LL(k)-Analyse. (y) folgt α = β. (x) = start k. (=l> ist ein Linksableitungsschritt)

Transkript

1 LL(k)-Analyse Eine KFG G = (N,T,P,S) heisst LL(k)-Grammatik, wenn für alle w,x,y T*, α,β,σ (N U T)* und A N mit 1. S =l>* waσ =l> wασ =l>* wx, 2. S =l>* waσ = > wβσ =l>* wy, 3. start k (x) = start k (y) folgt α = β (=l> ist ein Linksableitungsschritt)

2 LL(k)-Analyse Bei einer starken LL(k)-Grammatik können in der vorigen Definition auch die w und s in den Punkten (1) und (2) unterschiedlich sein, es kommt also nicht auf das Umfeld an. Die rechte Regelseite wird eindeutig durch den k- Anfang des Restes bestimmt, unabhängig vom Umfeld.

3 LL(k)-Analyse - FIRST + FOLLOW Für eine KFG G, A N, a (N T)* und ein k>0 ist FIRST k (a) := start k ({w T* a =>* w}) und FOLLOW k (A) := { w T* S =>* xay und w FIRST k (y) } Für jede Produktion A->a P ist D k (A->a) := start k ( FIRST k (a) FOLLOW k (A) ) (also der k-anfang der Konkatenationen der Elemente von FIRST und FOLLOW) die Steuermenge zu A->a.

4 LL(k)-Analyse Für (den in der Praxis gerne genommenen) Fall k=1 vereinfacht sich die Definition der Steuermengen, es ist dann D 1 (A->a) := START 1 (a), falls ε START 1 (a), und D1(A->a) := ( START 1 (a) - {ε} ) FOLLOW 1 (A) sonst. Man lässt dann den Index 1 auch gern weg, und schreibt D (A->a) = START(a), etc.

5 LL(k)-Eigenschaft Sei G = (N,T,P,S) eine KFG, k >0. G ist genau dann eine starke LL(k)-Grammatik, wenn für alle Nichtterminale A für alle ihre zugehörigen Regeln A-> a 1 a 2... a n die Steuermengen D k (A->a i ) paarweise disjunkt sind.

6 LL(k)-Eigenschaft Beweis ("=>"): Sei G eine starke LL(k)-Grammatik. Angenommen, es gibt ein z mit z D k (A->a) und z D k (A->b) für a b. Dann gibt es w,u und v T* und s (N U T)* und folgende Ableitungen: S =l>* was => was =l>* wzu und S =l>* was => wbs =l>* wzv Da start k (zu) = start k (zv) = z folgt aber, da G starke LL(k)- Grammatik ist, nun a=b, was ein Widerspruch zur Annahme ist.

7 LL(k)-Eigenschaft Beweise ("<="): Seien nun die Steuermengen diskunkt, und G keine starke LL(k)-Grammatik. Dann gibt es Ableitungen S =l>* was => was =l> wu und S =l>* was => wbs =l> wv und start k (u) = start k (v) aber a b. Dann ist aber start k (u) D k (A->a), und start k (u) D k (A->b), die Steuermengen also nicht disjunkt - Widerspruch!

8 LL(k) - Algorithmus FIRST(A) Eingabe: G = (N,T,P,S) und das Nichtterminal A Ausgabe: 1. Initiale Steuermengen D[i] = D(A->a i ) für alle Produktionen mit A->a i (i=1,..., n, und a i (N U T)*) 2. FIRST(A)

9 LL(k) - Algorithmus FIRST(A) FIRST(A) := {}; for (i=1; i<=n; i++) do if a i = ε /* Regel A->ε */ then... D[i] = {ε}

10 LL(k) - Algorithmus FIRST(A)... else /* Regel A->x 1 x 2... x m */ D[i] = FIRST(x 1 ) - {ε}; for (j=1; j<m and ε FIRST(x j ); j++) do done... D[i] = D[i] U (FIRST(x j +1)-{ε})

11 LL(k) - Algorithmus FIRST(A)... if (j=m and ε FIRST(x m )) then D[i] = D[i] U {ε} fi fi FIRST(A) = FIRST(A) U D[i] done

12 LL(k) - Algorithmus FOLLOW(A) Eingabe: G = (N,T,P,S) Ausgabe: FOLLOW(A) für alle A N

13 LL(k) - Algorithmus FOLLOW(A) Für alle A N ist FOLLOW(A) = {}, und FOLLOW(S) = {$} while "es gab Änderungen an mindestens einer FOLLOW-Menge" do für alle Produktionen p P do if (p ist von der Form A->aBb, B N, b!= ε) then FOLLOW(B) = FOLLOW(B) U ( FIRST(b) - {ε} ) fi if (p ist von der Form A->aB, B N) oder (p ist von der Form A->aBb, B N, ε FIRST(b)) then FOLLOW(B) = FOLLOW(B) U FOLLOW(A) fi done done

14 Schleifenvermeidung Alle Nichtterminale bilden die Konten eines Graphen. Die Symbole der zugehörigen FOLLOW-Mengen werden im Laufe des Verfahrens an die Knoten annotiert, Kanten nach und nach hinzugefügt.

15 Schleifenvermeidung Markiere S mit $. Für alle Produktionen p = A->aBb (a,b beliebig) aus P: 1. Falls b!= ε, markiere B mit allen Symbolen aus FIRST(b). Falls ε FIRST(b), füge eine Kante (A.B) hinzu. 2. Falls b=ε, füge eine Kante (A,B) hinzu Alle starken Zusammehangskomponenten (insbes. Zyklen) werden wie ein einziger Knoten behandelt. Für jeden Knoten werden die Markierungen aller seiner Vorgänger zu den eigenen hinzugenommen..

16 Linksfaktorisierung Produktionen mit gemeinsamen Präfixen auf der Rechten Seite machen Probleme, weil man für die Entscheidung sehr weit vorausschauen müsste. Hier kann man die Entscheidung welche Regel anzuwenden ist auf das Ende vertagen, indem man zunächst eine Regel verwendet die das Präfix produziert, und eine weitere Regel für den Rest.

17 Linksfaktorisierung Beispiel: 6 cond = 'if' bool 'then' statements 'fi' ; 7 cond = 'if' bool 'then' statements 'else' statements 'fi; wird zu 6 cond = 'if' bool 'then' statements ifrest ; 7a ifrest = 'fi' ; 7b ifrest = 'else' statements 'fi' ;

18 Tabellengesteuerte LL(k)-Analyse Berechnung der Steuertabelle LLTAB Eingabe: G = (N,T,P,S) Ausgabe: LLTAB, ein zweidimensionales Array mit N x T Elementen über alle Elemente aus N und T, so dass folgendes gilt: Seien alle p P von 1 bis n nummeriert, und D i (p) die zugehörige Steuermenge. Dann ist A N und b T (incl. $) LLTAB[A,b] := i wenn es ein i gibt mit b D i (A->a) LLTAB[A,b] := error sonst.

19 Tabellengesteuerte LL(k)-Analyse Dann arbeitet die tabellengesteuerte Analyse nach folgendem Algorithmus: Eingabe: 1. Grammatik G = (N,T,P,S) 2. Analysewort w = w 1... w n $ auf dem Eingabeband 3. Analysetabelle LLTAB zu G Ausgabe: Linksableitung für w, oder 'error'.

20 Tabellengesteuerte LL(k)-Analyse Wir verwenden einen KA mit den Zuständen q und error. Zu Beginn ist das Eingabeband = w 1... w n $, und der Stack: S# Wir haben folgende Konfigurationsübergänge: 1. (q,az,xg) - (q, z, g) falls a=x und x T. 2. (q,az,xg) - (error,ε,ε) falls a T aber a x ist. 3. (q,az,ag) - (q,az,a 1... a n g) falls A N, LLTAB[A,a] = i und Produktion i die Form A->a 1... a n hat. i wird ausgegeben. 4. (q,az,ag) - (error,ε,ε) falls A N und LLTAB[A,a] = error. 5. (q,$,#) - (q,ε,ε) - akzeptiert wird ausgegeben, Berechnung beendet 6. (error,ε,ε) - Fehlermeldung wird ausgegeben, Berechnung beendet.

21 LL(1)-Analyse mit rekursivem Abstieg Man schreibt numeriert wieder alle Produktionen und berechnet die LLTAB wie oben. Dann wird für jedes Nichtterminal eine (parameterlose) Funktion geschrieben, die im wesentlichen aus einem grossen switch/case über das nächste Zeichen der Eingabe besteht, und deren Einzelblöcke dann die lt. Tabelle anzuwendende Regelnummer ausgeben, und die rechte Regelseite wieder in Funktionen expanderen. Terminalsymbole werden über eine Sonderfunktion (z.b. match(erwartetes sym)) gehandhabt.

22 Lernziele Wissen, wie TOP-Down-Parsing prinzipiell funktioniert. Wissen, was Grammatiken ggf. kompliziert für deterministisches top-down- Parsing macht, Grammatiken zu LL(1)-Grammatiken machen können, also Zyklen eleminieren, Linksrekursion etc. handhaben, Angegebene Algorithmen händisch für einfache Fälle durchrechnen können, also FIRST- und FOLLOW- und Steuermengen für einfache Grammatiken berechnen können, und die tabellengesteuerte Analyse für einfachen Fälle durchführen können.