3.6.4 Rekursive Funktionen

Transkript

1 Klassifizierung von Funktionen mit Hilfe der Abstützrelation (Wenn eine Funktionsdefinition für f eine Funktion g aufruft, dann besteht zwischen beiden Definitionen die Relation f benutzt g ) Klasse 0 Klasse 1 alle vordefinierten Funktionen (Elementaroperationen) alle Funktionen, die nur Funktionen der Klasse 0 benutzen Klasse k+1 g { f 1, f 2,, f n }, wobei das zur höchsten Klasse gehörende f i der Klasse k zugeordnet ist Eine Funktion ist einfacher als eine andere, wenn sie einer Klasse mit kleinerer Nummer angehört Dieses bisherige Berechnungsmodell erfasst offenbar nicht alle Funktionen 123

2 Rekursive Funktionen: Rekursivität ist keine Eigenschaft einer Funktion (im Sinn einer Beziehung zwischen Ein und Ausgabedaten), sondern eine Eigenschaft einer konkreten Funktionsdefinition Eine Funktionsdefinition heisst rekursiv, wenn entweder f f gilt oder es Funktionsdefinitionen für g 1,..., g n gibt mit f g 1 g n f Eine wichtige Frage bei rekursiven Funktionen ist ihre Terminierung 124

3 Beispiel: Multiplikation (von ganzen Zahlen) durch sukzessive Addition x y = y + y y = y + (x 1) y x-mal (define (mult x y) (if (= x 0) 0 (+ y (mult (- x 1) y)))) Auswertung für (mult 2 3): (mult 2 3) (if (= 2 0) 0 (+ 3 (mult (- 2 1) 3))) (+ 3 (mult 1 3)) (+ 3 (if (= 1 0) 0 (+ 3 (mult (- 1 1) 3)))) (+ 3 (+ 3 (mult 0 3))) (+ 3 (+ 3 (if (= 0 0) 0 (+ 3 (mult (- 0 1) 3)))) (+ 3 (+ 3 0)) (+ 3 3) 6 125

4 Wie funktioniert Rekursion? Grundlage ist der Prozedurmechanismus: Eine angefangene Berechnung wird an der Stelle des Prozeduraufrufs unterbrochen. Die Stelle wird (zum Beispiel in Form einer Adresse) auf einen Stack gelegt. Auf Maschinenebene findet ein Sprung zum Code der aufgerufenen Prozedur statt. Nach Beendigung der aufgerufenen Prozedur findet ein Rücksprung zur Stelle der Unterbrechung statt. Die Rücksprungadresse wird dabei vom Stack entfernt. Auf dem Stack werden bei einem Prozeduraufruf verschiedene Daten gespeichert, die zusammen als Aktivierungsblock bezeichnet werden. Er existiert für jeden angefangenen, nicht beendeten Prozeduraufruf und enthält u. a. Rücksprungadresse, Parameterwerte, lokale Variable, und Returnwert 126

5 Die Entwicklung des Stacks wird im Stackprofil (SP) einer Berechnung dargestellt: Die Prozedur A ruft zweimal E, dann sich mit einer Rekursionstiefe von maximal 5, und schließlich B und C auf. Bis zu fünf Aktivierungsblöcke von A liegen gleichzeitig auf dem Stack. 127

6 Aufruf von (mult -2 3) terminiert nicht, da die Bedingung(= x 0) nie erfüllt wird (mult -2 3) (if (= -2 0) 0 (+ 3 (mult (- -2 1) 3))) (+ 3 (mult -3 3)) (+ 3 (if (= -3 0) 0 (+ 3 (mult (- -3 1) 3)))) (+ 3 (+ 3 (mult -4 3))) (+ 3 (+ 3 (if (= -4 0) 0 (+ 3 (mult (- -4 1) 3))))) (+ 3 (+ 3 (+ 3 (mult -5 3)))) 128

7 Berechnung von n! = n (n 1) (n 2) Rekursive Formulierung: 0! = 1 n! = n (n 1)! (define (fak n) (if (= n 0) 1 ( n (fak (- n 1))))) terminiert nur für n 0! Diese Art von Nicht-Terminierung lässt sich problemlos durch Überprüfung der übergebenen Parameter vermeiden 129

8 Es gibt aber Funktionen, bei denen eine Terminierung nicht möglich ist Beispiel: Die Collatz Folge (auch 3n+1 Problem, Hasse Algorithmus, Syracuse Folge genannt). Grundlage ist folgende Funktion f : N N: Damit wird die Collatz Folge einer ganzen Zahl n definiert: Mit anderen Worten: Man erhält die Collatz Folge von n, indem man ausgehend von n, solange immer wieder die Funktion f anwendet, bis die Eins erreicht ist. Bsp. N=11:

9 (define (f n) (if (even? n) (/ n 2) (+ (* 3 n) 1))) (define (collatz n) (if (= n 1) '(1) (cons n (collatz (f n))))) > (collatz 11) (list ) Die Funktion terminiert für alle Zahlen n, von denen aus man durch wiederholtes Anwenden von f irgendwann die Eins erreicht. Das Erreichen der Eins kann dauern: > (collatz 27) ( einiges ausgelassen ) > (length (collatz 27))

10 Vermutung: Die Funktion collatz terminiert für alle n > 0 Das ist bis heute weder bewiesen noch widerlegt worden. Bis ca. n = ist die Vermutung bestätigt (Es lohnt sich also kaum, ein Gegenbeispiel zu suchen!) Paul Erdös bot 500 Pfund für eine Lösung, sagte aber über das Collatz-Problem: Mathematics is not yet ready for such problems Bruce Schechter: Mein Geist ist offen. Die mathematischen Reisen des Paul Erdős. Basel, Birkhäuser

11 Terminierende Rekursion: Kombination aus aufgerufenen Funktionen und ihren aktuellen Parameterwerten wird in jedem Schritt einfacher : Die Parameter werden schrittweise so verändert, dass sie immer näher an einen Wert kommen, der die Abbruchbedingung erfüllt Wesentlich für Rekursion: Abstraktion durch Verwendung von Namen für Funktionen: Sonst könnten rekursive Funktionen nicht beschrieben werden, da der Name erst das Bezugnehmen auf eine Funktion in ihrer eigenen Definition erlaubt Konditionale zur Sicherstellung der Terminierung: Sonst könnten keine Abbruchbedingungen für die Rekursion formuliert werden 133

12 Charakterisierung von Rekursion: Direkte vs. indirekte Rekursion Lineare vs. nicht-lineare Rekursion Linear rekursiver Prozess vs. linear iterativer Prozess Endrekursion (tail recursion) 134

13 Direkte vs. Indirekte Rekursion: Stützt sich eine Funktion f auf sich selbst ab, d.h. ruft f sich in seinem Rumpf selbst auf, so spricht man von direkter Rekursion: f f Stützt f sich indirekt auf sich selbst ab, d.h. gibt es eine endliche Folge von Abstützschritten f g 1 g 2 K g k so spricht man von indirekter Rekursion f Beispiel: (define (f x) (+ (g x) 1)) (define (g x) (- (f x) 2)) beschreibt eine nicht-terminierende, indirekte Rekursion 135

14 Beispiel: (define (h1 n) (if (<= n 0) 0 (+ n (h2 (- n 1))))) (define (h2 n) (+ n (h1 (- n 1)))) berechnet mittels einer terminierenden, indirekten Rekursion (h1 3) (+ 3 (h2 2)) (+ 3 (+ 2 (h1 1))) (+ 3 (+ 2 (+ 1 (h2 0)))) (+ 3 (+ 2 (+ 1 (+ 0 (h1 1))))) (+ 3 (+ 2 (+ 1 (+ 0 0)))) (+ 3 (+ 2 (+ 1 0))) (+ 3 (+ 2 1)) (+ 3 3) 6 n i =0 i 136

15 Beispiel: Indirekte Rekursion Der Aufruf (even l) listet die Elemente von l mit geradem Index (Index beginnt mit 0), (odd l) gibt die Elemente mit ungeradem Index zurück (define (even l) (define (odd l) (if (empty? l) empty (cons (first l) (odd (rest l))))) > (define l (list )) > (even l) (list 0 2) > (odd l) (list 1 3) (cond [(empty? l) empty] [(empty? (rest l)) empty] [else (even (rest l))])) 137

16 Ein wichtiges Beispiel für indirekte Rekursion sind Parser. Die Syntax vieler Programmiersprachen ist rekursiv definiert Beispiel: In Scheme ist ein Ausdruck ein atomarer Ausdruck oder eine Liste. Eine Liste wiederum ist ein Klammerpaar, zwischen dem eine Anzahl von Ausdrücken stehen Der Parser für die Syntax von Scheme enthält typischerweise zwei Funktionen parseexpr und parselist, die sich wechselseitig aufrufen 138

17 Lineare Rekursion: Eine Funktion heisst linear rekursiv, wenn jede Auswertung des Rumpfes zu höchstens einem weiteren rekursiven Aufruf führt. Entscheidend ist der während der Programmausführung ablaufende Prozess, nicht die textuelle Definition der Funktion. Enthält der Rumpf einer Funktion nur einen rekursiven Aufruf, so kann man statisch, d.h. ohne Berücksichtigung der Programmausführungen, lineare Rekursion feststellen Beispiel: (define (modulo in modul) (cond [(>= in modul) (modulo (- in modul) modul)] [(< in 0) (modulo (+ in modul) modul)] [else in])) Modulo-Funktion für modul N und beliebige Eingaben in Z linear rekursive Funktion mit mehreren statischen Aufrufmöglichkeiten 139

18 Nicht-lineare Rekursion: Erfolgen bei der Auswertung des Rumpfes einer Funktion mehrere rekursive Aufrufe, so spricht man von nichtlinearer oder Baumrekursion Beispiel: Berechnung der Folge der Fibonacci-Zahlen, in der jede Zahl die Summe der beiden vorhergehenden Zahlen ist: Allgemeine Definition der Fibonacci-Zahlen: fib(0) = 0, fib(1) = 1, n 2: fib(n) = fib(n 1) + fib(n 2) (define (fib n) (cond [(= n 0) 0] [(= n 1) 1] [else (+ (fib (- n 1)) (fib (- n 2)))])) 140

19 Auswertung im Substitutionsmodell Berechnungsprozess: (fib 5) (+ (fib 4) (fib 3)) (+ (+ (fib 3) (fib 2))(+ (fib 2) (fib 1))) (+ (+ (+ (fib 2) (fib 1))(+ (fib 1) (fib 0))) (+ (+ (fib 1) (fib 0)) 1)) (+ (+ (+ (+ (fib 1) (fib 0)) 1)(+ 1 0)) (+ (+ 1 0) 1)) (+ (+ (+ (+ 1 0) 1) 1) (+ 1 1)) (+ (+ (+ 1 1) 1) 2) (+ (+ 2 1) 2) (+ 3 2) 5 141

20 Baumdarstellung des Berechnungsprozesses: 1 0 fib 5 fib 4 fib 3 fib 3 fib 2 fib 2 fib 1 fib 2 fib 1 fib 1 fib 0 fib 1 fib 0 1 fib 1 fib Die bei der Auswertung auftretenden Aufrufe von fib verzweigen dabei und bilden eine Baumstruktur. Das führt in der Regel dazu, dass die Anzahl der Aufrufe von fib sehr schnell anwächst 142

21 Diese Implementierung ist extrem langsam. Wenn t n die Rechenzeit für (fib n) bezeichnet, dann gilt: Die Rechenzeit wächst also exponentiell mit n. Das Verfahren ist deshalb so ineffizient, weil für die Berechnung von (fib n) jeder Wert von (fib k), k < n-1, mehrfach berechnet wird. Z.B. wird (fib 1) genau (fib n) mal aufgerufen. 143

22 Man kann den Aufrufbaum von (fib n) auch explizit mittels desselben Prinzips der Baumrekursion berechnen (define (fibtree n) (cond [(= n 0) (list 0)] [(= n 1) (list 1)] [else (list n (fibtree (- n 2)) (fibtree (- n 1)))])) > (fibtree 5) (list 5 (list 3 (list 1) (list 2 (list 0) (list 1))) (list 4 (list 2 (list 0) (list 1)) (list 3 (list 1) (list 2 (list 0) (list 1))))) 144

23 Es existiert effizientere Realisierung der Fibonacci-Zahlen. Die ultimative Lösung besteht in der Anwendung der analytischen Formel: die mithilfe von Methoden aus der diskreten Mathematik (z.b. erzeugende Funktionen) hergeleitet werden kann 145

24 Exkurs: Goldener Schnitt Die Zahl (1+ 5)/2 ist auch als Goldener Schnitt bekannt. Betrachten wir ein Rechteck mit Seitenlängen s und r s Schneiden wir von diesem Rechteck ein Quadrat ab, so verbleibt ein Rechteck mit Seitenlängen r und s r. Besimmt man nun die Werte für s und r so, dass die beiden Rechtecke genau dasselbe Seitenverhältnis haben, also so erhält man genau s r = 1+ p 5 2 ¼ 1:6181::: 146

25 Exkurs: Goldener Schnitt Streckenverhältnisse im Goldenen Schnitt werden in der Kunst und Architektur oft als ideale Proportion und als Inbegriff von Ästhetik und Harmonie angesehen. Darüber hinaus tritt das Verhältnis auch in der Natur in Erscheinung und zeichnet sich durch eine Reihe interessanter mathematischer Eigenschaften aus. Beim Parthenontempel in Athen bildet der Säuleneingang hierbei ein goldenes Rechteck, also ein Rechteck, dessen Seiten sich genau wie der goldene Schnitt verhalten. Auch verhält sich die Höhe bis zum Dach zur Höhe der Säulen wie der goldene Schnitt. 147