Begriffsklärung: Dominanz

Transkript

1

2 Einführung

3 Begriffsklärung: Dominanz Gegeben: d-dimensionaler Raum, jeder Punkt p im Raum hat d Attribute: (p 1,,p d ) Definition Dominanz: 1 i d : p i p i und 1 i d : p i < p i

4 Begriffsklärung: Dominanz Die Dominanzregion von p ist der Bereich, der alle möglichen Punkte beinhaltet, die p dominieren Diagramm mit verschiedenen Hotels, nach Preis und Nähe zum Strand gelistet Die Dominatorregion von p ist der Bereich, der alle Punkte behinhaltet, die p dominiert.

5 Begriffserklärung: Skyline Skyline: Der Begriff Menge, die alle Punkte beinhaltet, die von keinen anderen Punkt dominiert werden (blau)

6 Begriffserklärun: räumliche Skyline Data Punkt P: Die Menge P bezeichnet alle möglichen Ziele, deren Attribute miteinander verglichen werden (orange) Query Punkte Q: Die Menge Q bezeichnet alle Punkte, auf deren Entfernung hin verglichen wird (blau)

7 Begriffsdefinition: räumliche Dominanz Definition: Umgangssprachlich: Ein Punkt p dominiert einen Punkt p, wenn er zu jedem Query Punkt q keinen geringeren Abstand hat und zu mindestens einem Query Punkt einen echt kleineren Abstand hat.

8 Begriffsklärung: räumliche Dominanz - Beispiel Beispiel einer räumlichen Dominanz hier am Beispiel vom Punkt p

9 Begriffsklärung: spatial Skyline Definition: Umgangssprachlich: Ein Punkt p ist in der Skyline im Bezug von allen QueryPunkten q aus Q, wenn er von keinem anderen Punkt p aus der Menge der Data Punkte P dominiert wird.

10 Grundlagen: konvexe Hülle Geometrisch: Die konvexe Hülle ist die Fläche des kleinsten Polygons, das alle Punkte umfasst, und wo jede Verbindungslinie zwischen zwei Punkten innerhalb der Fläche die Fläche selbst nicht verlässt. CH(Q): CH v (Q): komplexe Hülle von der Menge Q alle Punkte, die auf der Grenze der komplexen Hülle liegen (convex Point)

11 Grundlagen: Voronoi Diagramm Math.: Geometrische Interpretation: Das Voronoi-Diagramm zerlegt eine Ebene mit n Punkten in n Regionen. Jeder Punkt ist ein Zentrum einer Region. Jede Region ist festgelegt durch das Zentrum und alle Punkte der Ebene, die zu dem einen Zentrum näher sind als zu allen anderen Zentren.

12 Grundlagen: Voronoi Diagramm - Beispiel VC:Voronoi Zelle VE: Voronoi Kante

13 Grundlagen: Delaunay Graph Der Delaunay Graph ist in gewisser Weise die Umkehrfunktion des Voronoi Diagramms, hier sind die Kanten des Graphen die Mittelsenkrechten des Diagramms. Kosten jeweils aller geometr. Konstrukte: O(n log n)

14 Theoretische Grundlagen LEMMA 1: p 1 dominiert nicht p 2 genau dann wenn gilt:

15 Theoretische Grundlagen LEMMA 2: Seien p 1, p 2 und p 3 drei Data Punkte, sodass p 2 räumlich p 3 dominiert. Wenn p 1 nicht p 3 räumlich dominiert, dominiert es auch nicht p 2.

16 Theoretische Grundlagen LEMMA 3: Wenn irgendein Punkt p 1 kein Skyline Punkt sind, so gibt es einen Skyline Punkt p 2, der den Punkt p 1 dominiert.

17 Theoretische Grundlagen LEMMA 5: Die Mittelsenkrechte zweier Data Punkte schneidet genau dann die CH(Q), wenn sie sich nicht gegenseitig dominieren.

18 Theoretische Grundlagen LEMMA 6: Die Menge der Skyline Punkte von P hängt nicht von Punkten q aus Q ab, die innerhalb der konvexen Hülle liegen. (Sharifzadah und Shahabi) Oder: Wenn CH(Q) gegeben ist, ist der Dominanztest eines Punktes in O(log CH(Q) für ein Paar von Datenpunkten möglich. (Wanbin Son und Co.)

19 Algorithmen: Naiv - Funktion Naiver Spatial Skyline Algorithmus Berechne für alle Punkte p aus P die Entfernung zu jedem Punkt q aus Q Für jeden Punkt p aus P: Wenn es kein p aus P mit p p gibt, so füge p der Skyline hinzu

20 Algorithmen: Naiv - Kosten Für jeden Punkt p berechne Abstand zu jeden Punkt q -> Kosten: O( Q P ) Vergleiche alle Punkte p untereinander -> Kosten: O( P ) Insgesamt Kosten: O( P 2 Q ) (Also nicht sehr praktikabel bei großen Datenmengen)

21 Algorithmen: Enhanced Skyline Algorithmus - Vorgeschichte VS 2 von Sharifzadeh in O( S 2 CH + log P ) Aber: Wanbin Son und Kollegen bewiesen: findet nicht alle Punkte und Kostenrechnung war falsch Entwicklung des Enhanced Skyline Algorithmus (ES)

22 Algorithmus: ES - Funktion Algorithmus Spatial Skyline Input: P, Q Output: S 1. Initialisiere Array A und Liste S 2. A <- die Distanz von q 1 aus Q zu jedem p aus P 3. Sortiere A aufsteigend 4. For i <- 0 bis P Do if A[i] wird nicht von S räumlich dominiert 6. Then insert A[i] in S 7. Return S

23 Algorithmuse: ES Funktion(1) Herzstück ist das sortierte Array A: Zuerst wird es berechnet und sortiert Anschließend in der Schleife einmal durchlaufen Dabei wird jeder Punkt gegen die bereits gefundenen Skyline Punkte auf Dominanz geprüft. Wird er dominiert -> nächster Punkt Wird er nicht dominiert -> Skyline Punkt

24 Algorithmus: ES Funktion(2) Die Idee des Arrays ist folgende: Der erste Punkt ist ein Skyline Punkt (Er wird von keinem anderen dominiert) Für jeden folgenden Punkt p a gilt: D(q, p a ) D(q, p nachfolger ) => kann nur von Vorgängerpunkten dominiert werden => kann nur Punkte dominieren, die Nachfolger sind Nach dem Durchlauf sind alle Skyline Punkte in der Liste S gesammelt.

25 Algorithmus: ES Erweiterung(1) Auf Basis von Sharifzadeh und Shahbis Erkenntnissen entwickelten Wanbin Son und Kollegen folgendes Theorem: Theorem 3: Für gegebene Mengen P von Data Punkten und Q von Query Punkte gilt: Wenn VC(p) die konvexe Hülle CH(Q) schneidet, oder innerhalb der konvexen Hülle liegt, so ist p ein Skyline Punkt im Bezug auf Q. Desweiteren folgt nach Lemma 6: Query Punkte innerhalb von CH(Q) verändern die Skyline nicht

26 Algorithmus: ES Erweiterung(2) Algorithm SeedSkyline Input: P, Q Output: S seed 1. S seed initialisieren 2. Konvexe Hülle und Vor(P) berechnen 3. Finde eine Voronoizelle VC(p), die q 0 beinhaltet 4. For i <- 0 to CH(Q) Finde alle Voronoizellen VC(p), die e i schneidet und füge sie S seed hinzu 6. Finde alle Voronoizellen, die innerhalb der konvexen Hülle liegen mittels des Delaunay Graphen und füge sie S seed hinzu 7. Return S seed

27 Algorithmus: ES Vollständig Algorithmus Enhanced Spatial Skyline Input: P, Q Output: S 1. Initialisiere Array A und Liste S 2. Berechne die konvexe Hülle CH(Q) 3. S <- SeedSkyline(P, Q, CH(Q)) 4. A <- die Distanz von q 1 aus Q zu jedem p aus P 5. Sortiere A aufsteigend 6. For i <- 0 bis P Do if A[i] ist nicht in S 7. then if A[i] wird nicht von S räumlich dominiert 9. Then insert A[i] in S 10. Return S

28 Algorithmus: ES - Kosten Zeile 2: konvexe Hülle: O( Q log Q ) Zeile 3: SeedSkyline :O(( S + CH(Q) ) + log P ) Zeile 4: Berechnung der Distanz: P Zeile 5: Sortiere A: O( P log P ) Zeile 6: For Schleife: P * Schleife Zeile 7 und 8: Test ob aktueller Punkt bereits in S oder Dominiert: O( P S log CH(Q) ) Kosten: O( P ( S log CH(Q) + log P ) Effizienz gegenüber VS 2 im Test: Faktor 1-2

29 Algorithmus: Voronoi based Spatial Skyline Algorithmus(VCS 2 ) Mobile Anwendungen treten in den Vordergrung: Smartphones, Tablets, Schwarmroboter Algorithmus wurde auf Basis von VS 2 entwickelt => keine korrekte Basis => nur grob skizziert, da Erkenntnisse wichtig

30 Algorithmus: VCS 2 - Grundlagen(1) Sichtbare Region: wird von den Ebenengrenzen und der den Halbgeraden q 1 q rechternachbar und q 1 q linkernachbar eingeschlossen, und beinhaltet nicht die konvexe Hülle CH + (Q): nähere konvexe Hülle, alle Geraden von Punkten der konvexen Hülle zum Punkt p schneiden die konvexe Hülle davor nicht. CH - (Q) : weiter entfernet konvexe Hülle. Alle Punkte, die nicht in CH + (Q) sind.

31 Algorithmus: VCS 2 - Grundlagen(2) Lemma 7: Gegeben sei ein Datenpunkt und eine Menge von Query Punkten Q. Die Dominanz von p hängt nur von den Query Punkten in CH + (Q) ab. Lemma 8: Der Ort der Datenpunkte, deren Dominanz von q aus CH v (Q) abhängt, ist die sichtbare Region von q

32 Algorithmus: VCS 2 Funktion(1) Modell I: Es muss zunächst keine neue Skyline berechnet werden (Lemma 1).

33 Algorithmus: VCS 2 Funktion(2) Modell II V: Die Skyline muss je nach sichtbarem Bereich und geänderter konvexerhülle angepasst werden.

34 Algorithmus: VCS 2 Funktion(2) Modell VI: Hier muss man den Algorithmus neu durchlaufen, denn die Gebiete mit x müssen nochmals berechnet werden. Der Punkt Kosten wird hier ausgelassen, da der ursprüngliche Algorithmus auf VS 2 basiert, dessen Kostenrechnung und Korrektheit allerdings fehlerhaft ist, wie bereits gezeigt wurde

35 Erweiterung auf mehrere Dimensionen/Attribute Gründe Bisher nur 2D Ebene nur mit Distanzattributen zu allen Query Punkten Ziel: berücksichtige auch nonspatial Attribute wie Bewertungstags oder feinere Unterteilungen Vorgehen: Zuerst Algorithmus um die Skyline der nonspatial Attribute zu berechnen, anschließend aus dieser Skyline die gesamte Skyline berechnen

36 Vergleich von B 2 S 2, VS 2 und ES Zwei verschiedene Quelle The Spatial Skyline Queries von Mehdi Sharifzadeh und Cyrus Shahabi Spatial Skyline Algorithmus An Effizient Geometric Algorithmen von Wanbin Son, Mu- Woong Lee, Hee-Kap Ahn und Seung-won Hwang 3 verschiedene Algorithmen: B 2 S 2 VS 2 ES

37 Vergleich von B 2 S 2, VS 2 und ES B 2 S 2 : keine genaue Kostenschätzung VS 2 : O( S 2 CH v (Q) + log P ) Jedoch ist die Version des VS 2 nicht korrekt

38 Vergleich von B 2 S 2, VS 2 und ES VS 2 : O( P ( S CH(Q) + log P )) ES: O( P ( S log CH(Q) + log P ))

39 Weiterführende Fragen Verschiedene Implementierungen der jeweiligen Algorithmen Direkter Vergleich von B 2 S 2 und ES ohne die Zwischenstufe von VS 2

40 Quellen Mehdi Sharifzadeh and Cyrus Shahabi. The spatial skyline queries. In VLDB '06: Proceedings of the 32nd international conference on Very large data bases, pages VLDB Endowment, Wanbin Son, Mu-Woong Lee, Hee-Kap Ahn, and Seung won Hwang. Spatial skyline queries: An efficient geometric algorithm. CoRR, abs/ , 2009.

41 Vielen Dank für die Aufmerksamkeit! Fragen?