Konjunktive Anfragen II

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1 Azyklische Anfragen Vorlesung Datenbanktheorie Vorlesung vom Mittwoch, 21. Juni 2006 Nicole Schweikardt Humboldt-Universität zu Berlin Sommersemester 2006 Letzte Vorlesung: effiziente Auswertung von azyklischen konjunktiven Anfragen Konstruktion von Join-Bäumen Äquivalenz zwischen azyklischen Booleschen konjunktiven Anfragen, Booleschen Semijoin-Anfragen und konjunktiven Sätzen des Guarded Fragment Heute: Start mit neuem Kapitel: NICOLE SCHWEIKARDT HU BERLIN VORLESUNG DATENBANKTHEORIE SOSE 2006 MI Motivation bisher: Mengen-Semantik (engl.: set semantics): DB-Relation = eine Menge von Tupeln Duplikate eines Tupels werden eliminiert {t} = {t, t} = {t, t, t} = 5.1 Der Homomorphismus-Satz, Statische Analyse und Anfrageminimierung 5.2 Azyklische Anfragen 5.3 in SQL: keine Duplikat-Elimination bei Anfragen der Form SELECT * FROM... WHERE... falls Duplikat-Elimination explizit gewünscht: SELECT DISTINCT * FROM... WHERE... betrachte jetzt: Multimengen-Semantik (engl: bag semantics): {t} {t, t} {t, t, t} NICOLE SCHWEIKARDT HU BERLIN VORLESUNG DATENBANKTHEORIE SOSE 2006 MI NICOLE SCHWEIKARDT HU BERLIN VORLESUNG DATENBANKTHEORIE SOSE 2006 MI

2 Beispiel Datenbankschema: 2-stellige Relation Hersteller mit Attributen Name und Ort 2-stellige Relation Bauteil mit Attributen Teil und Lager Datenbank I F mit I Flugzeug (Hersteller) Name Boeing Boeing Airbus Notation: Ort New York Hamburg Boeing, IF (Hersteller) = 1 Boeing,New York IF (Hersteller) = 1 Airbus,Hamburg IF (Hersteller) = 1 I F (Bauteil) Teil Flügel Notation: Lager Portland, IF (Bauteil) = 2 Flügel,Portland IF (Bauteil) = 1, IF (Bauteil) = 3 NICOLE SCHWEIKARDT HU BERLIN VORLESUNG DATENBANKTHEORIE SOSE 2006 MI Anfragen mit Mulitmengen-Semantik Beispiel: SQL-Anfrage: SELECT B1.Teil, B2.Teil FROM Bauteil B1, Bauteil B2 WHERE B1.Lager = B2.Lager Auswertung der SQL-Anfrage in Datenbank mit I F (Bauteil) Teil Flügel Lager Portland Liefert als Ergebnis die Multimenge M mit regelbasiert: Ans(x, y) Bauteil(x, z), Bauteil(y, z) bilde Kreuzprodukt I F (Bauteil) I F (Bauteil) (ohne Duplikatelimination) wähle die Tupel, in denen die Lager-Komponenten gleich sind streiche die Spalten mit den Lager-Komponenten, M = 4 Flügel,Flügel M = 1, M = 9, M = 6 =, M NICOLE SCHWEIKARDT HU BERLIN VORLESUNG DATENBANKTHEORIE SOSE 2006 MI Multimengen (Bags) und Multimengen-Datenbanken Sei M eine Menge. Eine Multimenge B über M ist eine Abbildung B : M N 0 Notation: Für a M schreibe a B an Stelle von B(a) a B = i bedeutet: das Element a kommt i-mal in der Multimenge B vor. B heißt endlich, falls die Menge {a M : a B 0} endlich ist. Für Multimengen B und B über M gilt: B = b B : a B = a B, für alle a M B b B : a B a B, für alle a M Insbesondere gilt: B = b B B b B und B b B B b B := die Multimenge B über M mit a B := a B + a B, für alle a M Definition 5.18 Sei R ein Datenbankschema. Eine Multimengen-Datenbank I inst b (R) ordnet jedem Relationssymbol R R eine endliche Multimenge I(R) über dom arity(r) zu. NICOLE SCHWEIKARDT HU BERLIN VORLESUNG DATENBANKTHEORIE SOSE 2006 MI Konjunktive Anfragen mit Multimengen-Semantik Multimengen-Semantik Q b : Sei Q := Ans(u) R 1 (u 1 ),..., R l (u l ) eine regelbasierte konjunktive Anfrage der Stelligkeit r über einem Datenbankschema R. Eine Belegung β für Q ist, wie bisher, eine Abbildung β : Var(Q) dom. Die Auswertung von Q in einer Multimengen-Datenbank I inst b (R) liefert als Ergebnis die Multimenge Q b (I), so dass für alle Tupel t dom r gilt: X t Q b (I) := β(u 1 ) I(R1 ) β(u 2 ) I(R2 ) β(u l ) I(Rl ) β : β Belegung für Q mit β(u)=t Äquivalenz von Anfragen & Query Containment: Seien Q und Q zwei regelbasierte konjunktive Anfragen derselben Stelligkeit r über einem Datenbankschema R. Q b Q : Q b (I) = b Q b (I), für alle I inst b (R) Q b Q : Q b (I) b Q b (I), für alle I inst b (R) Klar: Q b Q Q b Q und Q b Q Insbes: Äquivalenz ist höchstens so schwer wie Query Containment. NICOLE SCHWEIKARDT HU BERLIN VORLESUNG DATENBANKTHEORIE SOSE 2006 MI

3 Ergebnisse Theorem 5.19 (Chaudhuri, Vardi, 1993) (hier ohne Beweis) (a) Seien Q und Q regelbasierte konjunktive Anfragen derselben Stelligkeit über demselben Datenbankschema. Dann ist Q b Q genau dann, wenn die zu Q und Q gehörenden Tableau-Anfragen isomorph sind (im Sinne von Definition 5.6). (b) Das Problem ÄQUIVALENZ KONJ. ANFRAGEN BZGL. MULTIMENGEN-SEMANTIK Eingabe: regelbasierte konjunktive Anfragen Q und Q Frage: Ist Q b Q? ist genauso schwer wie das Graph-Isomorphie-Problem. (c) Das Problem QUERY CONTAINMENT FÜR KONJ. ANFRAGEN BZGL. MULTIMENGEN-SEMANTIK Eingabe: regelbasierte konjunktive Anfragen Q und Q Frage: Ist Q b Q? Folgerungen und eine offene Frage Das Äquivalenzproblem bzgl. Multimengen-Semantik liegt in NP und ist vermutlich nicht NP-vollständig (da vermutet wird, dass das Graph-Isomorphie-Problem nicht NP-hart ist). Somit: Äquivalenz bzgl. Multimengen-Semantik ist vermutlich einfacher als Äquivalenz bzgl. Mengen-Semantik. Das Query Containment Problem bzgl. Multimengen-Semantik ist vermutlich schwerer als das Query Containment Problem bzgl. Mengen-Semantik. Offene Forschungsfrage: Bisher ist nicht bekannt, ob das Query Containment Problem für konjunktive Anfragen bzgl. Multimengen-Semantik überhaupt entscheidbar ist. ist Π p 2 -hart. NICOLE SCHWEIKARDT HU BERLIN VORLESUNG DATENBANKTHEORIE SOSE 2006 MI NICOLE SCHWEIKARDT HU BERLIN VORLESUNG DATENBANKTHEORIE SOSE 2006 MI Konj. Anfragen mit in Multimengen-Semantik Konjunktive regelbasierte Anfragen mit sind von der Form Ans(u) R 1 (u 1 ),..., R l (u l ), U 1,..., U m wobei R 1 (u 1 ),..., R l (u l ) Relations-Atome und U 1,..., U m Ungleichungen der Form x y mit x, y var dom sind. Ab jetzt wieder Theorem 5.20 (Jayram, Kolaitis, Vee, 2006) Das Problem (hier ohne Beweis) und bis zum Ende des Semesters Mengen-Semantik QUERY CONTAINMENT FÜR KONJ. ANFRAGEN MIT BZGL. MULTIMENGEN-SEMANTIK Eingabe: Q und Q Frage: Ist Q b Q? ist nicht entscheidbar. : regelbasierte konjunktive Anfragen mit NICOLE SCHWEIKARDT HU BERLIN VORLESUNG DATENBANKTHEORIE SOSE 2006 MI NICOLE SCHWEIKARDT HU BERLIN VORLESUNG DATENBANKTHEORIE SOSE 2006 MI

4 Zur Erinnerung Benannte Perspektive In Kapitel 1 hatten wir festgelegt: The Chase 6.3 Normalformen Informationstheoretischer Ansatz Eine abzählbar unendliche Mengen att von Attribut-Namen. Diese Menge ist geordnet via att. Eine abzählbar unendliche Menge relname von Relations-Namen. Die Mengen att, dom, relname seien disjunkt. Eine Funktion sort : relname P fin (att), die jedem Relations-Namen eine endliche Menge von Attributen zuordnet... und zwar so, dass f.a. U fin att gilt: es gibt unendlich viele R relname mit sort(r) = U. Ein Relationsschema ist einfach ein Relations-Name R. Manchmal schreiben kurz R[U] für sort(r) = U. Ein R-Tupel ist eine Funktion t : sort(r) dom. Eine R-Relation ist eine endliche Menge von R-Tupeln. inst(r) bezeichnet die Menge aller Relationen über R. inst(u) bezeichnet die Menge aller Relationen über einem Relationsschema der Sorte U (für U fin att) NICOLE SCHWEIKARDT HU BERLIN VORLESUNG DATENBANKTHEORIE SOSE 2006 MI Motivation (1/2) Ziel beim Datenbank-Entwurf: Ein DB-Schema entwickeln, so dass Informationen zum gewünschten Anwendungsbereich sinnvoll gespeichert werden können. Insbesondere: Wenn möglich, Redundanzen und Inkonsistenzen vermeiden. Beispiel: Relation Warenlager[Bauteil-Nr, Lager-Nr, Menge, Ort] Warenlager: Bauteil-Nr Lager-Nr Menge Ort Adlershof Kreuzberg Spandau Adlershof Unschön: Redundanz der Ort von Lager 2 ist mehrfach gespeichert. Dadurch können Inkonsistenzen auftreten: Update-Anomalien = Inkonsistenzen, die durch Aktualisierung der DB auftreten können: Änderungs-Anomalie: den Ort in Zeile 1 durch Tempelhof ersetzen Adresse von Lager 2 nicht mehr eindeutig Lösch-Anomalie: Löschen von Zeile 2 Information über die Adresse von Lager 3 geht verloren Einfüge-Anomalie: Die Adresse eines neuen Lagers kann erst dann eingefügt werden, wenn mindestens ein Bauteil dort gelagert wird. NICOLE SCHWEIKARDT HU BERLIN VORLESUNG DATENBANKTHEORIE SOSE 2006 MI NICOLE SCHWEIKARDT HU BERLIN VORLESUNG DATENBANKTHEORIE SOSE 2006 MI Motivation (2/2) Zur Vermeidung dieser Update-Anomalien: Informationen auf 2 Relationen Adressen[Lager-Nr,Ort] und Lagerung[Bauteil-Nr,Lager-Nr,Menge] aufteilen Adressen: Lager-Nr Ort 2 Adlershof 3 Kreuzberg 1 Spandau Abhängigkeit: Lager-Nr Ort Zur Anfrage-Optimierung: Lagerung: Bauteil-Nr Lager-Nr Menge Abhängigkeit: Bauteil-Nr,Lager-Nr Menge Die optimierte Anfrage muss nur auf solchen Datenbanken äquivalent zur Original-Anfrage sein, die die obigen Abhängigkeiten erfüllen. die minimale, solchermaßen äquivalente Anfrage ist evtl. noch kleiner als die, die durch die Tableau-Minimierung aus Kapitel 5 gefunden wird. NICOLE SCHWEIKARDT HU BERLIN VORLESUNG DATENBANKTHEORIE SOSE 2006 MI

5 Notation The Chase 6.3 Normalformen Informationstheoretischer Ansatz Attribut-Namen : A, B, C, A 1, A 2,... Attribut-Mengen : X, Y, Z, X 1, X 2,..., U Relationen : I, J {A, B, C} : ABC X Y : XY NICOLE SCHWEIKARDT HU BERLIN VORLESUNG DATENBANKTHEORIE SOSE 2006 MI NICOLE SCHWEIKARDT HU BERLIN VORLESUNG DATENBANKTHEORIE SOSE 2006 MI und verlustfreie Joins Definition 6.1 Sei U eine endliche Menge von Attribut-Namen. (a) Eine funktionale Abhängigkeit (kurz: FD) über U ist ein Ausdruck der Form X Y, wobei X, Y U. ( FD steht für functional dependency ) (b) Eine Relation I inst(u) erfüllt die FD X Y (kurz: I = X Y ), falls für alle Tupel t und s aus I gilt: π X (t) = π X (s) = π Y (t) = π Y (s) (D.h.: Wenn t und s in sämtlichen Spalten aus X übereinstimmen, dann stimmen sie auch in jeder Spalte aus Y überein.) (c) Ist Σ eine Menge von FDs über U, so gilt I = Σ : I = f, für alle f Σ Proposition 6.2 Sei X Y eine FD über U und sei Z := U \ (X Y). Für jede Relation I inst(u) gilt: Falls I = X Y, so ist I = π XY (I) π XZ (I). Beweis: Siehe Tafel. Folgerung: Die in Relation I gespeicherte Information kann verlustfrei auf zwei Relationen aufgeteilt werden (eine mit den Spalten XY und eine mit den Spalten XZ ), aus denen die Original-Relation rekonstruiert werden kann. ( lossless join ) (d) Eine Schlüsselbedingung ist eine FD der Form X U. Beispiel für einen verlustreichen Join : Siehe Tafel. NICOLE SCHWEIKARDT HU BERLIN VORLESUNG DATENBANKTHEORIE SOSE 2006 MI NICOLE SCHWEIKARDT HU BERLIN VORLESUNG DATENBANKTHEORIE SOSE 2006 MI

6 Implikation von Abhängigkeiten Gegeben: Eine Menge Σ von FDs über U. Frage: Welche anderen FDs folgen aus Σ? Beispiel 6.3 Sei U := {A, B, C, D, E} und Σ := { A C, B C, CD E }. Dann gilt für jede Relation I mit I = Σ auch, dass I = AD E. Definition 6.4 Seien Σ und Γ zwei Mengen von FDs über U. (a) Σ impliziert Γ (kurz: Σ = U Γ bzw. Σ = Γ, falls U aus dem Kontext klar ist), falls für alle Relationen I inst(u) gilt: Falls I = Σ, so auch I = Γ. Besteht Γ aus einer einzigen FD f, so schreibe auch Σ = f statt Σ = {f }. (b) Σ und Γ sind äquivalent (kurz: Σ U Γ bzw. Σ Γ, falls U aus dem Kontext klar ist), falls Σ = Γ und Γ = Σ. (c) Die Hülle von Σ über U (kurz: Σ,U bzw. Σ, falls U aus dem Kontext klar ist), ist definiert als Σ,U := { X Y : X, Y U und Σ = X Y }. Klar: Für alle X U und alle Y X gilt X Y Σ,U. Insbesondere: 2 U Σ,U 2 2 U. NICOLE SCHWEIKARDT HU BERLIN VORLESUNG DATENBANKTHEORIE SOSE 2006 MI Axiomatisierung für FDs Frage: Wie kann man testen, ob Σ = X Y? die Hülle Σ,U berechnen? Problem: Die Definition von Σ = X Y spricht über alle Relationen I inst(u). Das sind unendlich viele (da dom unendlich ist). Ausweg: Eine endliche Regelmenge M finden, mit deren Hilfe aus Σ neue Abhängigkeiten hergeleitet werden können. (Analog zum Begriff der Ableitungsregeln und Beweissysteme aus der Vorlesung Theoretische Informatik I) Ideal: Alle FDs, die sich mit M aus Σ ableiten lassen, sind in Σ M ist korrekt Alle FDs aus Σ lassen sich in M aus Σ herleiten M ist vollständig NICOLE SCHWEIKARDT HU BERLIN VORLESUNG DATENBANKTHEORIE SOSE 2006 MI Der Armstrong-Kalkül Herleitungen im Armstrong-Kalkül Der Armstrong-Kalkül über U ist wie folgt definiert: Axiome: (FD1) Für alle X U und alle Y X ist Regeln: X Y ein Axiom des Armstrong-Kalküls über U. (FD2) Für alle X, Y, Z U ist die Erweiterungs-Regel X Y XZ YZ eine Regel des Armstrong-Kalküls über U. (FD3) Für alle X, Y, Z U ist die Transitivitäts-Regel X Y Y Z X Z eine Regel des Armstrong-Kalküls über U. Definition 6.5 Sei f eine FD über U und sei Σ eine Menge von FDs über U. Ein Beweis im Armstrong-Kalkül von f aus Σ ist ein Tupel (f 1,..., f n ) von FDs über U mit n 1, so dass gilt: f n = f und für alle i {1,.., n} gilt: f i Σ oder f i ist ein Axiom des Armstrong-Kalküls über U es gibt ein j < i, so dass f j f i Armstrong-Kalküls über U ist es gibt j, k < i, so dass f j f k Armstrong-Kalküls über U ist. f i oder eine Erweiterungs-Regel (FD2) des oder eine Transitivitäts-Regel (FD3) des Wir schreiben Σ U f (bzw. Σ f, falls U aus dem Kontext klar ist), um auszudrücken, dass es einen Beweis von f aus Σ im Armstrong-Kalkül über U gibt. NICOLE SCHWEIKARDT HU BERLIN VORLESUNG DATENBANKTHEORIE SOSE 2006 MI NICOLE SCHWEIKARDT HU BERLIN VORLESUNG DATENBANKTHEORIE SOSE 2006 MI

7 Beispiel für einen Beweis im Armstrong-Kalkül Korrektheit und Vollständigkeit des Armstrong-Kalküls Sei U := {A, B, C, D, E} und Σ := { A C, B C, CD E }. Ein Beweis von AD E aus Σ im Armstrong-Kalkül über U: ( ) A C, AD CD, CD E, AD E Erläuterung: 1. A C Σ 2. AD CD durch Anwenden der Erweiterungs-Regel (FD2) auf CD E Σ 4. AD E durch Anwenden der Transitivitäts-Regel (FD3) auf 2. und 3. Theorem 6.6 (Armstrong, 1974) Für jede endliche Menge U von Attribut-Namen, jede FD f über U und jede Menge Σ von FDs über U gilt: Σ U f Σ = U f. Beweis: = : Übung. = : Siehe Tafel. Bemerkungen: Die Hülle Σ,U kann man also berechnen, indem man alle FDs f berechnet, für die gilt Σ U f. Wenn man nur für eine bestimmte FD f testen will, ob Σ = U f, so ist es ziemlich aufwendig, erst ganz Σ,U zu berechnen, da die Hülle immer mindestens 2 U viele Elemente enthält. NICOLE SCHWEIKARDT HU BERLIN VORLESUNG DATENBANKTHEORIE SOSE 2006 MI NICOLE SCHWEIKARDT HU BERLIN VORLESUNG DATENBANKTHEORIE SOSE 2006 MI