Der Lese-Schreib-Kopf kann auch angehalten werden (H). Die Verarbeitung ist dann beendet.
|
|
- Nora Heintze
- vor 6 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 Die Turingmaschine besteht aus der Steuereinheit, die verschiedene Zustände annimmt dem Band, welches unendlich ausgedehnt ist, aber nur auf einem endlichem Bereich mit Zeichen aus einem Alphabet beschrieben ist dem Lese-Schreib-Kopf der Übergangstabelle In jedem Verarbeitungsschritt: wird das Zeichen unter dem Lese-Schreib-Kopf gelesen wird in der Übergangstabelle nach dem Eintrag gesucht, der dieses Zeichen und den aktuellen Zustand der Steuereinheit enthält, werden Zeichen und Zustand entsprechend der Angaben in der Übergangstabelle geändert und wird der Lese-Schreib-Kopf um eine Position nach links (L) oder rechts (R) weiterbewegt. Auch dies wird in der Übergangstabelle festgelegt. Der Lese-Schreib-Kopf kann auch angehalten werden (H). Die Verarbeitung ist dann beendet. 257
2 Hier ist ein einfaches Turingprogramm. Außer dem Leerzeichen ist das Band nur mit 1 belegt. vorher nachher Zustand Zeichen Zustand Zeichen Bewegung z 0 z 1 R z 1 1 z 1 1 R z 1 z 2 1 H Überlegen Sie, weshalb man sagt, diese Übergangstabelle realisiere Addition von 1 bei Unärdarstellung. Interaktive Simulation der Turingmaschine: Modul Turingmaschine 258
3 7.1.2 Grenzen der Berechenbarkeit Es gibt Funktionen, die nicht berechenbar sind. Wegen der Church schen These heißt dies: die nicht mit einer Turingmaschine berechnet werden können. 1 Beispiel: Halteproblem Menge der Eingaben: alle möglichen Übergangstabellen U von Turingmaschinen Funktion f: f(u) = 8 >< >: 1 falls die Turingmaschine mit Übergangstabelle U für jede Bandbelegung anhält, 0 sonst Es gibt keine Übergangstabelle für eine Turingmaschine, die f berechnet. Den Nachweis zu dieser Aussage können wir hier nicht führen. Die Berechnung von Funktionen, die nur die Werte 0 und 1 annehmen, nennt man auch (ja/nein)-entscheidungen. Man sagt deshalb: Das Halteproblem ist nicht entscheidbar. 259
4 2 Beispiel: Unentscheidbarkeit der Prädikatenlogik Die Prädikatenlogik baut auf der Aussagenlogik auf. Prädikate enthalten Variablen; für jede Belegung der Variablen nehmen sie den Wert wahr oder falsch an. Prädikate können wie Aussagen verknüpft werden, zusätzlich auch mit den Quantoren und. Genaueres wird hier nicht erläutert. Die Frage, ob eine prädikatenlogische Formel für jede Belegung der Variablen den Wert wahr annimmt, ist nicht entscheidbar. 3 Beispiel: Unentscheidbarkeit der Korrektheit Die Frage, ob ein Programm semantisch korrekt ist (d.h. es berechnet tatsächlich die spezifizierte Funktion), ist unentscheidbar. Auch für diese Beispiele ist ein Beweis weit jenseits von dem, was wir hier machen können. 260
5 7.2 Komplexitätstheorie Komplexität von Algorithmen Wie genau kann man die Laufzeit T eines Algorithmus vorhersagen? T hängt ab von der jeweiligen Implementierung vom verwendeten Rechner von der jeweiligen Eingabe... Folgerung: T hängt insbesondere von der Größe n der Eingabe ab: T = T(n) Für festes n kann T(n) immer noch unterschiedlich sein. Wir verwenden für T(n) hier stets den worst case, also die längste Laufzeit bei festem n. Es ist nicht sinnvoll, T(n) zu genau bestimmen zu wollen. Es genügt, die Zahl der elementaren Schritte eines Algorithmus zu bestimmen. 261
6 4 Beispiele: a) Euklidischer Algorithmus berechnet ggt(a, b) für a, b N. r := a mod b solange r 0 a := b b := r r := a mod b ggt := b Eingabegröße: n = max{a, b}. Elementare Schritte: Zuweisung, Division mit Rest, Vergleich Laufzeit: solange-schleife wird höchstens log Θ n + 1 mal durchlaufen (Θ = ( 5 + 1)/2). Pro Durchlauf 3 Zuweisungen, 1 Vergleich und 1 Division mit Rest. Also T(n) C (2 + 5 (log Θ n + 1)). 262
7 b) Sieb des Eratosthenes bestimmt alle Primzahlen n. p := 2 solange p 2 n s := 2 p {Aussieben mit Zahl p} solange s n streiche s {markieren} s := s + p setze p auf nächste, nicht gestrichene Zahl Eingabegröße: n Elementare Schritte: Streichen (= Zugriff auf ein Feld und Markieren), Zuweisung, Addition, Multiplikation, Nächstes finden Laufzeit: die innere solange-schleife wird n/p-mal durchlaufen, die äußere für Primzahlen n. T(n) C + n X p=1, p Primzahl 1 n A. p 263
8 Die t(n)-ausdrücke will man noch vereinfachen: 5 Definition: Wir schreiben T(n) = O(g(n)) mit einer Funktion g : N R +, falls eine Konstante C > 0 und ein n 0 existieren, so dass gilt T(n) C g(n) für alle n n 0. 6 Beispiele: a) Euklidischer Algorithmus: ergibt T(n) C (2 + 5 (log Θ n + 1)). T(n) = O(log n). (Wegen log a n = log b n log a b braucht man die Basis des log in O-Termen nicht anzugeben!) 264
9 b) Sieb des Eratosthenes: 0 T(n) + n X p=1, p Primzahl 1 n A. p Es gibt höchstens n Primzahlen n, und n p n für alle solchen Primzahlen p. Also T(n) = O(n n). (O-Terme können sehr grob nach oben abschätzen.) 265
10 7.2.2 Probleme und Instanzen 7 Definition: Ein Problem ist eine zu berechnende Funktion P : D W mit zugehörigem Definitionsbereich D und Werten in W. Eine Instanz eines Problems P : D W ist ein Paar (P, S) mit S D. 8 Beispiele: a) Problem größter gemeinsamer Teiler : P : N N N Instanz: (a, b) = (144, 54). b) Problem Primzahlen n : P : N Potenzmenge von N Instanz: n =
11 c) Problem des Handlungsreisenden : P : {L : L ist Liste von Städten mit Entfernungen} R + P(L) ist die Länge der kürzesten Rundtour, die alle Städte einmal besucht. Instanz: L = W RS SG K E DO W RS SG K E DO d) Teilsummenproblem : P : {M : M ist eine Menge reeller Zahlen} R {0, 1}. P(M, s) gibt an, ob es eine Teilmenge T von M gibt, bei der die Summe der Elemente gerade s ergibt. Instanz: M = { 0.2, 1, 2.3, 4.5}, s =
12 7.2.3 Komplexität von Problemen Wir werden jetzt Probleme in einfache und schwierige einteilen. Ein tragfähiges Konzept hierzu ist überraschend komplex. Ab jetzt schränken wir uns auf Entscheidungsprobleme ein, also P : D {0, 1}. Als Größe n einer Eingabe S D verwenden wir die Anzahl der bits bei geeigneter Binärcodierung. 9 Beispiel: Die Größe einer natürlichen Zahl k ist damit (Codierung als Binärzahl) n = O(log k). Folge: Die Größe der Eingabe beim Euklidischen Algorithmus ist n = O(log a + log b). Die Komplexität des Euklidischen Algorithmus wird O(n) statt O(log(max{a, b})). 10 Definition: Für ein (Entscheidungs-) Problem P : D W, ist die Komplexität t(n) des Problems P definiert als die Laufzeit des besten Algorithmus, welcher P berechnet. Hier genügt uns noch weniger als die Größenordnung O: 11 Definition: Die Klasse P ist die Menge aller Entscheidungsprobleme, für welche es eine Zahl k N gibt, so dass die Komplexität des Problems O(n k ) ist. 268
13 P steht für polynomiale Komplexität. Probleme aus P nennt man auch effizient berechenbar. Warum ist P eine vernünftige Problemklasse? P ist weitestgehend unabhängig vom Maschinenmodell, also davon, was man als elemtare Schritte auffasst. Wir hatten auf den letzten Seiten ohne es explizit zu sagen das Random Access Memory (RAM) Modell verwendet. Verwendet man stattdessen z.b. das Modell der Turingmaschine, so ändert sich P nicht. P ist weitestgehend unabhängig von der gewählten Binärcodierung für die Eingabe. Für Probleme, die nicht in P liegen, wächst die Komplexität superpolynomial mit n. Für die Praxis sind solche Laufzeiten definitiv viel zu lang. 12 Beispiel: Das Problem Entscheide, ob k der ggt von a und b ist, liegt in P. Begründung: Es ist n = Länge einer Binärcodierung von k, a und b. Berechne ggt(a, b) mit dem Euklidischen Algorithmus (Laufzeit O(n)) und vergleiche das Ergebnis mit k (Laufzeit O(log(n)). Gesamtlaufzeit t(n) = O(n) + O(log(n)) = O(n). 269
14 Eine fundamentale Schwierigkeit: Zugehörigkeit eines Problems zu P kann man durch Angabe eines geeigneten Algorithmus nachweisen. Will man zeigen, dass ein Problem nicht zu P gehört, muss man zeigen, dass keine Algorithmen mit polynomialer Komplexität existieren. Dies ist sehr schwierig. Es ist noch für kein praktisch relevantes Problem gelungen zu zeigen, dass es nicht effizient berechenbar ist. Nicht effizient berechenbar ist deshalb keine günstige Art, schwierige Probleme zu charakterisieren. Alternative: Aus der eigenen Erfahrung wissen wir: Es ist in der Regel wesentlich schwieriger, eine Lösung zu bestimmen als nachzuprüfen, ob ein Lösungsvorschlag tatsächlich eine Lösung ist. Dies geht in die beiden nächsten Definitionen ein. 13 Definition: Gegeben ist ein Entscheidungsproblem P : D {0, 1} und eine Menge von Zertifikaten Z. Eine Funktion V : D Z {0, 1} verifiziert P, wenn es für jede Instanz (S, P) von P mit P(S) = 1 ein Zertifikat z = z(s) gibt mit V (S, z) = 1, und umgekehrt aus V (S, z) = 1 stets P(S) = 1 folgt. Die Größen n bzw. m von S bzw. z(s) müssen dabei m = O(n k ) erfüllen. (z darf höchstens polynomial in S wachsen.) 270
15 14 Beispiel: Das Problem Entscheide, ob p N keine Primzahl ist, wird verifiziert durch die Funktion V, welche jedem Paar (p, a) mit a {2,..., p} den Wert 1 zuordnet, wenn p durch a teilbar ist und 0 sonst. Es ist also Z = {2,..., p}. Ein Algorithmus für V ist die Division mit Rest mit anschließendem Test, ob der Rest 0 ist. Für p = 5529 ist z(p) = 57 ein Zertifikat mit V (5529, 57) = 1. Es ist leichter auszurechnen, dass 57 die Zahl 5529 teilt, als zu zeigen, dass 5529 keine Primzahl ist. 271
16 15 Definition: Die Klasse NP besteht aus all den (Entscheidungs-) Problemen, welche von einer Funktion verifiziert werden, für die es einen Algorithmus mit polynomialer Laufzeit gibt. Die Bezeichnung NP kommt daher, weil man die Klasse äquivalent charakterisieren kann als die Probleme, welche mit einem nichtdeterministischen Algorithmus in polynomialer Zeit berechnet werden können. 16 Satz: P NP Beweis Sei P : D {0, 1} aus P. Nehme eine beliebige Menge als Zertifikatmenge Z und setze V : D Z {0, 1} als V (S, v) = P(S). Der polynomiale Algorithmus, welcher P berechnet, berechnet auch V. Die Eingabe z wird dabei einfach ignoriert. Und die größte offene Frage der Theoretischen Informatik ist nun: Gilt P = NP? Die Frage ist ungeklärt, aber fast alle glauben dass die richtige Antwort Nein heißt, u.a. wegen des folgenden Resultates. 272
17 17 Satz: Die Klasse der NP-vollständigen Probleme ist nicht leer. Diese Klasse besteht aus all den Problemen aus NP, für die gilt: Liegt P in P, so ist P = NP. Hat man für ein NP-vollständiges Problem P gezeigt P P, so ist P = NP. Das hat bis jetzt noch niemand geschafft. Glaubt man P NP, so liegen NP-vollständige Probleme also nicht in P, sind also nicht effizient berechenbar. Merke: NP-vollständig bedeutet höchstwahrscheinlich in der Praxis nicht mit einem Algorithmus berechenbar 273
18 7.2.4 NP-vollständige Probleme Die folgenden Probleme sind alle als NP-vollständig nachgewiesen. Die Beweise können wir im Rahmen dieser Vorlesung nicht bringen. 18 Beispiel: a) Das Problem des Handlungsreisenden b) Das Teilsummenproblem 19 Beispiel: Das Erfüllbarkeitsproblem: Gegeben ist eine aussagenlogische Formel mit n Aussageveriabeln. Gibt es eine Belegung der Variabeln, so dass die Formel den Wert true annimmt? Viele andere NP-vollständige Probleme beziehen sich auf Graphen. 20 Definition: Ein Graph ist eine Menge von Knoten, von denen einige durch Kanten verbunden sind. 274
19 Beispiel: Haus vom Nikolaus 21 Beispiel: Das Hamilton-Kreis-Problem: Existiert in einem Graph ein Hamilton-Kreis, d.h. ein Rundweg über die Kanten, der jeden Knoten genau einmal besucht? 22 Beispiel: Das Cliquen-Problem: Gibt es eine Clique der Größe k in einem Graphen? Eine Clique ist eine Teilmenge von Knoten, von denen zwei verschiedene stets auf einer gemeinsamen Kante liegen. Die Größe der Clique ist die Anzahl ihrer Knoten. Mehr zu Komplexität und Rechnermodellen: Automaten, Sprachen, Berechenbarkeit (Master) 275
Hier ist ein einfaches Turingprogramm. Außer dem Leerzeichen ist das Band nur mit. 1 belegt.
Die Turingmaschine besteht aus der Steuereinheit, die verschiedene Zustände annimmt dem Band, welches unendlich ausgedehnt ist, aber nur auf einem endlichem Bereich mit Zeichen aus einem Alphabet beschrieben
MehrTheoretische Grundlagen der Informatik
Theoretische Grundlagen der Informatik Vorlesung am 20. November 2014 INSTITUT FÜR THEORETISCHE 0 KIT 20.11.2014 Universität des Dorothea Landes Baden-Württemberg Wagner - Theoretische und Grundlagen der
MehrZeitkomplexität (1) Proseminar Theoretische Informatik. Proseminar Theoretische Informatik: Lisa Dohrmann 1
Zeitkomplexität (1) Proseminar Theoretische Informatik Proseminar Theoretische Informatik: Lisa Dohrmann 1 Warum Komplexitätsbetrachtung? Ein im Prinzip entscheidbares und berechenbares Problem kann in
MehrÜbung zur Vorlesung Berechenbarkeit und Komplexität
RWTH Aachen Lehrgebiet Theoretische Informatik Reidl Ries Rossmanith Sanchez Tönnis WS 2012/13 Übungsblatt 7 26.11.2012 Übung zur Vorlesung Berechenbarkeit und Komplexität Aufgabe T15 Entwickeln Sie ein
Mehr12. Woche: Verifizierer, nicht-deterministische Turingmaschine, Klasse NP
12 Woche: Verifizierer, nicht-deterministische Turingmaschine, Klasse NP 12 Woche: Verifizierer, nicht-deterministische Turingmaschine, NP 254/ 333 Polynomielle Verifizierer und NP Ḋefinition Polynomieller
MehrPraktische Grenzen der Berechenbarkeit
Arno Schwarz Praktische Grenzen der Berechenbarkeit Während es im ersten Abschnitt um prinzipiell unlösbare Probleme ging, wenden wir uns nun Aufgaben zu, deren Lösbarkeit praktische Grenzen gesetzt sind.
MehrEinführung (1/3) Vorlesungen zur Komplexitätstheorie: Reduktion und Vollständigkeit (1) Vorlesungen zur Komplexitätstheorie.
Einführung (1/3) 3 Wir verfolgen nun das Ziel, Komplexitätsklassen mit Hilfe von charakteristischen Problemen zu beschreiben und zu strukturieren Vorlesungen zur Komplexitätstheorie: Reduktion und Vollständigkeit
MehrAbgabe: (vor der Vorlesung) Aufgabe 2.1 (P) O-Notation Beweisen Sie die folgenden Aussagen für positive Funktionen f und g:
TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN FAKULTÄT FÜR INFORMATIK Lehrstuhl für Sprachen und Beschreibungsstrukturen SS 2009 Grundlagen: Algorithmen und Datenstrukturen Übungsblatt 2 Prof. Dr. Helmut Seidl, S. Pott,
Mehrabgeschlossen unter,,,, R,
Was bisher geschah Turing-Maschinen können Sprachen L X akzeptieren entscheiden Funktionen berechnen f : X X (partiell) Menge aller Turing-akzeptierbaren Sprachen genau die Menge aller Chomsky-Typ-0-Sprachen
MehrGrundlagen der Informatik Kapitel 20. Harald Krottmaier Sven Havemann
Grundlagen der Informatik Kapitel 20 Harald Krottmaier Sven Havemann Agenda Klassen von Problemen Einige Probleme... Approximationsalgorithmen WS2007 2 Klassen P NP NP-vollständig WS2007 3 Klasse P praktisch
MehrUnentscheidbarkeitssätze der Logik
Unentscheidbarkeitssätze der Logik Elmar Eder () Unentscheidbarkeitssätze der Logik 1 / 30 Die Zahlentheorie ist nicht formalisierbar Satz (Kurt Gödel) Zu jedem korrekten formalen System der Zahlentheorie
MehrPolynomielle Verifizierer und NP
Polynomielle Verifizierer und NP Definition Polynomieller Verifizierer Sei L Σ eine Sprache. Eine DTM V heißt Verifizierer für L, falls V für alle Eingaben w Σ hält und folgendes gilt: w L c Σ : V akzeptiert
MehrEinführung in die Theoretische Informatik
Technische Universität München Fakultät für Informatik Prof. Tobias Nipkow, Ph.D. Sascha Böhme, Lars Noschinski Sommersemester 2011 Lösungsblatt 9 25. Juli 2011 Einführung in die Theoretische Informatik
MehrEinführung in Berechenbarkeit, Formale Sprachen und Komplexitätstheorie
Einführung in Berechenbarkeit, Formale Sprachen und Komplexitätstheorie Wintersemester 2005/2006 20.12.2005 18. Vorlesung 1 Komplexitätstheorie - Zeitklassen Komplexitätsmaße Wiederholung: O,o,ω,Θ,Ω Laufzeitanalyse
MehrKomplexität von Algorithmen Musterlösungen zu ausgewählten Übungsaufgaben
Dieses Dokument soll mehr dazu dienen, Beispiele für die formal korrekte mathematische Bearbeitung von Aufgaben zu liefern, als konkrete Hinweise auf typische Klausuraufgaben zu liefern. Die hier gezeigten
MehrAufgabe Mögliche Punkte Erreichte Punkte a b c d Σ a b c d Σ x1 13
Universität Karlsruhe Theoretische Informatik Fakultät für Informatik WS 2003/04 ILKD Prof. Dr. D. Wagner 14. April 2004 2. Klausur zur Vorlesung Informatik III Wintersemester 2003/2004 Hier Aufkleber
MehrPräsenzübung Berechenbarkeit und Komplexität
Lehrstuhl für Informatik 1 WS 2013/14 Prof. Dr. Berthold Vöcking 28.01.2014 Kamal Al-Bawani Benjamin Ries Präsenzübung Berechenbarkeit und Komplexität Musterlösung Name:...................................
MehrLaufzeit einer DTM, Klasse DTIME
Laufzeit einer DTM, Klasse DTIME Definition Laufzeit einer DTM Sei M eine DTM mit Eingabealphabet Σ, die bei jeder Eingabe hält. Sei T M (w) die Anzahl der Rechenschritte d.h. Bewegungen des Lesekopfes
MehrObjektorientierte Programmierung VL: Prof. Dr. Marco Block-Berlitz - Freie Universität Berlin Proinformatik III
Objektorientierte Programmierung VL: Prof. Dr. Marco Block-Berlitz - Freie Universität Berlin Proinformatik III Text: Hinnerk van Bruinehsen - Grafiken: Jens Fischer powered by SDS.mint SoSe 2011 1 Teil
MehrAngewandte Mathematik am Rechner 1
Angewandte Mathematik am Rechner 1 SOMMERSEMESTER 2017 Kapitel 3 [Bildquellen: Wikipedia User David Madore, Inductiveload ] Grundlagen 2: Funktionen, Berechenbarkeit und emergente Komplexität Michael Wand
MehrKlausur: Berechenbarkeit und Komplexität (Niedermeier/Chen/Froese/Sorge, Sommersemester 2016)
Technische Universität Berlin, Berlin, 28.07.2016 Name:... Matr.-Nr.:... Klausur: Berechenbarkeit und Komplexität (Niedermeier/Chen/Froese/Sorge, Sommersemester 2016) Einlesezeit: Bearbeitungszeit: Max.
MehrÜbungsblatt Nr. 5. Lösungsvorschlag
Institut für Kryptographie und Sicherheit Prof. Dr. Jörn Müller-Quade Dirk Achenbach Tobias Nilges Vorlesung Theoretische Grundlagen der Informatik Übungsblatt Nr. 5 Aufgabe 1: Eine schöne Bescherung (K)
Mehr1. Asymptotische Notationen 2. Zahlentheoretische Algorithmen 3. Sortierverfahren 4. String Matching 5. Ausgewählte Datenstrukturen
Gliederung 1. Asymptotische Notationen 2. Zahlentheoretische Algorithmen 3. Sortierverfahren 4. String Matching 5. Ausgewählte Datenstrukturen 1/1, Folie 1 2009 Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Effiziente
MehrP, NP und NP -Vollständigkeit
P, NP und NP -Vollständigkeit Mit der Turing-Maschine haben wir einen Formalismus kennengelernt, um über das Berechenbare nachdenken und argumentieren zu können. Wie unsere bisherigen Automatenmodelle
Mehr3.3 Laufzeit von Programmen
3.3 Laufzeit von Programmen Die Laufzeit eines Programmes T(n) messen wir als die Zahl der Befehle, die für die Eingabe n abgearbeitet werden Betrachten wir unser Programm zur Berechnung von Zweierpotenzen,
MehrTeil III. Komplexitätstheorie
Teil III Komplexitätstheorie 125 / 160 Übersicht Die Klassen P und NP Die Klasse P Die Klassen NP NP-Vollständigkeit NP-Vollständige Probleme Weitere NP-vollständige Probleme 127 / 160 Die Klasse P Ein
MehrWelche Probleme können Rechner (effizient) lösen? Die P = NP Frage. Ideen der Informatik Kurt Mehlhorn
Welche Probleme können Rechner (effizient) lösen? Die P = NP Frage Ideen der Informatik Kurt Mehlhorn Gliederung Ziele von Theorie Gibt es Probleme, die man prinzipiell nicht mit einem Rechner lösen kann?
MehrKochrezept für NP-Vollständigkeitsbeweise
Kochrezept für NP-Vollständigkeitsbeweise Prof. Dr. Berthold Vöcking Lehrstuhl Informatik 1 Algorithmen und Komplexität RWTH Aachen 11. Januar 2010 Berthold Vöcking, Informatik 1 () Vorlesung Berechenbarkeit
MehrLösungen zur Vorlesung Berechenbarkeit und Komplexität
Lehrstuhl für Informatik 1 WS 009/10 Prof. Dr. Berthold Vöcking 0.0.010 Alexander Skopalik Thomas Kesselheim Lösungen zur Vorlesung Berechenbarkeit und Komplexität. Zulassungsklausur Aufgabe 1: (a) Worin
Mehr1 Einführung. 2 Typ-0- und Typ-1-Sprachen. 3 Berechnungsmodelle. 4 Unentscheidbarkeit. 5 Unentscheidbare Probleme. 6 Komplexitätstheorie
1 Einführung 2 Typ-0- und Typ-1-Sprachen 3 Berechnungsmodelle 4 Unentscheidbarkeit 5 Unentscheidbare Probleme 6 Komplexitätstheorie 139 Unentscheidbarkeit Überblick Zunächst einmal definieren wir formal
Mehr2. Grundlagen. Beschreibung von Algorithmen durch Pseudocode. Korrektheit von Algorithmen durch Invarianten.
2. Grundlagen Beschreibung von Algorithmen durch Pseudocode. Korrektheit von Algorithmen durch Invarianten. Laufzeitverhalten beschreiben durch O-Notation. 1 Beispiel Minimum-Suche Eingabe bei Minimum
MehrBerechenbarkeitstheorie 19. Vorlesung
1 Berechenbarkeitstheorie Dr. Institut für Mathematische Logik und Grundlagenforschung WWU Münster WS 15/16 Alle Folien unter Creative Commons Attribution-NonCommercial 3.0 Unported Lizenz. Erinnerung:
MehrVorlesung Berechenbarkeit und Komplexität alias Theoretische Informatik: Komplexitätstheorie und effiziente Algorithmen. Wintersemester 2012/13
Vorlesung Berechenbarkeit und Komplexität alias Theoretische Informatik: und effiziente Algorithmen Wintersemester 2012/13 Prof. Barbara König Übungsleitung: Henning Kerstan & Sebastian Küpper Barbara
Mehr1.Klausur Diskrete Mathematik Seite 1 von 22
1.Klausur Diskrete Mathematik Seite 1 von 22 1. Welche der folgenden Aussagen zum Halteproblem ist richtig? A. Jedes Problem ist auf das Halteproblem reduzierbar. B. HP ist die einzige Sprache, die rekursiv
Mehr2.5 Halteproblem und Unentscheidbarkeit
38 25 Halteproblem und Unentscheidbarkeit Der Berechenbarkeitsbegriff ist auf Funktionen zugeschnitten Wir wollen nun einen entsprechenden Begriff für Mengen einführen Definition 255 Eine Menge A Σ heißt
MehrGrundlagen der Mathematik
Universität Hamburg Winter 2016/17 Fachbereich Mathematik Janko Latschev Grundlagen der Mathematik Lösungsskizzen 2 Präsenzaufgaben (P2) Wir betrachten drei Teilmengen der natürlichen Zahlen: - A = {n
MehrÜberlegungen zum P-NP-Problem
Überlegungen zum P-NP-Problem In meinem Informatikstudium hat mich das P-NP-Problem ungemein fasziniert, weil es sich augenscheinlich um ein sehr schwieriges Problem handelt, an dem sich schon viele kluge
MehrAllgemeines Halteproblem Hilberts 10. Problem
Allgemeines Halteproblem Hilberts 10. Problem Prof. Dr. Berthold Vöcking Lehrstuhl Informatik 1 Algorithmen und Komplexität RWTH Aachen November 2011 Berthold Vöcking, Informatik 1 () Vorlesung Berechenbarkeit
MehrDer Primzahltest von Agrawal, Kayal und Saxena. Dr. Gerold Jäger
Der Primzahltest von Agrawal, Kayal und Saxena Dr. Gerold Jäger Habilitationsvortrag Christian-Albrechts-Universität zu Kiel Institut für Informatik 19. Januar 2011 Dr. Gerold Jäger Habilitationsvortrag
Mehr1. Klausur zur Vorlesung Informatik III Wintersemester 2003/2004. Mit Lösung!
Universität Karlsruhe Theoretische Informatik Fakultät für Informatik WS 23/4 ILKD Prof. Dr. D. Wagner 2. Februar 24. Klausur zur Vorlesung Informatik III Wintersemester 23/24 Mit Lösung! Beachten Sie:
MehrEinführung in die Theoretische Informatik
Technische Universität München Fakultät für Informatik Prof. Tobias Nipkow, Ph.D. Dr. Werner Meixner, Dr. Alexander Krauss Sommersemester 2010 Lösungsblatt 11 15. Juli 2010 Einführung in die Theoretische
Mehr1 Prädikatenlogik: Korrektheit, Vollständigkeit, Entscheidbarkeit
1 Prädikatenlogik: Korrektheit, Vollständigkeit, Entscheidbarkeit 1.1 Korrektheit Mit dem Kalkül der Prädikatenlogik, z.b. dem Resolutionskalkül, können wir allgemeingültige Sätze beweisen. Diese Sätze
MehrUnentscheidbare Probleme: Diagonalisierung
Unentscheidbare Probleme: Diagonalisierung Prof Dr Berthold Vöcking Lehrstuhl Informatik 1 Algorithmen und Komplexität RWTH Aachen Oktober 2011 Berthold Vöcking, Informatik 1 () Vorlesung Berechenbarkeit
MehrDie Klassen P und NP. Formale Grundlagen der Informatik 1 Kapitel 11. Die Klassen P und NP. Die Klasse P
Die Klassen Formale Grundlagen der Informatik 1 Kapitel 11 Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de P := {L es gibt ein Polynom p und eine p(n)-zeitbeschränkte DTM A mit L(A) = L} = i 1 DTIME(n
MehrTheoretische Informatik. Berechenbarkeit
Theoretische Informatik Berechenbarkeit 1 Turing Maschine Endlicher Automat mit unendlichem Speicher Ein Modell eines realen Computers Was ein Computer berechnen kann, kann auch eine TM berechnen. Was
MehrGrundlagen der Theoretischen Informatik
Grundlagen der Theoretischen Informatik Turingmaschinen und rekursiv aufzählbare Sprachen (V) 16.07.2015 Viorica Sofronie-Stokkermans e-mail: sofronie@uni-koblenz.de 1 Übersicht 1. Motivation 2. Terminologie
Mehr1 Einführung. 2 Typ-0- und Typ-1-Sprachen. 3 Berechnungsmodelle. 4 Unentscheidbarkeit. 5 Unentscheidbare Probleme. 6 Komplexitätstheorie
1 Einführung 2 Typ-0- und Typ-1-Sprachen 3 Berechnungsmodelle 4 Unentscheidbarkeit 5 Unentscheidbare Probleme 6 Komplexitätstheorie WS 11/12 155 Überblick Zunächst einmal definieren wir formal den Begriff
MehrKlausur zur Vorlesung Mathematische Logik
Universität Heidelberg 13. Februar 2014 Institut für Informatik Prof. Dr. Klaus Ambos-Spies Dipl.-Math. Thorsten Kräling Klausur zur Vorlesung Mathematische Logik Musterlösung Aufgabe 1 (Aussagenlogik
Mehr11. Woche: Turingmaschinen und Komplexität Rekursive Aufzählbarkeit, Entscheidbarkeit Laufzeit, Klassen DTIME und P
11 Woche: Turingmaschinen und Komplexität Rekursive Aufzählbarkeit, Entscheidbarkeit Laufzeit, Klassen DTIME und P 11 Woche: Turingmaschinen, Entscheidbarkeit, P 239/ 333 Einführung in die NP-Vollständigkeitstheorie
MehrKapitel L:II. II. Aussagenlogik
Kapitel L:II II. Aussagenlogik Syntax der Aussagenlogik Semantik der Aussagenlogik Eigenschaften des Folgerungsbegriffs Äquivalenz Formeltransformation Normalformen Bedeutung der Folgerung Erfüllbarkeitsalgorithmen
MehrGrundlagen der Programmierung
GdP12 Slide 1 Grundlagen der Programmierung Vorlesung 12 Sebastian Iwanowski FH Wedel GdP12 Slide 2 Entwurf von Algorithmen Wie klassifiziert man Algorithmen? offensichtlich nicht durch die Unterscheidung
MehrLösungen zur 1. Klausur. Einführung in Berechenbarkeit, formale Sprachen und Komplexitätstheorie
Hochschuldozent Dr. Christian Schindelhauer Paderborn, den 21. 2. 2006 Lösungen zur 1. Klausur in Einführung in Berechenbarkeit, formale Sprachen und Komplexitätstheorie Name :................................
MehrTheoretische Grundlagen der Informatik
Theoretische Grundlagen der Informatik 0 KIT 17.05.2010 Universität des Dorothea Landes Baden-Württemberg Wagner - Theoretische und Grundlagen der Informatik nationales Forschungszentrum Vorlesung in am
MehrProbleme aus NP und die polynomielle Reduktion
Probleme aus NP und die polynomielle Reduktion Prof. Dr. Berthold Vöcking Lehrstuhl Informatik 1 Algorithmen und Komplexität RWTH Aachen 15. Dezember 2009 Berthold Vöcking, Informatik 1 () Vorlesung Berechenbarkeit
MehrInformatik-Grundlagen
Informatik-Grundlagen Komplexität Karin Haenelt 1 Komplexitätsbetrachtungen: Ansätze Sprachentheorie Klassifiziert Mengen nach ihrer strukturellen Komplexität Komplexitätstheorie Klassifiziert Probleme
MehrEinführung in die Informatik 2
Einführung in die Informatik 2 NP-Vollständigkeit Sven Kosub AG Algorithmik/Theorie komplexer Systeme Universität Konstanz E 202 Sven.Kosub@uni-konstanz.de Sprechstunde: Freitag, 12:30-14:00 Uhr, o.n.v.
Mehr1 Einführung. 2 Typ-0- und Typ-1-Sprachen. 3 Berechnungsmodelle. 4 Unentscheidbarkeit. 5 Unentscheidbare Probleme. 6 Komplexitätstheorie
1 Einführung 2 Typ-0- und Typ-1-Sprachen 3 Berechnungsmodelle 4 Unentscheidbarkeit 5 Unentscheidbare Probleme 6 Komplexitätstheorie 15 Ziele vgl. AFS: Berechnungsmodelle für Typ-0- und Typ-1-Sprachen (Nicht-)Abschlußeigenschaften
MehrAuffrischung Einige (wenige) Grundlagen der Theoretischen Informatik
Logik, Berechenbarkeit und Komplexität Sommersemester 2008 Fachhochschule Wiesbaden Prof. Dr. Steffen Reith Auffrischung Einige (wenige) Grundlagen der Theoretischen Informatik 1 Turingmaschinen - Ein
MehrDie Unentscheidbarkeit extensionaler Eigenschaften von Turingmaschinen: der Satz von Rice
Die Unentscheidbarkeit extensionaler Eigenschaften von Turingmaschinen: der Satz von Rice Holger Arnold Dieser Text befasst sich mit der Frage, unter welchen Bedingungen das Problem, zu bestimmen, ob die
MehrLOOP-Programme: Syntaktische Komponenten
LOOP-Programme: Syntaktische Komponenten LOOP-Programme bestehen aus folgenden Zeichen (syntaktischen Komponenten): Variablen: x 0 x 1 x 2... Konstanten: 0 1 2... Operationssymbole: + Trennsymbole: ; :=
MehrKapitel 1.4. Exkurs: Entscheidbarkeit und Komplexität. Mathematische Logik (WS 2012/3) K. 1.4: Entscheidbarkeit und Komplexität 1/10
Kapitel 1.4 Exkurs: Entscheidbarkeit und Komplexität Mathematische Logik (WS 2012/3) K. 1.4: Entscheidbarkeit und Komplexität 1/10 Algorithmen Ein Algorithmus oder eine Rechenvorschrift ist ein effektives
Mehr8 Komplexitätstheorie
8 Komplexitätstheorie Formale Grundlagen der Informatik I Herbstsemester 2012 Robert Marti Vorlesung teilweise basierend auf Unterlagen von Prof. emer. Helmut Schauer Grundidee der Komplexitätstheorie
MehrReduktion / Hilberts 10. Problem
Reduktion / Hilberts 10. Problem Prof. Dr. Berthold Vöcking Lehrstuhl Informatik 1 Algorithmen und Komplexität RWTH Aachen 9. November 2009 Berthold Vöcking, Informatik 1 () Vorlesung Berechenbarkeit und
MehrTheoretische Grundlagen der Informatik
Theoretische Grundlagen der Informatik Vorlesung am 23. November 2017 INSTITUT FÜR THEORETISCHE 0 23.11.2017 Dorothea Wagner - Theoretische Grundlagen der Informatik INSTITUT FÜR THEORETISCHE KIT Die Forschungsuniversität
MehrBerechenbarkeit und Komplexität
Berechenbarkeit und Komplexität Prof. Dr. Dietrich Kuske FG Theoretische Informatik, TU Ilmenau Wintersemester 2010/11 1 Organisatorisches zur Vorlesung Informationen, aktuelle Version der Folien und Übungsblätter
MehrMusterlösung zur Hauptklausur Theoretische Grundlagen der Informatik Wintersemester 2013/14
Institut für Theoretische Informatik Prof. Dr. Jörn Müller-Quade Musterlösung zur Hauptklausur Theoretische Grundlagen der Informatik Wintersemester 23/4 Vorname Nachname Matrikelnummer Hinweise Für die
MehrDie Reduktion Hilberts 10. Problem
Die Reduktion Hilberts 10. Problem Prof. Dr. Berthold Vöcking Lehrstuhl Informatik 1 Algorithmen und Komplexität RWTH Aachen 8. November 2010 Berthold Vöcking, Informatik 1 () Vorlesung Berechenbarkeit
MehrWeitere NP-vollständige Probleme
Weitere NP-vollständige Probleme Wir betrachten nun folgende Reduktionskette und weisen dadurch nach, daß alle diese Probleme NP-hart sind (sie sind auch in NP und damit NP-vollständig). SAT p 3-SAT p
Mehr1.2 Eigenschaften der ganzen Zahlen
Lineare Algebra I WS 2015/16 c Rudolf Scharlau 13 1.2 Eigenschaften der ganzen Zahlen Dieser Abschnitt handelt von den gewöhlichen ganzen Zahlen Z und ihren Verknüpfungen plus und mal. Man kann die natürlichen
MehrEntscheidungsprobleme
Entscheidungsprobleme übliche Formulierung gegeben: Eingabe x aus einer Grundmenge U Frage: Hat x eine bestimmte Eigenschaft P? Beispiel: gegeben: Frage: n N Ist n eine Primzahl? Formalisierung: Grundmenge
MehrKomplexita tstheorie eine erste Ubersicht. KTV bedeutet: Details erfahren Sie in der Komplexitätstheorie-Vorlesung.
Komplexita tstheorie eine erste Ubersicht KTV bedeutet: Details erfahren Sie in der Komplexitätstheorie-Vorlesung. Probleme Problem = Menge von unendlich vielen konkreten Einzelfragen (Instanzen) F n,
MehrTheoretische Informatik 1
Theoretische Informatik 1 Nichtdeterminismus David Kappel Institut für Grundlagen der Informationsverarbeitung TU Graz SS 2012 Übersicht Nichtdeterminismus NTM Nichtdeterministische Turingmaschine Die
Mehr1 Zahlentheorie. 1.1 Kongruenzen
3 Zahlentheorie. Kongruenzen Der letzte Abschnitt zeigte, daß es sinnvoll ist, mit großen Zahlen möglichst einfach rechnen zu können. Oft kommt es nicht darauf, an eine Zahl im Detail zu kennen, sondern
MehrF3 Berechenbarkeit und Komplexität
F3 Berechenbarkeit und Komplexität Berndt Farwer Fachbereich Informatik AB Theoretische Grundlagen der Informatik (TGI) Universität Hamburg farwer@informatik.uni-hamburg.de F3 01/02 p.1/70 Zielgruppe 1.
Mehr3. Klausur Einführung in die Theoretische Informatik Seite 1 von Welches der folgenden klassischen Probleme der Informatik ist entscheidbar?
3. Klausur Einführung in die Theoretische Informatik Seite 1 von 14 1. Welches der folgenden klassischen Probleme der Informatik ist entscheidbar? A. Gegeben eine kontextfreie Grammatik G. Gibt es ein
MehrTheoretische Grundlagen der Informatik
Theoretische Grundlagen der Informatik Vorlesung am 25. November 2014 INSTITUT FÜR THEORETISCHE 0 KIT 25.11.2014 Universität des Dorothea Landes Baden-Württemberg Wagner - Theoretische und Grundlagen der
MehrAlgorithmische Methoden für schwere Optimierungsprobleme
Algorithmische Methoden für schwere Optimierungsprobleme Prof. Dr. Henning Meyerhenke Institut für Theoretische Informatik 1 KIT Henning Universität desmeyerhenke, Landes Baden-Württemberg Institutund
MehrGrundlagen Theoretischer Informatik 2 WiSe 2011/12 in Trier. Henning Fernau Universität Trier
Grundlagen Theoretischer Informatik 2 WiSe 2011/12 in Trier Henning Fernau Universität Trier fernau@uni-trier.de 1 Grundlagen Theoretischer Informatik 2 Gesamtübersicht Organisatorisches; Einführung Ersetzungsverfahren:
MehrNP-Vollständigkeit. Krautgartner Martin (9920077) Markgraf Waldomir (9921041) Rattensberger Martin (9921846) Rieder Caroline (0020984)
NP-Vollständigkeit Krautgartner Martin (9920077) Markgraf Waldomir (9921041) Rattensberger Martin (9921846) Rieder Caroline (0020984) 0 Übersicht: Einleitung Einteilung in Klassen Die Klassen P und NP
Mehr2. Schriftliche Leistungskontrolle (EK)
TheGI 2: Berechenbarkeit und Komplexität Prof. Dr.-Ing. Uwe Nestmann - 13. Juli 2010 2. Schriftliche Leistungskontrolle EK Punktzahl In dieser schriftlichen Leistungskontrolle sind 100 Punkte erreichbar.
MehrUnentscheidbarkeit von Problemen mittels Turingmaschinen
Unentscheidbarkeit von Problemen mittels Turingmaschinen Daniel Roßberg 0356177 Roland Schatz 0355521 2. Juni 2004 Zusammenfassung In dieser Arbeit befassen wir uns mit der Unentscheidbarkeit von Problemen
MehrTheoretische Grundlagen der Informatik
Theoretische Grundlagen der Informatik Vorlesung am 7. Dezember 2017 INSTITUT FÜR THEORETISCHE 0 07.12.2017 Dorothea Wagner - Theoretische Grundlagen der Informatik INSTITUT FÜR THEORETISCHE KIT Die Forschungsuniversität
Mehr11. Übungsblatt. x y(top(push(x, y)) = y)
Logik, Berechenbarkeit und Komplexität Sommersemester 2012 Hochschule RheinMain Prof. Dr. Steffen Reith 11. Übungsblatt 1. Ein Keller (engl. stack) ist eine bekannte Datenstruktur. Sei die Signatur S =
MehrÜbung Algorithmen und Datenstrukturen
Übung Algorithmen und Datenstrukturen Sommersemester 2016 Patrick Schäfer, Humboldt-Universität zu Berlin Organisation Vorlesung: Montag 11 13 Uhr Marius Kloft RUD 26, 0 115 Mittwoch 11 13 Uhr Marius Kloft
Mehr1.Klausur Diskrete Mathematik Seite 1 von 22
1.Klausur Diskrete Mathematik Seite 1 von 22 1. Welche der folgenden Aussagen zum Halteproblem ist falsch? A. Für jeden nichtdeterministischen Automaten N kann entschieden werden, ob N die Eingabe akzeptiert,
MehrEinführung in die Theoretische Informatik
Technische Universität München Fakultät für Informatik Prof. Tobias Nipkow, Ph.D. Sascha Böhme, Lars Noschinski Sommersemester 2011 Lösungsblatt 11 1. August 2011 Einführung in die Theoretische Informatik
MehrKomplexität von Algorithmen
Komplexität von Algorithmen Prof. Dr. Christian Böhm WS 07/08 in Zusammenarbeit mit Gefei Zhang http://www.dbs.informatik.uni-muenchen.de/lehre/nfinfosw Ressourcenbedarf - Größenordnungen Prozesse verbrauchen
MehrProseminar Komplexitätstheorie P versus NP Wintersemester 2006/07. Nichtdeterministische Turingmaschinen und NP
Proseminar Komplexitätstheorie P versus NP Wintersemester 2006/07 Vortrag am 17.11.2006 Nichtdeterministische Turingmaschinen und NP Yves Radunz Inhaltsverzeichnis 1 Wiederholung 3 1.1 Allgemeines........................................
MehrPolynomialzeit- Approximationsschema
Polynomialzeit- Approximationsschema 27.01.2012 Elisabeth Sommerauer, Nicholas Höllermeier Inhalt 1.NP-Vollständigkeit Was ist NP-Vollständigkeit? Die Klassen P und NP Entscheidungsproblem vs. Optimierungsproblem
MehrNP-Vollständigkeit. Anfang der 70er Jahre: Erfolg in der Lösung wichtiger algorithmischer Probleme. Aber viele Probleme widersetzen sich:
NP-Vollständigkeit Anfang der 70er Jahre: Erfolg in der Lösung wichtiger algorithmischer Probleme. Aber viele Probleme widersetzen sich: Überraschende Erkenntnis, viele dieser Probleme, die NP-vollständigen
MehrBerechenbarkeit und Komplexität: Polynomielle Reduktion / NP-Vollständigkeit / Satz von Cook und Levin
Berechenbarkeit und Komplexität: Polynomielle Reduktion / NP-Vollständigkeit / Satz von Cook und Levin Prof. Dr. Berthold Vöcking Lehrstuhl Informatik 1 Algorithmen und Komplexität 11. Januar 2008 Wiederholung
MehrVorlesung Diskrete Strukturen Die natürlichen Zahlen
Vorlesung Diskrete Strukturen Die natürlichen Zahlen Bernhard Ganter WS 2009/10 Alles ist Zahl? Wenn in der modernen Mathematik alles auf Mengen aufgebaut ist, woher kommen dann die Zahlen? Sind Zahlen
MehrEinführung in die Informatik Turing Machines
Einführung in die Informatik Turing Machines Eine abstrakte Maschine zur Präzisierung des Algorithmenbegriffs Wolfram Burgard 1 Motivation und Einleitung Bisher haben wir verschiedene Programmiersprachen
MehrDie Klasse NP und die polynomielle Reduktion
Die Klasse NP und die polynomielle Reduktion Prof. Dr. Berthold Vöcking Lehrstuhl Informatik 1 Algorithmen und Komplexität RWTH Aachen Dezember 2011 Berthold Vöcking, Informatik 1 () Vorlesung Berechenbarkeit
MehrAlgorithmen und Datenstrukturen (ESE) Entwurf, Analyse und Umsetzung von Algorithmen (IEMS) WS 2014 / 2015 Vorlesung 3, Donnerstag 6.
Algorithmen und Datenstrukturen (ESE) Entwurf, Analyse und Umsetzung von Algorithmen (IEMS) WS 2014 / 2015 Vorlesung 3, Donnerstag 6. November 2014 (O-Notation, Theta, Omega) Junior-Prof. Dr. Olaf Ronneberger
MehrAlgorithmentheorie 1. Vorlesung
Algorithmentheorie 1. Vorlesung Martin Dietzfelbinger 6. April 2006 FG KTuEA, TU Ilmenau AT 06.04.2006 Methode, Material Vorlesung Vorlesungsskript (Netz, Copyshop) Folien (im Netz) Vorlesung nachbereiten!
MehrTheoretische Informatik. Exkurs: Komplexität von Optimierungsproblemen. Optimierungsprobleme. Optimierungsprobleme. Exkurs Optimierungsprobleme
Theoretische Informatik Exkurs Rainer Schrader Exkurs: Komplexität von n Institut für Informatik 13. Mai 2009 1 / 34 2 / 34 Gliederung Entscheidungs- und Approximationen und Gütegarantien zwei Greedy-Strategien
MehrStefan Schmid TU Berlin & T-Labs, Berlin, Germany. Reduktionen in der Berechenbarkeitstheorie
Stefan Schmid TU Berlin & T-Labs, Berlin, Germany Reduktionen in der Berechenbarkeitstheorie Problem: Wie komme ich von hier zum Hamburger Hbf? 2 Beispiel P1 Wie komme ich von hier zum Hamburger Hbf? kann
Mehr1 Raumwechsel: Gr. 19 (Fr 12-14, F-334) diese Woche in D Studie zum Arbeitsverhalten von Studierenden unter Leitung
Organisatorisches Algorithmen und Datenstrukturen Kapitel 6 Komplexitätstheorie in P und NP Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 1 Raumwechsel: Gr. 19 (Fr 12-14, F-334) diese Woche in D-129.
Mehr