Effiziente Algorithmen Übung 2

Transkript

1 Effiziente Algorithmen Übung 2 Aufgabe 3 Circular Reversal Sort Gruppe E Martin Schliefnig, Christoph Holper, Ulrike Ritzinger,

2 1. Problemstellung Ein DNA Molekül muss nicht immer strangförmig angeordnet sein. Manche Organismen besitzen zirkuläre DNA Moleküle, die keinen Anfang und kein Ende haben. Zwei zirkuläre Sequenzen sind genau dann äquivalent, wenn eine davon so rotiert werden kann, dass sie deckungsgleich auf der anderen passt. Entwerfen Sie einen einfachen Approximationsalgorithmus, der eine zirkuläre Permutation mittels Reversals in die zirkulare Identität transformiert. Geben Sie die Gütegarantie und die Laufzeit an. Modifizieren Sie anschließend den Algorithmus, indem Sie die Gütegarantie und/oder die Laufzeit verbessern. 2. Einfacher Greedy Eine Permutation hat üblicherweise ein erstes und ein letztes Element. Wenn man jedoch Anfang und Ende verkettet, so entsteht ein Ring, der weder Anfang noch Ende besitzt. Diese Eigenschaft kann man berücksichtigen, wenn man Sortieralgorithmen entwirft. Für eine Permutation von n Elementen existieren somit n zirkuläre Identitäten. Permutation: (= Identität) Zirkuläre Identitäten: Erschwerend kommt hinzu, dass wir, um eine Sortierung herzustellen, nur auf Reversals zurückgreifen sollen. Bei den dargestellten Verfahren handelt es sich um Greedy-Approximationsalgorithmen. Das sind Algorithmen, die Näherungslösungen liefern, jedoch möglichst nahe an die Optimallösung heranreichen wollen. Die Güte gibt Aufschluss über das Verhältnis der Approximation zur optimalen Lösung. Ein erster einfacher Ansatz besteht darin, die Permutation zweimal hintereinander anzuschreiben. Danach kann man durch einen Aufwand von O (n) das erste Auftreten des kleinsten Elements finden. Dies wird als beginn angesehen. Die neue Permutation ist zwischen diesem Element und den weiteren n 1 Elementen angesehen. Alle vorher bzw. nachher folgenden Elemente werden abgeschnitten. Auf diese neu entstandene Permutation wird dann z.b. der ReversalSort-Algorithmus angewendet. Durch diese anfängliche Umgestaltung wird der Worst-Case des ReversalSort-Algorithmus ausgeschlossen. Dadurch kommt es zu einer Gütegarantie von n 1. Beispiel: Input: Umordung: > Identität 3. Einfacher Greedy mit Breakpoints Die Überlegung ist nun, einen Algorithmus zu finden, dessen Gütegarantie besser ist, als die vom vorigen Algorithmus. Das Ziel ist auf schnellem Wege zur Identität der Permutation zu gelangen, und zusätzlich den Vorteil der Zirkularität auszunutzen.

3 3.1 Überlegungen Die Grundlage bildet der Algorithmus Breakpoint Reversal Sort. Jedoch werden einige zusätzliche Bedingungen betrachtet, um die Anzahl der Reversals zwischen gegebener Permutation und Identität zu verringern, eben durch das Ausnutzen der Zirkularität. Diese Bedingungen liegen darin, dass man von vornherein einen Breakpoint (zwischen kleinstem und größtem Element der Permutation) weglassen kann (aufgrund der Zirkularität). Man kann auch auf das Hinzufügen eines neuen Anfang, und eines neuen Ende verzichten. Des weiteren ist es nicht von Bedeutung, nach dem absteigenden Strip mit dem kleinsten Element zu suchen, sondern es ist ausreichend, den ersten absteigenden Strip zu betrachten. Sollte jedoch, das rechteste Element, des ersten absteigenden Strips, das kleinste Element der Permutation sein, so wird dieser absteigende Strip reversiert. Beispiel: , der erste absteigende Strip enthält das kleinste Element der Permutation, daraus folgt: Algorithmus Am Beginn werden die Breakpoints gesetzt. Falls das kleinste und das größte Element nebeneinander liegen, wird auf diesen Breakpoint verzichtet. Danach sucht der Algorithmus den ersten absteigenden Strip, und wählt von diesem, das rechteste Element k. Dann findet ein Reversal zwischen k und k-1 statt. Befindet sich k in der Permutation links von k-1, ist das Reversal zwischen ]k, k-1] statt, ist jedoch k rechts von k-1, ist das Reversal zwischen ]k-1, k]. 1. Fall: => k=2, k-1=1, k befindet sich links von k-1 => Fall: => k=5, k-1=4, k befindet sich rechts von k-1 => Es kann hier noch der oben genannte Sonderfall auftreten. Wenn das rechteste Element, des ersten absteigenden Strip, das kleinste Element der gesamten Permutation ist, ist es von Vorteil, diesen Strip einmal zu reversieren. Das wird solange durchgeführt, bis alle Breakpoints entfernt worden sind. Danach wird die Permutation noch ein letztes mal betrachtet. Es können hier noch einmal zwei Fälle auftreten: entweder die Permutation befindet sich bereits in der zirkularen Identität, oder sie ist spiegelverkehrt. Tritt der zweite Fall ein, muss die gesamte Permutation noch einmal reversiert werden. 3.3 Beispiele Hier werden Beispiele angeführt, um unsere Überlegungen zu veranschaulichen: Einfacher Greedy mit Breakpoint Breakpoint zwischen 7 und 1 wird weggelassen: Erster absteigender Strip ist 5, reversiert nach 2. Fall: Erster abst. Strip ist k=6, reversiert nach 2. Fall: Breakpoint zwischen 7 u. 1 not- wendig, Hinzufügen von 0 u. 8: Es wird immer der absteigende Strip, mit dem kleinsten Ele. Breakpoint Reversal Sort gewählt: Erster absteigender Nach Breakpoint

4 Einfacher Greedy mit Breakpoint Strip ist 3, reversiert nach 1. Fall Reversal Sort Breakpoint Reversal Sort Reversiert nach 1. Fall Sonderfall, rechteste Ele. Im Strip ist kleinstesele Reversiert nach 2. Fall Reversiert nach 2. Fall Fertig Pseudocode Input: Permutation π Output: zirkuläre Identät von π IdRevSort (π) setze Breakpoints (nicht zwischen π [max] und π [min], wenn benachbart; kein π 0 bzw. π n+1 ) entferne Breakpoint solange (b (π) > 0) if exists decreasing strip wähle reversal p this, welche Anzahl der Breakpoints b(π) verringert durch ersten decreasing strip; if (p last!= p this ) π = π * p this (i, j); p last = p this; else reversal p anwenden auf increasing strip (flipping); return π; Approximationsalgorithmus Die beiden zuvor erwähnten Ansätze sind beide sehr einfach. Es geht aber auch wesentlich besser dafür aber auch komplizierter: In ihrer 2004 veröffentlichten Arbeit A 1.5-approximation algorithm for sorting by transpositions and transreversals stellen Tzvika Hartmann und Roded Sharan einen Algorithmus für das Problem mit einer Gütegarantie von 1.5 und einer Laufzeit von O(n²) vor. Der Ansatz arbeitet dabei ebenfalls mit Breakpoints und unterteilt das Gesamtproblem in kleinere Teilprobleme. Dazu wird zu Beginn die Ausgangspermutation in eine so genannte 3-Permutation umgewandelt, auf der dann der eigentliche Algorithmus arbeitet. 1. Transform π into a 3-permutation π 2. While G(π ) contains a 3-cycle C do: a) If C is oriented, apply a 2-operation to it. b) Otherwise, find a cycle D that intersects with a coupled pair of C. c) If D is oriented then apply a 2-operation to it.

5 d) Else if C and D interleave, apply a (0,2,2)-sequence e) Else if C or D are 1-twisted, apply a (0,2,2)-sequence f) Otherwise, apply a (0,2,2)-sequence g) If new 2-cycles were introduced by the last operations, transform π into a 3-permutation π by safe paddings and let π = π 3. Mimic the sorting of π using the sorting of π Auf den Algorithmus selbst soll an dieser Stelle aus Platzgründen nicht genauer eingegangen werden, der interessierte Leser möge sich über die Arbeit zb im Internet informieren. Die Arbeit von Tzvika und Sharan hat nach fünf Jahren Forschung und Überlegung eine Verbesserung des ursprünglich besten Approximationsalgorithmus von G.H Lin und G. Xue mit einer Gütegarantie von 1.75 aufgezeigt. Mit einer alternativen Datenstruktur die Permutation wird dabei in Klassen eingeteilt und in einer Blockstruktur abgespeichert, auf der dann opereiert wird erreicht der Algorithmus sogar eine Laufzeit von O(n³ / ² log n).