Elektrische Messtechnik

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1 Elektrische Messtechnik Messung elektrischer und nichtelektrischer Größen von Elmar Schrüfer, Leonhard M. Reindl, Bernhard Zagar 10., neu bearbeitete Auflage Hanser München 2012 Verlag C.H. Beck im Internet: ISBN Zu Inhaltsverzeichnis schnell und portofrei erhältlich bei beck-shop.de DIE FACHBUCHHANDLUNG

2 Leseprobe Elmar Schrüfer, Leonhard M. Reindl, Bernhard Zagar Elektrische Messtechnik Messung elektrischer und nichtelektrischer Größen ISBN (Buch): ISBN (E-Book): Weitere Informationen oder Bestellungen unter sowie im Buchhandel. Carl Hanser Verlag, München

3 2 Messung von Strom und Spannung; spannungs- und stromliefernde Aufnehmer In diesem Kapitel werden zunächst die Geräte zur Strom- und Spannungsmessung vorgestellt, um dann in den Abschnitten 2.4 bis2.9 die Effekte und die Aufnehmer zu behandeln, die nichtelektrische Größen als Strom- oder Spannungssignale darzustellen gestatten und damit elektrisch messbar machen. 2.1 Elektromechanische Messgeräte und ihre Anwendung Messwerke Die nachfolgend erklärten Messgeräte nutzen die zwischen zwei magnetischen Feldern wirkende Kraft zur Messung von Strömen aus. Die Felder können in stromdurchflossenen Leitungen oder in ferromagnetischen Stoffen ihren Ursprung haben. Durch die Kombination dieser Möglichkeiten entstehen Messwerke mit speziellen Vor- und Nachteilen, die von ihrer Wirkungsweise her Strommessgeräte sind [2.1,2.2]. Drehspulmesswerk. Das Drehspulmesswerk enthält eine in dem radialhomogenen Feld eines Dauermagneten beweglich aufgehängte Spule (Bild 2.1). Fließt durch die Spule der Strom I, so wird sie senkrecht zur Richtung des durchgehenden Stroms und senkrecht zur Richtung des Magnetfelds ausgelenkt. Ist l die Länge der Spule im Magnetfeld, d ihr Durchmesser, N ihre Windungszahl und B die Induktion des Dauermagneten, so ist die auf die Spule ausgeübte elektrische Kraft F e F e = lnbi, (2.1) die mit dem Hebelarm d/2 und der Spulenfläche A = d l das elektrische Moment M e M e = 2 d lnbi= ANBI 2 (2.2) ergibt. Damit dieses Moment nicht wie bei einem Gleichstrommotor zu einer dauernden Umdrehung der Spule führt, ist diese durch eine Feder gefesselt. Die von dieser Feder mit der

4 84 2 Messung von Strom und Spannung; spannungs- und stromliefernde Aufnehmer Bild 2.1 Prinzip und Aufbau eines Drehspulmesswerks (Hartmann & Braun) 1 Magnet 2 Polschuhe 3 Drehspule 4 Kern aus Weicheisen 5 Rückstellfedern Federkonstanten c ausgeübte Richtkraft führt zu einem mechanischen Moment M m,dasmit dem Ausschlagwinkel α zunimmt: M m = c α. (2.3) Fließt kein Strom, so wird die Spule durch die Feder in der Nullstellung gehalten. Bei Stromdurchgang wird dann die Spule so weit ausgelenkt, bis das elektrische Moment gleich dem mechanischen ist. In diesem Fall gilt ANBI = c α und (2.4) α = ANB I = ki, (2.5) c wenn die bekannten Größen A, N, B, c in der Konstanten k zusammengefasst werden. Der Ausschlag nimmt also linear mit dem durchgehenden Strom zu; die Empfindlichkeit E = dα di = k = ANB c (2.6) ist konstant. Ändert sich der zu messende Strom, so bewegt sich die Spule im Magnetfeld und in ihr wird die Spannung u induziert: u = N dφ dt = NBAdα dt. (2.7) Diese Spannung hat einen Ausgleichsstrom i zur Folge, der dem Messstrom entgegenwirkt. Dadurch wird bei richtiger Auslegung des Messwerks sein Ausschlag so weit gedämpft, dass der neue Endwert einerseits ohne Überschwingen, andererseits aber auch möglichst schnell erreicht wird.

5 2.1 Elektromechanische Messgeräte und ihre Anwendung 85 Bild 2.2 Spannbandlagerung 1 Drehspule 3 Spannfeder 2 Spannband 4 Abfangvorrichtung [0.1] Um die bei einer Bewegung entstehende Reibung besonders gering zu halten, wird die Drehspule nicht in Steinen gelagert, sondern an einem Spannband aufgehängt (Bild 2.2). Mit der Spule dreht sich das Band und erzeugt das benötigte mechanische Rückstellmoment. Gleichzeitig dient es dem Anschluss der Spule an den äußeren Stromkreis und löst so die drei Aufgaben Lagerung, Rückstellung und Stromzuführung. Die Empfindlichkeit des Drehspulinstruments lässt sich vielen Erfordernissen anpassen. Ströme ab 10 9 A können gemessen werden. Dabei wird in der Spule nur eine geringe Leistung umgesetzt. Der Eigenverbrauch des Drehspulinstruments ist niedrig. Diese Eigenschaft ist wichtig, da die im Messwerk verbrauchte Energie dem Messkreis entzogen wird und so die zu messende Größe unter Umständen verfälscht. Zeitverhalten des Drehspulmesswerks. Ändert sich der durch das Messwerk fließende Strom, so stellen sich Spule und Zeiger auf einen neuen Winkel α ein. Das geht nicht beliebig schnell, da folgende Effekte zu berücksichtigen sind: das Reibungsmoment M m1, das mit dem Proportionalfaktor w der Geschwindigkeit der Winkeländerung proportional ist, M m1 = w α. das Drehmoment M m2, das proportional dem Trägheitsmoment J und der Winkelbeschleunigung ist, M m2 = J α. das elektrische Moment M el,dasdurchdienachgl.(2.7) induzierte Spannung und den daraus resultierenden Strom i hervorgerufen wird. Wenn sich der Gesamtwiderstand des Messwerks aus dem Widerstand der Spule R s und einem in Reihe liegenden Abgleichwiderstand R a zusammensetzt, so entsteht aus der induzierten Spannung der Strom i i = U ind R s + R a = NBA R s + R a α, (2.8) der das elektrische Moment M el zur Folge hat: M el = ANB i. (2.9)

6 86 2 Messung von Strom und Spannung; spannungs- und stromliefernde Aufnehmer Wie in Gl. (2.4) müssen sich die elektrischen und mechanischen Momente die Waage halten: M e + M el = M m + M m1 + M m2 ; (2.10) ANB(I + i) = c α + w α+ J α. (2.11) Indem jetzt (2.8) in die obige Gleichung eingeführt, diese neu geordnet und durch c dividiert wird, entsteht c α + w α + J α + (ANB)2 α = ANB I, R s + R a ( ) w α + c + (ANB)2 α + J ANB α = I. (2.12) c (R s + R a ) c c Das ist eine Differenzialgleichung 2. Ordnung, deren Lösung in Abschnitt diskutiert worden ist. Der Strom I ist das anregende Signal und der Winkel α ist die Antwort. Ein Vergleich von Gl. (2.12) mitgl.(1.145) zeigt, dass der Koeffizient von I die statische Empfindlichkeit k ausdrückt: k = ANB. (2.13) c Dieses Ergebnis stimmt mit Gl. (2.6)überein. Der Koeffizient von α liefert den Kehrwert der Eigenkreisfrequenz des Messwerks: ω 2 0 = 1 T 2 = c J. (2.14) Das Messwerk könnte also mit ω 0 schwingen. Dieses wird mit Hilfe des Abgleichwiderstandes R a vermieden. Er wird so eingestellt, dass ein Dämpfungsfaktor D 1 erreicht wird. Entsprechend Gl. (1.183)lautetfürD = 1dieLösungvonGl.(2.12): α = ANB c I ( 1 T + t ) T e t/t. (2.15) Damit wird bei einer Stromänderung der neue Ausschlag ohne Überschwingen in der kürzest möglichen Zeit erreicht. Elektrodynamisches Messwerk. Bei dem elektrodynamischen Messwerk oder Dynamometer ist der Dauermagnet des Drehspulmesswerks durch einen Elektromagneten ersetzt (Bild 2.3). Dieser kann aus einer Spule mit (eisengeschlossenes elektrodynamisches Messwerk) oder ohne Eisenkern (eisenloses elektrodynamisches Messwerk) bestehen. Wird ein Eisenkern verwendet, so ist er aus einzelnen, gegeneinander isolierten Blechen aufgebaut, um bei der Messung von Wechselströmen die Wirbelstromverluste niedrig zu halten. Ist der magnetische Widerstand des Eisenkreises zu vernachlässigen, und fließt der Strom I 1 durch die Spule mit N 1 Windungen, so ist die magnetische Induktion B in dem Luftspalt der Breite a B = μ 0 N 1 a I 1. (2.16)

7 2.1 Elektromechanische Messgeräte und ihre Anwendung 87 Bild 2.3 Elektrodynamisches Messwerk. a) Prinzip: 1 fest stehende, vom Strom I 1 durchflossene Feldspule mit Eisenkern, 2 bewegliche, vom Strom I 2 durchflossene Spule b) Schaltbild mit 1 Strompfad und 2 Spannungspfad Von diesem Feld wird auf die bewegliche, von dem Strom I 2 durchflossene Spule mit N 2 Windungen und der Fläche A eine Kraft ausgeübt, woraus das elektrische Moment M e M e = μ 0 AN 1 N 2 I 1 I 2 (2.17) a resultiert. Das Rückstellmoment M m wird wie bei dem Drehspulinstrument durch eine Spiralfeder oder durch ein Spannband erzeugt, M m = c α. Bei Gleichheit der Momente ist der Ausschlagwinkel α: α = μ 0 AN 1 N 2 I 1 I 2 = ki 1 I 2, (2.18) ac wenn in dem Proportionalitätsfaktor k wieder die bekannten Größen zusammengefasst werden. Das elektrodynamische Messwerk ist ein multiplizierendes Instrument und zeigt das Produkt zweier Ströme an. Häufig wird es zur Leistungsmessung benutzt. Wird derselbe Strom I = I 1 = I 2 durch beide Spulen geschickt, so ist der Ausschlag proportional zu I 2 und die Kennlinie verläuft quadratisch. In Abschnitt wird noch gezeigt, dass bei Wechselströmen die Phasenlage zu berücksichtigen ist. Für diesen allgemeineren Fall ist die rechte Seite der Gl. (2.18) noch mit dem Kosinus des Phasenwinkels ϕ zu multiplizieren (Gl. (2.65)). Dreheisenmesswerk. Das Dreheisenmesswerk verwendet eine fest stehende Spule, in deren Feld zwei Eisenplättchen magnetisiert werden (Bild 2.4). Das eine ist befestigt, das andere ist beweglich und durch eine Feder in der Ruhelage gehalten. Die entstehenden Magnete haben gleichgerichtete Pole. Sie stoßen sich infolgedessen mit einer Kraft ab, die proportional dem Produkt ihrer magnetischen Momente ist. Das Moment jedes Plättchens hängt von dem durch Bild 2.4 Rundspul-Dreheisenmesswerk. 1 Feldspule 2 bewegliches Eisenplättchen 3 fest stehendes Eisenplättchen 4 Flügel zur Luftdämpfung

8 88 2 Messung von Strom und Spannung; spannungs- und stromliefernde Aufnehmer die Spule fließenden Strom I ab. Der Ausschlag α des Instruments ist damit proportional zu I 2 und mit k als Proportionalitätsfaktor kann geschrieben werden: α = ki 2. (2.19) Das Dreheiseninstrument bewertet das Quadrat des durchgehenden Stroms und seine Kennlinie verläuft nach Gl. (2.19) zunächst quadratisch. Durch geeignet gestaltete Plättchen kann aber auch ein linearer Zusammenhang zwischen Strom und Ausschlagwinkel erreicht werden. Beim Dreheiseninstrument wird wie beim Drehmagnetinstrument das benötigte Magnetfeld von dem zu messenden Strom erzeugt. Der Eigenverbrauch ist daher größer als beim Drehspulinstrument. Die Wirbelstromdämpfung ist nicht ausreichend; eine Luftdämpfung wird benötigt. Temperatureinfluss. Die Messwerke benutzen Bauteile wie Spulen, Dauermagnete und Federn, deren Eigenschaften sich mit der Temperatur ändern. Dabei sind die Einflüsse auf die Federkonstante und auf die Induktion eines Dauermagneten entgegengerichtet oder gering und können so vernachlässigt werden. Bedeutsamer ist die Erhöhung des elektrischen Widerstandes einer Kupferspule von R 0 auf R(T ) bei einer Temperaturzunahme von T 0 auf T.Dader Temperaturkoeffizient α selbst noch von der Temperatur abhängt, gilt die folgende Beziehung nur angenähert: R(T ) = R 0 [1 + α(t T 0 )] mit α = 0,004 K 1. (2.20) Diese Temperaturänderung bleibt ohne Einfluss, solange nur Ströme gemessen werden. Sie ist jedoch bei Spannungsmessern zu berücksichtigen, bei denen der durch das Messwerk fließende Strom mit einem festen Wert des Spulenwiderstandes multipliziert und als Spannung interpretiert wird. Hier nimmt bei zunehmendem Spulenwiderstand der Strom ab und täuscht so eine kleinere Spannung vor. Um diesen Einfluss zu verringern, wird der Spule ein größerer, temperaturunabhängiger Widerstand vorgeschaltet. Noch effektiver ist, einen Widerstand mit negativem Temperaturkoeffizienten zu verwenden. Das Messwerk wird dann so ausgelegt, dass sich die Widerstandszunahme der Spule und die Widerstandsabnahme des Vorwiderstandes gegenseitig aufheben Messung von Gleichstrom und Gleichspannung Strommessung Im einfachsten Fall besteht ein Stromkreis aus einer Spannungsquelle mit der Leerlaufspannung U L, dem Innenwiderstand R i und einem Lastwiderstand R b (Bild 2.5). Um den über den Lastwiderstand fließenden Strom zu messen, ist der Kreis aufzutrennen und das Strommessgerät mit dem Widerstand R M ist in Reihe mit dem Lastwiderstand anzuschließen. Messgerät und Lastwiderstand werden vom gleichen Strom durchflossen, der jedoch durch das Messgerät beeinflusst ist. Ohne Messgerät fließt in dem Kreis der Strom I b U L I b = R i + R b (2.21)

9 2.1 Elektromechanische Messgeräte und ihre Anwendung 89 Bild 2.5 Zur Messung des über den Verbraucher R b fließenden Stroms wird das Messgerät in Reihe zum Verbraucher angeschlossen Bild 2.6 Um den Kurzschlussstrom I K zu messen, muss der Widerstand R M des Messgeräts klein sein gegenüber dem Innenwiderstand R i der Quelle und mit dem Messgerät der Strom I M I M = U L R i + R b + R M. (2.22) Der wahre Wert I b desstromswirdnurdannangezeigt,wennr M gegenüber R i + R b zu vernachlässigen ist. Daraus folgt für die Strommessung die Regel: Der Widerstand des Strommessers soll möglichst niedrig sein; Ströme sind niederohmig zu messen. Ist der Kurzschlussstrom I K der Quelle zu messen: I K = U L, (2.23) R i so ist der Lastwiderstand R b = 0 und die Quelle wird nur mit dem Messinstrument belastet. Dieses zeigt den Strom I M an: I M = U L. (2.24) R i + R M Das Verhältnis aus angezeigtem Strom und Kurzschlussstrom I M U L R i = I K U L (R i + R M ) = R M R i (2.25) ist in Abhängigkeit von R M /R i in Bild 2.6 dargestellt. Für R M R i ist I M /I K = 1. Ist der Messwerkwiderstand gleich dem Innenwiderstand der Quelle, so wird nur der halbe Kurzschlussstrom angezeigt. Spannungsmessung Die im vorausgegangenen Abschnitt vorgestellten Strommesser werden zur Spannungsmessung verwendet, indem der über das Messgerät fließende Strom mit dessen Widerstand multipliziert und das Ergebnis direkt als Spannung angezeigt wird. Im einfachsten Fall ist die Spannung einer Quelle mit der Leerlaufspannung U L und dem Innenwiderstand R i festzustellen

10 90 2 Messung von Strom und Spannung; spannungs- und stromliefernde Aufnehmer Bild 2.7 Zur Messung der an dem Verbraucher R b abfallenden Spannung wird das Messgerät parallel zum Verbraucher angeschlossen Bild 2.8 Um die Leerlaufspannung U L zu messen, muss der Widerstand R M des Messgeräts groß sein gegenüber dem Innenwiderstand R i der Quelle (Bild 2.7). Das Messgerät mit dem Widerstand R M wird an die Klemmen der Quelle angeschlossen, R b ist nicht vorhanden. Damit fließt jetzt der Strom I und für den Kreis gilt die Maschengleichung: IR i + IR M U L = 0. (2.26) Angezeigt wird die Spannung U M = IR M. Eingesetzt in die letzte Gleichung ergibt dies die Beziehung U M =U L IR i. (2.27) Das Instrument zeigt also nur die um den Spannungsabfall am Innenwiderstand verminderte Leerlaufspannung U L an. Diese wird nur dann richtig gemessen, wenn der Term IR i zu vernachlässigen ist. Um dies zu erreichen, muss der über das Messwerk fließende Strom niedrig und der Widerstand dementsprechend hoch sein. Wir erhalten die folgende Regel: Der Widerstand eines Spannungsmessers soll möglichst groß sein; Spannungen sind hochohmig zu messen. Das Verhältnis aus angezeigter Spannung und Leerlaufspannung U M U L = IR M I (R i + R M ) = R i R M (2.28) ist nur für R M R i gleich 1 (Bild 2.8). Bei R i = R M wird die halbe Leerlaufspannung angezeigt. Liegt zwischen den Klemmen 1 und 2 von Bild 2.7 der Verbraucher R b, so zeigt das Messinstrument die am Verbraucher liegende Spannung an. Um sie nicht zu beeinflussen, muss der Widerstand des Messwerks groß gegenüber dem des Verbrauchers sein. Messung des Innenwiderstandes Aus den bisherigen Ausführungen gehen die folgenden drei Verfahren zur Messung des Innenwiderstandes hervor:

11 2.1 Elektromechanische Messgeräte und ihre Anwendung 91 a) Messung der Leerlaufspannung und des Kurzschlussstroms und Bestimmung des Innenwiderstandes nach der Gl. (2.23) R i = U L /I K. b) Messung des von der Quelle gelieferten Stroms bei Veränderung des Widerstandes R M des Strommessers; wird der halbe Kurzschlussstrom angezeigt, so gilt R i = R M. c) Messung der von der Quelle gelieferten Spannung bei Veränderung des Widerstandes R M des Spannungsmessers; wird die halbe Leerlaufspannung angezeigt, so gilt R i = R M. Messbereichserweiterung beim Drehspulinstrument In der täglichen Praxis sind Messgeräte mit mehreren umschaltbaren Messbereichen sehr vorteilhaft. Sie geben dem Anwender die gewünschte Flexibilität und gestatten die Messung niedriger und hoher Ströme oder Spannungen mit demselben Instrument. Eine derartige Messbereichsumschaltung über weite Bereiche ist mit einfachen Mitteln nur beim Drehspulinstrument möglich und hat maßgebend zu dessen großer Verbreitung beigetragen. Umschaltbare Strommessbereiche. Um mit einem Messwerk noch einen den Messbereich überschreitenden Strom I messen zu können, wird im Nebenschluss zum Messwerk mit dem Widerstand R M der Parallelwiderstand R p gelegt. Der gesamte zu messende Strom I teilt sich jetzt auf in einen Strom durch das Messwerk I M und einen Strom I p durch den Parallelwiderstand (Bild 2.9): I = I M + I p. (2.29) Bild 2.9 Erweiterung des Strommessbereichs durch einen Parallelwiderstand R p Der Spannungsabfall an R M ist ebenso groß wie der an R p : R M I M = R p I p = R p (I I M ), (2.30) womit die Vorschrift zur Dimensionierung von R p gewonnen ist: R p = R M Beispiel 2.1 I M (I I M ). (2.31) Hat das vorhandene Messwerk, bestehend aus Spule und Vorwiderstand, zur Temperaturkompensation z. B. einen Widerstand R M = 400 Ω und einen Vollausschlag bei I M = 0,2 ma, und soll ein Strom I = 1 ma gemessen werden, so ist ein Parallelwiderstand von R p = 400 0,2 1 0,2 Ω = 100Ω erforderlich.

12 92 2 Messung von Strom und Spannung; spannungs- und stromliefernde Aufnehmer Auf diese Weise lassen sich Widerstände für weitere Messbereiche ermitteln, die dann über einen Umschalter parallel zum Messwerk gelegt werden können. Dabei ist die zunächst nahe liegende Anordnung von Bild 2.10a ungeeignet. Bild 2.10 Umschaltung der Strommessbereiche bei einem Drehspulinstrument a) Die Kontaktwiderstände beeinflussen die Stromaufteilung b) Die Kontaktwiderstände führen nicht zu Fehlern Hier liegen die Übergangswiderstände der Schaltkontakte in Reihe mit dem Parallelwiderstand und verfälschen das Verhältnis R M /R p. Besser ist, den für den niedrigsten Messbereich erforderlichen Widerstand aufzuteilen und über einen im Hauptzweig sitzenden Schalter anzuwählen (Bild 2.10 b). In unserem Beispiel wird der Widerstand von 100 Ω durch die vier Widerstände 90 Ω, 9Ω, 0,9 Ω und 0,l Ω gebildet. Die Übergangswiderstände des Kontakts beeinflussen nicht mehr die Stromaufteilung in der Parallelschaltung. Sie addieren sich lediglich zum Innenwiderstand der Quelle und zu dem Lastwiderstand im Stromkreis und sind diesen gegenüber zu vernachlässigen. Beispiel 2.2 Das Messgerät von Bild 2.10 zeigt bei einem Strom I M = 0,2 ma Vollausschlag. Ist ein Messbereich von 100 ma eingestellt, so liegen die Widerstände ( ) Ω und (0,9 + 0,1) Ω parallel. Mit I p : I M = 499 : 1 und I M =0,2mAwirdI p = 99,8 ma. Wie beabsichtigt, ist I = I M + I P = 0,2 ma + 99,8 ma = 100 ma. Umschaltbare Spannungsmessbereiche. An dem Messwerk unseres Beispiels mit einem Messbereich von 1 ma liegt bei Vollausschlag die Spannung U M von U M = lma (400 Ω 100 Ω) = 80 mv. (2.32) Um höhere Spannungen messen zu können, wird ein Vorwiderstand verwendet. Die gesamte zu messende Spannung U fällt dann mit U v am Vorwiderstand und mit U M am Messwerk ab (Bild 2.11): U = U v +U M = R v I + (R p R M ) I. (2.33) Indem die letzte Gleichung umgestellt wird, ergibt sich die Rechenvorschrift zur Dimensionierung von R v : R v = U I (R p R M ). (2.34)