funktionale Abhängigkeiten: Semantik funktionale Abhängigkeiten: Syntax

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1 funktionale Abhängigkeiten: Syntax < R U F > ein Relationenschema mit R ein Relationensymbol, U eine Menge von Attributen, F eine Menge von funktionalen Abhängigkeiten (über R und U) Eine funktionale Abhängigkeit (functional dependency) ist eine Formel, die wir in Kurzform aufschreiben als X ª Y mit X U, Y U. Diese Kurzform ist eine Abkürzung für die wie folgt gebildete Menge von Horn-Klauseln K = { K 1,...,K l }, wobei mit den Bezeichnungen U = { A 1,...,A n }, X = { A i1,...,a ik }, Y = { A j1,...,a jl } für jedes Attribut A je Y mit e = 1,...,l K e a je = a je :- R (A 1 : a 1,...,A n : a n ), R (A 1 : a 1,...,A n : a n ), a i1 = a i1,...,a ik = a ik. eine gleichheitsbestimmende Klausel sei. Diese Klauseln drücken jeweils aus, daß zwei auf den X-Attributen übereinstimmende Tupel aus (der Ausprägung zu) R auch auf dem Attribut A je übereinstimmen. funktionale Abhängigkeiten: Semantik Eine funktionale Abhängigkeit X ª Y heißt gültig in einer Relation r mit dom r = U (oder r ist Instanz von X ª Y) :gdw für alle µ,ν r: wenn µ X = ν X, dann µ Y = ν Y. Eine Menge von funktionalen Abhängigkeiten F = { X 1 ª Y 1,...,X p ª Y p } heißt gültig in einer Relation r mit dom r = U (oder r ist Instanz von F) :gdw alle X i ª Y i aus F sind gültig in r

2 funktionale Abhängigkeiten: Pragmatik logische Implikationen Mit einer funktionalen Abhängigkeit X ª Y kann man als semantische Bedingung ausdrücken, daß in den Instanzen zu einem Relationenschema die X-Werte eines Tupels die Y-Werte eindeutig bestimmen sollen. Diese Bedingung ist typischerweise die Formalisierung einer Gegebenheit auf der Ebene der Modellierung der folgenden Art: ein durch die X-Werte identifiziertes Seiendes bestimmt eindeutig die durch die Y-Werte beschriebenen Eigenschaften, bzw. ein durch die X-Werte identifiziertes Seiendes steht mit genau einem durch die Y-Werte identifizierten Seienden in Beziehung. In dem vorgegebenen Relationenschema < R U F > wird als semantische Bedingung ausdrücklich vereinbart, welche funktionalen Abhängigkeiten gültig sein sollen. Darüber hinaus werden in Instanzen von F im allgemeinen noch weitere, nicht ausdrücklich genannte funktionale Abhängigkeiten gültig sein. Wir betrachten dann diejenigen funktionalen Abhängigkeiten, die in allen Instanzen von F gültig sind: F impliziert (logisch) X ª Y, F = X ª Y :gdw für alle r mit dom r = U : wenn F in r gültig ist, dann ist auch X ª Y in r gültig. F + := { X ª Y F = X ª Y }

3 Reflexivität, Transitivität und Erweiterung Die folgenden Implikationen sind für die Klasse der funktionalen Abhängigkeiten korrekt: [Reflexivität] Ø = X ª Y für alle Y X. [Transitivität] { X ª Y, Y ª Z } = X ª Z. [Erweiterung] { X ª Y } = X W ª Y Z für alle W Z. Aus diesen logischen Implikationen kann man einen Entscheidungsalgorithmus für das Problem X ª Y F + gewinnen. Abschluß einer Attributmenge unter funktionalen Abhängigkeiten F Menge von funktionalen Abhängigkeiten X U Menge von Attributen Der Abschluß (closure) von X unter F, cl (F,X), ist die (bezüglich ) kleinste Menge mit den folgenden Eigenschaften: 1. X cl (F,X). 2. Wenn R cl (F,X) und R ª S F, dann ist auch S cl (F,X). Dieser erzeugt für die linke Seite X der zu betrachtenden funktionalen Abhängigkeit schrittweise alle Attribute A mit X ª A F + und prüft, ob Y ganz in der Menge der so erzeugten Attribute enthalten ist. Satz logische Implikation für funktionale Abhängigkeiten 1. X ª cl (F,X) F X ª Y F + genau dann, wenn Y cl (F,X)

4 Beweis: 1. Wir betrachten eine Berechnung von cl (F,X), d.h. eine Folge von Attributmengen X =: X 0,...,X k := cl (F,X) und eine Folge von funktionalen Abhängigkeiten R i ª S i für i = 0,...,k-1 mit R i X i, R i ª S i F, X i+1 = X i S i. Für diese Folge beweisen wir durch Induktion über i, daß X ª X i F +. Für i = 0 ist die Behauptung, X ª X F +, gerade ein Spezialfall der Reflexivität. Für i+1 prüfen wir die Behauptung, X ª X i+1 F +, anhand der Definition von impliziert. Sei also r mit dom r = U eine Relation, so daß (1) F in r gültig ist. Gemäß Induktionsannahme ist dann auch (2) X ª X i in r gültig. Es seien dann µ,ν r Tupel mit (3) µ X = ν X. Aus (2) folgt dann (4) µ X i = ν X i. Wegen R i X i gilt also auch (5) µ R i = ν R i. Aus (1) folgt dann (6) µ S i = ν S i. Wegen X i+1 = X i S i besagen (4) und (6) gerade µ X i+1 = ν X i+1, was für µ,ν zu zeigen war

5 2. [Korrektheit]: Sei Y cl (F,X). Gemäß 1. gilt X ª cl (F,X) F + und damit offensichtlich auch X ª Y F +. [Vollständigkeit in Kontraposition]: Sei Y cl (F,X). Wir konstruieren uns eine (sogenannte Armstrong-) Relation r, für die wir dann zeigen, daß a) F in r gültig ist, aber b) X ª Y in r nicht gültig ist, d.h. r ist ein Gegenbeispiel dafür, daß X ª Y von F impliziert wird. Die Relation r enthalte genau zwei Tupel µ und ν, die wie folgt definiert seien: µ(a) := 1 für alle A U, ν(a) 1 falls A cl (F,X) := 0 falls A U \ cl (F,X) r cl U \ cl (F,X) (F,X) µ ν Gemäß Voraussetzung gibt es ein Attribut A 0 Y \ cl(f,x), und damit ist insbesondere µ verschieden von ν. Also gilt Eigenschaft b). Um Eigenschaft a) nachzuweisen, betrachten wir eine funktionale Abhängigkeit R i ª S i aus F. Falls (für die einzigen zwei Tupel aus r) µ R i = ν R i gilt, so muß nach Konstruktion von r R i cl (F,X) gelten, woraus aber nach Definition des Abschlusses auch S i cl (F,X) folgt. Nach Konstruktion von r bedeutet dies aber gerade, daß µ S i = ν S i, was für µ,ν zu zeigen war

6 Beispiel U = { Id, Geschlecht, DaPa, Arzt, DaAr, ArtPro } F = { Id ª Geschlecht, Id ª DaPa, Arzt ª DaAr, Id,Arzt ª ArtPro }. cl(f,{id, Arzt}) kann etwa wie folgt berechnet werden: X 0 = { Id, Arzt }, X 1 = { Id, Geschlecht, Arzt } vermöge Id ª Geschlecht, X 2 = { Id, Geschlecht, DaPa, Arzt } vermöge Id ª DaPa, X 3 = { Id, Geschlecht, DaPa, Arzt, DaAr } vermöge Arzt ª DaAr, X 4 = { Id, Geschlecht, DaPa, Arzt, DaAr, ArtPro } vermöge Id,Arzt ª ArtPro. Also gilt { Id, Arzt } ª U F +. Ferner gilt cl (F,{Id}) = { Id, Geschlecht, DaPa } und cl (F,{Arzt}) = { Arzt, DaAr }, also insbesondere Id ª U F + und Arzt ª U F +. Schlüssel Wir können nun genau beschreiben, was wir auf der Ebene eines Relationenschemas unter einem Schlüssel verstehen: dies ist eine minimale Attributmenge, deren Werte ein Tupel innerhalb einer Ausprägung schon eindeutig bestimmen. Definition Sei < R U F > ein Relationenschema. 1. Eine Menge von Attributen X U heißt Schlüssel (key) von < R U F > :gdw 1. [Eindeutigkeit]X ª U F [Minimalität] Für alle Y X gilt: Y ª U F Ein Attribut A U heißt Schlüsselattribut von < R U F > :gdw es gibt einen Schlüssel X von < R U F > mit A X. 3. Ein Attribut A U heißt Nichtschlüsselattribut von < R U F > :gdw A kommt in keinem Schlüssel von < R U F > vor

7 Beispiel: Für U = { Id, Geschlecht, DaPa, Arzt, DaAr, ArtPro } und F = { Id ª Geschlecht, Id ª DaPa, Arzt ª DaAr, Id,Arzt ª ArtPro } gilt: { Id, Arzt } ª U F +, aber Id ª U F + und Arzt ª U F +. Also ist { Id, Arzt } ein Schlüssel von < U F >. Im allgemeinen kann ein Relationenschema mehrere Schlüssel besitzen. Zum Beispiel sind in einem Relationenschema mit U = { A,B,C } und F = { A,B ª C, C ª B } sowohl { A,B } als auch { A,C } Schlüssel. In diesem Fall sind darüber hinaus alle Attribute Schlüsselattribute. Relationenschemas mit genau einem Schlüssel Sei < R U F > ein Relationenschema, und sei ex (U,F) := { A A U, U \ {A} ª A F + } die Menge der Extremalattribute. Dann sind äquivalent: 1. < R U F > besitzt genau einen Schlüssel. 2. ex (U,F) ist Schlüssel von < R U F >. 3. ex (U,F) ª U F +. Beweis: Wir zeigen zunächst, daß die Extremalattribute in allen Schlüsseln enthalten sind, genauer: (4) für alle X mit X ª U F + gilt: ex (U,F) X. Dazu betrachten wir ein Attribut A U \ X. Wegen X ª U F + gilt insbesondere X ª A F + und also auch U \ {A} ª A F +, d.h. A ex (U,F)

8 1. 2. : Sei X der einzige Schlüssel von < R U F >. Gemäß (4) gilt ex (U,F) X : Gemäß Definition von Schlüssel. Um die umgekehrte Inklusion zu zeigen, sei andererseits A ex (U,F). Nach Definition folgt U \{A} ª A F +. Also erfüllt U \ {A} die Eindeutigkeitseigenschaft von Schlüsseln. Dann enthält U\{A} eine minimale Teilmenge mit dieser Eindeutigkeitseigenschaft: diese Teilmenge ist ein Schlüssel. Nach Voraussetzung ist diese Teilmenge gerade X, d.h. es gilt X U \{A} und damit insbesondere A X : Sei ex (U,F) ª U F +. Angenommen < R U F > besitzt zwei verschiedene Schlüssel X1 X2. Gemäß (4) gilt dann (5) ex (U,F) X1 X2. Wegen der Minimalitätseigenschaft von Schlüsseln können X1 und X2 nicht ineinander enthalten sein, d.h. es gilt (6) X1 X2 X1 und X1 X2 X2. (5) und (6) zusammen widersprechen aber der Minimalitätseigenschaft von X1 bzw. X

9 3. Normalform und Boyce / Codd-Normalform Formalisierung der Entwurfsheuristik Trennung von Gesichtspunkten. Zeichnet diejenigen Relationenschemas aus, in denen die linken Seiten aller (vereinbarter oder implizierter) funktionaler Abhängigkeiten einen Schlüssel enthalten. Die einzigen durch funktionale Abhängigkeiten ausdrückbaren Strukturen innerhalb des Relationenschemas sind also durch Schlüssel und die jeweils von ihnen funktional abhängigen Attribute gegeben. Definition 1. Ein Relationenschema < R U F > heißt in 3.Normalform :gdw für alle Z U, für alle Nichtschlüsselattribute A U: wenn Z ª A F + und A Z, dann Z ª U F Ein Relationenschema < R U F > heißt in Boyce / Codd-Normalform :gdw für alle Z U, für alle A U: wenn Z ª A F + und A Z, dann Z ª U F +. Boyce / Codd-Normalform ist offensichtlich eine Verschärfung von 3.Normalform, weil für mehr Attribute (nämlich alle, einschließlich der Schlüsselattribute) die Normalformeigenschaft gefordert wird. Das Beispiel < R { A,B,C } { A,B ª C, C ª B } > zeigt, daß die Verschärfung echt ist. Dieses Schema ist in 3.Normalform, weil es überhaupt keine Nichtschlüsselattribute besitzt. Dieses Schema ist nicht in Boyce / Codd-Normalform, weil C ª B F F +, aber C ª A F +. Obwohl die schärfere Eigenschaft der Boyce / Codd- Normalform die eigentlich wünschenswerte ist, muß man sich dennoch manchmal mit der schwächeren Eigenschaft der 3.Normalform begnügen, weil nur die schwächere, aber nicht die stärkere zusammen mit weiteren, noch zu erörternden Eigenschaften immer verträglich ist

10 In einem Relationenschema in Boyce / Codd-Normalform können offensichtlich insbesondere die beiden folgenden Situationen nicht auftreten: partielle Abhängigkeiten der Form: X ist Schlüssel, Y X, d.h. insbesondere Y ª X F +, A Y und Y ª A F + (d.h. das Attribut A ist nur von einer echten Teilmenge des Schlüssels X funktional abhängig.) transitive Abhängigkeiten der Form: X ª Y F +, Y ª X F +, A Y und Y ª A F + (d.h. das Attribut A ist transitiv über Y von X abhängig, ohne daß Y funktional äquivalent mit X ist.) Relationenschemas in Boyce / Codd-Normalform Satz Ein Relationenschema < R U F > ist in Boyce / Codd- Normalform genau dann, wenn für alle X ª Y F mit Y X gilt X ª U F +. Beweis: : Sei < R U F > in Boyce / Codd-Normalform. Sei ferner X ª Y F mit Y X. Dann gibt es ein Attribut A Y \ X mit X ª A F +. Gemäß Definition von Boyce / Codd-Normalform folgt X ª U F

11 (in Kontraposition): Sei < R U F > nicht in Boyce / Codd-Normalform. Dann gibt es eine Attributmenge Z U und ein Attribut A U \ Z mit Z ª A F +, aber Z ª U F +. Wir betrachten eine Berechnung von cl (F,Z), d.h. eine Folge von Attributmengen Z =: X 0,...,X k := cl (F,Z) und eine Folge von funktionalen Abhängigkeiten R i ª S i für i = 0,...,k-1 mit R i X i, R i ª S i F, X i+1 = X i S i. Weil einerseits A X 0 und andererseits Z ª A F + und deshalb A cl (F,Z), gibt es ein i mit A S i \ X i, d.h. A wird durch R i ª S i F erstmals als Element von cl (F,Z) erzeugt. Denn zum einen gilt S i R i wegen R i X i und A S i \ X i. Und zum anderen wäre R i ª U F +, so würde mit Z ª X i F + (siehe Beweis des Satzes über logische Implikationen für funktionale Abhängigkeiten) wegen R i X i auch Z ª R i F + gelten, woraus dann aufgrund der Transitivität der logischen Implikation auch Z ª U F + folgen würde, was aber einen Widerspruch zur Wahl von Z ergibt. Wir behaupten, daß für diese funktionale Abhängigkeit R i ª S i F die im Satz genannte Eigenschaft nicht gilt