Einführung in das λ-kalkül
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- Elvira Hausler
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1 Einführung in das λ-kalkül Max Wagner IPD Snelting Max Wagner - Einführung in das λ-kalkül IPD KIT Die Forschungsuniversität in der Helmholtz-Gemeinschaft
2 Syntax Abstrakte Syntax: <term> :: = <abs> <app> <v a r > <abs> ::= λ <var >. <term> <app> :: = <term> <term> <var> ::= a b c... Klammerung ist wichtig! App implizit linksgeklammert, Abs greedy. λx. x (λy. y) λx. x λs. λz. s z λs. λz. s (s z) λs. λz. s s z Max Wagner - Einführung in das λ-kalkül IPD
3 Syntax Abstrakte Syntax: <term> :: = <abs> <app> <v a r > <abs> ::= λ <var >. <term> <app> :: = <term> <term> <var> ::= a b c... Klammerung ist wichtig! App implizit linksgeklammert, Abs greedy. λx. x (λy. y) λx. x λy. y λx. x λs. λz. s z λs. λz. s (s z) λs. λz. s s z Max Wagner - Einführung in das λ-kalkül IPD
4 Syntax Abstrakte Syntax: <term> :: = <abs> <app> <v a r > <abs> ::= λ <var >. <term> <app> :: = <term> <term> <var> ::= a b c... Klammerung ist wichtig! App implizit linksgeklammert, Abs greedy. λx. x (λy. y) λx. x λy. y λx. x λs. λz. s z λs. λz. s (s z) λs. λz. s s z λx. x λs. λz. s z λs. λz. s s z λs. λz. s s z Max Wagner - Einführung in das λ-kalkül IPD
5 Variablenbindung Unterscheide freie und gebundene Variablen. λs. λz. s (s z) λx. x (λx. x) λx. x z Max Wagner - Einführung in das λ-kalkül IPD
6 β-reduktion Entspricht schrittweiser Funktionsauswertung. Nur auf sog. Reducible Expressions (Redexe) andwendbar. Definition (Redex) Redexe sind Teilausdrücke mit folgender Form: Applikationen, deren linke Seite eine Abstraktion ist (λv. T 1 ) T 2 Definition (β-reduktion) β-reduktion ersetzt einen Redex mit einer modifizierten Form von T 1, wobei alle in T 1 freien 1 Vorkommnisse von V mit T 2 ersetzt werden. (λv. T 1 ) T 2 β = T1 [T 2 /V ] 1 Achtung: frei nicht im Redex, sondern wenn T 1 alleinstehender Ausdruck wäre Max Wagner - Einführung in das λ-kalkül IPD
7 Beispiele (λv. T 1 ) T 2 β = T1 [T 2 /V ] (λx. x) z (λx. x x) (λy. y) z (λx. (λy. y) x) (λy. λx. y x) x Max Wagner - Einführung in das λ-kalkül IPD
8 Beispiele (λv. T 1 ) T 2 β = T1 [T 2 /V ] (λx. x) z = β z (λx. x x) (λy. y) = β (λy. y) (λy. y) = β λy. y z (λx. (λy. y) x) = β z (λx. x) (λy. λx. y x) x = β Max Wagner - Einführung in das λ-kalkül IPD
9 Capture Avoidance und α-konversion β-reduktion nicht korrekt anwendbar, wenn dadurch aus Versehen freie Variablen gebunden werden. Definition (α-konversion) Entspricht intuitiver Variablenumbenennung, anwendbar auf Abstraktions-Teilausdrücke. λx. T α = λy. T [y/x] Max Wagner - Einführung in das λ-kalkül IPD
10 Capture Avoidance und α-konversion β-reduktion nicht korrekt anwendbar, wenn dadurch aus Versehen freie Variablen gebunden werden. Definition (α-konversion) Entspricht intuitiver Variablenumbenennung, anwendbar auf Abstraktions-Teilausdrücke. λx. T α = λy. T [y/x] (λy. λx. y x) x α = (λy. λz. y z) x β = λz. x z Wird bei der Reduktion von (λv. T 1 ) T 2 benötigt gdw. in T 1 an einer Stelle ein (freies) v steht, an der der Name einer freien Variable aus T 2 gebunden ist Max Wagner - Einführung in das λ-kalkül IPD
11 Capture Avoidance und α-konversion β-reduktion nicht korrekt anwendbar, wenn dadurch aus Versehen freie Variablen gebunden werden. Definition (α-konversion) Entspricht intuitiver Variablenumbenennung, anwendbar auf Abstraktions-Teilausdrücke. λx. T α = λy. T [y/x] (λy. λx. y x) x α = (λy. λz. y z) x β = λz. x z Wird bei der Reduktion von (λv. T 1 ) T 2 benötigt gdw. in T 1 an einer Stelle ein (freies) v steht, an der der Name einer freien Variable aus T 2 gebunden ist. Unschön. = De-Bruijn-Indizes Max Wagner - Einführung in das λ-kalkül IPD
12 Auswertungsstrategien Manchmal gibt es mehrere Redexe. Was tun? ((λx. x) z) ((λa. a a) z) Max Wagner - Einführung in das λ-kalkül IPD
13 Auswertungsstrategien Manchmal gibt es mehrere Redexe. Was tun? ((λx. x) z) ((λa. a a) z) = z ((λa. a a) z) ((λx. x) z) (z z) = = z (z z) = Beispiele für Auswertungsstrategien: Normalreihenfolge: zuerst linkesten Redex Call-by-Name: zuerst linkesten Redex, der nicht in einer Abstraktion liegt Call-by-Value: zuerst linkesten Redex, der nicht in einer Abstraktion liegt, u. dessen Argument vollst. reduziert ist Max Wagner - Einführung in das λ-kalkül IPD
14 Termination und Divergenz Reminder: λ-kalkül ist Turingmächtig. Das bedeutet aber insbesondere, dass es auch nicht terminierende Ausdrücke geben muss. (λx. x x) (λx. x x) β = (λx. x x) (λx. x x) β =... (λx. x x x) (λx. x x x) β = (λx. x x x) (λx. x x x) (λx. x x x) β = Max Wagner - Einführung in das λ-kalkül IPD
15 Termination und Divergenz Reminder: λ-kalkül ist Turingmächtig. Das bedeutet aber insbesondere, dass es auch nicht terminierende Ausdrücke geben muss. (λx. x x) (λx. x x) β = (λx. x x) (λx. x x) β =... (λx. x x x) (λx. x x x) β = (λx. x x x) (λx. x x x) (λx. x x x) β =... Es gibt Ausdrücke, die nur mit bestimmten Auswertungsstrategien terminieren. Beispiel: (λt. λf. t) (λx. x) T Mit nicht terminierendem Ausdruck T Max Wagner - Einführung in das λ-kalkül IPD
16 How to Turingmächtigkeit Man nehme Kodierung von Daten Kodierung boolscher Werte Ein Schema für Fallunterscheidung Rekursion Max Wagner - Einführung in das λ-kalkül IPD
17 How to Turingmächtigkeit Man nehme Kodierung von Daten Möglich, z.b. Natürliche Zahlen via Church-Zahlen 0: λs. λz. z 1: λs. λz. s z 4: λs. λz. s (s (s (s z))) Kodierung boolscher Werte Ein Schema für Fallunterscheidung Rekursion Max Wagner - Einführung in das λ-kalkül IPD
18 How to Turingmächtigkeit Man nehme Kodierung von Daten Möglich, z.b. Natürliche Zahlen via Church-Zahlen 0: λs. λz. z 1: λs. λz. s z 4: λs. λz. s (s (s (s z))) Kodierung boolscher Werte True: λt. λf. t False: λt. λf. f Ein Schema für Fallunterscheidung Rekursion Max Wagner - Einführung in das λ-kalkül IPD
19 How to Turingmächtigkeit Man nehme Kodierung von Daten Möglich, z.b. Natürliche Zahlen via Church-Zahlen 0: λs. λz. z 1: λs. λz. s z 4: λs. λz. s (s (s (s z))) Kodierung boolscher Werte True: λt. λf. t False: λt. λf. f Ein Schema für Fallunterscheidung Boolsche Werte sind Fallunterscheidungs-Funktionen! if A then B else C : A B C Rekursion Max Wagner - Einführung in das λ-kalkül IPD
20 How to Turingmächtigkeit Man nehme Kodierung von Daten Möglich, z.b. Natürliche Zahlen via Church-Zahlen 0: λs. λz. z 1: λs. λz. s z 4: λs. λz. s (s (s (s z))) Kodierung boolscher Werte True: λt. λf. t False: λt. λf. f Ein Schema für Fallunterscheidung Boolsche Werte sind Fallunterscheidungs-Funktionen! if A then B else C : A B C Rekursion??? Max Wagner - Einführung in das λ-kalkül IPD
21 Rekursion Problem: brauche Namensbindung für selbstreferenziellen Aufruf. f = λn. f n Max Wagner - Einführung in das λ-kalkül IPD
22 Rekursion Problem: brauche Namensbindung für selbstreferenziellen Aufruf. λf. λn. f n Max Wagner - Einführung in das λ-kalkül IPD
23 Rekursion Problem: brauche Namensbindung für selbstreferenziellen Aufruf. λf. λn. f n (λf. λn. f n) (λf. λn. f n) β = λn. (λf. λn. f n) n Max Wagner - Einführung in das λ-kalkül IPD
24 Rekursion Problem: brauche Namensbindung für selbstreferenziellen Aufruf. λf. λn. f n (λf. λn. f n) (λf. λn. f n) = β λn. (λf. λn. f n) n (λf. λn. f n) ((λf. λn. f n) (λf. λn. f n)) = β λn. (λn. (λf. λn. f n) n) n Max Wagner - Einführung in das λ-kalkül IPD
25 Rekursion Problem: brauche Namensbindung für selbstreferenziellen Aufruf. λf. λn. f n (λf. λn. f n) (λf. λn. f n) β = λn. (λf. λn. f n) n (λf. λn. f n) ((λf. λn. f n) (λf. λn. f n)) β = λn. (λn. (λf. λn. f n) n) n Trick: Finde besonderen λ-ausdruck, der solche rekursiven Terme richtig bedient Max Wagner - Einführung in das λ-kalkül IPD
26 Rekursion Problem: brauche Namensbindung für selbstreferenziellen Aufruf. λf. λn. f n (λf. λn. f n) (λf. λn. f n) β = λn. (λf. λn. f n) n (λf. λn. f n) ((λf. λn. f n) (λf. λn. f n)) β = λn. (λn. (λf. λn. f n) n) n Trick: Finde besonderen λ-ausdruck, der solche rekursiven Terme richtig bedient. Y = λf. (λx. f (x x)) (λx. f (x x)) β Formal: Y ist Fixpunktkombinator, denn f : Y f = f (Y f) Schema: für rekursive Funktion f mit Rumpf T benutze Y (λf. T) als Funktionsdefinition Max Wagner - Einführung in das λ-kalkül IPD
27 Beispiel: Teilbarkeit von Zahlen überprüfen Gegeben: natürliche Zahlen, minus, iszero boolsche Werte ctrue, cfalse def less(a, b): if a - b == 0: return not b - a == 0 return False Max Wagner - Einführung in das λ-kalkül IPD
28 Beispiel: Teilbarkeit von Zahlen überprüfen Gegeben: natürliche Zahlen, minus, iszero boolsche Werte ctrue, cfalse def less(a, b): if iszero(minus(a, b)): return not iszero(minus(b, a)) return cfalse Max Wagner - Einführung in das λ-kalkül IPD
29 Beispiel: Teilbarkeit von Zahlen überprüfen Gegeben: natürliche Zahlen, minus, iszero boolsche Werte ctrue, cfalse less = λa. λb. (iszero(minus(a, b))) (not iszero(minus(b, a))) (cfalse) Max Wagner - Einführung in das λ-kalkül IPD
30 Beispiel: Teilbarkeit von Zahlen überprüfen Gegeben: natürliche Zahlen, minus, iszero boolsche Werte ctrue, cfalse less = λa. λb. (iszero (minus a b)) (iszero (minus b a) cfalse ctrue) cfalse Max Wagner - Einführung in das λ-kalkül IPD
31 Beispiel: Teilbarkeit von Zahlen überprüfen Gegeben: natürliche Zahlen, minus, iszero boolsche Werte ctrue, cfalse def divides(a, b): if b == 0: return True if b < a: return False return divides(a, b - a) Max Wagner - Einführung in das λ-kalkül IPD
32 Beispiel: Teilbarkeit von Zahlen überprüfen Gegeben: natürliche Zahlen, minus, iszero boolsche Werte ctrue, cfalse def divides(a, b): if iszero(b): return ctrue if less(b, a): return cfalse return divides(a, minus(b, a)) Max Wagner - Einführung in das λ-kalkül IPD
33 Beispiel: Teilbarkeit von Zahlen überprüfen Gegeben: natürliche Zahlen, minus, iszero boolsche Werte ctrue, cfalse def divides(a, b): iszero b ctrue ( (less b a) cfalse divides(a, minus(b, a)) ) Max Wagner - Einführung in das λ-kalkül IPD
34 Beispiel: Teilbarkeit von Zahlen überprüfen Gegeben: natürliche Zahlen, minus, iszero boolsche Werte ctrue, cfalse divides = λa. λb. iszero b ctrue ((less b a) cfalse (divides a (minus b a)) Max Wagner - Einführung in das λ-kalkül IPD
35 Beispiel: Teilbarkeit von Zahlen überprüfen Gegeben: natürliche Zahlen, minus, iszero boolsche Werte ctrue, cfalse divides = Y (λdivides. λa. λb. iszero b ctrue ((less b a) cfalse (divides a (minus b a))) Max Wagner - Einführung in das λ-kalkül IPD
36 10 Minuten Rechnen später Max Wagner - Einführung in das λ-kalkül IPD
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