Pythagoras mit Huygens
|
|
- Nadja Schuler
- vor 6 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 Pythagoras mit Huygens Albert A. Gächter Im Jahre 1657 hat Christiaan Huygens einen eigenständigen Beweis für den Satz von Pythagoras angegeben. Ich bin bei der Suche nach einer bestimmten Stelle in seinem Werk zufällig darauf gestossen. Die originelle Art des Beweises hat mich sofort begeistert. Da Huygens sehr selten mit Pythagoras in Beziehung gebracht wird, möchte ich hier das originale Dokument vorstellen. Im Buch The Pythagorean Proposition von Elisha Scott Loomis aus dem Jahre 1928 figuriert der Beweis von Huygens unter den 370 Beweisen als Nummer 31. Wie damals üblich, ist die Abhandlung von Huygens in Latein abgefasst (Die zwei Seiten sind am Schluss dieses Dokumentes abgedruckt). Um allen Lesern den Zugang zu ermöglichen, habe ich eine eigene Übersetzung erstellt. Übersetzung (Albert A. Gächter) Aug Mein Beweis des Satzes 47 im 1. Buch von Euklid. Dies ist Euklids Beweis des Pythagoras. Es sei ein rechtwinkliges Dreieck ABC mit dem rechten Winkel ABC gegeben. Ich behaupte, dass das Quadrat über AC gleich gross ist wie die beiden Quadrate über AB und BC zusammen. Über AC werde nämlich das Quadrat ADEC gezeichnet.; ebenso über AB und BC die Quadrate AH und CF. (Rechtecke werden stets mit gegenüberliegenden Ecken angegeben)
2 Die Strecke IA werde bis L so verlängert, dass AL = AI ist, und L mit C verbunden, gleicherweise werde CG bis K so verlängert, dass CK = CG, und K mit A verbunden; es werden auch die Verbindungen KE, KD gezogen und durch K wird die Strecke MN parallel zu AC gezeichnet. Da die Winkel ABC und CBF beide rechte sind, ist FBA geradlinig und selber parallel zu GK. Weil sich deshalb das Quadrat GB und das Dreieck CAK zwischen denselben Parallelen befinden und die gleichen Grundlinien GC und CK besitzen, ist das Quadrat GB doppelt so gross wie das Dreieck CAK. Aber auch das Rechteck AN ist doppelt so gross wie dieses Dreieck AKC, da beide zwischen denselben Parallelen AC und MN liegen und dieselbe Grundlinie AC besitzen. Daher ist das Rechteck AN gleich gross wie das Quadrat GB. Es bleibt zu zeigen, dass das Rechteck DN gleich gross ist wie das Quadrat AH. Subtrahiert man bei beiden rechten Winkeln ACE und BCK den gemeinsamen Winkel ACK, wird der Winkel KCE gleich gross wie BCA und in der Tat jede Seite EC, CK gleich lang wie AC, CB, natürlich entsprechend aufeinander bezogen. Die verbleibende Seite KE ist gleich lang wie die verbleibende Seite AB und der Winkel KEC gleich wie BAC (falsches Zitat). Deshalb bleiben die unter sich gleichen Winkel KED und LAC übrig, wenn man vom rechten Winkel DEC den Winkel KEC und vom rechten Winkel BAL den Winkel BAC wegnimmt. Aber es wurde gezeigt, dass KE = AB ist und diese ist gleich AL: und ED = AC. Weil daher das Dreieck KED zwei gleich Seiten besitzt wie das Dreieck LAC und der Winkel KED gleich gross ist wie LAC, sind beide Dreiecke unter sich gleich. Es ist daher das Rechteck DN zweimal so gross wie das Dreieck KDE, weil beide dieselbe Grundlinie und dieselbe Höhe haben; das Quadrat AH ist sicher doppelt so gross wie das Dreieck LAC, weil beide zwischen den Parallelen HC und IL liegen und dieselben Grundlinien LA und AI besitzen. Daher ist notwendigerweise das Rechteck DN gleich gross wie das Quadrat AH. Aber es wurde bereits gezeigt, dass das Rechteck MC gleich dem Quadrat CF ist. Daher wird das ganze Quadrat DC gleich gross wie die beiden Quadrate CF und AH zusammen; w.z.b.w. H F B G I A L C M K N D E
3 Aktivitäten 1. Halte schriftlich die wichtigsten Ideen beim Beweis des Pythagoras von Huygens fest. 2. Projekt Mathematik Latein: Übersetze den Originaltext von Huygens vom Lateinischen ins Deutsche. 3. Verwandle mit der Idee von Huygens ein Quadrat mit der Seitenlänge 6 cm in ein flächengleiches Rechteck der Länge 9 cm. 4. Formuliere ein Rezept, wie man mit der Idee von Huygens ein beliebiges Rechteck in ein flächengleiches Quadrat verwandeln kann. Führe die Konstruktion aus für ein Rechteck mit a = 8 cm und b = 5 cm. Vergleiche mit andern Konstruktionsverfahren. 5. Konstruiere mit einer dynamischen Geometrie-Software die Beweisfigur von Huygens. Das rechtwinklige Dreieck ABC soll im Zugmodus verändert werden können. 6. Studiere den Beweis des Pythagoras im Werk des Euklid (1. Buch, 47). Gibt es Parallelen zum Beweis von Huygens? Hinweis: Drehe das Quadrat ADEC bei Huygens um 90 im Uhrzeigersinn.
4 232 V 1). [1657]. Aug Demonstratio mea Propos. is 47 lib. 1 Euclidis. Esto triangulum rectangulum ABC rectum habens angulum ABC. Dico quadratum ex AC aequale esse quadratis ex AB, et ex BC simul sumptis. Describatur enim super AC quadratum ADEC; super AB vero et BC quadrata AH, CF. Et producatur IA usque in L ut sit AL aequalis AI, et jungatur LC, similiter producatur CG in K, ut sit CK aequalis CG, et jungatur KA; et ducantur etiam KE, KD, et per K agatur MN parallela AC. Quoniam itaque anguli ABC, CBF, uterque recti sunt, recta linea est FBA: estque ipsi parallela GK. Quamobrem cum inter easdem parallelas sint quadratum GB et triangulum CAK, habeantque bases GC, CK aequales, erit trianguli CAK duplum quadratum GB. Sed et rectangulum AN, duplum est ejusdem trianguli AKC, 1) La Pièce occupe la p. 47 du Manuscrit K. Une traduction hollandaise fut publiée par J. Versluys aux p de l'ouvrage Zes en negentig bewijzen voor het theorema van Pythagoras, verzameld en gerangschikt door J. Versluys, Amsterdam, 1914, A. Versluys. Comme M. Versluys le fait remarquer, il est bien curieux que parmi les démonstrations nombreuses du théorème de Pythagore, qu'on a inventées plus tôt ou plus tard, aucune n'est identique avec celle de Huygens. Christiaan Huygens, Oeuvres complètes. Tome XIV. Probabilités. Travaux de mathématiques pures
5 233 cum sint inter easdem parallelas AC, MN, habeantque basin eandem AC. Igitur rectangulum AN aequale est quadrato GB. Superest ut ostendatur rectangulum DN aequale quadrato AH. Quoniam itaque angulus uterque ACE, BCK rectus est, ablato communi angulo ACK, fiet KCE aequalis angulo BCA, verum et utrumque latus EC, CK aequale est utrique AC, CB, singula nimirum singulis. Ergo et reliquum latus KE aequale erit reliquo AB, et angulus KEC aequalis angulo BAC *). Quare et ablato angulo KEC ab angulo recto DEC; angulo vero BAC ab angulo recto BAL, *) 8. primi 2). relinquentur anguli inter se aequales KED, LAC. Sed ostensa est KE aequalis AB, hoc est ipsi AL: et ED aequalis est ipsi AC. Itaque cum triangulum KED, duo latera habet aequalia duobus lateribus trianguli LAC, et angulum KED aequalem angulo LAC, erunt haec triangula inter se aequalia. Est autem trianguli KDE duplum rectangulum DN, cum eandem habeant basin DE et eandem altitudinem; trianguli vero LAC duplum est quadratum AH cum sint inter easdem parallelas HC, IL constituta, et bases aequales habeant LA, AI. Itaque necesse est rectangulum DN aequari quadrato AH. Sed et rectangulum MC aequale ostensum est quadrato CF. Ergo apparet quadratum totum DC aequari utrique simul quadrato CF, AH; quod erat demonstr. 2) Il s'agit en vérité de la quatrième (et non pas de la huitième) Proposition du premier Livre des Elementa d'euclide: Si duo triangula duo latera duobus lateribus aequalia habeant, vtrumque vtrique; habeant vero & angulum angulo aequalem sub aequalibus rectis lineis contentum: Et basim basi aequalem habebunt: eritque triangulum triangulo aequale; ac reliqui anguli reliquis angulis aequales erunt, vterque vtrique, sub quibus aequalia latera subtenduntur. (Clavius, ed. 1507, p. 41.) Christiaan Huygens, Oeuvres complètes. Tome XIV. Probabilités. Travaux de mathématiques pures
Euklides: Dedomena. Was gegeben ist.
Euklides: Dedomena. (Die "Data" des Euklid) Was gegeben ist. Verzeichnis der Lehrsätze Dedomena Ins Deutsche übertragen von Dr. phil. Rudolf Haller mit Benützung von Euclidis Opera Omnia, ediderunt I.
Y b 2 - a 2 = p 2 - q 2 (*)
Um den Flächeninhalt eines Dreieckes zu bestimmen, das keinen rechten Winkel besitzt, muss man bekanntlich die Längen einer Seite mit der dazugehörigen Höhe kennen Wir setzen voraus, dass uns alle 3 Seitenlängen
6.2 Perfekte Sicherheit
04 6.2 Perfekte Sicherheit Beweis. H(B AC) + H(A C) = H(ABC) H(AC) + H(AC) H(C) Wegen gilt Einsetzen in die Definition gibt = H(AB C). H(A BC) = H(AB C) H(B C). I(A; B C) = H(A C) H(AB C) + H(B C). Da
Grundregeln der Perspektive und ihre elementargeometrische Herleitung
Vortrag zu Mathematik, Geometrie und Perspektive von Prof. Dr. Bodo Pareigis am 15.10.2007 im Vorlesungszyklus Naturwissenschaften und Mathematische Wissenschaften im Rahmen des Seniorenstudiums der LMU.
Durchflussmessgeräte SITRANS F
SITRANS F O delta p - Drosselgeräte Anwendungsbereich Geeignet für nichtaggressive und aggressive Gase, Dämpfe und Flüssigkeiten; -60 bis +00 C. Aufbau Zwei Fassungsringe mit auswechselbarer Messscheibe
Leseprobe. Monika Noack, Alexander Unger, Robert Geretschläger, Hansjürg Stocker. Mathe mit dem Känguru 3. Die schönsten Aufgaben von 2009 bis 2011
Leseprobe Monika Noack, lexander Unger, Robert Geretschläger, Hansjürg Stocker Mathe mit dem Känguru 3 Die schönsten ufgaben von 009 bis 011 ISN: 978-3-446-480-1 Weitere Informationen oder estellungen
Darstellende Geometrie Übungen. Tutorial. Übungsblatt: Perspektive - Rekonstruktion
Darstellende Geometrie Übungen Institut für Architektur und Medien Tutorial Übungsblatt: Perspektive - Rekonstruktion Gegeben sind ein Foto von einem quaderförmigen Objekt sowie die Abmessungen des Basisrechteckes.
! " # $ % & '( ) * +, %-.
! # % & '( ) * +, %-. (1,,,2+( +( &323 3+ 4,5&67& 67& 8 9 9!3 :!+ : '!; (? 993+ : 3+ : @ : 3+ :8 3!,4 999 : A& : : 7B :) 3!,4 9CD+2+ + :D++ :>9272E ' '1D+33 ' 1D+3 ')1(3 '1( '>13 '1 9!3
http://www.olympiade-mathematik.de 4. Mathematik Olympiade 2. Stufe (Kreisolympiade) Klasse 8 Saison 1964/1965 Aufgaben und Lösungen
4. Mathematik Olympiade Saison 1964/1965 Aufgaben und Lösungen 1 OJM 4. Mathematik-Olympiade Aufgaben Hinweis: Der Lösungsweg mit Begründungen und Nebenrechnungen soll deutlich erkennbar in logisch und
IP X4 MOA/SL/FL IP44, CH IP24. Montage-Anleitung Instructions de montage Assembling instructions. 225 cm. 60 cm 0
MOA/SL/FL IP44, CH IP4 Arbeiten an den elektrischen Anlagen dürfen nur von autorisierten Fachleuten nach den örtlichen Vorschriften ausgeführt werden. Für nicht fachgerechte Installation wird jegliche
Nachklausur zur Einführung in die Geometrie im SS 2002 Lösung Aufgabe 1 1.Weg (kurz und einfach):
Nachklausur zur Einführung in die Geometrie im SS 2002 Lösung ufgabe 1 1.Weg (kurz und einfach): C! **C* Umlaufsinn erhalten Verschiebung oder Drehung Verbindungsgeraden *, *, CC* nicht parallel Drehung
H. Gruber, R. Neumann. Erfolg im Mathe-Abi. Übungsbuch für die optimale Vorbereitung in Analysis, Geometrie und Stochastik mit verständlichen Lösungen
H. Gruber, R. Neumann Erfolg im Mathe-Abi Übungsbuch für die optimale Vorbereitung in Analysis, Geometrie und Stochastik mit verständlichen Lösungen Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis Analysis Von der
COMPUTER: Mission Berlin. Le 9 novembre 2006, dix heures, cinquante-cinq minutes. Il ne vous reste plus que 65 minutes et une vie.
Épisode 12 Musique sacrée Anna a encore 65 minutes. Dans l église, elle découvre que la boîte à musique est en fait un élément manquant de l orgue. La femme en rouge apparaît et lui demande une clé. Mais
11 EN 81-70 Page 1 of 2 Standard: INTERPRETATION RELATED TO. Clause(s): 5.4.2.3
CEN RELATED TO 11 Page 1 of 2 Standard: Edition: 2003 Clause(s): 5.4.2.3 Valid from: 15/09/2010 Date of modification: Key-word(s): Car operating panel, Two entrance lift Replacing interpretation No.: QUESTION
COMPUTER: Mission Berlin. Le 9 novembre 1989, vingt heures, trente minutes. Vous avez trente minutes pour sauver l Allemagne. Vous devez faire vite.
Épisode 23 À plus tard Anna est emmenée à mobylette jusqu à la Bernauer Straße. Le bon samaritain n est autre qu Emre Ogur, qui lui souhaite bonne chance. Mais cela suffira-t-il pour échapper à la femme
3.2 Spiegelungen an zwei Spiegeln
3 Die Theorie des Spiegelbuches 45 sehen, wenn die Person uns direkt gegenüber steht. Denn dann hat sie eine Drehung um die senkrechte Achse gemacht und dabei links und rechts vertauscht. 3.2 Spiegelungen
INFOMAPPE ZUM EINSTUFUNGSTEST MATHEMATIK AN DER FOS/BOS MEMMINGEN
INFOMAPPE ZUM EINSTUFUNGSTEST MATHEMATIK AN DER FOS/BOS MEMMINGEN Liebe Schülerinnen und Schüler, wie schnell man einen bereits einmal gekonnten Stoff wieder vergisst, haben Sie sicherlich bereits schon
Klaus Egli, Präsident SAB/CLP Michel Gorin, Vice Président SAB/CLP (BIS, 13.9.2012, Konstanz)
Initiative Bibliotheken Schweiz Initiative Bibliothèques Suisse Klaus Egli, Präsident SAB/CLP Michel Gorin, Vice Président SAB/CLP (BIS, 13.9.2012, Konstanz) Bibliothekssituation in der Schweiz (ÖB) Kaum
Quick guide 360-45011
Quick guide A. KEUZE VAN DE TOEPASSING EN: SELECTION OF APPLICATION CHOIX D UNE APPLICATION DE: AUSWAHL DER ANWENDUNGSPROGRAMME DIM Memory Off DIM Memory = Off User: Display: 1. EXIT Press Niko (Back light)
Abschlussprüfung Realschule Bayern II / III: 2009 Haupttermin B 1.0 B 1.1
B 1.0 B 1.1 L: Wir wissen von, dass sie den Scheitel hat und durch den Punkt läuft. Was nichts bringt, ist beide Punkte in die allgemeine Parabelgleichung einzusetzen und das Gleichungssystem zu lösen,
Die goldenen Linien auf dem Geobrett und das ägyptische Dreieck
Die goldenen Linien auf dem Geobrett und das ägyptische Dreieck Horst Steibl TU Braunschweig GDM-Tagung Berlin 2007 1 Die goldenen Linien auf dem Geobrett und das ägyptische Dreieck Wie Tim und Tom, die
http://www.olympiade-mathematik.de 7. Mathematik Olympiade 1. Stufe (Schulolympiade) Klasse 12 Saison 1967/1968 Aufgaben und Lösungen
7. Mathematik Olympiade 1. Stufe (Schulolympiade) Klasse 12 Saison 1967/1968 Aufgaben und Lösungen 1 OJM 7. Mathematik-Olympiade 1. Stufe (Schulolympiade) Klasse 12 Aufgaben Hinweis: Der Lösungsweg mit
K2 MATHEMATIK KLAUSUR. Aufgabe PT WTA WTGS Darst. Gesamtpunktzahl Punkte (max) 28 15 15 2 60 Punkte Notenpunkte
K2 MATHEMATIK KLAUSUR 26.2.24 Aufgabe PT WTA WTGS Darst. Gesamtpunktzahl Punkte (max 28 5 5 2 6 Punkte Notenpunkte PT 2 3 4 5 6 7 8 9 P. (max 2 2 2 4 5 3 3 4 3 Punkte WT Ana A.a b A.c Summe P. (max 7 5
KG 51R F K. 1 Informations concernant la personne qui fait la demande
Nom et prénom de la personne qui fait la demande Name und der antragstellenden Person N d allocations familiales Kindergeld-Nr. F K KG 51R Annexe étranger pour la demande d allocations familiales allemandes
Falten regelmäßiger Vielecke
Blatt 1 Gleichseitige Dreiecke Ausgehend von einem quadratischen Stück Papier kann man ohne weiteres Werkzeug viele interessante geometrische Figuren nur mit den Mitteln des Papierfaltens (Origami) erzeugen.
Sangaku - Probleme. Aufgaben aus der japanischen Tempelgeometrie. ein Beitrag von Ingmar Rubin, Berlin. Abbildung 1: Ein typisches Sangaku-Problem
A B O B B G F C C N C L K Sangaku - Probleme Aufgaben aus der japanischen Tempelgeometrie ein Beitrag von Ingmar Rubin, Berlin Abbildung 1: Ein typisches Sangaku-Problem Zusammenfassung Der Beitrag beschäftigt
Arbeiten mit dem Geometrieprogramm GeoGebra
Fachdidaktik Modul 1, WS 2012/13 Didaktik der Geometrie III: Konstruieren Planarbeit Arbeiten mit dem Geometrieprogramm GeoGebra I. Erstes Erkunden der Programmoberfläche: Grund- und Standardkonstruktionen
Aufgaben des MSG-Zirkels 10b Schuljahr 2007/2008
Aufgaben des MSG-Zirkels 10b Schuljahr 2007/2008 Alexander Bobenko und Ivan Izmestiev Technische Universität Berlin 1 Hausaufgaben vom 12.09.2007 Zahlentheorie 1 Aufgabe 1.1 Berechne die (quadratischen)
Appsolut vielseitig SAP-Lösungen für eine mobile Welt. Inhalt. Immer im Bilde. Die Mobility- Strategie. Personalwesen. Vertrieb. Service.
olut vielseitig SAP-Lösungen für eine mobile Welt Die Mobility Staregie Bestens aufgestellt Sybase Unwired Platform und Afaria Interview In jeder Branche zu Hause 3D Systems Engineering GmbH ABAYOO Business
APERO DOC FRANCO-ALLEMAND Forbach, 19.05.2011. Bérénice Kimpe Chargée de mission ABG-UFA / Referentin ABG-DFH
APERO DOC FRANCO-ALLEMAND Forbach, 19.05.2011 Bérénice Kimpe Chargée de mission ABG-UFA / Referentin ABG-DFH 1. Présentation de l UFA et de l ABG-Intelli agence 1. Vorstellung der DFH und der ABG-Intelli
Abschlussprüfung an den Realschulen in Bayern
bschlussprüfung an den Realschulen in Bayern 009 Mathematik II Haupttermin ufgaben - Lösungsmuster und Bewertung EBENE GEOMETRIE. sin PMC sin MCP PC MP PMC ]0 ;90 [ L K sin5 (90,0 50,0)cm sin PMC PMC,
Legierungsgruppe I / Groupe d'alliages I : Legierungsgruppe II / Groupe d'alliages II :
Die verschiedenen Ausführungen von Bleche Les diverses exécutions de tôles NQ Normalqualität (= NQ) ist Material geeignet für normale Ansprüche, die Bleche sind lackierfähig. Eloxieren ist nur mit Einschränkungen
VKF Brandschutzanwendung Nr. 24027
Vereinigung Kantonaler Feuerversicherungen Auskunft über die Anwendbarkeit gemäss den erischen Brandschutzvorschriften VKF Brandschutzanwendung Nr. 24027 Gruppe 202 Gesuchsteller Aussenwände, nichttragend
08/12. Gebrauchsanleitung Trekkingrucksäcke Trekking rucksacks Instructions for use Notice d'emploi pour sacs à dos de trek
08/12 Gebrauchsanleitung Trekkingrucksäcke Trekking rucksacks Instructions for use Notice d'emploi pour sacs à dos de trek X-TRANSITION Bedingungen der JACK WOLFSKIN 3-Jahres-Gewährleistung Terms and
MIT UNS KÖNNEN SIE FESTE FEIERN! AVEC NOUS, VOUS POUVEZ ORGANISER VOS FÊTES!
MIT UNS KÖNNEN SIE FESTE FEIERN! AVEC NOUS, VOUS POUVEZ ORGANISER VOS FÊTES! Das beste Schweizer Grill-Poulet! Le meilleur poulet rôti Suisse! FESTE FEIERN MIT NATURA GÜGGELI UND SIE HEBEN SICH AB! FÊTEZ
Sitzbänke NUSSER Bancs NUSSER
NUSSER NUSSER modern, kreativ, stilgerecht moderne, créatif, style adapté Design Dessau: Raoul von Geisten, Potsdam Die Firma NUSSER hat für neuzeitliche Begegnungszonen ein exklusives Design entwerfen
MONITEUR BELGE 05.03.2009 BELGISCH STAATSBLAD
19745 Art. 8 - Das Gesetz vom 2. August 1971 zur Einführung einer Regelung, mit der Gehälter, Löhne, Pensionen, Beihilfen und Zuschüsse zu Lasten der Staatskasse, bestimmte Sozialleistungen, für die Berechnung
Gymnasium Unterstrass Zürich Seite 1 Aufnahmeprüfung 2009 Mathematik (2. Sek)
Gymnasium Unterstrass Zürich Seite 1 Aufnahmeprüfung 2009 Mathematik (2. Sek) Gymnasium Unterstrass Zürich Aufnahmeprüfung 2009 Kurzgymnasium (Anschluss 2. Sekundarklasse) Mathematik Name: Die Prüfung
Quadratische Gleichungen
Quadratische Gleichungen Aufgabe: Versuche eine Lösung zu den folgenden Zahlenrätseln zu finden:.) Verdoppelt man das Quadrat einer Zahl und addiert, so erhält man 00..) Addiert man zum Quadrat einer Zahl
Kapitel 1 2 14. Februar 2010
1 14. Februar 2010 Kapitel 1 2 14. Februar 2010 E-BusinessMarketing KPI MarketingOnline KPI Marketing Web Web Assessment Usability Benchmarking Controlling Controlling Benchmarking Usability E-Business
Übungsaufgaben Klasse 7
Übungsaufgaben Klasse 7 2. Oktober 2006 Dreieckskonstruktion Versuche erst, alle Aufgaben zu lösen. Die Lösungen findest du ab Montag auf: http://www.hagener-berg.de/serdar/ unter dem Punkt Schulinfos.
Quick Installation Guide Installatie handleiding Guide d installation rapide Kurzanleitung Installation
Quick Installation Guide Installatie handleiding Guide d installation rapide Kurzanleitung Installation English Uitbreidingsmodule Nederlands Leveringsomvang schroef Uitbreidingsmodule tiptel KM-38
Anwengungen geometrischer Abbildungen Kongruenz- und Ähnlichkeitsabbildung
Anwengungen geometrischer Abbildungen Kongruenz- und Ähnlichkeitsabbildung Amina Duganhodzic Proseminar: Mathematisches Problemlösen Unter der Leitung von Privat Dozentin Dr. Natalia Grinberg 26. Juni
Wichtige Informationen zum Masterstudium. Informations importantes pour vos études de Master
Wichtige Informationen zum Masterstudium Informations importantes pour vos études de Master Studienplan I Plan d étude Studienplan I Plan d étude Es werden nicht alle Kurse jedes Jahr angeboten. Tous les
2. Propädeutische Geometrie Klasse 5/6. Für den Geometrieunterricht ausnützen!
2. Propädeutische Geometrie Klasse 5/6 2.1 Zur Entwicklung der Schüler Kinder im Alter von 10-12 Jahren sind wissbegierig neugierig leicht zu motivieren anhänglich (Lehrperson ist Autorität) zum Spielen
Lösungen zur Vorrundenprüfung 2006
Lösungen zur Vorrundenprüfung 2006 Zuerst einige Bemerkungen zum Punkteschema. Eine vollständige und korrekte Lösung einer Aufgabe ist jeweils 7 Punkte wert. Für komplette Lösungen mit kleineren Fehlern
Arbeitsblätter zum Thema Papierfalten und Algebra für den Unterricht Hochbegabter in der Sekundarstufe II
Arbeitsblätter zum Thema Papierfalten und Algebra für den Unterricht Hochbegabter in der Sekundarstufe II Robert Geretschläger Graz, Österreich, 2009 Blatt 1 Lösen quadratischer Gleichungen mit Zirkel
Weiterbildung Datenschutzrecht. Formation continue en droit de la protection des données. Programm / Programme 2014-2015
Weiterbildung Datenschutzrecht Formation continue en droit de la protection des données Programm / Programme 2014-2015 Université de Fribourg Faculté DE DROIT Universität Freiburg Rechtswissenschaftliche
Anzahl Umfragen pro Schule
Auswertung Umfrage Lehrabgänger Forstwart/in 2015 Aufteilung pro Schule Total Antworten: 281 (pro Jahr schliessen rund 0 Lernende die Forstwartlehre ab) Anzahl Umfragen pro Schule Anzahl 35 25 20 15 10
2014/2015 PREISLISTE I LISTE DE PRIX. Wildverbiss- und Fegeschutzartikel Articles contre l abroutissement, l écorçage et les frottis
PREISLISTE I LISTE DE PRIX 2014/2015 Wildverbiss- und Fegeschutzartikel Articles contre l abroutissement, l écorçage et les frottis AUSGABE I EDITION 2014/2015 Emme-Forstbaumschulen AG Emme-pépinières
2 IP X4 TAI/LED IP44, CH IP24. Montage-Anleitung Instructions de montage Assembling instructions. 225 cm. 60 cm 0
Montage-Anleitung Instructions de montage Assembling instructions TAI/LED IP, CH IP Sensor-Schalter aussen unten rechts Interrupteur sensitif en bas à l'extérieur à droite Sensor switch outside right below
Basteln und Zeichnen
Titel des Arbeitsblatts Seite Inhalt 1 Falte eine Hexentreppe 2 Falte eine Ziehharmonika 3 Die Schatzinsel 4 Das Quadrat und seine Winkel 5 Senkrechte und parallele Linien 6 Ein Scherenschnitt 7 Bastle
KMK Zertifikat Niveau I
MINISTERIUM FÜR KULTUS, JUGEND UND SPORT KMK Zertifikat Niveau I Fach: Hauptprüfung Datum: 30.04.2008 8:00 Uhr bis 9:00 Uhr Hilfsmittel: Zweisprachiges Wörterbuch Bearbeitungshinweise: Alle sind zu bearbeiten.
Liebe Kolleginnen Liebe Kollegen
Von: nebis-bibliotheken-request@nebis.ch im Auftrag von Gross Christine An: nebis-bibliotheken@nebis.ch Thema: NEBIS / Aleph V20: Neuerungen - Aleph V20: nouveautés Datum: Montag, 8. November 2010 15:57:57
LE PORTABLE C EST LA MOBILITÉ 15.10.2010 03.07.2011 16, CH-3000
Auswertung des Handy-Knigge Évaluation du «traité de savoir-vivre» de la téléphonie mobile 15.10.2010 03.07.2011 Zusammenfassung der wichtigsten Erkenntnisse der Handy-Knigge Sowohl unter wie über 25-jährige
VKF Brandschutzanwendung Nr. 20766
Vereinigung Kantonaler Feuerversicherungen Auskunft über die Anwendbarkeit gemäss den Schweizerischen Brandschutzvorschriften VKF Brandschutzanwendung Nr. 20766 Gruppe 244 Gesuchsteller Brandschutztore
LINEA COMPACT LA TECNOLOGIA FLESSIBILE LINIE COMPACT - DIE FLEXIBLE TECHNOLOGIE COMPACT LINE, THE FLEXIBLE TECHNOLOGY LIGNE COMPACT LA FLEXIBILITÉ DE
SELF-IN SELF-IN LINEA COMPACT LA TECNOLOGIA FLESSIBILE LINIE COMPACT - DIE FLEXIBLE TECHNOLOGIE COMPACT LINE, THE FLEXIBLE TECHNOLOGY LIGNE COMPACT LA FLEXIBILITÉ DE LA TECHNOLOGIE LINEA ELEGANCE QUANDO
Stundenplan 2015/16. M1 Montag Dienstag Mittwoch Donnerstag Freitag 7:45 8:25 8:25 9:05 9:15 9:55 9:55 10:35
M1 Montag Dienstag Mittwoch Donnerstag Freitag Werken 1 Kl 508 Geographie Fn 513 Deutsch Fö 612 Geschichte Mü 406 BG Fm 422 Arithmetik & Algebra Wm 406 Englisch Bh 201 Geometrie Wm 406 Arithmetik & Algebra
ANMERKUNGEN ZUR SCHULARBEITSGESTALTUNG
ANMERKUNGEN ZUR SCHULARBEITSGESTALTUNG Fach: Französisch, sechsjährig Klasse: 5. Klasse (1. Schularbeit, 1. Semester) Kompetenzniveau: A2 Dauer der SA: 50 Minuten Teilbereiche Themenbereich Testformat/Textsorte
Bewegliche Geometrie mit dem Computer Was beobachtest Du? (Warum ist das so?)
Bewegliche Geometrie mit dem Computer Was beobachtest Du? (Warum ist das so?) 12.10.2009, Oliver Seif nach einer Vorlage von H.Hischer/A. Lambert 1 Das Werkzeug Computer (dynamische Geometriesoftware,
Top Panama Farbkarte Carte de couleurs 10.2014
Farbkarte Carte de couleurs 10.2014 Planenmaterial: Technische Angaben und Hinweise Matière de la bâche : Données techniques et remarques Planenstoff aus Polyester-Hochfest-Markengarn, beidseitig PVC beschichtet
Ein Konstrukt das mit Leben erfüllt wird. Un concept à faire vivre transfrontalièrement. Grenzüberschreitend in allen Lebenslagen.
. Ein Konstrukt das mit Leben erfüllt wird. Grenzüberschreitend in allen Lebenslagen. Auch für unsere Zukunft und folgende Generationen in der Region Pamina. Erneuerbare Energien tragen dazu bei, Un concept
Kurzanleitung Ersatzgerät Guide succinct de l appareil de remplacement Breve guida all dispositivo di sostituzione
Kurzanleitung Ersatzgerät Guide succinct de l appareil de remplacement Breve guida all dispositivo di sostituzione Das Ersatzgerät kann als zweites Gerät für die Nutzung des E-Bankings eingesetzt werden
Realschulabschluss Schuljahr 2008/2009. Mathematik
Prüfungstag: Mittwoch, 20. Mai 2009 Prüfungsbeginn: 8.00 Uhr Realschulabschluss Schuljahr 2008/2009 Mathematik Hinweise für die Prüfungsteilnehmerinnen und -teilnehmer Die Arbeitszeit beträgt 150 Minuten.
Test Abschlusstest 62
Abschlusstest 62 1 Sie rufen bei einer Firma an. Was sind Ihre ersten Worte am Telefon? a Ihr Name b Bonjour. c Name Ihrer Firma 2 Sie rufen bei der Firma Dumesnil an. Eine Dame meldet sich mit den Worten:
*+!$ +,) -./ .).)$")-> / +- ) >?$66 " 55 @# '$"" " $# > 8"#" 1'$ +- # # # A$/$ $ "@ B4#$ " ""$8 "$ B $# #/ ' ;3 $$) # >" ",""'$$/ $# # ;$ $
!"#$%!"# $% ' ' %$ $"#' (()" *+!$ +,) -./ 0$/'+23/$//4#,""' 5#$/6$/4#789')5)#$'6$678$',: #;$ $'$"6$0'/'5#$$) 23/$/7" '#$ #
Annexe étranger pour la demande d allocations familiales allemandes du.. Anlage Ausland zum Antrag auf deutsches Kindergeld vom
Nom et prénom de la personne qui fait la demande Name und Vorname der antragstellenden Person N d allocations familiales Kindergeld-Nr. F K Annexe étranger pour la demande d allocations familiales allemandes
10 Beweise des Satzes von Pythagoras
10 Beweise des Satzes von Pythagoras Selbstständige Arbeit im Rahmen der Vorlesung: Mathematik für die Sekundarstufe, HS08 Studiengang Sekundarstufe I Fachhochschule Nordwestschweiz Pädagogische Hochschule
Sage 30 (Winway Z) Update-Installationsanleitung Installation de l update Installazione per l update
Sage 30 (Winway Z) Update-Installationsanleitung Installation de l update Installazione per l update Betriebswirtschaftliche Gesamtlösungen für Selbständige und kleine Unternehmen Logiciels de gestion
Geometrisches Wissen in der Grundschule Der Weg zu einer experimentellen Studie
Didaktisches Kolloquium Mathematik Institut für Didaktik der Mathematik und Elementarmathematik der TU Braunschweig 13. 12. 2011 Geometrisches Wissen in der Grundschule Der Weg zu einer experimentellen
MINF - Mini Freestanding / MINW - Mini Wall. Montagehandleiding / Instructions de montage Montagehinweis / Mounting instructions
MI - Mini reestaning / MIW - Mini Wall Montagehanleiing / Instructions e montage Montagehinweis / Mounting instructions AMETIGE VOOR AASLUITIG MET JAGA THERMOSTAATVETIEL IMESIOS POUR RACCOREMET AVEC VAE
LUPUSNET - LE930/940 Kurzanleitung User manual Guide Rapide
LUPUSNET - LE930/940 Kurzanleitung User manual Guide Rapide 1/16 A. Monitor Einstellungen 1. Klicken Sie mit der rechten Maustaste auf die Desktopoberfläche. Wählen Sie Eigenschaften aus dem Menu und setzen
02ES. Technischer Sekundarunterricht Berufsausbildung. Datum: 21.07.2015 FORES8. Körperpeeling und Körpermassage im Betrieb umsetzen
Datum: 21.07.2015 Technischer Sekundarunterricht Berufsausbildung 02ES FRES8 Körperpeeling und Körpermassage im Betrieb umsetzen Fachrichtung handwerkliche Ausbildung Section des esthéticiens - Esthéticien
Sprachwahl. Newsletter deutsch Newsletter français. Klicken Sie hier, falls dieser Newsletter nicht korrekt dargestellt wird.
Klicken Sie hier, falls dieser Newsletter nicht korrekt dargestellt wird. Newsletter Nr. 3 vom März 2014 Sprachwahl Newsletter deutsch Newsletter français. Editorial Liebe Leserin, lieber Leser Wie Sie
BLESS ART ART Raumsysteme AG AG
BLESS ART ART Raumsysteme AG AG Bubikonerstrasse 14 14 CH-8635 Dürnten Tel. Tél. +41 ++41 (0)55 55 241 241 20 52 20 52 Fax +41 ++41 (0)55 55 241 241 20 53 20 53 info@blessart.ch www.blessart.ch www.blessart.ch
BMU 2005-673. J.A.C. Broekaert. J. Feuerborn. A. Knöchel. A.-K. Meyer. Universität Hamburg, Institut für Anorganische und Angewandte Chemie
BMU 2005-673 Hochaufgelöste ortsabhängige Multielemtanalysen von mit allgemeintoxischen und radiotoxischen Elementen belasteten Organen/Geweben mit Hilfe der Röntgenmikrosonde und Elektronenmikroskopie
Grundlegende Geometrie - Vorlesung mit integriertem Praxiskurs. 09.02. Klausur (08-10 Uhr Audimax, HS 1)
Vorlesungsübersicht Wintersemester 2015/16 Di 08-10 Audimax Grundlegende Geometrie - Vorlesung mit integriertem Praxiskurs Benötigte Materialien: Geometrieheft DIN-A-4 blanco weiß, quadratisches Faltpapier
FIBONACCI UND DER GOLDENE SCHNITT
FIBONACCI UND DER GOLDENE SCHNITT VON JOHANNES BECKER Die Fibonacci-Zahlen, 2, 3,, 8, 3, 2,... findet man an überraschenden Stellen in der Natur. Der goldene Schnitt wurde schon von den alten griechischen
Fragebogen zur Prüfung kongolesischer Personenstandsurkunden Questionnaire pour la vérification des documents de l'état civil congolais Stand: 03/2014
Fragebogen zur Prüfung kongolesischer Personenstandsurkunden Questionnaire pour la vérification des documents de l'état civil congolais Stand: 03/2014 Die Urkundenprüfung setzt die vollständige Beantwortung
Aufgabe: Que faut-il faire? SK-Beispielaufgabe_Haustiere.docx
Aufgabe: Que faut-il faire? SK-Beispielaufgabe_Haustiere.docx Lisez bien le sujet avant de vous précipiter sur votre copie et élaborez votre plan afin de préparer votre brouillon. On vous demande donc
notice de pose montage Anleitung
notice de pose montage Anleitung ATIX ATIX Silicone non fourni Silikon nicht mitgeliefert Important : notre société dégage toute responsabilité en cas de dysfonctionnements ou de dommages, quels qu en
ORIGAMICS PAPIERFALTEN MIT MATHEMATISCHEM SPÜRSINN 1. 1 Origami die japanische Papierfaltkunst
1 ORIGAMICS PAPIERFALTEN MIT MATHEMATISCHEM SPÜRSINN 1 Hans-Wolfgang Henn IEEM, FB Mathematik Universität Dortmund Email: Wolfgang.Henn@math.uni-dortmund.de 1 Origami die japanische Papierfaltkunst Sicher
Tipps und Tricks. für die PDF-Präsentation
Tipps und Tricks für die PDF-Präsentation Um die Wirkung der einzelnen Punkte sehen zu können, muss die Präsentation zuerst heruntergeladen und dann mit folgenden Einstellungen im Adobe Acrobat Reader
Analogtechnik 2, Semestertest Technique analogique 2, Test de semestre
Analogtechnik 2, Semestertest Technique analogique 2, Dr. Theo Kluter 05. 06. 2011 Name/Nom : Vorname/Prénom : Klasse/Classe : Aufgabe/ Punkte maximal/ Punkte erreicht/ Problème : Points maximaux : Points
Logo-Aufgaben mit Verbindung zur Mathematik
Logo-Aufgaben mit Verbindung zur Mathematik Student: Dozent: Prof. Juraj Hromkovic Datum: 13.06.007 Logo-Kenntnisse Für die Lösung der Aufgaben werden folge Logo-Befehle benötigt: Arithmetik: +, -, *,
5. Komplexe Zahlen. 5.1 Was ist eine Zahl?
5. Komplexe Zahlen Komplexe Zahlen sind Zahlen der Form a + bi, wo a und b reelle Zahlen sind und i = 1 ist. Wurzeln aus negativen Zahlen gibt es nicht, wird man da antworten, und in der Tat gibt es keine
Wassily Kandinsky: Structure joyeuse. Beschreibe die Figuren und zeichne sie aus freier Hand in dein Heft.
6 Flächen Wie heißen die Figuren? a) Dreiecke Viereck d) Quadrat b) Kreis Quadrate e) Dreiecke Rechteck c) Rechtecke Viereck f) Kreis Wassily Kandinsky: Structure joyeuse Lege Vierecke. a) Nimm vier gleich
194 Beweis eines Satzes von Tschebyschef. Von P. E RDŐS in Budapest. Für den zuerst von T SCHEBYSCHEF bewiesenen Satz, laut dessen es zwischen einer natürlichen Zahl und ihrer zweifachen stets wenigstens
PRESENTE LE CONTE DANS L ENSEIGNEMENT DE L ALLEMAND EN MILIEU SCOLAIRE PROJET POUR COLLEGES ET LYCEES
3 RUE MYRHA 75018 PARIS +33 (0) 1 42 29 15 81 +33 (0) 6 83 09 38 82 47plus@orange.fr PRESENTE LE CONTE DANS L ENSEIGNEMENT DE L ALLEMAND EN MILIEU SCOLAIRE PROJET POUR COLLEGES ET LYCEES CONCEPTION : JANINE
Publicité pour l opticien Grand Optical 1
Publicité pour l opticien Grand Optical 1 Hilfsmittel: Elektronisches Wörterbuch Zielgruppe: Klasse ab 8 Klasse, Einzelarbeit Zeitvorgabe: 20-25 Minuten Lernziel: Die Erweiterung des Wortschatzes zum Thema
TIG ROBOT DC TIG ROBOT AC-DC AUTOMATION
TIG ROBOT DC TIG ROBOT AC-DC AUTOMATION Pour les applications TIG du secteur automation et robotique, Cebora propose 2 générateurs DC de 300 à 500A et 3 générateurs TIG AC-DC de 260 à 450A. Le modèle DC
Selbständige Projektarbeit 2008. Drogensucht. Kurzes Glück, langes Leiden. Anja Neuhaus Oberstufenzentrum Stockhorn Konolfingen. März 2008, Klasse s9b
Selbständige Projektarbeit 2008 Drogensucht Kurzes Glück, langes Leiden Anja Neuhaus Oberstufenzentrum Stockhorn Konolfingen März 2008, Klasse s9b Drogensucht Selbständige Projektarbeit im Rahmen des Abschlussprojektes
Eignungstest Mathematik
Eignungstest Mathematik Klasse 4 Datum: Name: Von Punkten wurden Punkte erreicht Zensur: 1. Schreibe in folgende Figuren die Bezeichnungen für die jeweilige Figur! Für eine Rechteck gibt ein R ein, für
VKF Brandschutzanwendung Nr. 23732
Vereinigung Kantonaler Feuerversicherungen Auskunft über die Anwendbarkeit gemäss den erischen Brandschutzvorschriften VKF Brandschutzanwendung Nr. 23732 Gruppe 222 Gesuchsteller Verglasungen vertikal
Mobile UX Konzepte: Wie man vermeidet, vom User gehasst zu werden. Johannes Fahrenkrug @jfahrenkrug springenwerk.com
Mobile UX Konzepte: Wie man vermeidet, vom User gehasst zu werden Johannes Fahrenkrug @jfahrenkrug springenwerk.com : t, u Johannes Fahrenkrug @jfahrenkrug springenwerk.com Was User hassen 10 Wege, nicht
Solutions de réfrigération, écologiques et énergétiquement efficientes, pour le commerce alimentaire, la gastronomie et l industrie.
www.carrier-ref.ch Umweltfreundliche und energieeffiziente Kältelösungen für den Lebensmittelhandel, das Gastgewerbe und die Industrie. Solutions de réfrigération, écologiques et énergétiquement efficientes,
TRAAM-TLSE-ALL004 / Katrin Unser Haus
TRAAM-TLSE-ALL004 / Katrin Unser Haus I. Introduction Type de document : audio Langue : allemand Durée : 01:09 Niveau : collège A1+ Contenu : Katrin vit avec sa famille dans une maison. Elle présente l
Interprétariat Interculturel Interkultureller Dolmetscherdienst. Communiquer sans barrières Barrierefrei kommunizieren
Interprétariat Interculturel Interkultureller Dolmetscherdienst Communiquer sans barrières Barrierefrei kommunizieren La mission du service Mettre à disposition des administrations publiques et des institutions
EG-Konformitätserklärung EC-Declaration of Conformity CE-Déclaration de Conformité Wir (we; nous) R. STAHL Schaltgeräte GmbH, Am Bahnhof 30, D-74638 Waldenburg 9160/..-1.-11 erklären in alleiniger Verantwortung,
Handbuch. Wir freuen uns, dass Sie sich für ein ultron Produkt entschieden haben und wünschen Ihnen viel Freude mit Ihrem neuen Gerät.
Handbuch Wir freuen uns, dass Sie sich für ein ultron Produkt entschieden haben und wünschen Ihnen viel Freude mit Ihrem neuen Gerät. CE-Erklärung und Hinweise Hiermit erklärt die ultron AG, dass sich