Formelsammlung elektrische Antriebe

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1 Prof. Dr.-Ing. Carsten Fräger Formelsammlung elektrische Antriebe Formelsammlung elektrische Antriebe Gleichstrommaschine Wechselstromreihenschlussmaschine Synchronmaschine Asynchronmaschine Antriebsauslegung Kinematik Gleich- und Wechselstromtechnik Mathematik Hochschule Hannover Prof. Dr.-Ing. Carsten Fräger Version a 1 Übersicht Dieses Dokument enthält eine Sammlung von Gleichungen für elektrische Maschinen und Antriebe. Mit den Gleichungen ist eine Bearbeitung vieler praktischer Fragestellungen zur Anwendung elektrischer Antriebe möglich. Sie stellen eine Hilfe zur Lösung der schriftlichen Prüfungen im Fach elektrische Antriebe dar. Wichtiger Hinweis Diese Formelsammlung wurde mit größter Sorgfalt erstellt und geprüft. Trotzdem sind Fehler in den Gleichungen, Grafiken und Erläuterungen nicht ausgeschlossen. Eine Gewährleistung für die Richtigkeit kann nicht übernommen werden a Seite 1 von 136

2 Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis 1 Übersicht 1 2 Allgemeines zu elektrischen Maschinen und Antrieben Bezeichnungen bei elektrischen Maschinen Bemessungspunkt Wirkungsgradklassen Interpolation von Nennwirkungsgradgrenzwerten für mittlere Bemessungsleistungen bei 50 HzNetzfrequenz Gleichstrommaschine Arten von Gleichstrommaschinen Leistungszuordnung Ankerwindungszahl Berechnung des Drehmomentes aus geometrischen und magnetischen Größen Magnetischer Fluss und Erregerstrom Berechnung des Drehmoments aus Bemessungsgrößen oder anderen Betriebspunkten Berechnung der induzierten Spannung Betriebskennlinie Permanentmagnet erregte Gleichstrommaschine Betriebskennlinie fremderregte Gleichstrommaschine Betriebskennlinie Gleichstromreihenschlussmaschine Leistungen und Verluste Wirkungsgrad Drehzahlstellen Gleichstrommaschine Wechselstromreihenschlussmaschine (Universalmotor) 23 5 Synchronmaschine Arten von Synchronmaschinen Leistungszuordnung Leistungsbilanz, Blindleistungsbilanz Drehzahl bei Betrieb am starren Netz mit konstanter Frequenz Polradspannung, induzierte Spannung aus dem Rotormagnetfeld Polradspannung, induzierte Spannung aus Bemessungsdaten oder anderem Betriebspunkt Drehmoment aus dem Rotormagnetfeld und dem Statorstrom Bemessungsbetrieb am starren Netz mit Bemessungsfrequenz Einstellen der Polradspannung bei linearer, nicht gesättigter Synchronmaschine mit elektrischer Erregung bei Bemessungsfrequenz a Prof. Dr.-Ing. Carsten Fräger Hochschule Hannover Seite 2 von 136

3 Inhaltsverzeichnis 5.9 Drehzahlstellen Synchronmaschine, Betrieb am Frequenzumrichter mit variabler Frequenz oder Netz mit abweichender Frequenz Betrieb mit Strom und Polradspannung in Phase Betrieb Vollpolmaschine mit festem Winkel zwischen Polradspannung und Strom Verluste Wirkungsgrad Reaktanzen Vollpolmaschine, weitere Größen Komplexe Spannungsgleichungen Vollpol-Synchronmaschine Bezugsgröße Spannung für komplexe Gleichungen Vorgabe Statorstrom Polradspannung aus Statorspannung und Statorstrom Drehmoment, Kippmoment Vollpol-Synchronmaschine Stromortskurve Vollpol-Synchronmaschine V-Kurve Vollpol-Synchronmaschine Komplexe Spannungsgleichungen Schenkelpol-Synchronmaschine Drehmoment Schenkelpol-Synchronmaschine Stromortskuve Schenkelpol-Synchronmaschine Strangspannung Leiterspannung in Stern- und Dreieckschaltung Asynchronmaschine Arten Asynchronmaschinen Leistungszuordnung Drehzahl, synchrone Drehzahl, Polpaarzahl, Schlupf Bemessungsbetrieb am starren Netz Asynchronmotor Kennlinie bei fester Frequenz und Spannung Rotorfrequenz, Schlupf Synchrondrehzahl Schlupf, Drehzahl, Rotorfrequenz Kippschlupf, Drehmoment ohne Stromverdrängung für vernachlässigbaren Statorwiderstand Kippschlupf, Drehmoment ohne Stromverdrängung für nicht vernachlässigbaren Statorwiderstand Abhängigkeit der Drehmomente von der Spannung Strom und Drehmoment aus Bemessungsgrößen bei kleinem Schlupf Leistungen und Verlustleistungen Wirkungsgrad Drehzahlstellen Asynchronmaschine, Betrieb mit variabler Spannung und Frequenz Komplexe Spannungsgleichungen Festlegung Bezugsgrößen Stromortskurve der Asynchronmaschine Drehmoment und Leistung aus der Ortskurve a Prof. Dr.-Ing. Carsten Fräger Hochschule Hannover Seite 3 von 136

4 Inhaltsverzeichnis Parametergerade (Schlupfgerade) Zeichnen der Stromortskurve allgemein mit konstanten Ersatzschaltbildelementen aus 3 Betriebspunkten Zeichnen der Stromortskurve allgemein mit konstanten Ersatzschaltbildelementen aus Mittelpunkt und Radius Zeichnen der Stromortskurve bei vernachlässigbarem Statorwiderstand und konstanten Ersatzschaltbildelementen Strangspannung Leiterspannung in Stern- und Dreieckschaltung Einschalten elektrischer Antriebe Stern-Dreieck-Anlauf Asynchronmaschine Anlauf mit verminderter Spannung, Sanftanlaufgeräte Antriebsauslegung Berücksichtigung der Umgebungstemperatur und Aufstellungshöhe, Spannung und Frequenz Betriebsarten nach IEC Betriebsarten S2, S3, S Kurzzeitbetrieb S Ununterbrochener periodischer Aussetzbetrieb S Ununterbrochener periodischer Betrieb mit Aussetzbelastung S Ununterbrochener periodischer Betrieb mit Last- und Drehzahländerungen S8 - Effektivmoment und mittlere Drehzahl bei linearer Dauerkennlinie Ununterbrochener periodischer Betrieb mit Last- und Drehzahländerungen bei Zykluszeiten/Periodendauern T 1min, T 60s bei linearer Dauerbetriebskennlinie Ununterbrochener periodischer Betrieb mit Last- und Drehzahländerungen bei Zykluszeiten/Periodendauern T 1min, T 60s bei nichtlinearer Dauerbetriebskennlinie Ununterbrochener periodischer Betrieb mit Last- und Drehzahländerungen bei Zykluszeiten/Periodendauern T > 1min, T > 60s Kurzzeitbetrieb mit Last- und Drehzahländerungen S2 + S Schutzklassen Gleichungen der Gleich- und Wechselstromtechnik Gleichstrom Elektrischer Widerstand Ohm sches Gesetz, Gleichungen Widerstand Grundgleichung zur Berechnung von Gleichstromkreisen/ -Netzwerken Wechselstromtechnik Allgemeines Effektivwert und Gleichrichtwert bei beliebigem periodischem Zeitverlauf Effektivwert und Gleichrichtwert bei Sinusgrößen a Prof. Dr.-Ing. Carsten Fräger Hochschule Hannover Seite 4 von 136

5 Inhaltsverzeichnis Spannungsabfall, Impedanz, Reaktanz Drehstrom symmetrisches Drehstromnetz, symmetrischer Drehstromverbraucher Zeitverläufe und komplexe Spannungen und Ströme Komplexe Drehströme und -spannungen, Zeigerdarstellung Strangspannung Leiterspannung in Stern- und Dreieckschaltung Leistung im Drehstromsystem Widerstand zwischen zwei Klemmen eines Drehstromverbrauchers/ Drehstromgenerators Kinematische Grundgleichungen Kinetische Grundgleichungen für translatorische Bewegungen mit konstanter Beschleunigung Kinetische Grundgleichungen für translatorische Bewegungen mit konstanter Geschwindigkeit Kinetische Grundgleichungen für rotatorische Bewegungen mit konstanter Winkelbeschleunigung Kinetische Grundgleichungen für rotatorische Bewegungen mit konstanter Winkelgeschwindigkeit Kinetische Energie Kraft und Drehmoment Impuls und beschleunigte Masse Drehimpuls und beschleunigte Massenträgheit Berechnung von Trägheitsmomenten für Zylinder, Kugel und Quader Umrechung von Massen und Massenträgheiten auf eine Bezugswelle Einheiten und Vorsatzzeichen für Einheiten SI-Einheiten, Vorsatzzeichen Umrechnung zwischen verschiedenen Einheitensystemen Konstanten Schaltzeichen elektrischer Maschinen Grundlagen Magnetfeld Grundlegende Zusammenhänge im Magnetfeld Magnetischer Fluss und Flussverkettung Durchflutungssatz Durchflutungssatz beim unverzweigten Magnetkreis mit abschnittweise konstanten Größen Durchflutungssatz beim verzweigten Magnetkreis mit abschnittsweise konstanten Größen Magnetische Spannung, magnetischer Widerstand, magnetischer Leitwert Spannungsinduktion im Magnetfeld a Prof. Dr.-Ing. Carsten Fräger Hochschule Hannover Seite 5 von 136

6 Inhaltsverzeichnis 14.6 Selbstinduktivität Selbstinduktivität einer Spule mit ferromagnetischem Kern und Luftspalt/nicht ferromagnetischem Material Selbstinduktivität einer Spule mit Eisenkern/ ferromagnetischem Material ohne Luftspalt Selbstinduktivität einer Spule mit magnetischem Kreis Gegeninduktivität und Transformator Realer Transformator Energie des Magnetfeldes Kräfte im Magnetfeld Reluktanzkraft, Oberflächenkraft auf magnetisierbare Körper, z.b. Joch oder Anker aus Eisen oder Stahl Kraft auf stromdurchflossene Leiter im Magnetfeld, Lorentzkraft Kraft zwischen zwei stromdurchflossenen Leitern Energiewandlung mit dem Magnetfeld Mathematik Sinus, Cosinus, Tangens Additionstheoreme für Sinus und Cosinus Geometrie Dreieck Differentialgleichungen Differentialgleichungen 1. Ordnung Differentialgleichungen 2. Ordnung Lineare Differentialgleichungen höherer Ordnung Lösung linearer Differentialgleichungen höherer Ordnung Charakteristische Gleichung der Differentialgleichung Differentiationsregeln Integrationsregeln e-funktion Komplexe Zahlen Fouriertransformation / Frequenzanalyse Kontinuierliche Fouriertransformation Diskrete Fouriertransformation Taylor-Entwicklung, Linearisierung Griechische Buchstaben a Prof. Dr.-Ing. Carsten Fräger Hochschule Hannover Seite 6 von 136

7 2 ALLGEMEINES ZU ELEKTRISCHEN MASCHINEN UND ANTRIEBEN 2 Allgemeines zu elektrischen Maschinen und Antrieben Motor: wandelt elektrische Leistung in mechanische Leistung, P zu = P E P ab = P mech Generator: wandelt mechanische Leistung in elektrische Leistung, P zu = P mech P ab = P E 2.1 Bezeichnungen bei elektrischen Maschinen Maschinenteil, Bezeichnung Tabelle 1: Bezeichnungen bei elektrischen Maschinen Index in dieser Formelsammlung weitere Indexe in der Literatur Erläuterung Stator, Ständer S 1 stehender Teil der Maschine Rotor, Läufer R 2 drehender Teil der Maschine Anker a Maschinenteil, in dem die Spannung induziert wird, bei Gleichstrommaschinen der Rotor, bei Synchronmaschinen der Stator Wicklung Käfig- Käfig, wicklung Leiteranordnung, in der Regel aus isolierten zu Spulen gewickelten Drähten, bei Asynchronmaschinen auch die kurzgeschlossene Käfigwicklung des Rotors, bei Synchronmaschinen auch die kurzgeschlossene Dämpferwicklung kurzgeschlossene Leiteranordnung aus Stäben, die stirnseitig miteinander verbunden sind Bürsten bü br Schleifkontakte aus Grafit, Metall oder Mischungen zur Übertragung des Stroms vom stehenden auf einen rotierenden Maschinenteil Schleifring Metallring zur Übertragung des Stroms vom stehenden auf einen rotierenden Maschinenteil, häufig aus Messing CuZn oder bei hohen mechanischen Beanspruchungen aus Stahl Fortsetzung nächste Seite a Prof. Dr.-Ing. Carsten Fräger Hochschule Hannover Seite 7 von 136

8 2 ALLGEMEINES ZU ELEKTRISCHEN MASCHINEN UND ANTRIEBEN Fortsetzung Maschinenteil, Bezeichnung Kommutator, Stromwender Index in dieser Formelsammlung weitere Indexe in der Literatur Erläuterung Ring aus Metallstegen zur Übertragung des Stroms vom stehenden auf den rotierenden Maschinenteil, der Strom wird von Steg zu Steg kommutiert, so dass von außen gesehen der Strom im rotierenden Maschinenteil die gleiche Frequenz wie im stehenden Maschinenteil hat. Stege meist aus Kupfer Cu Leerlauf 0 Betrieb ohne Drehmoment Kurzschluss k Betrieb mit kurzgeschlossenen Wicklungsanschlüssen, bei Asynchronmaschinen auch Betrieb im Stillstand oder ideller Kurzschluss mit Schlupf s Bemessungspunkt, Bemessungsbetrieb, Nennbetrieb, Nennpunkt N Betriebspunkt unter festgelegten Randbedingungen, in der Regel auf dem Typenschild und im Katalog angegeben, eine Maschine kann mehrere Bemessungspunkte haben 2.2 Bemessungspunkt Der Bemessungspunkt ist ein Betriebspunkt unter festgelegten Randbedingungen. Index N kennzeichnet die zusammengehörenden Größen des Bemessungspunkts. Größen für den Bemessungspunkt sind z.b. Bemessungsleistung P N Bemessungsdrehzahl n N Bemessungsspannung U N Bemessungsstrom I N Bemessungsfrequenz f N Bemessungsdrehmoment M N Bemessungswirkungsgrad η N Bemessungsleistungsfaktor cosϕ N a Prof. Dr.-Ing. Carsten Fräger Hochschule Hannover Seite 8 von 136

9 2 ALLGEMEINES ZU ELEKTRISCHEN MASCHINEN UND ANTRIEBEN Achtung: Bemessungsdaten sind gerundete Werte, daraus berechnete weitere Daten haben Ungenauigkeiten Typische Randbedingungen sind Umgebungstemperatur, Kühlmitteltemperatur: ϑ u 40 C Aufstellungshöhe: h 1000 m Betriebsart, Betriebsdauer: S1 Dauerbetrieb 2.3 Wirkungsgradklassen Die Wirkungsgrade elektrischer Maschinen sind in Wirkungsgradklassen IE eingeteilt. IE 4 Super Premium IE 3 Premium IE 2 Hoch IE 1 Standard Die Wirkungsgrade für die Wirkungsgradklassen sind in der Norm IEC für verschiedene Motoren, Polpaarzahlen und Bemessungsfrequenzen angegeben. Folgende Grafik zeigt beispielhaft die Wirkungsgradverläufe. Die exakten Werte sind der Norm zu entnehmen [IEC ]. Abbildung 1: Wirkungsgrad für die Wirkungsgradklassen IE 1... IE 4 nach IEC , beispielhafter Verlauf für 4-polige Asynchronmaschinen für 50 Hz a Prof. Dr.-Ing. Carsten Fräger Hochschule Hannover Seite 9 von 136

10 2 ALLGEMEINES ZU ELEKTRISCHEN MASCHINEN UND ANTRIEBEN Interpolation von Nennwirkungsgradgrenzwerten für mittlere Bemessungsleistungen bei 50 HzNetzfrequenz Zur Bestimmung der Nennwirkungsgradgrenzwerte von Motoren bei 50 Hz Netzfrequenz und Bemessungsleistung im Bereich von 0,12 kw bis zu 200 kw kann die folgende Gleichung verwendet werden: [ ( )] 3 [ ( )] 2 ( ) PN PN PN η N = A log 10 + B log 1 kw 10 +C log 1 kw 10 + D (1) 1 kw mit A, B, C, D = Interpolationskoeffizienten (siehe Tabelle 2 und 3), P N in kw. Der sich ergebende Wirkungsgrad (%) wird mathematisch auf eine Stelle nach dem Komma gerundet, das heißt xx,x %. Tabelle 2: Interpolationskoeffizienten im Bereich von 0,12 kw bis zu 0,74 kw (IEC ) IE-Code Koeffizienten 8-polig 2p = 8, p = 4 750/min 6-polig 2p = 6, p = /min 4-polig 2p = 4, p = /min 2-polig 2p = 2, p = /min A 5, , , ,924 IE1 B 7, , ,7136 6,3699 C 40,441-8, ,947 30,0509 D 66,146 68, ,174 76,6136 A 6, , , ,4864 IE2 B 9, ,258 23,978 27,7603 C 36,852 16, , ,8091 D 70,762 79, , ,458 A -0, ,361 7,6356 6,8532 IE3 B -25,526-44,538 4,8236 6,2006 C 4,2884-3, , ,1317 D 75,831 79, , ,0392 A -4, ,0355 8,432-8,8538 IE4 B -21,453-36,9497 2, ,3352 C 2,6653-4, ,6236 8,9002 D 79,055 82, , , a Prof. Dr.-Ing. Carsten Fräger Hochschule Hannover Seite 10 von 136

11 2 ALLGEMEINES ZU ELEKTRISCHEN MASCHINEN UND ANTRIEBEN Tabelle 3: Interpolationskoeffizienten im Bereich von 0,75 kw bis zu 200 kw (IEC ) IE-Code Koeffizienten 8-polig 2p = 8, p = 4 750/min 6-polig 2p = 6, p = /min 4-polig 2p = 4, p = /min 2-polig 2p = 2, p = /min A 2,4433 0,0786 0,5234 0,5234 IE1 B -13,8-3,5838-5,0499-5,0499 C 30,656 17, , ,4180 D 65,238 72, , ,3171 A 2,1311 0,0148 0,0278 0,2972 IE2 B -12,029-2,4978-1,9247-3,3454 C 26,719 13, , ,0651 D 69,735 77, , ,077 A 0,7189 0,1252 0,0773 0,3569 IE3 B -5,1678-2,613-1,8951-3,3076 C 15,705 11,9963 9, ,6108 D 77,074 80, , ,2503 A 0,6556 0,3598 0,2412 0,34 IE4 B -4,7229-3,2107-2,3608-3,0479 C 13,977 10,7933 8,446 10,293 D 80,247 84,107 86, , a Prof. Dr.-Ing. Carsten Fräger Hochschule Hannover Seite 11 von 136

12 3 GLEICHSTROMMASCHINE 3 Gleichstrommaschine B N S M U x x I I Wicklung mit Windungszahl w a, Leiterzahl z 3.1 Arten von Gleichstrommaschinen PM-Gleichstrommaschine, Dauermagnet erregte Gleichstrommaschine Magnetfeld wird von Dauermagneten erzeugt, der Strom wird dem Rotor über Bürsten und Kommutator zugeführt. In der Regel keine Wicklungen im Stator. elektrisch erregte Gleichstrommaschine: Magnetfeld wird vom Strom in der Erregerwicklung erzeugt, der Strom wird dem Rotor über Bürsten und Kommutator zugeführt. Verschiedene Ausführungen: Fremderrgte Gleichstrommaschine: Die Erregerspannung ist unabhängig von der Ankerspannung. Nebenschluss-Gleichstrommaschine: Die Erregerspannung ist gleich der Ankerspannung; die Erregerwicklung ist parallel zur Ankerwicklung geschaltet. Reihenschluss-Gleichstrommaschine: Der Erregerstrom ist gleich dem Ankerstrom; die Erregerwicklung ist in Reihe mit der Ankerwicklung geschaltet. Maschinen mit Wendepolen: In den Pollücken befinden sich Wendepole mit Wicklungen, die in Reihe mit der Ankerwicklung geschaltet sind. Die Wendepole unterstützen die Stromwendung/Kommutierung des Ankerstroms, so dass weniger Funken auftreten und die Bürsten und der Kommutator länger halten a Prof. Dr.-Ing. Carsten Fräger Hochschule Hannover Seite 12 von 136

13 3 GLEICHSTROMMASCHINE Maschinen mit Kompensationswicklungen: Die Hauptpole haben eine zusätzliche Wicklung, die in Reihe mit der Ankerwicklung geschaltet ist. Die Kompensationswicklung wirkt der Feldverzerrung durch den Ankerstrombelag entgegen, so dass die Gleichstrommaschine durch den Ankerstrom nicht zusätzlich gesättigt wird und so das Drehmoment nahezu proportional zum Ankerstrom ist. Tabelle 4: Größen und Formelzeichen Gleichstrommaschine Formelzeichen Einheit Erklärung p 1 Polpaarzahl τ Polteilung α 1 Polbedeckungsgrad Θ A magnetische Durchflutung N m 2 σ, σ mech mechanische Schubspannung B T magnetische Flussdichte B f T Flussdichte der Magneten bzw. der Erregerpole B m T mittlere Flussdichte M Nm Drehmoment M i Nm inneres, elektromagnetisch erzeugtes Drehmoment M N Nm Bemessungsdrehmoment (früher Nennmoment) M reib Nm Reibdrehmoment M lüft Nm Lüfterdrehmoment P W Leistung P N W Bemessungsleistung (früher Nennleistung) Motor: P N = P mech Generator: P N = P a P mech W mechanische Leistung, hier Zuordnung Motor: P a > P mech > 0, Generator: P a < P mech < 0 P a W Ankerleistung Motor: P a > P mech > 0, Generator: P a < P mech < 0 P E W elektrische Leistung P Va W Ankerverluste, Ankerverlustleistung P V W Verlustleistung n 1 min, 1 s Drehzahl Fortsetzung nächste Seite a Prof. Dr.-Ing. Carsten Fräger Hochschule Hannover Seite 13 von 136

14 3 GLEICHSTROMMASCHINE Fortsetzung Formelzeichen Einheit Erklärung n N 1 min, 1 s n 0 1 min, 1 s Bemessungsdrehzahl (früher Nenndrehzahl) Leerlaufdrehzahl n 0N 1 min, 1 s Φ P Vs magnetischer Fluss je Pol U V Spannung U bü V Bürstenspannung U i V induzierte Spannung Leerlaufdrehzahl bei Bemessungsspannung U an U N, U an V Ankerbemessungsspannung U in V induzierte Spannung bei Bemessungsdrehzahl und Bemessungsfluss I A Strom I a A Ankerstrom I N, I an A Ankerbemessungsstrom c Maschinenkonstante v a m s Ankergeschwindigkeit R a Ω Ankerwiderstand η 1 Wirkungsgrad η a 1 Ankerwirkungsgrad U f, U er V Feldspannung, Erregerspannung I f, I er A Feldstrom, Erregerstrom R f, R er Ω Erregerwicklungswiderstand, Feldwicklungswiderstand P f, P er W Erregerleistung, Leistung für die Feldwicklung z z nut a w a Zahl der Ankerleiter Leiterzahl je Nut Zahl der Parallelen Zweige der Ankerwicklung wirksame Ankerwindungszahl 3.2 Leistungszuordnung P N = { P mech = 2 π M N n N P a = U N I N beim Motor beim Generator (2) a Prof. Dr.-Ing. Carsten Fräger Hochschule Hannover Seite 14 von 136

15 3 GLEICHSTROMMASCHINE 3.3 Ankerwindungszahl w a = z 2 a = N z nut 2 a mit Anzahl paralleler Zweige a = { 2 für Wellenwicklung 2p für Schleifenwicklung (3) (4) 3.4 Berechnung des Drehmomentes aus geometrischen und magnetischen Größen Reibung, Eisenverluste und Sättigung vernachlässigt c = 2 p w a π = p z π a Maschinenkonstante (5) Φ p = 2 π r l B m 2 p = 2 π r l B f α 2 p Fluss je Pol (6) M i = Φ p c I a (7) M i = K T I a mit Drehmomentfaktor K T = Φ p c (8) M = M i sgn(n) (M reib + M lüft ) (9) 3.5 Magnetischer Fluss und Erregerstrom Bei Vernachlässigung der Sättigung und bei konstanten Widerständen gilt Φ P Φ PN = I f I fn = U f U fn (10) Φ P = µ 0 δ mag b P l w f I f (11) = µ 0 2 π r l α w f I f (12) δ mag 2 p Θ = w f I f magnetische Durchflutung Erregerwicklung (13) Bei Berücksichtigung der Sättigung ist der magnetische Fluss eine nichtlineare Funktion des Erregerstroms und des Ankerstroms. I f = U f R f Erregerstrom (14) R f ist temperaturabhängig a Prof. Dr.-Ing. Carsten Fräger Hochschule Hannover Seite 15 von 136

16 3 GLEICHSTROMMASCHINE 3.6 Berechnung des Drehmoments aus Bemessungsgrößen oder anderen Betriebspunkten M N = P N 2 π n N Bemessungsdrehmoment bei Motoren (15) Drehmoment und Ankerstrom sind bei vernachlässigbarer Sättigung, Reibung, Lüfterdrehmoment zueinander proportional: M 1 M 2 = I a1 I a2 Φ P1 Φ P2 (16) Bei Sättigung muss die Abhängigkeit Φ P1 (I a ) berücksichtigt werden. Drehmoment aus Bemessungsdaten bei vernachlässigbarer Sättigung, Reibung, Lüfterdrehmoment: M M N = I a I an bei Φ P = Φ PN (17) M = K T I a mit Drehmomentfaktor K T = M N I an (18) M M N = I a I an Φ P Φ PN bei veränderlichem magnetischen Fluss (19) 3.7 Berechnung der induzierten Spannung Die induzierte Spannung ergibt sich aus der Maschengleichung für den Ankerstromkreis. Bei U a > 0 gilt: { bei Motorbetrieb, I a > 0, U bü > 0 U i = U a R a I a 2 U bü sgn(i a ) (20) bei Generatorbetrieb, I a < 0, U bü > 0 Berechnung mit Betrag des Ankerstroms: { U a R a I a 2 U bü bei Motorbetrieb U i = U a + R a I a + 2 U bü bei Generatorbetrieb (21) U in = U an R a I N 2U bü im Bemessungsbetrieb Motor (22) Induzierte Spannung aus Rotordrehung, Ankerdrehung: U i = 2 w a v a l B m induzierte Spannung (23) = 2 w a 2 π r n l B m (24) = 2 w a 2 π r n l α B f (25) a Prof. Dr.-Ing. Carsten Fräger Hochschule Hannover Seite 16 von 136

17 3 GLEICHSTROMMASCHINE v a = 2 π r n Geschwindigkeit der Ankeroberfläche (26) Induzierte Spannung aus Fluss und Maschinenkonstante: U i = 2 π n Φ P c (27) U i = 2 π K T n mit Drehmomentfaktor K T = Φ P c (28) U i = K E n mit Spannungsfaktor K E = 2 π Φ P c = 2 π K T (29) Die induzierte Spannung ist proportional zur Drehzahl: U i1 U i2 = n 1 n 2 wenn Φ P1 = Φ P2 (30) U i1 U i2 = n 1 n 2 Φ P1 Φ P2 bei veränderlichem magnetischen Fluss (31) U i1 U i2 = n 1 n 2 I f1 I f2 bei veränderlichem Erregerstrom ohne Sättigung (32) U i1 = n 1 U f1 U i2 n 2 U f2 bei veränderlicher Erregerspannung ohne Sättigung, konstantem Widerstand (33) Berechnung aus Bemessungsgrößen: U i U i = = n wenn Φ P = Φ PN (34) U in U an R a I an n N U i U i = = n Φ P bei veränderlichem magnetischen Fluss (35) U in U an R a I an n N Φ PN U i U N = n n 0 Φ P Φ PN bei veränderlichem magnetischen Fluss (36) U i U N = n n 0 I f I fn bei veränderlichem Erregerstrom ohne Sättigung (37) Gesamte Ankerspannung: U a = U i + R a I a + 2U bü (38) a Prof. Dr.-Ing. Carsten Fräger Hochschule Hannover Seite 17 von 136

18 3 GLEICHSTROMMASCHINE 3.8 Betriebskennlinie Permanentmagnet erregte Gleichstrommaschine Angabe der Gleichungen für Motor: P mech > 0 Generator: P mech < 0 Reibung, Sättigung, Bürstenspannung näherungsweise aus dem Bemessungspunkt in den Proportionalitäten berücksichtigt I a = M i c Φ Ankerstrom (39) n = n 0N (n 0N n N ) M M N Drehzahl, wenn Φ P = Φ PN, U a = U an (40) n = n 0N Φ PN Φ P (n 0N n N ) ( ΦPN Φ P ) 2 M M N bei veränderlichem magnetischen Fluss durch Temperatur oder Ähnliches (41) n 0N = U an U in n N = Leerlaufdrehzahl bei Bemessungsspannung und vernachlässigbarer U an n N U an R a I N Bürstenspannung (42) U an n 0N = U an R a I an 2U bü Leerlaufdrehzahl mit Berücksichtigung der Bürstenspannung (43) 3.9 Betriebskennlinie fremderregte Gleichstrommaschine Angabe der Gleichungen für Motor: P mech > 0 Generator: P mech < 0 Reibung, Sättigung, Bürstenspannung näherungsweise aus dem Bemessungspunkt in den Proportionalitäten berücksichtigt I a = M i c Φ Ankerstrom (44) n = n 0N (n 0N n N ) M M N Drehzahl, wenn Φ P = Φ PN, U a = U an (45) a Prof. Dr.-Ing. Carsten Fräger Hochschule Hannover Seite 18 von 136

19 3 GLEICHSTROMMASCHINE n = n 0N Φ PN Φ P (n 0N n N ) ( ΦPN Φ P ) 2 M M N bei veränderlichem magnetischen Fluss, z.b. durch Erregerstrom (46) Φ P Φ PN = I f I fn (47) n 0N = U an U an n N = n N Leerlaufdrehzahl bei Bemessungsspannung (48) U in U an R a I N 3.10 Betriebskennlinie Gleichstromreihenschlussmaschine R a, U i U bü R f Angabe der Gleichungen für Motor: P mech > 0 Reibung, Sättigung, Bürstenspannung näherungsweise aus dem Bemessungspunkt in den Berechnungen aus dem Bemessungspunkt berücksichtigt I = I a = I f Reihenschaltung Anker- und Feldwicklung (49) Φ P = µ 0 δ mag b P l w f I (50) = µ 0 2 π r l α w f I (51) δ mag 2 p c = 2 p w a π = p z π a Maschinenkonstante (52) M i = Φ p c I (53) U i = 2 π n Φ P c (54) U = U i + RI + 2U bü mit Gesamtwiderstand R = R a + R f (55) a Prof. Dr.-Ing. Carsten Fräger Hochschule Hannover Seite 19 von 136

20 3 GLEICHSTROMMASCHINE M i = µ 0 r l α w f z I 2 (56) δ mag a M i = K r I 2 (57) mit K r = µ 0 r l α w f z δ mag a (58) I = Mi K r (59) U i = 2 π n µ 0 r l α w f z I (60) δ mag a U i = K i I n = 2π K r I n (61) K i = 2π K r (62) n = 1 ( U 2Ubü R ) 2π Kr M i K r Leerlaufdrehzahl aus Reibdrehmoment: n 0 = 1 ( U 2Ubü R ) 2π Kr M reib K r Anlaufstrom und -drehmoment: (63) (64) M anli = K r ( U 2Ubü R ) 2 (65) I anl = U 2U bü R Aus Bemessungsdaten: (66) M M N = ( I I N n = 1 2π MN ) 2 (67) I N = 1 I N 2π MN U M U M U NI 2 N 2πI anl M N (68) U N I N 2π M anl M N (69) Hinweis: Reale Maschinen sind deutlich gesättigt, besonders beim Anlauf mit hohen Strömen a Prof. Dr.-Ing. Carsten Fräger Hochschule Hannover Seite 20 von 136

21 3 GLEICHSTROMMASCHINE 3.11 Leistungen und Verluste Angabe der Gleichungen für Verbraucherzählpfeilsystem: Motor: P a > P mech > 0 Generator: P a < P mech < 0 P a = U a I a Ankerleistung (70) P Va = R a Ia 2 Ankerverluste (71) P Vbü = 2 U bü I a Bürstenübergangsverluste (72) P reib = 2 π n M reib Reibungsverluste (73) P lüft = 2 π n M lüft, M lüft n 2, P lüft n 3 Lüftungsverluste (74) P V = P E P mech = U a I a +U f I f P mech Gesamtverluste (75) P mechi = U i I a innere, mechanisch Leistung (76) P mech = P mechi P reib P lüft Leistung mechanisch (77) P a = U a I a Ankerleistung elektrisch (78) P f = U f I f Erregerleistung elektrisch (79) P E = P a + P f = U a I a +U f I f Gesamtleistung elektrisch (80) P V = P Va + P f + P Vbü = R a Ia 2 +U f I f + P reib + P lüft Gesamtverluste (81) 3.12 Wirkungsgrad η amot = U i U a Ankerwirkungsgrad motorisch, Hinweis : U a > U i (82) = U a R a I a U a = n n 0 (83) η mot = P mech P E η agen = U a U i = P mech = P mech Gesamtwirkungsgrad motorisch (84) P a + P f P mech + P V Ankerwirkungsgrad generatorisch, Hinweis : U a < U i (85) η gen = P E = P a P f = P E Gesamtwirkungsgrad generatorisch (86) P mech P mech P E + P V a Prof. Dr.-Ing. Carsten Fräger Hochschule Hannover Seite 21 von 136

22 3 GLEICHSTROMMASCHINE Bürstenwerkstoff Tabelle 5: Spannungen von Kohlebürsten, Graphitbürsten Bürstenspannung U bü in V für einen Übergang Hartkohle hochohmig 1, 5...2, 5 normal 0,5...1,2 Graphit hochohmig 2, 0...3, 0 normal 1,0...1,6 niedrigohmig 0, 7...1, 0 Elektrographit hochohmig 1, 0...2, 0 normal 0,8...1,5 niedrigohmig 0, 8...1, 5 Kupfergraphit normal 0, 9...1, 5 niedrigohmig 0, 2...0, 5 Silbergraphit 0, 1...0, 5 Edelmetall 0, , 1 Quelle: Müller, Vogt, Ponick: Berechnung elektrischer Maschinen. Wiley- VCH (2008) 3.13 Drehzahlstellen Gleichstrommaschine Variation der Drehzahl durch Verstellen der Ankerspannung U a bei vollem magnetischem Fluss Φ P = Φ PN : U a = R a I a + n U in + 2 U bü n N (87) U a = R a I a + 2πnΦ P c + 2 U bü (88) mit I a = M M N I an oder I a = M i Φ P c Variation der Drehzal durch Verstellen des magnetischen Flusses Φ P bei gegebener Ankerspannung U a : ( Φ P = U ) 2 a Ua Φ PN 2U i + 2U i R ai a U i (90) mit U i = n U in oder U i n = 2 π n Φ PN c (91) N I a = M M N I an oder I a = M Φ PN c (89) (92) a Prof. Dr.-Ing. Carsten Fräger Hochschule Hannover Seite 22 von 136

23 4 WECHSELSTROMREIHENSCHLUSSMASCHINE (UNIVERSALMOTOR) 4 Wechselstromreihenschlussmaschine (Universalmotor) Charakteristische Merkmale Aufbau wie Gleichstromreihenschlussmotor Hier kleine Leistungen, zum Betrieb am Wechselstromnetz für tragbare Elektrogeräte wie Bohrmaschinen, Winkelabschleifer, Handmixer etc. Die Motoren werden ausschließlich zweipolig ausgeführt Die Ankerwicklung (armature winding) wird vorzugsweise zwischen die beiden Spulen der Erregerwicklung (excitation winding) geschaltet, um die Funkstörung (radio interference) zu vermindern. Trotzdem sind zusätzlich Funkentstörelemente vorzusehen Die Ständer werden ohne Wendepol- (commutating winding) und Kompensationswicklungen (compensating winding) ausgeführt Mit wenigen Ausnahmen besitzen die Motoren nur eine Drehrichtung. Dann wird zur Verbesserung der Kommutierung eine Bürstenbrückenverdrehung (brush displacement) oder eine entsprechende Schaltung der Spulenanschlüsse (Schaltverschiebung) vorgenommen, so dass sich die Kommutierungszone nicht in der Pollückenmitte befindet Der Arbeitspunkt befindet sich weit im Sättigungsbereich (saturation region) der Magnetisierungskennlinie (magnetization characteristic) Der typische Drehzahlbereich liegt zwischen min -1 und min -1 Das vorrangige Kühlprinzip ist die Eigenkühlung (auf die Welle aufgesetzter Lüfter) (self-ventilation) Die Leerlaufdrehzahl (no-load speed) wird im Gegensatz zu größeren Motoren durch die Bürsten-, Lager- und Luftreibung und durch gerätespezifische Getriebe begrenzt Die Ummagnetisierungsverluste (hysteresis and eddy-current loss) im Ständerblechpaket sind von der Frequenz des speisenden Netzes abhängig. Im Läuferblechpaket werden sie von der Drehzahl bestimmt Gegenüber Gleichstrommotoren zusätzlicher induktiver Spannungsabfall Angabe der Gleichungen für Motor: P mech > 0 Reibung, Sättigung, Bürstenspannung näherungsweise aus dem Bemessungspunkt in den Berechnungen aus dem Bemessungspunkt berücksichtigt a Prof. Dr.-Ing. Carsten Fräger Hochschule Hannover Seite 23 von 136

24 4 WECHSELSTROMREIHENSCHLUSSMASCHINE (UNIVERSALMOTOR) Abbildung 2: Blechschnitt eines Wechselstromreihenschlussmotors I = I a = I f Reihenschaltung Anker- und Feldwicklung (93) Φ P = µ 0 δ mag b P l w f I (94) = µ 0 2 π r l α w f I (95) δ mag 2 p c = 2 p w a π = p z π a Maschinenkonstante (96) M i = Φ p c I (97) U i = 2 π n Φ P c = 2 π n c µ 0 2 π r l α w f I (98) δ mag 2 p U = U i + RI + 2U bü + j 2π f L I mit Gesamtwiderstand R = R a + R f Gesamtinduktivität L = L f + L a L af (99) ( L af : Gegeninduktivität aufgrund der Bürstenverdrehung) M i = µ 0 r l α w f z I 2 (100) δ mag a M i = K r I 2 (101) mit K r = µ 0 r l α w f z δ mag a (102) a Prof. Dr.-Ing. Carsten Fräger Hochschule Hannover Seite 24 von 136

25 4 WECHSELSTROMREIHENSCHLUSSMASCHINE (UNIVERSALMOTOR) I = Mi K r (103) U i = 2 π n µ 0 r l α w f z I (104) δ mag a U i = K i I n = 2π K r I n (105) K i = 2π K r (106) n = 1 ( U 2Ubü R ) 2π Kr M i K r Leerlaufdrehzahl aus Reibdrehmoment: n 0 = 1 ( U 2Ubü R ) 2π Kr M reib K r (107) (108) Anlaufstrom und -drehmoment: ( ) U 2 2Ubü M anli = K r (109) R I anl = U 2U bü R Aus Bemessungsdaten: (110) ( ) M I 2 = (111) M N I N n = 1 I N 2π MN I N = 1 2π MN U M U M U NI 2 N 2πI anl M N (112) U N I N 2π M anl M N (113) Hinweis: Reale Maschinen sind deutlich gesättigt, besonders beim Anlauf mit hohen Strömen a Prof. Dr.-Ing. Carsten Fräger Hochschule Hannover Seite 25 von 136

26 5 SYNCHRONMASCHINE 5 Synchronmaschine W+ U Wst U Vst V+ U Ust U+ M Windungszahl w Spule W- U+ V+ W+ U- V- Abbildung 3: prinzipieller Aufbau einer Synchronmaschine mit Polradwicklung und Stator- Wicklungsbild. (N = 18, p = 3, 2p = 6, q = 1) 5.1 Arten von Synchronmaschinen Vollpolmaschine: etwa konstanter Luftspalt sinusförmiges Rotormagnetfeld wird durch verteilte Erregerwicklung erreicht Induktivitäten etwa identisch in d-achse und q-achse Schenkelpolmaschine: ausgeprägte Pole mit konzentrierten Wicklungen im Rotor sinusförmiges Magnetfeld wird durch ungleichmäßigen Luftspalt erreicht (Sinusfeldpole) a Prof. Dr.-Ing. Carsten Fräger Hochschule Hannover Seite 26 von 136

27 5 SYNCHRONMASCHINE Induktivitäten ungleich in d-achse und q-achse, in der Regel L d > L q Permanentmagnet/Dauermagnet erregte Maschine: Magnetfeld wird durch Permanentmagente erzeugt. Nur Wicklung im Stator. Dauermagnete am Luftspalt: etwa gleiche Induktivitäten in d- und q-achse Dauermagnete im Rotor integriert, Eisenpole: unterschiedliche Induktivitäten in d- und q-achse, in der Regel L d < L q etwa sinusförmiges Rotormagnetfeld zum Betrieb am Netz oder zum Betrieb an Frequenzumrichtern mit sinusförmigen Strömen und Spannungen etwa trapezförmiges Magnetfeld zum Betrieb mit Blockstromumrichtern als bürstenloser Gleichstromantrieb (BLDC, brushless DC) elektrisch erregte Maschine: Im Rotor ist eine Erregerwicklung. Das Magentfeld wird durch den Strom in der Erregerwicklung erzeugt. Verschiedene Verfahren zur Übertragung des Gleichstroms in den Rotor (s.u.) elektrisch erregte Maschine mit Bürsten: Der Erregerstrom wird über Bürsten und Schleifringe in den Rotor übertragen bürstenlos erregte Maschine: Der Erregerstrom wird durch eine zweite Maschine auf der gleichen Welle in den Rotor übertragen. Generator mit Gleichstromwicklung im Stator, Drehstromwicklung im Rotor, rotierender Gleichrichter. Gleichstromleistung im Rotor wird aus der mechanischen Leistung zum Antrieb des Generators gewonnen. Einstellung der Polradspannung über Gleichstrom in der Statorwicklung. Generator mit Drehstromwicklung im Stator, Drehstromwicklung im Rotor, rotierender Gleichrichter. Gleichstromleistung im Rotor wird aus der mechanischen Leistung zum Antrieb des Generators und der Drehstromleistung in der Statorwicklung gewonnen. Einstellung der Polradspannung über Drehspannung an der Statorwicklung. Transformator mit stehender Ringwicklung im Stator, drehender Ringwicklung im Rotor, Gleichrichter im Rotor. Gleichstromleistung im Rotor wird induktiv übertragen. Einstellung über den Strom bzw. die Spannung an der Statorwicklung. Maschine mit Dämpferwicklung/Anlaufkäfig: Im Rotor in den Polen kurzgeschlossene Käfigwicklung zum Anlauf und zur Dämpfung von Drehzahlpendelungen. Alternativ auch Rotor mit elektrisch leitenden Massivpolen, die ebenfalls einen Anlauf ermöglichen und Drehzahlpendelungen bedämpfen a Prof. Dr.-Ing. Carsten Fräger Hochschule Hannover Seite 27 von 136

28 5 SYNCHRONMASCHINE Reluktanzmaschine keine Wicklung oder Magnete im Rotor starke Unterschiede der Induktivitäten in d- und q-achse L d L q Drehmoment entsteht durch den Induktivitätsunterschied Synchronmaschine mit Kombination von Dauermagneterregung, elektrischer Erregung und Reluktanzverhalten diverse Ausführungen mit unterschiedlichen Anordnungen Tabelle 6: Größen und Formelzeichen Synchronmaschine Formelzeichen Einheit Erklärung U st, U st V Strangspannung U Nst, U Nst V Bemessungsstrangspannung U P, U i, U P, U i V Polradspannung, induzierte Spannung U PN V Bemessungspolradspannung U N V Leiterbemessungsspannung U, U S, U S V Statorspannung I S, I S A Ständerstrom, Statorstrom I st, I st A Strangstrom I Nst, I Nst A Bemesungsstrangstrom I N A Bemessungsleiterstrom L S H Induktivität L d H Längsinduktivität L q H Querinduktivität f Hz Frequenz f N Hz Bemessungsfrequenz f s Hz Ständerfrequenz ω = 2 π f rad s Kreisfrequenz S, S VA Scheinleistung S N, S N VA Bemessungsscheinleistung P N W Bemessungsleistung (früher Nennleistung) Motor: P N = P mech Generator: P N = P E P E W elektrische Wirkleistung P EN W Bemessungswirkleistung elektrisch Fortsetzung nächste Seite a Prof. Dr.-Ing. Carsten Fräger Hochschule Hannover Seite 28 von 136

29 5 SYNCHRONMASCHINE Fortsetzung Formelzeichen Einheit Erklärung P mech W mechanische Leistung P mechn W mechanische Leistung Bemessungsbetrieb Q var Blindleistung Q N var Bemessungsblindleistung cos(ϕ) 1 Leistungsfaktor P W W Statorwicklungsverluste P WN W Statorwicklungsverluste im Bemessungsbetrieb P f, P er W Erregerverluste, Erregerleistung P reib W Reibungsverluste P fe W Eisenverluste U f, U er V Feldspannung, Erregerspannung I f, I er A Feldstrom, Erregerstrom I f0 A Nullerregerstrom (U p = U N ) X S Ω Synchronreaktanz X d Ω Längsreaktanz X q Ω Querreaktanz x 1 bezogene Synchronreaktanz I K A Kurzschlussstrom i K0 1 bezogener Kurzschlussstrom bei Nullerregerstrom I f0 M Nm Drehmoment M i Nm inneres, elektromagnetisch erzeugtes Drehmoment M N Nm Bemessungsdrehmoment (früher Nennmoment) M reib Nm Reibdrehmoment M lüft Nm Lüfterdrehmoment M Kipp Nm Kippmoment n 1 min, 1 s Drehzahl n N 1 min, 1 s Bemessungsdrehzahl R S Ω Statorstrangwiderstand R er, R f Ω Erregerwicklungswiderstand, Feldwicklungswiderstand j = 1 Imaginärzahl K T Nm A Drehmomentfaktor K E Vs, V 1000 min 1 Spannungsfaktor Fortsetzung nächste Seite a Prof. Dr.-Ing. Carsten Fräger Hochschule Hannover Seite 29 von 136

30 5 SYNCHRONMASCHINE Fortsetzung Formelzeichen Einheit Erklärung w Strangwindungszahl w eff effektive Strangwindungszahl ˆB R T Scheitelwert Rotorflussdichte r m, mm Bohrungsradius l m, mm Blechpaketlänge ξ p Φ P Vs Fluss je Pol Wicklungsfaktor für das Grundfeld p 5.2 Leistungszuordnung P N = { P mech = 2 π M N n N P E = 3 U N I N cosϕ N beim Motor beim Generator (114) 5.3 Leistungsbilanz, Blindleistungsbilanz P S : Aufgenommende Wirkleistung an Statorwicklung P VW : Aufgenommende Verlustleistung an Statorwicklung Q S : Blindleistung an Statorwicklung Q S > 0 Synchronmaschine induktiv Q S < 0 Synchronmaschine kapazititv S P = 3 U Pst I Sst (115) Q L = 3 2π f S L S I 2 Sst (116) S 2 P = (P + P VW ) 2 + (Q L + Q S ) 2 (117) 5.4 Drehzahl bei Betrieb am starren Netz mit konstanter Frequenz n = f S p Drehzahl ist belastungsunabhängig (118) f S = p n Ständerfrequenz (119) a Prof. Dr.-Ing. Carsten Fräger Hochschule Hannover Seite 30 von 136

31 5 SYNCHRONMASCHINE Tabelle 7: Synchrone Drehzahlen bei Netzfrequenzen 50 Hz und 60 Hz abhängig von der Polpaarzahl Polpaarzahl p Polzahl 2p Netzfrequenz f s = 50 Hz Netzfrequenz f s = 60 Hz synchrone Drehzahl n 0 p 2 p 3000min 1 p 3600min 1 p min min min min min min min min min min min min Polradspannung, induzierte Spannung aus dem Rotormagnetfeld Φ P = 2 p l fe r ˆB R Fluss je Pol aus dem Rotormagnetfeld (120) U Pst = 2 2πw eff l fe r ˆB R n = Φ P πw eff pn Polradstrangspannung, induzierte Spannung durch das Rotorfeld (121) U Pst = K E n (122) K E = 2 2πw eff l fe r ˆB R = 2 pπφ P w eff = 2π 3 1 cosα K T Spannungsfaktor (123) 5.6 Polradspannung, induzierte Spannung aus Bemessungsdaten oder anderem Betriebspunkt U P1 U P2 = U Pst1 U Pst2 = n 1 n 2 Φ P1 Φ P2 (124) U P1 U P2 = U Pst1 U Pst2 = n 1 n 2 I f1 I f2 ohne Sättigung (125) a Prof. Dr.-Ing. Carsten Fräger Hochschule Hannover Seite 31 von 136

32 5 SYNCHRONMASCHINE U P1 = U Pst1 = n 1 U f1 ohne Sättigung, konstanter Widerstand (126) U P2 U Pst2 n 2 U f2 Berechnung aus Bemessungsdaten: U P U PN = U Pst U PstN = n n N Φ P Φ PN (127) U P U PN = U Pst U PstN = n n N I f I fn ohne Sättigung (128) U P U PN = U Pst U PstN = n 1 n N U f U fn ohne Sättigung, konstanter Widerstand (129) Berechnung aus Nullerregung: U P U SN = U Pst U SstN = n n N Φ P Φ P0 (130) U P U SN = U Pst U SstN = n n N I f I f0 ohne Sättigung (131) U P U SN = U Pst U SstN = n 1 n N U f U f0 ohne Sättigung, konstanter Widerstand (132) 5.7 Drehmoment aus dem Rotormagnetfeld und dem Statorstrom M i = 2 3r l fe w eff ˆB R I st cosα inneres Drehmoment (133) = 3 2 pφ P w eff I st cosα (134) = K T I st (135) α = (I st, U Pst ) (136) K T = 3 2 pφ P w eff cosα = 3 2π K E cosα Drehmomentfaktor (137) a Prof. Dr.-Ing. Carsten Fräger Hochschule Hannover Seite 32 von 136

33 5 SYNCHRONMASCHINE 5.8 Bemessungsbetrieb am starren Netz mit Bemessungsfrequenz Angabe der Gleichungen für Motor: P E > P mech > 0 Generator: P E < P mech < 0 n N = 1 p f N Bemessungsdrehzahl (früher: Nenndrehzahl) (138) P Eges = P EN + P ern = P EN + P fn gesamte elektrische Leistung (139) S N = 3 U N I N Scheinleistung (140) P EN = 3 U N I N cosϕ N elektrische Wirkleistung der Drehstromwicklung (141) Blindleistung der Q N = 3 U N I N sinϕ N = ± 3 U N I N 1 cos 2 Drehstromwicklung ϕ N induktiv: Q > 0, kapazitiv: Q < 0) (142) cosϕ N = P EN S N Leistungsfaktor (143) sinϕ N = Q N S N Blindleistungsfaktor (144) sinϕ N = ± 1 cos 2 ϕ N Blindleistungsfaktor (145) I f = I er = U f R f = U er R er Feldstrom, Erregerstrom (146) P mechn = P EN P V mechanische Leistung (147) M N = P mech 2 π n N Bemessungsdrehmoment Motor (148) a Prof. Dr.-Ing. Carsten Fräger Hochschule Hannover Seite 33 von 136

34 5 SYNCHRONMASCHINE Einstellen der Polradspannung bei linearer, nicht gesättigter Synchronmaschine mit elektrischer Erregung bei Bemessungsfrequenz U Pst = U PstN I f I fn = U SstN I f I f0 Polradstrangspannung, ohne Sättigung (149) U P = U PN I f I fn = U SN I f I f0 Polradspannung, ohne Sättigung (150) I f = U f I fn U fn bei konstantem Widerstand (151) I f = U f I f0 U f0 bei konstantem Widerstand (152) 5.9 Drehzahlstellen Synchronmaschine, Betrieb am Frequenzumrichter mit variabler Frequenz oder Netz mit abweichender Frequenz Angabe der Gleichungen für Motor: P E > P mech > 0 Generator: P E < P mech < 0 Beim Betrieb am Frequenzumrichter (FU) ist die Drehzahl variabel. Sie kann deutlich über 3000 min 1 liegen. n = f S p Drehzahl belastungsunabhängig (153) f S = p n Ständerfrequenz (154) Drehzahlabhängigkeit der Polradspannung, induzierten Spannung bei konstantem Fluss, z.b. Permanentmagnete oder konstanter Erregerstrom: U P = n = f Polradspannung, induzierte Spannung (155) U PN n N f N U P = K E n mit Spannungsfaktor K E = U PN n N (156) Polradspannung bei linearer, nicht gesättigter Synchronmaschine mit veränderlicher elektrischer Erregung: U Pst = U PstN I f I fn n n N = U stn I f I f0 n n N Polradstrangspannung (157) a Prof. Dr.-Ing. Carsten Fräger Hochschule Hannover Seite 34 von 136

35 5 SYNCHRONMASCHINE U P = U PN I f I fn n n N = U N I f I f0 n n N Polradspannung (158) M i = 3 1 2π n U Pst I st cos ( (I st, U Pst ) ) Drehmoment (159) 1 M i = K T I st mit Drehmomentfaktor K T = 3 2π n U Pst cos ( (I st, U Pst ) ) (160) bei konstantem Winkel zwischen Polradspannung und Strom M = M i sgn(n) (M reib + M lüft ) (161) P mech = 2 π n M mechanische Leistung (162) = 3 U Pst I st cos ( (I st, U Pst ) ) sgn(n) (M reib + M lüft ) (163) Betrieb mit Strom und Polradspannung in Phase Speziell für den Fall, dass Strom und Polradspannung in Phase sind, also in die gleiche Richtung zeigen, gelten die folgenden Gleichungen: α = (I st, U Pst ) = 0 Winkel vom Strom zur Polradspannung (164) U St = (U PSt + R S I St ) 2 + (ω S L S I St ) 2 Statorstrangspannung (165) U PSt = U PNSt n n N (166) ω S = 2 π p n (167) U St = (U PNSt n n N + R S I St ) 2 + (2πpnL S I St ) 2 Statorstrangspannung (168) I St = M K M Statorstrangstrom (169) U St = ( UPSt + R ) 2 ( ) S L 2 S M + ω S M Statorstrangspannung (170) K T K T a Prof. Dr.-Ing. Carsten Fräger Hochschule Hannover Seite 35 von 136

36 5 SYNCHRONMASCHINE ( n U St = U PNSt + R S n N ) 2 ( M + K T 2πpn L S K T M ) 2 Statorstrangspannung (171) Drehmoment bei Vernachlässigung Reibung, Sättigung und Eisenverluste: M I Drehmoment ist proportional zum Strom (172) M = I (173) M N I N M i = 3 1 2π n U Pst I st Drehmoment (174) P mechi = 3 U Pst I st mechanische Leistung (175) Drehmoment mit Drehmomentfaktor: M = K T I mit Drehmomentfaktor K T = M N I N (176) Leerlaufdrehzahl bei Bemessungsspannung mit variabler Frequenz und konstantem Fluss: n 0 = n N U N U PN Leerlaufdrehzahl (177) f 0 = p n 0 variable Frequenz (178) Betrieb Vollpolmaschine mit festem Winkel zwischen Polradspannung und Strom α = (I St, U Pst ) 0 (179) Drehmoment bei vernachlässigter Reibung, Sättigung und Eisenverlusten M i = 3 1 2π n U Pst I st cos(α) Drehmoment (180) 1 M i = K T I st mit Drehmomentfaktor K T = 3 2π n U Pst cosα (181) bei konstantem Winkel α zwischen Polradspannung und Strom K T = 3 1 2π n U Pst cosα = 3 U PN 3 = 2π n N 2π K E (182) P mechi = 3 U Pst I st cos(α) mechanische Leistung (183) a Prof. Dr.-Ing. Carsten Fräger Hochschule Hannover Seite 36 von 136

37 5 SYNCHRONMASCHINE 5.10 Verluste P W = 3 R S ISst 2 Statorwicklungsverluste (184) P f = P er = U er I er = U f I f Erregerverluste, Erregerleistung (185) P reib = 2 π n M reib, M reib konst Reibverluste (186) P lüft = 2 π n M lüft, M lüft n 2, P lüft n 3 Lüftungsverluste (187) P V = P W + P f + P reib + P lüft + P fe Gesamtverluste (188) P V = P W + P f Gesamtverluste ohne Reibungs-, Lüftungs- und Eisenverluste (189) 5.11 Wirkungsgrad Wirkungsgrad aus der elektrischen Wirkleistung P E und der mechanischen Leistung P mech : η mot = P mech = P mech Motorwirkungsgrad (190) P E + P f P mech + P V η Nmot = η gen = P N = P N Motorwirkungsgrad im Bemessungsbetrieb (191) P E + P f P N + P V P E P mech + P f = P E P E + P V Generatorwirkungsgrad (192) η Ngen = P N P N + P V Generatorwirkungsgrad Bemessungsbetrieb (193) 5.12 Reaktanzen Vollpolmaschine, weitere Größen X S = 2π f L S Synchronreaktanz (194) x = X S I NSt U NSt bezogene Synchronreaktanz (195) U LSt = X S I NSt induktiver Spannungsabfall bei Bemessungsstrom (196) I K = U PSt 2π f L S = U PSt X S Kurzschlussstrom bei R S 0 (197) I K0 = U NSt 2π f L S = U NSt X S Kurzschlussstrom bei Nullerregung mit I f0, R S 0 (198) i K0 = I K0 I N bezogener Kurzschlussstrom bei Nullerregung mit I f0 (199) a Prof. Dr.-Ing. Carsten Fräger Hochschule Hannover Seite 37 von 136

38 5 SYNCHRONMASCHINE 5.13 Komplexe Spannungsgleichungen Vollpol-Synchronmaschine In den Gleichungen treten nur Stranggrößen auf. Die Umrechnung in die Leitergrößen erfolgt je nach Wicklungsschaltung (s. Abschnitt 5.20, S. 49, bei Synchronmaschinen normalerweise -Schaltung). Den Spannungsgleichungen liegt Ersatzschaltbild 4 zugrunde: I S R S L S I Sst U Sst U S U i = U Pst komplexe Spannungsgleichung: Abbildung 4: Ersatzschaltbild Vollpol-Synchronmaschine U Sst = U Pst +U R +U L Statorspannung (200) U R = R S I Sst ohmscher Spannungsabfall (201) U L = j X S I Sst induktiver Spannungsabfall (202) mit j = 1 Imaginärzahl X S = 2 π f S L S (203) Leistungen: S = 3 U Sst I Sst komplexe Scheinleistung (204) mit I Sst : konjugiert komplexer Strom (205) P = Re(S) Wirkleistung, reeller Anteil der Scheinleistung (206) Q = Im(S) Blindleistung, imaginärer Anteil der Scheinleistung (207) induktiv: Q > 0, kapazitiv: Q < 0 cosϕ = P S = Re(S) S Leistungsfaktor (208) a Prof. Dr.-Ing. Carsten Fräger Hochschule Hannover Seite 38 von 136

39 5 SYNCHRONMASCHINE Bezugsgröße Spannung für komplexe Gleichungen wenn die Statorspannung Bezugsgröße ist (rein reell) U Sst = U Sst (209) wenn die Polradspannung Bezugsgröße ist (rein reell) U Pst = U Pst (210) Vorgabe Statorstrom bei gegebenem Winkel ϕ vom Strom zur Spannung: I Sst = I Sst USst U Sst (cosϕ j sinϕ) (211) Statorstrom bei gegebenem Leistungsfaktor motorisch, induktiv: ( ) I Sst = I Sst USst cosϕ j 1 cos U 2 ϕ Sst Statorstrom bei gegebenem Leistungsfaktor motorisch, kapazitiv: ( ) I Sst = I Sst USst cosϕ + j 1 cos U 2 ϕ Sst Statorstrom bei gegebenem Leistungsfaktor generatorisch, induktiv: ( ) I Sst = I Sst USst cosϕ j 1 cos U 2 ϕ S Statorstrom bei gegebenem Leistungsfaktor generatorisch, kapazitiv: ( ) I Sst = I Sst USst cosϕ + j 1 cos U 2 ϕ Sst (212) (213) (214) (215) Statorstrom bei gegebenem Winkel α gegenüber Polradspannung Strom voreilend : I Sst = I Sst UPst U Pst (cosα + j sinα) (216) Strom nacheilend : I Sst = I Sst UPst U Pst (cosα j sinα) (217) a Prof. Dr.-Ing. Carsten Fräger Hochschule Hannover Seite 39 von 136

40 5 SYNCHRONMASCHINE Polradspannung aus Statorspannung und Statorstrom U Pst = U Sst U R U L (218) = U Sst R S I Sst j2π f L S I Sst (219) = U Sst R S I Sst jx S I Sst (220) Bei Bezug Statorspannung U Sst für verschiedene Betriebspunkte: motorisch, induktiv ) U Pst = U Sst (R S + jx S )I Sst (cosϕ j 1 cos 2 ϕ (221) motorisch, kapazitiv ) U Pst = U Sst (R S + jx S )I Sst (cosϕ + j 1 cos 2 ϕ (222) generatorisch, induktiv ) U Pst = U Sst + (R S + jx S )I Sst (cosϕ + j 1 cos 2 ϕ (223) generatorisch, kapazitiv ) U Pst = U Sst + (R S + jx S )I Sst (cosϕ j 1 cos 2 ϕ (224) 5.14 Drehmoment, Kippmoment Vollpol-Synchronmaschine Kippmoment aus Stranggrößen und Leitergrößen bei -Schaltung M Kippi = 3 U Sst U Pst = 1 Kippmoment bei Vernachlässigung der Rei- U S U P 2 π n X S 2 π n X S bung M Kippi = 3p 2 π f USst U Pst 2 π f L S = p 2 π f Kippmoment bei Vernachlässigung der Rei- U S U P 2 π f L S bung (225) (226) mit X S = 2 π f L S a Prof. Dr.-Ing. Carsten Fräger Hochschule Hannover Seite 40 von 136

41 5 SYNCHRONMASCHINE M Kipp M N Überlastbarkeit (227) Abhängigkeit des Drehmoments vom Lastwinkel M i = M Kippi sinβ Drehmoment in Abhängigkeit vom Lastwinkel β (228) M = M i sgn(n) (M reib + M lüft ) (229) β = (U Sst ; U Pst ) Lastwinkel von der Strangspannung zur Polradspannung (230) 5.15 Stromortskurve Vollpol-Synchronmaschine Stromortskurve der Vollpolsynchronmaschine bei konstanter Spannung ist ein Kreis. Bezug ist Spannung U S st in reeller Achse. Stromortskurve für R S 0: I st = I m = I r = U Sst U Pst komplexer Statorstrom (231) R S + j2π f S L S R S + j2π f S L S U Sst R S + j2π f S L S Mittelpunkt des Kreises (232) U Pst R S + j2π f S L S Radius des Kreises (233) U Pst = U Pst e jβ komplexe Polradstrangspannung (234) Stromortskurve für R S 0: Häufig kann der Statorwiderstand vernachlässigt werden. Wird die Statorstrangspannung rein reell gewählt, ergeben sich dann die Stromortskurve, der Mittelpunkt und der Radius zu I st = U Sst U Pst komplexer Statorstrom (235) j2π f S L S j2π f S L S U Sst I m = j2π f S L S Mittelpunkt des Kreises auf der negativen imaginären Achse (236) I r = U Pst 2π f S L S Radius des Kreises (237) U Pst = U Pst e jβ komplexe Polradstrangspannung (238) a Prof. Dr.-Ing. Carsten Fräger Hochschule Hannover Seite 41 von 136

42 5 SYNCHRONMASCHINE Abbildung 5: Stromortskurve Vollpol-Synchronmaschine mit verschiedenen Erregerströmen bei vernachlässigbarem Ständerwicklungswiderstand R S 0 Abbildung 6: Stromortskurve Vollpol-Synchronmaschine mit Polradspannung U P und Lastwinkel β bei vernachlässigbarem Ständerwicklungswiderstand R S a Prof. Dr.-Ing. Carsten Fräger Hochschule Hannover Seite 42 von 136