Lange Nacht der Mathematik

Transkript

1 Lange Nacht der Mathematik 18./19. November 2016 Aufgaben Runde Liebe Teilnehmer an der Langen Nacht der Mathematik", ihr freut euch darauf, in dieser Nacht an Aufgaben zu knobeln und zu versuchen, mit logischem Denken, mit geometrischem Vorstellungsvermögen, mit schnellem und richtigem Rechnen und Pfiffigkeit einigen Problemen zu Leibe zu rücken. Dazu sind Ausdauer und Hartnäckigkeit vonnöten. Ihr arbeitet in Gruppen bis zu vier Personen an den folgenden Aufgaben. Bitte achtet darauf, dass jede Aufgabe zunächst von jedem einzelnen Gruppenteilnehmer bearbeitet und eine Lösung entwickelt wird. Dann tauscht ihr eure Ergebnisse in der Gruppe untereinander aus, einigt euch auf eine Lösung und schreibt sie mit der Herleitung und allen Begründungen in euer Heft. Es ist Ehrensache, dass ihr die Aufgaben löst und nicht die Erwachsenen. Von dieser Klassenstufe an sind Taschenrechner oder dynamische Geometriesoftware erlaubt. Damit können aber keine Beweise geführt werden. Bei Verständnisproblemen in der Aufgabenstellung diskutiert ihr untereinander. Vokabeln kann euch ein Erwachsener erklären. Sollten die Erwachsenen Fragen haben, gibt es für sie eine Hotline. Um in die zweite Runde zu kommen, müssen genügend Aufgaben richtig gelöst werden. In der dritten Runde schickt ihr eure Ergebnisse einschließlich eures Lösungsweges via Internet an uns ein. Es kann sein, dass ihr in der letzten Runde aufgefordert werdet, den Lösungsweg einzelner Aufgaben aus der ersten oder zweiten Runde einzuschicken. N heißt: natürliche Zahlen (einschließlich der Null), Z heißt: ganze Zahlen, Q heißt: gekürzte Brüche, z. B. 3/7, Als Lösungsmuster gibt es: Dezimalbruch(5) heißt: gerundet auf 5 Stellen, z. B.: 321,01234 Wort(4) heißt: Zeichenfolge mit 4 Zeichen, z. B. 7+ab. Im Allgemeinen ist eine Stellenanzahl nicht gegeben. Viel Erfolg! Aufgabe 1.1: Scrabble (deutsch) Georg spielt mit seinem Austauschschüler George die deutsche Ausgabe SCRABBLE. A, E, N, S, I, R, T, U, D zählen 1 Punkt; H, G, L, O zählen 2 Punkte; M, B, W, Z zählen 3 Punkte; C, F, K, P zählen 4 Punkte; Ä, J, Ü, V zählen 6 Punkte; Ö, X zählen 8 Punkte; Q, Y zählen 10 Punkte. Welche Zahlen (sortiert) stimmen mit ihrem Wort-Wert überein? ;N;... Lange Nacht der Mathematik Runde 1 written by ιωκκα Seite 1 von 6

2 Aufgabe 1.2: Vielfaches Addiert man die Einerziffern aller Teiler von , so erhält man ein Vielfaches von Bestimme das Vielfache. Antworttyp: N Aufgabe 1.3: Auf Fliesen springen... Die Austauschschülerin Emily hat ein Spring-Spiel erfunden. Sie hat mehr als 38 und weniger als 55 Fliesen geradlinig hintereinander gelegt und sie nummeriert: 1, 2, 3, 4,... Auf der zweiten Fliese startend, springt sie entlang der Fliesenreihe, landet auf jeder zweiten Fliese und stoppt auf der vorletzten Fliese. Jetzt dreht sie sich um, springt in die entgegengesetzte Richtung und landet diesmal auf jeder dritten Fliese. Sie hält auf der ersten Fliese an, dreht sich um und springt wieder entlang der Reihe. Diesmal landet sie auf jeder fünften Fliese und stoppt wieder bei der vorletzten Fliese. Wie viele Fliesen hatte sie ausgelegt? Aufgabe 1.4: Sudoku-Variationen Arukone/Hidoku Im ersten Gitter sind Buchstabenpaare verteilt. Diese Paare sollen miteinander verbunden werden. Die Linie, die die Felder verbindet, muss durchgehend sein. Die Linien dürfen zwar über Eck gezogen werden, müssen jedoch immer senkrecht oder waagerecht verlaufen; sie dürfen also nicht in einem Feld parallel verlaufen oder sich kreuzen. Buchstabenfelder sind nur Anfangs- oder Endpunkte von Linien. Jedes Feld darf nur einen Linienzug enthalten. Zum Schluss wird kein Feld ohne Linie übrig bleiben. Die Verbindungslinien A-A,...I-I müssen dabei unterschiedlich viele rechte Winkel erzeugen. Nach diesem sortierten 9ling ist gefragt. Lange Nacht der Mathematik Runde 1 written by ιωκκα Seite 2 von 6

3 Im dreidimensionalen 3x3x3-Gitter müssen die fehlenden Zahlen auf den blauen Würfeln gefunden werden. Es dürfen nur Zahlen von 1 bis 9 gewählt werden. Diese dürfen in Zeilen, Spalten und Ebenen jeweils nur genau einmal vorkommen. Hier soll die Zahl im Zentrum herausgefunden werden Lösungstyp: Wort(9); N Lange Nacht der Mathematik Runde 1 written by ιωκκα Seite 3 von 6

4 Aufgabe 1.5: Japanischer Kristall Ein Japanischer Kristall ist ein Knobelspiel. In dieser Aufgabe soll übersehen werden, dass die einzelnen Holzteile verschieden geschnitzt sind, sondern der Gesamtkörper soll als massiver Körper betrachtet werden. Jede Stufenlänge betrage 1cm. Wie groß ist die Oberfläche? Wie groß ist das Volumen? Lösungstyp:N; N Aufgabe 1.6: Winkel im Dreieck Vermont Im Dreieck ABC gilt ACB = 117,3. Es wird ein Punkt D im Inneren des Dreiecks so gewählt, dass DA den Winkel BAC halbiert und DC den Winkel ACB halbiert. Berechne den Winkel ADB. Lösungstyp: Dezimalbruch(2) Lange Nacht der Mathematik Runde 1 written by ιωκκα Seite 4 von 6

5 Aufgabe 1.7: Fahrstuhl im Hochhaus Im Erdgeschoss eines zwölfstöckigen Hochhauses steigen zwölf Personen in den Aufzug nach oben. In jedem Stockwerk hält der Aufzug. Dabei steigen mindestens ein Viertel, aber höchstens ein Drittel aller mitfahrenden Personen aus; zugleich steigen so viele Personen ein, wie die Nummer des Stockwerkes angibt. Das Erdgeschoss besitzt die Nummer 0. In welchem Stockwerk befinden sich erstmals mehr Personen im Lift als im Erdgeschoss eingestiegen sind? Aufgabe 1.8: Setze Klammern Wenn du den Term berechnen möchtest, dann hast du nur deswegen keine Schwierigkeiten, weil eine Vereinbarung sagt: Fehlen Klammern, dann wird von links nach rechts gerechnet. Wie viele verschiedene eindeutige Rechenreihenfolgen lassen sich durch Klammersetzungen erreichen? Zusätzlich soll die Frage geklärt werden, wie viele grundsätzlich verschiedene Ergebnisse zu erwarten sind. ;N Aufgabe 1.9: Glücksrad Bei einem Discounter kann jedes Kind für 1 Euro an einem Glücksrad drehen. Dieses Glücksrad ist in zwölf verschiedene, unterschiedlich große Abschnitte unterteilt. Mit je 5% Wahrscheinlichkeit können 1 bis 10 Bonbons gewonnen werden. Die Chance auf eine Niete beträgt 25%. Mit 25% Wahrscheinlichkeit kann man außerdem einen Bonusdreh an einem anderen Glücksrad gewinnen. Hier sind 50% der Fläche für Nieten und 50% der Fläche für einen Gewinn von 10 Bonbons bestimmt. Im Discounter kann man auf konventionellem Wege die zu gewinnenden Bonbons auch für 20 ct pro Stück kaufen. Ben hat jede Woche 10 e zur Verfügung und möchte dafür möglichst viele Bonbons bekommen. Wie viele Bonbons mehr erhält er im Durchschnitt bei der günstigeren Alternative mehr als bei der ungünstigeren? Lange Nacht der Mathematik Runde 1 written by ιωκκα Seite 5 von 6

6 Aufgabe 1.10: Würfel aus Würfeln Ein 2x2x2-Würfel bestehe aus acht kleinen Würfeln. Ein kleiner Würfel (hinten links unten) sei ein roter, während alle anderen weiß sind. Ersetzt man jetzt genau einen der sieben weißen kleinen Würfel durch einen roten, dann kann man dies auf drei verschiedene Weisen tun. Alle anderen Möglichkeiten mit zwei roten Würfeln (wobei sich einer davon in einer Ecke befindet) entstehen durch Drehung aus den genannten drei. Nun soll ein 5x5x5-Würfel aus einhundertfünfundzwanzig kleinen Würfeln gebaut werden. Dabei soll wie oben ein kleiner Würfel rot sein. Wie viele Möglichkeiten gibt es jetzt (bis auf Rotation), mit einem zweiten roten Würfel verschiedene 5x5x5-Würfel herzustellen? Lange Nacht der Mathematik Runde 1 written by ιωκκα Seite 6 von 6