Schnittpunkt. Mathematik. Thüringen

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1 Schnittpunkt Mathematik 7 Thüringen

2 Rationale Zahlen Standpunkt Online-Link zum Standpunkt Wo stehe ich? Ich kann... natürliche Zahlen ordnen. 2 mit natürlichen Zahlen rechnen. 3 gebrochene Zahlen ordnen. 4 mit Bruchzahlen rechnen. 5 mit Dezimalbrüchen rechnen. 6 ganze Zahlen nach ihrer Größe ordnen. 7 Zahlen an Zahlengeraden ablesen. 8 Zahlen auf den Zahlengeraden eintragen. 9 Punkte im Koordinatensystem eintragen. gut etwas weniger gut nicht mehr Lerntipp! S. 82 S. 82; 83; 84 S. 85 S. 86; 87 S. 87; 88 S. 89 S. 82 S. 82 S. 90 Überprüfe deine Einschätzung. Ordne. Beginne mit der kleinsten Zahl. a) 35; 8; 7; 57; 43; 8 b) 573; 753; 375; 735; 357; Berechne. a) b) c) d) 342 : 4 3 Ordne. Beginne mit der kleinsten Zahl. a) 8,05; 5,82; 2,85; 0,85; 8,25; 2,08 b) _ 3 4 ; _ 3 ; _ 6 ; _ 2 4 Berechne. a) _ 2 + _ 2 3 b ) _ 3 4 _ 5 c) _ 5 6 _ 3 4 d ) _ 3 8 : _ 4 5 Berechne. a) 7, ,93 b) 3,53 7,87 c) 65,79 4,8 d) 2,426 :,9 7 Notiere die markierten Zahlen im Heft. a) E A B D C b) I F H J G Zeichne eine passende Zahlengerade und trage die Zahlen ein. a) 5,5; 3; _ 2 ; 6; 3; 5 b) 3,47; 3,32; 3,08; 3,; 3,64; 3,53 9 Zeichne ein Koordinatensystem. Trage die Punkte A (3 2); B (0 ); C ( 3 4); D ( 4 0); E ( 2 3); F (0 2); G (4 2); H (5 0) ein. 6 Ordne. Beginne mit der kleinsten Zahl. a) 23; 43; 89; 27; 47; 8 b) 265; 652; 526; 256; 625; 562 Die Lösungen findest du auf Seite 94.

3 Zahlen nachgehen Klebt im Klassenzimmer oder im Flur einen großen Papierstreifen auf den Boden. Zeichnet einen Ausschnitt der Zahlengeraden und markiert die Zahlen von 0 bis + 0. Wenn ihr den Schulhof nutzen wollt, nehmt ihr am besten ein Stück Kreide. Milana steht auf der Null und geht fünf Felder nach rechts in positive Richtung, danach acht Felder nach links in negative Richtung. Wo steht Milana jetzt? Wie kommt sie auf das Feld + 0? Legt eigene Wege zurück. Erik legt mit jedem Schritt drei Felder zurück. Wie viele Schritte macht er von 7 bis + 8? Wie viele Schritte macht er von 4 bis + 5? Das lerne ich: Dass eine rationale Zahl aus Vor zeichen und Betrag besteht, wie man rationale Zahlen vergleicht und ordnet, wie man rationale Zahlen addiert, subtrahiert, multipliziert und dividiert, wie man Rechengesetze zum vorteilhaften Rechnen nutzt. Zahlen nachgehen 7

4 Rationale Zahlen Erfurt Amstadt Gräfenrada Oberhof Schmücke 2,4 C 0,5 C,2 C,7 C 2,9 C Sebastian fährt mit seinen Eltern zum Skilaufen. Dabei liest er während der Fahrt die Außentemperaturen an der Tem pe ratur anzeige ab. Was beobachtet er während der Fahrt in Richtung Süden? Trage die Angaben auf einer geeigneten Skala ein. Bei Kontoständen, Temperaturwerten oder anderen naturwissenschaftlichen Messwerten ist es notwendig und sinnvoll, Dezimalbrüche oder Brüche als Maßzahlen zu verwenden. Dabei gibt es auch negative Bruchzahlen wie _ 2 3 oder 234,56. Auch jede Bruchzahl hat eine Gegenzahl. Die Gegenzahl von _ Å 2 ist _ Å 2. Die Menge der rationalen Zahlen wird mit Q bezeichnet. Wenn man alle positiven und negativen Bruchzahlen, einschließlich der Null, zusammen nimmt, erhält man die rationalen Zahlen. negative rationale Zahlen positive rationale Zahlen 5,5 + 5,5 Uhrzeit Temperatur ( C) 4:00 4,5 8:00 2,8 2:00 + 7,2 6:00 + 5,3 20:00 0,5 24:00 3,6 Beispiele a) Bruchzahlen und Dezimalbrüche wie + _ å 8 oder 4,25 sowie ganze Zahlen wie 23 oder + 78 gehören zu den rationalen Zahlen. b) Den Temperaturen werden auf der Zahlengeraden die Uhrzeiten zu geordnet. Aufgaben Online-Link zu Aufgabe und Wie heißen die auf der Zahlengeraden rot markierten Zahlen? Trage die Zahlen auf der Zahlengeraden ein. Mit Millimeterpapier kannst du besonders genaue Eintragungen machen. a) +,7; 2,8; 5,5; + 0,5; + 3,6; 0,9 b) + 2,9; 0,; 6,3 ; + 4,7; 3,0; 4,6 c) 5,2; 6,5; 5,6; 2,5; 0,6; 7,8 d) 39; + 48; 0; + ; 66; 48; + 25 e) + 2 _ 4 5 ; _ Å 2 ; 4 _ 3 0 ; + _ 3 4 ; 3 _ 3 5 f) 0,2; + 0,45; _ 2 5 ; + 0,07; _ 00 ; _ 20 8 Rationale Zahlen

5 3 Welche Zahlen musst du korrigieren? 7 Wie viele ganze Zahlen liegen zwischen a) 2 und 5? b) 5 und 2? c) 5 und 2? d) 2 und 5? e) 2,5 und 5,5? f) 5,5 und 2,5? Immer wieder neue Zahlen! N N 0 4 Zeichne eine Zahlengerade, bei der zwei aufeinander folgende ganze Zahlen einen Abstand von cm haben. Miss die Länge der Strecke von a) + 2,0 bis + 7,5 b) 0,5 bis 4,0 c),8 bis + 2,8 d) 3,2 bis + 3,2,75 e) +,9 bis 0, f) 2 7,3 bis + 4, ,75 2,75 5 Entnimm der Zeichnung die Höhenangaben 0 2 eines 3 Feuchtbiotops Q und über Q trage die Tabelle ins Heft Z N Wenn man zu den natürlichen Zahlen N,75 2,75 Z Q die negativen 3 ganzen 2 Zahlen + 0 dazu, Q 0 nimmt, erhält man die ganzen Zahlen 2 Z ,75 2,75 Z Q Q Zusammen mit den positiven und nega tiven Bruchzahlen ergeben sich die rationalen Zahlen Q. Wenn man zu den natürlichen Zahlen N die positiven Bruchzahlen dazu nimmt, erhält man die gebrochenen Zahlen Q +. Zusammen mit ihren Gegenzahlen er geben sich dann auch die rationalen Zahlen Q. Q ,75 2,75 Q , zu Aufgabe 5: Messpunkt M M2 M3 M4 M5 M6 Höhe in m 2 6 Alle Striche haben denselben Abstand. Wie heißen die fehlenden Zahlen? º Richtig oder falsch? Jede Bruchzahl ist eine rationale Zahl. Jede negative Zahl ist nicht positiv. Null ist keine rationale Zahl. Zwischen zwei negativen ganzen Zahlen liegen mindestens zehn rationale Zahlen. Von null kann man nichts abziehen. Begründe deine Entscheidungen. Online-Link zu Aufgabe Rationale Zahlen 9

6 Gera Itz Aue Selke Helme Schwarza Bode Wipper Unstrut Rodenbach Saale Orla Elbe Mulde Weiße Elster Eger 2 Vergleichen und Ordnen Pegelstand Saale, Donnerstag, Station Abweichung vom Mittel Mittel Aktuell Calbe Halle- Trotha Camburg- Stöben Rothenstein +65 cm +34 cm +0 cm 5 cm 439 cm 207 cm 96 cm 03 cm 504 cm 24 cm 06 cm 88 cm Rudolstadt Saalfeld- Remschütz Kaulsdorf Blankenstein 8 cm 24 cm cm 0 cm 66 cm 27 cm 87 cm 4 cm 58 cm 03 cm 86 cm 4 cm Die Pegelstände der Saale werden täglich zu bestimmten Zeiten mit den aktuellen Abweichungen vom Mittelwert für verschiedene Orte angegeben. Was bedeutet die Abweichung? Gib die Orte der größten negativen und größten positiven Abweichung an. Ordne die Abweichungen der Größe nach. Rationale Zahlen vergleicht man genauso wie beispielsweise Temperaturen. Die Temperatur von 6,3 C ist niedriger als 2,5 C. Entsprechend ist 6,3 kleiner als 2,5. 4,2 ist kleiner als 2,8. 4,2 liegt links von 2,8 + liegt links von + _ 9 2 4,2 < 2,8 + < + _ Die kleinere von zwei rationalen Zahlen liegt auf der Zahlengeraden weiter links. Beispiele a) 3,8 liegt links von 3,2 b) 3,9 liegt rechts von 4,8 3,8 ist kleiner als 3,2 3,9 ist größer als 4,8 3,8 < 3,2 3,9 > 4,8 c) _ Å 5 liegt rechts von _ 3 5 _ 5 ist größer als _ 3 5 d) Zum Ordnen kann eine Kette gebildet werden. 3,95 < 3,52 < 3,2 3,52 liegt zwischen 3,95 und 3,2 ist entgegengesetzt von ist mehr als ist kälter als ist tiefer als liegt oberhalb von sind weniger Schulden als Aufgaben Vergleiche mit Formulierungen aus dem Alltag. Gib Situationen an, in denen diese Vergleiche vorkommen könnten. a) 7 C... 3 C b) 403 m unter NN m unter NN c) 32, ,32 d) + 3,2 C... 3,2 C e) 2,80 m...,20 m f) 33, ,98 Suche selbst Situationen zum Vergleichen. 2 Ordne mit der Beziehung ist niedriger (weniger) als. Schreibe als Kette. Beispiel: 4,2 < 0,6 <,25 a) 4 C; 5 C; 3 C; C; 7 C b) 7,4 C; + 2,3 C; 2,5 C; + 6,9 C c),50 ; 3,25 ; 0,84 ;,05 d),23 ; 2,3 ; 3,2 ; 3,2 e) 204,8 m; 248 m; 24,8 m; 20,48 m f) 0,75 m; 7,05 m; 7,50 m; 0,705 m 0 Vergleichen und Ordnen

7 3 Was ist richtig? a) 3,5 < 5,3 oder 3,5 > 5,3 b) 5,3 < 3,5 oder 5,3 > 3,5 c) 3,5 < 5,3 oder 3,5 > 5,3 d) 5,3 < 3,5 oder 5,3 > 3,5 e) 3,5 < 5,3 oder 5,3 > 3,5 4 Setze das Zeichen < oder > richtig ein. a) + 2,5 º 4,7 b) + 68,2 º 82,6 5,7 º 6,2 9,75 º + 7,59 0,25 º + 0,25 20,7 º 70,2 c) 4,9 º 5,3 d) 2,34 º 3,24 +,7 º 7, + 5,05 º 5,50 0,6 º 0,3 0,07 º 0,70 e) _ 3 4 º _ 4 5 f),3 º _ Å 4 _ 6 å º _ å 6 + _ Å 2 º 2 _ Å 2 _ 3 5 º _ 4 å 3,6 º 3 _ Ordne die Zahlen in einer Kette. a) 4,2; + 2,4; 24,0; 20,4; 40,2; 2,4 b) 8,2; 0; + 0,; 0,2; + 2,08; 80,2 c) 7,89; 7,89; 8,79; 8,79; 9,78; 9,78 d) _ Å 2 ; 0,5; _ Å 4 ; 0,25; _ Å 3 ; 0,3 e) 2,6; 2 _ Å 2 ; _ 27 0 ; 2,4; 2 _ Å 4 6 Sortiere die Zahlen nach folgender Regel: die kleinste, die größte, die zweitkleinste, die zweitgrößte,... a) 8,98; 9,98; 8,99; 8,99; 9,89; 8,89 b) 0,005; 0,505; 0,055; 0,05; 0,55 c),2; _ Å 4 ; _ Å 2 ; _ Å 3 ;,5 d) 0,5;,5; _ Å 5 ; _ Å 2 ; 0,25 7 Gib drei rationale Zahlen an zwischen a) 3,3 und 3,3 b) 3,5 und,5 3,3 und 0 3,5 und 3,5 3,3 und 3,5 und 0 c) 0 und 0, d) _ Å 2 und _ 3 0,0 und 0, 0, und 0,0 _ Å 4 und _ Å 4 3 und _ Å 3 8 Gib drei Zahlen zwischen den vorgegebenen so an, dass der Abstand jeweils gleich groß ist. a) 4,0... 2,4 b) 2, c) 3,2... 3,2 d),56...,08 9 Bestimme die nächst kleinere und die nächst größere ganze Zahl. a) º < 2,8 < º b) º < 28,2 < º º < 0,28 < º º < 2,08 < º c) º < 2 _ Å 8 < º d) º < 4 _ 2 7 < º º < _ 8 2 < º º < _ 4 7 < º e) º < 2,5 < º f) º < 569,3 < º º < 5,2 < º º < 365,9 < º 0 Prüfe. a) Liegt 3,4 näher bei 3 oder bei 4? b) Liegt 8,6 näher bei 8 oder bei 9? c) Ist 2,4 weiter entfernt von 2 oder von 3? d) Ist _ Å 3 weiter entfernt von 0 oder von? a) Ordne, beginne mit dem kältesten Ort. Ort Land Tiefsttemp. ( C) Aklavik Kanada 52,2 Eismitte Grönland 64,8 Fairbanks USA 54,4 Jakutsk Russland 64,3 Ulan Bator Mongolei 44,4 b) Suche die Orte im Atlas. c) Trage die Temperaturen auf einem geeigneten Ausschnitt der Zahlengeraden ein. d) Der heißeste Ort ist Arouane in Mali mit 54,4 C. Zeichne einen neuen Ausschnitt, und trage diese Temperatur zusätzlich ein. 2 Die Tiefsttemperaturen der Städte wurden dem Wetterbericht vom 2. Januar entnommen. a) Ordne die Temperaturen. b) Bestimme die tiefste und die höchste Temperatur. c) Wo war es kälter als in München? d) Wo war es wärmer als in Leipzig? e) Wo war es kälter als in Hamburg, jedoch wärmer als in Rostock? f) Bestimme die beiden Städte mit der geringsten und die mit der größten Temperaturdifferenz. Vergleichen und Ordnen

8 3 Rationale Zahlen im Koordinatensystem Online-Link zum Einstieg Ein Mais-Labyrinth wird auf einem Feld angelegt. Gib die Koordinaten des Start- und Zielpunktes an. Beschreibe einen Weg vom Start zum Ziel, der an der ersten Abzweigung in westlicher Richtung beginnt. Gib die ersten fünf Abschnitte mit Himmelsrichtung und Metern an. Beschreibe einen Weg vom Start zum Ziel, der an der ersten Abzweigung in südlicher Richtung beginnt. Gib die Koordinaten der ersten vier Punkte an, bei denen ein Richtungswechsel erfolgt. Es ist möglich und oft nötig, Punkte im Koordinatensystem mit einer Dezimalstelle genau abzulesen oder zu zeichnen. Getroffene Festlegungen bleiben dabei erhalten: Die zur Geraden erweiterte Rechtsachse heißt x-achse, die zur Geraden verlängerte Hochachse heißt y-achse, der Punkt O (0 0) heißt Ursprung. Die beiden Koordinaten eines Punktes P P ( 3,52,2) bestimmen die Lage im Koordinatensystem eindeutig. Die erste Koordinate des Punktes heißt x-wert, die zweite Koordinate heißt x-wert y-wert y-wert. Beispiel Positive x-werte trägt man waagerecht nach rechts ab, negative x-werte vom Ursprung nach links. Positive y-werte trägt man senkrecht nach oben ab, negative y-werte vom Ursprung nach unten. ØØ B ( 2,,7) 3 2 y A (,3 2,8) Ø I. Quadrant A (,3 2,8),3 nach rechts; 2,8 nach oben II. Quadrant B ( 2,,7) 2, nach links;,7 nach oben III. Quadrant C (,6 2,4),6 nach links; 2,4 nach unten IV. Quadrant D (2,2,9) 2,2 nach rechts;,9 nach unten 3 2 C (,6 2,4) ØØØ O 2 3 x 2 3 D (2,2,9) ØV Bemerkung Die beiden Achsen teilen die Zeichenebene in vier Felder, die man Quadranten nennt. 2 Rationale Zahlen im Koordinatensystem

9 Aufgaben Bestimme die Koordinaten der eingetragenen Punkte. Beispiel: P ( 2,5,5) E P F 3 G 2 H D 3 2 O 2 y C I B A L 2 3 K J 2 Zeichne die Punkte A ( 2,5,5); B ( 2,5); C (,5); D (,5,5); E ( 0,5 0,5); F ( 0,5); G ( 2 0,5); H ( 0,5); I ( 0,5 0,5); J ( 0,5); K ( 2,5 ); L (,5 ); M ( 0,5 2,5) in ein Koordinatensystem und verbinde zu einem Häuschen. x 4 Die Punkte A, B und C sind Eckpunkte eines Vierecks. Bestimme den fehlenden Eckpunkt D. a) Quadrat: A ( 0,5,5); B ( 0,5 4,5); C ( 3,5 4,5) b) Drachen: A (,5,5); B ( 3,5 0,5); C (,5 4,5) c) Rechteck: A ( 3,5); B ( 4,5); C (3,5,5) d) Rhombus: A (2,5,5); B (5,5 0,5); C (2,5 2,5) 5 Zeichne das Viereck ABCD samt der Diagonalen in ein Koordinatensystem. In welchem Punkt schneiden sich die Diagonalen? Verwende Millimeterpapier und farbige Stifte. a) A (3,5,5); B (0 4,5); C ( 3,5 4); D (,5 0,5) b) A (,5 2,5); B ( 5,5,5); C ( 4,5 4,5); D (0,5 2,5) c) A (0,5,5); B ( 2,5 0,5); C (,5 3,5); D (4,5 4,5) d) A (4,5 2,5); B (,5 0,5); C ( 0,5 4,5); D (6,5 3,5) 6 Setze die Spirale um zwei Runden fort. Online-Link zu Aufgabe O 2 3 y x 3 Lies die Koordinaten der eingetragenen Punkte ab. 4 Beispiel: P (,9 3,) D y A 4 y 3 3 E 2 C B 2 F 2 O K 2 x O x P G 2 3 H I J a) Wo liegen der 0. und 2. Eckpunkt? b) Welche Koordinaten hat der 6. Eckpunkt? c) Wenn du den 00. Eckpunkt vorhersagen willst, musst du dir eine Regel überlegen Gib die Punkte der Piktogramme an. Rationale Zahlen im Koordinatensystem 3

10 4 Addieren In der Tabelle siehst du die monatlichen Veränderungen der Mitgliederzahlen eines großen Sportvereins. Monat Veränderungen der Personenzahl Jan. Feb. März April Mai Juni Waren es Ende Juni mehr oder weniger Mitglieder als am Jahresanfang? Im Juli erreicht die Mitgliederzahl wieder den Stand des Jahresanfangs. Wie groß ist die Änderung? Wie viele Personen sind eingetreten oder ausgetreten? Hier musst du Rechenzeichen und Vorzeichen unterscheiden. Betrag (+ 3) + ( 5) Rationale Zahlen bestehen aus einem Vorzeichen, das angibt, ob die Zahl kleiner oder größer als Null ist, und einem Betrag, der den Abstand der Zahl von der Null anzeigt. Die Addition von rationalen Zahlen lässt sich durch das Aneinanderfügen von Pfeilen entsprechender Länge und Richtung darstellen. Pfeile positiver Zahlen zeigen nach rechts, Pfeile negativer Zahlen nach links. Ein Ersatzpfeil kennzeichnet das Ergebnis. Aufgrund der beiden möglichen Vorzeichen ergeben sich folgende Fälle. Rechenzeichen Vorzeichen (+5) + (+2) = (+7) + ( 2) = +5 Es muss weiter gehen... Setze die begonnene Reihe fort. (+ 2) + (+ 2) = (+ 4) (+ 2) + (+ Å) = (+ 3) (+ 2) + 0 = º (+ 2) + ( Å) = º (+ 2) + ( 2) = º (+ 2) + ( 3) = º ( 5) + ( 2) = 7 Bei gleichen Vorzeichen werden die Beträge addiert. Das Ergebnis erhält das gemeinsame Vorzeichen ( 7) + (+2) = 5 Bei verschiedenen Vorzeichen werden die Beträge subtrahiert. Das Ergebnis erhält das Vorzeichen vor dem größeren Betrag. 0 Addition im Bild: (+3) + (+2) +5 2 (+5) + ( 2) Pfeilanfang 2. Pfeil an Pfeilspitze. Pfeil Beispiele a) Rationale Zahlen schreibt man in Rechenausdrücken in Klammern. ( 36) + ( 28) (+ 36) + ( 5) (+ 2) + ( 44) (+ 8) + (+ 3) = ( ) = + (36 5) = (44 2) = + (8 + 3) = 64 = + 2 = 32 = + 49 b) Um die Schreibweise zu vereinfachen, verwendet man Klammern nur, wenn Rechenzeichen und Vorzeichen direkt aufeinander folgen. Bei positiven Zahlen kann man das Vorzeichen weglassen. (+ 25) + ( 7) = 25 + ( 7) ( 9) + ( 4) = 9 + ( 4) 4 Addieren

11 Aufgaben Addiere im Kopf. Entscheide zuerst, ob das Ergebnis positiv oder negativ ist. a) (+ 24) + ( 0) b) ( 7) + ( 2) c) ( 40) + (+ 8) d) (+ 5) + ( 45) e) (+ 32) + ( 5) f) ( 42) + ( 28) g) ( 75) + (+ 40) h) ( 25) + ( 85) 2 Addiere. a) 35 + ( 8) b) c) d) 23 + ( 37) e) 40 + ( 68) f) 02 + ( 89) g) 50 + ( 05) h) ( 245) 3 Berechne. a) 3,5 + 8,5 b),5 + ( 4,2) c) 6,3 + ( 2,8) d) 5,2 + ( 7,8) e) 3,4 + ( 36,2) f) 22,4 + ( 36,5) g) 0,45 + (,65) h) 6,28 + ( 5,94) 4 Addiere. a) _ _ Å 4 b ) _ _ c) 5 _ _ 4 3 d) 4 _ _ e) 7 _ 2 + Å _ 3 f) å _ _ 6 5 Aus den Zahlen der linken und rechten Reihe lassen sich Summen bilden. Beispiel: 2 + ( 8) a) Welcher Rechenausdruck hat den größten Wert? b) Welcher Rechenausdruck hat den kleinsten Wert? c) Welche Summe hat den kleinsten Betrag? 6 Setze passende Vorzeichen. a) ( 6) + ( 7) = º 23 b) (+ 28) + ( º 4) = 3 c) 8, + ( º 0,7) = º 2,6 d) º,6 + 0,9 = º 0,7 7 Wähle Ziffern und Vorzeichen so, a) dass der Wert der Summe möglichst groß wird. b) dass der Wert der Summe möglichst klein wird. c) dass der Betrag der Summe möglichst klein ist. 8 Fülle die Steine der Zahlenmauer. Zahlen auf nebeneinander liegenden Steinen werden addiert. 7,5 +2,5 3,5 0,5 +2,5 9 Würfle sechsmal hintereinander. Setze die Zahlen so ein, dass du als Ergebnis ganze Zahlen erhältst. Für jede ganze Zahl gibt es einen Punkt. Schaffst du oder als Ergebnis bekommst du zwei Punkte. Vergleicht nach sechs Durchgängen die Punkte. Beispiel: 3, 2 +, 4 5, 6 = Wege und Summen Im magischen Kreuz haben die waagerechte und die senkrechte Zahlenreihe denselben Summenwert. º Bilde ein magisches Kreuz mit den Zahlen 4; 3; 2; ; 0; ; 2; 3 und 4. Gibt es verschiedene Lösungen? Welche Gesetzmäßigkeiten kannst du erkennen? Das Haus des Nikolaus kannst du in einem Zug durchlaufen. º Addiere die Zahlen auf deinem Weg durch das Haus des Nikolaus. Berücksichtige auch die Anfangs und die Endzahl. Was fällt dir auf, wenn du verschiedene Wege wählst? Begründe. (ºººº) + (ºººº) Online-Link zu Aufgabe Addieren 5

12 5 Subtrahieren 7 gewinnt Lea Kim Runde Runde 2 Runde 3... Lea Kim Lea und Kim spielen Kreisel. Nach dem Drehen zeigt das untere Feld, wie viele rote Gewinnsteine oder blaue Verluststeine genommen oder abgelegt werden. Rote und blaue Steine dürfen stets in gleicher Anzahl genommen werden. Gewinner ist, wer zuerst genau sieben Gewinnsteine hat. Wer steht nach der 2. Runde besser? Kim soll in der 3. Runde zwei rote Steine ablegen, obwohl er keine hat. Was rätst du ihm? Welchen Punktestand hat er danach? Es muss weiter gehen... Setze die begonnene Reihe fort. (+ 4) (+ 3) = + (+ 4) (+ 2) = + 2 (+ 4) (+Å) = + 3 (+ 4) 0 = + 4 (+ 4) ( Å) = º (+ 4) ( 2) = º (+ 4) ( 3) = º (+ 4) ( 4) = º... Die Subtraktion ist die Umkehrung der Addition. Entsprechend stellt man die Subtraktion mit Pfeilen dar: die Pfeilspitzen von Subtrahend und Minuend liegen aneinander, der Ergebnispfeil verläuft vom Anfang des. Pfeils zum Anfang des 2. Pfeils: (+5) (+2) = 3 (+5) ( 2) = 7 Die Lösung der Subtraktion erhält man ebenso durch die Addition der Gegenzahl: (+5) + ( 2) = (+5) + (+2) = Subtraktion im Bild: Regel für die Subtraktion: Eine rationale Zahl wird subtrahiert, indem man ihre Gegenzahl addiert. (+ 5) (+ 2) = (+ 3) Pfeilspitze 2. Pfeil an Pfeilspitze. Pfeil Beispiele a) (+ 7) (+ 3) = (+ 7) + ( 3) = + 4 b) (+ 3) ( 3) = (+ 3) + (+ 3) = + 6 ( 0) (+ 5) = ( 0) + ( 5) = 25 ( 4) ( ) = ( 4) + (+ ) = 3 Bemerkung Auch bei der Subtraktion können positive Vorzeichen weggelassen werden. Aufgaben Bilde Aufgaben und rechne im Kopf. Beispiel: ( 5) (+ 9) = ( 5) + ( 9) = Setze + oder ein. a) (+ 7) (+ 0) = (+ 7) + ( º 0) b) ( 2) (+ 4) = ( 2) + ( º 4) c) (+ 22) ( 9) = (+ 22) + ( º 9) d) ( 8) ( ) = ( 8) + ( º ) 6 Subtrahieren

13 3 Entscheide zunächst, ob das Ergebnis positiv oder negativ ist. Rechne dann. a) (+ 5) (+ 42) b) (+ 45) (+ 34) c) ( 33) ( 2) d) (+ 62) ( 23) e) ( 78) (+ 69) f) ( 07) ( 74) g) (+ 235) ( 85) h) ( 25) (+ 75) 4 Die Ergebnisse wurden abgerissen. Füge die Aufgaben im Heft wieder zusammen. 5 Berechne mithilfe der Gegenzahl. Beispiel: ( 4) ( 20) = = + 6 a) 8 (+ 23) b) ( 28) (+ 6) c) 44 ( 9) d) 67 ( 78) e) 899 (+ 998) f) 989 (+ 898) g) 9889 (+ 8989) h) 8998 ( 9898) 6 Setze richtige Vorzeichen ein. a) ( º 45) ( º 28) = 7 b) ( º 45) ( º 28) = + 73 c) ( º 45) ( º 28) = 73 d) ( º 45) ( º 28) = Ergänze die fehlenden Vorzeichen. a) ( 7) ( 8) = º b) ( º 7) (+ 9) = º 36 c) ( º 26) ( º 5) = + 4 d) ( º 29) ( º 38) = º 9 8 Berechne der Reihe nach. Auf dem Rand findest du das Lösungswort. a) 3,5 (+ 8,5) b) 6,5 (+ 4,8) c) 2,4 ( 0,5) d) 2,8 ( 6,8) e) 0,7 (+,9) f) 22,5 (+ 7,2) g) 45,3 ( 46,7) h) 87,7 ( 89,) 9 Addiere oder subtrahiere. 4 3 b) 3 _ 5 + ( 0,8) a) Å _ Å _ c) 0, _ 20 3 d) å _ _ Lange Zahlen, einfache Ergebnisse. a) ( ) b) ( ) c) ( ) Zahlen auf nebeneinander liegenden Steinen werden addiert. a) b) N 2,6 L 5 B 5,3 C,4 U 4,0 E 92 F 4,0 M 2,5 N,4 S 2,9 Ö 3,3 G 5,3 W 0,5 Online-Link zu Aufgabe Mit Koordinaten rechnen Mit den Koordinaten von geometrischen Figuren im Koordinatensystem kann man auch rechnen. Das grün gefärbte Dreieck A B C erhält man, wenn man sowohl vom x-wert als auch vom y-wert der Eckpunkte des Dreiecks ABC jeweils die Zahl 2 subtrahiert. º Wie lauten die Koordinaten der Eckpunkte des grün gefärbten Dreiecks? Was ist mit dem Dreieck passiert? º Addiere zum x-wert die Zahl 3,5 und subtrahiere vom y-wert die Zahl 4,5. Zeichne. º Welche Zahlen muss man sowohl vom x-wert als auch vom y-wert mindestens subtrahieren, damit alle Eckpunkte negative Koordinaten haben? Subtrahieren 7

14 Online-Link zu Aufgabe Vervollständige die Rechennetze. a) Berechne die fehlenden Zahlen. 3 Vervollständige das magische Quadrat. Alle Zeilen, Spalten und Diagonalen haben die magische Zahl 0 als Summe b) Hier musst du addieren oder subtrahieren, damit das Ergebnis stimmt. 4,2 5,3 7,7 +2,7 +3,7 3,8 6,9 4 Wähle Ziffern und Vorzeichen so, a) dass der Wert der Differenz möglichst groß wird. b) dass der Wert der Differenz möglichst klein wird. c) der Betrag der Differenz möglichst klein wird. (ºººº) (ºººº) Kontoführung Sina besitzt ein Jugendgirokonto. Mit diesem Girokonto kann sie am Bankautomaten Geld abheben und Beträge überweisen, solange das Guthaben ausreicht. Das monatliche Taschengeld von den Eltern wird auch auf das Konto überwiesen. º Wie hoch war die Summe der Einzahlungen, wie hoch der Gesamtbetrag aller Abhebungen? º Sina wollte am 2.0. zunächst 60 abheben. Weshalb war dies nicht möglich? Wie viel Euro hätte sie maximal am Bank automat erhalten können? º Anfang Dezember bekommt sie wieder Taschengeld überwiesen. Für November plant sie keine Ausgaben. Kann sie dann eine neue Jeans für 79 kaufen? Frau Möller besitzt zurzeit auf ihrem Konto ein Guthaben in Höhe von 2024,8. Davon sollen verschiedene Ausgaben, die Frau Möller auf einem Zettel notiert hat, abgebucht werden. º Wie ist der Kontostand nach den Abbuchungen? º Frau Möller kann ihr Konto um 3000 überziehen. Über wie viel Geld kann sie dann insgesamt verfügen? º Nach einer dringenden Reparatur am Dach ihres Hauses ist eine Handwerker rechnung über 483,50 fällig. Wie viel Euro muss Frau Möller von ihrem Sparbuch mindestens abheben, wenn sie ihr Konto nicht überziehen will? 8 Subtrahieren

15 6 Vereinfachte Schreibweise von Addition und Subtraktion Zu Monatsbeginn weist ein Girokonto ein Guthaben von 700 auf. In den folgenden Tagen erfolgt eine Gutschrift über 58 und eine Abbuchung über 32. Danach bemerkt die Bank, dass durch einen technischen Fehler beide Beträge um 0 zu hoch waren. Der Bankangestellte notiert das Hinzufügen einer Buchung mit dem Rechenzeichen plus, das Rückgängigmachen mit minus. Gutschriften erhalten das Vorzeichen plus, Abbuchungen das Vorzeichen minus. Schreibe den zugehörigen Rechenausdruck auf. Wie könntest du ihn vereinfachen? VR-Bank Großdachungen Auszug Nr. 27 Andrea Schultz Kontostand am ,00 Buchungstag Vorgang Betrag 5.8. Rückzahlung Nebenkosten +58, Deutsche Bahn AG Großdachungen 32, Korrektur Fehlbuchung 5.8. (+0,00) 0.8. Korrektur Fehlbuchung 7.8. ( 0,00) Kontoauszug Kontostand am , 6:43 726,00 Die Subtraktion darf durch die Addition der Gegenzahl ersetzt werden. Dabei werden jeweils Rechenzeichen und Vorzeichen umgekehrt. Vereinfachen der Schreibweise führt zu einer einfachen Addition: (+ 4) ( 7) = (+ 4) + (+ 7) = = Jede Addition mit der Gegenzahl darf natürlich auch wieder als Subtraktion geschrieben werden. Auch hierbei werden beide Zeichen umgekehrt. Vereinfachen der Schreibweise führt zu einer einfachen Subtraktion: (+ 8) + ( 3) = (+ 8) (+ 3) = 8 3 = 5 Gleiche Vor- und Rechenzeichen ersetzt man durch das Rechenzeichen (+). Ungleiche Vor- und Rechenzeichen ersetzt man durch das Rechenzeichen ( ). Komplizierte Terme lassen sich somit stark vereinfachen. Beispiel (+ 48) + ( 6) ( 36) + (+ 30) (+ 5) = = 83 Bemerkung Rechenausdrücke mit mehreren Additionen und Subtraktionen werden von links nach rechts vereinfacht. Man darf auch Summanden und Subtrahenden zusammenfassen. (+ 50) + (+ 47) (+ 8) ( 33) + ( 2) = = = = 22 2 = 200 (+ 50) + (+ 47) (+ 8) ( 33) + ( 2) = = 50 + ( ) (8 + 2) = = 200 Vereinfachte Schreibweise von Addition und Subtraktion 9

16 Aufgaben Setze Klammern und Vorzeichen. Es gibt mehrere Möglichkeiten. Beispiel: = 43 + ( 28) = 43 (+ 28) a) b) 35,6 2,4 c) 8,5 + 2,6 d) 9,3 2,5 e) 35 5, + 7,3 f) 7 + 8,9 6,4 2 Vereinfache und berechne. a) (+ 2) + (+ 9) b) (+ 48) + (+ 7) c) 26,38 + ( 4,) d) ( 6,8) (+ 6,8) e) 3 _ _ 8 3 f) 2 3 _ _ Vereinfache, berechne dann von links nach rechts. a) (+ 3) + ( 2) + (+ 37) b) 35 ( 47) ( 66) (+ 32) c) 6,5 + ( 6,) ( 2,4) (+ 23,6) d) 3,59 (+ 23,04) (+ 6,3) ( 8,55) e) 3 4 _ _ _ _ Vereinfache, fasse dann Summanden und Subtrahenden zusammen. a) 37 ( 23) + (+ 7) + ( 26) (+ 34) b) 65 + ( 34) + (+ 52) (+ 56) ( 28) c) 7 + (+ 7,3) + ( 2,6) ( 6,7) (+ 8,4) d) 5 (+ 3,08) + (+ 7,2) + ( 6,42) (+ 3,29) e) _ _ _ _ Ein Girokonto weist ein Guthaben von 537,24 auf. Nun wird nacheinander eine Gutschrift von 29,00, eine Lastschrift von 7,82, zwei Gutschriften von 89,73 und 3,59 und eine Lastschrift von 25,3 gebucht. Die letzte Lastschrift und die letzte Gutschrift erfolgten jedoch versehentlich und müssen wieder rückgängig gemacht werden. a) Schreibe die Vorgänge in einem gemeinsamen Term mit Rechen- und Vorzeichen. b) Vereinfache dann die Schreibweise und berechne den neuen Kontostand. Immer mehr Zahlen Zuerst kanntest du die Menge der natürlichen Zahlen N = {0; ; 2; 3; 4; 5 }. Jede Addition und Multiplikation mit ihnen hatte ein Ergebnis, nicht aber jede Subtraktion und Division. Mit der Menge der ge brochenen Zahlen Q + = {0; _ 2 ; _ 2 3 ; ;,25; } hatte auch jede Division (außer durch 0) ein Ergebnis. Jede natürliche Zahl ist auch eine gebrochene Zahl, denn 0 = _ 0 = _ 0 2 = ; = _ = _ 2 2 = ; 2 = _ 2 = _ 4 2 = usw. Durch Zusatz eines Vorzeichens sind zunächst die negativen ganzen Zahlen hinzugekommen, sie bilden gemeinsam mit den natürlichen Zahlen die Menge der ganzen Zahlen Z = { 3; 2; ; 0; ; 2; 3 }. Es folgten die negativen Brüche. Mit ihnen hat nun auch jede Subtraktion ein Ergebnis. Alle zusammen nennt man die Menge der rationalen Zahlen Q. Als rationale Zahl bezeichnet man jede positive oder negative Zahl, die man als Bruch darstellen kann. 20 Vereinfachte Schreibweise von Addition und Subtraktion

17 7 Addition und Subtraktion. Klammern Tim, Stefanie und Linda spielen Karten. Für gewonnene Spiele gibt es Pluspunkte, für verlorene Minuspunkte. Vergleiche die Punktestände von Tim und Linda nach dem siebten Spiel. Wie lässt sich Stefanies Punktezwischenstand geschickt bestimmen? Jede Addition lässt sich durch das Aneinanderlegen von Zahlenpfeilen veranschaulichen. Da die Reihenfolge der Pfeile für die Gesamtlänge und damit für das Ergebnis ohne Bedeutung ist, darf man bei der Addition die Summanden beliebig vertauschen. Ebenso ist es gleich, in welcher Reihenfolge man bei mehreren Summanden Teilergebnisse bildet, also die Länge einiger Pfeile zusammenfasst. Das Kommutativgesetz und das Assoziativgesetz gelten auch für rationale Zahlen. Kommutativgesetz (Vertauschungsgesetz) In einer Summe rationaler Zahlen darf man die Summanden vertauschen. (+ 25) + ( 45) = ( 45) + (+ 25) 20 = 20 Assoziativgesetz (Verbindungsgesetz) In einer Summe rationaler Zahlen darf man Klammern beliebig setzen oder weglassen. (( 2) + ( 8)) + (+ 24) = ( 2) + (( 8) + (+ 24)) ( 30) + (+ 24) = ( 2) + (+ 6) 6 = 6 Vertauschen: Verbinden: Beispiel Bei geschickter Anwendung beider Gesetze entstehen oftmals Rechenvorteile: (+ 67) + (( 9) + (+ 33)) = (+ 67) + ((+ 33) + ( 9)) Vertauschungsgesetz = ((+ 67) + (+ 33)) + ( 9) Verbindungsgesetz = (+ 00) + ( 9) = 9 Bemerkungen a) Steht vor der Klammer ein Pluszeichen (Plusklammer), darf man die Klammer weglassen. Rechenzeichen und Vorzeichen ändern sich dabei nicht ( ) 48 + ( ) = 48 + ( 8) = = 40 = = 40 b) Auch wenn vor einer Klammer ein Minuszeichen steht (Minusklammer), darf man die Klammer weglassen. Aus allen Pluszeichen in der Klammer werden Minus zeichen und umgekehrt. 48 ( ) 48 ( ) = 48 ( 8) = = = 73 7 = 56 = 56 Addition und Subtraktion. Klammern 2

18 Aufgaben Berechne vorteilhaft. a) ( 29) b) 47 + ( 38) + ( 22) c) 5 + ( 35) + (+ 63) d) 2 + ( 39) + 33 e) 65 + ( 57) + 35 f) ( 87) g) 5,5 + ( 6,7) + 4,5 h) 8, + 6,8 + (,9) 5 Fasse zuerst zusammen. Beispiel: = ( ) ( ) = = 44 a) b) c) d) e) 38,4 + 62,6 + 59,8 82,7 79,5 99,9 f) ,5 66,6 77,7 88, Verbinde die Ziffernkärtchen mit + oder und Klammern, so dass du verschiedene Zahlen ausdrücken kannst. Beispiel: ( ) (( 2) + ( 3)) = ( ) ( 5) = + 5 = 4 Wer findet die meisten Möglichkeiten? 2 Setze + und richtig ein. a) ( 2) + (+ 8) (+ 33) + ( 9) = º 2 º 8 º 33 º 9 b) (+ 77) (+ 36) + (+ 68) ( 4) = º 77 º 36 º 68 º 4 c) (,8) + (+ 7,2) + ( 4,5) + ( 0,6) = º,8 º 7,2 º 4,5 º 0,6 3 Vereinfache zuerst die Schreibweise. Rechne dann von links nach rechts. Beispiel: 2 + ( 8) (+ 34) = = 3 34 = 3 a) 3 ( 42) + ( 9) b) 73 + ( 49) ( 37) c) 97 (+ 56) + ( 84) ( 4) d) 42 ( 78) (+ 36) + 66 e) 97 ( 56) + (+ 84) (+ 4) f) 3,4 + ( 6,5) ( 0,2) g) 63,7 + 49,8 ( 28,0) + ( 32,5) h) 4,57 + ( 7,54) ( 5,74) (+ 4,75) 4 Vertausche und fasse geschickt zusammen. Beispiel: ( 7) + (+ 36) + ( 83) + (+ 24) = ( 7) + ( 83) + (+ 36) + (+ 24) = = 40 a) 44 + ( 37) ( 63) b) ( 4) c) ( 77) ( 9) d) ( 39) + ( 43) + 82 e) ( 466) f) 57 + ( 27) ( 5) + ( 22) g) 43,9 + ( 24,4) + 36, + ( 45,6) h) 52,3 + 63,6 + ( 32,7) + 26,4 + ( 5,0) 6 Sortiere zuerst nach Vorzeichen. Beispiel: = = 3 24 = 7 a) b) c) d) e) 5, ,4 89, ,8 f) 24,25 36, ,9 + 2,95 7 Im Zahlenbaukasten befinden sich vier Zahlen, vier Rechenzeichen sowie ein Klammerpaar. ( (+ 8) + - (-0) ) (+ 24) - (-5) + a) Erstelle zehn verschiedene Aufgaben und berechne sie. Beispiel: ( 0) + (+ 8) (( 5) (+ 24)) = ( 5 24) = = 37 b) Wie heißt der Rechenausdruck mit dem größten Wert? c) Welche Aufgabe hat den kleinsten Betrag? 8 Achte auf die Minusklammer. Vergleiche die Ergebnisse. a) 25 ( 55 35) 5 45 b) 25 ( ) 45 c) 25 ( ) 22 Addition und Subtraktion. Klammern

19 9 Die Aufgabe 77 (34 89) lautet in Worten: Subtrahiere von der Zahl minus 77 die Differenz der Zahlen 34 und 89. Schreibe in Worten. a) 28 + (45 62) b) 69 ( ) c) (35 54) ( ) d) 50 ( ) 0 Schreibe zuerst einen Rechenausdruck. a) Addiere zur Differenz der Zahlen 45 und 99 die Zahl minus 33. b) Subtrahiere von der Summe der Zahlen 49 und 32 die Summe von 4 und 7. c) Addiere zur Differenz der Zahlen 39 und 83 die Summe der Zahlen 26 und Ein Würfelspiel mit negativen Zahlen. Gespielt wird mit drei Würfeln, die gleichzeitig geworfen werden. Ungerade Augenzahlen werden addiert, gerade Augenzahlen werden subtrahiert. Beispiel: = 7 Gewonnen hat, wessen Ergebnis nach drei Durchgängen am weitesten von der Zahl 0 entfernt liegt. 3 Setze in den vorgegebenen Rechenausdruck ein weiteres, zusätzliches Klammerpaar. Schaffst du es, fünf verschiedene Ergebnisse zu erhalten? 20 (+ 24) ( 5) + ( 8). Wurf: = 3 2. Wurf: = Wurf: 2 6 = 7 Ergebnis: = 6 ( ) Löse die Klammern auf und nutze Rechenvorteile. Beispiel: 83 ( ) + 44 = = = = 0 a) 65 + ( ) b) 24 + ( ) ( ) c) 57 + (4 37) ( ) 49 d) 62 ( ) + ( ) e) ( ) 35 ( ) 76 4 Löse die Klammern von innen nach außen auf. Rechne dann. Beispiel: 22 (4 ( )) = 22 ( ) = = = 0 a) 47 (85 + (29 53)) b) 66 ( 35 ( )) c) (( ) ( )) (62 79) d) ((55 7) ( ) + 53) + 53 e) 67 ( 89 ( 42 7) 77) Innere Klammer vor äußerer Klammer Plus und Minus º Berechne und setze fort º Wie lautet das Ergebnis für die 0. Zeile, wie für die. Zeile, wie für die 37. Zeile und wie für die 00. Zeile? º Erkläre, wie die Zahlenreihen gebildet werden. Berechne das Ergebnis für die 000. Zeile. Solche Aufgaben kann man auf zwei Arten lösen: Sprünge auf der Zahlengeraden An der Zahlengeraden erkennst du: 2 = ; = 2; = 2 usw. Eine andere Methode ist das geschickte Bündeln von Zahlenpaaren Hier musst du die Zahl entsprechend oft vervielfachen. Addition und Subtraktion. Klammern 23

20 8 Multiplizieren Online-Link zum Einstieg Ergänze die fehlenden Werte in der Multiplikationstafel sinnvoll. Fülle ganze Zeilen und Spalten jeweils in einem Zug aus. Färbe Felder mit positiven Ergebnissen rot ein, Felder mit negativen blau. Prüfe den Zusammenhang zwischen den Vorzeichen von Faktoren und Produktwert. Wie viele Fälle treten auf? Produkt ( 3) (+ 4) Faktor Faktor Die Multiplikation rationaler Zahlen ist eine verkürzte Schreibweise der Addition: 3 (+ 7) = (+ 7) + (+ 7) + (+ 7) = + 2 Dementsprechend gilt: 3 ( 7) = ( 7) + ( 7) + ( 7) = 2 Nach dem Kommutativgesetz gilt dann: ( 7) (+ 3) = (+ 3) ( 7) = 2 Das Produkt ( 7) ( 3) muss folglich die Gegenzahl von 2 ergeben, also + 2: ( 7) ( 3) = ( 3) ( 7) = + 2 Das Vorzeichen des Produktwerts hängt von den Vorzeichen der Faktoren ab. Den Betrag des Ergebnisses erhält man durch Multiplikation der einzelnen Beträge. Haben beide Faktoren gleiche Vorzeichen, so ist der Produktwert positiv. Haben die Faktoren ungleiche Vorzeichen, so ist der Produktwert negativ. Beispiele a) (+ 8) ( 2) = (8 2) = 96 b) ( 5) (+ 9) = (5 9) = 35 c) (,6) ( 5) = + (,6 5) = 8,0 d) 2 _ _ 9 0 = _ = _ 3 4 Bemerkungen Das Vertauschen und das beliebige Verbinden von Faktoren ist weiterhin möglich. Vertauschungsgesetz (Kommutativgesetz) Verbindungsgesetz (Assoziativgesetz) (+ 3) ( 7) ( 7) (+ 3) ((+ 3) ( 7)) ( 2) (+ 3) (( 7) ( 2)) = (3 7) = (7 3) = ( 2) ( 2) = (+ 3) (+ 4) = 2 = 2 = 42 = 42 Multipliziert man eine Zahl mit ( ), so erhält man ihre Gegenzahl. (+ 5) ( ) = 5 ( ) (+ 5) = 5 ( 5) ( ) = + 5 ( ) ( 5) = + 5 Multipliziert man eine Zahl mit ihrer multiplikativen Gegenzahl, so ist das Ergebnis. 7 3 = Die Zahl 0 hat keine multiplikative Gegenzahl. 5 _ 5 = 2 7 _ _ Aufgaben Rechne im Kopf. a) (+ 5) ( 7) b) ( 4) (+ 9) c) ( 4) ( 5) d) (+ 8) ( 7) e) (+ 2) ( 6) f) ( 4) ( 5) 2 Rechne ebenfalls im Kopf. a) ( 50) ( 0,5) b) 20 (,2) c) ( 2,5) 2 d) ( 7) ( 0,4) e) 200 ( 0,) f) ( 40) (,8) 24 Multiplizieren

21 3 Multipliziere. Ermittle zunächst das Vorzeichen des Ergebnisses. a) (+ 5) ( 20) b) ( 2) (+ 30) c) ( 36) ( 8) d) (+ 24) ( 28) e) ( 4) (+ 49) f) ( 53) ( 7) g) (+ 63) ( 9) h) ( 55) ( 82) 4 Berechne. a) 88 ( 2) b) ( 44) 77 c) ( 55) ( 33) d) 67 ( 83) e) ( 72) 23 f) ( 25) ( 59) 5 Überschlage zunächst das Ergebnis. a) ( 789) 9 b) ( 47) ( 2) c) 06 ( 69) d) ( 68) ( 97) e) 42,8 ( 2,5) f) ( 9,6) 8,4 g) ( 0,7) ( 4,8) h) 2,25 ( 0,45) 6 Multipliziere. a) 2 _ Å 2 3 _ 2 3 b ) _ _ c) _ Å 4 2 _ Å 3 3 d) 2 _ _ e) 2 _ å 9 3 _ 9 4 f) 2 _ _ Wähle den ersten Faktor aus der linken Wolke, den zweiten aus der rechten. Beispiel: ( 0,8) 3,5 0,8 7,2 2,5 4,5 3,5 0,5 8,2,8 a) Welches Produkt hat den größten Wert, welches hat den kleinsten Wert? b) Wie viele Produkte haben ein positives, wie viele ein negatives Ergebnis? 8 Berechne. Die Summe aller Ergebnisse ergibt den Wert 500. a) ( 8) ( 3) 2 b) 2 8 ( 3) c) 25 ( 4) ( 2) d) ( 4) ( 5) 48 e) 2,5 ( 6) 8 f) 2,5 ( 4) ( 8) 9 Lena hat innerhalb von zwei Sekunden das Ergebnis bestimmt. Schaffst du das auch? ( 42) 72 ( 7) 0 ( 89) 36 0 Multipliziere vorteilhaft. Beispiel: ( 4) 9 25 ( 5) = ( 4) 25 9 ( 5) = ( 00) ( 45) = 4500 a) 2 7 ( 5) ( 2) b) 4 ( 9) 8 ( 25) ( 5) c) ( 8) 50 ( 25) ( 6) d) ( 4) ( 4) ( 25) ( 8) ( 5) Wähle Ziffern und Vorzeichen aus und setze sie ein. a) Der Wert des Produkts soll möglichst groß werden. b) Der Wert des Produkts soll positiv sein und möglichst klein werden. c) Der Wert des Produkts soll negativ sein und möglichst nahe bei null liegen. 2 Potenzen sind verkürzte Schreibweisen für Produkte mit gleichen Faktoren. ( 2) 2 = ( 2) ( 2) ( 2) 3 = ( 2) ( 2) ( 2) ( 2) 4 = ( 2) ( 2) ( 2) ( 2) a) Schreibe die Potenzen bis ( 2) 0 als Produkte und berechne den Potenzwert. b) Kannst du die Vorzeichen der Potenzwerte ( 2) 97, ( 2) 44 bestimmen? Begründe. 3 a) Der erste Faktor eines Produkts ist 35, der zweite 24. Wie groß ist der Produktwert? b) Welche Zahl erhält man, wenn man vom Produkt aus 8 und 45 die Zahl 888 subtrahiert? c) Multipliziere das Produkt aus 60 und 42 mit dem Faktor 5. 4 Ein Würfelspiel mit zwei verschiedenfarbigen Würfeln: Der blaue Würfel ist der Vorzeichenwürfel, gerade Augenzahlen gelten als Pluszeichen, ungerade Augenzahlen als Minuszeichen. Würfle mit beiden Würfeln gleichzeitig. Die so entstehenden Zahlen sind Faktoren eines Produkts. Sieger ist, wer nach dem fünften Wurf das Produkt mit dem größten Wert erzielt hat. (ººº) (ºº) + 7. Wurf 2. Wurf 3. Wurf 4. Wurf Wurf + 4 ( 2) (+ 3) ( 6) ( ) (+ 4) = 44 Multiplizieren 25

22 9 Dividieren Der heftigste innerhalb von 24 Stunden je gemessene Temperatursturz ereignete sich 96 im Bundesstaat Montana in den USA. Dabei sank das Thermometer von + 6 C auf 42 C. Wie groß war die durchschnittliche Temperaturänderung in einer Stunde? Quotient ( 24) : (+ 8) Dividend Divisor Da auch bei den rationalen Zahlen die 56 : 7 = 8, da 8 7 = 56 Division die Umkehrung der Multiplikation 6,5 : 0,5 = 3, da 3 0,5 = 6,5 ist, können wir für die Division folgende ( 2) : (+ 4) = 3, da ( 3) (+ 4) = 2 Regeln erkennen: (+ 2) : ( 4) = 3, da ( 3) ( 4) = + 2 ( 2) : ( 4) = + 3, da (+ 3) ( 4) = 2 Zunächst dividiert man die beiden rationalen Zahlen, ohne deren Vorzeichen zu berücksichtigen. Das Vorzeichen des Quotienten hängt von den Vorzeichen des Dividenden und des Divisors ab. Dabei gelten dieselben Vorzeichenregeln wie bei der Multiplikation. Durch null kann man nicht dividieren. Regeln für das Dividieren rationaler Zahlen Haben Dividend und Divisor gleiche Vorzeichen, dann ist der Wert des Quotienten positiv. Haben Dividend und Divisor verschiedene Vorzeichen, dann ist der Wert des Quo tienten negativ. + : + = + + : = : + = : = + Beispiele a) (+ 45) : ( 5) = (45 : 5) = 3 b) ( 45) : ( 5) = + (45 : 5) = 3 c) Durch einen Bruch wird dividiert, indem man mit seinem Kehrbruch multipliziert. 2 _ : 2 + _ = 2 _ _ = _ = _ 4 5 Bemerkung Dividiert man eine Zahl durch ( ), erhält man die Gegenzahl. (+ 5) : ( ) = 5 ( 5) : ( ) = + 5 Aufgaben Rechne im Kopf. a) (+ 56) : ( 7) b) ( 64) : (+ 8) c) ( 49) : ( 7) d) (+ 48) : ( 2) e) ( 72) : (+ 8) f) ( 84) : ( 4) 2 Rechne im Kopf. a) ( 96) : 2 b) 08 : ( 9) c) ( 75) : ( 5) d) ( 225) : 25 e) ( 44) : ( 6) f) 600 : ( 75) 26 Dividieren

23 3 Dividiere. Überlege zuerst, ob das Ergebnis positiv oder negativ ist. a) ( 2) : b) 44 : ( 8) c) ( 96) : ( 6) d) ( 270) : 5 e) ( 02) : 7 f) 56 : ( 2) g) ( 675) : ( 25) h) 726 : ( 33) 4 Fülle die Tabellen aus. a) : b) Wähle aus den Ziffern und Vorzeichen aus und setze ein. a) Der Wert des Quotienten soll möglichst groß werden. b) Der Wert des Quotienten soll möglichst klein werden. c) Der Betrag des Quotienten soll so klein wie möglich sein. Welche Aufgabe gehört zu welchem Ergebnis? Überschlage bevor du rechnest. (,2) : 3,2 7,5 9,2 : ( 22,8) 2,8 ( 5,) : ( 8,5) 0,4 8 : ( 0,8) 3,5 ( 9,8) : ( 3,5) 0,6 (ººº) : (ºº) Ergänze Vor zeichen und Zahlen. a) ( 28) : ( º 6) = ( º ) b) 72 : (+ º ) = ( º 8) c) ( º 05) : ( º ) = 5 d) ( º ) : 25 = º 2 6 Setze im Heft die richtige Zahl ein. a) 72 : º = 9 b) º : 2 = 7 ( 72) : º = 9 º : ( 2) = 7 ( 72) : º = 9 º : 2 = 7 72 : º = 9 º : ( 2) = 7 7 Ergänze im Heft. a) 48 : º = 4 b) º : 9 = 8 c) 57 : º = 3 d) º : ( 4) = 3 e) 207 : º = 9 f) º : ( 2) = 36 8 Dividiere. a) 9, : ( 7) b) ( 20,4) : 2 c) ( 3,2) : ( 2,4) d) ( 0,72) : 0,6 e) ( 0,4) : ( 23) f) 8 : ( 5,4) g) ( 80,75) : 9 h) ( 85,8) : ( 3,75) 9 Multipliziere mit dem Kehrbruch. a) 2 + _ : 2 _ b) 2 _ 4 å 3 : 2 6 _ å 3 c) 2 _ : 2 _ å 3 d) 2 _ 35 3 : _ Lege die Dominosteine in die richtige Reihenfolge. ( 84) : ( 7) 7 Zahlenzauber Bei diesen magischen Quadraten hat jede Zeile und jede Spalte und sogar jede Diagonale denselben Produktwert. º Vervollständige º Hier heißt die das Quadrat. magische Zahl ( 96) : ( 6) ,5 º Bei dem 4 4-Quadrat brauchst du bestimmt einen Taschenrechner. Berechne auch die unterschiedlich gefärbten Gruppen. º Welches Produkt erhältst du im rot umrandeten Zentrum? º Wie viele Pluszeichen und wie viele Minuszeichen kommen im magischen 4 4-Quad rat vor? 6 2 ( 26) : 9 ( 98) : : ( 5) : ( 8) 39 5 Dividieren 27

24 ( ( ) ) 3 Setze zusätzlich Klammern. Bilde Aufgaben mit unterschiedlichem Ergebnis. Beispiel: ( 5) : ((( 5) : ( 5)) : ( 5)) = ( 5) : ( : ( 5)) = ( 5) : ( 0,2) = 25 a) ( 2) : ( 2) : ( 2) : ( 2) b) ( 4) : ( 4) : ( 4) : ( 4) c) ( 2) : ( 2) ( 2) : ( 2) d) ( 4) : ( 3) : ( 2) : ( ) Online-Link 4 Zahlen auf nebeneinander liegenden zu Aufgabe 4 Steinen werden miteinander multipliziert Das Produkt steht darüber. a) b) 5 Stelle zuerst einen Rechenausdruck auf. Rechne dann. a) Multipliziere den Quotienten aus 48 und 6 mit der Zahl 3. b) Subtrahiere vom Quotienten der Zahlen 72 und 8 die Zahl 0. c) Dividiere den Quotienten aus 35 und + 5 durch den Quotienten aus + 49 und 7. d) Dividiere das Produkt der Zahlen 2,5 und 4 durch den Quotienten von 6,0 und,2. 6 Löse durch Probieren. a) 8 x = 24 b) ( 2) x = 60 c) x ( 2) = 08 d) 3 x 4 = 5 x 7 Richtig oder falsch? Ist bei einem Produkt mehr als die Hälfte der Faktoren positiv, dann ist der Wert des Produkts positiv. Begründe. Rechennetze In diesen Rechnnetzen werden alle Grundrechenarten verwendet. º Berechne die im Rechennetz º Hier kannst du dein Ergebnis fehlenden Zahlen. kontrollieren. º Verwende alle Rechenarten. º Ergänze die fehlenden Werte. Online-Link zu Rechennetze Dividieren

25 0 Verbindung der Rechenarten Setze die Zahlen in die Kreise, Dreiecke und Vierecke ein. Berechne jeweils den Wert des Rechenausdrucks. Was fällt dir auf? Wähle noch andere Zahlen als die angegebenen und prüfe nach ( + ) ( + ) Rechenausdrücke wie ( 8) 33 + ( 8) 7 oder 2 _ _ Å 2 3 lassen sich auf verschiedene Arten berechnen. Dabei können Rechenvorteile entstehen. Ausklammern Ausmultiplizieren ( 8) 33 + ( 8) 7 ( _ 2 5 ) ( 5 + _ Å 2 ) = ( 8) (33 + 7) = = ( 8) 50 ( _ 2 5 ) 5 + ( _ 2 5 ) _ Å 2 = 400 = _ Å 3 5 = 6 _ Å 5 Das Distributivgesetz (Verteilungsgesetz) gilt auch für rationale Zahlen. Distributivgesetz (Verteilungsgesetz) Beim Ausklammern schreibt man den gemeinsamen Faktor vor oder hinter die Klammer. Anschließend kann die Summe in der Klammer berechnet und mit dem Faktor multipliziert werden. Beim Ausmultiplizieren wird der Faktor außerhalb der Klammer mit jedem Summanden in der Klammer multipliziert. Dabei sind die Vorzeichenregeln zu beachten. Dieses Gesetz gilt auch beim Subtrahieren und Dividieren. Beispiele a) Hier bringt das Ausklammern Vorteile. ( 7,5) ( 39) + ( 7,5) ( 6) = ( 7,5) (( 39) + ( 6)) = ( 7,5) ( 00) = 750 c) Auch bei rationalen Zahlen gelten das Kommutativgesetz (Vertauschungsgesetz) und das Assoziativgesetz (Verbindungsgesetz) der Multiplikation. Bei mehrfacher Anwendung können sich Rechenvorteile ergeben. ( 2,5) (+ 38,7) ( 4) = ( 2,5) ( 4) (+ 38,7) Kommutativ gesetz = (( 2,5) ( 4)) (+ 38,7) Assoziativ = (+ 0) (+ 38,7) = gesetz b) Hier hat das Ausmultiplizieren Vorteile. ( 7) ( 2 + _ Å 3 å + 2 _ ) = ( 7) 2 + _ Å 3 å + ( 7) 2 _ = ( ) _ = ( ) + 5,25 = 4,25 d) Auch für rationale Zahlen gelten die Rechen regeln: Innere Klammer vor äußerer Klammer Punktrechnung vor Strichrechnung Ansonsten von links nach rechts ((6,5 2,5) : ( 5)),5 8 = (( 5) : ( 5)),5 8 = 3,5 8 = 3 2 = 9 Innere Klammer vor äußerer Klammer Punkt vor Strich kurz: Klammer vor Punkt Punkt vor Strich Verbindung der Rechenarten 29

26 5 7 2 = 69 oder: = 73 oder:... Aufgaben Rechne im Kopf. a) 5 ( 8) + 20 b) c) ( 8) d) 5 48 : e) ( 49) : ( 7) 49 f) g) 2 ( 5) : 3 h) 25 :( 5) 36 :( 6) 2 Achte auf Punktrechnung vor Strichrechnung. a) ( 5) ( 0) + 40 b) ( 42) : 7 65 : ( 3) c) ( 2,5) 3,2 ( 4) + (0,2) d) 32,2 : ( 3,5) 7,8,5 + 4,8 e) 22,5 (,5) 24 : ( 9) 3,6 7,5 3 Rechne vorteilhaft. a) 3 ( 5) 20 b) ( 2,5) 4 ( 9) ( 8) ( 25) 7 ( 4,7) ( 0,5) 20 ( 50) 2 ( 30) 400 0,25 (,5) ( 7) ( 25) ( 8) 0,3 ( 0,2) Verbinde die Faktoren geschickt. Beispiel: ( 6) 5 ( 9) ( 4) 25 = ( 80) ( 9) ( 00) = 720 ( 00) = a) ( 25) 4 20 ( 5) ( 7) b) ( 8) 25 ( 9) ( 40) 5 c) ( 6) ( 25) ( 4) ( 25) 4 d) 8 ( 25) ( 8) 5 ( 3) e) ( 50) ( 4) ( 4) ( 3) 5 Multipliziere aus und berechne. a) 4 ( ) b) 8 (40 75) c) ( 20) ( ) d) ( ) ( 0) e) ( 4) (2,5 9) f) (2,4 8,4) ( 5) g) 2 _ 3 4 +,2 3 8 h) ( 7) 2 _ 2 å 0,4 3 6 Ein Würfelspiel mit 5 Würfeln: Würfelt mit drei 20-flächigen Würfeln und zwei normalen Würfeln. Auf den normalen Würfeln bedeuten die Zahlen und 2 das Zeichen +, die Zeichen 3 und 4 das Zeichen, und die Zahlen 5 und 6 das Zeichen. Links siehst du mögliche Aufgaben. a) Welcher Spieler hat das größte Ergebnis? b) Wer hat das kleinste Ergebnis? 7 Ausklammern ist vorteilhaft. Beispiel: 2 ( 7) + 2 ( 33) = 2 (( 7) + ( 33)) = 2 ( 50) = 600 a) 4 ( 9) + 6 ( 9) b) 42 ( 4) + 42 ( 6) c) ( 9) ( 73) + ( 27) ( 9) d) ( 6) 33 ( 6) 23 8 Klammere zunächst gemeinsame Faktoren aus. Beispiel: 6 ( 7) + 62 ( 7) + 22 ( 7) = ( 7) ( ) = ( 7) 00 = 700 a) ( 9) 6 + ( 9) 23 + ( 9) b) 59 ( 8) + ( 32) ( 8) + 73 ( 8) c) 2 ( 2,3) + 2 ( 4,9) + 2 ( 2,8) d) ( 2,4) 4, ( 2,4) +,25 ( 2,4) 9 Ausklammern oder Ausmultiplizieren? Berechne. Beschreibe die Rechenschritte. a) 32 ( 5) + 8 ( 5) b) 5 ( ) c) ( 20 3) 3 d) 9 ( 43) e) ( 2) 2 _ Å 3 _ Å 4 3 f ) 3 _ g) _ _ 2 3 h) 2 _ 2 0 Berechne. a) 20 : ( ) + b) ( 3 + 2) ( 9 6) c) ( 96) : d) ( ( 7)) : ( 9) e) ( ) ( 6) 2 : 6 f) (( 2) 3 44 : 8) : ( 4) 4 ( 9) _ 5 ( 9) _ Gleiche Zahlen gleiches Ergebnis? Schreibe eine Erklärung auf. a) ( 2 (3 4)) ( (9 0)) b) (( 2) 3 4) ((5 6) ) c) ( 2 3 4) ((5 6) (7 8) 9 0) d) ( (2 3 4)) ((5 6 7) (8 9 0)) e) (( 2 3) 4) (5 ( ) 0) 2 Hier musst du noch Klammern setzen. a) ( 5) 3 9 = 30 b) 28 2 : 7 = 7 c) ( 2) = 48 d) ( 2) = Verbindung der Rechenarten

27 Die Temperaturmessung Die noch heute in den USA verwendete Fahrenheitskala wurde bereits um 74 von Daniel Fahrenheit aus Danzig entwickelt. Als Nullpunkt seiner Skala wählte er die tiefste Temperatur des strengen Winters von 709, die er später durch eine Mischung aus Eis, festem Salmiak und Wasser wieder herstellen konnte. Mit der Wahl dieses Nullpunktes hoffte Fahrenheit negative Temperaturen vermeiden zu können. Als zweiten Fixpunkt seiner Skala soll Fahrenheit seine eigene Körpertemperatur (37,8 C) gewählt haben, der er willkürlich die Zahl 00 zuordnete. Die bei uns gebräuchliche Celsius-Temperaturskala wurde im Jahre 742 vom schwedischen Astronomen und Physiker Anders Celsius (70 744) eingeführt. Auf der Celsiusskala ist der Gefrierpunkt des Wassers mit 0 C festgelegt, der Siedepunkt mit 00 C. Anders Celsius (70 744) Die Rechenbäume zeigen dir, wie die Temperaturwerte umgerechnet werden können. º Tim ruft aus Miami (USA) zu Hause an: Stell dir vor, wir haben über 00 Lufttemperatur im Schatten. Kann das sein? Beispiel: : C F º Rechne die Celsiuswerte in Fahrenheit um. 00 C; 0 C; 50 C; 0 C und 0 C º Bestimme die zugehörigen Celsiuswerte. 68 F; 40 F; 00 F; 0 F; 48 F º Bei welcher Temperatur sind die Gradzahlen von Fahrenheit und Celsius gleich? Die Tabelle zeigt Temperaturwerte der ganzen Erde. º Wo war es am wärmsten, wo am kältesten? º Herrschte auf der Nordhalbkugel Winter oder Sommer? Fahrenheit Celsius New York 8 Kapstadt 6 Los Angeles 84 Melbourne 0 Phoenix 07 Peking 32 Fairbanks 62 Kairo 35 Denver 73 Erfurt 3 Die Temperaturmessung 3

28 Zusammenfassung Rationale Zahlen Vorzeichen, Betrag Zahlengerade Vergleichen und Ordnen Addieren Subtrahieren Multiplizieren und Dividieren Kommutativgesetz Assoziativgesetz Die positiven und negativen Bruchzahlen und die Null heißen rationale Zahlen. Die Menge der rationalen Zahlen heißt Q. Jede rationale Zahl besteht aus dem Vorzeichen (+ oder ) und dem Betrag (Abstand von null). Zur Darstellung der rationalen Zahlen wird die Zahlengerade genutzt. Die kleinere von zwei rationalen Zahlen liegt auf der Zahlengeraden weiter links. Bei gleichen Vorzeichen werden die Beträge der beiden Zahlen addiert. Das Ergebnis erhält das gemeinsame Vorzeichen. Bei verschiedenen Vorzeichen werden die Beträge der beiden Zahlen subtrahiert. Das Ergebnis erhält das Vorzeichen vor dem größeren Betrag. Eine rationale Zahl wird subtrahiert, indem man ihre Gegenzahl addiert. Die Beträge der zwei Zahlen werden multipliziert oder dividiert. Bei gleichen Vor zeichen ist das Ergebnis positiv, bei verschiedenen Vorzeichen ist das Ergebnis negativ. In Summen dürfen die Summanden und in Produkten dürfen die Faktoren beliebig vertauscht werden. In Summen und Produkten dürfen beliebig Klammern gesetzt werden. 3,786; 2 _ 7 ; _ sind Beispiele für rationale Zahlen. Vorzeichen 0,34 0,9 3, Betrag 0,4 0,3 0,2 0, 0 0, 0,34 < 0,9 0,34 ist kleiner als 0,9 (+ 5,4) + (+ 3,9) = + (5,4 + 3,9) = 9,3 ( 6,9) + ( 2,) = (6,9 + 2,) = 9 (+ 8) + ( 2,7) = + (8 2,7) = 5,3 (+ 23) + ( 48,5) = (48,5 23) = 25,9 ( 7,5) (+ 8) = ( 7,5) + ( 8) = 5,5 ( 6) ( 4,2) = ( 6) + (+ 4,2) =,8 ( 5) ( 3,5) = + (5 3,5) = 52,5 ( 28) : ( 0,7) = + (28 : 0,7) = 40 6,2 ( 4) = (6,2 4) = 64,8 ( 56) : 3,5 = (56 : 3,5) = 6 ( 3) + ( 2,9) = ( 2,9) + ( 3) = 5,9 ( 7,5 ) 5 = 5 ( 7,5) = 37,5 (( 8) + ( 6,5)) + ( 3,5) = ( 8) + (( 6,5) + ( 3,5)) = ( 8) + ( 0) = 8 (( 3,) ( 4)) 2,5 = ( 3,) (( 4) 2,5)) = ( 3,) ( 0) = 3 Distributivgesetz 32 Zusammenfassung Das Distributivgesetz wird zum Ausklammern und Ausmultiplizieren verwendet. Ausklammern: ( 6) 3 + ( 6) 87 = ( 6) (3 + 87) = ( 6) 00 = 600 Ausmultiplizieren: ( 7) (40 + 9) = ( 7) 40 + ( 7) 9 = ( 63) = 343