Theoretische Informatik II
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- Irmela Hochberg
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1 Vorlesung Theoretische Informatik II Bernhard Beckert Institut für Informatik Wintersemester 2007/2008 B. Beckert Theoretischen Informatik II: WS 2007/08 1 / 179
2 Dank Diese Vorlesungsmaterialien basieren zum Teil auf den Folien zu den Vorlesungen von Katrin Erk (gehalten an der Universität Koblenz-Landau) Jürgen Dix (gehalten an der TU Clausthal) Christoph Kreitz (gehalten an der Universität Potsdam) Ihnen gilt mein herzlicher Dank. Bernhard Beckert, Oktober 2007 B. Beckert Theoretischen Informatik II: WS 2007/08 2 / 179
3 Teil IV Der λ-kalkül B. Beckert Theoretischen Informatik II: WS 2007/ / 179
4 Die Idee Zweck Formale Definition von Funktionen Untersuchung und Anwendung von Funktionsdefinitionen Berechnungsmodell Grundlage funktionaler Programmiersprachen Einfach und doch mächtig Grundlegende Eigenschaften Funktion identifiziert mit λ-ausdrücken, die sie beschreiben Funktionen angewendet auf Funktionen Nichts außer Funktionen (keine anderen Datentypen) Entwickelt von Alonzo Church und Stephen Kleene in den 1930er Jahren B. Beckert Theoretischen Informatik II: WS 2007/ / 179
5 Die Idee Zweck Formale Definition von Funktionen Untersuchung und Anwendung von Funktionsdefinitionen Berechnungsmodell Grundlage funktionaler Programmiersprachen Einfach und doch mächtig Grundlegende Eigenschaften Funktion identifiziert mit λ-ausdrücken, die sie beschreiben Funktionen angewendet auf Funktionen Nichts außer Funktionen (keine anderen Datentypen) Entwickelt von Alonzo Church und Stephen Kleene in den 1930er Jahren B. Beckert Theoretischen Informatik II: WS 2007/ / 179
6 Die Idee Zweck Formale Definition von Funktionen Untersuchung und Anwendung von Funktionsdefinitionen Berechnungsmodell Grundlage funktionaler Programmiersprachen Einfach und doch mächtig Grundlegende Eigenschaften Funktion identifiziert mit λ-ausdrücken, die sie beschreiben Funktionen angewendet auf Funktionen Nichts außer Funktionen (keine anderen Datentypen) Entwickelt von Alonzo Church und Stephen Kleene in den 1930er Jahren B. Beckert Theoretischen Informatik II: WS 2007/ / 179
7 Die Idee Zweck Formale Definition von Funktionen Untersuchung und Anwendung von Funktionsdefinitionen Berechnungsmodell Grundlage funktionaler Programmiersprachen Einfach und doch mächtig Grundlegende Eigenschaften Funktion identifiziert mit λ-ausdrücken, die sie beschreiben Funktionen angewendet auf Funktionen Nichts außer Funktionen (keine anderen Datentypen) Entwickelt von Alonzo Church und Stephen Kleene in den 1930er Jahren B. Beckert Theoretischen Informatik II: WS 2007/ / 179
8 Die Idee Zweck Formale Definition von Funktionen Untersuchung und Anwendung von Funktionsdefinitionen Berechnungsmodell Grundlage funktionaler Programmiersprachen Einfach und doch mächtig Grundlegende Eigenschaften Funktion identifiziert mit λ-ausdrücken, die sie beschreiben Funktionen angewendet auf Funktionen Nichts außer Funktionen (keine anderen Datentypen) Entwickelt von Alonzo Church und Stephen Kleene in den 1930er Jahren B. Beckert Theoretischen Informatik II: WS 2007/ / 179
9 Die Idee Zweck Formale Definition von Funktionen Untersuchung und Anwendung von Funktionsdefinitionen Berechnungsmodell Grundlage funktionaler Programmiersprachen Einfach und doch mächtig Grundlegende Eigenschaften Funktion identifiziert mit λ-ausdrücken, die sie beschreiben Funktionen angewendet auf Funktionen Nichts außer Funktionen (keine anderen Datentypen) Entwickelt von Alonzo Church und Stephen Kleene in den 1930er Jahren B. Beckert Theoretischen Informatik II: WS 2007/ / 179
10 Die Idee Zweck Formale Definition von Funktionen Untersuchung und Anwendung von Funktionsdefinitionen Berechnungsmodell Grundlage funktionaler Programmiersprachen Einfach und doch mächtig Grundlegende Eigenschaften Funktion identifiziert mit λ-ausdrücken, die sie beschreiben Funktionen angewendet auf Funktionen Nichts außer Funktionen (keine anderen Datentypen) Entwickelt von Alonzo Church und Stephen Kleene in den 1930er Jahren B. Beckert Theoretischen Informatik II: WS 2007/ / 179
11 Die Idee Zweck Formale Definition von Funktionen Untersuchung und Anwendung von Funktionsdefinitionen Berechnungsmodell Grundlage funktionaler Programmiersprachen Einfach und doch mächtig Grundlegende Eigenschaften Funktion identifiziert mit λ-ausdrücken, die sie beschreiben Funktionen angewendet auf Funktionen Nichts außer Funktionen (keine anderen Datentypen) Entwickelt von Alonzo Church und Stephen Kleene in den 1930er Jahren B. Beckert Theoretischen Informatik II: WS 2007/ / 179
12 Die Idee Zweck Formale Definition von Funktionen Untersuchung und Anwendung von Funktionsdefinitionen Berechnungsmodell Grundlage funktionaler Programmiersprachen Einfach und doch mächtig Grundlegende Eigenschaften Funktion identifiziert mit λ-ausdrücken, die sie beschreiben Funktionen angewendet auf Funktionen Nichts außer Funktionen (keine anderen Datentypen) Entwickelt von Alonzo Church und Stephen Kleene in den 1930er Jahren B. Beckert Theoretischen Informatik II: WS 2007/ / 179
13 Die Idee Zweck Formale Definition von Funktionen Untersuchung und Anwendung von Funktionsdefinitionen Berechnungsmodell Grundlage funktionaler Programmiersprachen Einfach und doch mächtig Grundlegende Eigenschaften Funktion identifiziert mit λ-ausdrücken, die sie beschreiben Funktionen angewendet auf Funktionen Nichts außer Funktionen (keine anderen Datentypen) Entwickelt von Alonzo Church und Stephen Kleene in den 1930er Jahren B. Beckert Theoretischen Informatik II: WS 2007/ / 179
14 Die Idee Zweck Formale Definition von Funktionen Untersuchung und Anwendung von Funktionsdefinitionen Berechnungsmodell Grundlage funktionaler Programmiersprachen Einfach und doch mächtig Grundlegende Eigenschaften Funktion identifiziert mit λ-ausdrücken, die sie beschreiben Funktionen angewendet auf Funktionen Nichts außer Funktionen (keine anderen Datentypen) Entwickelt von Alonzo Church und Stephen Kleene in den 1930er Jahren B. Beckert Theoretischen Informatik II: WS 2007/ / 179
15 Syntax Definition 14.1 (λ-ausdruck) Variable Jede Variable x ist ein λ-ausdruck Abstraktion Ist x eine Variable und e ein λ-ausdruck, dann ist λx.e ein λ-ausdruck Anwendung Sind e 1,e 2 λ-ausdrücke, dann ist e 1 e 2 ein λ-ausdruck B. Beckert Theoretischen Informatik II: WS 2007/ / 179
16 Syntax Definition 14.1 (λ-ausdruck) Variable Jede Variable x ist ein λ-ausdruck Abstraktion Ist x eine Variable und e ein λ-ausdruck, dann ist λx.e ein λ-ausdruck Anwendung Sind e 1,e 2 λ-ausdrücke, dann ist e 1 e 2 ein λ-ausdruck B. Beckert Theoretischen Informatik II: WS 2007/ / 179
17 Syntax Definition 14.1 (λ-ausdruck) Variable Jede Variable x ist ein λ-ausdruck Abstraktion Ist x eine Variable und e ein λ-ausdruck, dann ist λx.e ein λ-ausdruck Anwendung Sind e 1,e 2 λ-ausdrücke, dann ist e 1 e 2 ein λ-ausdruck B. Beckert Theoretischen Informatik II: WS 2007/ / 179
18 Syntax Assoziativität und Bindungsstärke Anwendungen sind linksassoziativ: e 1 e 2 e 3 = (e 1 e 2 ) e 3 Anwendung bindet stärker als Abstraktion: λx.e 1 e 2 = λx.(e 1 e 2 ) WICHTIG! Dies muss man wissen, um λ-ausdrücke verstehen zu können! B. Beckert Theoretischen Informatik II: WS 2007/ / 179
19 Syntax Assoziativität und Bindungsstärke Anwendungen sind linksassoziativ: e 1 e 2 e 3 = (e 1 e 2 ) e 3 Anwendung bindet stärker als Abstraktion: λx.e 1 e 2 = λx.(e 1 e 2 ) WICHTIG! Dies muss man wissen, um λ-ausdrücke verstehen zu können! B. Beckert Theoretischen Informatik II: WS 2007/ / 179
20 Syntax Assoziativität und Bindungsstärke Anwendungen sind linksassoziativ: e 1 e 2 e 3 = (e 1 e 2 ) e 3 Anwendung bindet stärker als Abstraktion: λx.e 1 e 2 = λx.(e 1 e 2 ) WICHTIG! Dies muss man wissen, um λ-ausdrücke verstehen zu können! B. Beckert Theoretischen Informatik II: WS 2007/ / 179
21 Syntax Assoziativität und Bindungsstärke Anwendungen sind linksassoziativ: e 1 e 2 e 3 = (e 1 e 2 ) e 3 Anwendung bindet stärker als Abstraktion: λx.e 1 e 2 = λx.(e 1 e 2 ) WICHTIG! Dies muss man wissen, um λ-ausdrücke verstehen zu können! B. Beckert Theoretischen Informatik II: WS 2007/ / 179
22 Beispiele Einige wichtige λ-ausdrücke Indentitätsfunktion: I = λx.x Selbstanwendung: D = λx.x x Auslassen des 2. Argumentes: K = λx.λy.x B. Beckert Theoretischen Informatik II: WS 2007/ / 179
23 Beispiele Einige wichtige λ-ausdrücke Indentitätsfunktion: I = λx.x Selbstanwendung: D = λx.x x Auslassen des 2. Argumentes: K = λx.λy.x B. Beckert Theoretischen Informatik II: WS 2007/ / 179
24 Beispiele Einige wichtige λ-ausdrücke Indentitätsfunktion: I = λx.x Selbstanwendung: D = λx.x x Auslassen des 2. Argumentes: K = λx.λy.x B. Beckert Theoretischen Informatik II: WS 2007/ / 179
25 α-konversion Definition 14.2 Ein Vorkommen einer Variablen x ist gebunden, wenn es im Skopus von λx ist. Andernfalls ist es frei. α-konversion λ-ausdrücke, die gleich sind bis auf Umbenennen gebundener Variablen werden identifiziert beschreiben dieselbe Funktion B. Beckert Theoretischen Informatik II: WS 2007/ / 179
26 α-konversion Definition 14.2 Ein Vorkommen einer Variablen x ist gebunden, wenn es im Skopus von λx ist. Andernfalls ist es frei. α-konversion λ-ausdrücke, die gleich sind bis auf Umbenennen gebundener Variablen werden identifiziert beschreiben dieselbe Funktion B. Beckert Theoretischen Informatik II: WS 2007/ / 179
27 α-konversion Definition 14.2 Ein Vorkommen einer Variablen x ist gebunden, wenn es im Skopus von λx ist. Andernfalls ist es frei. α-konversion λ-ausdrücke, die gleich sind bis auf Umbenennen gebundener Variablen werden identifiziert beschreiben dieselbe Funktion B. Beckert Theoretischen Informatik II: WS 2007/ / 179
28 α-konversion Definition 14.2 Ein Vorkommen einer Variablen x ist gebunden, wenn es im Skopus von λx ist. Andernfalls ist es frei. α-konversion λ-ausdrücke, die gleich sind bis auf Umbenennen gebundener Variablen werden identifiziert beschreiben dieselbe Funktion B. Beckert Theoretischen Informatik II: WS 2007/ / 179
29 Substitution Definition 14.3 Das Ergebnis der Substitution von x in e durch e in Zeichen: [e /x]e entsteht dadurch, dass 1 gebundene Variablen so umbenannt werden, dass sie nur einmal vorkommen 2 x in e syntaktisch durch e ersetzt wird B. Beckert Theoretischen Informatik II: WS 2007/ / 179
30 Substitution Definition 14.3 Das Ergebnis der Substitution von x in e durch e in Zeichen: [e /x]e entsteht dadurch, dass 1 gebundene Variablen so umbenannt werden, dass sie nur einmal vorkommen 2 x in e syntaktisch durch e ersetzt wird B. Beckert Theoretischen Informatik II: WS 2007/ / 179
31 Substitution Definition 14.3 Das Ergebnis der Substitution von x in e durch e in Zeichen: [e /x]e entsteht dadurch, dass 1 gebundene Variablen so umbenannt werden, dass sie nur einmal vorkommen 2 x in e syntaktisch durch e ersetzt wird B. Beckert Theoretischen Informatik II: WS 2007/ / 179
32 β-reduktion β-reduktion Der λ-ausdruck (λx.e) e kann durch β-reduktion zu dem Ausdruck [e /x]e reduziert werden In Zeichen: (λx.e) e β [e /x]e Wenn e β e, dann werden e,e identifiziert beschreiben dieselbe Funktion B. Beckert Theoretischen Informatik II: WS 2007/ / 179
33 β-reduktion β-reduktion Der λ-ausdruck (λx.e) e kann durch β-reduktion zu dem Ausdruck [e /x]e reduziert werden In Zeichen: (λx.e) e β [e /x]e Wenn e β e, dann werden e,e identifiziert beschreiben dieselbe Funktion B. Beckert Theoretischen Informatik II: WS 2007/ / 179
34 β-reduktion β-reduktion Der λ-ausdruck (λx.e) e kann durch β-reduktion zu dem Ausdruck [e /x]e reduziert werden In Zeichen: (λx.e) e β [e /x]e Wenn e β e, dann werden e,e identifiziert beschreiben dieselbe Funktion B. Beckert Theoretischen Informatik II: WS 2007/ / 179
35 β-reduktion Beispiel 14.4 (λf.f (λx.x)) (λx.x) β (λy.y) Beispiel 14.5 Der Ausdruck (λx.x x) (λx.x x) kann nicht weiter reduziert werden B. Beckert Theoretischen Informatik II: WS 2007/ / 179
36 β-reduktion Beispiel 14.4 (λf.f (λx.x)) (λx.x) β (λy.y) Beispiel 14.5 Der Ausdruck (λx.x x) (λx.x x) kann nicht weiter reduziert werden B. Beckert Theoretischen Informatik II: WS 2007/ / 179
37 Eigenschaften der Reduktion Eigenschaften der Reduktion mittels α- und β-reduktion β-reduktion terminiert nicht immer β-reduktion ist nicht deterministisch Jedoch: β ist konfluent (hat die Church-Rosser-Eigenschaft): Gilt e β e 1 und e β e 2 dann gibt es ein e mit e 1 β e und e 2 β e Darum: Normalformen sind eindeutig B. Beckert Theoretischen Informatik II: WS 2007/ / 179
38 Eigenschaften der Reduktion Eigenschaften der Reduktion mittels α- und β-reduktion β-reduktion terminiert nicht immer β-reduktion ist nicht deterministisch Jedoch: β ist konfluent (hat die Church-Rosser-Eigenschaft): Gilt e β e 1 und e β e 2 dann gibt es ein e mit e 1 β e und e 2 β e Darum: Normalformen sind eindeutig B. Beckert Theoretischen Informatik II: WS 2007/ / 179
39 Eigenschaften der Reduktion Eigenschaften der Reduktion mittels α- und β-reduktion β-reduktion terminiert nicht immer β-reduktion ist nicht deterministisch Jedoch: β ist konfluent (hat die Church-Rosser-Eigenschaft): Gilt e β e 1 und e β e 2 dann gibt es ein e mit e 1 β e und e 2 β e Darum: Normalformen sind eindeutig B. Beckert Theoretischen Informatik II: WS 2007/ / 179
40 Eigenschaften der Reduktion Eigenschaften der Reduktion mittels α- und β-reduktion β-reduktion terminiert nicht immer β-reduktion ist nicht deterministisch Jedoch: β ist konfluent (hat die Church-Rosser-Eigenschaft): Gilt e β e 1 und e β e 2 dann gibt es ein e mit e 1 β e und e 2 β e Darum: Normalformen sind eindeutig B. Beckert Theoretischen Informatik II: WS 2007/ / 179
41 Eigenschaften der Reduktion Eigenschaften der Reduktion mittels α- und β-reduktion β-reduktion terminiert nicht immer β-reduktion ist nicht deterministisch Jedoch: β ist konfluent (hat die Church-Rosser-Eigenschaft): Gilt e β e 1 und e β e 2 dann gibt es ein e mit e 1 β e und e 2 β e Darum: Normalformen sind eindeutig B. Beckert Theoretischen Informatik II: WS 2007/ / 179
42 Mächtigkeit des λ-kalküls Ausdrucksstärke Im λ-kalkül kann man ausdrücken: Datentypen wie Integer, Boolean, Listen, Bäume,... Verzweigung Rekursion Turing-Mächtigkeit Der λ-kalkül kann Turing-Maschinen simulieren Unentscheidbarkeit Es ist unentscheidbar, ob für beliebig gegebene e,e gilt, dass e β e B. Beckert Theoretischen Informatik II: WS 2007/ / 179
43 Mächtigkeit des λ-kalküls Ausdrucksstärke Im λ-kalkül kann man ausdrücken: Datentypen wie Integer, Boolean, Listen, Bäume,... Verzweigung Rekursion Turing-Mächtigkeit Der λ-kalkül kann Turing-Maschinen simulieren Unentscheidbarkeit Es ist unentscheidbar, ob für beliebig gegebene e,e gilt, dass e β e B. Beckert Theoretischen Informatik II: WS 2007/ / 179
44 Mächtigkeit des λ-kalküls Ausdrucksstärke Im λ-kalkül kann man ausdrücken: Datentypen wie Integer, Boolean, Listen, Bäume,... Verzweigung Rekursion Turing-Mächtigkeit Der λ-kalkül kann Turing-Maschinen simulieren Unentscheidbarkeit Es ist unentscheidbar, ob für beliebig gegebene e,e gilt, dass e β e B. Beckert Theoretischen Informatik II: WS 2007/ / 179
45 Mächtigkeit des λ-kalküls Ausdrucksstärke Im λ-kalkül kann man ausdrücken: Datentypen wie Integer, Boolean, Listen, Bäume,... Verzweigung Rekursion Turing-Mächtigkeit Der λ-kalkül kann Turing-Maschinen simulieren Unentscheidbarkeit Es ist unentscheidbar, ob für beliebig gegebene e,e gilt, dass e β e B. Beckert Theoretischen Informatik II: WS 2007/ / 179
46 Mächtigkeit des λ-kalküls Ausdrucksstärke Im λ-kalkül kann man ausdrücken: Datentypen wie Integer, Boolean, Listen, Bäume,... Verzweigung Rekursion Turing-Mächtigkeit Der λ-kalkül kann Turing-Maschinen simulieren Unentscheidbarkeit Es ist unentscheidbar, ob für beliebig gegebene e,e gilt, dass e β e B. Beckert Theoretischen Informatik II: WS 2007/ / 179
47 Mächtigkeit des λ-kalküls Ausdrucksstärke Im λ-kalkül kann man ausdrücken: Datentypen wie Integer, Boolean, Listen, Bäume,... Verzweigung Rekursion Turing-Mächtigkeit Der λ-kalkül kann Turing-Maschinen simulieren Unentscheidbarkeit Es ist unentscheidbar, ob für beliebig gegebene e,e gilt, dass e β e B. Beckert Theoretischen Informatik II: WS 2007/ / 179
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