Das relationale Modell

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1 Das relationale Modell Grundlagen Übersetzung von ER-Schemata in relationale Schemata Relationale Algebra Relationenkalkül Domänenkalkül

2 Grundlagen des relationalen Modells Seien D 1, D 2,..., D n Domänen (Wertebereiche) Relation: R D 1 x... x D n Bsp.: Telefonbuch string x string x integer Tupel: t R Bsp.: t = ( Mickey Mouse, Main Street, 4711) Schema: legt die Struktur der gespeicherten Daten fest Bsp.: Telefonbuch: {[Name: string, Adresse: string, Telefon#: integer]}

3 Telefonbuch Name Straße Telefon# Mickey Mouse Main Street 4711 Mini Mouse Broadway Donald Duck Broadway Ausprägung: der aktuelle Zustand der Datenbasis Schlüssel: minimale Menge von Attributen, deren Werte ein Tupel eindeutig identifizieren Primärschlüssel: wird unterstrichen Einer der Schlüsselkandidaten wird als Primärschlüssel ausgewählt Hat eine besondere Bedeutung bei der Referenzierung von Tupeln

4 Uni-Schema MatrNr Name Studenten Semester N N voraussetzen Nachfolger Vorgänger hören M N M Vorlesungen N M VorlNr SWS Titel Note prüfen lesen PersNr 1 1 Rang Name Assistenten N arbeitenfür 1 Professoren Raum Fachgebiet PersNr Name

5 Relationale Darstellung von Entitytypen Studenten: {[MatrNr:integer, Name: string, Semester: integer]} Vorlesungen: {[VorlNr:integer, Titel: string, SWS: integer]} Professoren: {[PersNr:integer, Name: string, Rang: string, Raum: integer]} Assistenten: {[PersNr:integer, Name: string, Fachgebiet: string]}

6 ... Relationale Darstellung von Beziehungen A 11 E 1 A 1k1... A R 1 R R A k R A 21 E 2... E n A n1 A 2k A nk n A 11,..., A 1k1, A,..., A 21 2k 2 Schlüssel von E Schlüssel von E 1 2,..., A,..., A n1 nk, A 1 n Schlüssel von E n R R,..., A k R R:{[ ]} Attribute von R

7 Beziehungen unseres Beispiel- Schemas hören : {[MatrNr: integer, VorlNr: integer]} lesen : {[PersNr: integer, VorlNr: integer]} arbeitenfür : {[AssistentenPersNr: integer, ProfPersNr: integer]} voraussetzen : {[Vorgänger: integer, Nachfolger: integer]} prüfen : {[MatrNr: integer, VorlNr: integer, PersNr: integer, Note: decimal]}

8 Schlüssel der Relationen hören : {[MatrNr: integer, VorlNr: integer]} lesen : {[PersNr: integer, VorlNr: integer]} arbeitenfür : {[AssistentenPersNr: integer, ProfPersNr: integer]} voraussetzen : {[Vorgänger: integer, Nachfolger: integer]} prüfen : {[MatrNr: integer, VorlNr: integer, PersNr: integer, Note: decimal]}

9 Ausprägung der Beziehung hören Studenten MatrNr MatrNr Studenten N hören MatrNr VorlNr hören M Vorlesungen VorlNr VorlNr Vorlesungen

10 Verfeinerung des relationalen Schemas Professoren lesen 1 N Vorlesungen 1:N-Beziehung Initial-Entwurf Vorlesungen : {[VorlNr, Titel, SWS]} 1 Professoren : {[PersNr, Name, Rang, Raum]} lesen: {[VorlNr, PersNr]}

11 Verfeinerung des relationalen Schemas 1:N-Beziehung Initial-Entwurf Vorlesungen : {[VorlNr, Titel, SWS]} Professoren : {[PersNr, Name, Rang, Raum]} lesen: {[VorlNr, PersNr]} Verfeinerung durch Zusammenfassung Vorlesungen : {[VorlNr, Titel, SWS, gelesenvon]} Professoren : {[PersNr, Name, Rang, Raum]} Regel Relationen mit gleichem Schlüssel kann man zusammenfassen aber nur diese und keine anderen!

12 Ausprägung von Professoren und Vorlesung Professoren PersNr Name Rang Raum 2125 Sokrates C Russel C Kopernikus C Popper C Augustinus C Curie C Kant C4 7 Vorlesungen VorlNr Titel SWS Gelesen Von 5001 Grundzüge Ethik Erkenntnistheorie Mäeutik Logik Wissenschaftstheo rie Bioethik Der Wiener Kreis Glaube und Wissen Die 3 Kritiken Professoren 1 N lesen Vorlesungen

13 Vorsicht: So geht es NICHT Professoren PersNr Name Rang Raum liest 2125 Sokrates C Sokrates C Sokrates C Augustinus C Curie C4 36?? Professoren lesen 1 N Vorlesungen VorlNr Titel SWS 5001 Grundzüge Ethik Erkenntnistheorie Mäeutik Logik Wissenschaftstheo rie 5216 Bioethik Der Wiener Kreis Glaube und Wissen 4630 Die 3 Kritiken 4 Vorlesungen 3 2

14 Vorsicht: So geht es NICHT: Folgen Anomalien Professoren PersNr Name Rang Raum liest 2125 Sokrates C Sokrates C Sokrates C Augustinus C Curie C4 36?? Vorlesungen VorlNr Titel SWS 5001 Grundzüge Ethik Erkenntnistheorie Mäeutik Logik Wissenschaftstheo rie Bioethik Der Wiener Kreis Glaube und Wissen Die 3 Kritiken 4 Update-Anomalie: Was passiert wenn Sokrates umzieht Lösch-Anomalie: Was passiert wenn Glaube und Wissen wegfällt Einfügeanomalie: Curie ist neu und liest noch keine Vorlesungen

15 Relationale Modellierung der Generalisierung Fachgebiet Assistenten Angestellte Professoren PersNr Name Raum Rang Angestellte: {[PersNr, Name]} Professoren: {[PersNr, Rang, Raum]} Assistenten: {[PersNr, Fachgebiet]}

16 Relationale Modellierung schwacher Entitytypen Studenten 1 ablegen N Prüfungen Note PrüfTeil MatrNr umfassen N N abhalten VorlNr M M PersNr Vorlesungen Professoren ablegen:{[matnr:integer, PrüfTeil: string]} Prüfungen: {[MatrNr: integer, PrüfTeil: string, Note: integer]} umfassen: {[MatrNr: integer, PrüfTeil: string, VorlNr: integer]} abhalten: {[MatrNr: integer, PrüfTeil: string, PersNr: integer]}

17 Man beachte, dass in diesem Fall der (global eindeutige) Schlüssel der Relation Prüfung nämlich MatrNr und PrüfTeil als Fremdschlüssel in die Relationen umfassen und abhalten übernommen werden muß.

18 Die relationale Uni-DB Professoren PersNr Name Rang Raum 2125 Sokrates C Russel C Kopernikus C Popper C Augustinus C Curie C Kant C4 7 voraussetzen Vorgänger Nachfolger prüfen MatrNr VorlNr PersNr Note Studenten MatrNr Name Semester Xenokrates Jonas Fichte Aristoxenos Schopenhau er Carnap Theophrasto s hören Feuerbach MatrNr VorlNr PerslN r Vorlesungen VorlNr Titel SWS gelesen von 5001 Grundzüge Ethik Erkenntnistheorie Mäeutik Logik Wissenschaftstheor ie Bioethik Der Wiener Kreis Glaube und Wissen Die 3 Kritiken Assistenten Name Fachgebiet Boss 3002 Platon Ideenlehre Aristoteles Syllogistik Wittgenstein Sprachtheorie Rhetikus Planetenbewegun g 3006 Newton Keplersche Gesetze

19 Professoren PersNr Name Rang Raum 2125 Sokrates C Russel C Kopernikus C Popper C Augustinus C Curie C Kant C4 7 voraussetzen Vorgänger Nachfolger prüfen MatrNr VorlNr PersNr Note Studenten MatrNr Name Semester Xenokrates Jonas Fichte Aristoxenos Schopenhauer Carnap Theophrastos Feuerbach 2 hören MatrNr VorlNr Vorlesungen VorlNr Titel SWS gelesen Von 5001 Grundzüge Ethik Erkenntnistheorie Mäeutik Logik Wissenschaftstheo rie Bioethik Der Wiener Kreis Glaube und Wissen Die 3 Kritiken Assistenten PersNr Name Fachgebiet Boss 3002 Platon Ideenlehre Aristoteles Syllogistik Wittgenstein Sprachtheorie Rhetikus Planetenbewegung Newton Keplersche Gesetze Spinoza Gott und Natur 2126

20 Die relationale Algebra Selektion Projektion x Kreuzprodukt lxl Join (Verbund) Umbenennung Mengendifferenz Division Vereinigung Mengendurchschnitt lx Semi-Join (linker) XI Semi-Join (rechter) IXl linker äußerer Join IXI rechter äußerer Join IXI äußerer Join

21 Die relationalen Algebra- Operatoren Selektion Semester > 10 (Studenten) Semester > 10 (Studenten) MatrNr Name Semester Xenokrates Jonas 12 Projektion Rang (Professoren) Rang (Professoren) Rang C4 C3

22 Die relationalen Algebra- Operatoren Kartesisches Produkt Professoren x hören Professoren hören PersNr Name Rang Raum MatrNr VorlNr 2125 Sokrates C Sokrates C Kant C Problem: riesige Zwischenergebnisse Beispiel: (Professoren x hören) "bessere" Operation: Join (siehe unten)

23 Umbenennung Die relationalen Algebra- Operatoren Umbenennung von Relationen Beispiel: Ermittlung indirekter Vorgänger 2. Stufe der Vorlesung 5216 V1. Vorgänger( V2. Nachfolger=5216 V1.Nachfolger = V2.Vorgänger ( V1 (voraussetzen) x V2 (voraussetzen))) Umbennung von Attributen Voraussetzung Vorgänger (voraussetzen)

24 Formale Definition der Algebra Basisausdrücke Relation der Datenbank oder konstante Relationen Operationen Selektion: p (E 1 ) Projektion: S (E 1 ) Kartesisches Produkt: E 1 x E 2 Umbenennung: V (E 1 ), A B (E 1 ) Vereinigung: E 1 E 2 Differenz: E 1 - E 2

25 Der natürliche Verbund (Join) Gegeben seien: R(A 1,..., A m, B 1,..., B k ) S(B 1,..., B k, C 1,..., C n ) R lxl S = A1,..., Am, R.B1,..., R.Bk, C1,..., Cn ( R.B1=S. B1... R.Bk = S.Bk (RxS)) R lxl S R S R S S R A 1 A 2... A m B 1 B 2... B k C 1 C 2... C n

26 Drei-Wege-Join (Studenten lxl hören) lxl Vorlesungen (Studenten lxl hören) lxl Vorlesungen MatrNr Name Semester VorlNr Titel SWS gelesenvon Fichte Grundzüge Jonas Glaube und Wissen Carnap Wissenschaftstheor ie

27 Allgemeiner Join (Theta-Join) Gegeben seien folgende Relationen(-Schemata) R(A1,..., An) und S(B1,..., Bm) R lxl S = (R x S) R lxl S R lxl S R S A 1 A 2... A n B 1 B 2... B m

28 natürlicher Join Andere Join-Arten L A B C a 1 b 1 c 1 a 2 b 2 c 2 lxl R C D E c 1 d 1 e 1 = c 3 d 2 e 2 Resultat A B C D E a 1 b 1 c 1 d 1 e 1 linker äußerer Join L A B C a 1 b 1 c 1 a 2 b 2 c 2 R IXl C D E c 1 d 1 e 1 = c 3 d 2 e 2 Resultat A B C D E a 1 b 1 c 1 d 1 e 1 a 2 b 2 c 2 - -

29 rechter äußerer Join L A B C a 1 b 1 c 1 a 2 b 2 c 2 R lxi C D E c 1 d 1 e 1 = c 3 d 2 e 2 Resultat A B C D E a 1 b 1 c 1 d 1 e c 3 d 2 e 2

30 Andere Join-Arten äußerer Join L R A B C C D E IXI a 1 b 1 c = 1 c 1 d 1 e 1 Resultat A B C D E a 1 b 1 c 1 d 1 e 1 a 2 b 2 c 2 c 3 d 2 e 2 a 2 b 2 c Semi-Join von L mit R - - c 3 d 2 e 2 L A B C a 1 b 1 c 1 a 2 b 2 c 2 lx R C D E c 1 d 1 e 1 = c 3 d 2 e 2 Resultat A B C a 1 b 1 c 1

31 Andere Join-Arten (Forts.) Semi-Join von R mit L L A B C a 1 b 1 c 1 a 2 b 2 c 2 Xl R C D E c 1 d 1 e 1 = c 3 d 2 e 2 Resultat C D E c 1 d 1 e 1

32 Andere Join-Arten (Forts.) Semi-Join von R mit L L A B C a 1 b 1 c 1 a 2 b 2 c 2 Xl R C D E c 1 d 1 e 1 = c 3 d 2 e 2 Resultat C D E c 1 d 1 e 1 Beispiel: Finde die PersNr aller C4-Professoren, die mindestens eine Vorlesung halten: PersNr ( PersNr gelesenvon (Vorlesung) Xl Professoren))

33 Die relationale Division Bsp.: Finde MatrNr der Studenten, die alle vierstündigen Vorlesungen hören L := VorlNr ( SWS=4 (Vorlesungen)) L hören VorlNr ( SWS=4 (Vorlesungen))

34 t R S, falls für jedes ts S ein tr R existiert, so dass gilt: tr.s = ts.s tr.(r-s) = t M R V m 1 v 1 m 1 v 2 Definition der Division S V = R S M m 1 v 3 m 2 v 2 m 2 v 3 v 1 v 2 m 1 Die Division R S kann auch durch Differenz, Kreuzprodukt und Projektion ausgedrückt werden. R S = (R S) (R) (R S) (( (R S) (R) x S) R)

35 Division Ganzzahl-Division: a div b = c c: größte ganze Zahl, für die c * b a Division bei der relationalen Algebra: A B = C C: größte Relation, für die C lxl B A L: vierstündige Vorlesungen hören L = F F: größte Relation, für die F lxl L hören

36 Mengendurchschnitt Als Beispielanwendung für den Mengendurchschnitt (Operatorsymbol ) betrachten wir folgende Anfrage: Finde die PersNr aller C4-Professoren, die mindestens eine Vorlesung halten. PersNr ( PersNr gelesenvon (Vorlesungen)) PersNr ( Rang=C4 (Professoren)) Mengendurchschnitt nur auf zwei Argumentrelationen mit gleichem Schema anwendbar Deshalb ist die Umbenennung des Attribute gelesenvon in PersNr in der Relation Vorlesungen notwendig Der Mengendurchschnitt zweier Relationen R S kann durch die Mengendifferenz wie folgt ausgedrückt weden: R S = R (R S)

37 Der Relationen-(Tupel-)Kalkül Eine Anfrage im Tupelkalkül hat die Form {t P(t)} mit P(t) Formel. Beispiele: C4-Professoren {p p Professoren p.rang = 'C4'} Studenten mit mindestens einer Vorlesung von Curie {s s Studenten h hören(s.matrnr=h.matrnr v Vorlesungen(h.VorlNr=v.VorlNr p Professoren(p. PersNr=v.gelesenVon p.name = 'Curie')))}

38 Wer hat alle vierstündigen Vorlesungen gehört {s s Studenten v Vorlesungen (v.sws=4 h hören(h.vorlnr=v.vorlnr h.matrnr= s.matrnr))}

39 Definition des Tupelkalküls Atome s R, mit s Tupelvariable und R Relationenname s.a t.b, mit s und t Tupelvariablen, A und B Attributnamen und Vergleichsperator (,,,...) s. A c mit c Konstante Formeln Alle Atome sind Formeln Ist P Formel, so auch P und (P) Sind P 1 und P 2 Formeln, so auch P 1 P 2, P 1 P 2 und P 1 P 2 Ist P(t) Formel mit freier Variable t, so auch t R(P(t)) und t R(P(t))

40 Tupelkalkül: Allquantor eliminieren Wer hat alle vierstündigen Vorlesungen gehört {s s Studenten v Vorlesungen (v.sws=4 h hören(h.vorlnr=v.vorlnr h.matrnr= s.matrnr))} Für die Übersetzung in SQL ist Elimination von und notwendig. Dazu sind folgende Äquivalenzen anzuwenden Wir erhalten t R (P(t)) = ( t R( P(t))) R T = R V T {s s Studenten ( v Vorlesungen ( (v.sws=4) V h hören (h.vorlnr=v.vorlnr h.matrnr=s.matrnr))} Anwendung von DeMorgan ergibt schließlich: {s s Studenten ( v Vorlesungen (v.sws=4 ( h hören (h.vorlnr=v.vorlnr h.matrnr=s.matrnr))))}

41 Sicherheit Einschränkung auf Anfragen mit endlichem Ergebnis. Die folgende Beispielanfrage {n (n Professoren)} ist nicht sicher. Das Ergebnis ist unendlich. Bedingung: Ergebnis des Ausdrucks muss Teilmenge der Domäne der Formel sein. Die Domäne einer Formel enthält - alle in der Formel vorkommenden Konstanten - alle Attributwerte von Relationen, die in der Formel referenziert werden

42 Der Domänenkalkül Ein Ausdruck des Domänenkalküls hat die Form {[v 1, v 2,..., v n ] P (v 1,..., v n )} mit v 1,..., v n Domänenvariablen und P Formel. Beispiel: MatrNr und Namen der Prüflinge von Curie {[m, n] s ([m, n, s] Studenten v, p, g ([m, v, p,g] prüfen a,r, b([p, a, r, b] Professoren a = 'Curie')))}

43 Sicherheit des Domänenkalküls Sicherheit ist analog zum Tupelkakkül zum Beispiel ist {[p,n,r,o] ([p,n,r,o] Professoren) } nicht sicher. Ein Ausdruck {[x 1, x 2,..., x n ] P(x 1, x 2,..., x n )} ist sicher, falls folgende drei Bedingungen gelten:

44 1. Falls Tupel [c 1, c 2,..., c n ] mit Konstante c i im Ergebnis enthalten ist, so muss jedes c i (1 i n) in der Domäne von P enthalten sein. 2. Für jede existenz-quantifizierte Teilformel x(p 1 (x)) muss gelten, dass P 1 nur für Elemente aus der Domäne von P 1 erfüllbar sein kann - oder evtl. für gar keine. Mit anderen Worten, wenn für eine Konstante c das Prädikat P 1 (c) erfüllt ist, so muss c in der Domäne von P 1 enthalten sein. 3. Für jede universal-quantifizierte Teilformel x(p 1 (x)) muss gelten, dass sie dann und nur dann erfüllt ist, wenn P 1 (x) für alle Werte der Domäne von P 1 erfüllt ist- Mit anderen Worten, P 1 (d) muss für alle d, die nicht in der Domäne von P 1 enthalten sind, auf jeden Fall erfüllt sein.

45 Ausdruckskraft Die drei Sprachen 1. relationale Algebra, 2. relationaler Tupelkalkül, eingeschränkt auf sichere Ausdrücke und 3. relationaler Domänenkalkül, eingeschränkt auf sichere Ausdrücke sind gleich mächtig