Die Vorausschau-Tabelle:

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1 A 0 i 0 A 1 i 1 β 1 A 2 i 2 β 2 B i β γ Die Vorausschau-Tabelle: Wir setzen M[ [A α Bβ, L], w] = i genau dann wenn (B, i) die Regel B γ ist und: w First k (γ) First k (β) L 440

2 ([A 0 α 1 A 1 β 1, L 1 ], uv) ([A 0 α 1 A 1 β 1, L 1 ]...[A m 1 α m A m β m, L m ], v) ([A 0 α 1 A 1 β 1, L 1 ], ǫ)... gilt genau dann wenn: (1) α 1...α m u (2) A m β m...β 1 v (3) L m = First k (β m 1 )... First k (β 1 ) L 1 A 0 i 0 A 1 i 1 β 1 A 2 i 2 β 2 A m i m β m γ 441

3 Satz Die reduzierte kontextfreie Grammatik G ist LL(k) genau dann wenn die k-vorausschau-tabelle für alle benötigten erweiterten Items wohl-definiert ist. Diskussion: Der erweiterte Item-Kellerautomat zusammen mit einer k-vorausschau-tabelle erlaubt die deterministische Rekonstruktion einer Links-Ableitung :-) Die Anzahl der Vorausschau-Mengen L kann sehr groß sein :-(

4 Beispiel: S ǫ a S b Die Übergänge des erweiterten Item-Kellerautomat (k = 1) : 0 [S S, {ǫ}] ǫ [S S, {ǫ}] [S, {ǫ}] 1 [S S, {ǫ}] ǫ [S S, {ǫ}] [S a S b, {ǫ}] 2 [S a S b, {ǫ}] a [S a S b, {ǫ}] [S a S b, {b}] a [S a S b, {b}] 3 [S a S b, {ǫ}] ǫ [S a S b, {ǫ}] [S, {b}] [S a S b, {b}] ǫ [S a S b, {b}] [S, {b}] 4 [S a S b.{ǫ}] ǫ [S a S b.{ǫ}] [S a S b, {b}] [S a S b.{b}] ǫ [S a S b.{b}] [S a S b, {b}] 5 [S a S b, {ǫ}] [S, {b}] ǫ [S a S b, {ǫ}] [S a S b, {b}] [S, {b}] ǫ [S a S b, {b}]

5 [S a S b, {ǫ}] [S a S b, {b}] ǫ [S a S b, {ǫ}] [S a S b, {b}] [S a S b, {b}] ǫ [S a S b, {b}] 7 [S a S b, {ǫ}] b [S a S b, {ǫ}] [S a S b, {b}] b [S a S b, {b}] 8 [S S, {ǫ}] [S, {ǫ}] ǫ [S S, {ǫ}] 9 [S S, {ǫ}] [S a S b, {ǫ}] ǫ [S S, {ǫ}] Die Vorausschau-Tabelle: ǫ a b [S S, {ǫ}] 0 1 [S a S b, {ǫ}] 1 0 [S a S b, {b}]

6 Beobachtung: Die auszuwählende Regel hängt hier ja gar nicht von den Erweiterungen der Items ab!!! Unter dieser Voraussetzung können wir den Item-Kellerautomaten ohne Erweiterung benutzen :-) Hängt die auszuwählende Regel nur von der aktuellen Vorausschau w ab, nennen wir G auch stark LL(k)... Wir definieren: Follow k (A) = {First k (β) S L u Aβ}. Die reduzierte kontextfreie Grammatik G heißt stark LL(k), falls für je zwei verschiedene A α, A α P : First k (α) Follow k (A) First k (α ) Follow k (A) = 445

7 Beobachtung: Die auszuwählende Regel hängt hier ja gar nicht von den Erweiterungen der Items ab!!! Unter dieser Voraussetzung können wir den Item-Kellerautomaten ohne Erweiterung benutzen :-) Hängt die auszuwählende Regel nur von der aktuellen Vorausschau w ab, nennen wir G auch stark LL(k)... Wir definieren: Follow k (A) = {First k (β) S L u Aβ}. Die reduzierte kontextfreie Grammatik G heißt stark LL(k), falls für je zwei verschiedene A α, A α P : First k (α) Follow k (A) First k (α ) Follow k (A) = 446

8 Beobachtung: Die auszuwählende Regel hängt hier ja gar nicht von den Erweiterungen der Items ab!!! Unter dieser Voraussetzung können wir den Item-Kellerautomaten ohne Erweiterung benutzen :-) Hängt die auszuwählende Regel nur von der aktuellen Vorausschau w ab, nennen wir G auch stark LL(k)... Wir definieren: Follow k (A) = {First k (β) S L u Aβ}. Die reduzierte kontextfreie Grammatik G heißt stark LL(k), falls für je zwei verschiedene A α, A α P : First k (α) Follow k (A) First k (α ) Follow k (A) = 447

9 ... im Beispiel: S ǫ a S b Follow 1 (S) = {ǫ, b} First 1 (ǫ) Follow 1 (S) = {ǫ} {ǫ, b} = {ǫ, b} First 1 (a S b) Follow 1 (S) = {a} {ǫ, b} = {a} Wir schließen: Die Grammatik ist in der Tat stark LL(1) :-) 448

10 Ist G eine starke LL(k)-Grammatik, können wir die Vorausschau-Tabelle statt mit (erweiterten) Items mit Nichtterminalen indizieren :-) Wir setzen M[B, w] = i genau dann wenn (B, i) die Regel B γ ist und: w First k (γ) Follow k (B).... im Beispiel: S ǫ a S b ǫ a b S Satz Jede starke LL(k)-Grammatik ist auch LL(k) :-) Jede LL(1)-Grammatik ist bereits stark LL(1) :-)) 449

11 Ist G eine starke LL(k)-Grammatik, können wir die Vorausschau-Tabelle statt mit (erweiterten) Items mit Nichtterminalen indizieren :-) Wir setzen M[B, w] = i genau dann wenn (B, i) die Regel B γ ist und: w First k (γ) Follow k (B).... im Beispiel: S ǫ a S b ǫ a b S Satz Jede starke LL(k)-Grammatik ist auch LL(k) :-) Jede LL(1)-Grammatik ist bereits stark LL(1) :-)) 450

12 Beweis: Sei G stark LL(k). Betrachte eine Ableitung S L u Aβ und Regeln A α, A α P. Dann haben wir: First k (α β) First k (α β) = First k (α) First k (β) First k (α ) First k (β) First k (α) Follow k (A) First k (α ) Follow k (A) = Folglich ist G auch LL(k) :-) 451

13 Sei G LL(1). Betrachte zwei verschiedene Regeln A α, A α P. Fall 1: ǫ First 1 (α) First 1 (α ). Dann kann G nicht LL(1) sein :-) 452

14 Sei G LL(1). Betrachte zwei verschiedene Regeln A α, A α P. Fall 1: ǫ First 1 (α) First 1 (α ). Dann kann G nicht LL(1) sein :-) Fall 2: ǫ First 1 (α) First 1 (α ). Sei S L u Aβ. Da G LL(1) ist, gilt: First 1 (α) Follow 1 (A) First 1 (α ) Follow 1 (A) = First 1 (α) First 1 (α ) = First 1 (α) First 1 (β) First 1 (α ) First 1 (β) = 453

15 Fall 3: ǫ First 1 (α) und ǫ First 1 (α ). Dann gilt: First 1 (α) Follow 1 (A) First 1 (α ) Follow 1 (A) = First 1 (α) Follow 1 (A) First 1 (α ) = First 1 (α) ( {First 1 (β) S L u Aβ}) First 1(α ) = ( {First 1 (α) First 1 (β) S L u Aβ}) First 1(α ) = {First 1 (α) First 1 (β) First 1 (α ) S L u Aβ} = { S L u Aβ} = Fall 4: ǫ First 1 (α) und ǫ First 1 (α ) : analog :-) 454

16 Fall 3: ǫ First 1 (α) und ǫ First 1 (α ). Dann gilt: First 1 (α) Follow 1 (A) First 1 (α ) Follow 1 (A) = First 1 (α) Follow 1 (A) First 1 (α ) = First 1 (α) ( {First 1 (β) S L u Aβ}) First 1(α ) = ( {First 1 (α) First 1 (β) S L u Aβ}) First 1(α ) = {First 1 (α) First 1 (β) First 1 (α ) S L u Aβ} = { S L u Aβ} = Fall 4: ǫ First 1 (α) und ǫ First 1 (α ) : analog :-) 455

17 Beispiel: S a A a a 0 b A b a 1 A b 0 ǫ 1 Offenbar ist die Grammatik LL(2) :-) Andererseits gilt: First 2 (b) Follow 2 (A) First 2 (ǫ) Follow 2 (A) = {b} {a a, b a} {ǫ} {a a, b a} = {b a, b b} {a a, b a} = Folglich ist die Grammatik nicht stark LL(2) :-( Wir schließen: Für k > 1 ist nicht jede LL(k)-Grammatik automatisch stark LL(k). Zu jeder LL(k)-Grammatik kann jedoch eine äquivalente starke LL(k)-Grammatik konstruiert werden RR Übung! 456

18 Beispiel: S a A a a 0 b A b a 1 A b 0 ǫ 1 Offenbar ist die Grammatik LL(2) :-) Andererseits gilt: First 2 (b) Follow 2 (A) First 2 (ǫ) Follow 2 (A) = {b} {a a, b a} {ǫ} {a a, b a} = {b a, b b} {a a, b a} = Folglich ist die Grammatik nicht stark LL(2) :-( Wir schließen: Für k > 1 ist nicht jede LL(k)-Grammatik automatisch stark LL(k). Zu jeder LL(k)-Grammatik kann jedoch eine äquivalente starke LL(k)-Grammatik konstruiert werden == Übung! 457

19 Berechnung von Follow k (B) : S i 0 A 1 i 1 β 1 A 2 i 2 β 2 A i m β m α B Follow k (B) Follow k (A) 458

20 Berechnung von Follow k (B) : Idee: Wir stellen ein Ungleichungssystem auf :-) ǫ ist ein möglicher rechter Kontext von S :-) Mögliche rechte Kontexte der linken Seite einer Regel propagieren wir ans Ende jeder rechten Seite im Beispiel: S ǫ a S b Follow k (S) Follow k (S) {ǫ} {b} Follow k (S) 459

21 Allgemein: Follow k (S) {ǫ} Follow k (B) First k (X 1 )... First k (X m ) Follow k (A) für A α B X 1... X m P Diskussion: Man überzeugt sich, dass die kleinste Lösung dieses Ungleichungssystems tatsächlich die Mengen Follow k (B) liefert :-) Die Größe der auftretenden Mengen steigt mit k rapide :-( In praktischen Systemen wird darum meist nur der Fall k = 1 implementiert

22 2.5 Schnelle Berechnung von Vorausschau-Mengen Im Fall k = 1 lassen sich First, Follow besonders effizient berechnen ;-) Beobachtung: Seien L 1, L 2 T {ǫ} mit L 1 = = L 2. Dann ist: L 1 L 2 = L 1 falls ǫ L 1 (L 1 \{ǫ}) L 2 sonst Ist G reduziert, sind alle Mengen First 1 (A) nichtleer :-) 461

23 Idee: Behandle ǫ separat! Sei empty(x) = true gdw. X ǫ. Definiere die ǫ-freien First 1 -Mengen F ǫ (a) = {a} für a T F ǫ (A) = First 1 (A)\{ǫ} für A N Konstruiere direkt ein Ungleichungssystem für F ǫ (A) : F ǫ (A) F ǫ (X j ) falls A X 1... X m P, empty(x 1 )... empty(x j 1 ) 462

24 ... im Beispiel: E E + T 0 T 1 T T F 0 F 1 F ( E ) 0 name 1 int 2 wobei empty(e) = empty(t) = empty(f) = false. Deshalb erhalten wir: F ǫ (S ) F ǫ (E) F ǫ (E) F ǫ (E) F ǫ (E) F ǫ (T) F ǫ (T) F ǫ (T) F ǫ (T) F ǫ (F) F ǫ (F) { (, name, int} 463

25 Entsprechend konstruieren wir zur Berechnung von Follow 1 : Follow 1 (S) {ǫ} Follow 1 (B) F ǫ (X j ) falls A α B X 1... X m P, empty(x 1 )... empty(x j 1 ) Follow 1 (B) Follow 1 (A) falls A α B X 1... X m P, empty(x 1 )... empty(x m )... im Beispiel:... erhalten wir: 464

26 Entsprechend konstruieren wir zur Berechnung von Follow 1 : Follow 1 (S) {ǫ} Follow 1 (B) F ǫ (X j ) falls A α B X 1... X m P, empty(x 1 )... empty(x j 1 ) Follow 1 (B) Follow 1 (A) falls A α B X 1... X m P, empty(x 1 )... empty(x m )... im Beispiel: E E + T 0 T 1 T T F 0 F 1 F ( E ) 0 name 1 int 2... erhalten wir: 465

27 Entsprechend konstruieren wir zur Berechnung von Follow 1 : Follow 1 (S) {ǫ} Follow 1 (B) F ǫ (X j ) falls A α B X 1... X m P, empty(x 1 )... empty(x j 1 ) Follow 1 (B) Follow 1 (A) falls A α B X 1... X m P, empty(x 1 )... empty(x m )... im Beispiel: E E + T 0 T 1 T T F 0 F 1 F ( E ) 0 name 1 int 2... erhalten wir: Follow 1 (S ) {ǫ} Follow 1 (E) Follow 1 (S ) Follow 1 (E) {+, ) } Follow 1 (T) { } Follow 1 (T) Follow 1 (E) Follow 1 (F) Follow 1 (T) 466

28 Diskussion: Diese Ungleichungssysteme bestehen aus Ungleichungen der Form: x y bzw. x d für Variablen x, y und d D. Solche Ungleichungssysteme heißen reine Vereinigungs-Probleme :-) Diese Probleme können mit linearem Aufwand gelöst werden... Beispiel: D = 2 {a,b,c} x 0 {a} x 1 {b} x 1 x 0 x 1 x 3 x 2 {c} x 2 x 1 a b 0 1 c 3 x 3 {c} x 3 x 2 x 3 x 3 2 c 467

29 a b 0 1 c 3 2 c Vorgehen: Konstruiere den Variablen-Abhängigkeitsgraph zum Ungleichungssystem. Innerhalb einer starken Zusammenhangskomponente haben alle Variablen den gleichen Wert :-) Hat eine SZK keine eingehenden Kanten, erhält man ihren Wert, indem man die kleinste obere Schranke aller Werte in der SZK berechnet :-) Gibt es eingehende Kanten, muss man zusätzlich die Werte an deren Startknoten hinzu fügen :-) 468

30 a b 0 1 c 3 2 c Vorgehen: Konstruiere den Variablen-Abhängigkeitsgraph zum Ungleichungssystem. Innerhalb einer starken Zusammenhangskomponente haben alle Variablen den gleichen Wert :-) Hat eine SZK keine eingehenden Kanten, erhält man ihren Wert, indem man die kleinste obere Schranke aller Werte in der SZK berechnet :-) Gibt es eingehende Kanten, muss man zusätzlich die Werte an deren Startknoten hinzufügen :-) 469

31 a b 0 1 c 3 2 c Vorgehen: Konstruiere den Variablen-Abhängigkeitsgraph zum Ungleichungssystem. Innerhalb einer starken Zusammenhangskomponente haben alle Variablen den gleichen Wert :-) Hat eine SZK keine eingehenden Kanten, erhält man ihren Wert, indem man die kleinste obere Schranke aller Werte in der SZK berechnet :-) Gibt es eingehende Kanten, muss man zusätzlich die Werte an deren Startknoten hinzufügen :-) 470

32 a b c a Vorgehen: Konstruiere den Variablen-Abhängigkeitsgraph zum Ungleichungssystem. Innerhalb einer starken Zusammenhangskomponente haben alle Variablen den gleichen Wert :-) Hat eine SZK keine eingehenden Kanten, erhält man ihren Wert, indem man die kleinste obere Schranke aller Werte in der SZK berechnet :-) Gibt es eingehende Kanten, muss man zusätzlich die Werte an deren Startknoten hinzufügen :-) 471

33 ... für unsere Beispiel-Grammatik: First 1 : S E T F (, int, name Follow 1 : ǫ S +, ) E T F 472