Alle Sommerkleider um 30% reduziert!

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1 PROZENTRECHNUNG

2 Kapitel 1: EINFÜHRUNG 1.1 Die Bedeutung der Prozentrechnung Wenn im Sommerschlussverkauf die Preise purzeln heißt es: Alle Sommerkleider um 30% reduziert! Das heißt: Ein Kleid, das 100 kostet, wird um 30 reduziert, ein anderes von 50 auf 35 herabgesetzt. In einem Fall beträgt der Preisnachlass 30 im anderen Fall 15, in beiden Fällen aber 30%. Oder in Ihrem Mietvertrag steht: Zum erhöht sich die Miete um 2%. Zahlen Sie jetzt 1000, werden es dann 1020 sein. Ihre Nachbarin im 1-Zimmer- Appartement mit dem gleichen Mietvertrag zahlt jetzt 400, später dann 408. Bei Ihnen steigt die Miete um 20, bei ihr nur um 8. Ungerecht? Prozentual steigt die Miete gleich! Manchmal ist ein Vergleich notwendig: Herr S. zahlt von seinem Gehalt 900 Miete. Sein Gehalt beträgt von Welcher Anteil = Prozentsatz seines Gehaltes ist das? Diese Fragestellung interessiert zum Beispiel, wenn die Lebenshaltungskosten verschiedener Menschen verglichen werden. Welchen Anteil geben Bundesdeutsche im Vergleich zu Franzosen oder Skandinaviern für das Wohnen aus? Wie haben sich die Aufwendungen der Bürger in den neuen Bundesländern im Vergleich zu DDR-Zeiten verändert? Die Prozentrechnung ist eine Vergleichsrechnung. In der Prozentrechnung werden verschiedene Werte miteinander vergleichbar gemacht, indem eine Zahlengröße im Verhältnis zu einer anderen Zahlengröße in Teilen von Hundert ausgedrückt wird. Aus diesem Grund ist die Prozentrechnung sehr nützlich und gehört zum mathematischen Grundwissen. Schließlich finden wir sie in vielen Lebensbereichen. Können Sie einige aufzählen? Seite 2 2

3 1.2. Begriffe aus der Prozentrechnung Der Begriff Prozent ( als Zeichen % ) kommt ursprünglich vom italienischen per cento und wird mit von Hundert oder auch Hundertstel übersetzt. p% heißt also p % = = 1 2 Aufgabe 1: "Übersetzen" Sie folgende Prozentsätze in Brüche: 1%; 2%; 5%; 10%; 12,5%; 20%; 25%; %; 75%; 80% In der Prozentrechnung begegnen uns die folgenden 3 Begriffe : Grundwert : eine Mengenangabe des Ganzen G Prozentwert : ein Teil des Ganzen in Form einer W Mengenangabe Prozentsatz : der Anteil am Ganzen, der in Prozent (%) p angegeben wird Auf den ersten Blick werden Ihnen diese Begriffe vielleicht kompliziert vorkommen, doch Sie werden gleich merken, dass man sie mit ein wenig Übung schnell versteht. Ein Beispiel vorweg und dann sind Sie wieder an der Reihe. Viel Spaß! ( Wichtig! In den folgenden Aufgaben geht es nur darum, welche Zahl welchem Begriff zugeordnet werden muss! ) Von 30 Taschengeld hat Anna 6 gespart. Das sind 20 %. Grundwert Prozentwert Prozentsatz Seite 3 3

4 Aufgabe 2 : Versuchen Sie es nun selbst! Kennzeichnen Sie Grundwert, Prozentwert und Prozentsatz! 5 hat Christian von 20 zur Seite gelegt. Das sind 25 %. Von 100 Mandarinen sind 11 % verfault. Das waren 11 Stück. 3 Schüler, also 25 % von 12 Schülern kommen zu spät zum Unterricht. 50 % von 700 Losen sind Nieten, das sind 350 Stück. 60 % vom Geburtstagsgeld, also 90, legt Hannes auf sein Sparkonto. Insgesamt bekam er 150. Formulieren Sie jetzt 2 einfache Aufgaben selbst, zum Beispiel mit 50 % und 10 %! Seite 4 4

5 Kapitel 2: Die Berechnung des Prozentwertes Beispiel: Ermitteln Sie 1% (5%) von 1500! Lösung: Alle Prozentaufgaben sind Dreisatzaufgaben!. Daher können Sie alle Aufgaben nach dem Dreisatzschema lösen. 100% (Grundwert) 100% (Prozentsatz) 1%. - x (Prozentwert) 5%. - x * * 5 (Prozentwert) x = = 15 x = = % von 1500 sind 15. 5% von 1500 sind Oder: 1% von 1500 = 100 von 1500 = * 1500 = 0,01 * 1500 = 15 5% von 1500 = * 1500 = 0,05 * 1500 = 75 Die Lösung für alle Aufgaben, in denen der Prozentwert gesucht wird, kann allgemein also so formuliert werden: 100% - G p% - W W = G*p 100 oder W = G * p 100 Seite 5 5

6 AUFGABEN Aufgabe 1 1% von einer Größe sollten Sie immer im Kopf ermitteln können, indem Sie durch 100 dividieren. Bei einigen Größen müssen Sie runden! Ermitteln Sie 1% von: , kg 354, Personen 5648, Personen m Aufgabe2 Ermitteln Sie die entsprechenden Prozentwerte: 5% 14% 25% ,50 226,78 453,88 Aufgabe 3 Beim Transport werden durchschnittlich 3% aller Eier beschädigt. Mit wie vielen Knickeiern muss bei 500 Eiern gerechnet werden? Aufgabe 4 Bei Arbeitslosigkeit zahlt das Arbeitsamt 63% des letzten Nettogehaltes. Was bekommt jemand, der vorher 3240 (2835 / 3844,75 ) bezogen hat? Aufgabe 5 Da sich an einem Teppich ein Webfehler herausgestellt hat, soll er um 40% billiger verkauft werden. Ursprünglich sollte er 2450 kosten. Aufgabe 6 In einem Lieferangebot sind folgende Zahlungsbedingungen angegeben: Bei Vorauszahlung 3% Skonto; zahlbar innerhalb 8 Tagen nach Rechnungsdatum mit 2% Skonto oder innerhalb 30 Tagen ohne Abzug. Berechnen Sie die einzuzahlenden Beträge a) bei Vorauszahlung b) innerhalb von 8 Tagen Rechnungsbetrag , , a) b) Skonto ist ein Preisnachlass, der dem Kunden gewährt wird, wenn er zügig zahlt! Rabatt ist ein Nachlass, der auf den regulären Preis einer Ware gewährt wird. Aufgabe 7 Ein Kaufhaus gewährt allen Angestellten einen Rabatt von 10%. Wie teuer ist ein Hifi-Gerät im Werte von 2598 / 568 / 1279 im Personaleinkauf? Seite 6 6

7 Aufgabe 8 Eine Mannschaft bestellt 31 Trikots zu je 108. Die Firma stellt ein Gratisexemplar zur Verfügung. Auf die anderen Trikots gewährt sie 15% Rabatt. Wie viel muss nun einer der 31 Sportler für sein Trikot Zahlen? Die Mehrwertsteuer beträgt zur Zeit 16%. Sie wird auf den Nettopreis einer Ware aufgeschlagen. Beispiel: Eine Videokamera kostet netto Berechnen Sie den Preis inklusive Mehrwertsteuer! 100% % - x Die Steuern werden auf die Bezugsgröße aufgeschlagen! X = 1980* = 2296,80 Aufgabe 9 Berechnen Sie die Preise inklusive 16% Mehrwertsteuer: ,80 55,33 0,80 Aufgabe 10 Ein Hersteller liefert Bogen Papier zu je 0,18 Listenpreis ohne Mehrwertsteuer. a) Berechnen Sie den Rechnungsbetrag inklusive Mehrwertsteuer! b) Der Kunde darf sich 2% Skonto abziehen, da er innerhalb von 8 Tagen zahlt. Welchen Betrag überweist er? Aufgabe 11 Bei Tarifverhandlungen wurden 2,3% Lohnanhebung vereinbart. Berechnen Sie die neuen Löhne: vorher 1955, , ,55 nachher Seite 7 7

8 Kapitel 3: Berechnen des Grundwertes Beispiel: In der letzen Prüfung fielen 4 Kandidaten durch, das waren 1,6% der Teilnehmer. Wie viele Personen machten die Prüfung? Lösung: (Prozentsatz) 1,6% - 4 Personen (Prozentwert) 100% - x Personen (Grundwert) * 100 x = = 250 1,6 250 Personen nahmen an der Prüfung teil Die Lösung für alle Aufgaben, in denen der Grundwert gesucht wird, kann allgemein also so formuliert werden: p% - W 100% - G G = W*100 p Seite 8 8

9 AUFGABEN Aufgabe1 Nach einem Jahr verkauft Herr Winter seinen Neuwagen für 85% des Anschaffungspreises. Er bekommt noch für das Auto. Wie hoch war der Neupreis? Aufgabe 2 Im Personaleinkauf erstand Frau Stuhr eine Küchenmaschine für 122,40. Dabei hatte sie 20% Rabatt bekommen. Wie teuer ist das Gerät für normale Kunden? Aufgabe 3 5% der jährlichen Heizkosten fallen erfahrungsgemäß auf den Monat April. Wie hoch sind die Heizkosten für das Jahr, wenn im April 75 anfielen? Aufgabe 4 Bei einer Wahl ist der Vorsitzende mit 156 Stimmen gewählt worden, das sind 65% aller abgegebenen Stimmen. Wie viele Personen nahmen an der Wahl teil? Aufgabe 5 Die Firma Flix zahlt Rechnungen stets zeitig, so dass ein Skonto von 2% immer abgezogen werden kann. Ermitteln Sie die ursprünglichen Rechnungsbeträge und den Skonto! Folgende Beträge überweist die Buchhaltung: 1 545, , ,48 90,01 Überweisung Rechnungsbetrag Skonto Aufgabe 6 Auf einer Rechnung stehen Überweisungsbeträge inklusive 16% MwSt. Berechnen Sie den Nettopreis! 379,78 77,20 45, ,46 Rechnungsbetrag Nettobetrag Merke: Rechnungsbeträge inklusive Mehrwertsteuer sind 116% des Nettopreises! Aufgabe 7 Nach Abzug des Skonto von 3% Überweist ein Kunde 256,73. Welcher Nettobetrag stand auf der Rechnung? Aufgabe 8 a) Nach einer Mieterhöhung um 2,4% zahlt eine Familie 854,50 Kaltmiete. Wie teuer war die Wohnung vorher? b) Im gleichen Haus zahlt eine Studentin nach dieser Erhöhung 4,80 mehr. Was zahlte sie vor und nach der Mieterhöhung? Seite 9 9

10 Kapitel 4: Berechnung des Prozentsatzes Beispiel: In der letzen Prüfung fielen 4 Kandidaten von 60 durch die Prüfung. Wie hoch war die Durchfallquote in %? Lösung: (Grundwert) 60 Personen - 100% (Prozentwert) 4 Personen - x % (Prozentsatz) * 4 x = = % % fielen durch die Prüfung. Die Lösung für alle Aufgaben, in denen der Prozentsatz gesucht wird, kann allgemein also so formuliert werden: G - 100% W - p% p = 100*W G Seite 10 10

11 AUFGABEN Aufgabe 1 Ein Unternehmer hat während einer km langen Geschäftsreise bereits 450 km zurückgelegt. Welchen Prozentsatz der Strecke muss er noch fahren? Aufgabe 2 Bei einer Verkehrszählung an einer Kreuzung wurden Fahrzeuge erfasst Fahrzeuge bogen rechts, Fahrzeuge links ab. Berechnen Sie jeweils die Prozentsätze der Rechts- und Linksabbieger und der Geradeausfahrer! Aufgabe 3 a) Bei einer Kommunalwahl wurden in einem Stimmbezirk 1888 Wahlbenachrichtigungen verschickt. 212 nutzen die Briefwahl, 975 gingen selbst zur Wahl. Wie hoch war die Wahlbeteiligung? b) Von den abgegebenen Stimmen entfielen 512 aus die X-Partei, 306 auf die Y- Partei, 103 auf die Z-Partei, 65 Stimmen verteilten sich auf sonstige Parteien und Wählergemeinschaften, die restlichen Stimmen waren ungültig. Berechnen Sie, wie sich die Prozentsätze der gültigen Stimmen auf die Parteien verteilen: X-Partei Y-Partei Z-Partei sonstige Aufgabe 4 In einem Betrieb sind von 126 Angestellten 35 Frauen. Berechnen Sie den Anteil der männlichen Angestellten! Aufgabe 5 Eine Miete wird von 650 auf 675 erhöht. Prüfen Sie die prozentuale Mieterhöhung.! Aufgabe 6 Eine Gemeinde ist mit 56 Mio. verschuldet. Im kommenden Haushaltsjahr soll die Verschuldung auf 40 Mio. sinken. Um wie viel % gegenüber dem Vorjahr möchte man die Verschuldung reduzieren? Aufgabe 7 Zwei Stimmen fehlten einem Kandidaten an der absoluten Mehrheit, denn 247 Delegierte nahmen an der Abstimmung teil. Wie viel % der Stimmen bekam der Kandidat? Aufgabe 8 In einem Test sind 84 Punkte zu erreichen. Ermitteln Sie die Prozentsätze für 40; 52; 66; 71; 79 Punkte! Seite 11 11

12 Aufgabe 9 Wegen einer falschen Vergasereinstellung verbraucht ein PKW auf 200 km 2,7 Liter Benzin zuviel. Normalerweise käme er mit 6,3 Litern auf 100 km hin. Wie viel % verbraucht der PKW mehr als nötig? Aufgabe 10 Bei einer Geschwindigkeitskontrolle wurde ein PKW mit 73 km/h geblitzt. 10% der gemessenen Geschwindigkeit wird als Toleranz abgezogen. Um wie viel % hat der Fahrer des PKW dann die Geschwindigkeit noch überschritten, wenn an dieser Stelle 50 km/h erlaubt waren? Tipp: Lesen Sie die Hinweise im Text genau! Um wie viel...? - heißt: Es ist nach dem Unterschied gefragt! Seite 12 12

13 Kapitel 5.: Aufgaben zu Grundwert, Prozentwert und Prozentsatz Die folgenden Aufgaben gehen nun kreuz und quer durch die Prozentrechnung. Überlegen Sie immer erst den Ansatz, bevor Sie rechnen. Aufgabe 1 Eine Gruppe bestellt 27 Taschenrechner zum Stückpreis von 39,60 einschließlich Mehrwertsteuer. Einer der Rechner wird kostenlos geliefert. Auf den Rechnungsbetrag wird ein Rabatt von 6% gewährt. a) Wie hoch ist der endgültige Rechnungsbetrag für die 27 Geräte? b) Die Rechnung wird mit 3% Skonto bezahlt, allerdings muss für die Sendung eine Zustellgebühr von 6,90 bezahlt werden. Wie hoch sind die tatsächlichen Kosten? c) Was muss eine einzelne Person nun für seinen Taschenrechner bezahlen? d) Wie viel % hat eine Person mit der Sammelbestellung gegenüber dem Einzelkauf gespart? Aufgabe 2 In einem Geschäft erhalten alle Beschäftigten 10% Personalrabatt. Ein Angestellter will nun ein Fahrrad kaufen, dass normal netto 780 kostet. Nun entsteht ein Streit, ob zuerst die Mehrwertsteuer berechnet und dann der Personalrabatt abgezogen werden muss oder ob zuerst der Personalrabatt und dann die Steuer berücksichtigt werden muss. Können Sie helfen? Aufgabe 3 Vervollständigen Sie die Tabelle: G , W 442 0,65 p 7% 107% 0,05% Aufgabe 4 Bei Tarifverhandlungen stehen drei Vorschläge zur Diskussion: A) Die Gehälter werden um einen Betrag von 200 angehoben. B) Die Gehälter werden um 7,5% angehoben. C) Die Gehälter werden um einen Sockelbetrag von 60 angehoben und um 5,2% des ursprünglichen Gehalts. Wie wirken sich die Vorschläge auf die folgenden Gehälter aus: vorheriges Gehalt Vorschlag A Vorschlag B Vorschlag C Seite 13 13

14 Aufgabe 5 In der folgenden Übersicht ist die prozentuale Verteilung des Jahreswärmebedarfs eines Haushaltes abzulesen. Die Wohnung der Familie H. ist an die Fernheizung angeschlossen. Monatlich zahlte die Familie einen Abschlag von 200, bekam aber am Ende 180 zurück. Wie viel hat die Heizung monatlich tatsächlich gekostet? Jan Feb Mär Apr Mai Jun Jul Aug Sep Okt Nov Dez % 16,5 15,0 12,5 8,0 5,0 1,8 1,5 1,2 4,0 7,5 12,0 15,0 Aufgabe 6 Ein Kleidungsstück kostet im Einkauf 80. Es soll für 144 verkauft werden. a) Um wie viel % ist das Kleidungsstück im Verkauf teurer als im Einkauf? b) Um wie viel % ist das Kleidungsstück im Einkauf billiger gewesen als später im Verkauf? Aufgabe 7 Für eine Werbekampagne setzt ein Händler seine Preise am 1.April um 20% herunter. Im Mai setzt er die reduzierten Preise wieder um 20% herauf. a) Ein Artikel kostet ursprünglich 150. Wie teuer ist er während der Werbeaktion und wie teuer anschließend? b) Wie teuer war ein Artikel im März, wenn er im Mai 96 kostet? c) Um wie viel % sind die Artikel der Händlers letztendlich im Mai teurer oder billiger als im März? Aufgabe 8 Sie benötigen 1 Liter 1%ige Salzlösung, haben aber nur 1 Liter 10%ige Salzlösung zur Verfügung, aber reichlich Wasser. Was tun Sie? Aufgabe 9 Sie mischen Kaffee, und zwar nehmen Sie 30% Kaffee aus Kenia, 25% aus Brasilien, den Rest Kaffee aus Nicaragua. a) Bestimmen Sie die Einzelmengen, um 7,5 kg der Mischung zu erhalten. b) Wie viel Kaffee mischen Sie, wenn Sie 6 kg Kaffee aus Nicaragua zur Verfügung haben? Seite 14 14

15 Name: Vorname: Klasse/Kurs: Datum: Kontrollbogen Bitte senden Sie uns die Lösungen der folgenden Aufgaben zurück! 1. Eine Ware hat einen Nettopreis von Wie hoch ist der Verkaufspreis? 2. Der Verkaufspreis einer Ware beträgt einschließlich 16 % Mehrwertsteuer 337,50. Wie hoch sind jeweils der Nettopreis und die Mehrwertsteuer? 3. Ein Gebäude ist mit gegen Feuer versichert. Die Prämie betrug bisher 0,06 % und wird um 0,02 % erhöht, weil sich in dem Haus eine Bäckerei befindet. Berechnen Sie die bisherige und die neue Versicherungsprämie! 4. Jemand verkauft ein Grundstück mit 12 % Gewinn für Was hat er selber für das Grundstück bezahlt? 5. Auf eine Rechnung gewährt ein Geschäftsmann 3 % Skonto. Welchen Betrag muss man überweisen, wenn man einen Nettobetrag von 345 auf der Rechnung stehen hat? 6. Ein Betrieb kann einen Computer im Wert von 5500 nach 3 Jahre für 800 veräußern. Berechnen Sie den Wertverlust in %! 7. Bei einer Verkehrszählung wurden an einer Kreuzung Fahrzeuge gezählt. Davon bogen links ab. Wie viel % sind das? 8. Ergänzen Sie die Tabelle: G , W 842 1,65 p 8% 105,5% 0,04% 9. Flächen a) Ein Feld ist 70m lang und 50m breit. Man vergrößert die Länge um 10%. Um wie viel % vergrößert sich die Fläche? b) Was geschieht, wenn Länge und Breite jeweils um 10% vergrößert werden? c) Eine Wiese soll bei der Flurbereinigung um 10% breiter, aber um 10% dafür aber auch wieder kürzer gemacht werden. Ist das gerecht, wenn die Wiese vorher 75x30m groß war? Seite 15 15