursionsanfang: T (0) := 0. - Rekursionsschritt: T (n) := T ( n 1 2 ) + 1. Martin Hoefer Datenstrukturen Kapitel Mai / 79
107 Binärsuche: Die Laufzeit Wie groß ist T (n) := maximale Anzahl inspizierter Zellen für ein Array mit n Zellen, für n = 2 k 1? Hier ist eine rekursive Definition von T (n): - Rekursionsanfang: T (0) := 0. - Rekursionsschritt: T (n) := T ( n 1 2 ) Wir haben n = 2 k 1 gefordert. Beachte: n 1 2 = 2k 2 2 = 2 k Wir zeigen T (2 k 1) = Martin Hoefer Datenstrukturen Kapitel Mai / 79
108 Binärsuche: Die Laufzeit Wie groß ist T (n) := maximale Anzahl inspizierter Zellen für ein Array mit n Zellen, für n = 2 k 1? Hier ist eine rekursive Definition von T (n): - Rekursionsanfang: T (0) := 0. - Rekursionsschritt: T (n) := T ( n 1 2 ) Wir haben n = 2 k 1 gefordert. Beachte: n 1 2 = 2k 2 2 = 2 k Wir zeigen T (2 k 1) = k mit vollständiger Induktion nach k. Induktionsanfang: T (2 0 1) = T (0) = 0. Martin Hoefer Datenstrukturen Kapitel Mai / 79
109 Binärsuche: Die Laufzeit Wie groß ist T (n) := maximale Anzahl inspizierter Zellen für ein Array mit n Zellen, für n = 2 k 1? Hier ist eine rekursive Definition von T (n): - Rekursionsanfang: T (0) := 0. - Rekursionsschritt: T (n) := T ( n 1 2 ) Wir haben n = 2 k 1 gefordert. Beachte: n 1 2 = 2k 2 2 = 2 k Wir zeigen T (2 k 1) = k mit vollständiger Induktion nach k. Induktionsanfang: T (2 0 1) = T (0) = 0. Induktionsschritt: T (2 k+1 1) = Martin Hoefer Datenstrukturen Kapitel Mai / 79
110 Binärsuche: Die Laufzeit Wie groß ist T (n) := maximale Anzahl inspizierter Zellen für ein Array mit n Zellen, für n = 2 k 1? Hier ist eine rekursive Definition von T (n): - Rekursionsanfang: T (0) := 0. - Rekursionsschritt: T (n) := T ( n 1 2 ) Wir haben n = 2 k 1 gefordert. Beachte: n 1 2 = 2k 2 2 = 2 k Wir zeigen T (2 k 1) = k mit vollständiger Induktion nach k. Induktionsanfang: T (2 0 1) = T (0) = 0. Induktionsschritt: T (2 k+1 1) = T (2 k 1) + 1 Martin Hoefer Datenstrukturen Kapitel Mai / 79
111 Binärsuche: Die Laufzeit Wie groß ist T (n) := maximale Anzahl inspizierter Zellen für ein Array mit n Zellen, für n = 2 k 1? Hier ist eine rekursive Definition von T (n): - Rekursionsanfang: T (0) := 0. - Rekursionsschritt: T (n) := T ( n 1 2 ) Wir haben n = 2 k 1 gefordert. Beachte: n 1 2 = 2k 2 2 = 2 k Wir zeigen T (2 k 1) = k mit vollständiger Induktion nach k. Induktionsanfang: T (2 0 1) = T (0) = 0. Induktionsschritt: T (2 k+1 1) = T (2 k 1) + 1 Induktionsannahme = k + 1. Martin Hoefer Datenstrukturen Kapitel Mai / 79
112 Binärsuche: Die Laufzeit Wie groß ist T (n) := maximale Anzahl inspizierter Zellen für ein Array mit n Zellen, für n = 2 k 1? Hier ist eine rekursive Definition von T (n): - Rekursionsanfang: T (0) := 0. - Rekursionsschritt: T (n) := T ( n 1 2 ) Wir haben n = 2 k 1 gefordert. Beachte: n 1 2 = 2k 2 2 = 2 k Wir zeigen T (2 k 1) = k mit vollständiger Induktion nach k. Induktionsanfang: T (2 0 1) = T (0) = 0. Induktionsschritt: T (2 k+1 1) = T (2 k 1) + 1 Induktionsannahme = k + 1. Binärsuche muss höchstens k Zahlen inspizieren gegenüber 2 k 1 Zahlen für die lineare Suche: Lineare Suche ist exponentiell langsamer als Binärsuche. Martin Hoefer Datenstrukturen Kapitel Mai / 79
113 Unser Freund, der Logarithmus Martin Hoefer Datenstrukturen Kapitel Mai / 79
114 Rechnen mit Logarithmen Seien a > 1 und x > 0 reelle Zahlen. log a (x) ist der Logarithmus von x zur Basis a und stimmt mit z genau dann überein, wenn Martin Hoefer Datenstrukturen Kapitel Mai / 79
115 Rechnen mit Logarithmen Seien a > 1 und x > 0 reelle Zahlen. log a (x) ist der Logarithmus von x zur Basis a und stimmt mit z genau dann überein, wenn a z = x. Martin Hoefer Datenstrukturen Kapitel Mai / 79
116 Rechnen mit Logarithmen Seien a > 1 und x > 0 reelle Zahlen. log a (x) ist der Logarithmus von x zur Basis a und stimmt mit z genau dann überein, wenn a z = x. (a) a log a (x) = x. (b) log a (x y) = Martin Hoefer Datenstrukturen Kapitel Mai / 79
117 Rechnen mit Logarithmen Seien a > 1 und x > 0 reelle Zahlen. log a (x) ist der Logarithmus von x zur Basis a und stimmt mit z genau dann überein, wenn a z = x. (a) a log a (x) = x. (b) log a (x y) = log a x + log a y. (c) log a (x y ) = Martin Hoefer Datenstrukturen Kapitel Mai / 79
118 Rechnen mit Logarithmen Seien a > 1 und x > 0 reelle Zahlen. log a (x) ist der Logarithmus von x zur Basis a und stimmt mit z genau dann überein, wenn a z = x. (a) a log a (x) = x. (b) log a (x y) = log a x + log a y. (c) log a (x y ) = y log a (x). (d) log a x = (log a b) Martin Hoefer Datenstrukturen Kapitel Mai / 79
119 Rechnen mit Logarithmen Seien a > 1 und x > 0 reelle Zahlen. log a (x) ist der Logarithmus von x zur Basis a und stimmt mit z genau dann überein, wenn a z = x. (a) a log a (x) = x. (b) log a (x y) = log a x + log a y. (c) log a (x y ) = y log a (x). (d) log a x = (log a b) (log b x). Wir übersetzen von Basis a in Basis b. Was ist 4 log 2 n? log 2 n = Martin Hoefer Datenstrukturen Kapitel Mai / 79
120 Rechnen mit Logarithmen Seien a > 1 und x > 0 reelle Zahlen. log a (x) ist der Logarithmus von x zur Basis a und stimmt mit z genau dann überein, wenn a z = x. (a) a log a (x) = x. (b) log a (x y) = log a x + log a y. (c) log a (x y ) = y log a (x). (d) log a x = (log a b) (log b x). Wir übersetzen von Basis a in Basis b. Was ist 4 log 2 n? log 2 n = (log 2 4) (log 4 n) mit (d). Martin Hoefer Datenstrukturen Kapitel Mai / 79
121 Rechnen mit Logarithmen Seien a > 1 und x > 0 reelle Zahlen. log a (x) ist der Logarithmus von x zur Basis a und stimmt mit z genau dann überein, wenn a z = x. (a) a log a (x) = x. (b) log a (x y) = log a x + log a y. (c) log a (x y ) = y log a (x). (d) log a x = (log a b) (log b x). Wir übersetzen von Basis a in Basis b. Was ist 4 log 2 n? log 2 n = (log 2 4) (log 4 n) mit (d). 4 log 2 n = 4 (log 2 4) (log 4 n) Martin Hoefer Datenstrukturen Kapitel Mai / 79
122 Rechnen mit Logarithmen Seien a > 1 und x > 0 reelle Zahlen. log a (x) ist der Logarithmus von x zur Basis a und stimmt mit z genau dann überein, wenn a z = x. (a) a log a (x) = x. (b) log a (x y) = log a x + log a y. (c) log a (x y ) = y log a (x). (d) log a x = (log a b) (log b x). Wir übersetzen von Basis a in Basis b. Was ist 4 log 2 n? log 2 n = (log 2 4) (log 4 n) mit (d). 4 log 2 n = 4 (log 2 4) (log 4 n) = (4 log 4 n ) log 2 4 Martin Hoefer Datenstrukturen Kapitel Mai / 79
123 Rechnen mit Logarithmen Seien a > 1 und x > 0 reelle Zahlen. log a (x) ist der Logarithmus von x zur Basis a und stimmt mit z genau dann überein, wenn a z = x. (a) a log a (x) = x. (b) log a (x y) = log a x + log a y. (c) log a (x y ) = y log a (x). (d) log a x = (log a b) (log b x). Wir übersetzen von Basis a in Basis b. Was ist 4 log 2 n? log 2 n = (log 2 4) (log 4 n) mit (d). 4 log 2 n = 4 (log 2 4) (log 4 n) = (4 log 4 n ) log 2 4 = n 2 mit (a). Martin Hoefer Datenstrukturen Kapitel Mai / 79
124 Rechnen mit Logarithmen Seien a > 1 und x > 0 reelle Zahlen. log a (x) ist der Logarithmus von x zur Basis a und stimmt mit z genau dann überein, wenn a z = x. (a) a log a (x) = x. (b) log a (x y) = log a x + log a y. (c) log a (x y ) = y log a (x). (d) log a x = (log a b) (log b x). Wir übersetzen von Basis a in Basis b. Was ist 4 log 2 n? log 2 n = (log 2 4) (log 4 n) mit (d). 4 log 2 n = 4 (log 2 4) (log 4 n) = (4 log 4 n ) log 2 4 = n 2 mit (a). Was ist b log a x? Martin Hoefer Datenstrukturen Kapitel Mai / 79
125 Rechnen mit Logarithmen Seien a > 1 und x > 0 reelle Zahlen. log a (x) ist der Logarithmus von x zur Basis a und stimmt mit z genau dann überein, wenn a z = x. (a) a log a (x) = x. (b) log a (x y) = log a x + log a y. (c) log a (x y ) = y log a (x). (d) log a x = (log a b) (log b x). Wir übersetzen von Basis a in Basis b. Was ist 4 log 2 n? log 2 n = (log 2 4) (log 4 n) mit (d). 4 log 2 n = 4 (log 2 4) (log 4 n) = (4 log 4 n ) log 2 4 = n 2 mit (a). Was ist b log a x? log a x = (log a b) (log b x) mit (d). Martin Hoefer Datenstrukturen Kapitel Mai / 79
126 Rechnen mit Logarithmen Seien a > 1 und x > 0 reelle Zahlen. log a (x) ist der Logarithmus von x zur Basis a und stimmt mit z genau dann überein, wenn a z = x. (a) a log a (x) = x. (b) log a (x y) = log a x + log a y. (c) log a (x y ) = y log a (x). (d) log a x = (log a b) (log b x). Wir übersetzen von Basis a in Basis b. Was ist 4 log 2 n? log 2 n = (log 2 4) (log 4 n) mit (d). 4 log 2 n = 4 (log 2 4) (log 4 n) = (4 log 4 n ) log 2 4 = n 2 mit (a). Was ist b log a x? log a x = (log a b) (log b x) mit (d). b log a x = b (log a b) (log b x) Martin Hoefer Datenstrukturen Kapitel Mai / 79
127 Rechnen mit Logarithmen Seien a > 1 und x > 0 reelle Zahlen. log a (x) ist der Logarithmus von x zur Basis a und stimmt mit z genau dann überein, wenn a z = x. (a) a log a (x) = x. (b) log a (x y) = log a x + log a y. (c) log a (x y ) = y log a (x). (d) log a x = (log a b) (log b x). Wir übersetzen von Basis a in Basis b. Was ist 4 log 2 n? log 2 n = (log 2 4) (log 4 n) mit (d). 4 log 2 n = 4 (log 2 4) (log 4 n) = (4 log 4 n ) log 2 4 = n 2 mit (a). Was ist b log a x? log a x = (log a b) (log b x) mit (d). b log a x = b (log a b) (log b x) = (b log b x ) log a b Martin Hoefer Datenstrukturen Kapitel Mai / 79
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