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1 Math-Net.Ru All Russian mathematical portal E. Ljapin, Über die Ordnung der Automorphismengruppe einer endlichen Gruppe, Rec. Math. [Mat. Sbornik] N.S., 1936, Volume 1(43), Number 6, Use of the all-russian mathematical portal Math-Net.Ru implies that you have read and agreed to these terms of use Download details: IP: January 31, 2017, 11:24:24

2 1936 МАТЕМАТИЧЕСКИЙ СБОРНИК Т. 1 (43), N. 6 RECUE1L MATHEMATIQUE Uber die Ordnung der Automorphismengruppe endlichen Gruppe Eugen Ljapin (Leningrad) einer Die Hauptaufgabe der vorliegenden Arbeit besteht in der Untersuchung der Ordnung der Automorphismengruppe einer endlichen Gruppe und zwar abhangig von der Ordnung der letzteren. Als Ergebnisse dieser Untersuchung werden Formeln angefuhrt: in Kapitel III fur die auflosbaren Gruppen, in Kapitel IV fur beliebige. Diese Formeln lassen auf eine ganze Reihe von Struktureigenschaften der Gruppe schliessen, die daselbst vermerkt werden. Die Grundmethoden und allgemeinen Satze, auf die sich die Betrachtungen in Kapitel III und IV grunden, bilden das I. Kapitel. Es enthalt auch einige Satze uber die Automorphismengruppe, welche von selbstandiger Bedeutung sein konnen. Kapitel II steht nicht in unmittelbarer Verbindung mit den folgenden. Es enthalt die Abschatzung der Ordnung der Automorphismengruppe der endlichen Gruppe abhangig von einigen allgemeinen Eigenschaften der letzteren, welche im Kapitel I enthalten sind. Bezeichnungen Im Nachfolgenden werden die Gruppen durch grosse gotische Buchstaben bezeichnet, die Elemente von Gruppen durch entsprechende grosse lateinische und die Ordnungen durch entsprechende kleine lateinische. Dieses System von Bezeichnungen wird im ganzen Artikel ohne Abweichungen durchgefiihrt, darum ist es uberflussig, jedes Mai zu erklaren, was der eine oder der andere lateinische Buchstabe bedeutet, da der ihm entsprechende grosse gotische Buchstabe bereits ein Symbol fiir eine bestimmte Gruppe ist. Falls irgendeine Gruppe vorliegt, die von der gegebenen abhsngt, bezeichnen wir die Ordnung mit einem Hinweis auf die letztere. So beieutet #( ) die Ordnung von Ц - der Gruppe der Automorphismen der Kapitel I Die Grundlagen 1. Quasi-Kompositionsreihe der set solch eine Reihe ihrer Untergruppen: 1 =4, Ч Ч Ч =(S)

3 888 Eugen Ljapin dass die vorhergehende Gruppe die grosste Untergruppe der folgenden wenn fur die Untergruppen 31/, 33 und?( /+1 die Bedingung blldet, d. hu, gilt, so ist entweder 23 = 3( /? oder SB = 3l /+]. Betrachten wir folgende Reihe von Komplexen, besteheni aus den Elementen а^-зд, (%-%),..., (ш т -ж т^). Diese Komplexe bezeichnen wir als Differenzen der gegebenen Quasi-Kompositionsreihe. Augenscheinlich sind alle Elemente der Gruppe in die Differenzen der Quasi- Kompositionsreihe eingeschlossen, wobei die letzteren paarweise keine gemeinsamen Elemente = щ 1 + (щ 2 _Я 1 ) + (8[ 8 -Щ 8 ) +...+(8[ я -31 я,_ 1 ). Augenscheinlich kann jede Untergruppe in die eine oder die andere Quasi- Kompositionsreihe eingefugt werden. Es ist zu bemerken, dass aus der charakteristischen Reihe, der Hauptreihe oder der Kompositionsreihe der Gruppe die Quasi-Kompositionsreihe erhalten werden kann durch das Hineinfiigen von Untergruppen. 2. Satz. Nimmt man aus jeder Dlfferenz der Quasi-Kompositionsreihe von zu je elnem beliebigen Element, so ist die sich ergebende Gesamtheit die Gesamtheit der erzeugenden Elemente der Gruppe. Gegeben ist: Sr a -3t l3 4 s, Щ 8-3( 2 зл 3,..., Ш т -% т _ х га т. Zu beweisen ist:»={i4 af A...,A m }=. Der Satz ist fur jdie Gruppen, deren Ordnungen Primzahlen sind, gultig, darum lasst sich der Beweis vermittels der Methode der vollstsndigen Induktion im VerhMltnis zu den Ordnungen der Gruppen fiihren. Fur $1 т _ г ist der Satz gultig, folglich: Darum ist: Я ^ с а ^ К, A V...IA M _ V A m }cz = ^m. Aber А^ё,^, folglich SV^m-i und Jnach [der ^Bestimmung der Quasi-Kompositionsreihe 331=31?=, 3. Es sei $1 eine Gruppe, deren Elemente Operatoren bezfiglich der Elemente einer gewissen Gesamtheit <Ш={М} sind. Nehmen wir ЗЛ im Ganzen als invariant zu den Transformationen N aus Ш an, d. h. ist Ne$l, ЛГеЭИ und N(M) = M\ so ist M' ези. Betrachten wir eine Reihe von Folgen-SD^, 1 3ft 2,$..., Ш т, die aus den Elementen von 3ft bestehen und: Ш г с ЭИ а с ЭИ 8 с... с Ш тшт1 с Ш т. Bezeichnen [wir mil: Ш г die Gesamtheit der Elemente von 91, die Ш г identisch erhalten, d. [h." wenn N^ 3^ und M t c:wt lf 'so ist N l {M l )=M 1 M l ist eine Untergruppe von 3f. Mit 9? 2 bezeichnen wir die Gesamtheit der Elemente, die 9ft 2 identisch erhalten, usw.

4 Ober die Ordnung der Ai;tomorphismengruppe einer endlichen Gruppe 889 Augenscheinlich: Zerlegen wir 9i nach Щ г von links: SR = ЩЩ1, + Л^) 9с\+ Л/f 3^+ =-( ^() ) 9ti Zerlegen wir 9t x nach 9Z 2 von links: 9^= ( Л^ )5R 2 3i=-(S^)(2^)9t.. i i i i Belrachten wir (Y* N k\)' Alle Elemente einer linksseitigen Nebengruppe Np_ 1 ( Sl k transformieren die Folge %R k in dieselbe Folge ffi' k : Ш к in verschie- Die Elemente verschiedener linksseitiger Nebengruppen transformieren tlene Folgen. In der Tat lassen das Entgegengesetzte gelten: dann 4. h. i V-i ' V-i ^ Jl k was der Auswahl N^]_ x und Л/^2 Х widerspricht. Die Gesamtheit (^ A%2.i) wirc * durch diese Beschaffenheit vollkommen bestimmi: Л//е verschledenen, aber auch пит verschiedenen Folgen Ш ку ЯЖ, 3Jt?,..., Ле a^s Ш к vermittels Transformation durch die Elemente von Ш к _ г entstehen, erhdlt man vermittels ^Transformation der Folge Ш к durch die Elemente der Gesamtheit Dij 0rdnan 8 von (S NfcLi) ' (Х^л-i/ ' ~~ gleich r^zl ist, ist ebenfalls p k, der i " i k Anzahl dieser Folgen %)l k, Ш' к, 9J^,... gleich. Darum wird n die Ordnung der Gruppen $1 auf folgende Weise bestimmt: m m Es ist zn merken, dass obgleich von den Folgen Ш к die Rede ist, es gleichgultig 1st, was fflr eine Folgenanordnung der Elemente in ЗЯ Л festgesetzt ist. Von Interesse

5 890 Eugen Ljapin sind nur die Permutationen unter den Elementen in 9Jt, welche die untersuchten Operatoren aus ffi erzeugen. Darum werden wir, uns auch in Zukunft daran haltend, die Hauptfolgen bestimmen, indem wir nur die Elemente geben, aus denen sie zusammengesetzt sind; die Anordaung der Elemente in den Folgen ist belanglos. Wir werden uns auch in Zukunft 6fter an die Betrachtung dieses Paragraph en halten hinsichtlich der Untersuchung der Ordnungen U der Gruppe der Automorphismen von und einiger ihrer Untergruppen. Augenscheinlich konnen die Automorphismen als Operatoren angesehen werden, welche den oben angefiihrten Bedingungen von Ш hinsichtlich der verschiedenen Systeme der Elemente von genugen, wobei wir unter einem System der Elemente sowohl ein einzelnes Element, als auch die Untergruppe von verstehen. Als Ш ist immer die Gesamtheit aller Systeme von zu betrachten. In Obereinstimmung mit Obengesagtem brauchen wir die Bezeichnung t/(3 ) = j^ wenn bei einigem Automorphismus U das System Щ dem System 3t entspricht. Gruppe I. Satz tiber Gruppe 93. Die Gesamtheit von Automorphismen, bei denen die gegebene Quasi-Kompositionsreihe in sich selbst iibergefiihrt wird, ist eine Gruppe (23). Wenn Щ г 2I 2,..., $i m ist eine gegebene Reihe, so ist 93= {К}, wo V von der Bedingung bestimmt werden: V {Щ^Щ (i=l, 2,...,/>i). Zur Untersuchung der Gruppe 93 wenden wir die Betrachtung des 3 an, indent wir die Hauptfolgen der Systeme der Elemente folgendermassen bestimmen: Ш г die Folge der Elemente von I X, *v^2»»»»» ^л2' W Щ /Л/V3,, у,» r> -vig > м^т»»»»» ^*т Entsprechend wird die Reihe der Untergruppen der von uns untersuchten Gruppe 93 bestimmt: SSj die Gesamtheit der Automorphismen, die identisch Щ erhalten, d. h. der Automorphismen, die alle Elemente von Щ in sich selbst uberfuhren, 93 2 die Gesamtheit der Automorphismen, die identisch 2I 2 erhalten, d. h. der Automorphismen, die alle Elemente von 3t 2 in sich selbst uberfuhren, sg 3 die Gesamtheit der Automoiphismen, die identisch 3I 3 erhalten, d. h. der Automorphismen, die alle Elemente von 2l 3 in sich selbst uberfuhren, 35 m die Gesamtheit der Automorphismen, die identisch 2l w erhalten, d. h. der Automorphismen, die alle Elemente von $l m in sich selbst uberfuhren. Da SI X = 1 und bei beliebigem Automorphismus dem Einheitselement das Einheitselement entspricht, so ist 33 х = 35. Da 9l w =, so ist augenscheinlich 93 m =l. Beweisen wir, dass 93 z Normalteiler von 93 ist. Es sei * Ve», Vj6SS, und St,- = (A l,a i,a s,...),

6 Ober die Ordnung der Automorphismengruppe einer endlichen Gruppe 891 dann ist: V-iV i V(A l,a 2,A b,...)=v-*v i (A' v A' 2,A'...) = = V~ (Л 1, Л 2, Л 3,...) = {А 1У А%, А%,...)» d * h * V- 1 V i Ve^B r 5. Teilen wir alle Elemente in Klassen, wo die Elemente G x und G 2 zu einer Klasse gehoren, wenn: 1) G 1 und G 2 zu derselben Differenz der gegebenen Quasi-Kompositionsreihe gehoren, d. h. 2) es solch einen Automorphismus V gibt, dass V(G X ) = G 2, wobei КеЗЗ/. Man beweise folgenden Satz von den Oidnungen der auf diese Weise bestimmten Klassen: Satz. Die Ordnung der Klasse eines beliebigcn Elements aus der Differenz v i+l -- ist laut 3 gleich der Anzahl der Folgen 3JJ' г, die aus Ш +1 vermittels Transformation durch die Automorphismen aus 33/ entstehen. Der Automorphismus ist vollkommen bestimmt, wenn die Zuordnung der Elemente der Gesamtheit der erzeugenden Elemente angegeben ist. Die Gesamtheit lasst sich nach der Methode jvon Satz, 2 aufbauen. Da durch die Transformation mit Automorphismen 33/ sich alle Elemente von SI/ nicht verandern, so geniigt es die Zuordnung fur em beliebiges Element aus 3l/ +1 31/ anzugeben. Als dieses Element sehen wir das uns interessierende Element an. Es ist klar, dass die Anzahl der Folgen s Di'/ gleich ist der Ordnung ihrer Klasse, was also den Satz beweist. Folgerung. -- ist ein Teller von a i+x a t. Alle Elemente von Sl /+1 SI/ zerfallen in Klassen, welche augenscheinlich paarweise keine gemeinsamen Elemente haben. Die Ordnung jeder Klasse ist L. Folglich ist a i+1 a { die Anzahl aller Elemente der Differenz dem Produkt - und der Anzahl v i+\ der verschiedenen Klassen gleich. Laut 3: m-l /=i wobei v m =l, darum haben wir also den Satz von der Ordnung der Gruppe 33: II. Satz iiber Gruppe 23. Die Ordnung der Gruppe 33 ist ein Teller der Zahl: (д 2 1)(а 3 я 2 )... (a m a mmml ). 6. Da die Ordnung der Gruppe der Automorphismen gleich ^ и u = v- v ist, so bleibt uns nach Betrachtung von v nur noch die Untersuchung von Grupps 33. Index der

7 892 Eugen Ljapin III. Satz Ciber Gruppe 33. Betrachten wir die Gesamtheit der Quasi-Ко mposttlonsreihen, die bei irgendwelchen Automorphismen von % der gegebenen Quasi-Kompositionsreihe entsprechen, so erhalt man alle verschledenen, aber auch nur verschledenen Reihen aus dieser Gesamtheit, durch die Transformation der gegebenen Reihe mit Hllfe der Automorphismen aus der Gesamtheit \2^ТА % wo i i Der Satz wird durch die Betrachtung von 3 bewiesen, wenn die Hauptfolgen sind: 9Ji 3 = 9Jt, Ш 2 die gegebene Quasi-Kompositionsreihe, Ш г =^\. Diesen Folgen entsprechen die Gruppen 5ft 3 == 1, 9 2 = $, $1 г = И. Folgerung. Der Index von 58 1st gleich der Anzahl der Quasl-Komposttlonsrelhen, die den gegebenen bei einigen Automorphismen aus XI entsprechen. Kapitel II Atschatzung der Ordnung der Automorphismengruppe 7. Angegeben sei die Methode der Untersuchung der Zahl. Wir benutzen die Betrachtungen von 3. Definiert seien die Hauptfolgen: 9K 1 die Untergruppen aus der gegebenen Quasi-Kompositionsreihe: Ш т, 3Jt 2 die Untergruppen aus der gegebenen Quasi-Kompositionsreihe: 9l m-1, Ш т, ЗЛ 3 die Untergruppen aus der gegebenen Quasi-Kompositionsreihe: 2t w _ a ' ^m-i> Ш т _ г -die Untergruppen aus der gegebenen Quasi-Kompositionsreihe: 3l 2,..., Щ $1 31 Ш т die Untergruppen aus der gegebenen Quasi-Kompositionsreihe: 3l x, 3t 2, Entsprechend wird die Reihe der Untergruppen von Ц bestimmt: ш и ш 2, ав..., 2в ж. х, ш т. Da Щ от und jeder Automorphismus die Gruppe in sich selbst uberfiihrt, so haben wir: denn 2B aus Automorphismen besteht, die alle Gruppen der gegebenen Quasi-Komposuionsreihe in sich selbst uberf uhren, m 1 m 1 l=1 m+i m /=1»m " TT 3_

8 Ober die Ordnung der Automorphis nengruppe einer endlichen Gruppe 893 '-^ist gleich der Anzahl solcher in 21 ш _ /+1 enthaltenen Untergruppen, welche bei eifligen Automorphismen aus 2B/ den 2WL/ zugeordnet sind. 8. Angegeben sei ein anderes, dem vorhergeheiden analoges Uniersuchungsverfahren fur die Zahl, welches sich gleichfalls auf die Betrachtung von 3 grundet. ^Bestimmt seien die Hauptfolgen: Ш х die Untergruppen aus der gegebenen Quasi-Kompositionsreihe: 2l x, Ш 2 die Untergruppen aus der gegebenen Quasi-Kompositionsreihe: 2I 1,2f 2, Ш1 3 die Untergruppen aus der gegebenen Quasi-Kompositionsreihe: S3l 1, 9t 2, 2J 3, Ш т _ х die Untergruppen aus der gegebenen Quasi-Kompositionsreihe: 9t 1, 2t 2, Ш. Щ <* 3,..., ^ш_!, Ш т die Untergruppen aus der gegebenen Quasi-Kompositionsreihe: 2^, 2l 2, ^i3,..., <\m_\ у <\т Entsprechend wird die Reihe von Untergruppen von XX bestimmt: Da Щ = 1 und $l x, 2I 2, 21 3,..., Ш т _ тх \ $L m alle Untergruppen der gegebenen Quasi- Kompositionsreihe sind, so ist 2В х =и und 2B m = 3S, m 1 ist gleich der Anzahl der die Untergruppe 21; enthaltenden Gruppen, welche bei einigen Automorphismen aus Ц 8t/ +1 entsprechen. 9. Man schatze die Ordnung der Gruppe der Automorphismen Ц ab, indem man sich des Verfahrens von 8 bediene. Zu diesem Zweck ist der Beweis zu erbringen, dass ^ - ^ a i Tatsachlich erhalt man durch Hinzufugung der aus (a /+1 a t ) Elementen bestehenden Differenzen 2t/ +1 2t/ verschiedene Gruppen Ж._, x, welche 2l m entsprechen bei verschiedenen Automorphismen aus SB/. Solche verschiedene Differenzen haben paarweise keine gemeinsamen Elemente. Tatsachlich seien Щ, х und 21" zwei solche Gruppen, welche Ж/ +1 entsprechen, «und es moge solch ein Element A vorkommen, dass AeW^ %, AeW.^ %. Da 21/ eine grosste Untergruppe von 21/ +1 ist, so ist 21/ eine [grosste Untergruppe von?t/j_i un d von SI/л-г Laut Satz, 2 konnen 2l[., x und $l" i4 _ x auf folgende Weise dargesiellt werden: ^d foigiich r /:+1 =a; H. ;i. 2[; +1 ={21/,л}Л1;_ м = {2(/,л}, Jede Differenz (21;,, x 21/) enthalt (a i+x a t ) Elemente, die in den Komplex ( 21/) eingeschlossen sind. Der Komplex ( 21/) enthalt (g a t ) Elemente. Die verschiedenen Differenzen haben paarweise keine gemeinsamen Elemente. Folglich ist die Anzahl der verschiedenen Differenzen nicht grosser als -. 7 М атематический сборник, т. 1 (43), N. 6.

9 894 Eugen Ljapin Nun erhalten wir auch die eigentliche Abschatzung fur a: m l m 1 "<П(«+ г-«). < П ^ i = 1 г = 1 И - *<(# «i)^ д 2 ) (ff *«-i)- Die letzte Abschatzung diene zum Erhalten einer vom Standpunkt der Quasi-Kompositionsreihe fur die Gruppen charakteristischen Eigenschaft derselben: und folglich: ^ log к. 1 d. h. rf/ Anzahl der Gruppen in einer beliebigen Quasi-Kompositionsreihe der Gruppe muss eine gewisse fur die gegebene Gruppe vorgesehene Zahl iibertreffen. 10. Im vorhergehenden Paragraphen befindet sich die Abschatzung fur die Ordnung der Gruppe Q:u^u*. Ganz von selbst entsteht die Frage: fur welche Gruppen ist u* gleich u? Wir uberzeugen uns sofort, dass dies fur die elementare Abelsche Gruppe gilt. Was alle (ibrigen Gruppen anbetrifft, so kann man sich leicht uberzeugen, dass. immer и* > и ist. Vorausgesetzt sei, dass u* u. Aus den Betrachtungen von 9 ist ersichtlich, dass zu diesem Zweck notwendig ist, dass alle Elemente (ausser Einheitselement) zu ein und derselben Ordnung gehoren, im entgegengesetzten Fall konnten nicht alle von ihnen in die miteinander isomorphen Gruppen Ш' 2 eingereiht werden, und es wurde^<t^ -г verschiedenes Zentrum. stattfinden. ist folglich /7-Gruppe und besizt ein von der Einheit Zur Ausfiihrung von == _-. ist es notwendig, dass bei einem gewissen Automorphismus alle Elemente in irgendeiner Potenz entsprechen. Das Zentrum, das die charakteristische Untergruppe ist, muss folglich mit der ganzen zusammenfallen. Somit muss die gesuchte die Abelsche /7-Gruppe mit Elementen gleicher Ordnungen sein, d. h. die Abelsche elementare Gruppe, fur welche die Gleichung u* = ii tatsachlich gilt. Kapitel III Ordnung der Automorphismengruppe der auflosbaren Gruppe 11. JQ sei eine gewisse charakteristische Untergruppe In U Gruppe der Automorphismen sei so eine Untergruppe & {T} bestimmt, dass fur beliebiges Element Hefe gilt: T(H) = H, d. h. jedes T erzeugt in ) einen identischen Automorphismus. % ist ein Normalteiler von U. Betrachten wir и~ г Ти($). U erzeugt einen gewissen Automorphismus in «: U($$) = = < >' dann:

10 d. h. Ober die Ordnung der Automorphismengruppe einer endlichen Gruppe 895 и- г Т1!г%. ^ ist isomorph mit einer gewissen Untergruppe der Automorphismengruppe n=s+f/ 2 s + f/ 8 a;+... derby. Alle Elemente aus einem Komplex U/S, erzeugen ein und denselben Automorphismus in $r>. Die Elemente der verschiedenen Komplexe erzeugen verschiedene Automorphismen in «: In % bestimmen wir die Untergruppe und zwar solch eine, dass alle ihre Autoes morphismen einen identischen Automorphismtis in Gruppe -^ erzeugen. Analog zum Vorhergehenden wird bewiesen, dass Normalteiler von % ist, wobei ~ isomorph ist mit einer gewissen Untergruppe der Automorphismengruppe der Gruppe = Gehen wir zur Untersuchung der Gruppe iiber, S sei ein beliebiges Element aus, G und H aus <fj. Mit ( {C} bezeichnen wir das Zentrum der Gruppe $>. Da S[e@, so S{G) = GH\ wo H'e$. Da aber Se%, so Aber: Folglich und S(GHG~ 1 ) = GHG- 1. S(GHG-i) = S{G)S(H)S(Q-*) = GH'HH'~KJ-^. GHG-^^GH'HH'-Ю- 1 HH' = H'H, d. h. H r ist vertauschbar mit jedem Element aus fe, und darum //'e(. ist der Normalteiler der Gruppe 35, bestimmt hinsichtlich einer beliebigen Quasi-Kompositionsreihe, die $r> enthalt. %i ist irgendeine "Untergruppe aus der gegebenen Quasi-Kompositionsreihe. Ist?(<<=, so 5 (SI/) = 31/. Ist 9I/9t«!p, so ist laut Definition der Quasi-Kompositionsreihe?(/3. Dann: si/= +4 2) + 4 3) +..., 5 (3Q - 5 ( ) + 5 (Af) S ( ) -f 5 (Л(3)) S ( )+... = b) ist der Normalteiler von SS: nf)= (l!]')-"([f]'h- Man bestimme eine Reihe von Untergruppen von, die den Normalteiler von 25 darstellen: t ist der Durchschnitt von und SSj, 2 * s * der Durchschnitt von und 25 2 usw. 7*

11 896 Eugen Ljapin Die Bestimmung von s Ordnung der wird analog zur Bestimmung der Ordnung der 2$ gefuhrt: m_ x x x s i + l i = l wo -^- gleich der Ordnung der Klasse eines beliebigen Elementes G aus (2l i41 Ш ) ist. Aber laut der eben bewiesenen Beschaffenheit von sind alle Elemente der angegebenen Klasse in G(S enfchalten. Ihre Anzahl, d. h. die Ordnung dieser Klasse, ist ein Teiier von с der Ordnung von (. Denn, wenn S X (G) = G^ und S 2 (G) = GC 2, so Si^Wi GCiC^, folglich bilden die Elemente C t eine Untergruppe von, und ihre Anzahl ist ein Teiier von c. Wenn aber i<^k, wo k folgendermassen bestimmt wird: 2tfc = «&, so ist die Ordnung der Klasse laut Definition =>@з gleich der Einheit. Somit: l Ic, wenn / ^ k, Folglich s\c l ~ k, wo / = яг k-\-\ ist. Man bezeichne mit Symbol и(@) die Ordnung der Automorphismengruppe der Gruppe. Im vorhergehenden Paragraphen wurde bewiesen, dass * >/«($) and >( ), da aber и(@) = -J- -S, SO erhalten wir den Satz. Ist ше charakteristische Utitzrgruppe der so. И( )/«( ) «( j. C '-i, te/o с rffe Ordnung des Zentrums dzr {Q ist und I die Anzahl solcher Untergruppen in irgendeiner, $ enthaltenden Quasi-Kompositionsreiie ist, dass jede von diesen Untergruppen enthalt. 13. Die im vorhergehenden Paragraphen sich auf и(щ beziehende Formel kann besonders gut angewandt werden bei der Untersuchung der Ordnungen der Automorphismengruppen der auflosbaren Gruppen. auflosbar sein und eine charakteristische Reihe haben: #i = l> 2 > #a> Ф я =. Die Gruppen der Reihe haben Zentren der Ordnungen: 1, c 0, c s,..., c n. Die Reihe der Primfaktorgruppen dieser Reihe -Pl = A j >p 2 > Фз > >Vn besbht aus elementaren Abelschen Gruppen der Ordnungen: 1, р *, ръ,..., /A. Die Ordnung der Automorphismengruppe der elementaren Abelschen Gruppe 4$. der Reihe ist bekanntlich gleich:»(**) = ^ 1)(Р?-Л)(Р? P?)...(P?«p?*- 1 ).

12 Ober die Ordnung der Automorphismengrippe einer endlichen Gruppe 897 Wenden wir die Formel des vorhergehenden Paragraphen vorerst fur in bezug auf A\ г an; wir erhalten: «( )/«(&,-,) «) #-,. Wenden wir nun dieselbe Formel fur!q n x hinsichtlich _ 2 an, usw. Das endgiiltige Ergebnis ist: Satz. и(щ Ordnung der Automorphismengruppe der aufldsbaren Gruppe ist ein Teiler der Zahl #*( ), wo и»( ) = n =П«($*) k=2 %-v Setzen wir hier den Wert u\9js k ) ein, so erhalten wir: «*( ) = 1И*_ k=2 Pfc-1 1 I=0 oder, um das Symbol von Frobenius anzuwenden: u* ( ) = n = 11*. & = 2 Pfc (Pk " A 2 -i) 6 *). 14. Alle in betreff der Gruppe der Automorphismen It bisher gemachten Betrach_ tungen konnen durcbgeftihrt werden und ergeben Formeln, welche, bei Betrachtung beliebiger von den Untergruppen von Ц, analog den bereits erhaltenen sind. Im besondern erhalt man eine ganze Reihe von Beschaffenheiten der Gruppen durch Anwendung der Formeln dieses Kapitels jjbeziiglich] der» Gruppen des innern Automorphismus. Statt der charakteristischen Untergruppen genugt nun die Betrachtung des Normalteilers. Somit benutzen wir die vorhergehenden Formeln, indem wir Ц als Gruppe der innern Automorphismen und S$ als Normalteiler von betrachten. I. Bekannt ist der Satz, dass die Gruppe der innern Automorphismen isomorph ist mit der Faktorgruppe von nach ihr Zentrum. Folglich u= 8 -. Sei die auf 16sbare. Gruppe, dann: glc-u*( ). II. Sind die Indexe der Hauptreihe der die Primzahlen p {, p 2,..., p m und die Ordnungen der Zentren der Gruppen, die diese Reihe bilden: c it c 2,..., c m, so gilt folgende Bedingung: siiiipk-vck. III. Wenden wir Formel 12 fur auf ihre Kommutatorgruppe Й an. Die Faktorgruppe zur letztern ist bekanntlich die Abelsche Gruppe und besitzt folglich die Gruppe der innern Automorphismen, die gleich 1 ist: и(~) = 1. Darum erhalt die Formel 12 folgendes Aussehen: g Й(Й)-С«"*( ),

13 898 Eugen Ljapin wo с (Й) die Ordnung des Zentrums von Й bedeutet. Sei Я eine auflosbare Gruppe, dann: glu*(st)-c n - k (St)-c{ ). 15. IV. Satz. Moge den auflosbaren Normalteiler {Q haben, dessen Ordnung durch p* teilbar ist; moge die Й die Kommutatorgruppe von ф enthaltende Hauptreihe von «) sein: ^ = 1, St 2,..., % = St, Sl* +l,..., 8L =, mogen die Primfaktorgruppen der Hauptreihe sein: c x =i, ц,,... c A, o A+1,...,, 50 Aatf, wenn p und alle 6( 1 / )(7=1, 2,..., k) teilerfremd sind, den Normalteller der Ordnung />*' (wo a'^a). В ewe is. Man betrachte die charakteristische Reihe fon : mit den Indexen: ф х = 1, ф 2, «p 3,..., <p, 1, ф ф,?j! r, P X S??'.$> -- Betrachten wir die Gruppe 3ft, von der Ordnung m q^q*g>... #^7?, solch eine, dass Die Ordnung der Gruppe der innern Automorphismen von 3ft ist, laut 14, III, Teiler der u(w)*c s ffi). Zu bemerken ist, dass Ш! die Kommutatorgruppe von 3ft in Q r Ш enthalten ist, da =- die zyklische Gruppe ist. Darum ist laut den Formeln 13: с*(г)- И (грш < >;.), i wo k' eine aus den Teilern von der Ordnung der Я' zusammengesetzte Zahl ist. Folglich k f und p teilerfremd sind. Laut Voraussetzung des Satzes sind 6 (&.) die Teiler von 6 ( V) und p teilerfremd. Laut 14,1 ist die Ordnung des Zentrums von 3ft durch p teilbar, d. h. 3ft hat den Normalteiler Щ х der Ordnung p. Da aber p und teilerfremd sind, so ist Щ х eine charakteristische Untergruppe von 3ft. JDa ~~ eine Abelsche Gruppe ist, so ist 3ft ein Normalteiler von «!p r+1. Folglich ist Щ г ein Normalteiler von ф г+1. Bei der Betrachtung von - kommen wir zu der Folgerung, dass sie gleichfalls den Normalteiler der Ordnung p hat, uad uberzeugen uns endlich, dass tq r+1 den Normalteiler $p der Ordnung p a * hat, welcher ihre charakteristische Gruppe darstellt, da seine Ordnung und seine Indexe teilerfremd sind. Es ist auch zu ersehen, dass 9$ die charakteristische Untergruppe von ф und folglich der Normalteiler ist. Indem wir bei der Ordnung der Gruppen die Induktion anwenden, gelangen wir zur Behauptung, das ~r den Normalleiler der Ordnung p*"(wo a"^a a x ) besitzt und

14 Ober die Ordnung der Automorphismengruppe einer endlichen Gruppe 899 folglich den Norrnalteiler der Ordnung p* r enthalt (wo a! = & x -\-o! f ^ a x -f- ~\-a a x = a). ' V. Folgerung. Wenn die auflosbare Gruppe der Ordnung g=p*pl l n p%... P* n die Kommutatorgruppe der Ordnung рщ 1 р} 2 *... /A 1 hat und руф1 (mod /?) bei alien i und Y/^P/» so besitzt den Norrnalteiler der Ordnung p y. Diese Folgerung ergibt sich aus dem Satz, laut Voraussetzung < =J@. Kapitel 1Щ Ordnung der Automorphismengruppe beliebiger Gruppe, 16. Gehen wir jetzt zur Untersuchung der Ordnung der Automorphismengruppe beliebiger endlicher Gruppe uber. $р х, ^5 2, $)3 3,..., 9j$ r sei solch eine Gesamtheit fhrer Sylowgruppe, dass ihr kleinstes 'gemeinschaftliches Vielfaches die Gruppe selbstist: m, %,щ,...,*,}=. Moge g=p*ip* i 2 p'... py sein, dann kann die obenerwahnte Gesamtheit der Sylowschen Untergruppen auf folgende Weise definiert werden: 5p 1 beliebige von den Untergruppen der Ordnung /?* 1, $)3 2 beliebige von den Untergruppen der Ordnung /?* 2, usw. Dann hat das kleinste gemeinschaitliche Vielfache dieser Gruppen eine Ordnung, die sich «durch /?**, pj* f /?* 3,..., p*n teilen lasst, d. h. es ist der Gruppe selbst gleich. In Zukunft werden wir uns nicht auf eine besondere Auswahl der Gesamtheit der ^ beschranken. Wenden wir die Betrachtungen von!3 an, indem wir die Hauptfolgen auf folgende Weise bestimmen: Ш 2 : alle Elemente von ^1? Ш г 2: und alle Elemente von ^, Ш 3 : alle Elemente von ^, s^2, 9Л:,.: alle Elemente von ^, ф 2,..., ^/_ 1, W.: $ und alle Elemente von ^\, S } 2,..., ^_ 15 ШГ: ^ und alle Elemente von %> г, Щ 2,..., Sj3 r-1, ай г+1 : alle Elemente von ф 1? S } 2,..., ^r_ 15 %> r. Entsprechend wird die Reihe der Untergruppen von И bestimmt: «!=«, iv v u 2, u;,..., IT,, it;.,..., n;, u r+1 =i. Die Ordnung von Ц wird durch die Ordnungen dieser Untergruppen bestimmt: 17. Man untersuche i-.

15 900 Eugen Ljapin Цу +1 1st der Normalteiler von Щ'. U, + 1 wird aus Ц' durch die Eigenschaft bestimmt, dass es nicht nur, wie 11' die Gruppe -5)3., sondern auch alle ihre Elemente in sich selbst iiberfuhrt. Moge /'ell'einen Automorphismus in 9fi. erzeugen: /'. ($)}.) = $p'; Л +1 ist ein gewisses Element aus U- +1. Dann ist: U^UJ^I/J (Щ = u'~'u J+1 (Щ=t/p ($;)=$p y. lt-^- 1st isomorph mit einer gewissen Untergruppe der Automorphismengruppe der $($.. Eben dies ist die Gruppe der in 11. zulassigen Automorphismen von %$,. u\ Somit 1st J der Teller der Ordnung der Automorphismengruppe von ф.: irv»fltyu J f+v 18. Satz. Die Ordnung der Automorphismengruppe 1st der Teller des Produkts der Ordnung der Gruppe der Innern Automorphismen und der Ordnungen der Automorphismengruppen von Sylow-Gruppen und zwar solcher, dass Ihr kleinstes gemelnschaftllches Vlelfaches die Gruppe selbst 1st. В ewe is. Man bezeichne mit % die Gruppe der innern Automorphismen von * Ihre Ordnung ist t=z, wo с die Ordnung des Zentrums der ist. Man betrachte die Gruppe 11^=. Laut dem Satz von Dyck erhalt man U aus U durch Beifuhrung der Relationen 7^=1 (/=1, 2, 3,...), wo-7} alle Elemente von & sind. 11 und Ц sind meroedrisch isomorph. Die den gegebenen Elementen und Gruppen aus Ц entsprechenden Elemente der Gruppe il sind mit denselben Buchstaben zu bezeichnen, jedoch mit Hinzufugung eines Striches:?!с/з31, AQDA, u = -~, USW. Man beweise: Щ ist Untergruppe von It/, welche definiert wird durch die Eigenschaft, dass alle Elemente aus W. die Gruppe ^ behalten. Mit anderen Worten: XX'. ist [der Durchschnitt von Hi und 9Z/, wo 91/ die Gruppe der ^ behaltenden Automorphismen ist. Entsprechend Щ ist der Durchschnitt von 11/ und 9t/. Aber ist. Alle U. kann man als in enthalten betrachten, tatsachlich konnen wir als Uj ein beliebiges Element aus dem Komplex UjSli ansehen, der letztere ist die Gesamtheit solcher Automorphismen, bei denen ф/ der Gruppe 9j$'. zugeordnet ist, da aber $P/ und Щ die zur selben Primzahl gehorigen Sylowgruppen sind, so sind sie durch einen gewissen innern Automorphismus T miteinander konjugiert. Eben dieser Automorphismus T lasst sich als U. ansehen. Somit sind alle i/ ;.s, daraus folgt aber, dass U*=\ (/=1,2,3,...), folglich П ==! *,

16 Ober die Ordnung der Automorphismengruppe einer endlichen Gruppe 901 und U'i der Durchschnitt von j)^ =tl undlt/ ist augenscheinlich gleich U ; selbst. Somit sind П/ U* und и) = И/. Die Bestimmung vonder Ordnungder It ist analog zur Bestimmung der Ordnung der И: Bewiesen ist, dass.--=f'=l. Jetzfc heisst es den Beweis erbringen, dass i ein Teller von - ist. Die Ordnung des Durchschnitts von tl' und % sei d x, die Ordnung des Durchschnitts von U, +1 und % sei rf 2, dann ist rf 2 augenscheinlich Teiler von d t. Aber Uj = Ujd v Uj+i^Uj+id^ und folglich ist U j U: Cll eine ganze Zahl. Ihrerseits sind'tt und и durch die einfache Gleichung U=^U't=~- U verbunden, und wit erhalten die die Ordnung der Gruppe der Automorphismen von mit den Ordnungen der Gruppen der Automorphismen ihrer Sylowuntergruppen verbindende Form el: */f lb(^y). / / = Die in der Formel des vorhergehenden Paragraphen enthaltenen Ordnungen der Automorphismengruppen der Sylowgruppen als auflosbare Gruppen, sind von uns schon im vorigen Kapitel untersucht worden, darum: Satz. Ist $$!, $P 2» > ^Pr so t c h e ' me Gesamthelt der Sylowgruppen der dass ihr kleinstes gemeinschaftliches Vlelfaches gleich ist, wobei $)3/ (7=1, 2, 3,..., r) eine charakteristische Reihe mit Primfaktorgruppen $P/,i, ^/,2,., 5JJ/, щ hat, welche die Ordnungen /?&,* = 1, /?^% pf>\...,/?f haben, wahrend die diese charakteristische Reihe von ^t bildenden Gruppen Zentren mit Ordnungen l=c t l, Ci, 2, ici,ni haben, und die Ordnung des Zentrums von gleich с ist, so ist die Ordnung der Automorphismengruppe ein Teiler der Zahl u* ( ), wo «( )==7iin^_['i[i(p?"*-^ /= 1 = 2 / = 0 oder, urn das Symbol von Frobenius zu gebrauchen: u*( )=fnn>b'l 1 /> 2 e (*i.»). г щ fo,fc<ft,fc 1) I 20. Die letzte Formel fur die Ordnung der Gruppe der Automorphismen lasst auf eine Reihe von Eigenschaften der Struktur der verschiedenen Gruppen schliessen. F.?{ sei irgendeine Untergruppe von.

17 902 Eugen Ljapin 23 sei die Gesamtheit aller mit jedem Element aus 2( vertauschbaren Elementen 33 ist eine Untergruppe $1 ist der Normalisator der Untergruppe ist der Normalteiler von 91. ^g ist isomorph mit einer gewissen Untergruppe der Automorphismengruppe von 21 d. h. j ist der Teiler von я (21), und folglich и* (21). K ^- = p ist die Anzahl der mit 1 konjugierten Gruppen. n b ' folglich:,, * АТГЛ ь gj p-b-u* (Щ. II. 31 sei der Normalteiler Dann ist 91 = und S3 ist gleichfalls der Normalteiler Also zieht die Existenz in eines Normalteilers der Ordnung a die Existenz eines Normalteilers der Ordnung b nach sich, wo fur b die folgende Bedingung gilt: 8\Ъи*(Щ. Die Gruppen 91 und 25 konnen nur in dem Fall gleich sein, wenn 91 eine Abelsche <jruppe ist. III. Man betrachte nun die den einzigen Normalteiler 91 enthaltende Dann findet einer von folgenden Fallen statt: 1)» =, 2) 23 = 21, 3) 23=1. 1) 23 =, d. h. alle Elemente von, sind vertauschbar mit den Elementen von 91, d. h. 21c ein Zentrum der Gruppe, und da 21 der einzige Normalteiler ist, so hat das Zentrum, dessen Ordnung eine Primzahl ist, und -щ ist eine einfache Gruppe. 2) 23 = 21, d. h. alle Elemente von 2t sind untereinander vertauschbar und 91 ist eine Abelsche Gruppe. 91 darf jedoch keine charakteristischen Untergruppen haben, da letztere Normalteiler von waren, darum ist 21 eine elementare Abelsche Gruppe, ihre Ordnung ist p m. b = a und laut II: jedoch и (21) = (p m 1) (p m p)... (pto pm-i), folglich: g/p m (P m V(P m P) (pv p"- 1 )' 3) 23=1. b=\ und laut II haben win W*(2t). IV. Nun gewinnt die Formel HI, 14 glu*( )-c m -*{ft)-c( ) ein doppeltes Interesse. (^ ist nun eine beliebige Gruppe.) Im besondern folgt aus dieser Formel, dass jede Primzahl, die Teiler der Ordnung der Gruppe ist, entweder zur Ordnung des Zentrums der Gruppe, oder zur Ordnung des Zentrums ihrer Kommutalorgruppe Й, oder endlich zu #*(!?) gehorig ist. Der Autor driickt dem hochverehrten Prof. Tartakowski seinen aufrichtigen Dank aus fiir seine ausserst wertvouen Hinweise und seine liebenswiirdigen Bemiihungen, die vorliegende Arbeit durchgesehen zu haben. (Поступило в редакцию 17/II 1936 г.)

18 О порядке группы автоморфизмов конечной группы 903 О порядке группы автоморфизмов конечной группы * Евгений Ляпин (Ленинград) (Резюме) Основной задачей настоящей работы является исследование порядка группы автоморфизмов конечной группы в зависимости от порядка последней. Попутно получен ряд свойств самой группы. В доказательствах основных теорем мы существенно будем пользоваться понятием квази-композиционного ряда. Квази-композиционным рядом группы будем называть такой ряд ее подгрупп 3^=1, 2t 2,...., & т I m что группа предшествующая является старшим делителем последующей, т. е., если для подгрупп : 3(/, 35, 31/ +1 имеет место соотношение то либо ЭЭ == 81ь либо» = Щ /+1. Будем называть комплексы вида 31/ +1 31/ разностями данного квази-композиционного ряда. Теорема. Если взять из каждой разности квази-композиционного ряда по одному произвольному элементу, то полученная совокупность будет совокупностью производящих элементов группы. Если порядки групп, входящих в данный квази-композиционный ряд, суть а г \, а 2,..., а т _ х, a m = g, то и -порядок Ц группы автоморфизмов может быть оценен следующим образом: и< (ff 1) (g aj... (g а т _ г ). Знак равенства имеет место только для элементарных абелевых групп. Пусть «!р некоторая характеристическая подгруппа. Рассмотрим % такую подгруппу XI, что все элементы ее производят тождественный автоморфизм в (Q. % нормальный делитель U и ~- изоморфна некоторой подгруппе группы автоморфизмов. В % определим подгруппу такую, что все ее автоморфизмы производят тождественный автоморфизм в группе -g-. является нормальным делителем %, и -g изоморфна с некоторой подгруппой группы автоморфизмов группы -Й-. Можно доказать, что порядок есть делитель некоторой степени порядка центра группы, и, пользуясь символами #( ), U({Q) И иу-р-~), означающими порядки групп автоморфизмов групп, Й Г, получаем следующий результат: Теорема. Если некоторая характеристическая подгруппа имеющая центр порядка с, то и( )/и(ф)-«(! ) -с'-к

19 904 Евгений Ляпин где I число таких подгрупп в каком-нибудь квази-композиционном ряду, содержащем S&, что каждая из них содержит «fj. Из этой теоремы непосредственно следует, что если разрешимая группа, имеющая характеристический ряд с индексами р^у р^\..., р^> и порядками центров входящих в него подгрупп с г = 1, с 2, с г,..., с п, то справедлива Теорема. Порядок группы автоморфизмов разрешимой группы есть делитель числа и* ( ), где «*( ) = П^1 П (/*-/*> k=2 i = 0 Вышеприведенная формула может быть использована для изучения порядка группы автоморфизмов любой группы благодаря следующей теореме: Теорема. Порядок группы автоморфизмов есть делитель произведения порядка группы внутренних автоморфизмов и порядков групп автоморфизмов подгрупп Силова таких, что их наименьшее кратное есть сама группа. В качестве вышеуказанных подгрупп Силова целесообразно взять по одной группе порядка /?**, р*\ р,... и т. д., где /?*< р** p*g... есть порядок самой группы. Из этой теоремы, используя результат для разрешимых групп, непосредственно получаем: Теорема. Если 9j$ lt $)3 2,..., ф г есть такая совокупность подгрупп Силова что их наименьшее кратное причем ^t(i=\ t 2,..., г) имеет характеристический ряд с дополнительными группами, имеющими порядки pphi l f p?i* t..., pp>"i, а группы, образующие этот характеристический ряд Щ/, имеют центры с порядками \=c ilf c i2,..., c ini и порядок равен g и ее центра с, то порядок группы автоморфизмов есть делитель числа и* ( ), где «( ) = Г Щ -fnn^ г = 1k=2 3wc -1 II {pf h --РО- / = 0 Основываясь на вышеприведенных формулах относительно порядка группы автоморфизмов группы, можно доказать ряд свойств самой группы. Важнейшие из них: 1) <?/<?. и* ( ). 2) Теорема. Пусть группа имеет разрешимый нормальный делитель $$, порядок которого делится на р*, < имеет главный ряд, содержащий свой коммутант й: ЗГ 1 = 1, 21 2,..., Я Л = Я, ЗГ 4+1,..., 31 я = ф, и имеющий дополнительные группы: ^ = 1, a,..., c ft, c ft+1,..., о,. тогда, если р взаимно просто со всеми 6 (!, ) (7= 1, 2,..., k), имеет нормальный делитель порядка р$ (где ^ а).

20 О порядке группы автоморфизмов конечной группы 905 3) Пусть 3( нормальный делитель и 33 группа элементов, перестановочных с каждым элементом из 21, тогда: a) 33 нормальный делитель, b) если 31 не абелева, 33 не совпадает с 31, c) g\b-u*. 4) Пусть имеет единственный нормальный делитель Щ, тогда имеет место одна из следующих возможностей: есть центр, порядок 21 простое число элементарная абелева группа порядка р т и gjp m (p m \){p m p)... (p m p m -i). 3. glu*. 5) /a*(ffi)-c4ft)-*(@) f где $ коммутант, с(щ порядок его центра и с( ) порядок центра.