Übungsblatt 11 Geometrische und Technische Optik WS 2012/2013

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1 Übungsblatt 11 Geometrische und Technische Optik WS 212/213 Diaprojektor und Köhler sche Beleuchtung In dieser Übung soll ein einfacher Diaprojektor designt und strahlenoptisch simuliert werden. Dabei müen sowohl die Abbildungsoptik als auch die Beleuchtungsoptik gerechnet werden. Die vorgegebenen Daten seien: Als Objektiv-Ersatz wird eine einfache Plankonvex-Linse aus BK7 mit Brennweite f Obj =12 mm verwendet (Durchmeer 6 mm, Mittendicke 2 mm). Ein Dia mit einem Durchmeer 36 mm x 24 mm soll im Bild die Größe 9 mm x 6 mm haben. Die Lichtquelle wird hier vereinfacht als eine rechteckige Fläche der Größe mm x 1 mm mit der Charakteristik eines Lambert-Strahlers angenommen. Der Abstrahlwinkel des Lambert-Strahlers darf in der Simulation bis zu 4 o betragen (wobei er in der Praxis natürlich sogar bis 9 o geht). Die Kondensor-Linse, die als Plankonvex-Linse mit asphärischer gekrümmter Fläche designt wird, soll die Lichtquelle um den Faktor 3 vergrößert auf die objektseitige Hauptebene der Objektiv-Linse abbilden (sogenannte Köhler sche Beleuchtung). Das Dia (hier vereinfacht als infinitesimal dünn angenommen) stehe mm hinter dem Scheitel der Kondensor-Linse. a) Machen Sie sich den nötigen Aufbau anhand einer kleinen Skizze klar und zeichnen Sie die Abstände symbolisch ein, die Sie mit Hilfe der Abbildungsgleichung erhalten. Beginnen Sie Ihre Überlegungen anhand der Abbildungsoptik, da sich das Design der paraxialen Daten der Kondensor-Optik dann daraus ergibt! Berechnen Sie auch aus der Linsengleichung den Krümmungsradius der Objektiv-Linse (sphärische Plankonvex- Linse) und der Kondensor-Linse (asphärische Plankonvex-Linse), wobei als Design- Wellenlänge nm angenommen wird und das Material der Kondensor-Linse das hochbrechende SF1 sei. b) Der Durchmeer der Kondensor-Linse mu mindestens so groß wie die Diagonale des Dias sein (43.3 mm), damit das Dia voll ausgeleuchtet wird. Aufgrund des konvergenten Strahlengangs hinter der Kondensor-Linse und dem endlichen Abstand von mm wird der Durchmeer der Kondensor-Linse auf 6 mm festgesetzt. Könnte dieser Durchmeer bei der in a) berechneten Brennweite mit einer sphärischen Plankonvex-Linse realisiert werden? Berechnen Sie nun die asphärische Rückfläche der Kondensor-Linse durch Optimierung der konischen Konstante und des Parameters a_4 und a_6 (andere Asphären-Parameter seien nicht zugelaen), indem der axiale Punkt der Lichtquelle in die objektseitige Hauptebene der Objektiv-Linse abgebildet wird. Beachten Sie, da Sie die Schrittweite der Parameter a_4 und a_6 bei der Optimierung auf kleine Werte setzen müen, da diese Parameter selbst auch kleine Werte haben müen, da sie mit r 4 bzw. r 6 multipliziert in die Flächengleichung eingehen! Die Mittendicke der Kondensor-Linse aus SF1 wird zwecks Vergleichbarkeit der Ergebnie auf 3 mm festgelegt. Beachten Sie, da Sie mit einem kleinen Durchmeer der Linse beginnen müen (z.b. 2 mm) und erst in einem zweiten und eventuell dritten Schritt den Durchmeer iterativ auf den endgültigen Wert von 6 mm setzen dürfen. c) Als Objekt werde ein Kreuz-Gitter aus absorbierenden Strichen mit Periode 1 mm und Breite. mm genommen (Gesamt-Apertur wie bei Dia). Simulieren Sie das gesamte System im Programm RAYTRACE. Wie gut ist die Abbildungsqualität? Wie herum sollte die Objektiv-Linse stehen? Was paiert mit der Bestrahlungtärke, wenn der Kondensor entfernt wird? Was paiert, wenn die Größe der Lichtquelle variiert wird?

2 Musterlösung: Zu a) Abbildungsoptik: Der Abbildungsmaßstab der Abbildungsoptik ist Obj =-2, die Brennweite f Obj =12 mm. Aus der Abbildungsgleichung folgt dann: bobj f ' Obj 1 Obj bzw. gobj f ' Obj 1 bobj gobj f ' Obj Obj In unserem Fall gilt also für das Objektiv der Abbildungsoptik: b Obj =312 mm, g Obj = mm Aus der Linsengleichung für eine Plankonvexlinse ergibt sich für den Krümmungsradius R Obj mit Brechzahl n BK7 (= nm)=1.214: R n 1 f ' 62.7 Obj mm BK 7 Obj Kondensor-Optik: Da die Lichtquelle in die objektseitige Hauptebene des Objektivs abgebildet werden soll und das Dia d= mm hinter dem Scheitel (=bildseitige Hauptebene) der Kondensor-Linse liegt, mu für die Bildweite der Kondensor-Linse b Kond gelten: bkond gobj d mm Aus der Abbildungsgleichung mit Kond =-3 folgt dann: bkond f ' Kond 32.4 mm 1 Kond 1 g Kond f ' 1 Kond mm Kond (Paraxialer) Krümmungsradius R Kond der asphärischen Rückfläche der Kondensor-Linse (n SF1 (= nm)=1.7432): R n 1 f ' Kond mm SF1 Kond Zu b) Die objektseitige Hauptebene der plankonvexen Kondensor-Linse liegt bei einer Mittendicke d m =3 mm im Abstand d m /n SF1 =17.21 mm rechts von der planen Seite. Der Objektpunkt bzw. die Lichtquelle liegt also mm mm = 26.6 mm vor der planen Seite. Der Bildpunkt liegt natürlich mm hinter dem Scheitel der asphärischen Rückfläche, da dort ja Scheitelebene und Hauptebene zusammen fallen. Die Optimierung liefert: K= a_4= e-6 a_6= e-11 Zu c) Setzt man den Scheitel der Kondensor-Linse bei z=- mm, so liegt das Objekt bei z= mm. Der Scheitel und die objektseitige Hauptebene der Objektiv-Linse liegen dann beide bei z=124.8 mm. Die bildseitige Hauptebene liegt bei z=131.6 mm (d m /n BK7 =13. mm vor der planen Rückseite der Linse, d.h. 2 mm-13. mm = 6.8 mm rechts vom Scheitel). Die Bildebene schließlich liegt bei z=321.6 mm. 33

3 Es zeigt sich, da die Abbildungsqualität des Kreuz-Gitters im Zentrum recht gut ist, zum Rand hin aber etwas abnimmt. Am Rand sind die einzelnen Quadrate nicht mehr so gut auflösbar und bei einem echten Dia mit deutlich mehr Pixeln wäre es unscharf. Dreht man die Plankonvexlinse so herum, da die plane Seite zum Objekt zeigt, verschlechtert sich die Abbildungsqualität noch weiter (auch wenn der Unterschied am Rand nicht dramatisch ist). Ohne den Kondensor kann das Dia gar nicht gleichmäßig ausgeleuchtet werden und die Abbildungsqualität wird aufgrund der schrägen Winkel deutlich schlechter. Stellt man die Lichtquelle weiter weg, so hat man zwar eine volle Ausleuchtung und weniger Abbildungsfehler, aber man verliert extrem viel Licht und das Bild ist trotzdem stark verzerrt. Bei kleinerer Lichtquelle wird das Bild deutlich schärfer, bei größerer unschärfer. Simulationsergebnie: Im Folgenden werden einige Simulationsergebnie gezeigt, wobei jeweils ein Abstrahlwinkel des Lambert-Strahlers bis 36 Grad genommen wurde und Strahlen. Es zeigt sich, da nur das System mit der Köhler schen Beleuchtung gute Resultate zeigt, da dort der ausgeleuchtete Bereich der Abbildungs-Linse relativ klein ist und für alle Punkte auf dem Dia in etwa gleichartig. Eine kleinere Lichtquelle gibt natürlich beere Ergebnie, da dann der benutzte Bereich der Abbildungs-Linse und ihre Aberrationen noch kleiner sind. Bei sehr kleiner Lichtquelle müten aber Beugungseffekte berücksichtigt werden, da dann die numerische Apertur der Abbildung sehr klein wäre. Kollimiert man das Licht mit der Kondensor-Linse, so treffen die Strahlen des Randbereichs des Dias auch auf Randbereiche der Abbildungs-Linse, die dort deutlich stärkere Aberrationen hat (sowohl Punktbildaberrationen als auch Verzeichnung). Ohne Kondensor ist die Ausleuchtung des Bildes sehr schlecht, da besonders Strahlen, die das Dia am Rand treffen, gar nicht mehr durch die Abbildungs-Linse gehen. Das Bild ist deshalb abgeschnitten, inhomogen, verzerrt und besonders am Rand unscharf. Entfernt man die Lichtquelle, so werden zwar nicht mehr so große Bereiche des Bildes abgeschnitten, dafür nimmt aber die Bestrahlungtärke deutlich ab, da nur noch ein kleiner Bereich des Abstrahlwinkels ausgenutzt wird. Um das volle Bildfeld zu erhalten, müte man aber so weit weg, da die Bestrahlungtärke im Bild sehr gering wäre. Außerdem würde man bei sehr großer Entfernung und genügender Leistung bestenfalls das gleiche Ergebnis wie bei Kollimation mit dem Kondensor und einer kleinen Lichtquelle erhalten, da beide eine Quasi- Planwellen-Beleuchtung ergeben. Fazit: Die Köhler sche Beleuchtung mit vergrößerter Abbildung der Lichtquelle in die Pupille der Abbildungs-Linse liefert mit Abstand das beste Ergebnis, sowohl bezüglich Lichtstärke, Homogenität des Bildes, Schärfe und Verzerrungsfreiheit. In einem realen Dia-Projektor ist natürlich die Abbildungs-Linse ein Mehr-Linsen-System, das die Aberrationen korrigiert, so da die Abbildung schärfer ist. In dieser Aufgabe sollte aber zumindest das Prinzip gezeigt werden. 34

4 Köhler sche Beleuchtung wie in Aufgabe, Lichtquelle: mm x 1 mm RAYTRACE Copyright 28 Mittelwert 11 RMS 21 P-V 1e+2 Max 1e+2 Min 1e e+2-3e+2-2e+2-1e+2 1e+22e+23e+24e :19:17-4e+2-3e+2-2e+2-1e+2 1e+22e+23e+24e+2 RAYTRACE Copyright 28 Links: Randbereich oben links, rechts: zentraler Bereich

5 Köhler sche Beleuchtung wie in Aufgabe, Lichtquelle kleiner: 1 mm x 1 mm RAYTRACE Copyright 28 Mittelwert 11 RMS 26 P-V 1,3e+2 Max 1,3e+2 Min 1,2e+2 1e e+2-3e+2-2e+2-1e+2 1e+22e+23e+24e :24:39-4e+2-3e+2-2e+2-1e+2 1e+22e+23e+24e+2 RAYTRACE Copyright Links: Randbereich oben links, rechts: zentraler Bereich 36

6 Köhler sche Beleuchtung wie in Aufgabe, Lichtquelle größer: 1 mm x 1 mm RAYTRACE Copyright 28 Mittelwert 11 RMS 11 P-V 61 Max 61 Min e+2-3e+2-2e+2-1e+2 1e+22e+23e+24e :29:2-4e+2-3e+2-2e+2-1e+2 1e+22e+23e+24e+2 RAYTRACE Copyright 28 Links: Randbereich oben links, rechts: zentraler Bereich 37

7 Kollimation hinter Kondensor-Linse, Lichtquelle: mm x 1 mm RAYTRACE Copyright 28 Mittelwert 14 RMS 21 P-V 1,4e+2 Max 1,4e+2 Min 1,2e+2 1e e+2-3e+2-2e+2-1e+2 1e+22e+23e+24e :37:6-4e+2-3e+2-2e+2-1e+2 1e+22e+23e+24e+2 RAYTRACE Copyright 28 Links: Randbereich oben links, rechts: zentraler Bereich 38

8 Ohne Kondensor-Linse, Abstand strahlende Fläche Dia: 48 mm RAYTRACE Copyright 28 Mittelwert 1,6 RMS 3,7 P-V 9 Max 9 Min e+2-3e+2-2e+2-1e+2 1e+22e+23e+24e :4:7-4e+2-3e+2-2e+2-1e+2 1e+22e+23e+24e+2 RAYTRACE Copyright 28 Auchnitt zentraler Bereich 39

9 Ohne Kondensor-Linse, Abstand strahlende Fläche Dia: 2 mm RAYTRACE Copyright 28 Mittelwert 2,2 RMS 7,3 P-V 1,8e+2 Max 1,8e+2 Min 1,e+2 1e+2-4e+2-3e+2-2e+2-1e+2 1e+22e+23e+24e :44:28-4e+2-3e+2-2e+2-1e+2 1e+22e+23e+24e+2 RAYTRACE Copyright 28 Auchnitt zentraler Bereich 4

10 Ohne Kondensor-Linse, Abstand strahlende Fläche Dia: 1 mm RAYTRACE Copyright 28 Mittelwert,93 RMS 1,9 P-V 21 Max 21 Min 2 1-4e+2-3e+2-2e+2-1e+2 1e+22e+23e+24e :48:39-4e+2-3e+2-2e+2-1e+2 1e+22e+23e+24e+2 RAYTRACE Copyright 28 Auchnitt zentraler Bereich 41