Dies bewirkt einen höheren Verzweigungsgrad und somit eine niedrigere Höhe des Baumes. Schnelleres Suchen und Manipulieren

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1 5.2 B*-Bäume In B-Bäumen spielen die Indexelemente (x; ) zwei ganz verschiedene Rollen: (i) Der Schlüssel x wird zusammen mit der assoziierten Information gespeichert. (ii) Der Schlüssel x wird zur Navigation bei der Suche verwendet. Für (ii) ist ohne Bedeutung. Definition 5.5 (B*-Baum) B*-Bäume unterscheiden sich von B-Bäumen durch die folgenden Punkte: In inneren Knoten wird auf die Schlüsselinformation verzichtet. Dafür liegen alle Schlüssel zusammen mit der assoziierten Information auf Blattebene. Eigenschaften und Vorteile von B*-Bäumen: Die Paare (x; ) stehen nur auf den Blättern des B*-Baumes. Die redundant gespeicherten Schlüssel in den inneren Knoten erfordern nur einen geringfügigen zusätzlichen Speicherbedarf. Bei vorgegebener Seitengröße können auf den inneren Knoten erheblich mehr Paare der Form (x; p) als Tripel der Form (x; ; p) gespeichert werden. Dies bewirkt einen höheren Verzweigungsgrad und somit eine niedrigere Höhe des Baumes. Schnelleres Suchen und Manipulieren 128

2 Löschen geschieht immer auf einem Blatt. Der Löschalgorithmus wird einfacher. Die Folge der Blätter eines B*-Baumes kann als sequentielle Datei aufgefaßt werden. Ein B*-Baum kann auch aufgefaßt werden als eine sequentielle Datei von Blättern zusammen mit einem Indexteil, der ein B-Baum ist. Der B-Baum enthält dabei nur die Schlüssel ohne assoziierte Information. Veranschaulichung: Index Teil B-Baum von Schluesseln Bemerkung: sequentiell sortierte Datei der Blaetter Wird (x; ) gelöscht, so kann der Schlüssel x weiterhin in einem inneren Knoten verbleiben, denn dort dient er nur zur Steuerung der Suche. 129

3 5.3 Präfix-B-Bäume Idee: In B*-Bäumen wurde der Indexteil nur zur Steuerung der Suche verwendet. Der Indexteil kann Schlüssel enthalten, die in den Blättern nicht vorkommen. Man nehme in den Indexteil nur soviel an Schlüsselinformation auf, wie notwendig ist, um die Suche zu steuern. Dies führt zu einer wesentlichen Komprimierung der in inneren Knoten zu speichernden Daten und damit zu einem noch höheren Verzweigungsgrad und somit zu einer noch geringeren Höhe des Baumes. Definition 5.6 Ein beliebiger Schlüssel s mit der Eigenschaft x k < s < x k+1 heißt Separator für x k und x k+1. Ziel ist es, möglichst kurze Separatoren in den Indexteil aufzunehmen. 130

4 Beispiel 5.3 Gegeben seien die folgenden Schlüssel x 1 bis x 5 : Bigbird, Burt, Cookiemonster, Ernie, Snuffleopogus. Separatoren hierzu sind: Bu, C, E, S Lemma 5.5 (Präfix-Eigenschaft) Die Schlüssel x und y seien Wörter über einem Alphabet und die Schlüsselordnung sei lexikographisch. Es sei x < y. Dann gibt es ein eindeutiges kürzestes Präfix y von y, so daß gilt: 0 (a) y 0 ist Separator für x und y, also x < y 0 y. (b) Kein anderer Separator zwischen x und y ist kürzer als y 0. Bemerkungen: Ein kürzester Separator kann nun beim Spalten eines Blattes in den Indexteil eines B*-Baums aufgenommen werden. Mit Hilfe der Präfixeigenschaft kann solch ein kürzester Separator einfach konstruiert werden. Beim Spalten eines inneren Knotens wird der mittlere Separator ohne eine nochmalige Verkürzung in den Vaterknoten aufgenommen. Definition 5.7 (Präfix-B-Baum) Ein einfacher Präfix-B-Baum ist ein B*-Baum, bei dem beim Spalten von Blättern die kürzesten Präfix-Separatoren in den Indexteil aufgenommen werden. Der Indexteil stellt dabei einen B-Baum mit variabler Schlüssellänge dar. 131

5 Veranschaulichung eines Präfix-B-Baumes: d f j l r ada bus col cpu dump echo egrep filter host internet jitter join kbd kill ld mail nis passwd regex sccs tip Splitintervall: Bei der Verwendung von Schlüsseln variabler Länge geschieht das Splitten natürlich nicht immer genau in der Mitte einer Seite. Man führt deshalb Splitintervalle s und b für Blätter bzw. innere Knoten ein. Man sucht nun für Blätter bzw. innere Knoten nach einem Splitpunkt in den Bereichen [1=2 =2; 1=2 + =2], der einen möglichst kurzen Separator ermöglicht. Die Baumknoten sind dann nicht mehr halb voll. Stattdessen liegt der untere Füllgrad bei (1 s )=2 bzw. (1 b )=2. Vorteile der Splitintervalle: führt dazu, daß möglichst kurze Separatoren in den Indexteil aufgenommen werden. s b führt dazu, daß kürzere Separatoren bevorzugt in Richtung Wurzel wandern. 132

6 Beispiel 5.4 Man betrachte folgende Schlüssel: On, Part, Problem, Problems, Solution, Solutions Ein Split genau in der Mitte (in bezug auf die Anzahl) liefert Problems als kürzesten Separator. Eine Stelle links bzw. rechts davon ergibt sich Pr bzw. S. Bemerkungen: Such- und Einfügealgorithmen bleiben bei Präfix-B-Bäumen im wesentlichen identisch zu B*-Bäumen bzw. B-Bäumen mit variabel langen Schlüsseln. Eine Ausnahme ist die Konstruktion der Präfix-Separatoren. Diese ist aber sehr einfach. Löschen wird in Präfix-B-Bäumen aus den gleichen Gründen wie bei B*-Bäumen einfacher. Einfache Präfix-B-Bäume sind heute die beste und für praktische Anwendungen zu empfehlende Variante der B-Bäume. 133