Vorlesung Datenbanktheorie. Church-Rosser-Eigenschaft der Verfolgungsjagd. Berechnung von chase(t, t, Σ) Vorlesung vom Mittwoch, 05.

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1 Vorlesung Datenbanktheorie Nicole Schweikardt Humboldt-Universität zu Berlin Sommersemester 2006 Vorlesung vom Mittwoch, 05. Juli 2006 Letzte Vorlesung: Kurze Bemerkungen zum Armstrong-Kalkül The Chase: Anfrageminimierung mit funktionalen Abhängigkeiten Heute: The Chase: Anfrageminimierung mit funktionalen Abhängigkeiten Normalformen: BCNF NICOLE SCHWEIKARDT HU BERLIN VORLESUNG DATENBANKTHEORIE SOSE 2006 MI Church-Rosser-Eigenschaft der Verfolgungsjagd Berechnung von chase(t, t, Σ) Theorem 6.19 Sei (T, t) eine Tableau-Anfrage über R sei Σ eine Menge von FDs über R. Dann gilt: Alle terminierten Verfolgungssequenzen für (T, t) mittels Σ liefern dasselbe Resultat. Definition 6.20 Ist (T, t) eine Tableau-Anfrage über R Σ eine Menge von FDs über R, so bezeichnet chase(t, t, Σ) das Resultat einer (bzw. sämtlicher) terminierter Verfolgungssequenzen für (T, t) mittels Σ. Bemerkung: Von Lemma 6.17 wissen wir, dass chase(t, t, Σ) Σ (T, t) chase(t, t, Σ) = Σ. Korollar 6.21 Es gibt einen Polynomialzeit-Algorithmus, der bei Eingabe einer Tableau-Anfrage (T, t) über R einer Menge Σ von FDs über R die Tableau-Anfrage chase(t, t, Σ) berechnet. Algorithmus: (1) Wiederhole so lange, bis keine FD-Regel bzgl. Σ mehr auf (T, t) anwendbar ist: (1.1) (T, t ) sei das Resultat der Anwendung einer FD-Regel bzgl. Σ auf (T, t). (1.2) Setze (T, t) := (T, t ). (2) Gib (T, t) aus. Korrektheit folgt direkt aus der Church-Rosser-Eigenschaft. Polynomielle Laufzeit, da jede FD f Σ auf jedes Paar u, v von Zeilen von T höchstens 1-mal angewendet werden kann da jede einzelne Anwendung der FD-Regel nur polynomiell viel Zeit benötigt. NICOLE SCHWEIKARDT HU BERLIN VORLESUNG DATENBANKTHEORIE SOSE 2006 MI NICOLE SCHWEIKARDT HU BERLIN VORLESUNG DATENBANKTHEORIE SOSE 2006 MI

2 Eindeutigkeit des Resultats der Verfolgungsjagd Äquivalenz von Anfragen bzgl. Σ Proposition 6.22 Sei (T, t) eine Tableau-Anfrage über R seien Σ Σ zwei Mengen von FDs über R mit Σ Σ. Dann gilt: chase(t, t, Σ) = chase(t, t, Σ ). Offenbar genügt es, die folgende Behauptung zu zeigen: Ist f eine FD über R mit Σ = f, so ist chase(t, t,σ) = chase(t, t, Σ {f }). Beweis dieser Behauptung: Übung. Theorem 6.23 Seien Q 1 := (T 1, t 1 ) Q 2 := (T 2, t 2 ) Tableau-Anfragen über R sei Σ eine Menge von FDs über R. Dann gilt: (a) Q 1 Σ Q 2 chase(t 1, t 1, Σ) chase(t 2, t 2, Σ) (b) Q 1 Σ Q 2 chase(t 1, t 1, Σ) chase(t 2, t 2, Σ) Bemerkung: Aus Theorem 6.23, Korollar 6.21 Korollar 5.5 folgt insbesondere, dass Q 1 Σ Q 2 bzw. Q 1 Σ Q 2 durch einen NP-Algorithmus entschieden werden kann. NICOLE SCHWEIKARDT HU BERLIN VORLESUNG DATENBANKTHEORIE SOSE 2006 MI NICOLE SCHWEIKARDT HU BERLIN VORLESUNG DATENBANKTHEORIE SOSE 2006 MI Anfrage-Minimierung bzgl. Σ Vorgehensweise: Eingabe: Tableau-Anfrage Q = (T, t) über R Menge Σ von FDs über R Schritt 1: Berechne Q := (T, t ) := chase(t, t, Σ). Klar: Q Σ Q Schritt 2: Nutze den Algorithmus aus Korollar 5.8(a), um eine minimale Tableau-Anfrage Q := (T, t ) mit Q Q zu berechnen Insbesondere gilt: Q Σ Q Σ Q Notation: Ist Q = (T, t) eine Tableau-Anfrage, so schreibe min(q) := min(t, t), um die gemäß Korollar 5.8(a), minimale zu Q äquivalente Tableau-Anfrage zu bezeichnen. 6.1 Funktionale Abhängigkeiten Lemma 6.24 Sei Q = (T, t) eine Tableau-Anfrage über R sei Σ eine Menge von FDs über R. Dann gilt: min`chase(t, t, Σ) min(t, t). NICOLE SCHWEIKARDT HU BERLIN VORLESUNG DATENBANKTHEORIE SOSE 2006 MI NICOLE SCHWEIKARDT HU BERLIN VORLESUNG DATENBANKTHEORIE SOSE 2006 MI

3 Ziel der Normalisierung Gegeben: eine endliche Menge U von Attribut-Namen eine Menge Σ von Abhängigkeiten zwischen den Attributen aus U Ziel: Finde ein Datenbankschema mit den Attributen aus U, das möglichst Redanz-frei ist spart Speicherplatz verhindert Änderungs-Anomalien alle gewünschten Daten speichern kann lossless, d.h. Informationsverlust-frei die Abhängigkeiten aus Σ respektiert dependency preserving, d.h. Abhängigkeits-treu Probleme: Wie kann man feststellen, ob ein DB-Schema (bzgl. Σ) in einer bestimmten Normalform ist? Wie kann man ein gegebenes Relationsschema R Σ in ein DB-Schema umwandeln, das in Normalform ist? NICOLE SCHWEIKARDT HU BERLIN VORLESUNG DATENBANKTHEORIE SOSE 2006 MI Motivation (2/2) Zur Vermeidung dieser Update-Anomalien: Informationen auf 2 Relationen Adressen[Lager-Nr,Ort] Lagerung[Bauteil-Nr,Lager-Nr,Menge] aufteilen Adressen: Lager-Nr Ort 2 Adlershof 3 Kreuzberg 1 Spandau Abhängigkeit: Lager-Nr Ort Zur Anfrage-Optimierung: Lagerung: Bauteil-Nr Lager-Nr Menge Abhängigkeit: Bauteil-Nr,Lager-Nr Menge Die optimierte Anfrage muss nur auf solchen Datenbanken äquivalent zur Original-Anfrage sein, die die obigen Abhängigkeiten erfüllen. die minimale, solchermaßen äquivalente Anfrage ist evtl. noch kleiner als die, die durch die Tableau-Minimierung aus Kapitel 5 gefen wird. Motivation (1/2) Ziel beim Datenbank-Entwurf: Ein DB-Schema entwickeln, so dass Informationen zum gewünschten Anwendungsbereich sinnvoll gespeichert werden können. Insbesondere: Wenn möglich, Redanzen Inkonsistenzen vermeiden. Beispiel: Relation Warenlager[Bauteil-Nr, Lager-Nr, Menge, Ort] Warenlager: Bauteil-Nr Lager-Nr Menge Ort Adlershof Kreuzberg Spandau Adlershof Unschön: Redanz der Ort von Lager 2 ist mehrfach gespeichert. Dadurch können Inkonsistenzen auftreten: Update-Anomalien = Inkonsistenzen, die durch Aktualisierung der DB auftreten können: Änderungs-Anomalie: den Ort in Zeile 1 durch Tempelhof ersetzen Adresse von Lager 2 nicht mehr eindeutig Lösch-Anomalie: Löschen von Zeile 2 Information über die Adresse von Lager 3 geht verloren Einfüge-Anomalie: Die Adresse eines neuen Lagers kann erst dann eingefügt werden, wenn mindestens ein Bauteil dort gelagert wird. NICOLE SCHWEIKARDT HU BERLIN VORLESUNG DATENBANKTHEORIE SOSE 2006 MI Notation Relationsschema: bisher: Relations-Name R (dem eine Attributmenge U zugeordnet ist); Schreibweise: R[U] jetzt: (R[U], Σ), wobei R ein Relations-Name der Sorte U Σ eine Menge von FDs über U. DB-Schema: bisher: Menge R von Relations-Namen jetzt: Menge { (R 1 [U 1 ], Σ 1 ),..., (R n [U n ], Σ n ) } von Relationsschemata NICOLE SCHWEIKARDT HU BERLIN VORLESUNG DATENBANKTHEORIE SOSE 2006 MI NICOLE SCHWEIKARDT HU BERLIN VORLESUNG DATENBANKTHEORIE SOSE 2006 MI

4 Zerlegungen Definition 6.25 (a) Eine Zerlegung (engl: decomposition) eines Relationsschemas (R[U], Σ) ist ein DB-Schema { (R 1 [U 1 ], Σ 1 ),..., (R n [U n ], Σ n ) }, so dass U 1 U n = U (Σ 1 Σ n ),U Σ,U. Insbes: Σ = U Σ 1 Σ n (b) Eine Zerlegung heißt Abhängigkeits-treu (engl: dependency preserving), falls Σ U Σ 1 Σ n (d.h. (Σ 1 Σ n ),U = Σ,U ) (c) Eine Zerlegung heißt Informationsverlust-frei (engl: lossless), falls für alle Relationen I inst(r) mit I = Σ gilt: I = π U1 (I) π Un (I) Zur Erinnerung: I π U1 (I) π Un (I) gilt sowieso. Um Informationsverlust-Freiheit nachzuweisen, genügt es also, nachzuprüfen, ob für alle I inst(r) gilt: π U1 (I) π Un (I) I. NICOLE SCHWEIKARDT HU BERLIN VORLESUNG DATENBANKTHEORIE SOSE 2006 MI Boyce-Codd Normalform (BCNF) Intuition: Do not represent the same fact twice... Elimination von Redanzen Definition 6.27 (a) Ein Relationsschema (R[U], Σ) ist in Boyce-Codd Normalform (BCNF), falls für alle FDs X A mit X U A U \ X gilt: Falls Σ = X A, so Σ = X U d.h. X ist ein Superschlüssel (b) Ein DB-Schema { (R 1 [U 1 ], Σ 1 ),..., (R n [U n ], Σ n ) } ist in BCNF, falls jedes seiner Relationsschemata (R i, Σ i ) in BCNF ist. Test auf Informationsverlust-Freiheit Bemerkung 6.26 Eine Zerlegung { (R 1 [U 1 ], Σ 1 ),..., (R n [U n ], Σ n ) } eines Relationsschemas (R[U], Σ) ist Informationsverlust-frei f.a. I inst(r) mit I = Σ gilt π U1 (I) π Un (I) I Q Join Σ Q Id, wobei Q Id := (T Id, t Id ) Q Join := (T Join, t Join ) folgendermaßen definierte Tableau-Anfragen sind (für {A 1,.., A r } := U): T Id = A 1 A r x 1 x r t Id = (x 1,..., x r ) Q Join ist äquivalent zu π U1 (R) π Un (R), d.h. t Join = (x 1,..., x r ) T Join ist das Tableau mit n Zeilen, dessen i-te Zeile von der folgenden Form ist: In Spalte j {1,.., r} steht der Eintrag x j, falls A j U j y i,j, falls A j U j Aus Theorem 6.23 wissen wir, dass Q Join Σ Q Id mit Hilfe von The Chase überprüft werden kann. NICOLE SCHWEIKARDT HU BERLIN VORLESUNG DATENBANKTHEORIE SOSE 2006 MI Beispiel R[U] = Warenlager[Bauteil-Nr, Lager-Nr, Menge, Ort] Σ = { Lager-Nr Ort, Bauteil-Nr, Lager-Nr Menge } (R[U], Σ) ist nicht in BCNF, denn Σ = Lager-Nr Bauteil-Nr, Lager-Nr, Menge, Ort R 1 [U 1 ] = Adressen[Lager-Nr,Ort] Σ 1 = { Lager-Nr Ort } R 2 [U 2 ] = Lagerung[Bauteil-Nr,Lager-Nr,Menge] Σ 2 = { Bauteil-Nr, Lager-Nr Menge } das DB-Schema { (R 1 [U 1 ], Σ 1 ), (R 2 [U 2 ], Σ 2 ) } ist in BCNF Notation: Für eine Menge Σ von FDs eine Attributmenge V U setzen wir π V (Σ) := { X A : XA V Σ = X A }. NICOLE SCHWEIKARDT HU BERLIN VORLESUNG DATENBANKTHEORIE SOSE 2006 MI NICOLE SCHWEIKARDT HU BERLIN VORLESUNG DATENBANKTHEORIE SOSE 2006 MI

5 Algorithmus zur BCNF-Dekomposition Eingabe: Relationsschema (R[U], Σ) Ausgabe: DB-Schema D = { (R 1, Σ 1 ),..., (R n, Σ n ) } in BCNF (1) D := { (R[U],Σ) } (2) Solange D nicht in BCNF ist, wiederhole: (2.1) Wähle ein Rel.schema (S[V],Γ) D, das nicht in BCNF ist (2.2) Wähle Mengen = X, Y, Z V mit V = X Y Z so dass Γ = X Y, für alle A Z, Γ = X A. (2.3) Ersetze (S[V],Γ) in D durch (S 1 [XY], π XY (Γ)) (S 2 [XZ], π XZ (Γ)) (2.4) Für alle (S [V ],Γ ) D (S [V ],Γ ) D mit V V, entferne (S [V ],Γ ) aus D. Satz 6.28 Der obige Algorithmus zerlegt ein Relationsschema Informationsverlust-frei in ein Datenbankschema, das in BCNF ist. Der Algorithmus terminiert mit D in BCNF: klar. D ist eine Zerlegung von (R, Σ) : klar. Informationsverlust-Freiheit der Zerlegung folgt direkt aus Proposition 6.2. Bemerkung: Exponentielle Laufzeit wegen Berechnung von π V (Γ) Test auf BCNF-Eigenschaft. NICOLE SCHWEIKARDT HU BERLIN VORLESUNG DATENBANKTHEORIE SOSE 2006 MI BCNF vs. Abhängigkeits-Treue Beispiel 6.29 R[U] = Adresse [Straße, Ort, PLZ] Σ = { PLZ Ort, Ort, Straße PLZ } Algorithmus zur BCNF-Dekomposition liefert D = { (S[PLZ,Ort], {PLZ Ort}), (T[PLZ,Straße], ) } Laut Satz 6.28 ist D eine Informationsverlust-freie Zerlegung in BCNF. D ist nicht Abhängigkeits-treu (weil die FD Ort, Straße PLZ verloren geht) Es gilt sogar: Es gibt keine BCNF-Zerlegung von Adresse [Straße, Ort, PLZ], { PLZ Ort; Ort, Straße PLZ }, die Abhängigkeits-treu ist. NICOLE SCHWEIKARDT HU BERLIN VORLESUNG DATENBANKTHEORIE SOSE 2006 MI Informationsverlust-Freiheit Abhängigkeits-Treue Frage: Gibt es an Stelle von BCNF eine andere Variante von Normalform, die Informatioinsverlust-frei Abhängigkeits-treu ist? Antwort: Ja, die so genannte dritte Normalform 3NF Im Vergleich zu BCNF ist die 3NF weniger restriktiv, eliminiert Redanzen also weniger gründlich als BCNF. Dafür sind in 3NF aber Informatioinsverlust-freie Abhängigkeits-treue Zerlegungen möglich. In der Praxis ist 3NF meist interessanter als BCNF. NICOLE SCHWEIKARDT HU BERLIN VORLESUNG DATENBANKTHEORIE SOSE 2006 MI