Wirtschaftsrecht Wirtschaftsmathematik Prüfungsleistung. Studiengang Fach Art der Leistung Klausur-Knz. WR-WMT-P Datum

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1 Studiengang Fach Art der Leistung Klausur-Knz. Wirtschaftsrecht Wirtschaftsmathematik Prüfungsleistung Datum WR-WMT-P Bezüglich der Anfertigung Ihrer Arbeit sind folgende Hinweise verbindlich: Verwenden Sie ausschließlich das vom Aufsichtsführenden zur Verfügung gestellte Papier, und geben Sie sämtliches Papier (Lösungen, Schmierzettel und nicht gebrauchte Bögen) zum Schluss der Klausur wieder bei Ihrem Aufsichtsführenden ab. Eine nicht vollständig abgegebene Klausur gilt als nicht bestanden. Beschriften Sie jeden Bogen mit Ihrem Namen und Ihrer Immatrikulationsnummer. Lassen Sie bitte auf jeder Seite / ihrer Breite als Rand für Korrekturen frei, und nummerieren Sie die Seiten fortlaufend. Notieren Sie bei jeder Ihrer Antworten, auf welche Aufgabe bzw. Teilaufgabe sich diese bezieht. Die Lösungen und Lösungswege sind in einer für den Korrektanten zweifelsfrei lesbaren Schrift abzufassen. Korrekturen und Streichungen sind eindeutig vorzunehmen. Unleserliches wird nicht bewertet. Bei nummerisch zu lösenden Aufgaben ist außer der Lösung stets der Lösungsweg anzugeben, aus dem eindeutig hervorzugehen hat, wie die Lösung zustande gekommen ist. Zur Prüfung sind bis auf Schreib- und Zeichenutensilien ausschließlich die nachstehend genannten Hilfsmittel zugelassen. Werden andere als die hier angegebenen Hilfsmittel verwendet oder Täuschungsversuche festgestellt, gilt die Prüfung als nicht bestanden und wird mit der Note 5 bewertet. Hilfsmittel : Bearbeitungszeit: 90 Minuten HFH-Taschenrechner Anzahl Aufgaben: 6 Formelsammlung Wirtschaftsmathematik Höchstpunktzahl: 00 Vorläufiges Bewertungsschema: Viel Erfolg! Punktzahl von bis einschl. Note 95 00,0 sehr gut 90 9,5, sehr gut 85 89,5,7 gut 80 8,5,0 gut 75 79,5, gut 70 7,5,7 befriedigend 65 69,5,0 befriedigend 60 6,5, befriedigend 55 59,5,7 ausreichend 50 5,5,0 ausreichend 0 9,5 5,0 nicht ausreichend Klausuraufgaben, Prüfungsleistung 06/07, Wirtschaftsmathematik, WR WR-WMT-P-07060

2 Klausuraufgaben, Prüfungsleistung 06/07, Wirtschaftsmathematik, WR Aufgabe Punkte Lösen Sie die folgenden Gleichungen in der Grundmenge der reellen Zahlen R = = 8. + = 0. 8 Aufgabe Punkte Von einer arithmetischen Zahlenfolge ( a n ) sind die folgende Beziehungen zwischen einzelnen Gliedern der Zahlenfolge bekannt: a 5 + a8 = 6 = a + a 0. Bestimmen Sie das Anfangsglied a der Zahlenfolge. Aufgabe Punkte Ein Unternehmen setzt bei einem Preis von 0, Einheiten eines Gutes ab. Eine Preissenkung um bewirkt eine Absatzsteigerung auf Einheiten. Weiterhin wird aus Vereinfachungsgründen vorausgesetzt, dass die Preis-Absatzfunktion = ( p) linear ist. Bestimmen Sie die Preis-Absatzfunktionen = ( p) und p = p(). Aufgabe 0 Punkte Für ein bestimmtes Produkt sind die Gesamtkostenfunktion K ( ) und die Erlösfunktion ( ) E gegeben durch K( ) = und E( ) = Berechnen Sie. diejenige Stückzahl, bei der minimale Stückkosten entstehen. 6. die Warenmenge, bei der ein maimaler Gewinn erwirtschaftet wird. WR-WMT-P Seite /

3 Klausuraufgaben, Prüfungsleistung 06/07, Wirtschaftsmathematik, WR Aufgabe 5 0 Punkte Herr K. kauft auf Anraten seines Sohnes Sparbriefe. 5. Welchen Betrag muss K. heute zahlen, wenn die Sparbriefe eine Laufzeit von 7 Jahren haben, eine jährliche Verzinsung von 6 % garantieren und K. am Ende der Laufzeit ausbezahlt haben möchte? 5. Welche Laufzeit besitzt ein Sparbrief, wenn K. für 7 09,60 bei 6 % jährlicher Verzinsung am Ende der Laufzeit erhält? 5 5 Aufgabe 6 Punkte Ein Bauherr nimmt zur Finanzierung seines Hauses ein Hypothekendarlehen über ,00 auf. Der Zinssatz beträgt 8 % und für das erste Jahr wird eine Tilgung von % vereinbart. Es handelt sich um eine Annuitätentilgung (Annuitätenkredit). 6. Berechnen Sie die Laufzeit der Hypothek Erstellen Sie den Tilgungsplan (Restschuld zu Beginn des Jahres, Zinsen, Tilgung, Annuität) für das 7., 8., und 9. Jahr. WR-WMT-P Seite /

4 Korrekturrichtlinie zur Prüfungsleistung Wirtschaftsmathematik am Wirtschaftsrecht WR-WMT-P Für die Bewertung und Abgabe der Prüfungsleistung sind folgende Hinweise verbindlich: Die Vergabe der Punkte nehmen Sie bitte so vor, wie in der Korrekturrichtlinie ausgewiesen. Eine summarische Angabe von Punkten für Aufgaben, die in der Korrekturrichtlinie detailliert bewertet worden sind, ist nicht gestattet. Nur dann, wenn die Punkte für eine Aufgabe nicht differenziert vorgegeben sind, ist ihre Aufschlüsselung auf die einzelnen Lösungsschritte Ihnen überlassen. Stoßen Sie bei Ihrer Korrektur auf einen anderen richtigen als den in der Korrekturrichtlinie angegebenen Lösungsweg, dann nehmen Sie bitte die Verteilung der Punkte sinngemäß zur Korrekturrichtlinie vor. Rechenfehler sollten grundsätzlich nur zur Abwertung des betreffenden Teilschrittes führen. Wurde mit einem falschen Zwischenergebnis richtig weitergerechnet, so erteilen Sie die hierfür vorgesehenen Punkte ohne weiteren Abzug. Ihre Korrekturhinweise und Punktbewertung nehmen Sie bitte in einer zweifelsfrei lesbaren Schrift vor. Die von Ihnen vergebenen Punkte und die daraus sich gemäß dem nachstehenden Notenschema ergebende Bewertung tragen Sie in den Klausur-Mantelbogen sowie in das Formular Klausurergebnis (Ergebnisliste) ein. Gemäß der Diplomprüfungsordnung ist Ihrer Bewertung folgendes Bewertungsschema zugrunde zu legen: Punktzahl Note von bis einschl ,0 sehr gut 90 9,5, sehr gut 85 89,5,7 gut 80 8,5,0 gut 75 79,5, gut 70 7,5,7 befriedigend 65 69,5,0 befriedigend 60 6,5, befriedigend 55 59,5,7 ausreichend 50 5,5,0 ausreichend 0 9,5 5,0 nicht ausreichend Die korrigierten Arbeiten reichen Sie bitte spätestens bis zum 8. Juli 007 in Ihrem Studienzentrum ein. Dies muss persönlich oder per Einschreiben erfolgen. Der angegebene Termin ist unbedingt einzuhalten. Sollte sich aus vorher nicht absehbaren Gründen eine Terminüberschreitung abzeichnen, so bitten wir Sie, dies unverzüglich dem Prüfungsamt der Hochschule anzuzeigen (Tel. 00/509- bzw. birgit.hupe@hamburger-fh.de). Korrekturrichtlinie, Prüfungsleistung 06/07, Wirtschaftsmathematik, WR WR-WMT-P-07060

5 Lösung vgl. SB ; Kap.. Punkte. + + = + = = = = = + ( ) (alternative Lösung) + = + + = = = ln = ln ln ln = ln ln ln = =,585 = =, 585 ln ln = 6 ( ) = = = , = ± = ± = ± = 5 (keine Lösung, Einsetzen in Gleichung liefert ) = (Lösung, Einsetzen in Gleichung liefert 6 + = ). + = 0 Substitution: z = z + z = 0 Lösen der quadratischen Gleichung: z / = ± + = ± 5 = ± 5 z = und z = 6 Rücksubstitution: = z = = 6 (Lösung, da = 0 ) = z = ( 6) = 6 (keine Lösung, da = 0 ) WR-WMT-P Seite /5

6 Lösung vgl. SB, Kap.. Punkte Bildungsvorschrift arithmetische Folge (vgl. Formelsammlung 6.): a k = a + ( k ) d mit k N +, d 0. Damit ist und a5 = a + d a8 = a + 7d a = a + d. a6 = a + 5d Einsetzen in die Ausgangsgleichungen ergibt a 5 + a8 = a + d + ( a + 7d) = a + d = (I) a + a6 = a + d + ( a + 5d) = a + 6d = 0. (II) Aus (II) folgt a a + 6d = 0 6d = a d =. Einsetzen in (I) liefert a a = 6a a = 5a = a = 5 Das Anfangsglied der Zahlenfolge ist a =. 5 Lösung vgl. SB, Kap.. und. Punkte Gesucht ist die lineare Funktion (Gerade) = ( p), auf der die beiden Punkte ( p, ) = (0, 5.000) und ( p, ) = (9, 6.000) liegen. Für die -Punkteform der Geradengleichung (Formelsammlung 6.5) wird zunächst die Steigung m berechnet: m = p p m = = WR-WMT-P Seite /5

7 Einsetzen in die Punktsteigungsform (Formelsammlung 6.5) liefert: = mp + ( mp) = ( p) =.000 p + (5.000 (.000) 0) = ( p) =.000 p Zur Funktion p = p() gelangt man nun durch Bildung der Umkehrfunktion von = ( p). Auflösung von = ( p) nach p liefert: =.000 p p = p = p( ) = Lösung vgl. SB, Kap. und SB 5, Kap. 0 Punkte. Minimierung der Stückkosten: Division der Gesamtkostenfunktion () K durch ergibt die Stückkostenfunktion ( ) k : k ( ) ( ) K = = k ( ) = Bedingungen für die Minima dieser Funktion sind k ( ) = 0 und ( ) > 0 Die Berechnung ergibt ( ) = 7 5 = 0 k = 5 ( ) = 7 > 0 k. mögliche Etremstelle! k Minimumstelle bei = 5 Bei 5 Stück sind die Stückkosten minimal.. Maimaler Gewinn: Die Gewinnfunktion G ( ) errechnet sich (vgl. Formelsammlung, 6.) nach G ( ) E( ) K( ) =. Einsetzen von ( ) K( ) E und liefert 7 G ( ) = G ( ) = G. Bedingungen für die Maima dieser Funktion sind ( ) = 0 und G ( ) < 0 WR-WMT-P Seite /5

8 Die Berechnung ergibt ( ) = = 0 G ( ) = 0 Mögliche Etremstellen sind damit = 0 und die Lösungen der quadratischen Gleichung = 0. Anwendung der Lösungsformel für quadratische Gleichungen liefert, = 6 ± 6 70 = 6 ± = und = 60. Da bei einer Stückzahl von 0 keine Produktion stattfindet, ist der Wert = 0 wirtschaftlich nicht von Interesse! Bestimmung der Art der Etrema und : ( ) = + 70 G ( ) = + 70 = 576 < 0 G Maimalstelle ( 60) = = 880 > 0 G Minimum Der Maimalgewinn ist bei Stück zu verzeichnen. Lösung 5 vgl. SB ; Kap.. 0 Punkte 5. Es ist der Barwert K 0 zu ermitteln. Für den Barwert nach n Zinsperioden gilt (vgl. Formelsammlung 8.): K K = q n 0. n p Mit n = 7 (0,5), K n =0 000 (0,5) und q = + i = + =, 06 () ergibt sich: Laufzeit: K 0 = = 6 650,57. 7,06 Für die Laufzeit gilt (vgl. Formelsammlung 8.): log K n log K0 n =. log q p Mit K n =0 000 (0,5), K 0 = 7 09, 60 (0,5) und q = + i = + =, 06 () ergibt sich: 00 log0 000 log 7 09,60 n = = 6 Jahre. log,06 WR-WMT-P Seite /5

9 Lösung 6 vgl. SB, Kap.. Punkte 6. Zinsen im. Jahr: Z = S0 i = ,00 0,08 = 6.000,00 Tilgung im ersten Jahr: T = S0 i = ,00 0,0 =.000,00 Annuität: A = Z + T = 8.000, 00 Laufzeit des Annuitätenkredits (Formelsammlung 0.): log A logt n =. log q Einsetzen von A, T und q =, 08 () liefert log8.000,00 log.000,00 n = = 8,55. log,08 Damit beträgt die Laufzeit 9 Jahre. 6. Restschuld zu Beginn des 7. Jahres (nach Zahlung von 6 Annuitäten), vgl. Formelsammlung 0.: 6 6 q S 6 = S0 q A. q Mit S 0 = , 00 (0,5), A =8.000, 00 (0,5) und q =, 08 () ergibt sich 6 6,08 S 6 = , = 0.09,7 0,08 Damit ergibt sich folgender Tilgungsplan (in Euro) für die Annuitätentilgung: Jahr j S j Restschuld zu Beginn des Jahre Zinsen, fällig am Ende des Jahres Z j Tilgung fällig am Ende des Jahres T j Annuität ,7.07,9.79, , ,6.0, , 8.000, , 75,79 9., 0.068, Die Zahlenwerte ergeben sich unter Berücksichtigung von: Z j = S j 0,08 für j = 7, 8, 9 und S j = S j T j für j = 7, 8 T j = 8.000, 00 Z j für j = 7, 8 und T 9 = S8 sowie A 9 = Z 9 + T9. A WR-WMT-P Seite 5/5