Automaten, Spiele, und Logik

Transkript

1 Automaten, Spiele, und Logik Woche Juli 2014

2 Inhalt der heutigen Vorlesung Terminationsanalyse

3 Rekursive Funktionnen fact(n)= if n==0 then 1 else n*fact(n-1) fibo(n)= if n<=1 then 1 else fibo(n-1) + fibo(n-2) ackerman(m,n)= if m==0 then n+1 elif n==0 then ackerman(m-1,1) else ackerman(m-1,ackerman(m,n-1)) mccarthy(n)= if n>100 then n-10 else mccarthy(mccarthy(n+11)) Hypothesen: Rekursion ist die einzige Quelle von einer mögliche unendliche Komputation, und Zahlen bleiben 0.

4 Mutualle rekursion Beispiel: Zahl von geordnete Baüme mit n Zuständen. tree(n) = if n==1 then 1 else forest(n-1) forest(n) = if n==0 then 1 else sum(tree(i)*forest(n-i),i=1..n)

5 Terminationsanalyse Entscheidungsproblem Gilt es, dass f ( n) für irgendwelche Input n beendet? Beispiel: mccarthy terminiert, aber die folgende Variante nicht. mccarthy (n)= if n>100 then n-10 else mccarthy (mccarthy (n+10))

6 Terminationsanalyse ist nicht einfach unentscheidbar auch mit einem Orakle über die Termination gegen ein einziges Input. zu den Menschen auch schwer syracuse(n)= if n<=1 then 1 if (n mod 2)==0 then syracuse(n/2) else syracuse(3*n+1)

7 Size-Change Termination Abstraktion Wenn g(e 1,..., e m ) in die Definition von f (x 1,..., x n ) vorkommt, dann gibt es für jede i = 1,..., m drei Fällen: e j = x i man kann beweisen, dass e j < x i dann ist die Abstraktion e j = x i 1 ein Zahl, für den man keinen oberen Schrank in x 1,..., x n kennt dann e j = ω (d.h. eine beliebig grosse endliche Zahle). Weitere Simplifizierungen Seitenkalkulation weg, Kontrol weg Grundfallen weg abstraktierte Funktion terminiert falls mindestens ein x i = 0 identischen abstraktierten Aufrufen nur einmal gezählt

8 Beispiele fact(n)= if n==0 then 1 else n*fact(n-1) wird fact(n) fact(n-1)

9 Beispiele fact(n)= if n==0 then 1 else n*fact(n-1) wird fact(n) fact(n-1) fibo(n)= if n<=1 then 1 else fibo(n-1) + fibo(n-2) wird fibo(n) fibo(n-1), fibo(n-1)

10 Beispiele fact(n)= if n==0 then 1 else n*fact(n-1) wird fact(n) fact(n-1) fibo(n)= if n<=1 then 1 else fibo(n-1) + fibo(n-2) wird fibo(n) fibo(n-1)

11 Beispiele fact(n)= if n==0 then 1 else n*fact(n-1) wird fact(n) fact(n-1) fibo(n)= if n<=1 then 1 else fibo(n-1) + fibo(n-2) wird fibo(n) fibo(n-1) ackerman(m,n)= if m==0 then n+1 elif n==0 then ackerman(m-1,1) else ackerman(m-1,ackerman(m,n-1)) wird ackerman(m,n) ackerman(m-1,ω), ackerman(m,n-1)

12 Übung Geben Sie die Abstraktion diese rekursive Programmen an: mccarthy(n)= if n>100 then n-10 else mccarthy(mccarthy(n+11)) tree(n) = if n==1 then 1 else forest(n-1) forest(n) = if n==0 then 1 else sum(tree(i)*forest(n-i),i=1..n)

13 Lösung mccarthy(x) mccarthy(ω) tree(x) forest(x-1) forest(x) tree(x),forest(x-1)

14 Termination einer Abstraktion Semantik einer Abstraktion, heisst beide Kommande werden gelaufen ω Ausdrucken : nicht deterministische Wahl einer Zahl Die Abstraktion terminiert falls auf allen Input und alle nicht-deterministischen Enstcheidungen wird ein endlicher Lauf definiert. Beispiele mccarthy(x) mccarthy(ω) termininiert nicht tree(x) forest(x-1) forest(x) tree(x),forest(x-1) terminiert ackerman(m,n) ackerman(m-1,ω), ackerman(m,n-1) terminiert

15 Korrektheit der Abstraktion Wir machen Terminationsanalyse auf die Abstraktion der Funktion statt der Funktion selbst. Korrektheiteigenschaft Wenn die Abstraktion terminiert auf allen Input, dann auch die ursprungliche Funktion.

16 Model Rekursiver System Ein rekursiver System ist ein Tupel S = (V = {x 1,..., x n }, Fun, f 0, succ), so dass V = {x 1,..., x n } ist eine nichtleere endliche Menge von Variablen Fun ist eine nichtleere endliche Menge von Funktionsnamen f 0 Fun succ : Fun (Fun (ω + V + V ) n ) Beispiel: tree(x) forest(x-1) forest(x) tree(x),forest(x-1) lässt sich mit V := {x}, Fun := {t, f }, und succ := {t fx, f txfx } modelieren.

17 Aufrufsequenzen und Kontrolsequenzen Aufrufsequenz Eine Aufrufsequenz ist eine Folgerung ρ = f 0 ( n 0 ), f 1 ( n 1 ),..., wobei n i Vektoren von positive oder negative Zahlen sind, und f i Fun. Kontrolsequenz Eine Kontrolsequenz ist eine Folgerung σ = i 0, i 1,... von natürliche Zahlen. Konkretisierung Die Aufrufsequenz ρ ist eine Konkretisierung der Kontrolsequenz σ, wenn f k+1 ( n k+1 ) entspricht dem i k -Aufruf in der Definition von f k. Beispiel: a(m,n) a(m-1,ω), a(m,n-1) dann ρ = a(2, 3), a(2, 2), a(1, 5) konkretisiert σ = 2, 1.

18 Syntax und Semantik Syntaktisch erlaubte Kontrolsequenz Eine Kontrolsequenz i 1, i 2,... ist syntaktisch erlaubt, falls mindestens eine Aufrufsequenz ist ihre Konkretisierung. Positive Aufrufsequenz Eine Aufrufsequenz f 1 ( n 1 ), f 2 ( n 2 ),... heisst positiv, falls alle Parameter n i positiv sind. Semantisch unerlaubte Kontrolsequenz Eine Kontrolsequenz heisst semantisch unerlaubt, falls keine positive Aufrufsequenz ihre Konkretisierung ist.

19 Termination analyse, jetzt formal Seien L call (S) : die Menge von syntaktisch erlaubte unendliche Kontrolsequenzen, und L term (S) : die Menge von semantisch unerlaubte unendliche Kontrolsequenzen. Definition S heisst terminierend, falls L call (S) L term (S).

20 Übung Geben Sie L call (S) und L term (S) für die folgende rekursive Systemen an. 1. Ackerman: a ax 1 ωax 1x 2 2. Baüme: t fx, f txfx Zeigen Sie, dass für jedes S, L call (S) eine ω-reguläre Sprache ist.

21 Absteigende Kette Definition Eine absteigende Kette für eine Kontrolsequenz i 1, i 2,... (von f 0 an) ist eine Variablenfolgerung x 1, x 2,... so dass für alle Konkretisierung f 0 ( n 0 ), f 1 ( n 1 ),..., wenn v i das Wert von x i in f i ( n i ) ist, dann gilt für alle i v i+1 v i. Lemma Sei σ eine unendliche Kontrolsequenz. Dann σ ist semantisch erlaubt genau dann wenn jede unendliche absteigende Kette nur endlich oft strikt absteigt.

22 L term ist ω-regulär Idee: der Automat liest die Kontrolsequenz, ignoriert vielleicht ein Prefix, dann errät eine unendliche absteigende Kette, und prüft dass sie unendlich oft strikt absteigt. A = (Q, Σ, δ, q I, F ), wobei Q := Fun (V {ω}) {0, 1} Σ := {1,..., N}: N = maximal Zahl von unterschiedliche Aufrufe in eine Definition wenn f... g i e 1... e n... δ( f, ω,, i) = { gi, e, 0 : e V {ω}} δ( f, x,, i) = { gi, x j, 0 : e j = x} δ( f, x,, i) = { g i, x j, 1 : e j = x } q I := f 0, ω, 0 F := Fun V {1}

23 Beispiel f fx 1 x 2 x 1, f ωx 1 x 2 1,2 2 x 2 1,2 ω 1,2 x ,2 1 x 2 2 x 3 1 1

24 Konklusion Satz L term (S) ist ω-regulär. Satz Das Problem, ob ein rekursiver System S terminiert, ist entscheidbar.